MODUL STRUKTUR ALJABAR 1. Disusun oleh : Isah Aisah, Dra., MSi NIP

Transkripsi

1 MODUL STRUKTUR ALJABAR 1 Disusun oleh : Isah Aisah, Dra., MSi NIP Program Studi S-1 Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran Januari 2017

2 DAFTAR ISI 1. Kata Pengantar i 2. Daftar Isi ii 3. Deskripsi Mata Kuliah iv 4. Modul 1 : Himpunan Kegiatan Belajar 1 : Himpunan Kegiatan Belajar 2 : Prinsip Inklusi dan Eksklusi Latihan Daftar Pustaka 5. Modul 2 : Relasi, Pemetaan, Sistem Matematika Kegiatan Belajar 1 : Relasi Kegiatan Belajar 2 : Pemetaan, Sistem Matematika Latihan Daftar Pustaka 6. Modul 3 : Grup Kegiatan Belajar 1 : Grup Kegiatan Belajar 2 : Sifat-sifat Grup Latihan Daftar Pustaka 7. Modul 4 : Subgrup Kegiatan Belajar 1 : Subgrup Kegiatan Belajar 2 : Pusat Grup Latihan Daftar Pustaka 8. Modul 5 : Grup Siklis, Grup Permutasi Kegiatan Belajar 1 : Grup Siklis Kegiatan Belajar 2 : Grup Permutasi Latihan Daftar Pustaka ii

3 9. Modul 6 : Koset, Teorema Lagrange Kegiatan Belajar 1 : Koset Kegiatan Belajar 2 : Teorema Lagrange Latihan Daftar Pustaka 10. Modul 7 : Subgrup Normal, Grup Faktor Kegiatan Belajar 1 : Subgrup Normal Kegiatan Belajar 2 : Grup Faktor Latihan Daftar Pustaka 11. Modul 8 : Homorfisma Grup Kegiatan Belajar 1 : Homorfisma Kegiatan Belajar 2 : sifat-sifat Homomorfisma Latihan Daftar Pustaka 12. Modul 9 : Isomorfisma Grup Kegiatan Belajar 1 : Isomorfisma Grup Kegiatan Belajar 2 : Teorema Fundamental Isomorfisma Latihan Daftar Pustaka iii

4 DESKRIPSI MATA KULIAH STRUKTUR ALJABAR I Mata kuliah Struktur Aljabar I merupakan salah satu mata kuliah untuk mencapai kompetensi dasar penguasaan konsep-konsep utama meliputi : himpunan, sifat sifat bilangan bulat, ralasi, pemetaan, sifat sifat pemetaan, permutasi, Grup, Subgrup, Grup Siklis, Koset, Subgrup Normal, Grup Faktor, Homomorfisma grup dan Isomorfisma grup. Mata Kuliah Struktur Aljabar 1 mempunyai bobot 3 sks dan disajikan dalam 9 modul untuk 14 kali pertemuan. Setiap modul memuat penjelasan materi, contoh serta soal-soal latihan. Materi tersebut dirinci sebagai berikut : Modul 1 Himpunan Modul 2 Relasi, Pemetaan, Sistem Matematika Modul 3 Grup Modul 4 Subgrup Modul 5 Grup Siklis, Grup Permutasi Modul 6 Koset, Teorema Lagrange Modul 7 Subgrup Normal, Grup Faktor Modul 8 Homomorfisma Grup MOdul 9 Isomorfisma Grup Di akhir setiap modul diberikan latihan dan daftar pustaka, sehingga pembaca dapat mencari dan menggunakan referensi tersebut untuk pemahaman lebih lanjut. Setelah menyelesaikan mata kuliah ini mahasiswa mampu membedakan(a) sebuah grup berdasarkan operasi biner, mengkonstruksi isomorfisma dari 2 buah grup (C), dan dengan bantuan software GAP dapat menyelidiki sebuah himpunan menjadi Grup (P). iv

5 v

6 KATA PENGANTAR Dengan mengucapkan puji syukur ke hadirat Alloh SWT, akhirnya penulis dapat menyelesaikan penyusunan Modul Ajar Struktur Aljabar 1. Modul Ajar ini berisi materi untuk perkuliahan Mata Kuliah Struktur Aljabar 1 pada jenjang S1 Program Studi Matematika. Materi berisi Struktur Grup beserta sifat-sifatnya, Homomorfisma, serta Isomorfisma. Selain dari pada itu diberikan juga soal-soal latihan untuk membantu mahasiswa memahami materi yang telah diberikan. Materi dirancang dengan beban 3 SKS dalam satu semester. Materi dari Modul ajar ini diambil dari beberapa sumber yang biasa dipergunakan untuk mempelajari Struktur Aljabar. Tujuan dari penulisan Modul ajar ini, yaitu untuk membantu para mahasiswa mempelajari dasar-dasar struktur Aljabar,dengan demikian mahasiswa diharapkan mampu mengkaji lebih lanjut materi Struktur Aljabar 1. Penulis menyadari banyaknya kekurangan dalam Modul ajar ini, untuk itu penulis senantiasa mengharapkan kritik dan saran untuk penyempurnaan Modul ajar ini. Walaupun demikan, semoga Modul ajar ini bermanfaat bagi yang memerlukannya. Jatinangor, Januari 2017 Isah Aisah i

7 MODUL 1 HIMPUNAN Materi ini merupakan materi prasyarat yang diperlukan untuk memahami materimateri yang ada dalam struktur Aljabar. Materi ini berisi pengertian Himpunan, sifatsifat Aljabar dari Himpunan Kegiatan Belajar 1 : Pengertian Himpunan Himpunan diartikan sebagai kumpulan dari obyek-obyek yang dapat diterangkan dengan jelas. Himpunan dinotasikan dengan sebuah huruf capital, sedangkan keanggotaan nya dituliskan dengan huruf kecil. Misalkan S sebuah himpunan dan x adalah sebuah objek di S, dikatakan x adalah anggota dari S, dan dinotasikan oleh x S, dalam kasus x bukan anggota S dinotasikan oleh x S. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. - Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } - C = {a, {a}, {{a}} } - K = { {} } - Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2,..., 100 } - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {, -2, -1, 0, 1, 2, }. 2. Keanggotaan x A : x merupakan anggota himpunan A; x A : x bukan merupakan anggota himpunan A. 1

8 Contoh 2. Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } K = {{}} maka 3 A 5 B {a, b, c} R c R {} K {} R Contoh 3. Bila P 1 = {a, b}, P 2 = { {a, b} }, P 3 = {{{a, b}}}, maka a P 1 a P 2 P 1 P 2 P 1 P 3 P 2 P 3 3. Simbol-simbol Baku P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3,... } N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2,... } Z = himpunan bilangan bulat = {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

9 4. Notasi Pembentuk Himpunan Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x } Contoh 4. (i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5 A = { x x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau A = { x x P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4} (ii) M = { x x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151} 5. Diagram Venn Contoh 5. Misalkan U = {1, 2,, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn: U A B Kardinalitas Jumlah elemen di dalam A disebut kardinalitas dari himpunan A. Notasi: n(a) atau A Contoh 6.

10 (i) B = { x x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8 (ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5 (iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3 Himpunan Kosong Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set). Notasi : atau {} Contoh 7. (i) E = { x x < x }, maka n(e) = 0 (ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(p) = 0 (iii) A = {x x adalah akar persamaan kuadrat x = 0 }, n(a) = 0 himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai { } himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, { }} { } bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong. 1.4 Himpunan Bagian (Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi: A B Diagram Venn:

11 U A B Contoh 8. (i) { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5} (ii) {1, 2, 3} {1, 2, 3} (iii) N Z R C (iv) Jika A = { (x, y) x + y < 4, x, y 0 } dan B = { (x, y) 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B A. TEOREMA 1.1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut: (a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A). (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A). (c) Jika A B dan B C, maka A C A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A. A B berbeda dengan A B

12 (i) A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B. A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3} (ii) A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B. 1.5 Himpunan yang Sama A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A. A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B. Notasi : A = B A B dan B A Contoh 9. (i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x x (x 1) = 0 }, maka A = B (ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B (iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A, B = B, dan C = C (b) jika A = B, maka B = A (c) jika A = B dan B = C, maka A = C 1.6 Himpunan yang Ekivalen Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinalitas dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B A = B Contoh 10. Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4

13 1.7 Himpunan Saling Lepas Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Notasi : A // B Diagram Venn: U A B Contoh 11. Jika A = { x x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30,... }, maka A // B. 1.8 Himpunan Kuasa Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi : P(A) atau 2 A Jika A = m, maka P(A) = 2 m. Contoh 12. Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = {, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} Contoh 13. Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P( ) = { }, dan himpunan kuasa dari himpunan { } adalah P({ }) = {, { }}.

14 1.9 Operasi Himpunan a. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x x A dan x B } Contoh 14. (i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} (ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B =. Artinya: A // B b. Gabungan (union) Notasi : A B = { x x A atau x B } Contoh 15. (i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 } (ii) A = A c. Komplemen (complement) Notasi : A = { x x U, x A }

15 Contoh 16. Misalkan U = { 1, 2, 3,..., 9 }, (i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8} (ii) jika A = { x x/2 P, x < 9 }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 } d. Selisih (difference) Notasi : A B = { x x A dan x B } = A B Contoh 18. (i) Jika A = { 1, 2, 3,..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B A = (ii) {1, 3, 5} {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} {1, 3, 5} = {2} e. Beda Setangkup (Symmetric Difference) Notasi: A B = (A B) (A B) = (A B) (B A) Contoh 19. Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 } Contoh 20. Misalkan U = himpunan mahasiswa P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80 Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80. (i) Semua mahasiswa yang mendapat nilai A : P Q

16 (ii) Semua mahasiswa yang mendapat nilai B : P Q (iii) Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C : U (P Q) TEOREMA Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A B = B A (hukum komutatif) (b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif) n i 1 A A... A n A 1 2 i n i 1 A A... A n A 1 2 i A A... A A 1 2 n i n i 1 A A n A A n i 1 i Sifat-sifat Aljabar Himpunan, Prinsip Inklusi dan Eksklusi 1. Hukum identitas: A = A A U = A 2. Hukum null/dominasi: A = A U = U

17 3. Hukum komplemen: A A = U A A = 4. Hukum idempoten: A A = A A A = A 5. Hukum involusi: (A) = A 7. Hukum komutatif: A B = B A A B = B A 6. Hukum penyerapan (absorpsi): A (A B) = A A (A B) = A 8. Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C 9. Hukum distributif: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 10. Hukum De Morgan: A B = A B A B = A B 11. Hukum 0/1 = U U = Contoh 21 ; Buktikan A B = B A Penyelesaian : Ambil sebarang, akan ditunjukkan A B B A maka berdasarkan definisi Gabungan, atau bias ditulis atau, sehingga, Jadi A B B A. Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa B A A B. Dengan demikian maka terbukti bahwa : A B = B A

18 1.11 Prinsip Dualitas Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti,, dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti,, U, U, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S. 1. Hukum identitas: A = A Dualnya: A U = A 2. Hukum null/dominasi: A = Dualnya: A U = U 3. Hukum komplemen: A A = U Dualnya: A A = 4. Hukum idempoten: A A = A Dualnya: A A = A 5. Hukum penyerapan: A (A B) = A Dualnya: A (A B) = A 6. Hukum komutatif: A B = B A Dualnya: A B = B A 7. Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C Dualnya: A (B C) = (A B) C

19 8. Hukum distributif: A (B C)=(A B) (A C) Dualnya: A (B C) = (A B) (A C) 9. Hukum De Morgan: A B = A B Dualnya: A B = A B 10. Hukum 0/1 = U Dualnya: U = Contoh 22. Buktikan Dual dari (A B) (A B ) = A Dengan menggunakan sifat (A B) (A B ) = A (B B ) = A U = A Jadi (A B) (A B ) = A Multi Set. Himpunan yang unsurnya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut multi set (himpunan ganda). Contoh: A = {1, 1, 1, 2, 2, 3}, B = {2, 2, 2}, C = {2, 3, 4}, D = {}. Multiplisitas dari suatu unsur pada multi set adalah jumlah kemunculan unsur tersebut pada multi set tersebut. Contoh: M = { 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 1 }, multiplisitas 1 adalah 4 dan multiplisitas 2 adalah 3, sementara itu multiplisitas 3 adalah 2.

20 Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap unsurnya adalah 0 atau 1. Himpunan yang multiplisitas dari unsurnya 0 adalah himpunan kosong. Misalkan P dan Q adalah multiset, operasi yang berlaku pada dua buah multi set tersebut adalah sebagai berikut : a. P Q merupakan suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan multiplisitas maksimum unsur tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh : P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c }, Maka P Q = { a, a, a, b, c, c, d, d } b. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan multiplisitas minimum unsur tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh : P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c } Maka P Q = { a, a, c } c. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan multiplisitas unsur tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, ini berlaku jika jika selisih multiplisitas tersebut adalah positif. Jika selisihnya nol atau negatif maka multiplisitas unsur tersebut adalah nol. Contoh : P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c, c, d, d, f } maka P Q = { a, e } d. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas unsur tersebut pada P dan Q.Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d }, maka P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d } Kegiatan Belajar 2 : PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI Berkaitan dengan kardinalitas Himpunan, diperoleh beberapa rumus sebagai berikut: Misalkan P menyatakan kardinalitas himpunan P, dan Q menyatakan kardinalitas himpunan Q, maka

21 P Q P + Q - P Q P Q P + Q P Q min( P, Q ) P Q P + Q - 2 P Q P Q P - Q Untuk 3 buah himpunan hingga, maka P Q P + Q + R - P Q - P R - R Q + P Q Secara Umum untuk himpunan-himpunan A 1, A 2,, A n kita peroleh A 1 A 2 =. Contoh 23 : Tentukan banyaknya bilangan bulat 1 200, yang habis dibagi 2, 5, atau 7. Tentukan banyaknya bilangan bulat yang habis dibagi 2,5 tetapi tidak habis dibagi 7. Jawab : Misalkan P = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 2 Q = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5 R = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 7. Maka P Q P + Q + R - P Q - P R - R Q + P Q = = 131 Jadi banyaknya bilangan bulat yang habis dibagi 2, 5 atau 7 adalah 141 bilangan. Contoh 24 : Diantara 100 mahasiswa, 32 mempelajari matematika, 20 mempelajari fisika, 45 mempelajari biologi, 15 mempelajari matematika dan biologi, 7 mempelajari

22 matematika dan fisika, 10 mempelajari fisika dan biologi, dan 30 tidak mempelajari satupun diantara ketiga bidang tersebut. a. Hitung banyaknya mahasiswa yang mempelajari ketiga bidang tersebut? b. Hitung banyaknya mahasiswa yang mempelajari hanya satu daintara ketiga bidang tersebut? Penyelesaian : Misalakan M = himpunan mahasiswa yang mempelajari Matematika F = himpunan mahasiswa yang mempelajari Fisika B = himpunan mahasiswa yang mempelajari Biologi Jadi M = 32, F = 20, B = 45,,, Dengan menggunakan Prinsip Inklusi dan Eksklusi : M F M + F + B - M F - M B - F B + M F M F = M F - M - F - B + M F + M B + F B = = 5 Jadi banyaknya Mahasiswa yang mempelajari ketiga bidang tersebut sebanyak 5 orang. Banyaknya mahasiswa yang hanya mempelajari Matematika adalah ; M - M F - M B + M F = = 15 orang Banyaknya mahasiswa yang hanya mempelajari Fisika adalah : F - M F - F B + M F = = 8 orang Sedangkan banyaknya mahasiswa yang hanyamempelajari Biologi : B - M B - F B + M F = = 25 orang Jadi banyaknya mahasiswa yang mempelajari hanya satu diantara ketiga bidang tersebut adalah 48 mahasiswa.

23 Latihan 1. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut Benar atau Salah a. b. c. } d. } e. {a, b} {a, b, c, {a,b,c}} f. {a, b} {a, b, c, {a,b,c}} g. {a,b} { a,b,{a,b}} h. {a,b} { a,b,{a,b}} i. {a, } {a, {a, }} 2. Tentukan himpunan-himpunan berikut a. } b. } c. } { a, }} d. } { a, }} e. { a, }} f. { a, }} 3. Jika A = {a, b, {a,c}, }, tentukan himpunan-himpunan berikut: a. A- {a} b. A- c. A { d. A {a, b} e. A {a,c} f. A- {{a,b}} g. A- {a,c} h. {a} A

24 i. {a,c} A j. {a} {A} 4. Tentukan Power Set untuk himpunan berikut: a. {a} b. {{a}} c. { 5. Misalkan A= {. Periksa apakah pernyataan berikut ini Benar atau Salah a. A) b. A) c. A) d. { A e. A) f. { A g. A) h. A) i. A) 6. Buktikan sifat-sifat Aljabar himpunan berikut: a. A B = B A b. A (B C) = (A B) C c. A (B C) = (A B) (A C) d. A B = A B 7. Tentukan Dual dari sifat berikut ; a. A A = U b. A A = U c. A (A B) = A d. A (B C) = (A B) C e. A B = A B 8. (a) jika A sub himpunan dari B dan B subhimpunan dari C, buktikan bahwa A subhimpunan dari C.

25 (b) Jika B A, buktikan bahwa A B = A 9. Diantara bilangan-bilangan bulat 1-300, berapa banyaknya bilangan yang tidak habis dibagi 3, 5 maupun 7? 10. Berapa banyaknya bilangan yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 5 maupun 7? 11. Sebuah survey diadakan terhadap 1000 orang. Ternyata 595 anggota partai demokrat, 595 memakai kaca mata, dan 550 menyukai es krim, 395 diantara mereka adalah anggota partai demokrat yang memakai kaca mata, 350 anggota partai demokrat yang menyukai es krim, dan 400 orang memakai kaca mata dan menyukai es krim, 250 diantara mereka adalah anggota partai demokrat yang memakai kaca mata dan menyukai es krim. a. Berapa banyak diantara mereka bukan anggota partai demokrat, tidak memakai kaca mata dan tidak menyukai es krim? b. Berapa banyak diantara mereka yang anggota partai demokrat namun tidak memakai kaca mata dan tidak menyukai es krim? 12. Diketahui bahwa di sebuah Universitas, 60 % diantara para dosennya bermain tenis, 50% bermain bridge, 70% melakukan jogging, 20% main tenis dan bridge, 30% main tenis dan melakukan jogging, dan 40% main bridge dan jogging. Jika seseorang meng atakan bahwa 20% diantara para dosen melakukan jogging, dan main bridge dan tenis, percayakah anda pada apa yang dikatakan itu? Mengapa? 13. Diantara 130 mahasiswa, 60 memakai topi di dalam kelas, 51 memakai syal di leher, dan 30 memakai topi dan syal. Diantara 54 mahasiswa yang memakai sweater, 26 memakai topi, 21 memakai syal dan 12 memakai topi dan syal. Mereka yang tidak memakai topi ataupun syal memakai sarung tangan. a. Berapa banyak mahasiswa yang memakai sarung tangan? b. Berapa banyak mahasiswa yang tidak memakai sweater memakai topi namun tidak memakai syal? c. Berapa banyak mahasiswa yang tidak memakai sweater tidak memakai topi ataupun syal? 14. Diantara 50 mahasiswa disebuah kelas, 26 memperoleh nilai A dari ujian pertama, dan 21 memperoleh A pada ujian kedua. Jika 17 mahasiswa

26 tidakmemperoleh A dari ujian pertama maupun ujian kedua, berapa banyak mahasiswa yang memperoleh dua kali nilai A dari kedua ujian itu? 15. ( dari soal no 15) Jika banyaknya mahasiswa yang memperoleh A dari ujian pertama sama dengan banyaknya mahasiswa yang memperoleh A dari ujian kedua, jika banyaknya mahasiswa yang memperoleh nilai A dari kedua ujian itu adalah 40, dan jika 4 mahasiswa tidak memperoleh satu pun nilai A dari dari kedua ujian itu, tentukan banyaknya mahasiswa yang memperoleh A hanya dari ujian pertama saja, yang memperoleh A hanya dari ujian kedua saja dan yang memperoleh A dari ujian pertama maupun dari ujian kedua? 16. Diketahui Himpunan ganda berikut P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c, c, d, d, f }. Tentukan : a. P b. c. d.

27 DAFTAR PUSTAKA 1. Aisah. Isah, 2008,Matematika Diskrit, Bahan Ajar, UNPAD 2. Liu, L. C., 1985, Elements Of Discrete Mathematics, Second Edition, Mc Graw-Hill Books Company 3. Fraleigh, John, A first Course In Abstract Algebra,Addison Wesley Company, Canada.

28

29 MODUL 2 RELASI, PEMETAAN, SISTEM MATEMATIKA Bagian ini mengakaji definisi relasi, representasi relasi, sifat-sifat relasi,pemetaan, sifat-sifat pemetaan, operasi pemetaan, dan sistem matematika. Kegiatan Belajar 1: Relasi Definisi 2.1 Misalkan A dan B dua buah himpunan, maka hasil kali silang ( cross product) dari A dan B A x B = a, b a A dan b B} Definisi 2.2 Sebuah Relasi dari A ke B adalah subhimpunan dari A x B. Contoh 1 (i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A B = himpunan semua titik di bidang datar Catatan: 1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A. B. 2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a). 3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong. 4. Jika A = atau B =, maka A B = B A = 22

30 Representasi Relasi 1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah A Amir Budi Cecep B IF221 IF251 IF342 IF323 P Q A A Representasi Relasi dengan Tabel Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil. Tabel 1 Tabel 2 Tabel 3 A B P Q A A Amir IF Amir IF Budi IF Budi IF Cecep IF Representasi Relasi dengan Matriks Misalkan R adalah relasi dari A = {a 1, a 2,, a m } dan B = {b 1, b 2,, b n }. Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [m ij ], M = a a a 1 2 m b 1 b 2 b n m m m m1 m m m m 2 m m m 1n 2n mn 23

31 yang dalam hal ini m ij 1, 0, ( a, b ) R i ( a, b ) R i j j Definisi 2.3 Misalkan S himpunan tak kosong. Relasi pada S dikatakan bersifat : Refleksif, apabila a a untuk setiap a S, Simetris, apabila a b mengakibatkan b a untuk setiap a, b S, Transitif, apabila a b dan b c mengakibatkan a cuntuk setiap a, b, c S. Contoh 2 Relasi keterbagian pada bilangan bulat ( disimbolkan dengan ) dengan definisi untuk a b jika dan hanya jika b = ac untuk suatu, mempunyai sifat refleksif dan transitif tetapi tidak bersifat simetris. Bukti: - Ambil sebarang. Jelas a = a 1 Jadi sehingga bersifat Refleksif - Pilih 3,6, jelas 3 6 tetapi 6 tidak membagi 3. Jadi tidak bersifat simetris. - Ambil sebarang a,b,c dengan Akan ditunjukkan Karena a b dan b c maka terdapat bilangan bulat m dan n sehingga b = ma dan c = nb, akibatnya c = nb=(nm)a. Karena terdapat bilangan bulat nm sehingga berlaku c = (nm)a, maka a c. Jadi bersifat transitif. 24

32 Definisi 2.4 Suatu Relasi pada S disebut Relasi Ekivalen, apabila memenuhi sifat refleksif, simetris dan transitif. Contoh 3 Misalkan. Definisikan relasi pada dengan aturan jika dan hanya jika. Relasi merupakan relasi Ekivalen. Bukti : Misalakan Penyelesaian : (i) Akan diselidiki untuk sifat relasi yang refleksif. Akan dibuktikan bersifat refleksif. (ii) Akan diselidiki untuk sifat relasi yang simetri. Akan dibuktikan :.(1)...(2) Dari (i) adalah persamaan (2). bersifat simetri. (iii) Akan diselidiki untuk sifat relasi yang transitif. Akan dibuktikan : artinya artinya (1).(2) Dengan mensubstitusi sehingga dari (2) diperoleh : 25

33 artinya. bersifat transitif. dari (i)-(iii) maka adalah relasi ekivalen. Definisi 2.5 Misalkan S himpunan tak kosong. Partisi dari himpunan S adalah dekomposisi S ke dalam A i dengan sehingga berlaku Contoh 4 A 1 = {1,3}, A 2 = {4}, A 3 = {2,5} merupakan partisi dari S = ( 1,2,3,4,5}. Definisi 2.6 Misalkan a dan b bil bulat dan n bil bulat positif, dikatakan a kongruen b modulo n (a n) jika hanya jika a b = kn, untuk suatu k. b( mod Sifat Relasi merupakan relasi ekivalen Bukti : diberikan sebagai latihan Teorema 2.7 Misalkan S himpunan tak kosong dan merupakan relasi ekivalen pada S. Maka Mengakibatkan terbentuknya partisi dan sel ( kelas ekivalen) yang memuat a adalah. 26

34 Contoh 5 = = Dengan demikian terbentuk n buah kelas ekivalen yang berbeda yang merupakan partisi dari Z yaitu Berikut diberikan beberapa contoh penggunaan sifat Relasi. Contoh 6. Selidiki relasi untuk suatu. Penyelesaian : (i) Akan diselidiki untuk sifat relasi yang refleksif Akan dibuktikan : Ambil sebarang. maka relasi bersifat refleksif. (ii) Akan diselidiki untuk sifat relasi yang simetri Akan dibuktikan : Pilih sehingga menjadi tapi. karena, tidak ada yang memenuhi. 27

35 Jadi relasi tidak bersifat simetri. (iii) Akan diselidiki untuk sifat relasi yang transitif Akan dibuktikan : Ambil sebarang. relasi tidak bersifat transitif. dari (i),(ii),(iii), relasi relasi bukan relasi ekivalen. Contoh 7. Selidiki apakah relasi pada adalah relasi ekivalen. Penyelesaian : Misalkan terdapat bilangan. (i) Akan diselidiki untuk sifat relasi yang refleksif Akan dibuktikan : (Benar) bersifat refleksif. (ii) Akan diselidiki untuk sifat relasi yang simetri. Akan dibuktikan : Pilih dan. Sehingga didapat tapi. 28

36 tidak bersifat simetri. (iii) Akan diselidiki untuk sifat relasi yang transitif. Akan dibuktikan : artinya artinya...(1) (Definisi)...(2) (Definisi) Dengan menjumlahkan (1) dan (2), diperoleh : bersifat transitif. dari (i),(ii),(iii), maka bukan relasi ekivalen. Contoh 8 Periksa apakah relasi di adalah relasi ekivalen apabila. Penyelesaian : (i) Akan diperiksa untuk sifat relasi yang refleksif. Akan dibuktikan : (Teorema sifat urutan ). bersifat refleksif. (ii) Akan diperiksa untuk sifat relasi yang simetri. Akan dibuktikan : Artinya akan dibuktikan Sehingga (Sifat komutatif ). bersifat simetri. (iii) Akan diperiksa untuk sifat relasi yang transitif. 29

37 Akan dibuktikan : Artinya akan dibuktikan : Terdapat dua kemungkinan nilai yaitu : (1) Dari dan Untuk maka dan Karena dan maka (Sifat urutan ).. (2) Dari dan Untuk maka dan Karena dan maka (Sifat urutan ). dari (1) dan (2) maka. dari (i),(ii),(iii) adalah relasi ekivalen. Contoh 9 Periksa apakah relasi di adalah relasi ekivalen apabila. Penyelesaian : (i) Akan diperiksa untuk sifat relasi yang refleksif. Akan dibuktikan : bersifat refleksif. (ii) Akan diperiksa untuk sifat relasi yang simetri. Diketahui : Akan dibuktikan :. artinya sama dengan bersifat simetri. 30

38 (iii) Akan diperiksa untuk sifat relasi yang transitif. Diketahui : Akan dibuktikan : artinya...(1) artinya...(2) Dengan menjumlahkan (1) dan (2), diperoleh : Karena maka. bersifat transitif. dari (i)-(iii) maka adalah relasi ekivalen. Conoh 10 Periksa apakah relasi di adalah relasi ekivalen apabila habis dibagi. Penyelesaian : (i) Akan diperiksa untuk sifat relasi yang refleksif. Akan dibuktikan : artinya adalah pernyataan yang benar. artinya. Jadi terdapat yang memenuhi Jadi. bersifat refleksif. (ii) Akan diperiksa untuk sifat relasi yang simetri. Diketahui : Akan dibuktikan : artinya atau (Hipotesis) 31

39 . bersifat simetri. (iii) Akan diperiksa untuk sifat relasi yang transitif. Diketahui :, Akan dibuktikan : artinya...(1) artinya...(2) Dari (2), (dari (1)) bersifat transitif. dari (i),(ii),(iii) maka adalah relasi ekivalen. Kegiatan Belajar 2: Pemetaan, Sistem Matematika Definisi 1.9 Misalkan S, T himpunan tak kosong. Sebuah pemetaan dari S ke T adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap anggota himpunan S ke tepat satu anggota himpunan T. Contoh 11 Misalka J adalah himpunan bilangan bulat dan S = J x J. Definisikan, dengan 32

40 Contoh 12 Misalkan S himpunan yang terdiri dari x 1, x 2, x 3, definisikan dengan, dan Jenis-Jenis Pemetaan Definisi1.10 Pemetaan dari A ke B disebut pemetaan satu-satu(injektif) jika. Pernyataan di atas setara dengan : Jika maka. A B a 1 b 2 c 3 d 4 5 Contoh 13. Misalkan f : Z Z. Tentukan apakah f(x) = x dan f(x) = x 1 merupakan fungsi satu-satu? Penyelesaian: (i) f(x) = x bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya f(2) = f(-2) = 5 padahal 2 2. (ii) f(x) = x 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a b, a 1 b 1. Misalnya untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3. Definisi 1.11 Pemetaan dari A ke B disebut pemetaan pada(surjektif) jika untuk setiap terdapat, sehingga berlaku.. 33

41 A B a 1 b 2 c 3 d Contoh 14. Misalkan f : Z Z. Tentukan apakah f(x) = x dan f(x) = x 1 merupakan fungsi pada? Penyelesaian: (i) f(x) = x bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f. (ii) f(x) = x 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y = x 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1. Definisi 1,12 Pemetaan bijektif yaitu pemetaan yang bersifat satu-satu dan pada. Contoh 15. Fungsi f(x) = x 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-satu, karena f adalah fungsi satu-satu maupun fungsi pada. Fungsi satu-satu, bukan pada Fungsi pada, bukan satu-satu A B A B a b c a b c d c

42 Bukan fungsi satu-satu maupun pada a 1 b c A B d c Bukan fungsi satu-satu tapi pada a 1 b c A B d c Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f. 2. Balikan fungsi dilambangkan dengan f 1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1 (b) = a jika f(a) = b. 3. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada. Contoh 16. Tentukan balikan fungsi f(x) = x 1. Penyelesaian: Fungsi f(x) = x 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, jadi balikan fungsi tersebut ada. Misalkan f(x) = y, sehingga y = x 1, maka x = y + 1. balikan fungsi balikannya adalah f - 1 (y) = y +1. Contoh 17. Tentukan balikan fungsi f(x) = x Penyelesaian: kita sudah menyimpulkan bahwa f(x) = x bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, sehingga fungsi balikannya tidak ada. f(x) = x adalah funsgi yang not invertible Komposisi dari dua buah fungsi. 35

43 Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh (f g)(a) = f(g(a)) Contoh 18. Diberikan fungsi g = {(1, u), (2, u), (3, v)} yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan fungsi f = {(u, y), (v, x), (w, z)} yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah f g = {(1, y), (2, y), (3, x) } 2.3 Sistem Matematika Definisi 1.13 Misalkan S himpunan tak kosong. Operasi biner pada S adalah pemetaan dari S xs ke dalam S, Himpunan S yang dilengkapi dengan satu operasi biner disebut Sistem Matematika. Contoh : Operasi + pada system bilangan real merupakan operasi biner. Operasi : pada system bilangan bulat bukan merupakan operasi biner. Contoh 19 Selidiki apakah operasi pada merupakan operasi biner Penyelesaian : 36

44 Ambil sembarang. Maka Karena dan perkalian dua bilangan bulat positif menghasilkan bilangan bulat positif maka Jadi Jadi operasi biner di. Contoh 20 Periksa apakah operasi biner * pada Penyelesaian : merupakan operasi biner. Ambil sembarang. Maka (perkalian dua bilangan bulat positif menghasilkan bilangan bulat positif)... (1), dan (perkalian dua bilangan bulat positif menghasilkan bilangan bulat positif)... (2) karena (1), (2) dan penjumlahan dua bilangan bulat positif menghasilkan bilangan bulat positif, maka operasi biner di. Contoh 21 Periksa apakah operasi * pada Penyelesaian : merupakan operasi biner 37

45 Pilih. Tapi. bukan operasi biner di. Contoh 22 Periksa apakah operasi * pada Penyelesaian : merupakan operasi biner Pilih. Tapi. bukan operasi biner di. Contoh 23 Periksa apakah operasi * pada Penyelesaian :. Merupakan operasi biner Ambil sembarang. Maka (perkalian bilangan real menghasilkan bilangan real)...(1) (perkalian bilangan real menghasilkan bilangan real)...(2) Karena (1), (2) dan penjumlahan dua bilangan real menghasilkan bilangan real, maka. Karena tapi akar pangkat dua dari bilangan real akan menghasilkan bilangan real positif saja. atau. bukan operasi biner di. Contoh 24 Periksa apakah operasi * pada Penyelesaian :, merupakan operasi biner 38

46 Pilih. Tapi. bukan operasi biner di. Contoh 25 Misalkan berlaku. a. Apakah merupakan operasi biner? Penyelesaian : Ambil sembarang. Maka. Karena dan penjumlahan bilangan real menghasilkan bilangan real, maka.. operasi biner. b. Apakah bersifat komutatif? Penyelesaian : Akan dibuktikan : Ambil sembarang. Karena dan penjumlahan dua bilangan real menghasilkan bilangan real, maka. bersifat komutatif. c. Apakah bersifat asosiatif? Penyelesaian : Akan dibuktikan : 39

47 Ambil sembarang. Karena dan penjumlahan dua bilangan real menghasilkan bilangan real, maka. bersifat asosiatif. d. Apakah memiliki unsur identitas? Penyelesaian : Akan dibuktikan : Pilih. Ambil sembarang. memiliki unsur identitas. e. Apakah memiliki invers? Penyelesaian : Akan dibuktikan : mbil sembarang. Pilih. memiliki invers. Contoh 26 Definisikan operasi pada dengan. Apakah operasi merupakan operasi biner? Penyelesaian : 40

48 Ambil sembarang. Maka.. operasi biner di. 41

49 Latihan Untuk soal-soal berikut, selidiki sifat relasi yang bersesuaian. 1. Relasi ( lebih dari atau sama dengan) pada R\{0} 2. Misalkan R relasi pada Himpunan Bilangan Bulat Positif sedemikian sehingga. 3. Misalkan a dan b bil bulat dan n bil bulat positif, dikatakan a kongruen b modulo n (a b( mod n) jika hanya jika a b = kn, untuk suatu k. 4. Buktikan Relasi merupakan relasi ekivalen 5. Misalkan R relasi pada Himpunan Bilangan Bulat Positif sedemikian sehingga 6. Misalkan suatu pemetaan, tentukan jenis pemetaan nya a. S = Himpunan bilangan Riil, T = Himpunan bilangan Riil non negative, dan. b. S = Himpunan bilangan Riil non negatif, T = Himpunan bilangan Riil non negative, dan. c. S = Himpunan bilangan bulat, T = Himpunan bilangan bulat, dan. d. S = Himpunan bilangan bulat, T = Himpunan bilangan bulat, dan 7. Berikan contoh pemetaan yang 1-1 tidak pada 8. Berikan contoh pemetaan pada tetapi tidak Berikan contoh pemetaan 1-1 dan pada 10. Selidiki apakah operasi di bawah ini merupakan operasi biner untuk himpunan yang bersesuaian. 11. Misalkan berlaku a. Apakah merupakan operasi biner? b. Apakah bersifat komutatif c. Apakah bersifat asosiatif d. Apakah memilik unsur identitas 42

50 DAFTAR PUSTAKA 1. Aisah. Isah, 2008,Matematika Diskrit, Bahan Ajar, UNPAD 2. Liu, L. C., 1985, Elements Of Discrete Mathematics, Second Edition, Mc Graw-Hill Books Company 3. Fraleigh, John, A first Course In Abstract Algebra,Addison Wesley Company, Canada. 4. Herstein, I.N.,1975. Topics inalgebra. John Willey & Sons,New York. 43

51 MODUL 3 GRUP Kegiatan Belajar 1 : Grup Definisi 3.1 Sebuah Himpunan G tak kosong disebut grup terhadap operasi biner * jika terhadap operasi biner tersebut dipenuhi : 1. G tertutup terhadap operasi * yaitu untuk setiap a, b di G berlaku a*b G 2. Setiap unsur G bersifat asosiatif yaitu a, b, c berlaku (a*b)*c = a*(b*c) 3. Terdapat unsur identitas di G sebut e, sehingga berlaku a*e = a = e* a, a a, a -1 sehingga berlaku a* a -1 = e = a -1 *a, dimana a -1 disebut invers untuk a. Contoh-contoh : 1. Himpunan-himpunan bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan riil dan bilangan kompleks bersama-sama operasi biner penambahan merupakan grup komutatif. 2. Himpunan bilangan dengan operasi biner perkalian merupakan grup abelian. 3. Himpunan matriks nonsingular dengan operasi perkalian matriks merupakan grup tak-komutatif. 4. Himpunan matriks dengan determinan sama dengan 1 bersamasama dengan operasi biner perkalian matriks merupakan grup tak-komutatif. 5. Misalkan dan adalah himpunan dari semua fungsi satu-satu pada. Maka dengan operasi komposisi fungsi merupakan suatu grup, grup ini dinamakan suatu grup permutasi. 6. Himpunan bilangan bulat modulo dengan operasi biner penambahan merupkan grup komutatif. 44

52 7. Himpunan bilangan bulat modulo dengan bilangan prima bersamasama dengan operasi biner perkalian merupakan grup abelian. 8. Himpunan dengan operasi perkalian matriks merupakan suatu grup. 9. Himpunan dengan operasi biner tambah dide_nisikan oleh adalah suatu grup. 10. Himpunan dengan operasi perkalian adalah suatu grup. Catatan : Untuk sederhananya penulisan cukup ditulis, penulisan suatu grup dengan operasi biner biasanya ditulis adakalanya ditulis grup Type equation here. Contoh 2. Periksa apakah merupakan grup. Karena grupnya merupakan grup hingga, maka untuk memeriksa grup atau bukabn akan digunakan table Cayley. Dari tabel terlihat bahwa (i) sifat tertutup terpenuhi. (ii) Sifat asosiatif terpenuhi (iii)terdapat unsure identitas yaitu 45

53 (iv) Dari tabel diperoleh : Karena aksioma grup terpenuhi, maka (Z 4, +) merupakan grup Contoh 3 (Z n, +) merupakan Grup, dengan operasi penjumlahan yang didefinisikan sebagai Contoh 4 Periksa apakah merupakan sebuah grup Penyelesaian : Dengan menggunakan tabel cayley : (i) Dari tabel, terdapat tidak tertutup terhadap perkalian. (ii) Dari tabel terlihat bahwa asosiatif. (iii) Pilih Ambil sembarang.. 46

54 (iv) Pilih Karena maka tidak ada tidak mempunyai unsur invers. dari (i)-(iv) maka bukan grup. Contoh 5 Periksa apakah merupakan sebuah grup Penyelesaian : Dengan menggunakan tabel cayley : (i) Dari tabel terlihat bahwa tertutup terhadap perkalian. (ii) Dari tabel terlihat bahwa asosiatif. (iii) Pilih Ambil sembarang.. (iv) Dari tabel diperoleh : 47

55 dari (i)-(iv), maka grup. Contoh 6. Periksa apakah Penyelesaian : Dengan menggunakan tabel cayley : (i) Dari tabel terlihat bahwa tidak tertutup terhadap perkalian karena terdapat (ii) Dari tabel terlihat bahwa asosiatif terhadap perkalian. (iii) Dari tabel terlihat bahwa unsur identitasnya adalah. (iv) Dari tabel terlihat bahwa tidak mempunyai invers terhadap perkalian. dari (i)-(iv), bukan grup. 48

56 Contoh 10. (Z p \{0}, X) merupakan sebuah grup. Contoh 11 : U n adalah himpunan bilangan bulat modulo n yang unsur-unsurnya relative prima dengan n. Misalkan apakah merupakan suatu grup? Penyelesaian : Dengan menggunakan tabel cayley : (i) Dari tabel terlihat bahwa tertutup terhadap perkalian. (ii) Dari tabel terlihat bahwa asosiatif. (iii)dari tabel diperoleh unsur identitas di adalah (iv) Dari tabel diperoleh : Dari (i)-(iv), adalah grup. Contoh 12 : Apakah merupakansuatu Grup? Penyelesaian : Dengan menggunakan tabel cayley : 49

57 i. Dari tabel terlihat bahwa tertutup terhadap perkalian. ii. Dari tabel terlihat bahwa asosiatif. iii. Dari tabel diperoleh bahwa unsur identitas di adalah iv. Dari tabel diperoleh : dari (i)-(iv) adalah grup. Contoh 13. Periksa apakah merupakan suatu grup? Penyelesaian : Dengan menggunakan tabel cayley : (i) Dari tabel terlihat bahwa (ii) Dari tabel terlihat bahwa tertutup terhadap perkalian. asosiatif. (iii) Dari tabel terlihat bahwa unsur identitas di adalah (iv) Dari tabel diperoleh : 50

58 Jadi merupakan sutu grup. Contoh 14 : (U n, X) merupakan sebuah grup Teorema 3.2: Diketahui (G,*) grup dan (i) Jika maka (hukum kanselasi kiri) (ii). Jika maka ( hokum kanselasi kanan) Bukti: (i). Misalkan dengan Karena G grup, maka terdapat sehingga Diperoleh e (ii). Misalkan dengan Karena G grup, maka terdapat sehingga Diperoleh Definisi 3.3 Sebuah Grup G disebut Grup Abelian atau Komutatif jika berlaku a*b = b*a a, b G Contoh 3 51

59 Himpunan bilangan Bulat terhadap operasi penjumlahan, Himpunan bilangan Realtanpa nol, Himpunan (Z n,+) merupakan grup komutatif,. Definisi 3.4 Sebuah grup disebut grup hingga jika banyaknya unsur dari grup tersebut hingga, sedangkan jika banyaknya unsure dari grup tersebut tak hingga maka grupnya merupakan grup tak hingga. Contoh 11. (Z n, + ) merupakan grup hingga, sedangkan (Z, +), (R\{0}, x) merupakan grup tak hingga. Contoh 12 Buktikan grup dengan : Penyelesaian : (i) Akan ditunjukkan tertutup. Ambil sembarang dengan dan Akan ditunjukkan dan. Karena berdasarkan sifat ketertutupan maka terhadap penjumlahan dan perkalian. tertutup. (ii) Akan ditunjukkan asosiatif. 52

60 Ambil sembarang dengan dan. Akan ditunjukkan (Berdasarkan sifat perkalian matriks yang asosiatif). asosiatif. (iii)pilih. Karena dan maka. Ambil sembarang dengan dan. Akan ditunjukkan mempunyai unsur identitas. (iv) Akan ditunjukkan Ambil sembarang dengan dan. Pilih. Karena dan maka sehingga. Sehingga, dan 53

61 mempunyai unsur invers. dari (i)-(iv) grup. Kegiatan Belajar 2 : Sifat - sifat GRUP Misalkan G grup maka dipenuhi : 1) Unsur identitas di G tunggal 2) Invers di G tunggal 3) a G berlaku ( a -1 ) -1 = a 4) a, b G berlaku (ab) -1 = b -1 a -1 5) Bila maka ada dengan tunggal dan sehingga dan. Bukti : 1. Misalkan e dan e identitas di G, maka a G berlaku a* e = a = e*a dan a* e = a = e *a Jadi e= e 2. Misalkan a dan a masing-masing invers dari a, sehingga a*a = e dan a * a = e a = e * a =( a * a )* a = a * (a * a ) = a * e = a Karena a = a, maka dapat disimpulkan invers G adalh tunggal. 3. Misalkan e unsure identitas di G, maka untuk setiap a di G berlaku a * a -1 = e jadi (a -1 ) -1 = a 4. Misalkan a, b unsure di G, maka a, b G terdapat a -1 dan b -1, yang memenuhi (ab) (b -1 a -1 ) = e (ab) -1 = b -1 a Bila, maka. Sehingga didapat. Sebaliknya bila, maka atau. Jadi persamaan mempunyai 54

62 penyelesaian tunggal. Dengan cara serupa bisa ditunjukkan bahwa mempunyai penyelesaian tunggal. Contoh 13 Misalkan G grup, jika setiap unsur di G mempunyai invers dirinya sendiri, tunjukkan bahwa G merupakan Grup abelian. Jawab: G grup, maka untuk setiap unsur mempunyai invers dirinya sendiri maka a, b G berlaku a -1 = a, b -1 =b. Adt G abelian yaitu ab = ba ab = (ab) -1 = b -1 a -1 = ba. Karena ab = ba maka perdefinisi bahwa G grup abelian. Contoh 14 Misalkan grup abelian. Tunjukkan bahwa Penyelesaian : abelian artinya (Karena abelian ) Contoh 15 Tunjukkan merupakan sebuah grup Penyelesaian : (i) Akan ditunjukkan tertutup. Ambil dengan Akan ditunjukkan 55

63 Karena maka berdasarkan sifat ketertutupan,. Sehingga tertutup. (ii) Akan ditunjukkan asosiatif Ambil sembarang dengan Akan ditunjukkan asosiatif. (iii) Pilih Karena maka. Ambil Akan ditunjukkan sembarang. 56

64 mempunyai unsur identitas. (iv) Akan ditunjukkan mempunyai invers. Ambil sembarang dengan Pilih Karena, maka Akan ditunjukkan mempunyai unsur invers. dari (i)-(iv), grup. 57

65 LATIHAN 1. Misalkan G grup dan untuk 3 bilangan bulat berturut-turu berlaku (ab) i = a i b i. Buktikan bahwa G grup abelian Sketsa bukti : a. Misalkan 3 bilangan berturut-turut tersebut i, i+1, i+2 b. Gunakan ketiga hipotesis di atas c. Dari poin b, tunjukkan bahwa ab=ba 1. Misalkan G grup dan berlaku (ab) 2 = a 2 b 2, a, b G. Buktikan bahwa G abelian. 2. Buktikan G grup abelian jika dan hanya jika (ab) -1 = a -1 b -1, 3. Selidiki apakah ({1,-1), x) merupakan Grup 4. Definisikan dengan ( Misalkan G = {. Buktikan G merupakan grup terhadap komposisi fungsi. 5. Tunjukkan bahwa himpunan Z dari semua bilangan bulat adalah grup abelian terhadap operasi * yang didefinisikan oleh a * b = a + b+ 1, a, b Z. 6. Periksa apakah himpunan Q dari semua bilangan Rasional kecuali 1 membentuk grup terhadap operasi * yang didefinisikan oleh a* b = a + b- ab, a, b Q 7. Periksa apakah himpunan R dari semua bilangan Real membentuk grup terhadap operasi * yang didefinisikan oleh a* b = a + b+ ab, a, b R. 58

66 DAFTAR PUSTAKA 1. Fraleigh, John, A first Course In Abstract Algebra,Addison Wesley Company, Canada. 2. Gallian,Joseph, Contemporary Abstract Algebra, Houghton Mifflin Company, USA. 3. Judson,W.T, 2009.Abstract Algebra Theory and Application, Austin State University. 4. Herstein, I.N.,1975. Topics in Algebra. John Willey & Sons,New York. 59

67 MODUL 4 SUBGRUP Kegiatan Belajar 1 : SUBGRUP Definisi 4.1 Misalkan H dan H G. H disebut subgrup dari G jika H membentuk grup dibawah operasi yang sama dengan G. (Notasi H G). Catatan : Untuk membuktikan H subgrup dari G, tunjukan bahwa : 1. H merupakan himpunan tak kosong 2. H merupakan himpunan bagian dari G 3. H memenuhi aksioma grup dibawah operasi biner dari G. Contoh 1: a. Bila G suatu grup, maka E = {e} trivial subgrup dari G. Sedangkan subgrup dari G yang selain E dan G sendiri dinamakan subgrup sejati (proper subgrup). b. Masing-masing Z, Q dan dengan operasi biner tambah adalah subgrup dari grup himpunan bilangan kompleks. c. Himpunan dan dengan operasi perkalian merupakan subgrup dari grup. d. Himpunan matriks dengan operasi biner perkalian matriks adalah subgrup dari grup. e. Himpunan dengan operasi biner perkalian adalah subgrup dari grup. f. Misalkan dan dengan operasi biner tambah adalah subgrup dari grup. 59

68 g. Himpunan dengan operasi perkalian merupakan subgrup dari grup. Sifat Subgrup Lemma 4.1: Misalkan H dan H G, H disebut subgrup dari G, jika : 1. a,b H, maka ab H 2. a H, a -1 H Lemma 4.2 : Misalkan H dan H G, H disebut subgrup dari G, jika dan hanya jika untuk setiap a,b H berlaku ab -1 H. Bukti : ( Misalkan, didapat bila maka. Karena di berlaku juga operasi biner maka. Selanjutnya misalkan berlaku untuk sebarang berakibat ( akan ditunjukkan. Misalkan bahwa, maka dengan hipotesis didapat. Jadi dan misalkan sebarang di, maka. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa di berlaku suatu operasi biner yaitu untuk semua. Misalkan berdasarkan hasil sebelumnya maka juga di. Berdasarkan hipotesis maka. Sifat assosiatif di diwarisi dari (sebab ). Dengan demikian H merupakan subgrup dari G. 60

69 Lemma 4.3 : H, H G, H hingga dan H tertutup dibawah perkalian, maka H merupakan subgrup dari G. Contoh 2: Misalkan, grup, dan Buktikan.. Penyelesaian : (i) Akan ditunjukkan Pilih. Karena dan maka. (ii) Akan ditunjukkan Ambil sembarang Akan ditunjukkan Karena dan. Maka (iii) Akan ditunjukkan tertutup. Ambil sembarang dengan dan. Akan ditunjukkan Karena maka dan dan karena maka. Sehingga 61

70 (iv) Akan ditunjukkan Ambil dengan dan Pilih. Karena dan maka Sehingga, dan. Sehingga. dari (i)-(iv), maka. Sifat-sifat Subgrup. 1. Irisan dari dua buah subgrup selalu merupakan subgroup. 2. Gabungan dari dua buah subgrup belum tentu meruakan subgroup 3. JIka adalah koleksi dari subgrup dari, maka juga merupakan subgrup dari. Bukti : 1. Misalkan dan subgrup. Akan ditunjukkan. (i) Akan ditunjukkan Karena maka dan artinya (ii) Akan ditunjukkan Ambil sembarang. Akan ditunjukkan Karena dan maka (iii) Akan ditunjukkan tertutup terhadap operasi di Ambil sembarang. 62

71 Akan ditunjukkan. dan dan Karena maka Jadi Karena maka Jadi Karena dan maka (iv) Akan ditunjukkan mempunyai invers. Ambil sembarang. Akan ditunjukkan Karena maka dan karena maka Artinya dan Artinya Jadi mempunyai invers. dari (i)-(iv),. 2. Untuk menyelidiki Gabungan dari 2 buah subgroup akan diberikan contohnya. Misalkan G = (Z 12, +), maka subgrup-subgrup dari G adalah H 1 = { }, H 2 = {Z 12 }, H 3 = {, H 4 = {, H 5 = {, H 6 = { Maka merupakan subgrup dari G, merupakan subgrup dari G, tetapi bukan merupakan subgrup. Jadi gabungan dari dua subgrup akan menjadi subgrup, jika subgrup yang satu termuat di subgrup yang lain nya. Sedangkan jika tidak memenuhi kondisi ini maka gabungan dua subgrup bukan merupakan subgrup. 3. Bukti :Misalkan jelas bahwa sebab. Juga bila, maka untuk setiap hal ini berakibat untuk setiap. Maka dari itu juga di. Terlihat bahwa bila berakibat bahwa, maka dari itu H adalah subgrup dari. 63

72 Contoh 3 :. Misalkan. Buktikan subgrup dari. Penyelesaian : (i) Akan ditunjukkan Pilih (ii) Akan ditunjukkan Ambil sembarang dengan. Karena maka. maka. Maka ( tertutup) (iii) Akan ditunjukkan tertutup Ambil sembarang. Akan ditunjukkan Karena artinya dan karena artinya. Karena dan maka. tertutup. 64

73 (iv) Akan ditunjukkan mempunyai invers. Ambil sembarang. Pilih artinya. Karena dan, maka. Jadi Akan ditunjukkan. mempunyai unsur invers. dari (i)-(iv), maka. Contoh 4 : Misalkan himpunan bilangan real dan untuk, misalkan. Misalkan grup terhadap operasi komposisi fungsi.. Buktikan Penyelesaian : (i) Akan ditunjukkan a) Akan ditunjukkan Pilih dengan dan Maka 65

74 b) Akan ditunjukkan Ambil sembarang dengan. Akan ditunjukkan Jelas (perdefinisi) Jadi c) Akan ditunjukkan tertutup Ambil sembarang dengan. Akan ditunjukkan Ambil sembarang. Maka Maka tertutup. d) Akan ditunjukkan memiliki unsur invers. Ambil sembarang dengan. Pilih dengan dan. Sehingga Akan ditunjukkan memiliki unsur invers. dari (a)-(d), maka. 66

75 Kegiatan Belajar 2 : PUSAT GRUP Definisi 4.4: Misalkan G grup. Z(G) = merupakan pusat Grup atau Centre Grup. Contoh 5: Misalkan G = (Z, +) maka Pusat grup atau Z(Z) merupakan dirinya sendiri. Misalkan G = (Z 4, + ) maka Pusat grup nya dirinya sendiri, sedangkan jika, grup, maka pusat grupnya adalah Sifat Pusat Grup Jika G grup, maka pusat grup merupakan subgrup dari G. Bukti : Misalkan Z(G) = Akan ditunjukkan 1) Akan ditunjukkan Pilih Karena grup, maka Sehingga 2) Akan ditunjukkan Ambil sembarang. Akan ditunjukkan Jelas berdasarkan yang didefinisikan di soal bahwa 3) Akan ditunjukkan tertutup. Ambil sembarang. Akan ditunjukkan artinya dengan 67

76 artinya dengan Karena dan grup maka berlaku sifat ketertutupan sehingga. Karena dengan maka. tertutup. 4) Akan ditunjukkan mempunyai unsur invers. Ambil sembarang. Pilih Karena maka dengan Karena dan grup maka atau Karena dengan maka mempunyai unsur invers. dari (1)-(4), maka Contoh 6 : Buktikan, Disebut Normalizer unsur. merupakan subgrup dari 68

77 Penyelesaian : (i) Akan ditunjukkan Pilih Karena grup, maka Sehingga (ii) Akan ditunjukkan Ambil sembarang. Akan ditunjukkan Sehingga, diperoleh artinya dengan (sesuai yang didefinisikan) (iii) Akan ditunjukkan Ambil artinya artinya Karena tertutup sembarang. Akan ditunjukkan dengan dengan maka berdasarkan sifat ketertutupan didapat Karena dengan maka tertutup. (iv) Akan ditunjukkan mempunyai invers. Ambil sembarang. Pilih Karena maka dengan Karena maka 69

78 atau Karena dengan, maka Akan ditunjukkan Karena dan tertutup, maka Karena maka dengan Karena dengan dari (i)-(iv), maka. 70

79 LATIHAN 1. Tentukan Subgrup-subgrup dari a. ( Z, + ) b. (Z 6, + ) c. (Z 11, + ) d. (Z 100, +) e. (U 6, X ) f. ( U 18, X) 2. Misalkan, grup, dan Buktikan.. 3. Misalkan G adalah grup dari semua bil kompleks tak nol terhadap operasi perkalian. Misalkan H = Buktikan H subgroup dari G. 4. Misalkan H subgrup dari G, Buktikan: a. N(H) subgrup dari G b. N(H) 5. Misalkan H subgroup dari G, centralizer dari H adalah Buktikan C(H) subgrup dari G.. 6. Misalkan H subgrup dari G, dan, misalkan subgrup dari G. Jika H hingga apakah order? 71

80 DAFTAR PUSTAKA 1. Fraleigh, John, A first Course In Abstract Algebra,Addison Wesley Company, Canada. 2. Gallian,Joseph, Contemporary Abstract Algebra, Houghton Mifflin Company, USA. 3. Judson,W.T, 2009.Abstract Algebra Theory and Application, Austin State University. 4. Herstein, I.N.,1975. Topics in Algebra. John Willey & Sons,New York. 5. Isnarto, 2002, Struktur Aljabar, Bahan Ajar,Universitas Negeri Semarang 72

81 MODUL 5 GRUP SIKLIS, GRUP PERMUTASI Kegiatan belajar 1 : GRUP SIKLIS Definisi 5.1 Misalkan a sebarang anggota dari grup < G, X >. Didefinisikan : a 1 = a a 2 = a. a a 3 = a. a. a dan secara induksi, untuk sebarang bilangan bulat positif k, a k+1 = a. a k. Definisi 5.2 Perjanjian bahwa a 0 = e dan untuk sebarang integer positif n berlaku a -n = ( a -1 ) n = ( a -1 )( a -1 ) ( a -1 ) sebanyak n faktor. Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa a n a m = a m+n (a m ) n = a mn. Jika ab = ba maka ( ab ) n = a n b n. 73

82 Catatan : Biasanya ( ab ) n a n b n. Jika a b = b a maka ( ab ) n = a n b n Definisi 5. 3 Misalkan a sebarang anggota dari grup < G, + > Pergandaan n. a didefinisikan sebagai berikut : 1. a = a 2. a = a + a 3. a = a + 2. a dan secara induksi untuk sebarang integer positif k, ( k + 1 ). a = a + k. a. Lebih jauh, 0. a = 0 ( elemen identitas ) - n. a = n. ( -a ) = ( -a ) + (-a ) + + ( -a ) sebanyak n suku. Teorema 5.4 Misalkan < G, X> grup dan misalkan a sebarang anggota tertentu dari G. Jika < a > = { a k k Z } maka himpunan ( a ) merupakan subgrup dari G. Definisi 5.5 Sebuah grup ( G, x) disebut grup siklis jika terdapat a G sehingga setiap unsur di G dapat dinyatakan sebagai perpangkatan dari a. Dalam hal ini a disebut pembangun (generator) grup siklis G. Notasi G = < a > = a n n Z }. Sebuah Grup ( G, +) disebut grup siklik jika terdapat a G sehingga setiap unsur dari G dapat dinyatakan sebagai kelipatan dari a. Notasi G = < a > = na n Z }. 74

83 Contoh 1 Apakah (Z 4, +) merupakan grup Siklik? Untuk menjawabnya, maka harus dicari pembangun dari (Z 4, + Z 4 = 0, 1, 2, 3 1) Untuk a = 0 i. 0 bukan generator dari Z 4, karena kelipatannya tidak menghasilkan semua elemen di Z 4. 2) Untuk a = 1 i. 1 = 1 ii. 2 = iii. 3 = iv. 0 = v. Karena kelipatan dari a = 1 menghasilkan semua elemen Z 4, maka 1 merupakan generator dari Z 4. 3) Untuk a = 2 i. 2 = 2 ii = 0 iii = 2 iv = 0 v. vi. dan seterusnya akan selalu menghasilkan sehingga bukan generator dari. 4) Untuk i. bukan merupakan generator dari karena kelipatannya tidak menghasilkan semua elemen. generator dari adalah dan. 75

84 Dengan demikian merupakan grup Siklik. Contoh 2 meruakan Grup siklik karena generatornya semua unsur kecuali unsur identitas Order grup dan order suatu unsur grup. Misalkan suatu grup, order dari ditulis menyatakan banyaknya elemen dari himpunan. Misalkan suatu grup dan. Order dari dinotasikan dengan yang menyatakan bilangan bulat positif terkecil sehingga memenuhi dengan adalah elemen netral. Bila tidak ada yang demikian maka. Teorema Bila, maka jika dan hanya jika kelipatan dari. 2. Bila dan, maka Bukti 1. Bila, maka. Selanjutnya misalkan dan andaikan dengan, maka, kontradiksi dengan kenyataan. Jadi haruslah atau. 2. diketahui. Misalkan maka, dimana. Jadi. Berikutnya misalkan, 76

85 maka didapat, oleh karena itu merupakan kelipatan dari. Jadi merupakan kelipatan dari atau kelipatan dari. Karena dan prima relatif, maka merupakan kelipatan dari. Berdasarkan teorema sebelumnya, maka atau Beberapa Catatan Order Unsur. 1. Bila dan, maka semuanya adalah berbeda, bila tidak maka ada dan dengan, misalkan dalam hal ini sehingga. Sehingga didapat. Jadi ada sehingga, bertentangan dengan. 2. Bila, maka semuanya berbeda satu dengan yang lainnya, bila tidak demikian maka ada dengan, bertentangan bahwa bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi. Contoh 3 Z 6 mempunyai orde 6 karena mengandung 6 anggota yaitu 0, 1, 2, 3, 4 dan 5. Secara umum Z n mempunyai orde n. Z mempunyai orde tak hingga karena Z mempunyai tak berhingga banyak anggota. Orde dari himpunan ( i ) = { i, -1, -i, 1 } adalah 4. Grup Z n untuk n 1 merupakan grup siklik karena Z n = (1) untuk n 2 sedangkan Z 1 = (0). Teorema 5.7 Grup berhingga G yang berorde n siklik jika dan hanya jika G mengandung suatu anggota dengan orde n. 77

86 Teorema 5.8 Jika G grup siklik maka G abelian. Bukti: Misalkan G grup siklik. Karena G siklik maka G = ( a ) untuk suatu a G. Misalkan G = {a k k Z } Akan ditunjukkan bahwa xy = yx untuk setiap x, y G. Ambil sebarang x, y dalam G. Karena x, y dalam G maka x = a m dan y = a n untuk suatu m dan n dalam Z, sehingga a m a n = a m+n dan yx = a n a m = a n+m = a m+n = a m a n = xy. Terbukti G grup abelian. Teorema 5.9 Jika G grup siklik maka setiap subgrup G merupakan grup siklik. Bukti Misalkan, bila jelas siklik. Bila, maka ada bilangan bulat sehingga dan juga. Misalkan dengan sifat 78

87 keterurutan dari bilangan bulat, maka mempunyai elemen terkecil. Jadi. Misalkan, maka untuk suatu. Terlihat bahwa. Sebaliknya, misalkan, maka ada bilangan bulat sehingga. Selanjutnya dengan menggunakan algorithma pembagian untuk bilangan bulat didapat untuk beberapa dengan. Didapat. Bilangan, sebab bila tidak, maka ada bilangan yang lebih kecil dari, yaitu yang memenuhi. Hal ini bertentangan dengan. Jadi. Terlihat bahwa. Sehingga didapat. Teorema 5.10 Misalkan a sebarang anggota Z n. Jika d merupakan pembagi persekutuan terbesar dari a dan n maka order dari a sama dengan n/d. Contoh 4 : Untuk menentukan orde dari 36 dalam Z 135, pertama-tama ditentukan terlebih dulu pembagi persekutuan terbesar dari 36 dan 135. Karena pembagi persekutuan terbesar dari 36 dan 135 adalah (36, 135) = ( ,3 3.5 ) = 3 2 = 9. Dengan menggunakan teorema di atas orde dari 36 sama dengan n/d = 135/9 = 15. Contoh 5 : Himpunan Z 3 = { 0, 1, 2 } grup terhadap penjumlahan modulo 3. Grup bagian dari Z 3 yang dibangun oleh 0 adalah (0) = { k. 0 k Z } = { 0 } sehingga 0 mempunyai order 1 Sifat

88 Misalkan adalah grup siklik dan, maka dengan. Bukti Misalkan, karena (berhingga), maka untuk beberapa dengan atau. Misalkan dan adalah elemen terkecil di. Jelas bahwa elemen. Dalam hal ini dapat ditunjukkan bahwa semua adalah berbeda. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa. Misalkan, maka untuk suatu. Dengan menggunakan algoritma pembagian untuk bilangan bulat didapat untuk beberapa dengan. Didapat. Jadi. Karena, maka dan. Catatan : Dari hasil sifat ini, terlihat bahwa elemen pembangun yaitu mempunyai sifat atau order dari elemen adalah yang ditulis (sebab bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi ). Contoh 6: Dalam bila dan, maka 80

89 dan Sehingga didapat dan Dalam hal ini order elemen dan adalah dan. 81

90 LATIHAN 1. Buktikan bahwa (a) = { a k k Z } merupakan grup bagian dari grup G. 2. Buktikan bahwa setiap grup bagian dari suatu grup abelian merupakan grup abelian. 3. Buktikan bahwa Q tidak siklik. 4. Tentukan semua pembangkit (generator) dari grup siklik Z n di bawah operasi penjumlahan untuk n = 8, n = 10 dan n = Diketahui G grup abelian. Misalkan S = { x dalam G orde dari x merupakan kuasa dari p }dengan p bilangan prima tertentu. Buktikan bahwa S grup bagian dari G. 6. Jika G merupakan suatu grup sehingga x 2 = e untuk semua x dalam G. Buktikan bahwa G abelian. 7. Diketahui G grup abelian. Jika T = { x dalam G orde x berhingga }. Buktikan bahwa T grup bagian dari G. 82

91 Kegiatan Belajar 2 : GRUP PERMUTASI Grup permutasi merupakan salah satu contoh grup tidak komutatif dan merupakan kajian yang menarik dalam pengkajian teori grup berhingga. Definisi 5.12 Suatu permutasi dari himpunan didefinisikan sebagai pemetaan bijektif dari ke. Contoh 7 Jika maka permutasi dari himpunan antara lain : Permutasi dan masing-masing dinotasikan dengan dan Teorema 4.13 Misalkan himpunan tak kosong dan. Maka merupakan grup terhadap komposisi fungsi. Bukti : (i) Ambil sebarang. Ditunjukkan. Ambil sebarang dengan. 83

92 Diperoleh dan. Karena injektif dan maka. Karena injektif dan maka. Jadi. Dengan demikian injektif. Ambil sebarang. Karena surjektif maka terdapat sehingga. Karena dan surjektif maka terdapat sehingga. Akibatnya. Jadi untuk setiap terdapat sehingga. Dengan demikian surjektif. Jadi. (ii) Komposisi fungsi bersifat asosiatif. (iii)misalkan dengan untuk setiap. Jelas. Ambil sembarang. Diperoleh dan untuk setiap. Jadi untuk setiap. Dengan demikian merupakan elemen netral di. (iv) Ambil sebarang. Misalkan untuk setiap. Definisikan dengan apabila. Diperoleh dan untuk setiap. Jadi. Dengan demikian setiap elemen di mempunyai invers di. 84

93 Berdasarkan (i) s/d (iv) dapat disimpulkan bahwa merupakan grup terhadap komposisi fungsi. Definisi 5.14 Jika maka grup yang memuat semua permutasi dari dinamakan grup simetri pada unsur dan disimbolkan dengan. Grup simetri memuat elemen sebanyak. Terdapat hubungan yang menarik antara pada dengan transformasi rotasi dan refleksi (pencerminan) segi- beraturan. Perhatikan gambar berikut. Misalkan : (i) adalah rotasi dengan pusat O dan besar sudut masing-masing dan (ii) masing-masing adalah refleksi terhadap garis dan. Dengan menggunakan notasi permutasi dapat dituliskan : Hasil operasi keenam permutasi tersebut dapat disajikan dalam tabel berikut : 85

94 Tabel 2 Kedua jenis permutasi tersebut (jenis rotasi dan jenis refleksi) membentuk grup dihedral ketiga yang disimbolkan dengan. Rotasi dan refleksi pada segi- beraturan membentuk grup dihedral ke- dan disimbolkan dengan. Definisi 5.15 Misalkan permutasi dari himpunan. (i) Untuk orbit dari terhadap disimbolkan didefinisikan sebagai (ii) untuk semua dinamakan orbit dari. Contoh 8 Misalkan di. (i) (ii) Orbit dari adalah. Definisi 5.16 Suatu permutasi dinamakan cycle apabila paling banyak mempunyai orbit yang memuat elemen lebih dari satu. Panjang cycle didefinisikan sebagai banyaknya elemen dalam orbit terbesar. 86

95 Berdasarkan Definisi, suatu permutasi dinamakan cycle apabila : (i) (ii) tidak mempunyai orbit yang memuat lebih dari satu elemen, atau hanya mempunyai satu orbit yang memuat lebih dari satu elemen. Contoh 9 (i) di mempunyai orbit. bukan cycle karena terdapat dua orbit yang memuat lebih dari satu elemen yaitu dan. (ii) di mempunyai orbit. merupakan cycle karena tepat mempunyai satu orbit yang memuat lebih dari satu elemen yaitu. (iii) di mempunyai orbit. merupakan cycle karena tidak mempunyai orbit yang memuat lebih dari satu elemen. Suatu cycle disimbolkan dengan yang berarti. Pada contoh diatas bagian (ii), cycle disimbolkan dengan yang berarti. Cycle pada contoh diatas bagian (iii), disimbolkan dengan atau atau atau. Cycle dalam suatu permutasi terbentuk dari orbit yang dihasilkan dari permutasi tersebut. Karena di dalam cycle, urutan diperhatikan sedangkan pada orbit urutan tidak diperhatikan, maka pada contoh diatas bagian (ii) orbit dan seterusnya, tetapi cycle yang terbentuk dari permutasi tersebut adalah. Cycle mempunyai arti yang sama dengan dan tetapi tidak dapat disimbolkan dengan. Dua buah cycle dinamakan saling asing apabila berasal dari dua orbit yang saling asing. Teorema

96 Setiap permutasi dari himpunan berhingga dapat dinyatakan sebagai hasil kali cycle yang saling asing. Bukti : Misalkan adalah orbit-orbit dari. Jelas apabila. Dibentuk cycle dengan Ditunjukkan. Ambil sebarang. Maka untuk tepat satu nilai. Diperoleh. Jadi. Karena saling asing maka merupakan cycle yang saling asing. Pada umumnya, pergandaan (perkalian) permutasi tidak bersifat komutatif. Tetapi khusus cycle-cycle yang saling asing hasil perkaliannya bersifat komutatif. Dengan demikian, urutan orbit-orbit yang kemudian membentuk cycle-cycle sebagaimana dituliskan pada pembuktian Teorema diatas tidak diperhatikan. Definisi 5.17 Suatu cycle dengan panjang 2 dinamakan transposisi. Contoh 10 88

97 Sikel merupakan transposisi. Dalam. Setiap cycle dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi-transposisi dengan aturan. Aturan tersebut berlaku karena pada ruas kanan. Demikian pula pada ruas kiri. Untuk cycle identitas dapat dinyatakan sebagai dan sebagainya. Teorema 5.18 Misalkan dan transposisi di. Maka banyak orbit dari dan banyaknya orbit dari berbeda 1. Bukti : Misalkan. Kasus 1 : dan berada pada orbit yang berlainan dari. Misalkan terdapat orbit dari yang menghasilkan cycle saling asing. Maka. Karena perkalian cycle saling asing bersifat komutatif maka dapat dimisalkan berada pada dan berada pada. Dengan demikian Diperoleh. 89

98 Jadi banyaknya orbit dari dengan banyaknya orbit dari berbeda satu. Kasus 2 : dan berada pada orbit yang sama dari. Seperti pada kasus 1, misalkan. Misalkan dan berada pada. Maka. Diperoleh.. Jadi banyaknya orbit dari dengan banyaknya orbit dari berbeda satu. Berdasarkan kasus 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa banyaknya orbit dari dan banyaknya orbit dari berbeda 1. Berdasarkan teorema di atas dapat ditunjukkan bahwa setiap permutasi hanya dapat dinyatakan sebagai hasil kali sejumlah ganjil saja atau sejumlah genap saja transposisi. Selengkapnya mengenai hal tersebut dituangkan dalam teorema berikut. 90

99 Teorema 5.19 Tidak ada permutasi di yang dapat diekspresikan sebagai hasil kali sejumlah ganjil sekaligus sejumlah genap transposisi. Bukti : Misalkan terdapat yang dapat diekspresikan sebagai hasil kali dari sejumlah ganjil sekaligus sejumlah genap transposisi. Maka terdapat transposisi sehingga : (i) untuk suatu bilangan bulat positif, dan (ii) untuk suatu bilangan bulat positif. Karena setiap permutasi mempunyai invers maka dari (i) dan (ii) diperoleh : (a) (b) Dengan mengalikan (i) dan (b) diperoleh : Hal ini menunjukkan bahwa dapat diekspresikan sebagai sejumlah ganjil transposisi. Dengan mengalikan kedua ruas dengan diperoleh : Berdasarkan teorema di atas, banyaknya orbit dari dengan banyaknya orbit dari berbeda satu, sehingga mempunyai orbit sejumlah genap sekaligus sejumlah ganjil. Kontradiksi dengan banyaknya orbit dari adalah yang sudah dapat ditentukan ganjil atau genap. 91

100 Definisi 5.20 Suatu permutasi dari himpunan berhingga dikatakan : (i) Permutasi genap apabila dapat diekspresikan sebagai hasil kali sejumlah genap transposisi. (ii) Permutasi ganjil apabila dapat diekspresikan sebagai hasil kali sejumlah ganjil transposisi. Contoh 11 Permutasi identitas di merupakan permutasi genap karena. Jika maka tidak dapat diekspresikan sebagai perkalian transposisi, tetapi disepakati sebagai permutasi genap. Permutasi di dapat dinyatakan sebagai. Sehingga merupakan permutasi ganjil. Teorema 5.21 Jika maka banyaknya permutasi genap dan permutasi ganjil di sama. Bukti : Misalkan dan. Ambil Definisikan dengan untuk setiap. Karena permutasi genap maka berdasarkan teorema 2.4.3, merupakan permutasi ganjil. Dengan demikian jelas bahwa. (i) Ambil sebarang dengan. Maka. Karena grup maka. Jadi injektif. 92

101 (ii) Ambil sebarang. Berdasarkan Teorema 2.4.3,. Diperoleh. Jadi surjektif. Berdasarkan (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa bijektif sehingga terbukti dan mempunyai anggota yang sama banyak. Karena hasil kali dua permutasi genap merupakan permutasi genap dan invers dari permutasi genap juga merupakan permutasi genap maka membentuk subgrup. Selanjutnya dinamakan grup alternating pada simbol. 93

102 Latihan Untuk soal nomor 1 sampai dengan 5, tentukan semua orbit dari permutasi yang diberikan : dengan untuk setiap. 4. dengan untuk setiap 5. dengan untuk setiap 6. Tuliskan permutasi pada soal nomor 1 dan 2 sebagai hasil kali cycle saling asing. 7. Tentukan hasil kali cycle di berikut ini : a. b. 8. Nyatakan permutasi berikut sebagai hasil kali transposisi dan tentukan apakah merupakan permutasi genap atau ganjil. a. b. 9. Misalkan grup permutasi pada. Didefinisikan relasi pada dengan jika dan hanya jika untuk suatu. Buktikan bahwa relasi tersebut merupakan relasi ekivalen. 10. Misalkan grup dan. Tunjukkan bahwa dengan untuk setiap merupakan permutasi pada. 11. Perhatikan soal nomor 10. Tunjukkan bahwa merupakan subgrup di. 94

103 DAFTAR PUSTAKA 1. Fraleigh, John, A first Course In Abstract Algebra,Addison Wesley Company, Canada. 2. Gallian,Joseph, Contemporary Abstract Algebra, Houghton Mifflin Company, USA. 3. Judson,W.T, 2009.Abstract Algebra Theory and Application, Austin State University. 4. Herstein, I.N.,1975. Topics in Algebra. John Willey & Sons,New York. 5. Isnarto, 2002, Struktur Aljabar, Bahan Ajar,Universitas Negeri Semarang 6. Subiono, 2011, Aljabar I, Diktat Ajar, Institut Teknologi Surabaya. 95

104 MODUL 6 KOSET, TEOREMA LAGRANGE Kegiatan Belajar 1 : KOSET Teorema 6.1: Misalkan G grup dan H subgrup dari G. Didefinisikan relasi ~ L dan ~ R pada G dengan aturan: (i). a~ L b jika dan hanya jika a 1 b H (ii). a~ R b jika dan hanya jika ab 1 H. Maka ~ L dan ~ R merupakan relasi ekivalen. Bukti : sebagai latihan. Perhatikan ~ L merupakan kelas ekivalen, berarti akan terbentuk partisi dan kelas ekivalen di G. Sebut kelas ekivalen yang memuat a adalah ah. ah = { x G x ~ L a } = { x G a -1 x H } = { x G a -1 x = h untuk suatu h H} = { x G x = ah untuk suatu h H} = { ah h H} Dengan cara yang sama ~ R menghasilkan kelas ekivalen yang memuat a adalah Ha = { ha h H}. Kedua himpunan tersebut dinamakan Koset. Definisi 6.2 : Misalkan H subgrup dari G, a G sebarang, maka Ha = { ha h H } disebut koset kanan dari H di G dan ah = { ah h H } disebut Koset Kiri dari H di G. Contoh 1 : Diberikan G = ( Z, +) dan H = ( 2Z,+ ), maka koset kanan H di G Ambil 0 G, H + 0 = {, -2,0,2,4, } Ambil 1 G, H + 1 = {, -1,1,3,4, } Ambil 2 G, H + 2 = {, 0, 2, 4, } = H

105 Ambil -1 G, H +(-1) = {, -3,-1,1, } = H + 1 Dst. Maka terdapat 2 koset kanan dari H di G.Begitu juga kalau kita mencari koset kirinya, maka akan terdapat 2 koset kiri dari H di G dan koset kanan nya sama dengan koset kirinya. Contoh 2 : Misalkan H = μ 1 dengan μ 1 = merupakan subgrup di S 3. Koset yang terbentuk dari H adalah : Koset kiri H = {ρ 0, μ 1 } ρ 1 H = {ρ 1, μ 3 } ρ 2 H = {ρ 2, μ 2 } Koset kanan H = {ρ 0, μ 1 } Hρ 1 = {ρ 1, μ 2 } Hρ 2 = {ρ 2, μ 3 } Grup permutasi bukan grup komutatif sehingga terdapat koset kanan yang tidak sama dengan koset kiri. Akibat 6.3 : 1. Jika e unsur identitas di G maka He = { he h H } = { h h H } = H 2. Jika e unsur identitas di G maka e unsur identitas di H, sehingga setiap koset tidak pernah kosong minimal terdiri dari unsur pembentuknya. 3. Koset tidak pernah mempunyai unsur persekutuan, sehingga gabungan dari semua koset membentuk grup itu sendiri Teorema 6.4 : Misalkan G grup dan H sebgrup dari G. Maka, (i) ah = H jika dan hanya jika a H 97

106 (ii) ah = bh jika dan hanya jika ab 1 H (iii) ah = H jika hanya jika a H (iv) a Hb jika hanya jika ab -1 H Bukti : (i) Misalkan. Karena dan maka Misalkan. Dibentuk. Ambil sembarang. Maka Karena untuk suatu maka Jadi Sebaliknya, ambil sembarang Karena maka Akibatnya untuk suatu Diperoleh Berdasarkan dan dapat disimpulkan. 98

107 (ii), (iii), (iv) dibuktikan sebagai latihan contoh 3 : Misalkan,. Selidiki a. jika maka? Penyelesaian : Pernyataan tidak terbukti. Contoh penyangkalnya : dengan. Pilih dan, sehingga tapi b. Jika maka Penyelesaian : Ambil sembarang. Maka, karena (hipotesis) Contoh 4 : Diketahui : Akan ditunjukkan : Bukti : Anggap Maka Karena, Karena Maka 99

108 Contoh 5 : Selidiki apakah jika maka? Penyelesaian : Pernyataan tidak terbukti. Contoh penyangkalnya : dengan Pilih dan, sehingga : tapi Definisi 6.5 : H subgrup G, indeks dari H di G adalah banyaknya koset kanan/kiri yang berbeda dari H di G. Notasi [G : H] Teorema 6.6: Jika subgrup dari maka setiap koset kiri dan koset kanan dari mempunyai elemen yang sama banyak dengan. Bukti : Buat pemetaan dengan untuk setiap. Ditunjukkan bijektif. (i) Ambil sembarang dengan Maka 100

109 Berdasarkan hukum kanselasi kiri diperoleh Jadi apabila maka sehingga injektif. (ii) Ambil sembarang Maka untuk suatu Pilih Diperoleh. Jadi untuk setiap terdapat dengan, sehingga surjektif. Berdasarkan (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa bijektif sehingga dan mempunyai elemen yang sama banyak. Dengan cara yang serupa dapat ditunjukkan bahwa juga mempunyai elemen yang sama banyaknya dengan untuk setiap. Perhatikan contoh 6.1 dan 6.2 di atas Setiap koset dari mempunyai elemen yang sama banyaknya dengan elemen. Kegiatan Belajar 2 : Teorema Lagrange Teorema 6.7 : Jika G grup hingga dan misalkan H subgrup dari G, [G]= [G:H] x [H] Atau Jika G grup hingga dan misalkan H subgrup dari G maka order (H) membagi order G Bukti: Misal dan. Karena berhingga maka terdapat sejumlah berhingga koset kiri dari, namakan 101

110 Berdasarkan Teorema di atas Karena membentuk partisi pada maka : (sebanyak ). Contoh 6 : Misalkan G = (S 3, x) dan H = { (1), ( ), ( 1 2 3)}, order H membagi order G, yaitu 3 6 maka banyaknya koset kanan dari H di G atau [G:H] = 6/3 = 2. Terdapatnya kaitan antara order dari suatu grup dengan order dari subgrupnya sebagaimana dinyatakan dalam Teorema Lagrange, memunculkan sifat-sifat berikut : Teorema 6.8 : Setiap grup berorder prima merupakan grup siklik. Bukti : Misalkan grup dengan elemen identitas dan dengan prima. Karena prima maka. Akibatnya memuat elemen dengan. Dibentuk. Maka merupakan subgrup dari. Karena maka Misal 102

111 Berdasarkan Teorema Lagrange diperoleh Karena dan prima maka. Jadi sehingga terbukti bahwa merupakan grup siklik. Definisi 6.9 : Misalkan G grup dan a G maka order dari a adalah suatu bilangan bulat positif terkecil m sedemikian sehingga a m = e, dengan e unsur identitas dari G. Contoh 7 : Diberikan G = (Z 4, +) tentukan order dari setiap unsur nya! Jawab:, Catatan : 1. Jika a sebarang unsur dari grup G yang mempunyai identitas e dan n bilangan bulat positif sedemikian sehingga a n = e, maka 2. Jika ada bilangan bulat positif m < n yang memenuhi a m = e maka Akibat 6.10 : Jika G hingga dan a G maka Akibat 6.11 : Jika G hingga dan a G maka 103

112 LATIHAN 1. Sebutkan semua Koset kanan/ Koset kiri dari S 3 2. Syarat apa yang harus dipenuhi supaya koset kanan sama dengan koset kiri 3. Apakah koset merupakan Grup? 4. Tentukan semua order unsur dari Z 5, Z 6, Z 7 5. Tentuka semua order unsur dari S 3 6. Tentukan semua order unsur dari grup G = { 1,-1, i,-i } 7. Buktikan Teorema Jika grup berhingga dengan order maka untuk setiap. Buktikan 9. Misalkan dan subgrup dari. Didefinisikan relasi pada dengan jika dan hanya jika untuk suatu. a. Buktikan bahwa merupakan relasi ekivalen b. Tentukan klas ekivalensi yang memuat. 104

113 (catatan : klas-klas ekivalensi yang terbnetuk dinamakan koset ganda (double cosets)) 10. Misalkan grup hingga berorder dan. Tunjukkan bahwa terdapat subgrup dari berorder. DAFTAR PUSTAKA 1. Fraleigh, John, A first Course In Abstract Algebra,Addison Wesley Company, Canada. 2. Gallian,Joseph, Contemporary Abstract Algebra, Houghton Mifflin Company, USA. 3. Judson,W.T, 2009.Abstract Algebra Theory and Application, Austin State University. 4. Herstein, I.N.,1975. Topics in Algebra. John Willey & Sons,New York. 5. Isnarto, 2002, Struktur Aljabar, Bahan Ajar,Universitas Negeri Semarang 6. Subiono, 2011, Aljabar I, Diktat Ajar, Institut Teknologi Surabaya. 105

114 MODUL 7 SUBGRUP NORMAL, GRUP FAKTOR Kegiatan Belajar 1 : Subgrup Normal Sebagaimana telah dibahas sebelumnya bila H < G maka [G: H] adalah himpunan dari kosetkoset kanan yang saling asing, suatu pertanyaan adalah bilamana himpunan [G: H] membentuk suatu grup? Untuk menjawab pertanyaan ini pertama didefinisikan suatu operasi biner. Suatu pilihan yang wajar adalah HaHb = Hab. Lalu apa syarat dari subgrup H supaya persamaan terpenuhi? Untuk menjawab pertanyaan ini, terlebih dahulu diberikan suatu pengertian dari PK {pk p P, k K} dimana P G dan K G, sehingga didapat: HaHb = {(ha)(hb) h H} = {h ah b h H}, (bila ah = ha, h H) = {h ha b h H} = {(hh)(ab) h H} = {hab h H} = {hab h H} = Hab Perhatikan bahwa ah = ha, h H berarti bahwa ah = Ha, a G, yaitu koset kiri dan koset kanan dari H di G sama, dalam hal ini H dinamakan subgrup normal dari G dinotasikan dengan H G. Kesimpulan : Misalkan G suatu grup dan H < G, maka peryataan berikut ekivalen : 1. H G. 2. Perkalian koset adalah terdifinisi dengan baik (well defined). Definisi 7.1 : Misalkan G grup dan N G. N disebut subgrup normal dari G jika untuk setiap g G, n N berlaku gng -1 N. Notasi N G. N G gng -1 N, g G 106

115 Lemma 7.2 : N G gng -1 N, g G Sketsa Bukti : - Buktikan berlaku kedua arah - Bukti kiri jelas dari definisi - Bukti ke kanan gunakan sifat saling subset Lemma 7.3 : Misalkan N G, N G Ng = gn, g G Bukti : ( ) Diketahui N G maka gng -1 = N atau gn = Ng g G ( ) Diketahui gn = Ng adt N G. Karena gn = Ng jelas bahwa gng -1 N g G, terbukti bahwa N normal di G. Lemma 7.4 : N G produk dari dua koset kanan dari N di G sama dengan koset kanan dari N di G. Bukti: ( ), maka. Misalkan dan, maka. ( ) Misalkan dan sebarang tetapi tetap di juga, maka. Sehingga didapat atau atau. Jadi untuk setiap (g tetap) dan setiap, maka atau. Sehingga didapat atau atau untuk setiap. Jadi. Contoh 1 : Misalkan subgroup dari sedemikian sehingga untuk setiap dan. Tunjukkan bahwa setiap koset kiri sama dengan koset kanan dari H di G.. Penyelesaian : Misalkan. 107

116 Tunjukkan asrtinya harus ditunjukkan dan Ambil (i) sembarang. Akan ditunjukkan Ambil sembarang Akan ditunjukkan (diketahui) (Kalikan kedua ruas dengan karena dan grup) (Sifat asosiatif grup) (ii) Akan ditunjukkan Ambil sembarang. Akan ditunjukkan Misalkan. Misalkan Maka Dari (i) dan (ii) maka Contoh 2 : Buktikan irisan dari dua subgrup normal merupakan subgrup normal. Penyelesaian : grup. Misalkan Akan ditunjukkan (i) Akan ditunjukkan a) Akan ditunjukkan 108

117 Pilih dan Artinya b) Akan ditunjukkan Ambil sembarang. Akan ditunjukkan. artinya dan Karena Maka c) Akan ditunjukkan tertutup Ambil sembarang. Akan ditunjukkan artinya artinya dan dan Karena Karena maka maka tertutup. d) Akan ditunjukkan mempunyai invers. Ambil sembarang. Maka dan Akan ditunjukkan Karena Karena maka maka Jadi mempunyai invers. dari (a)-(d) (ii) Akan ditunjukkan Akan ditunjukkan Ambil dan sembarang. 109

118 artinya dan Karena Karena maka maka artinya dari (i) dan (ii),. Contoh 3 : Jika grup dan dengan. Buktikan bahwa. Penyelesaian : Artinya harus ditunjukkan (i) Jika maka atau Sehingga Jadi (ii) Jika maka Karena gabungan dari koset adalah grup itu sendiri maka atau Sehingga. dari (i) dan (ii) maka. Contoh 4 : Misalkan himpunan bilangan real dan untuk, misalkan. Misalkan grup terhadap operasi komposisi fungsi.. Buktikan. Penyelesaian : (i) Akan ditunjukkan a) Akan ditunjukkan 110

119 Pilih dengan dan Maka b) Akan ditunjukkan Ambil sembarang dengan. Akan ditunjukkan Jelas (perdefinisi) Jadi c) Akan ditunjukkan tertutup Ambil sembarang dengan. Akan ditunjukkan Ambil sembarang. Maka Maka tertutup. d) Akan ditunjukkan memiliki unsur invers. Ambil sembarang dengan. Pilih dengan dan. Sehingga Akan ditunjukkan memiliki unsur invers. dari (a)-(d), maka. 111

120 (ii) Akan ditunjukkan Artinya harus ditunjukkan Ambil sembarang dengan dan. Ambil Misalkan, maka Latihan 1. Jika G grup dan N G dengan [G : N] = 2. Buktikan bahwa N G. 2. Buktikan bahwa subgrup dari Grup Abelian merupakan Subgrup Normal 3. Jika H subgrup dari G. Misalkan N(H) = { g G ghg -1 = H}. Buktikan: a. N(H) subgrup di G b. H normal di N(H) c. Jika H subgrup Normal dari K maka K N(H) d. H normal di G jika dan hanya jika N(H) = G 4. Jika H subgrup dari G dan N subgrup Normal dari G, tunjukkan bahwa H N subgrup Normal dari H. 112

121 Kegiatan Belajar 2 : GRUP FAKTOR ( GRUP KUOSIEN) Teorema 7.6: Misalkan G grup dan N subgrup Normal dari G. G/N = { Na a G } merupakan grup faktor dengan operasi perkalian koset. Bukti : 1. Adt G/N. Karena G grup dan N subgrup G, maka G/N. Akibatnya terdapat e G sedemikian sehingga N = Ne G/N. Jadi G/N. 2. Adt G/N tertutup Ambil Na, Nb G/N sebarang, maka a, b G. Na Nb = Nab ( perkalian 2 koset kanan merupakan koset kanan) Karena a,b G dan G grup maka ab G, akibatnya Nab G/N Jadi G/N tertutup 3. Adt G/N asosiatif Ambil Na, Nb, Nc G/N sebarang Na(Nb Nc) = Na ( Nbc) = Na(bc) = N(ab)c = (Na Nb) Nc Jadi G/N asosiatif 4. Adt ada identitas di G/N Karena NaNe = Nae= Na = Ne Na (*), maka Na G/N terdapat Ne G/N yang memenuhi (*). Jadi Ne identitas di G/N 5. Adt terdapat invers di G/N Karena Na G/N terdapat Na -1 G/N dengan a -1 G yang memenuhi Na Na -1 = Naa -1 = Ne Maka Na -1 merupakan invers dari Na. Kesimpulan: dari 1-5 maka G / /N adalah grup terhadap operasi perkalian Koset. 113

122 Contoh 5 : 1. G = (Z,+), N = (3Z,+), maka G/N = { N + 0, N+1, N + 2} G/N tertutup, asosiatif, N + 0 merupakan unsur identitas (N + 0) -1 = N + 0 (N + 1) -1 = N + 2 (N + 2) -1 = N + 1 Karena aksioma grup dipenuhi, maka G/N merupakan grup kuosien. 2. G = (S 3, x), N = { (1), ( 1 2 3), ( ) }, maka G/N = {N(1), N(12) } merupakan Grup Kuosein SIFAT GRUP FAKTOR 1. Setiap grup faktor dari grup siklis merupakan grup siklis Bukti : Misalkan G grup siklis maka G = <a> Karena G siklis maka G Abelian. Setiap subgrup dari grup abelian selalu Normal sebut N sehingga G/N merupakan grup faktor. Akan ditunjukkan G/N = <Na> Ambil Nb G/N sebarang dengan b G. Karena G siklis yang dibangun oleh a maka b = a m, untuk suatu m bil bulat. Nb = N(a m ) = N = = (Na) m. Jadi G/N = <Na> perdefinisi G/N grup siklis. Selidiki apakah jika G/N siklis apakah G siklis? 2.Setiap grup faktor dari grup abelian, merupakan grup Abelian. Bukti : Misalkan G abelian, maka setiap subgrup dari grup abelian merupakan subgrup normal, sebut N, jadi terdapat G/N merupakan grup faktor. Akan ditunjukkan G/N abelian. Ambil Na,Nb G/N sebarang, dengan a, b G, harus ditunjukan Na Nb = Nb Na 114

123 Na Nb = Nab ( karena perkalian koset) = Nba( G abelian) = Nb Na Na Nb = Nb Na Jadi G/N merupakan grup abelian. Selidiki apakah berlaku sebaliknya? Contoh 6 : Miisalkan dan Buktikan : (i) (ii) abelian Penyelesaian : (i) Akan ditunjukkan Akan ditunjukkan a) Akan ditunjukkan Pilih dengan Jadi b) Akan ditunjukkan Ambil sembarang. Akan ditunjukkan Karena dan maka c) Akan ditunjukkan tertutup. Ambil sembarang Akan ditunjukkan 115

124 Misalkan Maka Jadi tertutup. d) Akan ditunjukkan mempunyai unsur invers. Ambil sembarang. Pilih Misalkan, maka Akan ditunjukkan Akan ditunjukkan Artinya harus ditunjukkan Ambil sembarang dengan dan Ambil Pilih Maka dengan 116

125 dari (a) dan (b) maka. (ii) Akan ditunjukkan Abelian. Dengan menggunakan sifat koset : Dalam hal ini harus ditunjukkan Ambil sembarang dengan dan Misal maka abelian. Contoh 7 : Misalkan. Tentukan : a) b) Masing-masing order unsur dari Penyelesaian : a) b) Karena Contoh 8 : 117

126 Misalkan grup. merupakan pusat grup. a) Buktikan b) Jika siklis. Buktikan siklis. Penyelesaian : a) (i) Akan ditunjukkan 1) Akan ditunjukkan Pilih Karena grup, maka Sehingga 2) Akan ditunjukkan Ambil sembarang. Akan ditunjukkan Jelas berdasarkan yang didefinisikan di soal bahwa 3) Akan ditunjukkan tertutup. Ambil sembarang. Akan ditunjukkan artinya artinya dengan dengan Karena dan grup maka berlaku sifat ketertutupan sehingga. Karena dengan maka. tertutup. 4) Akan ditunjukkan mempunyai unsur invers. Ambil sembarang. Pilih 118

127 Karena maka dengan Karena dan grup maka atau Karena dengan maka mempunyai unsur invers. dari (1)-(4), maka (iii) Akan ditunjukkan Artinya harus ditunjukkan Ambil sembarang dengan sembarang Ambil artinya dengan jelas berdasarkan definisi. Sehingga dari (i) dan (ii), maka. Contoh 9 : Cari order dari grup faktor berikut. Penyelesaian : Sehingga 119

128 Dengan teorema lagrange, Sehingga LATIHAN 1. Misalkan terhadap operasi. Tunjukkan setiap koset kiri dari memuat tepat satu elemen sehingga. 2. Misalkan. Jika. Buktikan bahwa. 3. Cari order dari grup faktor berikut. 4. Cari order elemen-elemen berikut : a) di b) di 5. Misalkan. Buktikan abelian jika dan hanya jika 6. Tunjukkan bahwa setiap elemen di berorder hingga! 120

129 121

130 DAFTAR PUSTAKA 1. Fraleigh, John, A first Course In Abstract Algebra,Addison Wesley Company, Canada. 2. Gallian,Joseph, Contemporary Abstract Algebra, Houghton Mifflin Company, USA. 3. Judson,W.T, 2009.Abstract Algebra Theory and Application, Austin State University. 4. Herstein, I.N.,1975. Topics in Algebra. John Willey & Sons,New York. 5. Isnarto, 2002, Struktur Aljabar, Bahan Ajar,Universitas Negeri Semarang 6. Subiono, 2011, Aljabar I, Diktat Ajar, Institut Teknologi Surabaya. adisetiawan26.files.wordpress.com/.../homomorfisma-.diunduh 3 juni

131 MODUL 8 HOMORFISMA GRUP Kegiatan Belajar 1 : Homorfisma Grup Definisi 8.1 Sebuah pemetaan φ dri grup G ke G disebut Homomorphisma jika untuk setiap a,b G, berlaku φ a b = φ a φ(b) Contoh 1: Diberikan grup permutasi S 3 dan grup bilangan rasional tanpa nol Q +. Didefinisikan suatu pemetaan f S 3 Q + oleh f σ = 1, bila σ genap 1, bila σ ganjil, untuk setiap σ S 3 Bila σ, τ kedunya genap atau keduanya ganjil,maka στ genap oleh karena itu f στ = 1 = 1.1 = f σ. f(τ) atau f στ = 1 = 1. 1 = f σ. f(τ). Bila σ genap dan τ ganjil, maka στ ganjil oleh karena itu f στ = 1 = 1. 1 = f σ. f(τ). Terlihat bahwa f adalah homomorpisma grup dari S 3 ke Q + dengan ker(f) = f 1 (1) = A 3. Jelas bahwa 123

132 ker(f) S 3 dan im f = {1, 1} adalah subgrup dari Q +. Sedangkan f 1 ( 1) = A 3 τ untuk setiap permutasi ganjil τ S 3. Contoh 2: Diberikan himpunan bilangan real, himpunan dan himpunan. Didefinisikan suatu pemetaan oleh dimana dengan operasi perkalian di dan didapat. Terlihat bahwa adalah suatu homomorpisma grup dari ke dengan pada. Selanjutnya. Contoh 3: 124