Matematika Diskrit 1

Transkripsi

1 Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma

2 Pendahuluan Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/struktur matematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagai nilai-nilai diskrit.

3 Definisi adalah kumpulan objek dengan karakteristik yang telah didefinisikan sebelumnya. Contoh mahasiswa UG. bilangan genap. untai biner panjang 5 yang memiliki 3 simbol 1. dsb.

4 Definisi adalah kumpulan objek dengan karakteristik yang telah didefinisikan sebelumnya. Contoh mahasiswa UG. bilangan genap. untai biner panjang 5 yang memiliki 3 simbol 1. dsb.

5 Notasi pada himpunan Simbol himpunan dinyatakan dalam huruf besar miring, anggota-anggotanya ditulis di antara kurung kurawal {}, dan setiap anggotanya dipisahkan oleh koma. Urutan simbol tidak berpengaruh. Contoh A = {a, i, u, e, o} = {i, o, a, e, u} Relasi:,,,,,. Negasi dari relasi: /,,,,,. Operasi:,

6 Contoh A = {1, 3, 5, 7,...} dapat dinyatakan sebagai A = {x x bilangan ganjil} B = {x x 2 + 3x 10 = 0}, C = { 5, 2}, D = { 5, 2, 2, 5}. Maka, B = C = D.

7 Subhimpunan Definisi Diberikan dua himpunan A dan B. Jika untuk sebarang x A berlaku x B, maka dikatakan A adalah subhimpunan dari B. Secara matematis, A B, atau B A. A = B jika dan hanya jika A B dan B A. Jika A B dan A B, maka A dikatakan sebagai subhimpunan sejati (proper subset) dari B, dan dinotasikan sebagai A B. Untuk seterusnya, istilah subhimpunan mengacu pada simbol.

8 Beberapa himpunan yang sering digunakan N: himpunan bilangan natural (asli) 1, 2, 3,.... Z: himpunan bilangan integer (bulat)..., 2, 1, 0, 1, 2,.... Q: himpunan bilangan rasional. R: himpunan bilangan riil. C: himpunan bilangan kompleks. Perhatikan bahwa N Z Q R C. U: himpunan semesta atau {}: himpunan kosong

9 disjoin Definisi A dan B dikatakan disjoin jika tidak terdapat elemen anggota A yang juga menjadi anggota B. Contoh Diberikan A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {2, 4, 8, 16}, C = {1, 3, 5, 7, 9}. A dan B tidak disjoin. Namun, A dan C disjoin, demikian pula halnya denga B dan C.

10 Diagram Venn Diagram Venn adalah representasi himpunan secara visual, di mana reprsentasi himpunan tersebut berada dalam suatu daerah persegi panjang sebagai representasi himpunan semesta U.

11 Operasi pada himpunan : operasi gabung. A B = {x x A atau x B} : operasi iris. A B = {x x A dan x B}

12 Jika A dan B disjoin, maka A B =. Jika S = A B dan A B =, maka S dikatakan sebagai gabungan disjoin dari A dan B.

13 Teorema Diberikan sebarang dua himpunan A dan B. Maka berlaku: A B A A B, dan A B B A B. Teorema Ketiga pernyataan berikut ekivalen: A B, A B = A, A = B.

14 Teorema Diberikan sebarang dua himpunan A dan B. Maka berlaku: A B A A B, dan A B B A B. Teorema Ketiga pernyataan berikut ekivalen: A B, A B = A, A = B.

15 Generalisasi operasi himpunan Diberikan sejumlah hingga himpunan A 1, A 2,..., A m. Operasi gabung dan iris untuk semua himpunan tersebut didefinisikan sebagai berikut: A 1 A 2... A m = m i=1 A i = {x x A i untuk beberapa i} A 1 A 2... A m = m i=1 A i = {x x A i untuk semua i}

16 Komplemen mutlak Definisi Komplemen mutlak (selanjutnya disebut komplemen) dari himpunan A, dinotasikan sebagai A C atau A, adalah himpunan elemen semesta yang bukan merupakan elemen himpunan A. Secara matematis, A = {x x U, x / A}.

17 Komplemen relatif Definisi Komplemen relatif dari himpunan B terhadap himpunan A, dinotasikan sebagai A \ B (dibaca A kurang B), adalah himpunan elemen anggota A yang bukan merupakan elemen anggota B. Secara matematis, A = {x x A, x / B}.

18 Perbedaan simetris Definisi Perbedaan simetris (symmetric difference) dari himpunan A dan B, dinotasikan sebagai A B, terdiri dari elemen-elemen anggota A atau anggota B, namun tidak keduanya. Secara matematis: A B = (A B) \ (A B), atau A B = (A \ B) (B \ A).

19 Aljabar himpunan Aljabar himpunan

20 hingga dan prinsip pencacahan hingga A dikatakan hingga jika A adalah atau A = c > 0, c integer (A memuat tepat sejumlah hingga elemen). Dalam kasus lain, A dikatakan tak-hingga. A dikatakan terhitung (countable) jika A hingga, atau jika elemen-elemen pada A dapat disusun dalam pola barisan. Dalam kasus yang terakhir ini A dikatakan terhitung tak-hingga (countably infinite). Dalam hal yang lainnya, A dikatakan tak terhitung (uncountable).

21 hingga dan prinsip pencacahan Prinsip pencacahan Kardinalitas (banyak elemen) dari himpunan A dinotasikan sebagai n(a), A, #(A), atau card(a). Jika A dan B himpunan hingga dan disjoin, maka: n(a B) = n(a) + n(b). n(a \ B) = n(a) n(a B). n(a ) = n(u) n(a).

22 hingga dan prinsip pencacahan Prinsip pencacahan Jika A dan B himpunan hingga dan tidak disjoin, maka: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B). Prinsip di atas di sebut sebagai Prinsip inklusi-eksklusi.

23 hingga dan prinsip pencacahan Prinsip pencacahan Jika A dan B himpunan hingga dan tidak disjoin, maka: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B). Prinsip di atas di sebut sebagai Prinsip inklusi-eksklusi.

24 Kelas, partisi, dan himpunan kuasa Kelas himpunan -himpunan yang memiliki beberapa kesamaan karakteristik objek membentuk sebuah kelas himpunan. Kelas himpunan pada dasarnya adalah himpunan yang beranggotakan himpunan.

25 Kelas, partisi, dan himpunan kuasa pangkat Definisi Diberikan sebuah himpunan hingga A. pangkat dari A, dinotasikan sebagai P (A), adalah sebuah himpunan yang beranggotakan semua subhimpunan dari A. Kardinalitas P (A) dinotasikan sebagai 2 A, dan diberikan oleh 2 n(a).

26 Kelas, partisi, dan himpunan kuasa pangkat Definisi Diberikan sebuah himpunan hingga A. pangkat dari A, dinotasikan sebagai P (A), adalah sebuah himpunan yang beranggotakan semua subhimpunan dari A. Kardinalitas P (A) dinotasikan sebagai 2 A, dan diberikan oleh 2 n(a).

27 Kelas, partisi, dan himpunan kuasa partisi Sebuah k-partisi dari himpunan S adalah himpunan {A 1, A 2,..., A k } di mana: A i A j =, untuk i j (A i dan A j disjoin). k i=1 A i = S