RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA
|
|
- Fanny Cahyadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB 8 RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Faktor dan Homomorfisma Ring Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan penjelasan mengenai Subring dan Ideal, mahasiswa minimal 80% dapat : a. Menentukan apakan suatu Ring merupakan Ring Faktor b. Menentukan apakan suatu Ring merupakan Homomorfisma Ring c. Menjelaskan teorema dasar dari Isomorfisma Deskripsi Singkat : Sama halnya dengan Grup Faktor dan Homomorfisma Grup, di dalam Ring juga dikenal dengan Ring Faktor dan Homomorfisma Ring. Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai Ring Faktor mempunyai sifat-sifat hampir sama dengan Grup Faktor dan Homomorfisma Ring yang mempunyai sifat-sifat hampir sama dengan Homomorfisma Grup. 118
2 8.1. Ring Faktor Pada bab 7, telah kita pelajari mengenai Ideal, yang mirip dengan Subgrup Normal dalam dalam Grup. Suatu Ring Faktor terdiri dari himpunan dari koset-koset Ring tersebut yang diantaranya adalah idealideal. Definisi 8.1 : Misalkan R adalah suatu Ring dan S adalah suatu Ideal dari R. R/S ={S + a a R} adalah Ring dengan (S + a) + (S + b) = S + (a +b) dan (S + a). (S + b) = S + (a. b). Ring semacam ini disebut Ring Faktor atau Ring Koisen. Sekarang akan kita buktikan bahwa R/S = {S + a a R} membentuk suatu Ring, yaitu dengan memperhatikan syarat-syarat dari suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner yaitu terhadap penjumlahan (+) dan terhadap perkalian (.) yang membentuk suatu Ring (R/K,+,.). Adapun syarat-syarat suatu struktur aljabar yang mempunyai dua operasi biner membentuk suatu Ring adalah sebagai berikut : 1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di R/S Misalkan a, b R dan a + b R Maka : Untuk setiap (S + a), (S + b) R/S berlaku (S + a) + (S + b) = S + (a +b) yang berarti S + (a + b) R/S Sehingga S + (a + b) R/S, tertutup terhadap penjumlahan di R/S 119
3 2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di R/S Misalkan a, b, c R maka (a + b) + c = a + (b + c) Untuk setiap (S + a), (S + b), (S + c) R/S [(S + a) + (S + b)] + (S + c) = (S + a) + [(S + b) + (S + c)] [S + (a + b)] + (S + c) = (S + a) + [S + (b + c)] S + [(a + b) + c] = S + [a + (b + c)] S + [a + (b +c)] = S + [(a + b) + c] (S + a) + [S + (b + c)] = [S + (a + b)] + (S + c) (S + a) + [(S + b)+(s + c)] = [(S + a)+(s + b)] + (S + c) 3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) di R/S Misalkan a R maka a + e = e + a = a Untuk setiap (S + a) R/S (S + 0) + (S + a) = S + (0 + a) = S + a (S + a) + (S + 0) = S + (a + 0) = S + a (S + 0) + (S + a) = (S + a) + (S + 0) = S + a 4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) di R/S Misalkan a R maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0 Untuk setiap (S + a) R/S (S + a) + (S + (-a)) = S + (a + (-a)) = S + 0 = S (S + (-a)) + (S + a) = S + ((-a) + a) = S + 0 = S (S + a) + (S + (-a)) = (S + (-a)) + (S + a) = S + 0 = S 120
4 5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) di R/S Misalkan a,b R maka a + b = b + a Untuk setiap (S + a), (S + b) R/S (S + a)+(s + b) = (S + b) + (S + a) S + (a + b) = S + (b + a) S + (b + a) = S + (a + b) (S + b) + (S + a) = (S + a)+(s + b) 6. Tertutup terhadap perkalian (.) di R/S Misalkan a, b R dan a. b R Maka : Untuk setiap (S + a), (S + b) R/S berlaku (S + a). (S + b) = S + (a. b) yang berarti S + (a. b) R/S Sehingga S + (a. b) R/S, tertutup terhadap perkalian di R/S 7. Assosiatif terhadap perkalian (.) di R/S Misalkan a, b, c R maka (a. b). c = a. (b. c) Untuk setiap (S + a), (S + b), (S + c) R/S [(S + a). (S + b)]. (S + c) = (S + a). [(S + b). (S + c)] [S + (a. b)]. (S + c) = (S + a). [S + (b. c)] S + [(a. b). c] = S + [a. (b. c)] S + [a. (b. c)] = S + [(a. b). c] (S + a). [S + (b. c)] = [S + (a. b)]. (S + c) (S + a). [(S + b). (S + c)] = [(S + a). (S + b)]. (S + c) 121
5 8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.) di R/S Misalkan a R maka a. e = e. a = a Untuk setiap (S + a) R/S (S + 1). (S + a) = S + (1. a) = S + a (S + a). (S + 1) = S + (a. 1) = S + a (S + 1). (S + a) = (S + a). (S + 1) = S + a 9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) di R/S Misalkan a, b, c R maka a. (b + c) = (a. b) + (a. c) dan (a + b). c = (a. c) + (b. c) Untuk setiap (S + a), (S + b), (S + c) R/S (S + a). [(S + b) + (S + c)] = [(S+a).(S+b)] + [(S+a).(S+c)] (S + a). [S + (b + c)] = [S + (a. b)] + [S + (a. c)] S + [a. (b + c)] = S + [(a. b) + (a. c)] S + [(a. b) + (a. c)] = S + [a. (b + c)] [S + (a. b)] + [S + (a. c)] = S + a). [S + (b + c)] [(S+a).(S+b)] + [(S+a).(S+c)] = (S + a). [(S + b) + (S + c)] dan [(S + a) + (S + b)]. (S + c) = [(S+a).(S+c)] + [(S+b).(S+c)] [S + (a + b)]. (S + c) = [S + (a. c)] + [S + (b. c)] S + [(a +b). c] = S + [(a. c) + (b. c)] S + [(a. c) + (b. c)] = S + [(a +b). c] [S + (a. c)] + [S + (b. c)] = [S + (a + b)]. (S + c) [(S+a).(S+c)] + [(S+b).(S+c)] = [(S + a) + (S + b)]. (S + c) 122
6 Dengan kata lain, misalkan R adalah suatu Ring dan S adalah suatu Ideal dari R, maka R/S disebut Ring Faktor jika : 1. (R/S,+) merupakan suatu Grup Komutatif 2. (R/S,.) merupakan suatu Semigrup/Monoid 3. (R/S,+,.) merupakan distributif perkalian terhadap penjumlahan Contoh 8.1 : Bila K = {0, 2, 4} adalah suatu Ideal yang dibangun oleh 2 dalam Z 6. Tunjukan Z 6 /K adalah merupakan Ring Faktor. Penyelesaian : Ada dua koset / Ideal dari Ring Z 6, yaitu : K = {0, 2, 4} K + 1 = {1, 3, 5} Sehingga Z 6 /K = {K, K + 1} Tabel 8.1. Daftar Cayley (Z 6 /K = Z 6 /{0, 2, 4}, +) dan (Z 6 /K = Z 6 /{0, 2, 4},.) + K K + 1. K K + 1 K K K +1 K K K K + 1 K + 1 K K + 1 K K + 1 Tabel 8.1. menunjukan penjumlah dan perkalian unsur-unsur dari Z 6 /K. Selanjutnya dari tabel, kita akan membuktikan bahw Z 6 /K dengan syaratsyarat suatu Ring merupakan Ring Faktor dari Z 6 /K. Adapun syaratsyaratnya sebagai berikut : 123
7 1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di Z 6 /K K, K + 1 Z 6 /K berlaku K + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1 Sehingga K + 1 Z 6 /K 2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di Z 6 /K K, K + 1 Z 6 /K [K + (K + 1)] + (K + 1) = K + [(K + 1) + (K + 1)] [K + (0 + 1)] + (K + 1) = K + [K + (1 + 1)] (K + 1) + (K + 1) = K + (K + 0) K + (1 + 1) = K + (0 + 0) K = K Sehingga [K + (K + 1)] + (K + 1) = K + [(K + 1) + (K + 1)] = K 3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) di Z 6 /K K + 1 Z 6 /K (K + 0) + (K + 1) = K + (0 + 1) = K + 1 (K + 1) + (K + 0) = K + (1 + 0) = K + 1 Sehingga (K + 0) + (K + 1) = (K + 1) + (K + 0) = K Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) di Z 6 /K K + 1 Z 6 /K (K + 1) + (K + (-1)) = K + (1 + (-1)) = K + 0 = K (K + (-1)) + (K + 1) = K + ((-1) + 1) = K + 0 = K Sehingga (K + 1) + (K + (-1)) = (K + (-1)) + (K + 1) = K + 0 = K 5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) di Z 6 /K K, K + 1 Z 6 /K K + (K + 1) = (K + 1) + K K + (0 + 1) = K + (1 + 0) K + 1 = K + 1 Sehingga K + (K + 1) = (K + 1) + K = K
8 6. Tertutup terhadap perkalian (.) di Z 6 /K K, K + 1 Z 6 /K berlaku K. (K + 1) = K + (0. 1) = K + 0 = K Sehingga K Z 6 /K 7. Assosiatif terhadap perkalian (.) di Z 6 /K K, K + 1 Z 6 /K [K. (K + 1)]. (K + 1) = K. [(K + 1). (K + 1)] [K + (0. 1)]. (K + 1) = K. [K + (1. 1)] (K + 0). (K + 1) = K. (K + 1) K + (0. 1) = K + (0. 1) K = K Sehingga [K. (K + 1)]. (K + 1) = K. [(K + 1). (K + 1)] = K 8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.) di Z 6 /K K Z 6 /K (K + 1). K = K + (1. 0) = K + 0 = K K. (K + 1) = K + (0. 1) = K + 0 = K Sehingga (K + 1) + K = K + (K + 1) = K + 0 = K 9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) di Z 6 /K K, K + 1 Z 6 /K Misalkan a = K, b = K + 1 dan c = K + 1 a. (b + c) = (a. b) + (a. c) K. [(K + 1) + (K + 1)] = [K. (K + 1)] + [K. (K + 1)] K. [K + (1 + 1)] = [K + (0. 1)] + [K + (0. 1)] K + [0. (1 + 1)] = K + [(0. 1) + (0. 1)] K + (0. 0) = K + (0 + 0) K = K Sehingga K. [(K + 1) + (K + 1)] = [K. (K + 1)] + [K. (K + 1)] = K Jadi, Z 6 /K = {K, K + 1} adalah merupakan suatu Ring Faktor 125
9 Sebenarnya dari tabel juga kita telah bisa mengetahui bahwa Z 6 /K adalah merupakan Ring Faktor, karena hasil dari penjumlahan dan perkalian unsur-unsur Z 6 /K menghasilkan unsur-unsur itu sendiri. Jadi bila K adalah suatu Ideal dan R adalah suatu Ring, maka kita dapat menentukan Ring Faktor dari R/K dengan membuat tabel daftar Cayley terhadap penjumlahan dan perkalian unsur-unsur dari R/K, yang disebut tabel Ring Faktor dari R/K Homomorfisma Ring Pada bab 4, telah kita pelajari mengenai Homomorfisma Grup yaitu suatu pemetaan dari Grup G ke Grup G yang mengawetkan operasi yang ada pada Grup tersebut. Sama halnya dengan Grup, pada Ring juga ada pemetaan dari Ring R ke Ring R yang mengawetkan kedua operasi yang ada dalam Ring tersebut, yang disebut dengan Homomorfisma Ring. Definisi 8.2 : Suatu pemetaan f dari Ring (R,+,.) ke Ring (R,, ) disebut suatu Homomorfisma Ring bila a, b R berlaku : 1. f(a + b) = f(a) f(b) 2. f(a. b) = f(a) f(b) Dalam suatu Ring telah kita ketahui operasi biner yang ada pada umumnya adalah operasi penjumlahan dan operasi perkalian, sehingga biar tidak menimbulkan keraguan maka definisi tersebut dapat kita tuliskan sebagi berikut : 126
10 Definisi 8.3 : Suatu pemetaan f dari Ring R ke Ring R disebut suatu Homomorfisma Ring bila a, b R berlaku : 1. f(a + b) = f(a) + f(b) 2. f(a. b) = f(a). f(b) Ada beberapa definisi khusus mengenai Homomorfisma Ring adalah sebagai berikut : Definisi 8.4 : a. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat injektif (1 1) disebut dengan Monomorfisma Ring. b. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat surjektif (pada) disebut dengan Epimorfisma Ring. c. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat bijektif, yaitu bersifat injektif (1 1) dan surjektif (pada), disebut dengan Isomorfisma Ring. Definisi 8.5 : Suatu Homomorfisma dari suatu Ring ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu Endomorfisma dan suatu Endomorfisma yang bijektif dinamakan Automorfisma. Contoh 8.2 : Tunjukan apakah f : Z R dengan f(a) = a adalah suatu Homomorfisma Ring. Penyelesaian : Akan kita buktikan bahwa a, b R berlaku : 1. f(a + b) = f(a) + f(b) 2. f(a. b) = f(a). f(b) 127
11 1. f(a + b) = f(a) + f(b), a, b R (a + b) = (a) + (b) a + a = a + b 2. f(a. b) = f(a). f(b), a, b R (a. b) = (a). (b) a. b = a. b Dikarenakan untuk f(a + b) = f(a) + f(b) dan f(a. b) = f(a). f(b) maka f : Z R untuk f(a) = a adalah merupakan suatu Homomorfisma Ring. Contoh 8.3 : Tunjukan apakah f : Z R dengan f(a) = 2a adalah suatu Homomorfisma Ring. Penyelesaian : Akan kita buktikan bahwa a, b R berlaku : 1. f(a + b) = f(a) + f(b) 2. f(a. b) = f(a). f(b) 1. f(a + b) = f(a) + f(b), a, b R 2(a + b) = 2a + 2b 2(a + b) = 2(a + b) a + b = a + b 2. f(a. x) = f(a). f(b), a, x R 2ab = 2a. 2b 2ab 4ab Dikarenakan untuk f(a. b) f(a). f(b) maka f : Z R untuk f(a) = 2a bukan merupakan Homomorfisma Ring. 128
12 Teorema 8.1 : Misalkan R adalah suatu Ring dan R juga merupakan suatu Ring. Bila pemetaan f : R R adalah suatu Homomorfisma Ring, maka : 1. f(0) = 0, dengan 0 merupakan unsur nol di R dan 0 merupakan unsur nol di R 2. f(-a) = -f(a), a R Bukti : 1. f(0) = 0, dengan 0 merupakan unsur nol di R dan 0 merupakan unsur nol di R Ambil sebarang nilai a R 0 merupakan unsur nol di R, yang berarti a + 0 = 0+ a = a f(a) = f(a + 0) = f(a) + f(0) dan f(a) = f(0 + a) = f(0) + f(a) Maka : f(a) = f(a) + f(0) = f(0) + f(a) Ini berarti bahwa f(0) merupakan unsur nol di R. Karena unsur nol di R adalah 0 maka dengan sifat ketunggalan unsur nol didapat f(0) = f(-a) = -f(a), a R Ambil sebarang nilai a R Karena ada a R, maka ada -a R yang berarti a + (-a) = (-a) + a = 0 f(0) = f(a + (-a)) = f(a) + f(-a) dan f(0) = f((-a) + a) = f(-a) + f(a) 129
13 Maka : f(0) = f(a) + f(-a) = f(-a) + f(a) Dari pembuktian f(0) = 0, didapat : f(a) + f(-a) = f(-a) + f(a) = f(0) = 0 Dengan sifat ketunggalan dari unsur balikan atau invers, maka f(-a) = -f(a). Definisi 8.6 : Kernel (Inti) dari suatu Homomorfisma Ring f adalah {a R f(a) = 0 }, biasa ditulis K = {a R f(a) = 0}. Pada sub pokok bahasan berikut akan dibicarakan mengenai teorema yang cukup penting dalam Homomorfisma Ring, yaitu teorema dasar Isomomorfisma Teorema Dasar Isomorfisma Misalkan terdapat dua Ring R dan R. Ring R dan R dikatakan Isomorfik jika terdapat suatu Isomorfisma dari R ke R atau sebaliknya terdapat suatu Isomorfisma dari R ke R. Terdapat tiga teorema dasar mengenai Isomorfisma Ring yang akan dijelaskan dalam sub pokok bahasan ini. Teorema berikut disebut sebagai teorema pertama untuk Isomorfisma Ring. Teorema 8.2 : (Teorema pertama Isomorfisma) Misalkan R dan R adalah suatu Ring. Bila µ adalah suatu Homomorfisma dari R pada R dengan kernel K, maka R R/K. 130
14 Bukti : Misalkan τ : R/K R, maka τ(k + a) = µ(a) a. Akan ditunjukan bahwa τ merupakan suatu pemetaan Misalkan K + a = K + b, dimana K + a, K + b R/K Maka τ(k + a) = µ(a) dan τ(k + b) = µ(b) Jika µ adalah Homomorfisma maka µ(a b) = µ(a) µ(b) K + a = K + b, berarti juga a b K µ(a b ) = 0 µ(a) µ(b) = 0 µ(a) = µ(b) τ(k + a) = τ(k +b) Jadi τ merupakan suatu pemetaan b. Akan ditunjukan bahwa τ merupakan suatu Homomorfisma τ[(k + a) + (K + b)]= τ(k + (a + b)) = µ(a + b) = µ(a) + µ(b) = τ(k + a) + τ(k + b) dan τ[(k + a). (K + b)] = τ(k + (a. b)) = µ(a. b) = µ(a). µ(b) = τ(k + a). τ(k + b) Jadi τ merupakan suatu Homomorfisma c. Akan ditunjukan bahwa τ bersifat injektif (1 1) Misalkan µ(a) = µ(b) K + a = K +b µ(a) = µ(b) µ(a) + µ(b) = 0 µ(a + b) = 0 131
15 Itu berarti a b K, sehingga K + a = K + b Jadi τ bersifat Injektif (1 1) d. Akan ditunjukan bahwa τ bersifat surjektif (pada) Misalkan b R, berarti b = µ(a) untuk suatu a R Diketahui a R dan f : R R/K, berarti a dipetakan ke K + a R/K Kita pilih c = K + a R/K, sehingga τ(c) = τ(k + a) = µ(a) = b R Jadi τ bersifat surjektif (pada) Terbukti terdapat Isomorfisma dari R/K ke R R R/K atau R/K R Teorema berikut ini disebut sebagai teorema kedua dari Isomorfisma Ring. Teorema 8.3 : (Teorema kedua Isomorfisma) Misalkan R dan R adalah suatu Ring dan µ adalah Homomorfisma dari R pada R dengan kernel K. Bila S adalah suatu Ideal dari R dan S adalah suatu Ideal dari R, maka S/K S untuk S = {a R µ(a) S }. Bukti : Untuk membuktikan teorema ini, maka terlebih dahulu perlu kita buktikan bahwa S adalah merupakan Ideal dari R. Dari definisi Ideal diperoleh : a. S φ, maka terdapat 0 R, sehingga µ(0) = 0 dan 0 S b. S merupakan himpunan bagian dari R, sehingga S R c. Misalkan a, b S Sehingga diperoleh a R, µ(a) S dan b R, µ(b) S Jika a + b R, maka µ(a + b) = µ(a) + µ(b) S d. Misalkan a S dan r R Untuk Ideal Kiri 132
16 Misalkan a R dan r R µ(ra) = µ(r). µ(a) Sehingga µ(a) S dan µ(r) R Karena S merupakan Ideal R, maka diperoleh µ(ra) = µ(r). µ(a) Jadi ra S, sehingga S merupakan Ideal kiri di R Untuk Ideal Kanan Misalkan a R dan r R µ(ar) = µ(a). µ(r) Sehingga µ(a) S dan µ(r) R Karena S merupakan Ideal R, maka diperoleh µ(ar) = µ(a). µ(r) Jadi ar S, sehingga S merupakan Ideal kanan di R Maka dapat disimpulkan bahwa S adalah Ideal di R Berikutnya akan ditunjukan bahwa K S Misalkan k K dan µ(k) = 0 S Sehingga k S, yang berarti k K, k K k S. Dapat disimpulkan K S Jadi pemetaan µ yang dibatasi pada S mendefinisikan suatu Homomorfisma dari S ke S dengan kernel K. Sehingga berdasarkan teorema pertama Isomorfisma, terbukti bahwa terdapat Isomorfisma dari S/K ke S. S S/K atau S/K S Teorema berikut ini disebut sebagai teorema ketiga dari Isomorfisma Ring. Teorema 8.4 : (Teorema ketiga Isomorfisma) Misalkan R dan R adalah suatu Ring dan µ adalah Homomorfisma dari R pada R dengan kernel K. Bila S adalah suatu Ideal dari R dan S adalah 133
17 suatu Ideal dari R, maka R/S R /S untuk S = {a R µ(a) S }. Secara ekuivalen, bila K suatu Ideal dari R dan K S adalah suatu Ideal dari R,maka R/S (R/K) / (S/K). Bukti : Misalkan τ : a µ(a) + S atau τ(a) R /S, mendefinisikan pemetaan τ : R R /S a. Akan ditunjukan bahwa τ merupakan suatu Homomorfisma Misalkan a, b R Sehingga diperoleh τ(a) = µ(a) + S dan τ(b) = µ(b) + S τ(a + b) = µ(a + b) + S = (µ(a) + µ(b)) + S = (µ(a) + S ) + (µ(b) + S ) = τ(a) + τ(b) dan τ(a. b) = µ(a. b) + S = (µ(a). µ(b)) + S = (µ(a) + S ). (µ(b) + S ) = τ(a). τ(b) Jadi a, b R berlaku τ(a + b) = τ(a) + τ(b) dan τ(a.b) = τ(a). τ(b), yang berarti τ merupakan suatu Homomorfisma b. Akan ditunjukan bahwa τ bersifat surjektif (pada) Ambil x R /S Misalkan x = a + S, a R Jika µ pemetaan pada, berarti a R sehingga µ(a) = a Maka diperoleh x = µ(a) + S Pilih a R sehingga τ(a) = µ(a) + S = x Jadi x R /S, a R sehingga τ(a) = x. Dengan kata lain, τ bersifat surjektif (pada) 134
18 c. Akan ditunjukan bahwa S = K Ambil a Ker(τ) R Diperoleh τ(a) = S, padahal τ(a) = µ(a) + S Jadi µ(a) + S = S Karena S Grup bagian aditif dari R diperoleh µ(a) S Berdasarkan definisi Ideal, diperoleh a S Jadi a Ker(τ) a S Dengan kata lain, Ker(τ) S Ambil a S, berarti a R dan µ(a) S Diperoleh τ(a) = µ(a) + S = S, sebab µ(a) S Sehingga a K, yang berarti S K Dari dapat disimpulkan bahwa S =K Diperoleh τ : R R /S Homomorfisma surjektif (pada) dengan kernel K = S. Berdasarkan teorema kedua Isomorfisma, diperoleh R/S R /S. Padahal R R/K dan S S/K Sehingga terbukti terdapat Isomorfisma dari R /S ke R/S R /S R/S (R/K)/(S/K) 8.4. Rangkuman 1. Misalkan R adalah suatu Ring dan S adalah suatu Ideal dari R. R/S ={S + a a R} adalah suatu Ring Faktor atau Ring Koisen dengan : (S + a) + (S + b) = S + (a +b) dan (S + a). (S + b) = S + (a. b) 135
19 2. Suatu pemetaan f dari Ring R ke Ring R disebut suatu Homomorfisma Ring bila a, b R berlaku : f(a + b) = f(a) + f(b) f(a. b) = f(a). f(b) 3. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat injektif (1 1) disebut dengan Monomorfisma Ring. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat surjektif (pada) disebut dengan Epimorfisma Ring. Suatu Homomorfisma Ring yang bersifat bijektif, yaitu bersifat injektif (1 1) dan surjektif (pada), disebut dengan Isomorfisma Ring. 4. Suatu Homomorfisma dari suatu Ring ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu Endomorfisma dan suatu Endomorfisma yang bijektif dinamakan Automorfisma. 5. Misalkan R dan R merupakan suatu Ring. Bila pemetaan f : R R adalah suatu Homomorfisma Ring, maka : f(0) = 0, dengan 0 merupakan unsur nol di R dan 0 merupakan unsur nol di R f(-a) = -f(a), a R 6. Misalkan R dan R adalah suatu Ring. Bila µ adalah suatu Homomorfisma dari R pada R dengan kernel K,maka R R/K. 7. Misalkan R dan R adalah suatu Ring dan µ adalah Homomorfisma dari R pada R dengan kernel K. Bila S adalah suatu Ideal dari R dan S adalah suatu Ideal dari R, maka S/K S untuk S = {a R µ(a) S }. 136
20 8. Misalkan R dan R adalah suatu Ring dan µ adalah Homomorfisma dari R pada R dengan kernel K. Bila S adalah suatu Ideal dari R dan S adalah suatu Ideal dari R, maka R/S R /S untuk S = {a R µ(a) S }. Secara ekuivalen, bila K suatu Ideal dari R dan K S adalah suatu Ideal dari R,maka R/S (R/K) / (S/K) Soal-soal Latihan 1. Misalkan K adalah ideal-ideal yang dibangun oleh Z 4. Carilah ideal-ideal yang dibangun tersebut dan tunjukan Z 4 /K adalah merupakan Ring Faktor 2. Carilah K yang merupakan suatu Ideal yang dibangun oleh 2 dalam Z 8. Tunjukan Z 8 /K adalah merupakan Ring Faktor. 3. Berikut ini diberikan pemetaan-pemetaan, yang mana dari pemetaanpemetaan tersebut merupakan Homomorfisma. f : Z Z, dengan f(a) = 4a f : Z Z, dengan f(a) = a 3 f : Z 6 Z 3, dengan f(a) = a + 1 f : Z R, dengan f(a) = 2 a 4. Tunjukan apakah Z 2 X Z 3 merupakan Isomorfisma dengan Z 6, sehingga Z 2 X Z 3 Z 6 5. Tunjukan bila R, R dan R adalah merupakan suatu ring-ring dan bila g : R R dan f : R R adalah merupakan suatu homomorfismahomomorfisma, maka pemetaan komposisi f o g : R R adalah juga merupakan Homomorfisma. 137
BAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Ada beberapa materi yang terdapat pada aljabar abstrak, salah satu materi tersebut adalah modul. Untuk membahas pengertian tentang suatu modul harus dimengerti lebih
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciIDEAL DIFERENSIAL DAN HOMOMORFISMA DIFERENSIAL. Na imah Hijriati, Saman Abdurrahman, Thresye
DEAL DFEENSAL DAN HOMOMOFSMA DFEENSAL Na imah Hijriati, Saman Abdurrahman, Thresye Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat l. end. A. Yani Km. 36 Kampus Unlam Banjarbaru Email : imah_math@yahoo.co.id
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi suatu Ring merupakan Sub Ring dan Ideal
BAB 7 SUBRING DAN IDEAL Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi suatu Ring merupakan Sub Ring dan Ideal Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.
STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan
Lebih terperinciKeberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar
PRISMA 1 (2018) https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar Mashuri, Kristina Wijayanti, Rahayu Budhiati Veronica, Isnarto Jurusan Matenmatika FMIPA
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Dalam bab ini akan didiskusikan unsur tak terdefinisi, aksioma-aksioma, istilahistilah,
3 II. LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan didiskusikan unsur tak terdefinisi, aksioma-aksioma, istilahistilah, definisi-definisi dan teorema-teorema yang berhubungan dengan penelitian ini. 2.1 Geometri Insidensi
Lebih terperinciBAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional
Lebih terperinciGRUP SIKLIK, GRUP PERMUTASI, HOMOMORFISMA
GRUP SIKLIK, GRUP PERMUTASI, HOMOMORFISMA Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Grup Siklik, Grup Permutasi dan Homomorfisma
Lebih terperinciAljabar Linier. Kuliah
Aljabar Linier Kuliah 10 11 12 Materi Kuliah Transformasi Linier Kernel dan Image dari Transformasi Linier isomorfisma Teorema Rank plus Nullity 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 2 Transformasi Linier
Lebih terperinciJurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No. 2 Desember 2010: IDEAL MAKSIMAL DAN IDEAL PRIMA NEAR-RING
IDEAL MAKSIMAL DAN IDEAL PRIMA NEAR-RING Saman Abdurrahman Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 35, 8 Banjarbaru ABSTRAK Penelitian ini membahas ideal near-ring yang
Lebih terperinciPENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017
PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciTeorema-Teorema Utama Isomorphisma pada Near-Ring
urnal Gradien Vol 11 o 2 uli 2015 : 1112-1116 Teorema-Teorema Utama somorphisma pada ear-ring Zulfia Memi Mayasari, Yulian Fauzi, Ulfasari Rafflesia urusan Matematika, Fakultas Matematika dan lmu Pengetahuan
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field.
STRUKTUR ALJABAR II Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field RING (GELANGGANG) Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan
Lebih terperinciSOAL DAN PENYELESAIAN RING
SOAL DAN PENYELESAIAN RING 1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. Jawaban:
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciTEORI HEMIRING ABSTRAK
TEORI HEMIRING Mahasiswa S1 Program Studi Matematika, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Diponegoro Jl Prof H Soedarto, SH, Semarang Indonesia 50275 email :tri_matematika@yahoocom
Lebih terperinciSILLABUS PENILAIAN JENIS. SOAL Tes Tulis Uraian 4x50 David SD & Richard MF (1991) Abstract Algebra. Prentice Hall, Inc. Herstein, I.
SILLABUS Mata Kuliah : & Ring Fakultas /Jurusan : FTIK /TMT Semester : 4 & 5 SKS : 3 & 3 Standar Kompetensi : Mahasiswa mampu memahami fungsi & operasi, grup & subgroup, grup permutasi, order grup, grup
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. aljabar merupakan suatu himpunan beserta dengan operasi-operasi pada himpunan
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem dan Struktur Aljabar Menurut Jong Jek Siang, 2002:436 (seperti dikutip Manik, 2011:2), sistem aljabar merupakan suatu himpunan beserta dengan operasi-operasi pada himpunan
Lebih terperinciTeorema Jacobson Density
Teorema Jacobson Density Budi Santoso 1, Fitriani 2, Ahmad Faisol 3 Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia 1,2,3 E-mail: budi.klik@gmail.com Abstrak. Misalkan adalah ring (tidak harus
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT LANJUT NEUTROSOFIK MODUL. Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 50275
SIFAT-SIFAT LANJUT NEUTROSOFIK MODUL 1 Suryoto, 2 Bambang Irawanto, 3 Nikken Prima Puspita 1, 2, 3 Departemen Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, SH,
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup, ring, dan modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2.1 Ring Sebelum didefinisikan pengertian
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN II HOMOMORPHISMA MODUL Direncanakan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif);
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciI RING DAN LAPANGAN (RING AND FIELDS)
Teori Ring Definisi dan Beberapa Contoh Ring I RING DAN LAPANGAN (RING AND FIELDS) Pada teori group, kita hanya mengenal satu operasi, yang dalam struktur aljabar hanya mengenal satu operasi pada sembarang
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis sebagai landasan teori dalam penelitian ini yaitu teori bilangan, bilangan bulat modulo?, struktur aljabar dan masalah logaritma
Lebih terperinci1 P E N D A H U L U A N
1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciSEMIGRUP BEBAS DAN MONOID BEBAS PADA HIMPUNAN WORD. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Univeritas Riau Kampus Bina Widya Indonesia
SEMIGRUP BEBS DN MONOID BEBS PD HIMPUNN WORD Novia Yumitha Sarie, Sri Gemawati, Rolan Pane Mahasiswa Program S Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan lam Univeritas
Lebih terperinciKriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian
Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian Rio Yohanes 1, Nora Hariadi 2, Kiki Ariyanti Sugeng 3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia rio.yohanes@sci.ui.ac.id,
Lebih terperinciPERLUASAN DARI RING REGULAR
PERLUASAN DARI RING REGULAR Devi Anastasia Shinta 1, YD. Sumanto 2, Djuwandi 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H., Tembalang, Semarang fue_anastasia@yahoo.com
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciBab 3 Gelanggang Polinom Miring
Bab 3 Gelanggang Polinom Miring Dalam bab ini akan dibahas mengenai Gelanggang Poliom Miring mulai dengan bentuk yang sederhana (satu variabel) sampai ke bentuk yang lebih kompleks (banyak variabel) berikut
Lebih terperinciHOMOMORFISMA. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
HOMOMORFISMA Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com May 19, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Homomorfisma 3 3 Sifat-sifat Homomorfisma
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid
BAB 2 SEMIGRUP DAN MONOID Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid Tujuan Instruksional Khusus : Setelah
Lebih terperinciAljabar Linier. Kuliah
Aljabar Linier Kuliah 13 14 15 Materi Kuliah Transformasi Linier dari F n ke F m Perubahan Matriks Basis Matriks dari Transformasi Linier Perubahan Basis untuk Transformasi Linier Matriks-matriks Ekivalen
Lebih terperinciBAB 2 KONSEP DASAR 2.1 HIMPUNAN DAN FUNGSI
BAB 2 KONSEP DASAR Pada bab 2 ini, penulis akan memperkenalkan himpunan, fungsi dan sejumlah konsep awal yang terkait dengan semigrup, dimana sebagian besar akan sangat diperlukan hingga bagian akhir dari
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciPENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING
Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciHASIL KALI TENSOR: KONSTRUKSI, EKSISTENSI DAN KAITANNYA DENGAN BARISAN EKSAK
HASIL KALI TENSO: KONSTUKSI, EKSISTENSI AN KAITANNYA ENGAN BAISAN EKSAK Samsul Arifin samsul_arifin@mail.ugm.ac.id Mahasiswa S Matematika FMIPA UGM alam tulisan ini akan dibahas mengenai konstruksi hasil
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan
II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan beberapa contoh. Berikut ini
Lebih terperinciJurusan Pendidikan Matematika
DESKRIPSI MATA KULIAH : STRUKTUR ALJABAR I KODE MK : MT 400 Mata kuliah ini dimaksudkan agar mahasiswa memahami konsep-konsep struktur aljabar (aljabar modern). Materinya mencakup: aljabar himpunan, pemetaan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. struktur aljabar yaitu suatu himpunan tak hampa yang dilengkapi dengan suatu
BAB 2 LANDASAN TEORI 2. Struktur Aljabar 2.. Definisi Struktur Aljabar Menurut Dr. Kusno Kromodihardjo (988), yang dimaksud dengan suatu struktur aljabar yaitu suatu himpunan tak hampa yang dilengkapi
Lebih terperinciSILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN
SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN 1. Mata Kuliah / Kode : Struktur Aljabar/PMK 719 2. Jumlah SKS : 4 SKS 3. Jurusan / Program Studi : TMIPA / Tadris Matematika 4. Tujuan
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya
STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciGRUP HOMOLOGI DARI RUANG TOPOLOGI. Denik Agustito 1, Sriwahyuni 2
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009 GRUP HOMOLOGI DARI RUANG TOPOLOGI Denik Agustito 1, Sriwahyuni 2 Mahasiswa
Lebih terperinciR maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit
BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat
Lebih terperinciDESKRIPSI MATA KULIAH : STRUKTUR ALJABAR I
DESKRIPSI MATA KULIAH : STRUKTUR ALJABAR I (MAA523/3 SKS) Mata kuliah ini dimaksudkan agar mahasiswa memahami konsep-konsep struktur aljabar (aljabar modern). Materinya mencakup: aljabar himpunan, pemetaan
Lebih terperinciBAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI PROGRAM. pengujian struktur aljabar, yaitu implementasi sistem tersebut dan juga evaluasi dari
BAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI PROGRAM Pada bab 4 ini akan dijelaskan mengenai hasil dari rancangan program aplikasi pengujian struktur aljabar, yaitu implementasi sistem tersebut dan juga evaluasi dari
Lebih terperinciUNNES Journal of Mathematics
UJM 6 (1) 2017 UNNES Journal of Mathematics http://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/ujm STRUKTUR DAN SIFAT-SIFAT K-ALJABAR Deni Nugroho, Rahayu Budhiati Veronica, dan Mashuri Jurusan Matematika, FMIPA,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai latar belakang masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian serta sistematika penulisan dari skripsi
Lebih terperinciLAPORAN PENELITIAN KOMPETITIF TAHUN ANGGARAN 2017 KARAKTERISASI MODUL TIDAK TERDEKOMPOSISI ATAS DAERAH DEDEKIND
LAPORAN PENELITIAN KOMPETITIF TAHUN ANGGARAN 2017 KARAKTERISASI MODUL TIDAK TERDEKOMPOSISI ATAS DAERAH DEDEKIND Nomor DIPA : DIPA BLU: DIPA-025.04.2.423812/2016 Tanggal : 7 Desember 2017 Satker : (423812)
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciFUNGTOR KONTRAVARIAN DAN KATEGORI ABELIAN
FUNGTOR KONTRAVARIAN DAN KATEGORI ABELIAN Agus Suryanto, Nikken Prima Puspita, Robertus Heri S. U. Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Diponegoro Jalan Prof. H. Soedarto, SH. Tembalang
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716
MATEMATIKA DASAR PENDIDIKAN BIOLOGI UPI 0LEH: UPI 0716 N0 TOPIK FUNGSI 2.1 DEFINISI FUNGSI 2.2 DAERAH DEFINISI DAN DAERAH HASIL 2.3 JENIS-JENIS FUNGSI 2.4 OPERASI ALJABAR FUNGSI 2.5 FUNGSI GENAP, GANJIL,
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG DAN DARAP LANGSUNG DUA MODUL. (Skripsi) Oleh ALI ABDUL JABAR
ISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG DAN DARAP LANGSUNG DUA MODUL Skripsi Oleh ALI ABDUL JABAR FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2017 ABSTRAK ISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS
STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi teorema sifat-sifat yang berhubungan dengan teori bilangan integer modulo aljabar abstrak masalah logaritma diskret
Lebih terperinciSILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN
SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN 1. Mata Kuliah / Kode : Struktur Aljabar/PMK 719 2. Jumlah SKS : 3 SKS 3. Jurusan / Program Studi : PMIPA / Pendidikan Matematika 4.
Lebih terperinciKLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring
Jurnal Barekeng Vol 8 No Hal 33 39 (14) KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring ELVINUS RICHARD PERSULESSY Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Pattimura Jl Ir M Putuhena, Kampus Unpatti,
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 GRAF TOTAL SUATU MODUL BERDASARKAN SUBMODUL SINGULER Dian Ambarsari (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu
II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciBAB I Ring dan Ring Bagian
BAB I Ring dan Ring Bagian Sistem bilangan yang telah dikenal seperti bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan kompleks mempunyai dua operasi yang didefinisikan padanya yaitu penjumlahan dan pergandaan.
Lebih terperinciRencana Perkuliahan. Kelas : A, B, C, D. SKS/JS : 3/3 : Yus Mochamad Cholily
Rencana Perkuliahan Jurusan : Matematika Mata Kuliah : Struktur Aljabar Semester : IV (empat) Kelas : A, B, C, D. SKS/JS : 3/3 Pengajar : Yus Mochamad Cholily 1. Pendahuluan. Struktur Aljabar atau dikenal
Lebih terperinciDERET KOMPOSISI DARI SUATU MODUL
DERET KOMPOSISI DARI SUATU MODUL SKRIPSI Oleh : ANI NURHAYATI J2A 006 001 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2010
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor
BAB 5 GRUP FAKTOR Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP)
Diktat Kuliah STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Oleh : HENDRIJANTO, M.Pd FAKULTAS PENDIDIKAN MIPA IKIP PGRI MADIUN M A D I U N 2011 BAB I Pendahuluan Dasar-dasar teori berikut ini sangat penting dalam pembahasan
Lebih terperinciDiktat Kuliah STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Oleh : FEBRUL DEFILA, S.Pd
Diktat Kuliah STRUKTUR ALJABAR 1 (TEORI GRUP) Oleh : FEBRUL DEFILA, S.Pd PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) PGRI SUMATERA BARAT 2012 BAB I Pendahuluan Dasar-dasar
Lebih terperinciTUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP
TUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP KELOMPOK 8 1. I WAYAN AGUS PUTRAWAN (2008.V.1.0093) 2. I KADEK DWIJAYAPUTRA (2008.V.1.0094) 3. I KETUT DIARTA (2008.V.1.0123) 4. AGUS EKA SURYA KENCANA (2008.V.1.0043)
Lebih terperinciBAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi
BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang
Lebih terperinciKarakteristik Koproduk Grup Hingga
Jurnal Matematika Integratif ISSN 1412-6184 Vol. 9 No. 2, Oktober 2013 pp. 31-37 Karakteristik Koproduk Grup Hingga Edi Kurniadi, Stanley P.Dewanto, Alit Kartiwa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran
Lebih terperinciRING FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA SKRIPSI
RING FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
5 BAB 2 LANDASAN TEORI Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu sistem aljabar dengan satu atau lebih operasi biner yang diberlakukan pada sistem aljabar tersebut. Struktur
Lebih terperinciSUB KS-SEMIGRUP FUZZY DAN ASPEK-ASPEK YANG TERKAIT. Tessa Danty Fajriyah 1, Suryoto 2, Widowati 3
SUB KS-SEMIGRUP FUZZY DAN ASPEK-ASPEK YANG TERKAIT Tessa Danty Fajriyah 1, Suryoto 2, Widowati 3 1,2,3 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto,SH.
Lebih terperinciDEKOMPOSISI PRA A*-ALJABAR
Jurnal Matematika UNAND Vol. 1 No. 2 Hal. 13 20 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND DEKOMPOSISI PRA A*-ALJABAR RAHMIATI ABAS Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Aljabar abstrak merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika. Aljabar abstrak merupakan sistem matematika yang terdiri dari suatu himpunan yang dilengkapi oleh
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Gelanggang, Lapangan, dan Ruang Vektor Suatu himpunan tak kosong R disebut gelanggang jika di dalam R didefinisikan dua operasi, masing-masing dinotasikan dengan + dan., sedemikian
Lebih terperinciSyarat Perlu Suatu Modul Merupakan Modul Distributif Lemah dan Ring Endomorfisma dari Modul Distributif Lemah
Syarat Perlu Suatu Modul Merupakan Modul Distributif Lemah Ring Endomorfisma dari Modul Distributif Lemah Fitriani Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung Email: fitriani_mathunila@yahoocoid AbstrakMisalkan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar
Lebih terperinciGRUP NON-ABELIAN YANG ABELIAN SECARA GRAFIS SKRIPSI
GRUP NON-ABELIAN YANG ABELIAN SECARA GRAFIS SKRIPSI MICHELLE PURWAGANI PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012 i GRUP NON-ABELIAN YANG
Lebih terperinciRING STABIL BERHINGGA
RING STABIL BERHINGGA Samsul Arifin Program Studi Pendidikan Matematika, STKIP Surya, Tangerang Email: samsul.arifin@stkipsurya.ac.id ABSTRACT Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai karakteristik ring
Lebih terperinci1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan
1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen
Lebih terperinci