BILANGAN BULAT. Operasi perkalian juga bersifat tertutup pada bilangan Asli dan bilangan Cacah.

Transkripsi

1 BILANGAN BULAT 1. Bilangan Asli (Natural Number) Bilangan Asli berkaitan dengan hasil membilang, urutan, ranking. Bilangan Cacah berkaitan dengan banyaknya anggota suatu himpunan. Definisi penjumlahan: Apa arti a + b? Jika A dan B adalah dua himpunan yang saling lepas (disjoint), banyaknya anggota A adalah N(A) = a, dan banyaknya anggota B adalah N(B) = b, maka a + b = c berarti banyaknya anggota A B, atau c = n(a B). Pada bilangan Asli, operasi penjumlahan bersifat tertutup, artinya hasil penjumlahan dua bilangan Asli selalu merupakan bilangan Asli. Definisi perkalian: Apa arti a b? Jika A dan B adalah dua himpunan, banyaknya anggota A adalah N(A) = a, dan banyaknya anggota B adalah N(B) = b, maka a b = c berarti banyaknya anggota (A B) atau c = N(A B) Operasi perkalian juga bersifat tertutup pada bilangan Asli dan bilangan Cacah. 2. Pengertian Bilangan Bulat Pada bilangan cacah, operasi penjumlahan dan perkalian bersifat tertutup. Operasi pengurangan pada bilangan cacah dapat dilakukan hanya jika besar pengurangnya tidak melebihi besar bilangan yang dikurangi. Masalah timbul ketika pengurangnya lebih besar dari bilangan yang dikurangi. Tidak ada bilangan cacah c yang memenuhi 6 c 4. Pada operasi pengurangan, tidak ada bilangan cacah d yang memenuhi 4 6 d. Jadi operasi pengurangan pada bilangan cacah bersifat tidak tertutup. Untuk mengatasi hal ini diperlukan sistem bilangan lain, yang disebut bilangan bulat. Untuk setiap bilangan cacah a selain 0 (nol), diciptakan dua simbol, yaitu +a dan -a. Selanjutnya +a dinamakan positip a dan -a disebut negatip a. Dengan demikian terbentuk dua himpunan bilangan, yaitu {+1, +2, +3, +4, +5, } yang

2 disebut himpunan bilangan bulat positip dan {-1, -2, -3, -4, -5, }.yang disebut himpunan bulat negatip. Dalam penulisan selanjutnya tanda + pada bilangan bulat positip boleh tidak dicantumkan, sehingga himpunan bilangan bulat positip menjadi {1, 2, 3, 4, 5, }. Penulisan 4 misalnya, berarti +4. Gabungan himpunan bilangan cacah dan {-1, -2, -3, -4, -5, }membentuk himpunan bilangan bulat. Jadi himpunan bilangan bulat terbentuk dari himpunan bilangan cacah dan bilangan bulat negatip.jika ditulis secara tabulasi, himpunan bilangan bulat adalah sebagai berikut. {, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5, } Jika diberikan ilustrasi bilangan bulat secara konkret, maka dapat diikuti ilustrasi berikut. Seseorang yang melangkah maju 1 langkah mengilustrasikan bilangan +1. Seseorang yang melangkah maju 2 langkah mengilustrasikan bilangan +2. Seseorang yang melangkah maju 3 langkah mengilustrasikan bilangan +3. Seseorang yang melangkah maju 4 langkah mengilustrasikan bilangan +4. Dan seterusnya Seseorang yang melangkah mundur 1 langkah mengilustrasikan bilangan -1. Seseorang yang melangkah mundur 2 langkah mengilustrasikan bilangan -2. Seseorang yang melangkah mundur 3 langkah mengilustrasikan bilangan -3. Seseorang yang melangkah mundur 4 langkah mengilustrasikan bilangan -4. Dan seterusnya Himpunan bilangan bulat juga dapat dipandang sebagai gabungan himpunan semua bilangan bulat negatip, himpunan bilangan nol, dan himpunan semua bilangan bulat positip. B = B - {0} B + Himpunan bilangan cacah yang bukan nol, yaitu bilangan asli disebut juga bilangan bilangan bulat positip. Dengan demikian himpunan bilangan bulat terdiri dari: (a)

3 himpunan bilangan asli, (b) himpunan bilangan nol, dan (c) himpunan bilangan bulat negatip. Apa arti a b? a b adalah suatu bilangan x yang memenuhi b + x = a. 7 5 adalah suatu bilangan x yang memenuhi 5 + x = 7, yaitu bilangan 2. Jika bilangan a habis dibagi oleh b, apa arti a : b? a : b adalah suatu bilangan p yang memenuhi a = b p. 12 : 4 = 3 sebab 12 = 4 3. Bilangan bulat dapat digambarkan pada garis bilangan sebagai berikut dan dan dan dan dan dan dan dan Setiap penjumlahan di atas selalu menghasilkan 0 (nol). Dikatakan bahwa: (a) -2 adalah lawan (invers penjumlahan) dari 2 (b) -5 adalah lawan (invers penjumlahan) dari 5 (c) -7 adalah lawan (invers penjumlahan) dari 7 (d) 8 adalah lawan (invers penjumlahan) dari -8 (e) 3 adalah lawan (invers penjumlahan) dari -3 Lawan dari bilangan bulat positip adalah bilangan bulat negatip, sebaliknya lawan dari bilangan bulat negatip adalah bilangan bulat positip. Jarak noktah suatu bilangan bulat positip ke noktah bilangan nol sama dengan jarak noktah lawan bilangan itu ke noktah bilangan nol. Jarak -3 ke 0 sama dengan jarak dari 3 ke 0.

4 Pada bilangan bulat dikenal adanya relasi sama dengan dan relasi urutan. Jika ada dua bilangan bulat a dan b, maka berlaku salah satu di antara: (i) a = b, (ii) a < b, atau (iii) a > b. Sifat ini dinamakan sifat trikhotomi. Pada relasi sama dengan berlaku sifat refleksif, simetris, dan transitif. (1) Sifat refleksif a = a, untuk setiap a bilangan bulat. (2) Sifat Simetris Jika a = b, maka b = a, untuk sebarang bilangan bulat a dan b. (3) Sifat Transitif. Jika a = b dan b = c maka a = c. Jika a dan b adalah dua bilangan bulat yang berbeda dan pada garis bilangan posisi a di sebelah kiri posisi b maka dikatakan: (1) a kurang dari b ditulis dengan notasi a < b (2) b lebih besar dari a ditulis dengan notasi b > a Jika tidak menggunakan garis bilangan maka relasi urutan didefinisikan sebagai berikut. Bilangan bulat a dikatakan kurang dari b (atau a < b) jika dan hanya jika ada bilangan bulat positip c sehingga a c b Contoh: 4 < 7 karena ada bilangan bulat positip 3 sehingga Bilangan bulat a dikatakan lebih besar dari b (atau a > b) jika dan hanya jika b lebih kecil dari a. Pada sifat urutan bilangan bulat tidak berlaku sifat refleksif dan simetris, tetapi berlaku sifat transitif (Jika a < b dan b < c maka a < c). Jika 4 < 7 dan 7 < 12 maka 4 < Operasi pada bilangan Bulat

5 Ada tiga operasi dasar (pokok) pada bilangan bulat, yaitu penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian pada bilangan bulat bersifat tertutup, sedangkan operasi pembagian pada bilangan bulat tidak tertutup. a. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan bulat memuat bilangan cacah, berarti pengertian penjumlahan bilangan bulat non negatip sama seperti pengertian penjumlahan pada bilangan cacah. Untuk setiap a dan b bilangan bulat tak negatip, penjumlahan bilangan bulat didefinisikan sebagai berikut. (a) a b ( a b) (b) a ( b) ( a b), jika a > b (c) a ( a) 0 dan ( a) a 0 (d) a ( b) ( b a), jika a < b Sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat: (a) Tertutup Setiap a dan b bilangan bulat selalu ada bilangan bulat c sehingga a + b = c. Hasil penjumlahan dua bilangan bulat selalu merupakan bilangan bulat. (b) Komutatif (pertukaran) a + b = b + a, untuk setiap a dan b bilangan bulat. Jika dua bilangan bulat dijumlahkan maka urutan letak suku-suku penjumlahan tidak mempengaruhi hasil penjumlahan tersebut. (c) Asosiatif (pengelompokan) Jika a, b, dan c bilangan bulat maka (a + b ) + c = a + (b + c)

6 Dalam menjumlahkan bilangan-bilangan bulat, suku-suku mana-mana saja yang dijumlahkan lebih dahulu tidak akan mempengaruhi hasil penjumlahan itu. (d) Ada unsur identitas penjumlahan Ada bilangan bulat 0 (nol) yang bersifat a + 0 = 0 + a = a untuk setiap bilangan bulat a. Pada himpunan bilangan bulat terdapat bilangan 0 (nol), dan setiap bilangan bulat yang diditambah atau ditambahkan dengan 0 (nol) menghasilkan bilangan yang sama dengan bilangan itu sendiri. (e) Ada unsur invers penjumlahan Setiap a bilangan bulat selalu ada bilangan bulat b sehingga a + b = b + a = 0. Dikatakan bahwa b adalah invers penjumlahan (lawan) dari bilangan a. Biasanya lawan dari a dilambangkan dengan -a sehingga a + -a = -a + a = 0. (f) Kanselasi Jika a + d = b + d maka a = b. Jika dua bilangan bulat masing-masing ditambah dengan bilangan yang sama dan menghaslkan bilangan yang sama, maka kedua bilangan semula adalah sama. Teknik penjumlahan bilangan-bilangan bulat dapat dilakukan melalui pola bilangan. Dibuat penjumlahan-penjumlahan dua bilangan bulat yang jawaban-jawabannya berbentuk pola sehingga siswa dapat melanjutkan pola itu. Contoh:

7 Pada kelompok penjumlahan pertama dan ketiga, jika diperhatikan hasil-hasil penjumlahannya maka diperoleh pola bilangan: 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2 Pada kelompok penjumlahan kelompok kedua dan keempat, jika diperhatikan hasilhasil penjumlahannya maka diperoleh pola bilangan: 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, -6. Berdasarkan keadaan tersebut dapat disimpulkan bahwa dalam menjumlahkan dua bilangan bulat yang berbeda tanda dilakukan langkah-langkah sebagai berikut. (a) Mula-mula kedua bilangan dianggap positip (b) Pada langkah pertama tersebut dipilih bilangan yang lebih besar, tanda hasil penjumlahan mengikuti tanda bilangan yang lebih besar tersebut sesuai dengan bilangan semula sebelum dianggap positip. (c) Berdasarkan langkah pertama dihitung selisih keduanya. Selisih tersebut ditempatkan sebagai hasil penjumlahan dengan tanda mengikuti langkah kedua di atas. Penjumlahan dua bilangan bulat yang bertanda sama menyesuaikan dengan tabel berikut

8 Berdasarkan tabel di atas, dapat diperoleh sebagai berikut Selanjutnya penjumlahan dua bilangan bulat yang bertanda sama dilakukan sebagai berikut. (a) Mula-mula kedua bilangan yang akan dijumlahkan itu dianggap positip (b) Kedua bilangan yang diperoleh pada langkah pertama itu dijumlahkan. (c) Hasil pada langkah kedua itu merupakan hasil penjumlahan dengan tanda mengikuti tanda bilangan-bilangan yang dijumlahkan. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat dapat disajikan pada garis bilangan. Prinsip yang digunakan untuk memperagakan operasi-operasi tersebut adalah: (a) Bilangan positip dinyatakan dengan anak panah menghadap ke kanan. (b) Bilangan negatip dinyatakan dengan anak panah menghadap ke kiri.

9 (c) Operasi penjumlahan (+) dinyatakan dengan gerak maju (d) Operasi pengurangan ( ) dinyatakan dengan gerak mundur Penjumlahan bilangan bulat a b yang diperagakan dengan garis bilangan menggunakan prinsip sebagai berikut. (a) Bilangan positip dinyatakan dengan anak panah arah ke kanan, dan bilangan negatip dinyatakan dengan anak panah arah ke kiri. (b) Anak panah yang mewakili bilangan pertama (yaitu bilangan a) digambarkan dengan anak panah yang pangkalnya berimpit dengan posisi 0 (nol) pada garis bilangan, dan ujungnya berada pada posisi yang sesuai bilangan a. (c) Gerakan operasi dimulai dari ujung anak panah yang menyatakan bilangan a, arahnya mengikuti tanda bilangan b dan. geraknya maju. (d) Posisi setelah gerakan terakhir menyatakan hasil penjumlahan. Contoh: (a) Jadi (b) Jadi 5 3 (c) Jadi 4 2-2

10 (d) 5 ( 3) Jadi 5 ( 3) -8 Pengurangan bilangan bulat a b yang diperagakan dengan garis bilangan menggunakan prinsip sebagai berikut. (a) Bilangan positip dinyatakan dengan anak panah arah ke kanan, dan bilangan negatip dinyatakan dengan anak panah arah ke kiri. (b) Anak panah yang mewakili bilangan pertama (yaitu bilangan a) digambarkan dengan anak panah yang pangkalnya berimpit dengan posisi 0 (nol) pada garis bilangan, dan ujungnya berada pada posisi yang sesuai bilangan a. (c) Gerakan operasi dimulai dari ujung anak panah yang menyatakan bilangan a, arahnya mengikuti tanda bilangan b dan. geraknya mundur. (d) Posisi setelah gerakan terakhir menyatakan hasil pengurangan. Selanjutnya perhatikan contoh pengurangan berikut ini. (a) Jadi Bilangan pertama adalah 3, maka ujung anak panah tepat di atas poisi 3 pada garis bilangan. Bilangan kedua adalah 5 (positip) maka anak panah yang kedua menghadap ke kanan. Operasinya pengurangan, maka panah yang kedua dibuat dengan proses

11 mundur dari arah anak panah yang kedua. Posisi setelah gerakan terakhir berada pada posisi -2, berarti Berikut ini adalah contoh pengurangan bilangan bulat positip dengan bilangan bulat negatip. (b) 2 ( 4) Jadi 2 ( 4) 6. Pengurangan dengan -4 (negatip) dilakukan dengan membuat anak panah arah ke kiri dan proses pembuatannya mundur dengan start ujung anak panah pertama. Posisi setelah gerakan terakhir berada pada posisi 6, berarti 2 ( 4) 6. Berdasarkan peoses-proses tersebut dapat disimpulkan bahwa mengurangi dengan suatu bilangan bulat berarti menjumlahkan dengan lawan bilangan bulat itu. Dengan demikian kedua pengurangan di atas dpat dikerjakan sebagai penjumlahan seperti berikut ( 5) 2 2 ( 4) 2 ( 4) 6 atau 2 ( 4) b. Perkalian Pada bilangan cacah, perkalian dapat dipandang sebagai penjumlahan berulang, seperti Pada perkalian tersebut berlaku sifat komutatif, seperti Perkalian dengan bilangan bulat positip mendasarkan pada penjumlahan berulang sebagai arti perkalian.

12 Contoh: 4 ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) 20. Perkalian bilangan bulat positip dengan bilangan bulat negatip dilakukan mula-mula dengan menggunakan sifat komutatif perkalian, kemudian mendasarkan pada arti perkalian sebagai penjumlahan berulang. Contoh: ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) 20 Penentuan hasil perkalian dua bilangan bulat negatip dapat ditentukan menggunakan pola seperti berikut

13 Berdasarkan fakta di atas dapat disimpulkan bahwa hasil kali dua bilangan bulat negatip adalah bilangan bulat positip. Operasi perkalian pada bilangan bulat memenuhi sifat-sifat berikut. (1) Tertutup Setiap bilangan bulat a dan b selalu ada bilangan bulat c sehingga a b = c. Hasil perkalian dua bilangan bulat selalu merupakan bilangan bulat. (2) Komutatif (pertukaran) a b = b a, untuk setiap a dan b bilangan bulat. Jika bilangan bulat dikalikan dengan bilangan bulat maka urutan letak faktorfaktor perkalian tidak mempengaruhi hasil perkalian tersebut. (3) Asosiatif (pengelompokan) Jika a, b, dan c bilangan bulat maka (a b ) c = a (b c) Dalam perkalian bilangan-bilangan bulat, faktor-faktor mana saja yang dihitung lebih dahulu tidak akan mempengaruhi hasil perkalian itu. (4) Sfiat penyebaran (distributif) perkalian terhadap penjumlahan dan juga terhadap pengurangan. Untuk setiap a, b, dan c bilangan bulat selalu berlaku: a ( b c) ( a b) ( a c). a ( b c) ( a b) ( a c) (5) Ada unsur identitas perkalian Ada bilangan bulat 1 (satu) yang bersifat a 1 = 1 a = a untuk setiap bilangan bulat a.

14 Pada himpunan bilangan bulat terdapat bilangan 1 (satu), dan setiap bilangan bulat yang dikalikan dengan 1 (satu) menghasilkan bilangan yang sama dengan bilangan itu sendiri. (6) Kanselasi Jika a d b d maka a = b, asal a,b, dan c ketiganya tidak nol. Jika dua bilangan bulat masing-masing dikalikan dengan bilangan yang sama (selain nol) menghaslkan bilangan yang sama, maka kedua bilangan semula adalah sama. Pembagian pada bilangan bulat dapat dijelaskan sebagai berikut. Jika a dan b adalah bilangan bulat dan b 0, maka a dibagi b, ditulis dengan notasi a : b adalah suatu bilangan bulat x, jika ada, yang bersifat b x a. Penentuan tanda untuk hasilbagi x perlu dipedomani definisi bahwa a : b x jika dan hanya jika b x a. Dengan demikian hasilbagi dua bilangan bulat yang keduanya bertanda sama, jika ada, adalah positip. Hasilbagi dua bilangan bulat yang keduanya berbeda tanda, jika ada, adalah negatip. Contoh: -8:(-2) = 4 karena (-2) 4 = : 7 = 6 karena 7 6 = : 3 = -4 karena 3 (-4) = : (-3) = -5 karena (-3) (-5) = 15

15 Perlu diperhatikan bahwa pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Jelaskanlah mengapa. Bilangan 0 (nol) dibagi dengan bilangan bulat yang tidak nol menghasilkan bilangan nol. Sedangkan pembagian bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak didefinisikan (tidak terdefinisi).