PENGAMANAN PESAN RAHASIA MENGGUNAKAN ALGORITMA KRIPTOGRAFI ELGAMAL ATAS GRUP PERGANDAAN Zp*

Transkripsi

1 SKRIPSI PENGAMANAN PESAN RAHASIA MENGGUNAKAN ALGORITMA KRIPTOGRAFI ELGAMAL ATAS GRUP PERGANDAAN Zp* Sebaga salah satu syarat untuk memperoleh derajat S-1 Program Stud Matematka pada Jurusan Matematka Dsusun Oleh : MUHAMAD ZAKI RIYANTO 02 / / PA / DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM YOGYAKARTA 2007

2 HALAMAN PENGESAHAN SKRIPSI PENGAMANAN PESAN RAHASIA MENGGUNAKAN ALGORITMA KRIPTOGRAFI ELGAMAL ATAS GRUP PERGANDAAN Zp* MUHAMAD ZAKI RIYANTO 02 / / PA / Dnyatakan lulus ujan skrps oleh tm penguj pada tanggal 25 September 2007 Tm Penguj Dosen Pembmbng Ketua Tm Penguj Dra. Dah Juna Eks Palup, MS Dr. Ar Suparwanto, M.S Penguj I Penguj II Dr. Bud Surodjo, M.S Drs. Retantyo Wardoyo, M.Sc., Ph.D

3 HALAMAN MOTO Ha orang-orang berman, apabla kamu mengadakan pembcaraan rahasa, janganlah kamu membcarakan tentang membuat dosa, permusuhan dan berbuat durhaka kepada Rasul. Dan bcarakanlah tentang membuat kebajkan dan taqwa. Dan bertaqwalah kepada Allah yang kepada-nya kamu akan dkembalkan. -QS. Al-Mujaadlah : 9 Apakah mereka mengra, bahwa Kam tdak mendengar rahasa dan bskanbskan mereka? Sebenarnya (Kam mendengar), dan utusan-utusan (malakat-malakat) Kam selalu mencatat d ss mereka. -QS. Az-Zukhruf : 80 Barang sapa ngn merah duna maka harus dengan lmu, barang sapa ngn merah akherat maka harus dengan lmu, barang sapa ngn merah kedua-duanya maka harus dengan lmu. -Al-Hadts Tak ada satupun sstem pengamanan yang ada sekarang, apakah kunc str ataupun ruangan baja yang benar-benar aman. Yang terbak yang bsa kta lakukan adalah untuk membuatnya sesult mungkn bag seseorang untuk merusak alat keamanan atau masuk ke dalamnya.... -Bll Gates, The Road Ahead Kta semua mempunya hak untuk menympan rahasa, katanya. Suatu har nant saya akan memastkan hal tu terjad. -Tankado, Dan Brown - Dgtal Fortress

4 HALAMAN PERSEMBAHAN Skrps n penuls persembahkan untuk seluruh orang-orang yang telah membantu dan memberkan nspras kepada penuls : Ayahanda dan Ibunda tercnta, yang telah membesarkan, senantasa membmbng dan mendo akanku dengan penuh kash sayang dan kesabaran. Guru-guruku dan sahabatku d dalam menuntut lmu. Pecnta matematka dan pemerhat perkembangan lmu krptolog d seluruh Indonesa. v

5 KATA PENGANTAR Alhamdulllah, puj syukur tak hent-hentnya penuls panjatkan ke hadrat Allah S.W.T. atas segala lmpahan rahmat dan karuna-nya, sehngga penuls dapat menyelesakan penulsan skrps yang berjudul Pengamanan Pesan Rahasa Menggunakan Algortma Krptograf ElGamal Atas Grup Pergandaan Zp* n. Penuls menyadar sepenuhnya bahwa dalam penyusunan skrps n tdak terlepas dar dukungan, dorongan, kerjasama maupun bmbngan dar berbaga phak. Oleh karena tu, penuls mengucapkan terma kash yang sebesar-besarnya kepada: 1. Ibu Dra. Dah Juna Eks Palup, MS selaku dosen pembmbng skrps yang telah berseda meluangkan pkran dan waktu hngga akhrnya penuls dapat menyelesakan skrps n. 2. Bapak Dr. Ar Suparwanto, M.S, Bapak Dr. Bud Surodjo, M.S, dan Bapak Drs. Retantyo Wardoyo, M.Sc., Ph.D, yang telah berseda menjad dosen penguj skrps. Terma kash atas saran dan masukannya. 3. Bapak Sutopo, M.S selaku dosen wal akademk atas segala pengarahan selama penuls belajar d Fakultas MIPA UGM. 4. Dosen d Fakultas MIPA UGM yang telah membag lmunya kepada penuls. 5. Ayahanda dan Ibunda tersayang, serta ketga adkku tercnta yang telah memberkan dorongan semangat, do a, dan motvas tada hent. 6. Pemnat skrps cryptography & codng, Ardh (Ellptc Curve Cryptography), Arswan (RSA), Ikhwanudn (Extended Hll Cpher), Krstyono-dkk (XTR), Rud (Secret Sharng Scheme), dan Tommy (Reed-Solomon Codes). v

6 7. Sahabat-sahabatku Akhd, Dede, Dk, Ers, Fra Zaka, Ftra, Ikhwanudn, Indra, Lalu Tamrn, Nanang, Ta, Trastut dan semua teman-teman matematka angkatan 2002 yang tdak dapat penuls sebutkan satu persatu. 8. Semua phak yang turut membantu hngga selesanya skrps n yang tdak dapat penuls sebutkan satu persatu, terma kash. Penuls sangat menyadar bahwa dalam skrps n mash banyak sekal kekurangan dan kesalahan. Oleh karena tu penuls mengharapkan krtk dan saran yang membangun untuk menyempurnakan skrps n. Krtk dan saran tersebut dapat dsampakan melalu e-mal d zak@mal.ugm.ac.d atau d webste penuls d. Salnan skrps n juga dapat dperoleh d webste penuls. Akhr kata, penuls berharap semoga skrps n dapat memberkan sesuatu yang bermanfaat bag semua phak yang membacanya. Yogyakarta, September 2007 Penuls v

7 DAFTAR ISI Halaman Judul Halaman Pengesahan.... Halaman Moto... Halaman Persembahan..... Kata Pengantar Daftar Is Intsar Daftar Gambar Daftar Tabel Daftar Algortma... Art Lambang.... Bab I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Perumusan Masalah Batasan Masalah Maksud dan Tujuan Tnjauan Pustaka Metodolog Peneltan Sstematka Penulsan.... Bab II. LANDASAN TEORI 2.1. Krptograf Sejarah Krptograf Algortma Krptograf Algortma Smetrs Algortma Asmetrs Sstem Krptograf Blangan Bulat Dvsblty Algortma Pembagan pada Blangan Bulat... v v v x x x x xv v

8 Bab III. Bab IV. Bab V Representas Blangan Bulat Pembag Persekutuan Terbesar Algortma Euclde Algortma Euclde yang Dperluas Faktorsas ke Blangan Prma Dasar Struktur Aljabar Parts dan Relas Ekuvalens Grup Homomorfsma Grup Gelanggang dan Lapangan... PERSAMAAN KONGRUEN DAN HIMPUNAN BILANGAN BULAT MODULO 3.1. Persamaan Kongruen Gelanggang Blangan Bulat Modulo Pembagan pada Gelanggang Blangan Bulat Modulo Grup Pergandaan Blangan Bulat Modulo Order Elemen-Elemen Grup Teorema Fermat Metode Fast Exponentaton Penghtungan Order Elemen Grup Polnomal Polnomal atas Lapangan Grup Unt atas Lapangan Berhngga Struktur Grup Pergandaan Blangan Bulat Modulo Prma... TES KEPRIMAAN 4.1. Tes Fermat Blangan Carmchael Tes Mller-Rabbn... MASALAH LOGARITMA DISKRET DAN ALGORITMA ELGAMAL 5.1. Masalah Logartma Dskret v

9 Masalah Logartma Dskret pada Grup Pergandaan Blangan Bulat Modulo Prma Algortma ElGamal Pembentukan Kunc Enkrps Dekrps... Bab VI. IMPLEMENTASI DAN UJI COBA 6.1. Sarana Implementas Implementas Algortma ElGamal Deklaras Nama Program, Unt, Varabel-Varabel dan Tpe Data Beberapa Fungs dan Prosedur Program Utama Uj Coba Program Bahan Pengujan Pengujan Program Pengujan Proses Pembentukan Kunc Pengujan Proses Enkrps Pengujan Proses Dekrps... Bab VII. PENUTUP 7.1. Kesmpulan 7.2. Saran... Daftar Pustaka LAMPIRAN Lampran 1. Kode Program... Lampran 2. Tabel Kode ASCII... Lampran 3. Data Prbad Penuls x

10 INTISARI PENGAMANAN PESAN RAHASIA MENGGUNAKAN ALGORITMA KRIPTOGRAFI ELGAMAL ATAS GRUP PERGANDAAN Zp* Oleh : MUHAMAD ZAKI RIYANTO 02 / / PA / Algortma ElGamal merupakan algortma krptograf asmetrs yang menggunakan dua jens kunc, yatu kunc publk dan kunc rahasa. Tngkat keamanan algortma n ddasarkan atas masalah logartma dskret pada grup pergandaan blangan bulat modulo prma, Z * = {1, 2,..., p 1}, dengan p adalah blangan prma. Sehngga apabla dgunakan blangan prma dan logartma dskret yang besar, maka upaya untuk menyelesakan masalah logartma dskret n menjad sa-sa dan drasakan tdak sesua dengan s nformas yang ngn dperoleh. Algortma ElGamal mempunya kunc publk berupa tga pasang blangan dan kunc rahasa berupa satu blangan. Algortma n melakukan proses enkrps dan dekrps pada blok-blok planteks dan dhaslkan blok-blok cpherteks yang masngmasng terdr dar dua pasang blangan. Pada skrps n pembahasan dfokuskan pada algortma ElGamal yang dgunakan dalam proses enkrps dan dekrps, beserta konsep-konsep matemats yang melandasnya, yang melput teor blangan dan struktur aljabar. Kemudan dbuat sebuah program pengamanan pesan rahasa yang sederhana berdasarkan algortma ElGamal. Kata kunc : algortma, asmetrs, cpher blok, ElGamal, krptograf, kunc publk, masalah logartma dskret p x

11 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1. Skema algortma smetrs Gambar 2.2. Skema algortma asmetrs Gambar 2.3. Hubungan antara G, G H dan [ G] Gambar 3.1. Hubungan antara Z, Z dan m. Z φ Z m Gambar 5.1. Sstem krptograf ElGamal pada Z p * Gambar 6.1. Tamplan program menu utama Gambar 6.2. Tamplan program pada menu pembentukan kunc Gambar 6.3. Tamplan program untuk membentuk kunc otomats Gambar 6.4. Tamplan program untuk membentuk kunc plhan Gambar 6.5. Tamplan program proses enkrps Gambar 6.6. Tamplan program menamplkan hasl cpherteks Gambar 6.7. Tamplan program menamplkan proses dekrps Gambar 6.8. Tamplan program pada menu program tambahan x

12 DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Perhtungan gcd(100,35) menggunakan algortma Euclde Tabel 2.2 Perhtungan x dan y menggunakan Teorema Tabel 2.3 Perhtungan menggunakan algortma Euclde yang dperluas Tabel 3.1 Beberapa nla Euler ϕ -functon Tabel 3.2 Tabel 5.1 Perhtungan mod Perhtungan α 2 mod 2579 dan α 1289 mod Tabel 5.2 Konvers karakter pesan ke kode ASCII Tabel 5.3 Proses enkrps Tabel 5.4 Proses dekrps Tabel 6.1 Spesfkas perangkat keras Tabel 6.2 Spesfkas perangkat lunak x

13 DAFTAR ALGORITMA Algortma 2.1 Representas Blangan Bulat Algortma 2.2 Algortma Euclde Algortma 2.3 Algortma Euclde yang Dperluas Algortma 2.4 Tes Keprmaan Basa Algortma 3.1 Mencar Invers Pergandaan Modulo Algortma 3.2 Metode Fast Exponentaton Algortma 4.1 Tes Fermat Algortma 4.2 Tes Mller-Rabbn Algortma 5.1 Tes Blangan Prma Aman Algortma 5.2 Tes Elemen Prmtf Algortma 5.3 Algortma Pembentukan Kunc Algortma 5.4 Algortma Enkrps Algortma 5.5 Algortma Dekrps x

14 ARTI LAMBANG x X : x anggota X x X : x bukan anggota X A X : A subset (hmpunan bagan) atau sama dengan X A B : gabungan hmpunan A dengan hmpunan B A B : rsan hmpunan A dengan hmpunan B n A : gabungan hmpunan-hmpunan A 1 A 2... An = 1 A Z R N : kardnal (banyaknya elemen) hmpunan A : hmpunan kosong : hmpunan semua blangan bulat : hmpunan semua blangan real : hmpunan semua blangan asl : maka : jka dan hanya jka : menuju : akhr suatu bukt n a : penjumlahan a + 1 a an = 1 n a : perkalan a1 a2 = 1 n! : n faktoral.... a n n C r : r-kombnas dar n unsur yang berbeda x a : nla a dmasukkan ke x xv

15 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Kemajuan dan perkembangan teknolog nformas dewasa n telah berpengaruh pada hampr semua aspek kehdupan manusa, tak terkecual dalam hal berkomunkas. Dengan adanya nternet, komunkas jarak jauh dapat dlakukan dengan cepat dan murah. Namun d ss lan, ternyata nternet tdak terlalu aman karena merupakan meda komunkas umum yang dapat dgunakan oleh sapapun sehngga sangat rawan terhadap penyadapan nformas oleh phak-phak yang tdak berhak mengetahu nformas tersebut. Oleh karena penggunaan nternet yang sangat luas sepert pada bsns, perdagangan, bank, ndustr dan pemerntahan yang umumnya mengandung nformas yang bersfat rahasa maka keamanan nformas menjad faktor utama yang harus dpenuh. Berbaga hal telah dlakukan untuk mendapatkan jamnan keamanan nformas rahasa n. Salah satu cara yang dgunakan adalah dengan menyandkan s nformas menjad suatu kode-kode yang tdak dmengert sehngga apabla dsadap maka akan kesultan untuk mengetahu s nformas yang sebenarnya. Metode penyandan yang pertama kal dbuat mash menggunakan metode algortma rahasa. Metode n menumpukan keamanannya pada kerahasan algortma yang dgunakan. Namun metode n tdak efsen saat dgunakan untuk berkomunkas dengan banyak orang. Oleh karena tu seseorang harus membuat algortma baru apabla akan bertukar nformas rahasa dengan orang lan. 1

16 Karena penggunaannya yang tdak efsen maka algortma rahasa mula dtnggalkan dan dkenalkan suatu metode baru yang dsebut dengan algortma kunc. Metode n tdak menumpukan keamanan pada algortmanya, tetap pada kerahasan kunc yang dgunakan pada proses penyandan. Algortmanya dapat dketahu, dgunakan dan dpelajar oleh sapapun. Metode algortma kunc mempunya tngkat efsens dan keamanan yang lebh bak dbandngkan dengan algortma rahasa. Sampa sekarang algortma kunc mash dgunakan secara luas d nternet dan terus dkembangkan untuk mendapatkan keamanan yang lebh bak. Algortma ElGamal merupakan salah satu dar algortma kunc. Algortma n dkembangkan pertama kal oleh Taher ElGamal pada tahun Sampa saat n, algortma ElGamal mash dpercaya sebaga metode penyandan, sepert aplkas PGP dan GnuPG yang dapat dgunakan untuk pengamanan e-mal dan tanda tangan dgtal. Pada tahun 1994 pemerntah Amerka Serkat mengadops Dgtal Sgnature Standard, sebuah mekansme penyandan yang berdasar pada algortma ElGamal Perumusan Masalah Masalah yang dbahas pada skrps n adalah konsep-konsep matemats yang melandas pembentukan algortma ElGamal, proses penyandan serta mplementas algortma ElGamal dalam bentuk sebuah program komputer yang sederhana Batasan Masalah Pada skrps n, pembahasan algortma ElGamal melput konsep matemats yang melandasnya dan proses penyandannya. Serta mengena pembuatan sebuah 2

17 program komputer yang dgunakan untuk menyandkan suatu pesan. Program n merupakan mplementas algortma ElGamal dan dbuat menggunakan bahasa Pascal. Pada skrps n tdak membahas mengena sultnya dan cara-cara untuk memecahkan mekansme penyandan Maksud dan Tujuan Selan untuk memenuh syarat kelulusan program Strata-1 (S1) program stud Matematka Unverstas Gadjah Mada, penyusunan skrps n bertujuan untuk mempelajar konsep matemats yang melandas pembentukan algortma ElGamal dan penggunaannya. Sedangkan pembuatan program komputer hanya dtujukan sebaga contoh semata agar mempermudah pemahaman Tnjauan Pustaka Algortma ElGamal banyak dbahas pada buku-buku krptograf, tetap mash sedkt yang membahas secara mendetal tentang konsep-konsep matematsnya. Stnson (1995) telah menjelaskan secara umum tentang algortma ElGamal beserta sstem pendukungnya. Buchmann (2000) secara khusus mentkberatkan pada pemahaman konsep dasar matemats dar algortma ElGamal, sepert teor blangan bulat, persamaan kongruen, dan struktur aljabar abstrak yang melput grup, homomorfsma dan gelanggang. Pembahasan aljabar abstrak yang lebh terpernc dberkan oleh Fralegh (2000), namun tdak ada pembahasan yang mengatkan secara langsung dengan algortma ElGamal. Sedangkan mplementas algortma ElGamal dberkan oleh Menezes, Oorschot dan Vanstone (1996), termasuk 3

18 penjelasan beberapa algortma yang dapat dgunakan untuk membuat program komputer Metodolog Peneltan Metode yang dgunakan dalam pembuatan skrps n adalah dengan terlebh dahulu melakukan stud lteratur mengena algortma ElGamal pada beberapa buku, paper, maupun stus nternet yang berhubungan dengan algortma ElGamal. Kemudan penuls mengambl beberapa mater yang menjelaskan mengena algortma ElGamal dan membahasnya. Langkah terakhr adalah melakukan perancangan dan menerapkan algortma tersebut menggunakan bahasa Pascal untuk membuat sebuah program komputer yang dgunakan untuk menyandkan pesan Sstematka Penulsan Dalam skrps n pembahasan mater dsusun menjad tujuh bab. Mater tersebut dsusun dengan sstematka berkut n. BAB I PENDAHULUAN Pada bab n dbahas mengena latar belakang, perumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penulsan skrps, tnjauan pustaka, metode penulsan, serta sstematka penulsan skrps. BAB II LANDASAN TEORI Pada bab n dbahas mengena tga landasan teor yang harus dpaham sebelum membahas bagan nt dar skrps n, yatu mengena krptograf, 4

19 blangan bulat dan struktur aljabar. Pada bagan krptograf akan dberkan defns krptogaf, algortma krptograf dan sstem krptograf. Pada bagan blangan bulat akan dbahas mengena beberapa sfat blangan bulat sepert dvsblty, algortma pembagan pada blangan bulat, representas blangan bulat, pembag persekutuan terbesar, algortma Euclde, serta faktorsas ke blangan prma. Sedangkan pada pembahasan mengena struktur aljabar akan dbahas mengena grup, grup sklk, parts dan relas ekuvalens, homomorfsma, grup fakor, gelanggang, dan lapangan. BAB III PERSAMAAN KONGRUEN DAN HIMPUNAN BILANGAN BULAT MODULO Pada bab n dbahas mengena konsep-konsep dasar matematka yang secara khusus mendasar pembentukan algortma ElGamal yang melput persamaan kongruen, hmpunan blangan bulat modulo, gelanggang blangan bulat modulo, grup pergandaan blangan bulat modulo, Euler ϕ -functon, teorema Fermat, metode fast exponentaton, grup unt atas lapangan berhngga dan elemen prmtf. BAB IV TES KEPRIMAAN Pada bab n dbahas mengena dua tes keprmaan (prmalty test), yatu tes Fermat dan tes Mller-Rabbn. Tes keprmaan merupakan suatu algortma yang dgunakan untuk mengecek apakah suatu blangan bulat postf ganjl merupakan blangan prma atau bukan. 5

20 BAB V MASALAH LOGARITMA DISKRET DAN ALGORITMA ELGAMAL Pada bab n dbahas dua hal yang menyangkut algortma ElGamal, yatu masalah logartma dskret yang mendasar pembentukan algortma ElGamal dan proses penyandan menggunakan algortma ElGamal. Pada penjelasan mengena proses penyandan djelaskan tga hal yatu proses pembentukan kunc, proses enkrps dan proses dekrps. Serta dberkan contoh kasus penggunaannya. BAB VI IMPLEMENTASI DAN UJI COBA Bab n membahas mengena langkah- langkah pembuatan program komputer yang dgunakan untuk menyandkan suatu pesan menggunakan algortma ElGamal. Serta pembahasan hasl uj coba program tersebut. BAB VII PENUTUP Bab n bers kesmpulan dan saran-saran yang dapat dambl berdasarkan mater-mater yang telah dbahas pada bab-bab sebelumnya. 6

21 BAB II LANDASAN TEORI Pada bab n dbahas konsep dasar yang berhubungan dengan krptograf sepert defns krptograf, algortma krptograf, sstem krptograf, serta jens-jens krptograf, blangan bulat, algortma pembagan, pembag persekutuan terbesar, grup, gelanggang, lapangan, dan sebaganya Krptograf Krptograf (cryptography) berasal dar bahasa Yunan, terdr dar dua suku kata yatu krpto dan grapha. Krpto artnya menyembunykan, sedangkan grapha artnya tulsan. Krptograf adalah lmu yang mempelajar teknk-teknk matematka yang berhubungan dengan aspek keamanan nformas, sepert kerahasaan data, keabsahan data, ntegrtas data, serta autentkas data (Menezes, Oorschot and Vanstone, 1996). Tetap tdak semua aspek keamanan nformas dapat dselesakan dengan krptograf. Krptograf dapat pula dartkan sebaga lmu atau sen untuk menjaga keamanan pesan. Ketka suatu pesan dkrm dar suatu tempat ke tempat lan, s pesan tersebut mungkn dapat dsadap oleh phak lan yang tdak berhak untuk mengetahu s pesan tersebut. Untuk menjaga pesan, maka pesan tersebut dapat dubah menjad suatu kode yang tdak dapat dmengert oleh phak lan. Enkrps adalah sebuah proses penyandan yang melakukan perubahan sebuah kode (pesan) dar yang bsa dmengert (planteks) menjad sebuah kode yang tdak bsa dmengert (cpherteks). Sedangkan proses kebalkannya untuk mengubah 7

22 cpherteks menjad planteks dsebut dekrps. Proses enkrps dan dekrps memerlukan suatu mekansme dan kunc tertentu. Krptoanalss (cryptanalyss) adalah kebalkan dar krptograf, yatu suatu lmu untuk memecahkan mekansme krptograf dengan cara mendapatkan kunc dar cpherteks yang dgunakan untuk mendapatkan planteks. Krptolog (cryptology) adalah lmu yang mencakup krptograf dan krptoanalss. Ada empat tujuan mendasar dar krptograf yang juga merupakan aspek keamanan nformas, yatu 1. Kerahasaan, adalah aspek yang berhubungan dengan penjagaan s nformas dar sapapun kecual yang memlk otortas atau kunc rahasa untuk membuka nformas yang telah denkrps. 2. Integrtas data, adalah aspek yang berhubungan dengan penjagaan dar perubahan data secara tdak sah. Untuk menjaga ntegrtas data, sstem harus memlk kemampuan untuk mendeteks manpulas data oleh phak-phak yang tdak berhak, antara lan penyspan, penghapusan, dan pensubstusan data lan kedalam data yang sebenarnya. 3. Autentkas, adalah aspek yang berhubungan dengan dentfkas atau pengenalan, bak secara kesatuan sstem maupun nformas tu sendr. Dua phak yang salng berkomunkas harus salng memperkenalkan dr. Informas yang dkrmkan harus dautentkas keaslan, s datanya, waktu pengrman, dan lan-lan. 4. Non-repudaton (menolak penyangkalan), adalah usaha untuk mencegah terjadnya penyangkalan terhadap pengrman suatu nformas oleh yang 8

23 mengrmkan, atau harus dapat membuktkan bahwa suatu pesan berasal dar seseorang, apabla a menyangkal mengrm nformas tersebut. (Menezes, Oorschot and Vanstone, 1996) Sejarah Krptograf Krptograf sudah dgunakan sektar 40 abad yang lalu oleh orang-orang Mesr untuk mengrm pesan ke pasukan yang berada d medan perang dan agar pesan tersebut tdak terbaca oleh phak musuh walaupun pembawa pesan tersebut tertangkap oleh musuh. Sektar 400 SM, krptograf dgunakan oleh bangsa Spartan dalam bentuk sepotong paprus atau perkamen yang dbungkus dengan batang kayu. Pada zaman Romaw kuno, ketka Julus Caesar ngn mengrmkan pesan rahasa pada seorang Jendral d medan perang. Pesan tersebut harus dkrmkan melalu seorang prajurt, tetap karena pesan tersebut mengandung rahasa, Julus Caesar tdak ngn pesan tersebut terbuka d tengah jalan. D sn Julus Caesar memkrkan bagamana mengatasnya yatu dengan mengacak s pesan tersebut menjad suatu pesan yang tdak dapat dpaham oleh sapapun kecual hanya dapat dpaham oleh Jendralnya saja. Tentu sang Jendral telah dber tahu sebelumnya bagamana cara membaca pesan yang teracak tersebut, karena telah mengetahu kuncnya. Pada perang duna kedua, Jerman menggunakan mesn engma atau juga dsebut dengan mesn rotor yang dgunakan Htler untuk mengrm pesan kepada tentaranya d medan perang. Jerman sangat percaya bahwa pesan yang denkrps menggunakan engma tdak dapat dpecahkan. Tap anggapan tu kelru, setelah 9

24 bertahun-tahun sekutu mempelajarnya dan berhasl memecahkan kode-kode tersebut. Setelah Jerman mengetahu bahwa engma dapat dpecahkan, maka engma mengalam beberapa kal perubahan. Engma yang dgunakan Jerman dapat mengenkrps suatu pesan sehngga mempunya mendekrps pesan kemungknan untuk dapat Perkembangan komputer dan sstem komunkas pada tahun 60-an berdampak pada permntaan dar phak-phak tertentu sebaga sarana untuk melndung nformas dalam bentuk dgtal dan untuk menyedakan layanan keamanan. Dmula dar usaha Festel dar IBM d awal tahun 70-an dan mencapa puncaknya pada 1977 dengan pengangkatan DES (Data Encrypton Standard) sebaga standar pemrosesan nformas federal Amerka Serkat untuk mengenkrps nformas yang tdak belum dklasfkas. DES merupakan mekansme krptograf yang palng dkenal sepanjang sejarah. Pengembangan palng mengejutkan dalam sejarah krptograf terjad pada 1976 saat Dffe dan Hellman mempublkaskan New Drectons n Cryptography. Tulsan n memperkenalkan konsep revolusoner krptograf kunc publk dan juga memberkan metode baru untuk pertukaran kunc, keamanan yang berdasar pada kekuatan masalah logartma dskret. Meskpun Dffe dan Hellman tdak memlk realsas prakts pada de enkrps kunc publk saat tu, denya sangat jelas dan menumbuhkan ketertarkan yang luas pada komuntas krptograf. Pada 1978 Rvest, Shamr dan Adleman menemukan rancangan enkrps kunc publk yang sekarang dsebut RSA. Rancangan RSA berdasar pada masalah faktorsas blangan yang sult, dan menggatkan kembal usaha untuk menemukan metode yang lebh efsen untuk 10

25 pemfaktoran. Tahun 80-an terjad penngkatan luas d area n, sstem RSA mash aman. Sstem lan yang merupakan rancangan kunc publk dtemukan oleh Taher ElGamal pada tahun Rancangan n berdasar pada masalah logartma dskret. Salah satu kontrbus pentng dar krptograf kunc publk adalah tanda tangan dgtal. Pada 1991 standar nternasonal pertama untuk tanda tangan dgtal dadops. Standar n berdasar pada rancangan kunc publk RSA. Pada 1994 pemerntah Amerka Serkat mengadops Dgtal Sgnature Standard, sebuah mekansme krptograf yang berdasar pada algortma ElGamal Algortma Krptograf Algortma krptograf atau serng dsebut dengan cpher adalah suatu fungs matemats yang dgunakan untuk melakukan enkrps dan dekrps (Schneer, 1996). Ada dua macam algortma krptograf, yatu algortma smetrs (symmetrc algorthms) dan algortma asmetrs (asymmetrc algorthms) Algortma Smetrs Algortma smetrs adalah algortma krptograf yang menggunakan kunc enkrps yang sama dengan kunc dekrpsnya. Algortma n mengharuskan pengrm dan penerma menyetuju suatu kunc tertentu sebelum mereka salng berkomunkas. Keamanan algortma smetrs tergantung pada kunc, membocorkan kunc berart bahwa orang lan dapat mengenkrps dan mendekrps pesan. Agar komunkas tetap aman, kunc harus tetap drahasakan. Algortma smetrs serng juga dsebut dengan algortma kunc rahasa, algortma kunc tunggal, atau algortma satu kunc. 11

26 Sfat kunc yang sepert n membuat pengrm harus selalu memastkan bahwa jalur yang dgunakan dalam pendstrbusan kunc adalah jalur yang aman atau memastkan bahwa seseorang yang dtunjuk membawa kunc untuk dpertukarkan adalah orang yang dapat dpercaya. Masalahnya akan menjad rumt apabla komunkas dlakukan secara bersama-sama oleh sebanyak n pengguna dan setap dua phak yang melakukan pertukaran kunc, maka akan terdapat sebanyak n n! n.( n 1) C2 = = ( n 2)!.2! 2 kunc rahasa yang harus dpertukarkan secara aman. Kunc A Planteks cpherteks Planteks enkrps dekrps B Gambar 2.1. Skema algortma smetrs Contoh dar algortma krptograf smetrs adalah Cpher Permutas, Cpher Substtus, Cpher Hll, OTP, RC6, Twofsh, Magenta, FEAL, SAFER, LOKI, CAST, Rjndael (AES), Blowfsh, GOST, A5, Kasum, DES dan IDEA Algortma Asmetrs Algortma asmetrs, serng juga dsebut dengan algortma kunc publk, menggunakan dua jens kunc, yatu kunc publk (publc key) dan kunc rahasa (secret key). Kunc publk merupakan kunc yang dgunakan untuk mengenkrps pesan. Sedangkan kunc rahasa dgunakan untuk mendekrps pesan. 12

27 Kunc publk bersfat umum, artnya kunc n tdak drahasakan sehngga dapat dlhat oleh sapa saja. Sedangkan kunc rahasa adalah kunc yang drahasakan dan hanya orang-orang tertentu saja yang boleh mengetahunya. Keuntungan utama dar algortma n adalah memberkan jamnan keamanan kepada sapa saja yang melakukan pertukaran nformas meskpun d antara mereka tdak ada kesepakatan mengena keamanan pesan terlebh dahulu maupun salng tdak mengenal satu sama lannya. Kunc Publk Kunc Rahasa A Planteks cpherteks Planteks enkrps dekrps B Gambar 2.2. Skema algortma asmetrs Algortma asmetrs pertama kal dpublkaskan oleh Dffe dan Hellman pada tahun 1976 dalam papernya yang berjudul New Drectons n Cryptography. Menurut Dffe dan Hellman, ada beberapa syarat yang perlu dperhatkan pada algortma asmetrs, yatu: 1. Penerma B membuat pasangan kunc, yatu kunc publk k pb dan kunc rahasa k rb. 2. Pengrm A dengan kunc publk B dan pesan x, pesan denkrps dan dperoleh cpherteks c = e ( x). k pb 3. Penerma B untuk mendekrps cpherteks menggunakan kunc prvat B untuk mendapatkan kembal pesan aslnya 13

28 d k e ( ) ( ) rb k x = d pb k c = x. rb 4. Dengan mengetahu kunc publk k pb, bag penyerang akan kesultan dalam melakukan untuk mendapatkan kunc rahasa. 5. Dengan mengetahu kunc publk k pb dan cpherteks c, bag penyerang akan mengalam kesultan untuk mengetahu pesan x. Contoh dar algortma asmetrs adalah RSA, ElGamal, McElece, LUC dan DSA (Dgtal Sgnature Algorthm). Dalam melakukan proses enkrps, serng dgunakan planteks berupa data ataupun pesan yang besar, sehngga membutuhkan waktu yang lama apabla dlakukan proses sekalgus pada planteks tersebut. Oleh karena tu, planteks dapat dpotong-potong menjad beberapa blok-blok yang sama panjang. Kemudan dar blok-blok yang dperoleh tersebut dlakukan proses enkrps, dan hasl cpherteksnya dapat ddekrps dan dgabungkan kembal menjad planteks. Algortma krptograf yang menggunakan mekansme sepert n dsebut dengan cpher blok (block cpher) Sstem Krptograf Defns (Stnson, 1995) Sstem krptograf (cryptosystem) adalah suatu 5- tuple (P, C, K, E, D) yang memenuh konds sebaga berkut : 1. P adalah hmpunan planteks, 2. C adalah hmpunan cpherteks, 3. K atau ruang kunc (keyspace), adalah hmpunan kunc, 14

29 4. E adalah hmpunan fungs enkrps e k :P C, 5. D adalah hmpunan fungs dekrps d k :C P, 6. Untuk setap k K terdapat ε k E dan dk D. Setap e k :P C dan d :C P merupakan fungs sedemkan hngga ( ( )) k d ε x = x, untuk setap k k planteks x P. Suatu sstem krptograf terdr dar sebuah algortma, seluruh kemungknan planteks, cpherteks dan kunc-kuncnya. Sstem krptograf merupakan suatu fasltas untuk mengkonverskan planteks menjad cpherteks, dan sebalknya. Setelah mengetahu konsep krptograf, algortma krptograf serta jensjensnya, berkut n dbahas mengena blangan bulat dan hasl yang dapat dperoleh dar blangan bulat yang dgunakan sebaga landasan untuk membahas konsep matemats pada algortma ElGamal Blangan Bulat Hmpunan semua blangan bulat yang dnotaskan dengan Z adalah hmpunan {..., 3, 2, 1,0,1, 2,3,... }. Hmpunan n berperan sangat pentng dalam krptograf karena banyak algortma krptograf yang menggunakan sfat-sfat hmpunan semua blangan bulat dalam melakukan prosesnya. Pada hmpunan n berlaku sfat assosatf, komutatf dan dstrbutf terhadap operas penjumlahan dan pergandaan basa. 15

30 Dvsblty Defns (Buchmann, 2000) Dberkan a, n Z. Blangan bulat a dkatakan membag (dvdes) n jka terdapat b Z sedemkan hngga n = a. b. Jka a membag n, maka a dsebut pembag (dvsor) n, dan n dsebut kelpatan (multple) a. Blangan bulat a yang membag n dtuls a n. Contoh dan Teorema (Buchmann, 2000) Dberkan a, b, c Z. 1. Jka a b dan b c, maka a c. 2. Jka a b, maka a. c b. c untuk setap c Z. 3. Jka c a dan c b, maka c ( d. a e. b) 4. Jka a b dan b 0, maka a b. + untuk setap d, e Z. Bukt: 5. Jka a b dan b a, maka a = b. 1. Jka a b dan b c, maka terdapat p, q Z sedemkan hngga b = a. p dan c = b. q. Akbatnya c = b. q = ( a. p). q = a.( p. q). Karena p. q Z, dperoleh a c. 2. Jka a b, maka terdapat p Z sedemkan hngga b = a. p. Akbatnya, untuk sebarang c Z dperoleh b. c = ( a. p). c = p.( a. c). Terbukt bahwa a. c b. c, untuk setap c Z. 16

31 3. Jka c a dan c b, maka terdapat p, q Z sedemkan hngga a = c. p dan b = c. q. Akbatnya, untuk sebarang d, e Z dperoleh + = + = +, dengan kata lan c ( d. a e. b) d. a e. b d. c. p e. c. q c.( d. p e. q) Jka a b dan b 0, maka terdapat p Z, p 0 sedemkan hngga b = a. p. Akbatnya b = a. p a. 5. Dketahu a b dan b a. Jka a = 0, maka b = 0, dan sebalknya. Jka a 0 dan b 0, menggunakan hasl (4) dperoleh bahwa a b dan a b, akbatnya a = b Algortma Pembagan pada Blangan Bulat Berkut n dberkan sebuah teorema yang dsebut dengan algortma pembagan pada blangan bulat, sepert djelaskan pada Teorema Defns (Buchmann, 2000) Untuk setap blangan real α R ddefnskan { z z α} α = max Z :. Dengan demkan, α merupakan blangan bulat terbesar yang lebh kecl atau sama dengan α. Contoh , 75 = , 42 = 6. 17

32 Teorema (Buchmann, 2000) Jka a dan b blangan bulat dengan b > 0, maka terdapat dengan tunggal blangan bulat q dan r sedemkan hngga a = b. q + r dengan 0 r < b, yatu Bukt: a q = b dan r = a b. q. Dambl sebarang blangan bulat a dan b dengan b > 0, akan dtunjukkan bahwa terdapat a q = b Z dan r Z sedemkan hngga a = b. q + r dengan 0 r < b. Karena a, b Z dan b > 0, menggunakan Defns dperoleh blangan a q = b Z sehngga dperoleh a b. q. Akbatnya terdapat r Z, r 0 sehngga a = b. q + r. Jka b pembag dar a, maka a = b.q sehngga dperoleh r = 0. Jka b bukan pembag dar a, maka a = q. b + r dengan hasl bag a q = b Z, dan r Z a adalah ssa a dbag b. Jka dambl r = b, maka a = b.( q + 1) sehngga q = 1 b, akbatnya terjad kontradks dengan yang dketahu yatu a q = b. Selanjutnya, dar hasl terakhr dan karena b > 0, maka 0 r < b. Untuk membuktkan ketunggalannya, msalkan terdapat q1, q2, r1, r2 Z sedemkan hngga a = q1. b + r1 dan a = b. q2 + r2. Akbatnya dperoleh ( b. q1 + r1 ) ( b. q2 + r2 ) = 0 atau a b.( q1 q2) + ( r1 r2 ) = 0. Karena q1 = b dan a q2 = b, maka q1 = q2, sehngga 18

33 dperoleh q1 q2 = 0. Akbatnya r1 r2 = 0, sehngga dperoleh r1 = r2. Terbukt bahwa q dan r tunggal. Dengan demkan teorema terbukt. Pada teorema , blangan bulat q dsebut dengan hasl bag (quotent) dan r dsebut ssa (remander) dar pembagan a dengan b, dtuls r = a mod b. Contoh Dberkan blangan bulat 25 dan 70. Menggunakan Defns dperoleh blangan bulat 70 = 2,8 = Menggunakan Teorema terdapat dengan tunggal blangan bulat q dan r sedemkan hngga 70 = 25.q + r, dengan 0 r < 25 yatu q = 2 dan r = 20. Dapat dlhat bahwa 70 = , dengan 0 20 < 25. Blangan bulat 20 merupakan ssa pembagan, dtuls 20 = 70 mod Representas Blangan Bulat Blangan bulat merupakan blangan yang dtuls dengan ekspans desmal, sedangkan pada komputer yang dgunakan adalah ekspans bner. Secara umum, blangan bulat dapat drepresentaskan menggunakan ekspans b-adc yang akan djelaskan pada Defns Teorema d bawah n dapat dgunakan sebaga algortma untuk merepresentaskan sebarang blangan bulat postf n ke dalam suatu ekspans b-adc yang dngnkan. 19

34 Teorema (Rosen, 1992) Dberkan blangan bulat postf b dengan b > 1. Untuk setap blangan bulat postf a dapat dsajkan secara tunggal ke dalam bentuk ekspans k a = r. b + r. b r. b + r, k k 1 k dengan k adalah blangan bulat nonnegatf, r j adalah blangan bulat dengan 0 rj < b untuk j = 0,1,..., k dan r 0. k Bukt: Menggunakan algortma pembagan, langkah pertama, a dbag dengan b, dperoleh a = b. q + r, 0 r < b (2.1) Jka q0 0, maka q 0 dbag dengan b, dperoleh q = b. q + r, 0 r < b. (2.2) Selanjutnya, jka proses n dteruskan, maka dperoleh q = b. q + r, 0 r < b q = b. q + r, 0 r < b q = b. q + r, 0 r < b k 2 k 1 k 1 k 1 q = b.0 + r, 0 r < b. k 1 k k Pada langkah terakhr dar proses perhtungan, terlhat bahwa ssa terkahr yang dperoleh adalah 0. Jelas bahwa Pada persamaan (2.1) dketahu a > q0 > q1 > q2 > a = b. q + r. 0 0 Menggunakan persamaan (2.2) dperoleh 20

35 ( ) 2 a = b. b. q + r + r = b. q + r. b + r Selanjutnya, menggunakan substtus untuk q1, q2,..., qk 1, dperoleh a = b. q + r. b + r. b + r, a = b. q + r. b r. b + r, k 1 k 2 k 2 k k a = b. q + r. b r. b + r k 1 k 1 k k = r. b + r. b r. b + r, k k 1 k dengan 0 rj < b untuk j = 0,1,..., k dan rk 0, sebab rk = qk 1 adalah ssa terakhr yang tdak nol. Dengan demkan terbukt bahwa a dapat dsajkan ke dalam bentuk ekspans k a = r. b + r. b r. b + r. k k 1 k Selanjutnya, untuk membuktkan ketunggalannya, dasumskan terdapat dua bentuk ekspans dar a, yatu k a = r. b + r. b r. b + r (2.3) k k 1 k dan k a = c. b + c. b c. b + c (2.4) k k 1 k dengan 0 rk < b dan 0 ck < b. Selanjutnya, dar persamaan (2.3) dan (2.4) dperoleh k k 1 ( r c ) b ( r c ) b ( r c ) b ( r c ) = 0. (2.5) k k k 1 k Jka persamaan (2.3) dan (2.4) berbeda, maka terdapat blangan bulat terkecl j, 0 j k, sedemkan hngga rj c j. Berart dar persamaan (2.5) dperoleh bentuk ( k k ) ( k 1 k 1) ( j+ 1 j+ 1) ( j j ) k k j j r c. b + r c. b r c. b + r c. b = 0 21

36 atau ( k k ) ( j+ 1 j+ 1) ( j j ) j k j b. r c. b... r c. b r c = 0, dperoleh k j ( rk ck ) b ( rj+ 1 c j+ 1) b ( rj c j ) = 0, atau Dar sn, dperoleh b ( r c ). k j ( ).... ( ). k j 1 b ( ck rk ) b ( c j+ 1 rj+ 1) r c = c r b + + c r b j j k k j j j = j Karena 0 rj < b dan 0 c j < b, maka b < rj c j < b. Selanjutnya, karena b ( rj c j ) dan b < rj c j < b, akbatnya rj = c j. Kontradks dengan asums bahwa kedua ekspans berbeda, yang benar adalah kedua bentuk ekspans adalah sama. Dengan kata lan terbukt bahwa ekspans dar a adalah tunggal. Pada Teorema dperoleh suatu barsan ( r, r,..., r, r ) k k yang elemennya dperoleh dar bentuk ekspans suatu blangan bulat., yatu barsan Defns (Buchmann, 2000) Barsan ( r, r,..., r, r ) k k dar Teorema dsebut dengan ekspans b-adc dar blangan bulat a. Elemen-elemennya dsebut dgts. Blangan bulat b pada Teorema dsebut dengan bass. Jka b = 2, barsannya dsebut ekspans bner. Jka b = 16, barsannya dsebut ekspans 22

37 heksadesmal. Barsan ( r, r,..., r, r ) ( r, r 1,..., r1, r0 ) atau ( rk rk 1... r1 r0 ) k k b k k dengan bass b dtuls dengan. b Contoh Ekspans dengan bass 7 dar 135 adalah = = (236) 7. Ekspans bner ( ) = =. Berkut n dberkan sebuah algortma yang dapat dgunakan untuk merepresentaskan suatu blangan bulat ke dalam ekspans yang dngnkan. Algortma n ddasarkan pada Teorema Algortma 2.1 : Representas Blangan Bulat (Menezes, Oorschot and Vanstone, 1996) Input : Blangan bulat a dan b, dengan a 0, b 2. Output : Ekspans b-adc a ( r r... r r ) Langkah : =, k 0 dan r 0 jka k 1. x b k k b 1. 0, x a, q, r ( x q. b) 2. Whle q > 0, lakukan langkah berkut: , x q, q, r ( x q. b) ( ) 3. Output ( rr... r r ). x b.. k 23

38 Pembag Persekutuan Terbesar Berkut n djelaskan pengertan dan sfat-sfat suatu blangan yang dsebut dengan pembag persekutuan terbesar. Defns (Buchmann, 2000) Pembag persekutuan dar blangan bulat a1, a2,..., a k adalah suatu blangan bulat yang membag a1, a2,..., a k. Contoh Dberkan 30,50 Z, maka 5,10 Z adalah pembag persekutuan dar 30 dan 50, sebab 5 dan 10 membag 30 dan 50. Defns (Buchmann, 2000) Dberkan a1, a2,..., ak Z. Suatu blangan bulat nonnegatf d dsebut pembag persekutuan terbesar (greatest common dvsor) dar a1, a2,..., a k jka 1. Blangan bulat d merupakan pembag persekutan dar a1, a2,..., a k, yatu d membag a1, a2,..., a k, 2. Untuk sebarang blangan bulat c, jka c membag a1, a2,..., a k, maka c membag d. Blangan bulat d tersebut dnotaskan dengan d ( a a a ) =. gcd 1, 2,..., k Dengan kata lan, pembag persekutuan terbesar adalah nla maksmum dar semua pembag persekutuan, yatu { } gcd( a, a,..., a ) = max n Z : n a dan n a dan...dan n a. 1 2 k 1 2 k 24

39 Contoh Dberkan 50,75 Z, maka { n Z n n } gcd(50, 75) = max : 50 dan 75 { } = max 25, 5, 1,1, 5, 25 = 25. Selanjutnya, djelaskan sebuah cara untuk merepresentaskan pembag persekutuan terbesar blangan bulat. Dberkan notas sebaga berkut, { } a. Z + a. Z a. Z = a. z + a. z a. z : z Z,1 k 1 2 k k k yatu hmpunan semua kombnas lnear blangan bulat dar a,1 k. Contoh Hmpunan semua kombnas lnear dar 4 dan 5 adalah { z z z z } 4. Z + 5. Z = :, Z Teorema (Buchmann, 2000) Hmpunan semua kombnas lnear dar blangan bulat a dan b adalah hmpunan semua blangan bulat kelpatan gcd ( a, b ), yatu Bukt: ( ) a. Z + b. Z = gcd a, b. Z. (2.6) Untuk a = b = 0, persamaan (2.6) benar. Dambl a atau b tdak nol, dbentuk hmpunan I = a. Z + b. Z. Dambl g I, yatu blangan bulat postf terkecl dalam I. 25

40 Dklam bahwa I = g. Z. Dambl sebuah elemen tak nol c I. Akan dtunjukkan bahwa c = q. g untuk suatu q Z. Menggunakan algortma pembagan, terdapat q, r Z dengan c = q. g + r dan 0 r < g. Akbatnya, r = c q. g I. Akan tetap, karena g adalah blangan bulat postf terkecl dalam I, maka r = 0 dan c = q. g. Selanjutnya, akan dtunjukkan bahwa g gcd ( a, b) =. Karena a, b I, maka g adalah pembag persekutuan dar a dan b. Karena g I, maka terdapat x, y Z dengan g = x. a + y. b. Oleh karena tu, jka d adalah pembag persekutuan dar a dan b, maka d juga merupakan pembag persekutuan dar g. Menggunakan Teorema dperoleh bahwa d g. Terbukt bahwa g = gcd ( a, b). Akbat (Buchmann, 2000) Untuk setap a, b, n Z persamaan a. x + b. y = n mempunya penyelesaan yatu blangan bulat x dan y jka dan hanya jka gcd ( a, b ) membag n. Bukt: Msalkan terdapat blangan bulat x dan y yang memenuh a. x + b. y = n, maka n a. Z + b. Z. Menggunakan Teorema dperoleh bahwa n gcd( a, b). Z, msalkan n = gcd( a, b). z untuk suatu z Z. Dar sn dperoleh bahwa n adalah kelpatan dar gcd( a, b ). Dengan kata lan, gcd( a, b ) membag n. Msalkan n adalah kelpatan dar gcd( a, b ), maka n gcd( a, b). Z. Menggunakan Teorema dperoleh bahwa n a. Z + b. Z. Akbatnya terdapat x, y Z sedemkan hngga n = a. x + b. y. 26

41 Akbat (Buchmann, 2000) Dberkan a, b Z, maka terdapat x, y Z dengan a. x b. y gcd ( a, b) Bukt: + =. Karena gcd( a, b ) membag drnya sendr, menggunakan Akbat , Akbat terbukt. Defns [(Stnson, 1995), (Buchmann, 2000)] Dberkan a, b Z. Jka gcd( a, b ) = 1, maka a dkatakan relatf prma dengan b. Blangan bulat a1, a2,..., a n dkatakan salng relatf prma jka gcd( a1, a2,..., a n ) = 1. Contoh Karena gcd(17, 30) = 1, maka 17 relatf prma dengan 30. Teorema (Fralegh, 2000) Jka blangan bulat a dan b relatf prma dan a b. m, maka a m. Bukt: Dketahu a dan b relatf prma, yatu gcd( a, b ) = 1 dan a b. m. Menggunakan Akbat maka terdapat x, y Z sedemkan hngga a. x + b. y = 1. Selanjutnya, kedua ruas dkalkan dengan m Z, dperoleh a. x. m + b. y. m = m. Karena a a. x. m dan a b. y. m, maka a m. 27

42 Algortma Euclde Berkut n dberkan sebuah algortma yang dapat dgunakan untuk menghtung nla pembag persekutuan terbesar dar dua blangan bulat dengan sangat efsen. Algortma n ddasarkan pada teorema d bawah n. Teorema (Buchmann, 2000) Dberkan a, b Z. Bukt: 1. Jka b = 0, maka gcd ( a, b) 2. Jka 0 = a. b, maka gcd ( a, b) gcd ( b, a mod b) =. a b = a = a. 1. Dengan sendrnya langsung terbukt, sebab gcd (, ) gcd (,0) 2. Msalkan d = gcd( a, b) dan r = a mod b. Menurut Teorema , terdapat q Z dengan a = q. b + r. Karena r = a b. q maka d r. Akan dtunjukkan bahwa d = gcd( b, r). Dambl sebarang blangan bulat t sedemkan hngga t b dan t r, yatu terdapat n, m Z sedemkan hngga b = n. t dan r = m. t. Dperoleh bahwa a = n. t. q + m. t = t.( n. q + m) atau t a. Dketahu d = gcd( a, b), karena t a dan t b maka t d dan t d. Terbukt bahwa ( ) ( ) d = gcd a, b = gcd b, a mod b. Msal dberkan blangan bulat postf r 0 dan r 1, dengan r0 r1. Selanjutnya dhtung menggunakan algortma pembagan sebaga berkut. 28

43 r 0 = q1. r1 r2 +, 0 < r2 < r1 r 1 = q2. r2 r3 +, 0 < r3 < r2 rn 2 = qn 1. rn 1 rn r = q. r. n 1 n +, 0 < rn < rn 1 n Menggunakan Teorema , dapat dtunjukkan bahwa gcd( r, r ) = gcd( r, r ) =... = gcd( r, r ) = gcd( r,0) = r. Jka dberkan blangan n 1 n n n bulat a dan b dengan a b, maka dengan menentukan r 0 = a dan r 1 = b, Teorema dapat dsajkan sebaga algortma yang dapat dgunakan untuk menghtung nla gcd( a, b ). Algortma n dsebut dengan algortma Euclde. Algortma 2.2 : Algortma Euclde (Menezes, Oorschot and Vanstone, 1996) Input : Blangan bulat nonnegatf a dan b, a b. Output : gcd ( a, b ). Langkah : 1. Whle b 0 do : 1.1 Set r a mod b, a b, b r. 2. Output (a). Contoh (Buchmann, 2000) Akan dhtung nla gcd(100,35). Menggunakan algortma Euclde dperoleh: Langkah 1 : gcd(100,35) = gcd(35,100 mod 35) = gcd(35, 30). 29

44 Langkah 2 : gcd(35,30) = gcd(30,35 mod 30) = gcd(30,5). Langkah 3 : gcd(30,5) = gcd(5,30 mod 5) = gcd(5, 0). Langkah 4 : gcd(5,0) = 5. Jad, gcd(100,35) = gcd(35,30) = gcd(30,5) = gcd(5,0) = 5. Tabel 2.1. Perhtungan gcd(100,35) menggunakan algortma Euclde k a k q k Algortma Euclde yang Dperluas Dengan algortma Euclde dapat dhtung nla pembag persekutuan terbesar dar blangan bulat a dan b. Menurut Akbat , terdapat blangan bulat x dan y gcd a, b = a. x + b. y. Selanjutnya, algortma Euclde dapat dperluas dengan ( ) sedemkan hngga dapat dgunakan untuk menghtung nla x dan y tersebut. Pada pembahasan tentang algortma Euclde dketahu bahwa dperoleh barsan ssa yatu r0, r1,..., r n dan barsan hasl bag yatu q1, q2,..., q n. Selanjutnya, dkontruks dua barsan ( x k ) dan ( k ) y yang dperoleh dar barsan ssa dan hasl bag sedemkan hngga pada teras terakhr dperoleh = ( 1 ) n. dan ( ) x x n n y = 1. y n. Pertama, dtentukan nla awal yatu x 0 = 1, x 1 = 0, y 0 = 0 dan y 1 = 1. Selanjutnya, dberkan persamaan xk + 1 = qk. xk + xk 1 dan yk+ 1 = qk. yk + yk 1, 0 k n. 30

45 Teorema (Buchmann, 2000) Jka x0 = 1, x1 = 0, y0 = 0, y1 = 1 dengan xk + 1 = qk. xk + xk 1 dan yk+ 1 = qk. yk + yk 1, maka k k+ ( ) ( ) 1 r = 1. x. a + 1. y. b, untuk 0 k n + 1. k k k Bukt: Akan dbuktkan menggunakan nduks. Untuk k = 0 dperoleh ( ) ( ) r = a = 1. a 0. b = x. a y. b. Selanjutnya, ( ) ( ) r = b = 0. a + 1. b = x. a + y. b Msalkan pernyataan benar untuk k n, maka pernyataan benar untuk k = n yatu n n+ ( ) ( ) 1 r = 1. x. a + 1. y. b. n n n Akan dbuktkan bahwa pernyataan benar untuk k = n + 1, yatu n ( ) ( ) + 1 n+ 2 r = 1. x. a + 1. y. b. n+ 1 n+ 1 n+ 1 Dar pembahasan tentang algortma Euclde, dketahu bahwa r 1 = r 1 q. r. Oleh karena tu r r q r n+ 1 = n 1 n. n n+ n n n n 1 n n n+ 1 = ( 1). xn 1. a + ( 1). yn 1. b qn. ( 1). xn. a + ( 1). yn. b n 1 n n n+ 1 = ( 1). xn 1 qn.( 1). x n. a + ( 1). yn 1 qn.( 1). y n. b n+ 1 n+ 1 n+ 2 n+ 2 = ( 1). xn 1 + qn.( 1). x n. a + ( 1). yn 1 + qn.( 1). y n. b n [ ] [ ] = ( 1). x + q. x. a + ( 1). y + q. y. b n n 1 n n n 1 n n = ( 1). x. a + ( 1). y. b. n+ 1 n+ 2 n+ 1 n+ 1 Dengan demkan Teorema terbukt. 31

46 Contoh (Buchmann, 2000) Sepert pada Contoh , akan dhtung nla gcd(100,35). Yatu gcd(100,35) = ( 1 ) = 5, dperoleh hasl yang sama pada Contoh Tabel 2.2. Perhtungan x dan y menggunakan Teorema k a k q k x k y k Algortma 2.3 : Algortma Euclde yang Dperluas (Menezes, Oorschot and Vanstone, 1996) Input : a, b Z, a b. Output : d gcd ( a, b) Langkah : = dan x, y Z yang memenuh a. x + b. y = d. 1. Jka b = 0, maka set d a, x 1, y 0, output (d, x, y). 2. Set x2 1, x1 0, y2 0, y Whle b > 0 : a b 3.1 q, r a q. b, x x2 q. x1, y y2 q. y1 a b, b r, x x, x x, y y, y1 y Set d a, x x2, y y2, output (d, x, y). 32

47 Contoh (Buchmann, 2000) Sepert pada Contoh dperoleh gcd(100,35) = ( 1 ) = 5, blangan bulat x = (-1) dan y = 3. Menggunakan Algortma 2.3, dperoleh hasl perhtungan sepert pada tabel d bawah n. Tabel 2.3. Perhtungan menggunakan algortma Euclde yang dperluas k a k q k x k y k Dan ternyata dperoleh hasl yang sama sepert pada Contoh Faktorsas ke Blangan Prma Selanjutnya, djelaskan pengertan dan sfat-sfat suatu blangan yang dsebut dengan blangan prma, yatu blangan yang hanya dapat dbag oleh 1 dan blangan tu sendr. Blangan prma memankan peran yang pentng pada beberapa algortma krptograf kunc publk, sepert algortma ElGamal dan RSA. Defns (Buchmann, 2000) Suatu blangan bulat p > 1 dsebut prma jka p hanya mempunya tepat dua blangan pembag postf yatu 1 dan p. Jka tdak, p dsebut kompost. Jka p blangan prma yang membag suatu blangan bulat a, maka p dsebut pembag prma dar a. 33

48 Contoh Blangan bulat 2, 3, 5, 7 dan 11 adalah blangan prma. Sedangkan 4, 6, 8, 9 dan 10 adalah blangan kompost. Teorema (Buchmann, 2000) Setap blangan bulat a > 1 mempunya blangan pembag prma. Bukt: Dketahu blangan bulat a mempunya suatu pembag yang lebh besar dar 1, yatu a sendr. Pandang semua pembag a yang lebh besar dar 1, msalkan p adalah yang terkecl. Maka p pastlah prma, sebab jka tdak, maka p akan mempunya suatu pembag b dengan 1 < b < p a. Tmbul kontradks dengan asums bahwa p adalah pembag terkecl dar a yang lebh besar dar 1. Contoh mempunya pembag prma yatu 2 dan mempunya pembag prma yatu 23 sendr. Lemma (Buchmann, 2000) Jka suatu blangan prma membag hasl perkalan dar dua blangan bulat, maka blangan prma tersebut membag palng sedkt satu faktornya. Bukt: Dberkan a, b Z dan blangan prma p yang membag a.b tetap tdak membag a. Karena p blangan prma, maka gcd( a, p ) = 1. Menurut Akbat , terdapat 34

49 x, y Z sedemkan hngga 1 = a. x + p. y. Akbatnya b = a. b. x + p. b. y, sehngga p membag a.b.x dan p.b.y. Menggunakan Teorema dperoleh bahwa p merupakan pembag dar b. Akbat (Buchmann, 2000) Jka suatu blangan prma p membag k = 1 q dengan q1, q2,..., q k adalah blangan-blangan prma, maka p sama dengan salah satu dar q1, q2,..., q k. Bukt: Untuk k = 1, p jelas merupakan pembag dar q 1 yatu p = q1. Untuk k > 1, p membag q1.( q2. q3... q k ). Menggunakan Lemma dperoleh bahwa p membag q 1 atau 2 3 q. q... q k. Jka p = q1 maka bukt selesa. Jka p q1, maka p membag q2.( q3... q k ). Sehngga p membag 2 q atau q... 3 q k. Jka p = q2 maka bukt selesa. Jka p q2, maka p membag q3.( q4... q k ), dan seterusnya. Dengan demkan terdapat q, 1 k sedemkan hngga p = q. Teorema (Buchmann, 2000) Setap blangan bulat a > 1 dapat dsajkan sebaga hasl kal dar sejumlah blangan prma berhngga secara tunggal. Bukt: Akan dbuktkan menggunakan nduks. Dberkan sebarang blangan bulat a > 1. Untuk a = 2, maka jelas a merupakan hasl kal dar blangan prma. Untuk a > 2, dasumskan benar untuk a 1 dan untuk setap m dengan 2 m a 1. Akan 35

50 dtunjukkan bahwa a merupakan hasl kal dar sejumlah blangan prma. Jka a merupakan blangan prma, maka bukt selesa. Jka a merupakan blangan kompost, maka a dapat dnyatakan sebaga a = m1. m2... mk dengan m N dan 1 < m < a, 1 k. Menurut asums yang dambl d atas, maka m adalah hasl kal dar sejumlah blangan prma. Akbatnya, a = m1. m2... mk juga merupakan hasl kal dar sejumlah blangan prma. Untuk membuktkan ketunggalannya, msalkan a = p1. p2... pr dan a = q1. q2... q s, dengan p1, p2,..., pr, q1, q2,..., q s adalah blangan-blangan prma. Akan dtunjukkan bahwa penyajan blangan bulat a adalah tunggal, yatu r = s. Dasumskan benar untuk setap m dengan 2 m a 1. Karena a = p1. p2... pr = q1. q2... qs, maka p 1 membag q1. q2... q s. Menggunakan Akbat , dperoleh bahwa p 1 adalah salah satu dar q1, q2,..., q s. Tanpa mengurang keumuman, dambl p1 = q1. Berdasarkan asums nduks, faktorsas prma dar a p a = adalah tunggal. Sehngga dperoleh q 1 1 bahwa r = s. Terbukt bahwa penyajan blangan bulat a adalah tunggal. Untuk mengecek apakah suatu blangan bulat ganjl a > 1 adalah blangan prma, dlakukan suatu tes keprmaan (prmalty test), yatu suatu algortma untuk membuktkan bahwa suatu blangan bulat postf ganjl adalah blangan prma atau kompost. Berkut n dberkan sebuah tes keprmaan yang ddasarkan pada Defns

51 Algortma 2.4 : Tes Keprmaan Basa Input : Blangan bulat ganjl a > 1. Output : Pernyataan prma atau kompost. Langkah : 1. Set b Repeat : 2.1. b b c a mod b. 3. Untl c = Jka a = b, maka output( prma ). 5. Jka a b, maka output ( kompost ) Dasar Struktur Aljabar Selanjutnya, pada subbab n djelaskan beberapa konsep dasar struktur aljabar sepert relas ekuvalens, grup, grup sklk, grup faktor, homomorfsma, gelanggang dan lapangan. Konsep n pentng, karena pada pembahasan selanjutnya mengena algortma ElGamal, perhtungan-perhtungannya dlakukan d dalam suatu struktur aljabar Parts dan Relas Ekuvalens Berkut n djelaskan tentang parts, relas ekuvalens dan klas ekuvalens pada suatu hmpunan. 37

52 Defns (Fralegh, 2000) Suatu parts pada hmpunan tak kosong S adalah suatu dekomposs S ke dalam subset-subset yang salng asng sedemkan hngga setap elemen dar S berada pada tepat satu subset. Subset yang demkan n dnamakan cell. Defns (Fralegh, 2000) Dberkan hmpunan tak kosong S dan ~ adalah relas antar elemen-elemen S. Relas ~ dsebut relas ekuvalens jka memenuh sfatsfat berkut. Untuk setap a, b, c S 1. Refleksf, yatu a ~ a, 2. Smetrs, yatu jka a ~ b, maka b ~ a, 3. Transtf, yatu jka a ~ b dan b ~ c, maka a ~ c. Dengan adanya suatu relas ekuvalens pada S, maka dapat dtentukan suatu parts pada S. Parts n mendekomposs S menjad cell-cell. Cell yang memuat a S dlambangkan dengan a = { x S : x ~ a}. Cell sepert n dsebut dengan klas ekuvalens yang memuat a Grup Berkut n djelaskan mengena suatu struktur aljabar yang dsebut dengan grup. Grup merupakan suatu hmpunan tak kosong yang dlengkap dengan operas bner dan memenuh beberapa sfat, sepert djelaskan berkut n. 38

53 Defns (Fralegh, 2000) Dberkan sebarang hmpunan tdak kosong G dan operas bner * pada G, maka G dsebut grup terhadap operas bner * dan dtuls ( G,*) jka dpenuh 1. Operas bner * pada G bersfat assosatf, 2. Terdapat dengan tunggal elemen denttas yatu e G sedemkan hngga untuk setap a G berlaku e * a = a * e = a, 3. Untuk setap a G terdapat elemen nversnya, yatu a 1 G sedemkan hngga berlaku a a a a e 1 1 * = * =. Suatu grup ( G,*) dsebut Abelan jka operas bnernya bersfat komutatf. Selanjutnya, grup ( G,*) dapat dtulskan dengan G apabla operas bnernya telah dketahu. Defns (Fralegh, 2000) Dberkan grup G dan subset tak kosong H G. Subset H dsebut subgrup G jka terhadap operas bner yang sama pada G, maka H membentuk grup, dtuls H < G. Selanjutnya dberkan beberapa defns dan teorema yang menjelaskan sfatsfat grup dan elemen grup. Sepert subgrup, order, grup sklk, pembangun, koset dan subgrup normal. Dberkan grup G dan subset tak kosong H G. Teorema (Fralegh, 2000) Subset tak kosong H merupakan subgrup G jka dan hanya a * b 1 H, untuk setap, a b H. 39

54 Defns (Fralegh, 2000) Jka G mempunya banyak elemen yang berhngga, maka G dsebut grup berhngga (fnte group) dan banyaknya elemen G dsebut order G, dtuls G. Defns (Fralegh, 2000) Dberkan H subgrup G dan a G. Ddefnskan hmpunan Ha = { h* a : h H} dan ah { a * h : h H} =, maka Ha dsebut dengan koset kanan dan ah dsebut dengan koset kr. Jka ah = Ha, maka H dsebut subgrup normal dan dtuls H G. Defns (Fralegh, 2000) Jka terdapat a G sedemkan hngga untuk k setap x G, x = a = a * a*...* a, untuk suatu k Z, maka G dsebut grup sklk k faktor yang dbangun oleh a. Selanjutnya, a dsebut pembangun G dan k dsebut dengan n eksponen, dtuls { : } G = a n Z = a. Berkut n dberkan sebuah teorema yang menyatakan bahwa order dar subgrup past membag order grup. Teorema d bawah n dsebut dengan teorema Lagrange. Teorema (Fralegh, 2000) Jka G = n dan H subgrup G dengan H = m, maka m n. 40

55 Homomorfsma Grup Selanjutnya dberkan pengertan tentang homomorfsma grup, yatu suatu pemetaan dar suatu grup ke grup yang lan dan bersfat mengawetkan operas. Defns (Fralegh, 2000) Dberkan grup ( G, ) dan ( G, ) pemetaan φ : G G dsebut homomorfsma grup jka untuk setap a, b G, φ( a * b) = φ( a) φ( b).. Suatu Selanjutnya, jka φ bersfat njektf, maka φ dsebut monomorfsma grup. Jka φ bersfat surjektf, maka φ dsebut epmorfsma grup. Jka φ bersfat bjektf, maka φ dsebut somorfsma grup. Jka terdapat somorfsma dar G ke G, maka G dkatakan somorfs dengan G, dtuls G G. Selanjutnya, dengan memaham sfat somorfsma, dapat dsmpulkan bahwa jka G G, maka G dan G mempunya struktur yang dentk. Dengan demkan, untuk menyeldk G cukup dengan menyeldk G, dan juga sebalknya. Defns (Fralegh, 2000) Dberkan φ : G G, dan dberkan A G dan. Peta A adalah hmpunan φ [ A] = { φ( a) : a A} B G 1 φ [ G]. Prapeta yatu φ [ B] { x G φ x B} 1 grup G, maka [{ e }] = { x G : φ( x) = e }. Range φ adalah hmpunan = : ( ). Jka e adalah elemen denttas φ dsebut kernel φ, dtuls ker(φ ). 41

56 ker( φ ) = Dapat dlhat bahwa homomorfsma φ akan bersfat njektf apabla { e} apabla [ G], dengan e adalah elemen denttas grup G, dan akan bersfat surjektf φ = G. Berkut n dberkan pengertan tentang suatu grup yang dsebut dengan grup faktor. Selanjutnya, pada grup n dapat dbentuk suatu somorfsma dengan peta somorfsmanya. Defns (Fralegh, 2000) Dberkan H subgrup normal dar grup ( G,*). Ddefnskan hmpunan G { ah : a G } sebaga berkut. Untuk sebarang ah, bh G, H H = dan operas bner pada G H ( * ) ah bh = a b H. Hmpunan G H yang dlengkap dengan operas bner akan membentuk suatu grup yang dsebut dengan grup faktor dar G modulo H. Selanjutnya, dberkan sebuah teorema yang menjelaskan hubungan antara suatu grup, grup faktor dan peta homomorfsmanya. Teorema n dsebut dengan toerema fundamental homomorfsma. Untuk lebh jelasnya, dberkan pada Teorema d bawah n. Teorema (Fralegh, 2000) Jka dberkan homomorfsma grup φ : G G dengan ker( φ ) = H, maka φ [ G] merupakan subgrup dan dapat dbentuk suatu 42

57 somorfsma µ : G φ [ G] [ ah ] ( a) dengan aturan untuk sebarang ah G, maka H H µ = φ, dengan a G. Jka γ : G G dengan aturan γ ( a) = ah adalah H homomorfsma, maka φ ( a) µ ( γ ( a) ) =, a G. D bawah n dberkan lustras yang menunjukkan hubungan antara G, G H dan φ [ G] sepert djelaskan pada teorema fundamental homomorfsma. φ G φ [ G] γ µ G H Gambar 2.3. Hubungan antara G, G H dan φ [ G] Karena terdapat somorfsma antara grup faktor G H dan φ [ G], maka G H [ G] φ Gelanggang dan Lapangan Berkut n dperkenalkan suatu struktur aljabar yang lan, yatu gelanggang dan lapangan. Serta dberkan beberapa defns yang berhubungan dengan gelanggang dan lapangan. 43

58 Defns (Fralegh, 2000) Suatu gelanggang (rng) ( R, +, ) adalah hmpunan R tak kosong yang dlengkap dengan dua operas bner yatu operas penjumlahan + dan operas pergandaan yang memenuh 1) ( R, + ) merupakan grup Abelan, 2) Operas pergandaan bersfat assosatf, 3) Untuk setap a, b, c R berlaku sfat dstrbutf kr, yatu a.( b + c) = a. b + a. c dan sfat dstrbutf kanan yatu ( a + b). c = a. c + b. c. Gelanggang ( R, +, ) dapat dtulskan dengan R apabla operas bnernya dketahu. Jelas bahwa pada gelanggang R memuat elemen denttas terhadap operas penjumlahan yatu 0 R sedemkan hngga a + 0 = 0 + a = a, untuk setap a R. Defns (Fralegh, 2000) Dberkan gelanggang R dan S R, S. Subset S dsebut gelanggang bagan (subrng) R jka S merupakan gelanggang terhadap operas bner yang sama pada R. Dberkan pengertan tentang gelanggang komutatf, yatu gelanggang yang operas pergandaannya bersfat komutatf. Serta pengertan tentang unt, unt dan gelanggang pembag. Defns (Fralegh, 2000) Suatu gelanggang R yang operas pergandaannya bersfat komutatf dsebut gelanggang komutatf. Suatu gelanggang yang mempunya 44

59 elemen denttas terhadap pergandaan dsebut gelanggang dengan unt, elemen denttas terhadap pergandaan yatu 1 R dsebut dengan unt. Defns (Fralegh, 2000) Dberkan gelanggang R dengan unt 1 0. Suatu elemen u R dsebut unt jka u mempunya nvers terhadap operas pergandaan. Jka untuk setap elemen tak nol d R adalah unt, maka R dsebut gelanggang pembag (dvson rng). Defns (Fralegh, 2000) ( R 1, +, ),( 2,, ) R +,...,( R n, +, ). Dbentuk Dberkan gelanggang gelanggang n R = R, yatu R = ( r, r,..., r ) : r R. = 1 { } 1 2 n Ddefnskan operas + dan. pada R sebaga berkut, untuk setap (,,..., ),(,,..., ) r r r s s s R, 1 2 n 1 2 n ( r, r,..., r ) ( s, s,..., s ) ( r s, r s,..., r s ) + = + + +, dan 1 2 n 1 2 n n n ( r, r,..., r ) ( s, s,..., s ) ( r s, r s,..., r s ) =. 1 2 n 1 2 n n n Dapat dtunjukkan bahwa ( R, +, ) merupakan gelanggang. Selanjutnya, dberkan pengertan tentang suatu gelanggang yang dbentuk dar suatu hmpunan yang elemen-elemennya merupakan polnomal, gelanggang n dsebut dengan gelanggang polnomal. Lebh jelasnya dberkan pada defns berkut n. 45

60 Defns (Fralegh, 2000) Dberkan gelanggang R dan suatu smbol x yang dsebut ndetermnt. Suatu polnomal f ( x ) dengan koefsen dalam R adalah dengan a n f ( x) = a. x = a + a. x a. x +... = R, dan a 0 untuk nla-nla yang banyaknya berhngga, sedangkan yang lannya semuanya nol. Elemen a n R dsebut koefsen-koefsen dar f ( x ). Teorema (Fralegh, 2000) Dberkan R[ x ] yatu hmpunan semua polnomal dalam x dengan koefsen dalam gelanggang R. Hmpunan R[ x ] merupakan gelanggang terhadap operas bner penjumlahan polnomal dan pergandaan polnomal. Untuk setap f ( x), g( x) R[ x], yatu f ( x) a a. x... a. x... n = n + dan 0 1 n g( x) = b + b. x b. x +..., maka n f ( x) g( x) c c. x... c. x... n + = n + dengan cn an bn = +, dan n f ( x). g( x) = d + d. x d. x +... dengan 0 1 n n n = a. bn. = 0 d Jka R adalah gelanggang komutatf, maka R[ x ] merupakan gelanggang komutatf. Gelanggang R[ x ] sepert n dsebut dengan gelanggang polnomal atas R. Selanjutnya, dberkan konsep pembag nol, daerah ntegral dan homomorfsma gelanggang dan lapangan. Sama halnya sepert pada homomorfsma grup, pada homomorfsma gelanggang n juga merupakan pemetaan antar gelanggang dan bersfat mengawetkan operas. 46

61 Defns (Fralegh, 2000) Dberkan gelanggang komutatf R dan a R, a 0. Elemen a dsebut pembag nol jka terdapat b R, b 0 sedemkan hngga a. b = 0. Suatu gelanggang R dsebut daerah ntegral jka operas pergandaannya bersfat komutatf, memuat unt dan tdak memuat pembag nol. Jad, untuk suatu daerah ntegral R, jka a. b = 0, maka a = 0 atau b = 0, a, b R. Defns (Fralegh, 2000) Dberkan gelanggang ( R, +, ) dan ( R,, ) +. Suatu pemetaan φ : R R dsebut homomorfsma gelanggang jka untuk sebarang a, b R 1. φ( a + b) = φ( a) + φ( b), 2. φ( a. b) = φ( a). φ( b). Selanjutnya, jka φ bersfat njektf, maka φ dsebut monomorfsma gelanggang, jka φ bersfat surjektf, maka φ dsebut epmorfsma gelanggang dan jka φ bersfat bjektf, maka φ dsebut somorfsma gelanggang. Defns (Fralegh, 2000) Suatu gelanggang pembag yang bersfat komutatf dsebut dengan lapangan (feld). Jka suatu lapangan F memuat elemen sebanyak berhngga, maka F dsebut lapangan berhngga (fnte feld). Defns (Fralegh, 2000) Dberkan lapangan F. Subset tak kosong S F dsebut lapangan bagan (subfeld) jka S merupakan lapangan terhadap operas bner yang sama pada F. 47

62 BAB III PERSAMAAN KONGRUEN DAN HIMPUNAN BILANGAN BULAT MODULO Pada bab n dbahas mengena persamaan kongruen, hmpunan blangan bulat modulo, gelanggang blangan bulat modulo, resdue class rng dan suatu grup berorder prma. Juga dbahas beberapa algortma untuk suatu grup Abelan berhngga. Pembahasan n pentng karena mendasar beberapa perhtungan pada algortma ElGamal Persamaan Kongruen Defns (Buchmann, 2000) Dberkan blangan bulat a dan b, dan blangan bulat postf m. Blangan bulat a dkatakan kongruen b modulo m jka m ( b a), dtuls a b( mod m). Selanjutnya, blangan bulat m dsebut modulus, dan persamaan dsebut persamaan kongruen modulo m. Contoh ) 24 9( mod 5), sebab 24 9 = (3).(5). 2) 11 17( mod 7), sebab = ( 4).(7). Berkut n dberkan beberapa teorema yang menjelaskan sfat-sfat persamaan kongruen. 48

63 Teorema (Buchmann, 2000) Dberkan persamaan kongruen a b( mod m) dan c d ( mod m), maka berlaku a b( mod m), a c b d ( mod m) ( ) a. c b. d mod m. Bukt: + +, dan Karena m membag (a b), maka m juga membag ( a + b), akbatnya terbukt ( mod ) a b m. Karena m membag (a b) dan (c d), maka m juga membag + = + +, dengan kata lan terbukt a c b d ( mod m) ( a b c d) ( a c) ( b d) Untuk membuktkan a. c b. d ( mod m) + +., msalkan a = b + l. m dan c = d + k. m, maka a. c = ( b + l. m).( d + k. m) = b. d + m.( l. d + k. b + l. k. m) atau dengan kata lan m membag, terbukt bahwa a. c b. d ( mod m) ( a. c b. d). Teorema (Stnson, 1995) Dberkan sebarang a, b Z, m Z postf, r1 = a mod m dan r 2 b mod m Bukt: Dketahu a b( mod m) Karena a b( mod m) =, maka a b( mod m) jka dan hanya jka r 1 = r 2. dengan m Z postf, akan dtunjukkan bahwa r 1 = r 2. maka menggunakan algortma pembagan pada blangan bulat (Teorema ) terdapat q1, q2 Z dan r 1, r 2 Z yang tunggal sedemkan hngga a q. m r 0 r < m = 1 + 1, 1 dan b q. m r 0 r < m. = 2 + 2, 2 49

64 Dar Defns 3.1.1, karena a b( mod m), maka m membag (a b). Berart terdapat blangan bulat k sedemkan hngga a b = k.m + 0. Sehngga dperoleh bahwa a b = k. m + 0 dapat dlhat bahwa r 1 r 2 = 0 atau r 1 = r 2. Dketahu r 1 r 2 q. m + r q. m + r = k. m + 0 ( ) ( ) q q. m + r r = k. m + 0, ( ) ( ) =, akan dtunjukkan bahwa a b( mod m), maka r = r 1 2 r 1 r 2 = 0 a b 0( mod m) a = b + k. m, k Z. a b( mod m) Dengan demkan, teorema n terbukt. Dapat dtunjukkan bahwa persamaan kongruen adalah suatu relas ekuvalens pada blangan bulat, akbatnya dapat dbentuk klas ekuvalens yang memuat a Z. Lebh jelasnya dberkan pada defns berkut n. Defns (Buchmann, 2000) Dberkan relas ekuvalens persamaan kongruen modulo m pada hmpunan blangan bulat Z. Klas ekuvalens yang memuat a Z adalah 50

65 { Z : ( mod )} a = x x a m { a k. m : k Z} = + = a + m. Z. Klas ekuvalens sepert n dsebut dengan resdue class a mod m. Contoh Resdue class 2 mod 4 adalah = { + k k Z } = { 2, 2 ± 4, 2 ± (2).4,2 ± (3).4,...} = { 2, 2,6, 6,10, 10,12,... } : Gelanggang Blangan Bulat Modulo Dberkan blangan bulat m > 1, ddefnskan hmpunan { mod : } Z m = x m x Z, maka Z m merupakan hmpunan ssa pembagan semua blangan bulat dengan m. Selanjutnya, elemen-elemen hmpunan Z m dapat dpandang sebaga klas-klas salng asng yang menyatakan hmpunan blangan bulat yang mempunya ssa yang sama apabla dbag dengan m, yatu { 0, 1, 2,..., m 1} Z m =. Jka m a Z, maka a = { x Z : x mod m = a} mempersngkat penulsan, hmpunan n dtuls Z = { 0,1,2,..., m 1} Z m sepert n dsebut dengan hmpunan blangan bulat modulo m. m. Untuk. Hmpunan Pada hmpunan Z m berlaku operas penjumlahan modulo dan pergandaan modulo m, yatu untuk setap a, b Z m maka a + b = ( a + b) mod m dan 51

66 a. b = ( a. b) mod m. Jelas bahwa kedua operas tersebut merupakan operas bner pada Z m. Selanjutnya, hmpunan Z m yang dlengkap dengan operas penjumlahan modulo dapat membentuk grup (, ) Z dengan 0 Z adalah elemen denttas m + m Z m. Dberkan grup ( Z,+) dengan + adalah operas penjumlahan basa pada hmpunan bulat. Ddefnskan pemetaan φ : Z Z m dengan aturan bahwa untuk setap x Z, φ ( x) = x mod m. Dapat dtunjukkan bahwa φ merupakan homomorfsma grup dengan φ [ Z] = Z m dan ( φ ) { φ } { } ker = x Z : ( x) = 0 = m. z : z Z = m. Z. Selanjutnya, menggunakan Teorema (teorema fundamental Z m. + Z homomorfsma) dapat dbentuk grup faktor (, ) { a m. Z : a Z} Z m. Z = + dengan. Dengan memperhatkan Defns 3.1.5, dapat dlhat bahwa Z merupakan hmpunan semua resdue class mod m. Defns operas m. Z penjumlahan pada Z adalah sebaga berkut, untuk sebarang a, b m. Z Z m. Z maka a + b = a + b. Lebh lanjut, dapat dbentuk suatu somorfsma µ : Z Z m. Z m dengan aturan untuk sebarang a Z m. Z, (, ) Z. m + ( ) ( ) µ a = µ a + m. Z = φ( a). Dengan demkan dapat dkatakan bahwa grup (, ) Z m. + somorfs dengan Z 52

67 Z φ Z m µ Z m. Z Gambar 3.1. Hubungan antara Z, Z dan m. Z Z m Selanjutnya, pada hmpunan Z m atau Z dapat dbentuk gelanggang m. Z dengan operas bner pergandaan sebaga berkut. Untuk sebarang a, b Z m. Z, a. b a. b =. Dketahu bahwa (, +, ) Z adalah gelanggang komutatf dengan unt 1. Teorema (Buchmann, 2000) Jka m adalah blangan bulat dengan m > 1, maka (, +, ) Z adalah gelanggang komutatf dengan unt 1 Z. Selanjutnya, m gelanggang Z m sepert n dsebut dengan gelanggang blangan bulat modulo m. m Teorema (Buchmann, 2000) Jka m adalah blangan bulat dengan m > 1, Z adalah gelanggang komutatf dengan unt 1 = 1 + m. Z. m. Z maka (, +, ) Selanjutnya, gelanggang sepert n dsebut dengan resdue class rng modulo m. Bukt: Dketahu bahwa (, ) a b a b b a b a Z m. + adalah grup. Dambl sebarang a, b, c Z Z m. Z. Karena + = + = + = +, maka (, ) Z m. + Abelan. Z Selanjutnya, karena 53

68 ( ) ( ) ( ) ( ) a. b. c = a. b. c = a.( b. c) = ( a. b). c = a. b. c = a. b. c, dperoleh bahwa operas pergandaan bersfat assosatf. Dapat dtunjukkan bahwa memenuh dstrbutf kr dan kanan, yatu ( ) dan ( ) ( ) a.( b + c ) = a. b + c = a.( b + c) = a. b + a. c = a. b + a. c = a. b + a. b ( a + b ). c = a + b. c = a + b. c = a. c + b. c = a. c + b. c = a. c + b. c. Dapat dtunjukkan operas pergandaan bersfat komutatf, yatu a. b = a. b = b. a = b. a. Selanjutnya, terdapat 1 Z sedemkan hngga.1.1 m. Z a = a = a dan 1. a = 1. a = a. Dengan demkan terbukt bahwa (, +, ) Z adalah gelanggang komutatf dengan m. Z unt Pembagan pada Gelanggang Blangan Bulat Modulo Pada pembahasan mengena sfat dvsblty pada blangan bulat (Defns ), sfat n dapat dterapkan pada elemen-elemen gelanggang. Sfat tersebut djelaskan pada Defns d bawah n. Defns (Buchmann, 2000) Dberkan gelanggang ( R, +, ) dan a, n R. Elemen a dkatakan membag n jka terdapat b R sehngga n = a. b. Elemen a dengan sfat sepert n dsebut pembag (dvsor) n dan n dsebut kelpatan (multple) a. Elemen a yang membag n dtulskan dengan a n. Selanjutnya, akan dseldk elemen-elemen dar Z m mana saja yang merupakan unt, yatu mempunya nvers terhadap operas pergandaan. Perlu 54

69 dperhatkan bahwa a Z m merupakan unt dalam Z m sama halnya dengan mengatakan bahwa persamaan kongruen mempunya penyelesaan untuk a, x Z. ( m) a. x 1 mod (3.1) m Untuk selanjutnya, pernyataan nvers yang dmaksud adalah nvers terhadap operas pergandaan. Teorema (Buchmann, 2000) Elemen a Z m merupakan unt jka dan hanya jka gcd( a, m ) = 1. Jka gcd( a, m ) = 1, maka nvers a tunggal. Bukt: Msalkan g = gcd( a, m) dan x Z m menjad solus penyelesaan dar persamaan kongruen (3.1). Karena g = gcd( a, m), maka g m dan g a. Menurut Defns 3.1.1, maka g ( a. x 1). Oleh karena tu, g 1. Karena pembag dar 1 adalah 1 sendr, maka dperoleh gcd( a, m ) = 1. Dberkan gcd( a, m ) = 1, menggunakan Akbat maka terdapat blangan bulat x dan y sedemkan hngga a.x + m.y = 1. Menggunakan Akbat dperoleh bahwa x adalah solus penyelesaan dar persamaan kongruen (3.1) sehngga x adalah nvers dar a Z m. Untuk membuktkan sfat ketunggalan x sebaga nvers dar a dgunakan langkah sebaga berkut. Dambl v Z m sebaga nvers yang lan dar a, maka ( ). Akbatnya m a. ( x v) a. x a. v mod m. Karena gcd( a, m ) = 1, maka m adalah 55

70 pembag dar x v. Hal n membuktkan bahwa x v( mod m). Dengan kata lan terbukt bahwa nvers dar a adalah tunggal. Selanjutnya, dapat dlhat bahwa suatu a Z m, a 0 dapat merupakan pembag nol atau juga merupakan unt. Contoh Dberkan m = 8, a Z 8 merupakan unt dalam Z 8 jka gcd( a,8) = 1. Dar sn dperoleh bahwa elemen-elemen Z 8 yang mempunya nvers adalah 1, 3, 5 dan 7, masng-masng nversnya adalah 1, 3, 5 dan 7. Dar Teorema dapat dlhat bahwa persamaan kongruen (3.1) dapat dselesakan menggunakan algortma Euclde yang dperluas, sebab akan dperoleh dua hal sekalgus yatu gcd(a,m) serta blangan bulat x dan y sedemkan hngga gcd( a, m) = a. x + m. y. Menurut Teorema 3.3.2, persamaan kongruen (3.1) akan mempunya penyelesaan jka gcd(a,m) = 1. Apabla dperoleh gcd(a,m) = 1, maka nvers a Z m juga dapat dperoleh, yatu a 1 mod m = x. Berkut n dberkan algortma yang dapat dgunakan untuk menghtung nvers pergandaan menggunakan algortma Euclde yang dperluas pada hmpunan blangan bulat modulo m, dengan m blangan bulat postf. 56

71 Algortma 3.1 : Mencar Invers Pergandaan Modulo (Menezes, Oorschot and Vanstone, 1996) Input : a Z m, m blangan bulat postf. Output : a 1 mod m. Langkah : 1. Tentukan x, y Z yang memenuh a.x + m.y = d dengan d = gcd( a, m) menggunakan algortma Euclde yang dperluas (Algortma 2.3). 2. Jka d > 1, maka a 1 mod m tdak ada. Jka tdak, output (x). Contoh Akan dhtung 1 35 mod100. Dar Contoh dperoleh gcd(100,35) = 5, x = -1 dan y = 3. Karena d = gcd(100,35) = 5 > 1, maka 1 35 mod100 tdak ada. Teorema (Buchmann, 2000) Gelanggang (, +, ) berhngga jka dan hanya jka m adalah blangan prma. Bukt: Z merupakan lapangan Andakan m bukan blangan prma, maka m = a. b dengan 1 < a, b < m 1. Karena Z m merupakan lapangan, maka setap elemen tak nolnya past mempunya nvers. Msalkan c adalah nvers dar b, berart b. c 1( mod m) dan a. b. c a ( mod m) Karena m a. b =, maka a. b 0( mod m), akbatnya 0 a ( mod m) m.. Tmbul kontradks dengan pengandaan d atas, yang benar m merupakan blangan prma. 57

72 Dketahu m adalah blangan prma. Karena Z m merupakan gelanggang, maka akan dbuktkan bahwa setap elemen tak nol mempunya nvers. Karena m adalah blangan prma, maka gcd( m, a ) = 1, untuk 0 < a < m. Akbatnya terdapat blangan bulat x dan y sedemkan hngga x. m y. a 1 dperoleh y a 1 ( mod m) + = yang berart y. a 1( mod m),. Jad terbukt bahwa setap elemen tak nolnya mempunya nvers. Dengan kata lan, Z m adalah lapangan berhngga. Oleh karena tu resdue class rng modulo m (, +, ) Z juga merupakan m. Z lapangan berhngga jka dan hanya jka m adalah blangan prma. Untuk selanjutnya, lapangan sepert n dsebut dengan resdue class feld modulo m Grup Pergandaan Blangan Bulat Modulo Teorema (Buchmann, 2000) Hmpunan semua unt dalam Z m yang dlengkap dengan operas pergandaan membentuk suatu grup Abelan berhngga. Bukt: Karena hmpunan n merupakan hmpunan semua unt dalam sendrnya teorema n terbukt. Z m, maka dengan Untuk selanjutnya, grup sepert djelaskan pada Teorema dsebut dengan grup pergandaan blangan bulat modulo m dan dnotaskan dengan Z m *. Dengan demkan dapat dtuls bahwa * = { a : gcd( a, m) = 1} Z Z. m m 58

73 Contoh Dberkan gelanggang Z 5. Karena 5 adalah blangan prma, maka Z 5 adalah lapangan. Selanjutnya, menggunakan sfat lapangan dperoleh bahwa setap elemen dalam Z 5 kecual nol past mempunya nvers. Dengan kata lan, setap elemen Z 5 kecual nol merupakan unt. Jad, Z * = { 1,2,3,4 }. 5 Selanjutnya, dapat dbentuk grup Z * yatu grup pergandaan yang m. Z elemennya merupakan semua unt dalam gelanggang (, +, ) sepert n dsebut dengan multplcatve group of resdues modulo m. Z. Grup Z * m. Z m. Z Berkut n djelaskan suatu fungs yang menyatakan order dar grup pergandaan blangan bulat modulo m, Z m *. Ddefnskan fungs ϕ : N N dengan 1, m = 1 ϕ( m) = order Z m *, m > 1 Fungs ϕ sepert n dsebut dengan Euler ϕ -functon. gcd( a, m ) = 1. Dengan demkan, ( m) ϕ adalah banyaknya a { 1, 2,..., m} dengan Contoh (Buchmann, 2000) Tabel 3.1. Beberapa nla Euler ϕ -functon m φ ( m)

74 Dar Tabel 3.1, dperoleh bahwa ϕ (1) = 1, ϕ (2) = 1, ϕ (3) = 2, dan seterusnya. Artnya, order dar Z * adalah 1, order dar 2 Z * 3 adalah 2, dan seterusnya. Teorema (Buchmann, 2000) Jka p adalah blangan prma, maka ϕ ( p) = p 1. Bukt: Dberkan sebarang blangan prma p. Menggunakan Teorema maka ( Z, + p, ) adalah lapangan dengan order p. Selanjutnya, dapat dbentuk grup Z p * yang ordernya dnotaskan dengan ϕ ( p). Karena Z p adalah lapangan, maka setap elemen tak nolnya past mempunya nvers, dengan kata lan ada sebanyak p 1 elemen yang mempunya nvers, yang semuanya menjad anggota Z p *. Dengan demkan dperoleh bahwa order Z p * adalah p 1, terbukt bahwa ϕ ( p) = p 1. Pada Teorema dketahu bahwa jka p adalah blangan prma, maka ϕ ( p) = p 1. Selanjutnya, d bawah n dberkan sebuah teorema tentang Euler ϕ - functon. Teorema (Buchmann, 2000) Dberkan blangan bulat postf m dan d1, d2,..., d n adalah semua pembag postf m yang berbeda, maka n ϕ( d ) = m. = 1 Bukt: 60

75 m Karena hmpunan semua pembag postf dar m adalah : = 1, 2,..., n, maka d dperoleh bahwa n n m ϕ( d ) = ϕ. = 1 = 1 d m Selanjutnya, untuk setap, 1 n maka ϕ d adalah banyaknya blangan bulat m a d dalam hmpunan 1, 2,..., d m dengan gcd a, = 1. Oleh karena tu d m ϕ d merupakan banyaknya blangan bulat b d dalam hmpunan { 1,2,..., m } dengan gcd( b, m) = d. Oleh karena tu Karena maka berakbat bahwa n n ϕ( d ) = { b :1 b mdan gcd( b, m) = d}. = 1 = 1 n 1,2,..., :1 dan gcd(, ) { m} = { b b m b m = d } n = 1 n = 1 = 1 { } ϕ( d ) = b :1 b mdan gcd( b, m) = d = m. Dengan demkan teorema terbukt. Contoh Dberkan m = 10. Blangan bulat postf pembag 10 adalah 1, 2, 5 dan 10. Menggunakan Teorema dperoleh 61

76 4 = 1 ϕ( d ) = ϕ(1) + ϕ(2) + ϕ(5) + ϕ(10) = = Order Elemen-Elemen Grup Selanjutnya dperkenalkan konsep order elemen-elemen grup. Dberkan grup G terhadap operas pergandaan. dengan elemen denttas 1. Defns (Buchmann, 2000) Dberkan sebarang g G. Jka terdapat blangan bulat postf k sedemkan hngga berlaku g k = g. g... g = 1, maka blangan k faktor bulat postf terkecl sepert n dsebut order g. Jka tdak, maka order g adalah tak hngga (nfnte). Oleh karena tu, untuk sebarang g G, order g adalah order subgrup yang dbangun oleh g. Teorema (Buchmann, 2000) Dberkan sebarang g G dan u Z postf, u maka g = 1 jka dan hanya jka u dapat dbag dengan order g. Bukt: Msalkan order dar g adalah k. Jka u = h. k, maka ( ) u h. k k h h g = g = g = 1 = 1. 62

77 u Dketahu g = 1 dengan u = q. k + r, 0 r < k. Dperoleh ( ) r u q. k u k q g g g g = = = 1. k Karena k adalah blangan bulat postf terkecl sehngga g = 1 dan karena 0 r < k, dperoleh r = 0, sehngga u = q. k, untuk suatu q Z. Akbat (Buchmann, 2000) Dberkan g G dan k, l Z, maka jka dan hanya jka l k(mod order g). Bukt: g l = g k u l k Dtentukan u = l k. Menggunakan Teorema maka g = g = 1 jka dan hanya jka order g ( l k). Terbukt bahwa l k(mod order g). Teorema (Buchmann, 2000) Jka g G mempunya order h dan jka n Z, maka order g Bukt: n h =. gcd( h, n) n Msalkan g = gcd( h, n) dan m = order g. Akan dbuktkan bahwa karena h m =. Oleh g h n h g ( g ) ( ) g g g 1 1 n = = =, n menggunakan Teorema dperoleh bahwa berlaku h m. Msalkan untuk suatu k Z g n k. ( g ) g n k 1 = =. 63

78 Berdasarkan Teorema berakbat bahwa h n. k, sehngga dperoleh bahwa h k n. Karena m = order g, maka g Akbatnya dperoleh h m =, dengan kata lan order g g h m, d lan phak dketahu g n h m g. h =. gcd( h, n) Teorema (Buchmann, 2000) Jka G adalah grup sklk dan berhngga, maka G mempunya pembangun sebanyak ϕ ( G ) dan order setap pembangunnya sama dengan order G. Bukt: Dberkan g G yang mempunya order s, maka g membangun suatu subgrup g dengan g = s. Selanjutnya, suatu elemen G yang membangun G mempunya order G. Akan dseldk elemen-elemen G yang mempunya order G. Msalkan g adalah k pembangun G, maka G { g : 0 k G } =. Menggunakan Teorema 3.5.4, elemen dar hmpunan n mempunya order G jka dan hanya jka ( k G ) gcd, = 1. Hal n menunjukkan bahwa banyaknya pembangun dar G ada sebanyak ϕ ( G ) Teorema Fermat Berkut n dberkan sebuah teorema yang cukup terkenal dalam krptograf, teorema n dsebut dengan teorema Fermat, sepert dberkan pada Teorema d bawah n. 64

79 Teorema (Buchmann, 2000) Untuk sebarang a Z m * berlaku a ϕ ( m) ( m) 1 mod. Bukt: Dbentuk grup Z m * dengan m adalah blangan bulat postf. Dambl sebarang a Z *. Karena ϕ ( m) adalah order grup Z *, maka menggunakan Defns m ϕ ( m) dperoleh bahwa a 1( mod m) m. Teorema (Buchmann, 2000) Jka dberkan grup G dan sebarang g G, maka order g membag order G. Bukt: Karena order g merupakan order dar subgrup yang dbangun oleh g, maka menggunakan Teorema dperoleh bahwa order subgrup yang dbangun oleh g membag order grup G. Dengan demkan teorema terbukt. Berkut n dberkan sebuah teorema yang merupakan generalsas dar teorema Fermat. Teorema n ddasarkan pada Teorema Teorema (Buchmann, 2000) G Untuk setap g G, g = 1. Bukt: Berdasarkan Teorema maka untuk setap g G dperoleh bahwa order g G. G Menggunakan Teorema dperoleh bahwa g = 1. 65

80 Masalah yang kemudan muncul adalah bagamana jka a dan blangan ϕ ( m) pada teorema Fermat merupakan blangan bulat yang besar, maka perhtungan akan menjad sult dan rumt. Berkut n djelaskan suatu metode yang dapat dgunakan untuk menghtung secara cepat pangkat blangan bulat khususnya untuk blangan bulat yang besar Metode Fast Exponentaton menghtung Dberkan sebarang grup G, g G dan blangan bulat postf z. Untuk z g dlakukan langkah berkut n. Dbentuk ekspans bner dar blangan bulat z, yatu k z = a.2. = 0 Karena z dtuls dalam ekspans bner, maka a { 0,1} ( ). Sehngga k.2 a a k z = g = g = g = g. = 0 1 k, a = 1 Dengan hasl n dperoleh cara yang cepat untuk menghtung z g yang dsebut dengan metode fast exponentaton, yatu 1) Htung nla 2 g, 0 k. 2) Nla z g merupakan hasl dar perkalan nla-nla g, dengan a = 1. 2 Dperoleh bahwa g ( g ) =. 66

81 Contoh (Buchmann, 2000) Akan dhtung nla dar 73 6 mod100. Pertama, dtentukan ekspans bner dar = atau ( ) 2. Selanjutnya dhtung = 6, =, ( mod100) =, 3 2 ( ), ( mod100), ( mod100) 6 16 mod ( ) mod100. Sehngga dperoleh Jad, 73 6 mod100 = ( ) ( ) mod100 ( ) mod mod100., Algortma 3.2 : Metode Fast Exponentaton (Menezes, Oorschot and Vanstone, 1996) Input : a Z m, m Z postf dan blangan bulat k, 0 k < m dengan representas bner dar t k = k.2. = 0 Output : k a mod m. Langkah : 1. Set b 1. Jka k = 0, maka output(b). 2. Set A a. 3. Jka k 0 = 1, maka set b a. 4. Untuk dar 1 sampa t kerjakan: 67

82 4.1 Set A 2 A mod n. 4.2 Jka k = 1, maka set 5. Output(b). b Ab. mod n. Berkut n dberkan sebuah contoh perhtungan pangkat blangan bulat modulo yang besar menggunakan Algortma 3.2. Contoh (Menezes, Oorschot and Vanstone, 1996) Dhtung mod1234 menggunakan Algortma 3.2. Tabel 3.2. Perhtungan mod k A b Dar Tabel 3.2 dapat dlhat bahwa mod1234 = Penghtungan Order Elemen Grup Dalam krptograf, serng dgunakan suatu elemen grup dengan order yang besar. Pada subbab n dbahas bagamana menemukan nla dar order suatu elemen g d dalam grup berhngga G atau menunjukkan apakah jka dberkan sebarang blangan bulat postf, maka blangan tu merupakan order g atau tdak. Teorema d bawah n menunjukkan bagamana menghtung order g jka dketahu faktorsas prma dar order G, yatu 68

83 n G = p, = 1 e( p ) dengan p, 1 n adalah blangan prma yang membag G. Jka faktorsas prma dar G tdak dketahu, maka tdak mudah untuk mencar order g. Khususnya pada algortma ElGamal, order grup dan faktorsas prmanya telah dketahu. Teorema (Buchmann, 2000) Dketahu grup G dan faktorsas prma n G = p. Jka g G dan f ( p ) adalah blangan bulat terbesar sedemkan = 1 e( p ) hngga G f ( p ) p g = 1, 1 n, maka n order g = p. = 1 e( p ) f ( p ) Bukt: Msalkan faktorsas prma dar G adalah n G = p. Menggunakan Teorema = 1 e( p ) dperoleh bahwa G f ( p ) p G g = 1 jka dan hanya jka order g membag f ( p ) p atau order g membag n = 1 p p e( p ) f ( p ). Akbatnya order g membag n = 1 p e( p ) f ( p ). Dperoleh bahwa n x( p ) order g = p dengan 0 x( p ) e( p ) f ( p ), untuk setap p, = 1 p 1 n. Karena f ( p ) adalah blangan bulat terbesar sedemkan hngga g = 1 G f ( p ) 69

84 maka x( p ) = e( p ) f ( p ), untuk setap p, 1 n. Dengan demkan dperoleh bahwa n n x( p ) e( p ) f ( p ) = 1 = 1. order g = p = p Dengan demkan teorema n terbukt. Contoh (Buchmann, 2000) Dberkan grup G = Z *. Grup n mempunya order = 2.5. Dketahu e(2) = e(5) = 2. Akan dhtung order dar 2. Pertama, dhtung nla f ( p ) menggunakan Teorema 3.8.1, dperoleh Oleh karena tu, f (2) = 0. Selanjutnya, ( ) mod ( ) mod101. Oleh karena tu f (5) = 0, jad order dar 2 Z 101 * adalah 100. Selanjutnya, Akbat d bawah n dapat dgunakan untuk menunjukkan bahwa suatu blangan bulat merupakan order g G atau tdak. Hal n pentng karena dgunakan untuk menentukan pembangun dar suatu grup sklk. n p Akbat (Buchmann, 2000) Dberkan n N. Jka g = 1 dan g 1 untuk setap p yatu pembag prma dar n, maka n adalah order dar g. Bukt: n 70

85 n Dketahu n N, g G dan g = 1. Msalkan k n = p adalah faktorsas prma = 1 e( p ) n p dar n. Karena g 1, untuk setap, 1 k, maka f ( p ) = 0. Menggunakan Teorema dperoleh bahwa n adalah order g. Contoh (Buchmann, 2000) Akan dbuktkan apakah 25 merupakan order dar 5 Z 101 *. Dketahu 5 ( ) dan 5 95( mod101) mod101 maka 25 merupakan order dar 5 Z 101 *.. Oleh karena tu, menggunakan Akbat Polnomal Pada Bab I telah djelaskan mengena defns gelanggang polnomal. Dberkan gelanggang komutatf R dengan unt 1 0 dan polnomal n f ( x) = a. x + a. x a. x + a, n n 1 n dengan x adalah varabel (ndetermnt) dan koefsen a0, a1..., a n adalah elemen R, dengan a = 0, untuk > n. Hmpunan semua polnomal atas R dengan varabel x dnotaskan dengan R[ x ]. deg ( f ( x) ) Msal dberkan an 0, maka n dsebut derajat dar polnomal f ( x ), dtuls = n. Selanjutnya, a n dsebut koefsen leadng (leadng coeffcent). Jka setap koefsen kecual koefsen leadng adalah nol, maka polnomal f ( x ) dsebut monomal. 71

86 Contoh (Buchmann, 2000) Dberkan polnomal (2. x 3 x 1), x 2, 5 [ x] Z. Dapat dlhat bahwa polnomal 3 2. x x mempunya derajat 3, polnomal x + 2 mempunya derajat 1, dan polnomal 5 mempunya derajat 0. Jka r R, maka f ( r) = a. n n r a0 adalah nla dar f pada r. Jka f ( r ) = 0, maka r dsebut pembuat nol (zero of ) f. Contoh (Buchmann, 2000) Nla dar polnomal 2. x 3 x 1 [ x] + + Z pada 1 adalah 3 2.( 1) + ( 1) + 1 = 2. 2 Polnomal x 1 [ x] + Z mempunya pembuat nol yatu Polnomal atas Lapangan pembag nol. Dberkan lapangan F, maka gelanggang polnomal F [ x ] tdak memuat Lemma (Buchmann, 2000) Jka f ( x), g( x) F [ x] ( f x g x ) ( f x ) ( g x ) deg ( ). ( ) = deg ( ) + deg ( )., f ( x), g( x) 0, maka Sepert pada hmpunan blangan bulat, pada F [ x ] juga dapat dterapkan tentang konsep algortma pembagan yang dsebut dengan algortma pembagan polnomal sepert dberkan pada Teorema d bawah n. 72

87 Teorema (Buchmann, 2000) Dberkan f ( x), g( x) F [ x] dengan g( x) 0, maka terdapat dengan tunggal polnomal q( x), r( x) F [ x] dengan f ( x) = q( x). g( x) + r( x) dan ( ) 0 r x = atau deg ( r( x) ) deg ( g( x) ) <. Pada Teorema d atas, q( x ) dsebut hasl bag (quotent) dan r( x ) dsebut ssa (remander) dar pembagan f ( x ) dengan g( x ), dtuls r( x) = f ( x) mod g( x). Akbat (Buchmann, 2000) Jka f ( x) F [ x] dan jka a adalah pembuat nol f ( x ), maka f ( x) ( x a). q( x) Bukt: adalah polnomal tdak nol = dengan q( x) F [ x] Menggunakan Teorema , terdapat polnomal q( x), r( x) F [ x] f ( x) = ( x a). q( x) + r( x) dan ( ) 0 r x = atau ( ). dengan deg r( x ) < 1. Akbatnya 0 = f ( a) = r( x) sehngga dperoleh f ( x) = ( x a). q( x). 2 Contoh (Buchmann, 2000) Polnomal x 1 [ x] + Z mempunya elemen 2 pembuat nol yatu 1, dan x + 1 = ( x 1). 2 2 Akbat (Buchmann, 2000) Polnomal [ ] palng banyak deg ( f ( x )) pembuat nol. Bukt: f ( x) F x, f ( x) 0 mempunya 73

88 Akan dbuktkan menggunakan nduks pada n deg ( f ( x) ) benar berlaku, sebab f ( x) F [ x] =. Untuk n = 0 jelas dan f ( x) 0. Selanjutnya, dberkan n > 0. Jka f ( x ) tdak mempunya pembuat nol, maka jelas pernyataan benar. Jka f ( x ) mempunya pembuat nol, msalkan a adalah pembuat nol f ( x ), menggunakan Akbat berakbat bahwa f ( x) ( x a). q( x) = dan ( q x ) deg ( ) = n 1. Menggunakan asums nduks, dperoleh bahwa q( x ) mempunya palng banyak n 1 pembuat nol. Dengan kata lan, f ( x ) mempunya palng banyak n pembuat nol Grup Unt atas Lapangan Berhngga Dberkan lapangan berhngga F yang memuat sebanyak q elemen. Ddefnskan suatu grup F *, yatu grup yang elemennya adalah semua unt dalam lapangan F dengan operas bner pergandaan dalam F. Grup F * mempunya order q 1, sebab setap elemen tak nol dalam F merupakan unt. Selanjutnya, grup F * sepert n dsebut dengan grup unt (unt group). Teorema (Buchmann, 2000) Dberkan lapangan berhngga F yang memuat q elemen. Jka d adalah blangan bulat postf yang membag q 1, maka terdapat ϕ ( d) elemen dengan order d dalam grup unt F *. Bukt: Dberkan blangan bulat d yang membag q 1. Ddefnskan ψ ( d) adalah banyaknya elemen berorder d dalam F. Dasumskan bahwa ψ ( d) > 0, akan 74

89 dbuktkan bahwa ψ ( d) = ϕ( d). Dberkan a adalah elemen berorder d dalam F *, m maka a,0 m < d merupakan elemen yang berbeda dan semuanya merupakan d pembuat nol dar polnomal x 1. Menggunakan Akbat , terdapat palng d banyak d pembuat nol dar polnomal x 1 dalam F. Oleh karena tu, polnomal n mempunya tepat d pembuat nol dan semuanya merupakan elemen yang dperoleh dar pemangkatan a. Selanjutnya, setap elemen dalam F dengan order d adalah d pembuat nol dar x 1 dan merupakan hasl pemangkatan dar a. Menggunakan Teorema 3.5.4, suatu pangkat m a mempunya order d jka dan hanya jka gcd( d, m ) = 1. Oleh karena ψ ( d) > 0, maka berakbat ψ ( d) = ϕ( d). Selanjutnya, akan dbuktkan bahwa ψ ( d) > 0. Msalkan ψ ( d) = 0 untuk suatu pembag d dar q 1, maka untuk semua blangan bulat postf d1, d2,..., d n yang membag q 1 n n. = 1 = 1 q 1 = ψ ( d ) < ϕ( d ) Kontradks dengan Teorema yang benar adalah ψ ( d) > 0. Contoh (Buchmann, 2000) Dberkan lapangan Z 13. Grup unt dar Z 13 mempunya order 12. Pada grup n terdapat satu elemen dengan order 1, satu elemen dengan order 2, dua elemen dengan order 3, dua elemen dengan order 4, dua elemen dengan order 6, dan empat elemen dengan order 12. Jka F adalah lapangan berhngga dengan q elemen, maka menggunakan Teorema , F memuat ϕ( q 1) elemen yang mempunya order q 1. 75

90 Akbat (Buchmann, 2000) Jka F adalah lapangan berhngga dengan q elemen, maka grup unt F * sklk dan mempunya ϕ( q 1) pembangun. Bukt: Dketahu F * mempunya order q 1. Karena suatu elemen yang mempunya order q 1 merupakan pembangun, menggunakan Teorema maka F * memuat ϕ( q 1) pembangun, akbatnya F * sklk. Dengan demkan teorema n terbukt Struktur Grup Pergandaan Blangan Bulat Modulo Prma Dberkan grup pergandaan blangan bulat modulo p, Z p * dengan p adalah blangan prma. Karena Z adalah lapangan berhngga, maka Z * merupakan grup p p unt, sebab setap elemen Z p * merupakan unt. Akbat (Buchmann, 2000) Grup Z p * sklk dengan order p 1. Bukt: Dketahu Z p * adalah grup unt. Menggunakan Akbat dperoleh bahwa Z p * mempunya elemen pembangun, serta memuat p 1 elemen sebab hanya elemen 0 yang bukan merupakan unt. Dengan demkan, terbukt bahwa Z p * adalah grup sklk dengan order p 1. Berkut n dberkan konsep tentang suatu elemen yang membangun grup sklk Z p *. Elemen n nantnya berperan sangat pentng dalam algortma ElGamal, karena dgunakan sebaga salah satu kuncnya. 76

91 Defns (Buchmann, 2000) Suatu elemen yang membangun Z p * dsebut elemen prmtf (prmtve root) mod p. Contoh (Buchmann, 2000) Dberkan p = 13. Karena 13 adalah blangan prma, maka menggunakan Teorema dperoleh ϕ ( 13) = 12 1 = 12. Kemudan dhtung order dar masng-masng elemen Z * 13. Dar sn dperoleh empat elemen yang mempunya order 12 dan sama dengan order dar Z * 13, yatu 12. Oleh karena elemen yang mempunya order 12 adalah pembangun, maka elemen tersebut adalah elemen prmtf. Empat elemen tersebut adalah 2, 6, 7 dan 11. Dengan demkan, elemen prmtf Z * 13 adalah 2, 6, 7 dan

92 BAB IV TES KEPRIMAAN Salah satu hal yang berperan sangat pentng dalam algortma krptograf kunc publk adalah kunc, semakn besar kunc maka tngkat keamanan sstem akan semakn tngg pula. Pada algortma ElGamal, blangan prma dgunakan sebaga salah satu kuncnya. Untuk mendapatkan blangan prma yang besar dperlukan suatu pembangun kunc yang juga harus besar. Pada Bab II telah dberkan sebuah algortma tes keprmaan (Algortma 2.4), akan tetap algortma n sangat tdak efsen untuk mengecek blangan yang besar. Pada bab n djelaskan dua buah tes keprmaan yang dapat dgunakan untuk blangan bulat postf ganjl yang besar, yatu tes Fermat dan tes Mller-Rabbn Tes Fermat Tes Fermat ddasarkan pada teorema Fermat (Teorema 3.6.1) yang sedkt drubah sepert dberkan pada Teorema d bawah n. Teorema (Buchmann, 2000) Jka p adalah blangan prma, maka ( p) p 1 a 1 mod, untuk sebarang a Z *. Untuk selanjutnya, a dsebut dasar (base). Bukt: p Teorema mengatakan bahwa untuk sebarang a Z m * dan m blangan bulat, φ ( m) berlaku a 1( mod m). Dar sn dambl m = p, dengan p blangan prma. 78

93 Menggunakan Teorema dperoleh bahwa φ ( p) = p 1. Sehngga dperoleh ( ) p 1 φ ( m) a a 1 mod p. Dengan demkan teorema terbukt. Dengan hasl yang dperoleh pada Teorema 4.1.1, dapat dbentuk sebuah algortma tes keprmaan, sebaga berkut. Algortma 4.1 : Tes Fermat (Menezes, Oorschot and Vanstone, 1996) Input : Sebuah blangan bulat postf ganjl p 3 dan sebuah parameter t 1. Output : Pernyataan prma atau kompost. Langkah : 1. Untuk dar 1 sampa t kerjakan: 1.1. Dambl sebarang blangan bulat postf a, 2 a p 1. p 1.2. Htung y a 1 ( mod p) Jka y 1, maka output ( kompost ). 2. Output ( prma ). Namun pada kenyataanya, nla y 1( mod p) bahwa p adalah prma. Berkut dberkan contohnya. tdak selamanya menjamn Contoh (Buchmann, 2000) 340 Dberkan p = 341. Dambl a = 2, dengan tes Fermat dperoleh 2 1( mod341) yang menyatakan bahwa 341 adalah blangan prma. Namun hal n tdak benar 79

94 karena 341 adalah blangan kompost, yatu 341 = (11).(13). Dar sn terbukt, walaupun dperoleh y = 1, ternyata p bukan blangan prma. Untuk menunjukkan bahwa p benar merupakan blangan kompost dlakukan tes Fermat sekal lag. 340 Selanjutnya dambl a = 3, dengan tes Fermat dperoleh 3 56( mod 341) benar menunjukkan bahwa 341 adalah blangan kompost. yang Contoh d atas memperlhatkan bahwa pengamblan dasar a Z p * sangat mempengaruh hasl akhr perhtungan. In menjad salah satu kelemahan dar tes Fermat. Kelemahan lan dar tes Fermat adalah gagal saat harus mendeteks kekompostan suatu blangan tertentu yang dnamakan blangan Carmchael Blangan Carmchael Blangan Carmchael adalah blangan bulat postf kompost yang tdak dapat dbuktkan kekompostannya menggunakan tes Fermat, untuk semua dasar yang dambl. Defns (Buchmann, 2000) Dberkan sebarang blangan bulat postf n 1 kompost n. Jka untuk setap a Z berlaku a 1( mod n), maka n dsebut pseudoprme ke dasar a. Jka n pseudoprme ke semua dasar a dengan gcd( a, n ) = 1, maka p dsebut blangan Carmchael. Contoh (Buchmann, 2000) Blangan 561 = merupakan blangan Carmchael (yang palng kecl). 80

95 Dtemukannya blangan Carmchael n membuat tes Fermat tdak lag optmal untuk dgunakan sebaga tes keprmaan. Berkut djelaskan mengena tes Mller-Rabbn, yatu sebuah tes keprmaan yang menggantkan tes Fermat Tes Mller-Rabbn Tes Mller-Rabbn merupakan penyempurnaan dar tes Fermat. Pada tes keprmaan n, kelemahan yang terdapat dalam tes Fermat telah dapat dhlangkan. Tes Mller-Rabbn ddasarkan pada teorema d bawah n. Teorema (Buchmann, 2000) Dberkan sebarang blangan bulat postf ganjl p 3. Dambl blangan bulat s menjad pangkat terbesar sedemkan hngga 2 s membag p 1, yatu s = max{ r N : 2 r membag p 1}. Kemudan dhtung ( p 1) d =. Jka p adalah blangan prma, maka untuk sebarang 2 s a Z * berlaku p d a ( p) 1 mod atau terdapat r { 0,1,2,..., s 1} Bukt: sedemkan hngga 2 r. d ( ) a p 1 mod p. Dberkan sebarang blangan bulat postf ganjl p 3 dan a Z *. Dambl p blangan bulat s = max{ r N : 2 r membag (p 1)}. Selanjutnya, dhtung ( p 1) d =. 2 s 81

96 Msalkan p adalah blangan prma, maka order dar Z p * adalah p 1 = 2 s. d. Menggunakan Teorema 3.5.4, jka k adalah order dar pangkat dar 2. Jka 0 k = 1 = 2, maka d a, maka k merupakan suatu d a ( p) 1 mod. Jka k > 1, maka k = 2 l dengan 1 l s. Menggunakan Teorema 3.5.4, l 1 2. d a mempunya order 2. Karena p 1 mempunya order 2, hal n berakbat 2 r d ( ) a p 1 mod p untuk r = l 1 dan 0 r s. Algortma 4.2 : Tes Mller-Rabbn (Menezes, Oorschot and Vanstone, 1996) Input : Sebuah blangan bulat postf ganjl p 3 dan sebuah parameter t 1. Output : Pernyataan prma atau kompost. Langkah : 1.Tuls p 1 = 2 s. r, dengan r blangan bulat postf ganjl. 2.Untuk dar 1 sampa t kerjakan: 2.1. Dambl sebarang blangan bulat postf a, 2 a p 1. r 2.2. Htung y a ( mod p) menggunakan metode fast exponentaton Jka y 1 dan y p 1 kerjakan: Set j Whle j s 1 dan y p 1 kerjakan: Set y y 2 mod p. 82

97 Jka y = 1, maka output( kompost ) Set j j Jka y p 1, maka output( kompost ). 3. Output ( prma ). Contoh (Buchmann, 2000) Telah dketahu bahwa 561 adalah blangan Carmchael dan tes Fermat gagal untuk membuktkan kekompostannya. Selanjutnya akan dgunakan tes Mller-Rabbn untuk membuktkan kekompostan blangan n. Dambl a = 2, s = 4, dan r = Dar sn dperoleh 2 263( mod 561), 2 166( mod 561), 2 67( mod 561) ( ) mod 561. Jad, terbukt bahwa 561 adalah blangan kompost., 83

98 BAB V MASALAH LOGARITMA DISKRET DAN ALGORITMA ELGAMAL Pada bab-bab sebelumnya, telah dpelajar tentang grup Z p * beserta sfatsfatnya, dan metode untuk mendapatkan blangan prma p. Pada bab n djelaskan salah satu algortma krptograf, yatu algortma ElGamal. Algortma n ddasarkan pada masalah logartma dskret pada Z p *. Untuk lebh jelasnya, dberkan pada subbab-subbab berkut n Masalah Logartma Dskret Msalkan G adalah grup sklk dengan order n, α adalah pembangun G dan 1 adalah elemen denttas G. Dberkan β G. Permasalahan yang dmunculkan adalah bagamana menentukan suatu blangan bulat nonnegatf terkecl a sedemkan hngga β a = α. Blangan bulat a sepert n dsebut dengan logartma dskret (dscrete logarthm) dar β dengan bass α. Selanjutnya, masalah bagamana menentukan blangan bulat a sepert n dsebut dengan masalah logartma dskret (dscrete logarthm problem). Masalah logartma dskret n menjad sult apabla dgunakan grup dengan order yang besar (Buchmann, 2000). 84

99 Masalah Logartma Dskret pada Grup Pergandaan Blangan Bulat Modulo Prma Dberkan blangan prma p, menggunakan Akbat , dperoleh bahwa Z * adalah grup sklk yang mempunya order p 1. Akbatnya terdapat suatu p elemen yang membangun Z p * yang dsebut dengan elemen prmtf. Msalkan α Z * adalah elemen prmtf, maka untuk sebarang β Z * terdapat suatu p eksponen a { 0,1,..., p 2} sedemkan hngga β ( mod p) a α. Eksponen a merupakan logartma dskret dar β dengan bass α. Untuk menentukan logartma dskret tersebut bukanlah permasalahan yang mudah, apalag bla dgunakan blangan prma dan logartma dskret yang besar (Buchmann, 2000). Salah satu metode yang dapat dgunakan untuk mencar nla logartma dskret adalah metode enumeras, yatu dengan mengecek seluruh kemungknan, mula dar 0, 1, 2, dan seterusnya sampa akhrnya dtemukan nla a yang tepat. Metode enumeras membutuhkan sebanyak a 1 proses pergandaan modulo dan sebanyak a perbandngan. Apabla dgunakan nla a yang lebh besar, maka metode n membutuhkan proses perhtungan dan waktu yang lebh banyak lag. p Contoh (Buchmann, 2000) Akan dhtung nla logartma dskret dar 3 dengan bass 5 pada Z * Menggunakan metode enumeras dperoleh nla logartma dskretnya, yatu Metode n membutuhkan sebanyak 1029 proses pergandaan modulo

100 Namun pada penggunaan yang sebenarnya, dgunakan nla logartma dskret yang besar sepert 160 a 2. Oleh karena tu, dengan menggunakan metode enumeras drasakan menjad sa-sa karena dbutuhkan palng sedkt sebanyak proses perhtungan, sehngga dbutuhkan waktu yang sangat lama untuk mencar nla logartma dskret tersebut. Pada skrps n tdak djelaskan bagamana sultnya menyelesakan masalah logartma dskret n Algortma ElGamal Algortma ElGamal merupakan algortma krptograf asmetrs. Pertama kal dpublkaskan oleh Taher ElGamal pada tahun Algortma n ddasarkan atas masalah logartma dskret pada grup Z p *. Algortma ElGamal terdr dar tga proses, yatu proses pembentukan kunc, proses enkrps dan proses dekrps. Algortma n merupakan cpher blok, yatu melakukan proses enkrps pada blok-blok planteks dan menghaslkan blok-blok cpherteks yang kemudan dlakukan proses dekrps, dan haslnya dgabungkan kembal menjad pesan yang utuh dan dapat dmengert. Untuk membentuk sstem krptograf ElGamal, dbutuhkan blangan prma p dan elemen prmtf grup Z p *. Untuk lebh jelasnya mengena algortma ElGamal, berkut n dberkan suatu sstem krptograf ElGamal, yatu sstem krptograf yang menggunakan algortma ElGamal, defns hmpunan-hmpunan planteks, cpherteks dan kunc, serta proses enkrps dan dekrps, sepert dberkan pada gambar berkut n. 86

101 Dberkan blangan prma p dan sebuah elemen prmtf α Z p *. Dtentukan P = Z p *, C = p * p * Z Z dan a { 0,1,..., p 2}. Ddefnskan K = {( p, α, a, β ) : β α a mod p} =. Nla p, α, dan β dpublkaskan, dan nla a drahasakan. Untuk K = ( p, α, a, β ), planteks m Z * dan untuk suatu blangan acak rahasa k { 0,1, 2,..., p 2}, ddefnskan p dengan e (, ) (, ) K m k = γ δ k γ = α mod p. dan Untuk γ, δ Z p *, ddefnskan dk δ = β k. m mod p. a 1 ( γ, δ ) δ.( γ ) mod = p. Gambar 5.1. Sstem krptograf ElGamal pada Z p * (Stnson, 1995) Pembentukan Kunc Proses pertama adalah pembentukan kunc yang terdr dar kunc rahasa dan kunc publk. Pada proses n dbutuhkan sebuah blangan prma p yang dgunakan untuk membentuk grup * p Z, elemen prmtf α dan sebarang a { 0,1,..., p 2}. Kunc publk algortma ElGamal berupa pasangan 3 blangan, yatu ( p, α, β ), dengan Sedangkan kunc rahasanya adalah blangan a tersebut. a β = α mod p. (5.1) 87

102 Dketahu order dar Z p * adalah p 1. Jka dgunakan blangan prma p dengan p = 2. q + 1 dan q adalah blangan prma, maka Akbat dapat dgunakan untuk mengecek apakah suatu α Z p * merupakan elemen prmtf atau tdak. Karena p 1 = 2. q, jelas 2 dan q merupakan pembag prma dar p 1, sehngga harus dcek apakah 2 q α mod p 1 dan α mod p 1. Jka keduanya dpenuh, maka α adalah elemen prmtf. Agar mempermudah dalam menentukan elemen prmtf, dgunakan blangan prma p sedemkan hngga p = 2. q + 1, dengan q adalah blangan prma. Blangan prma p sepert n dsebut dengan blangan prma aman. Untuk menentukan apakah suatu blangan tu prma atau kompost, dapat dgunakan tes keprmaan sepert tes keprmaan basa dan tes Mller-Rabbn. Kerena dgunakan blangan bulat yang besar maka perhtungan pemangkatan modulo dlakukan menggunakan metode fast exponentaton. Algortma 5.1 : Tes Blangan Prma Aman Input : Blangan prma p 5. Output : Pernyataan prma aman atau bukan prma aman. Langkah : 1. Htung p 1 q = Jka q adalah blangan prma, maka output( prma aman ). 3. Jka q kompost, maka output ( bukan prma aman ). 88

103 Contoh Dberkan blangan p = 2579, dapat dcek bahwa 2579 adalah blangan prma. Selanjutnya, dhtung p q = = = = Kemudan, dengan melakukan tes keprmaan, dperoleh bahwa 1289 merupakan blangan prma. Jad, 2579 adalah blangan prma aman. Berkut n dberkan sebuah algortma yang dapat dgunakan untuk mengetes elemen prmtf. Algortma n ddasarkan pada Akbat Algortma 5.2 : Tes Elemen Prmtf Input : Blangan prma aman p 5 dan α Z *. Output : Pernyataan α adalah elemen prmtf atau α bukan elemen prmtf. Langkah : p 1. Htung p 1 q = Htung 2 q α mod p dan α mod p. 3. Jka α 2 mod p = 1, maka output( α bukan elemen prmtf ). q 4. Jka α mod p = 1, maka output( α bukan elemen prmtf ). 5. Output( α adalah elemen prmtf ). Berkut n dberkan contoh beberapa elemen prmtf dar grup Z * yang 2579 dperoleh menggunakan Algortma

104 Contoh Dar Contoh , dketahu bahwa p = 2579 merupakan blangan prma aman. Oleh karena tu, dapat dtentukan blangan prma q = = Untuk 2 menunjukkan bahwa suatu blangan bulat α merupakan elemen prmtf Z *, 2579 harus dtunjukkan bahwa α 2 mod dan α 1289 mod Berkut dberkan tabel perhtungan untuk beberapa nla α yang dberkan. Tabel 5.1. Perhtungan α 2 mod 2579 dan α 1289 mod 2579 α α 2 mod α 1289 mod Dar Tabel 5.1 dperoleh bahwa 2, 6 dan 8 merupakan elemen prmtf Z *, serta , 4, 5 dan 7 bukan merupakan elemen prmtf Z * Karena pada algortma ElGamal menggunakan blangan bulat dalam proses perhtungannya, maka pesan harus dkonvers ke dalam suatu blangan bulat. Untuk mengubah pesan menjad blangan bulat, dgunakan kode ASCII (Amercan Standard for Informaton Interchange). Kode ASCII merupakan representas numerk dar karakter-karakter yang dgunakan pada komputer, serta mempunya nla mnmal 0 dan maksmal 255. Oleh karena tu, berdasarkan sstem krptograf ElGamal d atas maka harus dgunakan blangan prma yang lebh besar dar 255. Kode ASCII berkorespondens 1-1 dengan karakter pesan. 90

105 Berkut n dberkan suatu algortma yang dapat dgunakan untuk melakukan pembentukan kunc. Algortma 5.3 : Algortma Pembentukan Kunc Input : Blangan prma aman p > 255 dan elemen prmtf α Z *. Output : Kunc publk ( p, α, β ) dan kunc rahasa a. Langkah : 1. Plh a { 0,1,..., p 2}. a 2. Htung β = α mod p. 3. Publkaskan nla p, α dan β, serta rahasakan nla a. p Phak yang membuat kunc publk dan kunc rahasa adalah penerma, sedangkan phak pengrm hanya mengetahu kunc publk yang dberkan oleh penerma, dan kunc publk tersebut dgunakan untuk mengenkrps pesan. Jad, kentungan menggunakan algortma krptograf kunc publk adalah tdak ada permasalahan pada dstrbus kunc apabla jumlah pengrm sangat banyak serta tdak ada kepastan keamanan jalur yang dgunakan. Berkut n dberkan sebuah contoh kasus penggunaan algortma ElGamal untuk pengamanan suatu pesan rahasa. Contoh Msalkan And dan Bud salng berkomunkas. Pada suatu saat nant, And akan mengrmkan pesan rahasa kepada Bud. Oleh karena tu, Bud harus membuat kunc 91

106 publk dan kunc rahasa. Berdasarkan Contoh , dplh blangan prma aman p = 2579 dan elemen prmtf α = 2. Selanjutnya dplh a = 765 dan dhtung 765 β = 2 mod 2579 = 949. Dperoleh kunc publk ( p, α, β ) = (2579, 2, 949) dan kunc rahasa a = 765. Bud memberkan kunc publk (2579,2,949) kepada And. Kunc rahasa tetap dpegang oleh Bud dan tdak boleh ada yang mengetahu selan drnya sendr Enkrps Pada proses n pesan denkrps menggunakan kunc publk ( p, α, β ) dan sebarang blangan acak rahasa k { 0,1,..., p 2}. Msalkan m adalah pesan yang akan dkrm. Selanjutnya, m dubah ke dalam blok-blok karakter dan setap karakter dkonverskan ke dalam kode ASCII, sehngga dperoleh planteks m1, m2,..., m n dengan m { 1, 2,..., p 1}, = 1, 2,..., n. Untuk nla ASCII blangan 0 dgunakan untuk menanda akhr dar suatu teks. dan Proses enkrps pada algortma ElGamal dlakukan dengan menghtung dengan k { 0,1,..., p 2} k γ = α mod p (5.2) δ = β k. m mod p, (5.3) acak. Dperoleh cpherteks ( γ, δ ). Blangan acak k dtentukan oleh phak pengrm dan harus drahasakan, jad hanya pengrm saja yang mengetahunya, tetap nla k hanya dgunakan saat melakukan enkrps saja dan tdak perlu dsmpan. 92

107 Algortma 5.4 : Algortma Enkrps Input : Pesan yang akan denkrps dan kunc publk ( p, α, β ). Output : Cpherteks ( γ, δ ), = 1, 2,..., n. Langkah : 1. Pesan dpotong-potong ke dalam bentuk blok-blok pesan dengan setap blok adalah satu karakter pesan. 2. Konverskan masng-masng karakter ke dalam kode ASCII, maka dperoleh planteks sebanyak n blangan, yatu m1, m2,..., m n. 3. Untuk dar 1 sampa n kerjakan : 3.1. Plh sebarang blangan acak rahasa k { 0,1,..., p 2} k 3.2. Htung γ = α mod p. k 3.3. Htung δ = β. m mod p. 4. Dperoleh cpherteks yatu ( γ, δ ), = 1, 2,..., n.. Contoh Dar Contoh , And memperoleh kunc publk ( p, α, β ) = (2579, 2, 949). Pada suatu har, And akan mengrmkan pesan rahasa Temu aku d kampus jam 7 pag kepada Bud. Oleh karena sfat pesan yang rahasa, maka pesan tersebut harus denkrps, dan And akan mengenkrps menggunakan kunc publk (2579,2,949) yang telah dberkan Bud. Selanjutnya, And melakukan proses berkut. Pertama, pesan dpotong-potong menjad blok-blok karakter dan setap karakter dkonvers ke dalam kode ASCII. Perhatkan tabel d bawah n. 93

108 Tabel 5.2. Konvers karakter pesan ke kode ASCII Karakter Planteks m ASCII 1 T m e m m m u m m <spas> m a m k m u m <spas> m d m m <spas> m k m a m m m p m u m s m <spas> m j m a m m m

109 Karakter Planteks m ASCII 24 <spas> m m <spas> m p m a m g m m Berdasarkan Tabel 5.1, dperoleh bahwa banyaknya karakter pada pesan tersebut adalah n = 30. Proses selanjutnya adalah menentukan blangan acak rahasa { 0,1,...,2577} k k, = 1, 2,...,30. Kemudan dhtung γ = 2 mod 2579 dan k δ = 949. m mod 2579, = 1, 2,...,30. Perhatkan tabel d bawah n. Tabel 5.3. Proses enkrps m k k 2 k γ = mod 2579 δ = 949. m mod

110 m k k 2 k γ = mod 2579 δ = 949. m mod Berdasarkan Tabel 5.3, dperoleh cpherteks ( γ, δ ), = 1, 2,...,30 sebaga berkut. (716, 814) (711, 344) (1512, 1252) (559, 2337) (929, 1032) (838, 1014) (313, 1998) (1259, 257) (195, 1173) (2183, 275) (363, 960) (875, 1089) (2264, 1150) (1898, 342) (520, 1516) (22, 359) (1742, 830) (1052, 1302) (2153, 2087) (235, 965) (2099, 143) (974, 1480) (2528, 55) (2145, 2305) (2435, 2113) (998, 1790) (1497, 1207) (329, 1233) (1516, 960) (2473, 2104) Selanjutnya, And mengrmkan cpherteks n kepada Bud. 96

111 Salah satu kelebhan algortma ElGamal adalah bahwa suatu planteks yang sama akan denkrps menjad cpherteks yang berbeda-beda. Hal n dkarenakan pemlhan blangan k yang acak. Akan tetap, walaupun cpherteks yang dperoleh berbeda-beda, tetap pada proses dekrps akan dperoleh planteks yang sama, sepert djelaskan berkut n Dekrps Setelah menerma cpherteks ( γ, δ ), proses selanjutnya adalah mendekrps cpherteks menggunakan kunc publk p dan kunc rahasa a. Dapat dtunjukkan bahwa planteks m dapat dperoleh dar cpherteks menggunakan kunc rahasa a. Teorema (Menezes, Oorschot and Vanstone, 1996) Dberkan ( p, α, β ) sebaga kunc publk dan a sebaga kunc rahasa pada algortma ElGamal. Jka dberkan cpherteks ( γ, δ ), maka dengan m adalah planteks. Bukt: a ( γ ) 1 m = δ. mod p, Dketahu kunc publk ( p, α, β ) dan kunc rahasa a pada algortma ElGamal. Dberkan cpherteks ( γ, δ ), dar persamaan (5.1), (5.2) dan (5.3) dperoleh bahwa a 1 k a 1 ( ) ( m) ( ) ( p) δ. γ β.. γ mod ( p) k a β. m. γ mod a k k a ( α ). m. ( α ) ( mod p) 97

112 α mα m a. k a. k ( p) 0. mod ( p) ( p). m. α mod mod. a Dengan demkan terbukt bahwa m δ ( γ ) 1 =. mod p. a Karena Z p * merupakan grup sklk yang mempunya order p 1 dan { 0,1,..., p 2} a a p a, maka ( ) 1 1 γ γ γ = = mod p. Algortma 5.5 : Algortma Dekrps Input : Cpherteks ( γ, δ ), = 1, 2,..., n, kunc publk p dan kunc rahasa a. Output : Pesan asl. Langkah : 1. Untuk dar 1 sampa n kerjakan : p 1 a 1.1. Htung γ mod p Htung m p 1 a δ. γ mod = p. 2. Dperoleh planteks m1, m2,..., m n. 3. Konverskan masng-masng blangan m1, m2,..., m n ke dalam karakter sesua dengan kode ASCII-nya, kemudan haslnya dgabungkan kembal. Contoh Berdasarkan Contoh dan , And telah mengrmkan cpherteks kepada Bud. Cpherteks yang dperoleh Bud adalah sebaga berkut. 98

113 (716, 814) (711, 344) (1512, 1252) (559, 2337) (929, 1032) (838, 1014) (313, 1998) (1259, 257) (195, 1173) (2183, 275) (363, 960) (875, 1089) (2264, 1150) (1898, 342) (520, 1516) (22, 359) (1742, 830) (1052, 1302) (2153, 2087) (235, 965) (2099, 143) (974, 1480) (2528, 55) (2145, 2305) (2435, 2113) (998, 1790) (1497, 1207) (329, 1233) (1516, 960) (2473, 2104) Bud mempunya kunc publk p = 2579 dan kunc rahasa a = 765. Selanjutnya, menggunakan Algortma 5.5, Bud mendapatkan pesan asl yang dkrmkan And dengan melakukan perhtungan sebaga berkut. γ δ Tabel 5.4. Proses dekrps γ 1813 mod 2579 m = Karakter m 1813 δ. γ mod T e m u <spas> a k u <spas> d <spas> k a m 99

114 γ δ γ 1813 mod 2579 m = Karakter m 1813 δ. γ mod p u s <spas> j a m <spas> <spas> p a g Berdasarkan perhtungan pada Tabel 5.4, And mengetahu pesan rahasa yang dkrmkan oleh Bud, yatu Temu aku d kampus jam 7 pag. 100

115 BAB VI IMPLEMENTASI DAN UJI COBA Pada bab n dbahas mplementas algortma ElGamal serta konsep-konsep yang dberkan pada bab sebelumnya dalam sebuah program komputer yang dtuls menggunakan bahasa pemrograman Pascal, kemudan dlakukan uj coba pada program tersebut. Untuk selanjutnya, penulsan kode program, contoh program, nama fungs, prosedur, nama fle, nama drektor atau folder, dan output program dtuls menggunakan jens huruf Courer New dengan ukuran 10pt, contoh: wrteln( kunc publk p= ); Sarana Implementas Untuk melakukan pembuatan program, penuls menggunakan spesfkas perangkat keras dan perangkat lunak berkut. Tabel 6.1. Spesfkas perangkat keras Jens Perangkat Nama Komputer Processor Memor Hardsk Montor Spesfkas Acer Aspre 3004NWLM Moble AMD Sempron TM ,8 GHz DDR 768 MB PC GB TFT LCD 15.4 WXGA Resolus Montor

116 Tabel 6.2. Spesfkas perangkat lunak Jens Perangkat Spesfkas Sstem Operas Lnux Kernel Lnux Vers Dstrbus Lnux Deban GNU/Lnux 4.0 (Etch) Wndow Manager GNOME Kompler Pascal Free Pascal Compler Edtor Teks gedt Termnal GNOME Termnal Deban GNU/Lnux merupakan salah satu dstrbus Lnux yang cukup populer. Dkembangkan pertama kal pada tahun Pada saat tugas akhr n dtuls, Deban GNU/Lnux telah mencapa vers 4.0, vers n drls pada tanggal 8 Aprl 2007 dan dber nama kode Etch. Deban GNU/Lnux dapat dperoleh secara bebas dengan men-download-nya pada stus resmnya d atau pada stus lannya yang menyedakan (mrror) sepert d dan Free Pascal Compler merupakan salah satu kompler bahasa Pascal. Free Pascal Compler atau cukup dsebut dengan Free Pascal n merupakan salah satu perangkat lunak yang bersfat open source dan dapat dperoleh secara grats melalu webste resmnya d Free Pascal kompatbel dengan kompler Pascal lannya sepert Turbo Pascal dan Borland Delph, serta mendukung berbaga sstem operas, sepert Lnux, Mcrosoft Wndows, MacOS dan FreeBSD. 102

117 6.2. Implementas Algortma ElGamal Pada subbab n djelaskan tentang pembuatan program yang merupakan mplementas dar algortma ElGamal menggunakan bahasa Pascal. Source code (kode program) dalam bahasa Pascal terdr dar deklaras nama program, unt, varabel-varabel dan tpe data, serta beberapa prosedur, fungs-fungs dan program utama. Source code yang lengkap dberkan pada bagan lampran Deklaras Nama Program, Unt, Varabel-Varabel dan Tpe Data Pada mplementas n, dgunakan beberapa varabel dan tpe data. Karena pada algortma ElGamal dgunakan blangan bulat yang cukup besar, maka beberapa varabel menggunakan tpe data longnt. Serta menggunakan crt sebaga unt yang dgunakan. Berkut n dberkan deklaras nama program, unt, dan varabel-varabel yang dgunakan beserta tpe datanya. program algortma_elgamal; uses crt; var p,a,b,c,k,beta,alfa,x,x1,x2,y,y1,y2,q,a,bs,u,v,r,d1, mp,t,n:longnt; tombol:char; pesan:strng;,plhan,j,w:nteger; m,gamma,delta,d,gm,z:array[ ] of longnt; f,ar,gr:real; Beberapa Fungs dan Prosedur Berkut n dberkan beberapa fungs dan prosedur yang dgunakan dalam program algortma ElGamal. Ada beberapa prosedur yang tdak djelaskan, karena 103

118 hanya merupakan bentuk lan dan pengembangan dar prosedur-prosedur sebelumnya yang telah djelaskan. 1. Fungs Pengecekan Blangan Prma Deklaras: functon cekprma(a:longnt):nteger; Deskrps: Fungs n dgunakan untuk mengecek suatu blangan yang dmasukkan adalah blangan prma atau kompost. Jka dberkan masukkan sebuah blangan bulat, maka keluarannya adalah nla 1 dan 0. Jka haslnya adalah blangan prma, maka outputnya 1, dan jka kompost, maka outputnya Fungs Pengecekan Blangan Prma Aman Deklaras: functon cekprmaaman(p:longnt):nteger; Deskrps: Fungs n dgunakan untuk mengecek suatu blangan yang dmasukkan adalah blangan prma aman atau tdak. Msalkan dberkan masukkan sebuah blangan bulat. Jka haslnya adalah blangan prma aman, maka outputnya 1, dan jka bukan blangan prma aman, maka outputnya Fungs Pencaran Blangan Prma Aman Acak Deklaras: functon prmaaman:longnt; Deskrps: Fungs n dgunakan untuk mencar blangan prma aman secara acak. Blangan prma aman yang dhaslkan berada d antara blangan 259 dan Fungs Fast Exponentaton Deklaras: functon fastexp(r:longnt;s:longnt;t:longnt):longnt; Deskrps: Fungs n dgunakan untuk menghtung s r mod t menggunakan metode fast exponentaton, perntahnya adalah fastexp(r,s,t). 104

119 5. Fungs Tes Mller-Rabbn Deklaras: functon mrtest(p:longnt; t:longnt):nteger; Deskrps: Fungs n dgunakan untuk mengecek suatu blangan prma aman atau tdak menggunakan tes Mller-Rabbn. Jka haslnya adalah blangan prma, maka outputnya 1, dan jka bukan blangan prma, maka outputnya Fungs Menghtung Pembag Persekutuan Terbesar Deklaras: functon gcd(a:longnt; b:longnt):longnt; Deskrps: Fungs n dgunakan untuk menghtung nla pembag persekutuan terbesar dar dua blangan bulat. Msalkan dberkan blangan bulat a dan b, maka gunakan perntah gcd(a,b). 7. Fungs Pengecekan Elemen Prmtf Deklaras: functon cekprmtf(alfa:longnt; p:longnt):nteger; Deskrps: Fungs n dgunakan untuk mengecek apakah suatu blangan merupakan elemen prmtf. Fungs n memnta masukan berupa dua blangan. Msalkan dberkan alfa dan blangan prma aman p. Jka alfa benar merupakan elemen prmtf Z p *, maka outputnya 1, dan jka tdak, maka outputnya Fungs Pencaran Elemen Prmtf Acak Deklaras: functon prmtf(p:longnt):longnt; Deskrps: Fungs n dgunakan untuk mencar elemen prmtf aman secara acak. Fungs n membutuhkan masukan sebuah blangan prma aman p untuk menentukan Z p *. 9. Prosedur Pembangunan Kunc Otomats Deklaras: procedure keygen; dan procedure keygen_kunc_otomats; 105

120 Deskrps: Prosedur keygen; dgunakan untuk membuat kunc publk dan kunc rahasa secara otomats. Sedangkan prosedur keygen_kunc_otomats; dgunakan untuk menentukan kunc yang dgunakan. 10. Prosedur Menamplkan Logo Deklaras: procedure logo; Deskrps: Prosedur n dgunakan untuk menamplkan logo d bagan atas program. 11. Prosedur Memasukkan Kunc Plhan Deklaras: procedure masukkan_kunc_plhan; Deskrps: Prosedur n dgunakan untuk menerma masukan dan mengecek apakah masukan dapat dgunakan sebaga kunc. 12. Prosedur Memasukkan Kunc Publk Deklaras: procedure masukkan_kunc_publk; Deskrps: Prosedur n dgunakan untuk memasukkan kunc publk. 13. Prosedur Memotong Pesan Deklaras: procedure potong1karakter; Deskrps: Prosedur n dgunakan untuk memotong pesan menjad blok-blok dengan setap bloknya adalah satu karakter pada pesan. Selanjutnya, setap karakter dkonvers ke kode ASCII. 14. Prosedur Enkrps Deklaras: procedure enkrps; Deskrps: Prosedur n dgunakan untuk melakukan proses enkrps pada pesan, dan dperoleh cpherteks. 106

121 15. Prosedur Dekrps Deklaras: procedure dekrps; Deskrps: Prosedur n dgunakan untuk melakukan proses dekrps pada cpherteks untuk mendapatkan pesan aslnya. 16. Prosedur Representas Blangan Bulat b-adc Deklaras: procedure badc; Deskrps: Prosedur n dgunakan untuk menamplkan ekspans b-adc dar suatu blangan bulat dan blangan bass. 17. Prosedur Algortma Euclde Deklaras: procedure euclde; Deskrps: Prosedur n dgunakan untuk menghtung nla gcd dar dua blangan bulat menggunakan algortma Euclde, serta dtamplkan proses perhtungannya. 18. Prosedur Algortma Euclde yang Dperluas Deklaras: procedure eucldedperluas; Deskrps: Prosedur n dgunakan untuk menghtung nla gcd dar dua blangan bulat a dan b, serta nla x dan y sedemkan hngga a.x + b.y = gcd(a,b) menggunakan algortma Euclde yang dperluas, serta dtamplkan proses perhtungannya. 19. Prosedur Mencar Invers Pergandaan Deklaras: procedure nvers; Deskrps: Prosedur n dgunakan untuk mencar nvers pergandaan dar suatu blangan yang merupakan elemen dar hmpunan masukan, yatu blangan bulat postf m dan sebuah elemen Z m. Prosedur n memnta dua Z m. 107

122 20. Prosedur Tes Fermat Deklaras: procedure tesfermat; Deskrps: Prosedur n merupakan mplementas dar tes Fermat. 21. Prosedur Program Tambahan Deklaras: procedure programtambahan; Deskrps: Prosedur n dgunakan untuk menamplkan menu program-program tambahan yang mendukung algortma ElGamal. 22. Prosedur Menu Utama Deklaras: procedure menuutama; Deskrps: Prosedur n dgunakan untuk menamplkan menu utama Program Utama Pada bagan program utama n hanya dgunakan beberapa bars program saja, karena akan merujuk ke procedure menuutama;. Pada awal program, terlebh dahulu ddefnskan nla p = α = β = a = 0 agar dapat dgunakan untuk mengecek apakah kunc telah dbuat atau belum. Berkut n adalah kode programnya. {Program Utama} begn p:=0; alfa:=0; beta:=0; a:=0; menuutama; end. Program n terdr dar empat menu utama, yatu pembentukan kunc, enkrps, dekrps dan program tambahan sebaga pendukung. Desan dar struktur menu-menu pada program n dapat djelaskan sebaga berkut. 108

123 1. Pembentukan kunc 1.1. Buat kunc otomats 1.2. Masukkan kunc plhan Anda 1.3. Kembal ke menu utama 2. Enkrps 3. Dekrps 4. Program tambahan 4.1. Representas blangan bulat (b-adc) 4.2. Algortma Euclde untuk menghtung gcd(a,b) 4.3. Algortma Euclde yang dperluas k 4.4. Htung a mod p (metode fast exponentaton) 4.5. Mencar nvers pergandaan a mod m 4.6. Tes keprmaan Fermat 4.7. Tes keprmaan Mller-Rabbn 4.8. Tes keprmaan basa 4.9. Tes blangan prma aman Tamplkan semua blangan prma d antara a dan b Tamplkan semua blangan prma aman d antara a dan b Tes elemen prmtf Z p *, untuk p prma aman Tamplkan semua elemen prmtf Z p *, untuk p prma aman Cek apakah a dan b relatf prma Lhat elemen-elemen Z n yang relatf prma dengan n Kembal ke menu utama 5. Keluar 109

124 Gambar 6.1. Tamplan program menu utama 6.3. Uj Coba Program Pada subbab n djelaskan uj coba program yang telah dbuat. Pengujan melput tga proses, yatu proses pembentukan kunc, enkrps dan dekrps Bahan Pengujan Untuk melakukan uj coba proses enkrps dan dekrps menggunakan program yang telah dbuat, dgunakan sebuah teks pesan berupa kalmat dengan panjang atau banyaknya karakter maksmal adalah Teks pesan berupa hurufhuruf, angka dan tanda baca sepert ttk, koma, spas dan sebaganya yang terseda pada keyboard. Pada pembentukan kunc, dgunakan blangan prma yang tdak terlalu besar, mengngat ukuran dar tpe data longnt mempunya nla maksmum

125 Pengujan Program Pada uj coba n dlakukan proses pembentukan kunc, enkrps dan dekrps menggunakan program yang telah dbuat Pengujan Proses Pembentukan Kunc Untuk melakukan pembentukan kunc, dapat dlakukan dengan dua cara. Yatu program akan membangun kunc acak secara otomats, atau dapat dengan memasukkan plhan kunc tertentu dan program akan mengecek apakah kunc yang dmasukkan memenuh persyaratan sebaga kunc. Pada kotak dalog menu utama, dplh menu 1. Pembentukan kunc. Gambar 6.2. Tamplan program pada menu pembentukan kunc Kemudan dtentukan metode pembentukan kunc, masukan 1 untuk membuat kunc secara otomats atau 2 untuk memasukkan plhan kunc tertentu. Jka dplh pembuatan kunc otomats, maka program akan menamplkan kunc yang dperoleh 111

126 secara acak. Apabla kunc yang dtamplkan dgunakan untuk proses selanjutnya, maka dplh y, dan apabla tdak, dplh n, kemudan program akan membuat kunc yang baru lag secara acak. Plhan 3 untuk kembal ke menu utama. Apabla masukan kunc plhan tdak sesua dengan persyaratan, maka program akan mengeluarkan perngatan. Gambar 6.3. Tamplan program untuk membentuk kunc otomats Msalkan dgunakan kunc sepert pada Contoh , yatu ( p, α, β ) = (2579, 2,949) sebaga kunc publk dan a = 765 sebaga kunc rahasa. Pada menu pembentukan kunc, dplh masukan 2, kemudan kunc tersebut dmasukkan ke dalam program. Setelah plhan kunc dmasukkan, maka program melakukan cek terlebh dahulu apakah kunc yang dmasukkan benar-benar sah untuk dgunakan sebaga kunc. Jka ternyata tdak sah, maka program akan memberkan perngatan. Jka masukan kunc sah, maka program akan langsung memproses kuncnya. Lebh jelasnya dapat dlhat pada gambar d bawah n. 112

127 Gambar 6.4. Tamplan program untuk membentuk kunc plhan Pengujan Proses Enkrps Setelah melakukan pembentukan kunc, proses selanjutnya adalah enkrps. Untuk melakukannya, pada menu utama dplh 2, muncul kotak dalog yang menanyakan apakah menggunakan kunc yang telah dbuat atau menggunakan kunc yang lan. Setelah tu dmasukkan teks pesan yang akan denkrps dengan jumlah maksmal 1000 karakter. Selanjutnya, program akan menamplkan planteks dalam bentuk blangan, kemudan program menanyakan apakah blangan acak k dtentukan sesua plhan atau program mencarnya secara otomats. Kemudan program akan melakukan proses enkrps dan menamplkan cpherteksnya. Msalkan proses enkrps dlakukan menggunakan kunc publk (2579,2,949) dan pesannya adalah Rahasa, serta menentukan agar program menentukan blangan k secara acak. 113

128 Gambar 6.5. Tamplan program proses enkrps Gambar 6.6. Tamplan program menamplkan hasl cpherteks Pada Gambar 6.6, proses enkrps pada pesan Rahasa menghaslkan cpherteks sebaga berkut. (1529, 1722) (1874, 678) (279, 188) (1584, 655) (2224, 843) (1987, 1233) (343, 486). 114

129 Pengujan Proses Dekrps Untuk melakukan proses dekrps, dplh menu utama plhan 3. Program akan menanyakan apakah dgunakan kunc publk yang telah dbuat atau kunc publk yang lan. Kemudan program memnta masukan kunc rahasa a. Apabla masukkan benar-benar merupakan kunc rahasanya, maka program akan menamplkan pesan aslnya, apabla dmasukkan kunc rahasa yang salah, maka program tetap menghtungnya tetap akan dhaslkan pesan yang salah. Msalkan akan ddekrps cpherteks pada Gambar 6.6 d atas berdasarkan kunc publk (2579, 2, 949) dan kunc rahasa a = 765. Gambar 6.7. Tamplan program menamplkan proses dekrps Pada Gambar 6.7, dapat dlhat bahwa proses dekrps menghaslkan planteks berupa pesan Rahasa yang merupakan pesan aslnya. Untuk mempermudah dalam mencar blangan-blangan yang akan dgunakan sebaga kunc, telah dberkan sebuah menu tersendr. Menu n dapat djalankan 115

130 pada menu utama plhan 4. Program tambahan. Pada menu n terdapat beberapa program yang cukup bermanfaat, sepert metode fast exponentaton, tes keprmaan, tes elemen prmtf, dan sebaganya. Gambar 6.8. Tamplan program pada menu program tambahan 116