ANALISIS PERBANDINGAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA 3-STRUKTUR AKSES HIPERGRAF DAN 3-STRUKTUR TERLARANG HIPERGRAF TESIS

Transkripsi

1 UNIVERSITAS INDONESIA ANALISIS PERBANDINGAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA 3-STRUKTUR AKSES HIPERGRAF DAN 3-STRUKTUR TERLARANG HIPERGRAF TESIS I KETUT TRI MARTANA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM MAGISTER MATEMATIKA DEPOK JULI 010 Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

2 UNIVERSITAS INDONESIA ANALISIS PERBANDINGAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA 3-STRUKTUR AKSES HIPERGRAF DAN 3-STRUKTUR TERLARANG HIPERGRAF TESIS Dajukan sebaga salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magster Sans I KETUT TRI MARTANA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA DEPOK JULI 010 Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

3 HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS Tess n adalah hasl karya saya sendr, dan semua sumber bak yang dkutp maupun drujuk telah saya nyatakan dengan benar Nama : I Ketut Tr Martana NPM : Tanda Tangan : Tanggal : 8 Jul 010 Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

4 HALAMAN PENGESAHAN Tess n dajukan oleh : Nama : I Ketut Tr Martana NPM : Program Strud : Magster Matematka Judul Tess : Analss Perbandngan Skema Pembagan Rahasa 3-Struktur Akses Hpergraf dan 3-Struktur Terlarang Hpergraf Telah berhasl dpertahankan d hadapan Dewan Penguj dan dterma sebaga bagan persyaratan yang dperlukan untuk memperoleh gelah Magster Sans pada Program Stud Matematka, Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam,. DEWAN PENGUJI Pembmbng Penguj Penguj : Dr. Kk Aryant Sugeng : Prof. Dr. Djat Keram : Dr. Sr Mardyat, M.Kom Dtetapkan d : Depok Tanggal : 8 Jul 010 Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

5 KATA PENGANTAR Puj syukur saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat rahmat-nya, Tess n dapat saya selesakan. Penulsan Tess n dlakukan dalam rangka memenuh salah satu syarat untuk mencapa gelar Master Sans Jurusan Matematka pada Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Indonesa. Saya menyadar bahwa penyusunan Tess n tdak lepas dar bantuan dan bmbngan dar berbaga phak, mula dar masa perkulahan sampa pada proses penyusunan. Oleh karena tu, saya mengucapkan terma kash kepada: (1 Dr. Kk Aryant Sugeng, selaku dosen pembmbng yang telah menyedakan waktu, tenaga, dan pkran untuk mengarahkan saya dalam penyusunan Tess n; ( Dr. Yud Satra, M.T, selaku ketua Departemen Matematka FMIPA UI dan Rahm Rusn S.S, M.Sc.Tech, selaku Sekretars Departemen Matematka FMIPA UI; (3 Prof. Dr. Djat Keram, selaku ketua Program Magster Matematka FMIPA UI dan Dra. Bevna Desjwandra H M.Sc, Ph.D, selaku skretars sekalgus pembmbng akadems pada Program Magster Matematka FMIPA UI; (4 Para dosen pada Program Magster Matematka FMIPA UI yang telah memberkan arahan dan bmbngan selama perkulahan; (5 Lembaga Sand Negara, nsttus saya yang telah memberkan kesempatan dan dukungan dalam perkulahan dan penyelesaan Tess n; (6 Orang tua dan keluarga besar saya, yang telah memberkan dukungan moral, materl serta doa yang tdak pernah berhent; (7 Istr tercnta, atas segala dukungan, semangat dan doanya; (8 Teman seperjuangan angkatan 008 yang selalu kompak dan telah membantu dalam segala hal; (9 Rekan-rekan kerja bak pada Lembaga Sand Negara maupun Sekolah Tngg Sand Negara, atas segala bantuan dan dukungannya; (10 Berbaga phak yang tdak dapat dsebutkan satu per satu yang telah membantu penyelesaan Tess n. v Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

6 Akhr kata, saya berharap Tuhan Yang Maha Esa berkenan membalas segala kebakan semua phak yang telah membantu. Semoga tess n bermanfaat bag pengembangan lmu pengetahuan serta masyarakat luas. Penuls 010 v Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

7 HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Sebaga svtas akademk, saya yang bertanda tangan d bawah n: Nama : I Ketut Tr Martana NPM : Program Stud : Magster Matematka Departemen : Matematka Fakultas : Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Jens Karya : Tess dem pengembangan lmu pengetahuan, menyetuju untuk memberkan kepada. Hak Bebas Baya Royalt Noneksklusf (Non-exclusve Royalty-Free Rght atas karya lmah saya berjudul: Analss Perbandngan Skema Pembagan Rahasa 3-Struktur Akses Hpergraf dan 3-Struktur Terlarang Hpergraf beserta perangkat yang ada (jka dperlukan. Dengan Hak Bebas Baya Royalt Noneksklusf n berhak untuk menympan, mengalhmeda/format-kan, mengelola dalam bentuk data (database, merawat, dan mempublkaskan tugas akhr saya selama tetap mencantumkan nama saya sebaga penuls/pencpta dan sebaga Hak Cpta. Demkan pernyataan n saya buat dengan sebenarnya. Dbuat d : Depok Pada tanggal : 8 Jul 010 Yang menyatakan: ( I Ketut Tr Martana v Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

8 ABSTRAK Nama : I Ketut Tr Martana Program Stud : Magster Matematka Judul : Analss Perbandngan Skema Pembagan Rahasa 3-Struktur Akses Hpergraf dan 3-Struktur Terlarang Hpergraf Akses terhadap nformas rahasa perlu datur dan dbatas supaya tdak jatuh kepada phak yang tdak berkepentngan. Salah satu metode yang mengatur akses tersebut adalah skema pembagan rahasa. Skema pembagan rahasa merupakan suatu skema dmana hanya anggota kelompok (partspan dengan kualfkas tertentu saja yang dapat merekonstruks nformas rahasa. Koleks dar subset partspan yang berkualfkas dsebut struktur akses. Skema pembagan rahasa yang dapat drepresentaskan dengan graf dsebut sebaga skema pembagan rahasa graphcal. Skema n dapat dperluas dengan menggunakan hpergraf, yang merupakan bentuk lebh umum dar graf. Skema yang drepresentaskan dengan hpergraf adalah salah satu bentuk dar skema pembagan rahasa nongraphcal. Tess n akan membahas mengena perbandngan dar skema pembagan rahasa yang berdasarkan struktur akses Γ dan srtuktur terlarang pada hpergraf 3-unform serta nformaton rate dar kedua konstruks skema pembagan rahasa. Kata kunc : Skema Pembagan Rahasa, Struktur Akses, Informaton Rate x+63 halaman; 8 gambar; 5 tabel Daftar Pustaka : 16 ( ABSTRACT Name : I Ketut Tr Martana Study Program : Magster of Mathematcs Ttle : Comparson Analyss of Secret Sharng Scheme of 3-Hpergraph Access and 3-Hpergraph Prohbted Access for secret nformaton shall be lmted and arranged that not be accepted to not mportant people. One of the method to arranged ths access s secret sharng scheme. Secret sharng scheme s a method whch allow a secret to be share among a set of partcpants n such a way that only qualfed subsets or partcpant can recover the secret. The collecton of qualfed subsets s called access structure. The scheme that can be represented by graph s called graphcal secret sharng scheme. More general from graph, represented by hypergraph, s one of the scheme called non graphcal secret sharng scheme. In ths thess wll presents the comparson analyss of secret sharng scheme between access structure Γ and prohbted structure based on 3-unform hypergraph, ncludng the nformaton rate of that schemes. Key words : Secret Sharng Scheme, Access Structures, Informaton Rate x+63 pages; 8 pctures; 5 tables Bblography : 16 ( Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010. v

9 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS LEMBAR PENGESAHAN. KATA PENGANTAR.. v LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI ILMIAH.. v ABSTRAK v DAFTAR ISI v DAFTAR TABEL. x DAFTAR GAMBAR. x 1. BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Permasalahan Tujuan Penulsan Batasan masalah Sstematka Penulsan.. 4. BAB LANDASAN TEORI Skema Pembagan Rahasa Pengertan Struktur Akses Treshold Scheme Informaton Rate 14. Teor Graf Graf 15.. Hpergraf 16.3 One Way Hash Functon BAB 3 SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA 3-STRUKTUR AKSES HIPERGRAF Konstruks Skema 3-SAH Rekonstruks Skema 3-SAH. 3.3 Analss Keamanan Skema 3-SAH Informaton Rate Skema 3-SAH BAB 4 SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA 3-STRUKTUR TERLARANG HIPERGRAF Konstruks Skema 3-STH Rekonstruks Skema 3-STH Analss Keamanan Skema 3-STH Informaton Rate Skema 3-STH 5 5. BAB 5 ANALISIS PERBANDINGAN SKEMA 3-SAH DENGAN 3-HTS Persamaan Skema 3-HSA dan Skema 3-HST v Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

10 5. Perbedaan Skema 3-HSA dengan Skema 3-HST Komplementas Antara Skema 3-SAH dan Skema 3-STH BAB 6 PENUTUP Kesmpulan Saran 61 DAFTAR PUSTAKA 6 x Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

11 DAFTAR TABEL Tabel 3.1 Share secara umum dar skema 3-SAH untuk hpergraf pada Gambar Tabel 3. Nla share dar skema 3-SAH untuk untuk 7 partspan.. 31 Tabel 4.1 Share secara umum dar skema 3-STH untuk hpergraf pada Gambar Tabel 4. Nla share dar skema 3-STH untuk untuk 7 partspan. 46 Tabel 5.1 Perbedaan antara skema 3-SAH dan skema 3-STH. 56 x Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

12 DAFTAR GAMBAR Gambar.1 Ilustras Pengaturan Akses terhadap Kunc Rahasa Gambar. Skema Pembagan Rahasa ( tn, - threshold scheme.. 7 Gambar.3 Skema Pembagan Rahasa non-threshold scheme.. 8 Gambar.4 Graf Sederhana. 16 Gambar.5 Hpergraf. 17 Gambar.6 Ilustras One Way Functon Gambar 3.1 Contoh 3-Unform Hpergraf H=(V,E Gambar 4.1 Contoh 3-Unform Hpergraf H x Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

13 BAB 1 PENDAHULUAN Bagan Pendahuluan dar Tess n akan memuat mengena latar belakang dlakukannya peneltan, permasalahan yang akan dkaj, tujuan penulsan, batasan masalah dan sstematka penulsan. Berkut n adalah uraan selengkapnya. 1.1 Latar Belakang Keamanan data (data securty menjad hal yang sangat pentng dewasa n, terutama nformas yang bersfat rahasa (secret. Contohnya data-data negara mengena kebjakan strategs; sepert keamanan dan kepentngan nasonal, data suatu perusahaan atau perbankan; sepert data nasabah, data alran dana / modal dan lan sebaganya. Data pentng tersebut perlu mendapat perlakuan pengamanan yang memada, supaya tdak bocor kepada phak yang tdak berkepentngan. Msalnya data rahasa negara jka jatuh ke tangan negara lan, maka secara otomats akan memanfaatkannya sebaga dasar pengamblan kebjakan nasonal suatu negara yang mungkn saja merugkan negara kta. Data perbankan juga sangat bernla strategs, akan terjad gangguan dalam bdang ekonom jka data perbankan yang bersfat rahasa bocor pada phak yang tdak berkepentngan. Terkadang keamanan data hanya dserahkan kepada satu orang saja sebaga penanggung jawab. Permasalahan tmbul ketka orang yang bertanggung jawab untuk membuka atau mengakses data tersebut berhalangan, tdak dtempat atau mennggal duna, maka data tdak bsa dakses. Sebaga contoh, data nasabah suatu bank merupakan data pentng yang perlu drahasakan, umumnya data tersebut dsmpan pada komputer utama d kantor pusat. Pada saat yang sama data tersebut juga tersmpan pada kantor cabang tertentu, seandanya ada suatu bencanan alam yang dapat merusak sstem pada komputer pusat, maka data pada kantor cabang mash bsa dgunakan. Namun menympan semua data secara lengkap pada kantor cabang juga sangat berbahaya karena tngkat keamanannya tdak sekuat 1 Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

14 sstem pengamanan komputer pusat. Untuk tu pengaturan akses tehadap data rahasa perlu mendapat perhatan khusus sehngga dketahu secara past sapa saja yang berhak untuk mengakses dan memperoleh data rahasa. Tujuan utamanya adalah keamanan data rahasa bsa terjamn. Pengamanan data dalam Krptograf menggunakan proses enkrps dan dekrps. Enkrps merupakan proses penyandan berta rahasa, sedangkan dekrps adalah proses membuka sand berta rahasa. Proses enkrps dan dekrps tersebut menggunakan kunc rahasa. Pengamanan kunc rahasa juga mutlak harus dperhatkan, dalam hal n dperlukan pengaturan akses terhadap kunc rahasa tersebut. Salah satu metode dalam pengaturan akses dan pembagan (sharng data rahasa yang serng dgunakan adalah konsep Skema Pembagan Rahasa (secret sharng scheme. Dalam skema pembagan rahasa, akses terhadap nformas rahasa dberkan kepada beberapa orang dengan kualfkas tertentu, msalnya n orang, maka dalam merekonstruks suatu data rahasa dbutuhkan mnmal k-orang tersebut, dmana k n. Apabla kurang dar k maka data rahasa tdak bsa drekonstruks. Saat n, skema pembagan rahasa telah dpelajar secara luas. Hal n karena aplkasnya dapat dterapkan pada berbaga bdang yang berhubungan dengan pengamanan data / nformas dan krptograf, msalnya pada manajemen kunc rahasa, pengamanan perbankan, e-commerce, proses penawaran dalam lelang (bddng, keamanan jarngan komputer (network securty, dan lan sebaganya. Skema pembagan rahasa pertama kal dperkenalkan oleh A. Shamr dan G. Blackley pada tahun 1979 secara bersamaan tetap menggunakan skema yang berbeda. Skema yang dtemukan oleh Shamr dkenal dengan threshold scheme atau Shamr s Secret Sharng Scheme. Dalam threshold scheme, suatu share adalah suatu bagan dar nformas rahasa yang dmlk oleh setap anggota dalam suatu kelompok. Satu (k,n-threshold scheme adalah suatu skema dmana setap k anggota kelompok atau partspan dar kelompok yang totalnya berjumlah n anggota, dapat menyusun kembal data rahasa yang sudah ddstrbuskan. Selan skema Shamr s Secret Sharng, Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

15 3 ada beberapa konsep skema pembagan rahasa, dantaranya adalah (d,k,n- Ramp Scheme, Onlne Secret Sharng, Graphcal Secret Sharng, Non Graphcal Secret Sharng, dan sebaganya. 1. Permasalahan Dalam skema pembagan rahasa dengan struktur akses graphcal, yatu skema pembagan rahasa yang berbass graf, setap smpul dapat dlhat sebaga suatu partspan, setap busur yang menghubungkan dua partspan dapat djadkan sebaga dasar skema pembagan rahasa, dmana pasangan partspanyang mempunya busur dapat merekonstruks kunc rahasa K atau bsa juga sebalknya, yatu pasangan partspan yang dhubungkan oleh busur tdak dapat merekonstruks kunc rahasa K. Dalam tulsan n akan dfokuskan pada masalah skema pembagan rahasa non graphcal yang berdasarkan hpergraf. Permasalahan yang akan dbahas adalah bagamanakah perbandngan antara skema pembagan rahasa yang berdasarkan struktur akses Γ dengan skema pembagan rahasa berdasarkan struktur terlarang. 1.3 Tujuan Penulsan Tujuan dar peneltan skema pembagan rahasa non graphcal n, adalah untuk: 1 Membandngkan skema pembagan rahasa yang berdasarkan struktur akses Γ dengan skema pembagan rahasa yang berdasarkan struktur terlarang. Menentukan nformaton rate dar konstruks pembagan rahasa yang dkaj. 1.4 Batasan Masalah Masalah yang dbahas dalam penulsan n akan dbatas pada skema pembagan rahasa non graphcal yang berdasarkan hpergraf dengan rank r = 3. Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

16 4 1.5 Sstematka Penulsan Tess n akan dsusun dalam lma bab dengan sstematka penulsan sebaga berkut: BAB 1 : PENDAHULUAN Menjelaskan latar belakang dlakukannya peneltan, permasalahan, tujuan penulsan, batasan masalah dan sstematka penulsan. BAB BAB 3 BAB 4 : LANDASAN TEORI Berskan tentang teor yang berkatan dengan skema pembagan rahasa, mula dar pengertan skema pembagan rahasa, struktur akses, threshold scheme, nformaton rate, teor graf termasuk pengertan tentang hpergraf, serta one-way hash functon. : SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA 3-STRUKTUR AKSES HIPERGRAF Bab n menjelaskan tentang skema pembagan rahasa nongraphcal yang berdasarkan hpergraf 3-unform dengan struktur akses Γ, dsebut sebaga skema 3-Struktur Akses Hpergraf ( skema 3-SAH, mula dar konstruks, rekonstruks, sampa nformaton rate dar skemanya. : SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA 3-STRUKTUR TERLARANG HIPERGRAF Bab n menjelaskan tentang skema pembagan rahasa nongraphcal yang berbass hpergraf 3-unform dengan struktur terlarang, dsebut sebaga skema 3-Struktur Terlarang Hpergraf ( skema 3-STH, mula dar konstruks, rekonstruks, sampa nformaton rate dar skemanya. Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

17 5 BAB 5 BAB 6 : ANALISIS PERBANDINGAN SKEMA 3-SAH DENGAN 3-STH Pada bab n akan dbahas mengena analss perbandngan antara skema pembagan rahasa yang berdasarkan struktur akses Γ (skema 3-SAH dengan skema pembagan rahasa yang berdasarkan struktur terlarang ( skema 3-STH yang telah dbahas pada Bab 3 dan Bab 4. : PENUTUP Berskan smpulan yang dperoleh dar hasl peneltan yang telah dlakukan serta saran yang dapat dberkan atas hasl peneltan. Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

18 BAB LANDASAN TEORI Bab berkut n akan dbahas tentang landasan teor yatu teor-teor yang berkatan dengan skema pembagan rahasa, mula dar pengertan, struktur akses, threshold scheme, nformaton rate, teor graf termasuk pengertan tentang hpergraf, serta one-way hash functon..1 Skema Pembagan Rahasa.1.1 Pengertan Dalam krtograf, proses penyandan data (enkrps dan membuka sand (dekrps past menggunakan kunc penyandan. Kunc penyandan merupakan data rahasa yang sangat pentng dan perlu djaga supaya tdak jatuh pada phak yang tdak berkepentngan. Artnya tdak semua orang boleh atau mempunya akses terhadap data rahasa, sehngga perlu datur sapa saja yang boleh mengakses data rahasa dan sapa yang tdak boleh. Salah satu metode yang dgunakan untuk mengatur akses terhadap data/kunc rahasa adalah skema pembagan rahasa atau secret sharng scheme, sepert dlustraskan pada Gambar.1. Gambar.1 Ilustras Pengaturan Akses terhadap Kunc Rahasa Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI,

19 7 Pembagan (sharng master kunc untuk mengakses nformas rahasa perlu datur agar phak yang tdak berkompeten tdak dapat mengakses nformas rahasa. Skema pembagan rahasa merupakan suatu skema dmana hanya sekelompok partspan dengan kualfkas tertentu saja yang dapat merekonstruks nformas rahasa. Dalam skema pembagan rahasa, akses terhadap nformas rahasa yang dberkan kepada beberapa orang dengan kualfkas tertentu dsebut sebaga struktur akses. Msalnya terdapat partspan sebanyak n orang, maka dalam merekonstruks suatu data rahasa dbutuhkan t orang dantara n orang tersebut. Apabla kurang dar t maka data rahasa tdak bsa drekonstruks. Skema pembagan rahasa pertama kal dperkenalkan oleh A. Shamr dan G. Blackley pada tahun 1979 secara bersamaan, dkenal dengan threshold scheme atau Shamr s Secret Sharng Scheme yang dnotaskan dengan (t,n-threshold scheme (Shamr, Dalam skema pembagan rahasa, dealer D akan membag nformas rahasa yang dnotaskan dengan K kepada hmpunan partspan { } P= p1, p,..., pn. Informas rahasa yang dbagkan kepada hmpunan P dsebut dengan share, dnotaskan dengan S yang merupakan hmpunan dar elemen-elemen S. Elemen S dsebut dengan share ke- untuk partspan p, dengan = 1,,..., n. Dealer D merupakan partspan khusus, dengan asums D bukan elemen dar P, yang bertanggung jawab untuk mengatur perhtungan dan dstrbus dar share. Ilustras dar skema pembagan rahasa ( tn, - threshold scheme dapat dlhat pada Gambar.. S 1 t-share K K secret S S n Skema Pembagan Rahasa (. (t-1 atau kurang share tdak ada nformas K Gambar. tn, - threshold scheme Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

20 8 S 1 S K secre S 1 S S. kunc rahasa K S 1 S. S r Gambar.3 Skema Pembagan Rahasa non-threshold scheme Berbeda dengan skema pembagan rahasa threshold scheme, skema pembagan rahasa yang bukan threshold dalam merekonstruks suatu data rahasa tdak harus dbutuhkan t orang dantara n orang. Bsa saja lebh dar t orang atau kurang yang dapat merekonstruks data rahasa. Ilustras skema pembagan rahasa yang bukan threshold dapat dlhat pada Gambar.. Berdasarkan sfatnya, skema pembagan rahasa dapat dbedakan menjad skema pembagan rahasa perfect dan nonperfect. Suatu skema pembagan rahasa dkatakan perfect jka bagan dar partspan yang tdak mempunya kualfkas tdak mempunya nformas apapun mengena rahasa K. Sebalknya apabla tdak memenuh persyaratan tersebut, maka skema pembagan rahasa dkatakan nonperfect. Hal terpentng yang harus dperhatkan dalam mplementas skema pembagan rahasa adalah ukuran atau besarnya share yang dmlk oleh Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

21 9 partspan, karena keamanan dar skema pembagan rahasa akan berkurang jka ukuran / besarnya share bertambah. Menurut Karnn et al. (199 dan Capocell et al. (1993, ukuran share dar setap skema pembagan rahasa perfect lebh besar atau sama dengan ukuran nformas rahasanya. Jka dalam rangkaan bner, share S mempunya ukuran log S dan ukuran dar rahasa K adalah log K, maka skema pembagan rahasa perfect akan memenuh: log S log K Sedangkan untuk skema pembagan rahasa nonperfect, ukuran share-nya bsa lebh kecl dar ukuran secret-nya. Suatu skema pembagan rahasa dkatakan deal jka: log S = log K Ada beberapa pendekatan untuk mengkonstruks suatu skema pembagan rahasa, antara lan polnomal, geometr, matrod, serta graf. Skema pembagan rahasa yang dapat drepresentaskan dengan graf dsebut sebaga skema pembagan rahasa graphcal. Skema pembagan rahasa yang dalam proses konstruksnya menggunakan struktur graf dapat dperluas dengan menggunakan hpergraf. Hpergraf merupakan bentuk yang lebh umum dar graf. Skema yang drepresentaskan dengan hpergraf merupakan salah satu bentuk dar skema pembagan rahasa non-graphcal. Berbeda dengan skema pembagan rahasa graphcal yang bsa dgambarkan dalam dalam bentuk graf, skema pembagan rahasa non-graphcal sangat sult untuk dgambarkan secara grafs. Dalam tess n yang akan dbahas adalah skema pembagan rahasa non-graphcal yang berdasarkan hpergraf..1. Struktur Akses Struktur akses adalah kumpulan semua subset dar partspan P dengan kualfkas tertentu yang dapat menyusun atau merekonstruks kunc rahasa. Itoh et al. (1987 menunjukkan bahwa suatu skema pembagan rahasa dkatakan perfect jka dan hanya jka struktur aksesnya monoton. Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

22 10 Struktur akses dnotaskan dengan Γ. Faml dar struktur akses Γ dkatakan monoton jka memenuh: ' ' A, A A P A Γ Γ ' ' ' Subset mnmal dar Γ yang memenuh B Γ B Γ B B, B B dsebut sebaga struktur akses mnmal yang dnotaskan dengan Γ 0. Msalkan P menunjukkan koleks dar semua subset P, maka untuk setap Γ0 P hmpunan tertutup dar Γ 0 dnyatakan dengan: ' ' ( Γ 0 = { : Γ0, } cl A A A A P Dalam skema pembagan rahasa graphcal dan non-graphcal terdapat tga tpe struktur akses (Sun & Sheh, 1997, yatu: a Tpe I: struktur akses Γ Untuk setap skema pembagan rahasa dengan suatu struktur akses Γ dalam tpe I, hanya sub hmpunan partspan dalam struktur akses Γ yang dapat merekonstruks kunc rahasa K, sedangkan yang lannya tdak dapat merekonstruks kunc rahasa K. Sebaga akbatnya, struktur P terlarangnya adalah Δ = \ Γ. b Tpe II: struktur terlarang Untuk setap skema pembagan rahasa dengan suatu struktur terlarang dalam tpe II, hanya sub hmpunan partspan dalam struktur terlarang (prohbted yang tdak dapat merekonstruks kunc rahasa K, sedangkan lannya dapat merekonstruks kunc rahasa K. Akbatnya P struktur akses-nya adalah Γ = \ Δ. c Tpe III: struktur campuran ( Γ, Untuk setap skema pembagan rahasa dengan suatu struktur campuran ( Γ, dalam tpe III, sub hmpunan partspan dalam struktur akses Γ dapat merekonstruks kunc rahasa K tetap sub hmpunan partspan dalam struktur terlarang tdak dapat merekonstruks kunc rahasa K. Akbatnya adalah Γ Δ= φ. Sub hmpunan lan dluar dar Γ dan P yatu \( Γ Δ tdak dperhatkan, artnya setap sub Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

23 11 P hmpunan \( Γ Δ kemungknan dapat merekonstruks kunc rahasa K tetap bsa juga tdak dapat merekonstruks rahasa K. Hmpunan P \( Γ Δ bsa saja merupakan hmpunan kosong. Untuk setap subset yang mempunya kualfkas A Γ, setap superset dar A juga merupakan subset yang mempunya kualfkas secara ntutf. Hal n menyebabkan suatu struktur akses Γ mempunya sfat monoton nak, yatu: A Γ dan A B P B Γ Dengan cara yang sama, untuk setap subset yang tdak mempunya kualfkas A Δ, setap subset dar A juga merupakan suatu subset yang mempunya kualfkas. Sehngga struktur terlarang mempunya sfat monoton turun, yatu: A Δ dan B A P B Δ.1.3 Threshold Scheme Dalam threshold scheme (Shamr, 1979, suatu share adalah suatu bagan dar nformas rahasa yang dmlk oleh setap anggota dalam suatu kelompok. Suatu (t,n-threshold scheme adalah suatu skema dmana setap t anggota kelompok (partspan dar kelompok yang totalnya berjumlah n anggota, dapat menyusun kembal nformas rahasa yang sudah ddstrbuskan. Threshold Scheme dperkenalkan oleh A. Shamr dan G. Blackley pada tahun Dalam Shamr s (t,n-threshold scheme, setap t partspan dapat merekonstruks nformas rahasa K, tetap setap hmpunan dengan partspan yang kurang dar t tdak dapat merekonstruks nformas rahasa K. Struktur akses dar Shamr s (t,n-threshold scheme, adalah: { A : A t dan A P} Γ= Sedangkan struktur terlarangnya adalah: { A : A t dan A P} Δ= < Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

24 1 Konstruks skema Shamr s (t,n-threshold ddasarkan pada nterpolas polnomal. Agar t-share dar n partspan dapat merekonstruks nformas rahasa yang dberkan, maka dkonstruks polnomal berderajat ( t 1 atas lapangan Z q, dmana q adalah blangan prma, dengan bentuk: t f ( x = a + a x a x 0 1 t 1 1 sedemkan sehngga a 0 adalah nformas rahasa dan koefsen-koefsen yang lan adalah blangan-blangan acak dalam lapangan Z q. Masng-masng share dar n-share tersebut ( S merupakan pasangan (, ( x f x yang memenuh f ( x = y dan x > 0, dmana = 1,,..., n. Sehngga jka dberkan sembarang t share, maka polnomalnya dapat dtentukan dan nformas rahasa a 0 dapat dhtung menggunakan nterpolas Lagrange. Sebaga contoh (Martana & Indah, 010, msalkan K = 134 atas feld Z Informas rahasa K n akan ddstrbuskan menjad 6 bagan, dmana 3 share-nya akan dapat dgunakan untuk merekonstruks K. Sehngga dperoleh n= 6 dan t= 3. Karena t = 3, maka persamaan polnomal yang akan dbuat berbentuk: f( x = a + a x+ a x dengan a0 = K = Koefsen a 1 dan a merupakan suatu blangan yang dplh secara acak dar Z Msalkan dambl a 1 = 166 dan a = 94, maka polnom yang terbentuk adalah: f ( x x 94x = + + ( mod 7789 Dar polnom datas, untuk = 1,,...,6 akan dperoleh: S1= f(1 = 1494, S 4 = f(4 = 340, S = f( = 194, S 5 = f(5 = 4414, S = f(3 = 578, S = f(6 = 5614, 3 6 Nla-nla S ( x, f( x =1,,6. = n ddstrbuskan kepada partspan ke-, dmana Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

25 13 Untuk merekonstruks K maka dperlukan 3 buah ttk sembarang dar 6 nla share S yang dmlk. Msalkan 3 nla yang dgunakan adalah S 1,S, dan S 3, maka dperoleh: ( x0, y0 = ( 1,1494 ; ( x1, y1 = (,194 ; ( x y = (, 3,578. Untuk merekonstruks polnom dgunakan nterpolas Lagrange, yatu: l ( x = k l ( x 0 l ( x 1 l ( x k 1 = 0 k x x x x k ( x ( x x x x x x x = 1 = x0 x1 x0 x 3 1 = = + ( ( ( x 5x 6 1 x x x x x 1 x = 0 = x1 x0 x1 x ( x 1( x 3 = = + ( ( x 4x 3 1 x x x x x 1 x = 0 1 = x x0 x x1 ( x ( x 1 1 = = + j= 0 ( x 3x f( x = y l ( x (mod 7789 j j ( x x ( x x = ( x x ( x ( ( = = 94x + 166x+ 134 Sehngga dperoleh K = a0 = 134. x Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

26 Informaton Rate Tngkat efsens dar skema pembagan rahasa dapat dukur dar ratarata nformasnya yatu perbandngan antara ukuran kunc rahasa dengan ukuran share yang terbesar, atau dkenal dengan nformaton rate yang dnotaskan dengan ρ. Msalkan P { p p p } = 1,,..., n adalah hmpunan dar semua partspan dengan P adalah kumpulan dar semua subhmpunan P. Msalkan K menunjukkan nformas rahasa yang ddstrbuskan kepada partspan P, sedangkan share dar partspan ke- dtunjukkan oleh S, untuk = 1,,,n. Jka dterjemahkan dalam rangkaan bner, ukuran dar K adalah log K, sedangkan ukuran dar S adalah log S. Informaton rate dar skema pembagan rahasa Brckell dan Davenport (1991 dnyatakan dengan: log K ρ = max log S Dalam mplementas skema pembagan rahasa, sangat pentng untuk memnmalkan besarnya / ukuran share yang ddstrbuskan kepada setap partspan. Dengan kata lan nformaton rate yang dngnkan adalah sebesar mungkn. Informaton rate dar skema pembagan rahasa yang perfect akan selalu mempunya nla antara nol sampa dengan satu (Capocell et al dan Csrmaz, Suatu skema pembagan rahasa dkatakan deal jka ρ = 1. Informaton rate dar skema pembagan rahasa yang drumuskan oleh Brckell dan Davenport (1991 bsa dlhat dar struktur suatu hpergraf. Skema pembagan rahasa yang struktur aksesnya berdasarkan hpergraf dapat dlhat dar struktur akses Γ maupun dar ss struktur terlarang. Wang dan Juan (007 merumuskan nformaton rate ρ pada stuktur hpergraf H 3-unform dengan stuktur akses Γ. Msalkan banyaknya smpul-smpul dar suatu hpergraf H 3-unform adalah n, sedangkan d max menunjukkan derajat maksmum dar hpergraf H. Maka nformaton Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

27 15 rate ρ dar suatu skema pembagan rahasa dengan struktur akses Γ yang berdasarkan hpergraf H 3-unform akan memenuh: ρ = ( d + 1 max Sedangkan Informaton rate dar suatu skema pembagan rahasa dengan struktur terlarang yang berdasarkan suatu hpergraf H r-unform menurut Weng dan Juan (005 akan memenuh: { Cn r d r Cn r } ρ = max 3 ( ( 1, ,3 ( ( 1, dmana d mn merupakan derajat mnmum dar hpergraf H sedangkan n adalah banyaknya smpul-smpul dar H. mn. Teor Graf..1 Graf Graf merupakan suatu konsep yang menggambarkan struktur dskrt yang terdr atas smpul-smpul (vertces dan busur-busur (edges yang menghubungkan smpul-smpul. Teor Graf pertama kal dperkenalkan oleh ahl matematka Swss, Leonhard Euler, pada tahun 1736 ( Garner & Taylor, 00. Euler menggunakan konsep graf untuk memecahkan persolan jembatan Köngsberg. Saat n konsep graf banyak dpergunakan untuk memecahkan persoalan pada berbaga aplkas dantaranya pada rangkaan elektronk, katan somer kma, jarngan komputer (computer network, jarngan transportas, dan sebaganya. Graf sederhana G ( V, E = terdr dar V dan E, dmana V merupakan hmpunan tak kosong dar smpul-smpul, sedangkan E adalah hmpunan tak berurut pasangan elemen-elemen dar V yang dsebut busur. Graf sederhana merupakan graf yang tdak berarah dan tdak memlk busur ganda maupun loop. Busur ganda merupakan suatu busur yang menghubungkan dua buah smpul yang sama. Sedangkan loop merupakan suatu busur yang mempunya awal dan akhr pada smpul yang sama. Graf yang daplkaskan dalam skema pembagan rahasa dengan struktur akses berdasarkan graf adalah graf sederhana. Salah satu contoh dar graf sederhana adalah peta Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

28 16 jalan yang menghubungkan beberapa kota dar Banten, Jakarta sampa Bandung, sepert dtunjukkan pada Gambar.4. Banten Tangerang Jakarta Bekas Karawang Bogor Canjur Purwakarta Bandung Gambar.4: Graf Sederhana.. Hpergraf Dalam teor graf, suatu busur dar graf sederhana dapat menghubungkan dua buah smpul. Berbeda dengan graf, dalam teor hpergraf suatu busur dapat dpandang sebaga suatu subset sembarang dar smpul-smpul. Hpergraf merupakan generalsas dar graf. Suatu hpergraf H ( V, E = adalah suatu hmpunan berhngga V smpul-smpul bersama dengan suatu hmpunan berhngga E busur-busur (dsebut sebaga hperbusur yang merupakan subset sembarang dar V. Derajat hperbusur dar suatu hpergraf dtunjukkan oleh kardnaltas hperbusur (Rosen, 000. Jad suatu hpergraf H merupakan pasangan terurut (V,E, dmana V adalah hmpunan tak nol dar smpul-smpul, sedangkan hperbusur dapat E = E, E,..., E V m dengan E untuk 1 m. Derajat dtulskan { } 1 dar suatu smpul u adalah { E : u E untuk 1 m}, yang besarnya Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

29 17 dtulskan dengan d(h. Jka E = r untuk semua 1 E maka hpergraf H dsebut sebaga hpergraf r-unform, dengan kata lan hpergraf adalah unform jka semua hperbusur dar suatu hpergraf mempunya jumlah smpul yang sama. Graf merupakan suatu hpergraf -unform. Suatu hpergraf dkatakan regular jka semua smpulsmpulnya mempunya derajat yang sama. Tdak sepert graf, hpergraf sangat sult untuk dgambar sehngga cenderung dgambarkan dengan menggunakan teor hmpunan. Ilustras dar suatu hpergraf dapat dlhat pada Gambar.4. e 1 e v 1 v v 3 v 4 v 5 e 3 v 8 v 6 v 7 e 4 Gambar.5: Hpergraf Dar Gambar.4 dapat dlhat suatu hpergraf H ( V, E V = dengan = { v, v, v, v, v, v, v, v } dan E = { e, e, e, e } = { v v v v } { v v v } { 3, 6, 7},{ 5}} v v v v { ,,,,,,,.3 One Way Hash Functon Fungs hash telah banyak dgunakan dalam lmu komputer (computer scence. Fungs hash adalah suatu fungs yang mengambl suatu nput bnary strng dengan panjang berubah-ubah (dsebut dengan pre-mage dan mengubahnya menjad bnary strng dengan panjang tetap (dsebut dengan hash value (Schneer, Sedangkan one-way functon merupakan suatu fungs satu arah yang relatf mudah untuk dhtung tetap sult untuk mencar Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

30 18 nverse-nya, sepert lustras pada Gambar.5. Jka dberkan x maka sangat mudah untuk menghtung fungs f(x, tetap jka dberkan f(x maka akan sangat sult untuk menghtung x. easy x f(x hard Gambar.6 : Ilustras One Way Functon [Sumber: Goldrech, 004, p.31] One way hash functon mempunya banyak nama dantaranya adalah compresson functon, contracton functon, message dgest, fngerprnt, cryptographc checksum, message ntegrty check (MIC, dan manpulaton detecton code (MDC. Suatu one-way hash functon H(M, beroperas pada suatu pre-mage message M dengan panjang sembarang, menghaslkan suatu nla hash h dengan panjang tetap. ( h= H M, dengan h panjangnya m One way hash functon mempunya karakterstk: a Jka dberkan M, maka mudah untuk menghtung h. b Jka dberkan h, maka akan sult untuk menghtung M sedemkan sehngga H( M = h. c Jka dberkan M, maka akan sult untuk menentukan message yang lan M, sedemkan sehngga H ( M H( M ' =. Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

31 19 Salah satu contoh sederhana dar one way hash functon adalah operas x-or, yang merupakan suatu fungs yang mengambl pre-mage dengan mengoperaskan x-or semua byte-byte nput dan mengembalkan menjad suatu byte (Stallngs, 003. Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

32 BAB 3 SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA 3-STRUKTUR AKSES HIPERGRAF Dalam konstruks skema pembagan rahasa berdasarkan hpergraf, setap smpul pada hpergraf dapat dlhat sebaga suatu partspan dalam skema pembagan rahasa. Sepert telah djelaskan pada Bab tentang struktur akses skema pembagan rahasa menurut Sun dan Sheh (1997, untuk struktur tpe I dalam skema pembagan rahasa yang berdasarkan hpergraf, struktur akses Γ adalah hmpunan partspan yang bersesuaan dengan hperbusur. Artnya hanya partspan yang bersesuaan dengan hperbusur yang dapat merekonstruks kunc rahasa K. Untuk struktur campuran (Γ, dalam tpe III, struktur Γ terdr dar partspan-partspan yang bersesuaan dengan hperbusur dar hpergraf dapat merekonstruks kunc rahasa K, sedangkan terdr dar partspan-partspan yang tdak dhubungkan oleh hperbusur tdak dapat merekonstruks kunc rahasa K. Untuk struktur terlarang (tpe II dalam skema pembagan rahasa berdasarkan hpergraf, struktur Γ adalah P Γ= \ Δ dmana P menunjukkan hmpunan partspan, sedangkan merupakan hmpunan partspan yang tdak bersesuaan dengan hperbusur. Dalam bab n akan dbahas mengena skema pembagan rahasa tpe I yang berdasarkan hpergraf 3-unform, yatu skema pembagan rahasa 3-Struktur Akses Hpergraf atau dsngkat dengan skema 3-SAH. Konstruks skema 3-SAH yang djelaskan dalam Bab 3 n dambl dar paper Wang dan Juan ( Konstruks Skema 3-SAH Msalkan H ( PS, = suatu hpergraf dmana P= { p p p },,..., n 1 merupakan hmpunan partspan dar skema pembagan rahasa yang masngmasng partspan drepresentaskan sebaga smpul-smpul suatu hpergraf H sedangkan S merupakan hmpunan r-partspan yang bersesuaan dengan hperbusur dalam H. Dalam konstruks skema 3-SAH, hperbusur yang terbentuk terdr dar 3 smpul. Hmpunan dar 3 partspan yang bersesuaan dengan hperbusur adalah subhmpunan dar partspan yang merupakan share 0 Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

33 1 dar skema 3-SAH, dnyatakan dengan S { A A E H } = : (. Kumpulan semua subset P yang dapat menyusun atau merekonstruks kunc rahasa K dsebut sebaga struktur akses Γ. Struktur akses dalam skema 3-SAH menggunakan struktur akses tpe I. Struktur akses Γ dsusun berdasarkan partspan yang bersesuaan dengan hperbusur dar hpergraf H, dnyatakan dengan { A P S A untuk setap S 0 } Γ= Γ. Sedangkan struktur akses mnmal Γ 0 merupakan suatu faml dar hmpunan mnmal dalam Γ (subset mnmal { } ' ' dar Γ, dnyatakan dengan A A A A { A} Γ = Γ Γ. Sesua 0 : dengan struktur askes tpe I, maka struktur terlarang dar skema 3-SAH dnyatakan dengan P \ { A P S A S 0 } Δ= Γ= Γ. Kunc rahasa K dar skema 3-SAH dnyatakan dengan K = { K K },, 0 1 dmana K 0 dan K 1 dambl secara acak dar blangan Z q dengan q merupakan blangan prma. Dalam menentukan share dar partspan dalam konstruks skema 3-SAH dgunakan suatu fungs satu arah hash ( g hash. Dalam Tess n akan dgunakan fungs hash sederhana yatu operas x-or. Semua perhtungan dalam konstruks skema 3-SAH adalah atas lapangan Z q, dengan { } q> max K, K adalah blangan prma yang besar. 0 1 Berkut adalah langkah-langkah konstruks pembentukan skema pembagan rahasa 3-SAH. Langkah 1: Plh kunc rahasa K { K, K } = dmana K 0 dan K 1 dambl 0 1 secara acak dar blangan Z q sedangkan k dambl acak dar Z q. Langkah : Dealer D mengkonstruks fungs polnomal f ( x = k x + K x+ K k 1 Langkah 3: Htung y ( 1, = f kn untuk 1 1< n. k = 1 Langkah 4: Plh n blangan acak a1, a,..., a n dar Z q. Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

34 Langkah 5: Untuk 1 n, tentukan share S = a,..., a,..., a, a untuk 1 j1< j n,,(1,,( j1, j,( n 1, n dmana: a,( j1, j y( + g (, jka {,, } ( ; 1, hash aj a 1 j p j j pj p 1 j E G = kosong, untuk lannya Langkah 6: Krm share S ke partspan p, untuk = 1,,..., n. Share S untuk partspan p, dengan = 1,,...,7 pada proses konstruks skema 3-SAH secara umum untuk hpergraf Gambar 3.1 dapat dlhat pada Tabel 3.1. Tanda - dalam tabel menunjukkan bahwa subshare-nya kosong. Konstruks skema 3-SAH akan memenuh konds sebaga berkut: (1 jka A P dan A < 3, maka A tdak akan mempunya nformas rahasa. ( jka e A P e Γ 0 dan A 3, maka A tdak akan mempunya nformas rahasa. (3 jka e Γ, e A P 0 dan A 3, maka A dapat merekonstruks kunc rahasa K. Penjelasan mengena ketga konds tersebut akan dbahas pada bagan Analss Keamanan Skema 3-SAH. 3. Rekonstruks Skema 3-SAH Dar konstruks skema pembagan rahasa 3-SAH akan dperoleh suatu share S dar partspan p, untuk = 1,,..., n. Tabel share secara umum dar skema 3-SAH untuk n = 7 dapat dlhat pada Tabel 3.1. Dar skema share yang dperoleh dalam proses konstruks skema 3-SAH, dapat drekonstruks untuk memperoleh struktur kunc rahasa K. Langkah-langkah proses rekonstruks skema 3-SAH adalah sebaga berkut: Langkah 1: Ambl share 1 j1 j j3 n S, S, S dar partspan j1 j j3 < <, dmana A { pj, pj, pj } p, p, p untuk 1 3 j1 j j3 = adalah subset mnmal dar P yang dapat menyusun atau merekonstruks kunc rahasa K, dengan kata lan A Γ 0. Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

35 3 Langkah : Ambl {, } { j, j, j } \{ t} =, untuk 1 t 3, kemudan dhtung y (, dengan y( = a, k ( 1 g hash a a ,(, 3 k 1 Langkah 3: Koleks 3 ttk-ttk n k, y( 1, dar langkah. Dengan k = 1 bantuan 3 ttk tersebut, polnomal f ( x = k x + K x+ K dapat 1 0 drekonstruks menggunakan nterpolas Lagrange. Langkah 4: Setelah polnomal nformas rahasa K { K, K } f ( x = k x + K x+ K drekonstruks, maka = dapat dperoleh. 3.3 Analss Keamanan Skema 3-SAH Konstruks skema 3-SAH akan memenuh 3 konds yatu jka A P dan A < 3, maka A tdak akan mempunya nformas rahasa, jka e A P e Γ dan A 3, maka A tdak akan mempunya nformas 0 rahasa, sedangkan jka e Γ, e A P 0 dan A 3, maka A dapat merekonstruks kunc rahasa K. Berkut n akan djelaskan mengena analss keamanan serta analss nformaton rate dar skema 3-SAH. Teorema 3.1: Untuk semua A P dan A < 3, maka A tdak akan Bukt: mempunya nformas apapun tentang kunc rahasa K dar skema 3-SAH. Tanpa menghlangkan sfat umumnya, msalkan dambl A = dan { j, j } A= p p, dengan 1 j1< j n. Share dar partspan p untuk 1 {, } j j adalah 1 =. Karena A= { pj, pj } S a,..., a,..., a, a,(1,,( j1, j,( n 1, n untuk semua 0 j1 < j n, maka share dar p j 1 adalah 1 S = a,..., a,..., a, a, sedangkan share j1 j1,(1, j1,( j1, j j1,( n 1, n j1 p j adalah S = a,..., a,..., a, a. Akbatnya tdak dperoleh j j,(1, j,( j1, j j,( n 1, n j Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

36 4 nformas tentang y ( j, j yang bsa dturunkan dar 1 Sj, S 1 j. Karena y ( j1, j tdak dapat dketahu maka partspan rahasa K. p, p tdak dapat merekonstruks kunc j1 j Teorema 3.: Jka e A P e Γ 0 dan A 3, maka A tdak akan Bukt: mempunya nformas tentang kunc rahasa K dar skema 3-SAH. =, dmana 1 m1 < m <... < ml n dan l 3. Msalkan A { p, p,..., p } Msalkan m1 m m l S = a,..., a,..., a, a adalah kumpulan share dar,(1,,( j1, j,( n 1, n partspan p untuk { m m m} e Γ, maka nformas tentang 0 ( j, j dperoleh dar share 1,,..., l. Karena e A P untuk semua m1 m m l y untuk setap 1 j1< j n tdak akan 1 S, S,..., S, serta tdak akan terpengaruh oleh { j j } { m m m} atau { j j } { m m m},,,..., l 1 1,,,..., l 1 1. Sehngga partspanpartspan p, p,..., p tdak dapat merekonstruks kunc rahasa K. m1 m m l Teorema 3.3: Jka e Γ, e A P 0 dan A 3, maka A dapat Bukt: Msalkan { m, m, m } merekonstruks kunc rahasa K. 1 3 p p p = e A, untuk sembarang e Γ 0 dmana 1 m1 < m < m3 n. Msalkan kumpulan share dar partspan p untuk { m, m, m } adalah 1 3 S = a,..., a,..., a, a. Berdasarkan,(1,,( j1, j,( n 1, n langkah-langkah konstruks skema 3-SAH, maka akan dperoleh 3 subkunc y untuk 1 j1 j n ( j, j 1 < dan { j, j } { m, m, m } Sehngga partspanpartspan p, p, p dapat merekonstruks kunc rahasa K. m1 m m3 Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

37 5 Teorema 3.4: Msalkan banyaknya smpul-smpul dar suatu hpergraf H Bukt: 3-unform adalah n, sedangkan d max menunjukkan derajat maksmum dar hpergraf H. Maka nformaton rate ρ dar suatu skema 3-SAH yang berdasarkan hpergraf H akan memenuh: ρ = ( d + 1 max Share S untuk partspan p, untuk = 1,,..., n merupakan suatu vektor dengan elemen ( Cn (, + 1, dmana Cxy (, x! ( y!( x y! =. Untuk elemen pertama Cn (,, jka { p, pl, pl, pl } E( H untuk 1 l1 < l < l3 n, maka 1 3 kosong untuk { x,, x} { l, l, l} hanya jka { x x } =. Artnya ,( x1, x p, p, p E( H untuk 1 x1 < x n. a,( x1, x a adalah atas lapangan Z q Untuk elemen terakhr, yatu 1, a selalu ada (ekss. Sehngga share S akan sama dengan ( deg p + 1 Z q, dmana deg( p merupakan derajat dar smpul p dalam hpergraf H. Karena ruang share maksmal adalah d + 1 Z q dmana d merupakan derajat maksmal dar hpergraf H dan kunc rahasa K memenuh K = Z q, maka nformaton rate dar skema 3-SAH akan memenuh: ( log q (( d 1log q ( d 1 + = + Untuk memberkan gambaran yang lebh jelas dalam pembentukan skema pembagan rahasa 3-SAH, mula dar proses konstruks dan rekonstruks dapat dperhatkan pada Contoh 3.5. Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

38 6 Tabel 3.1: Share Secara Umum dar Skema 3-SAH untuk Hpergraf pada Gambar 3.1 S 1 S S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 a,(1, - - y g r r (1, 1 a,(1,3 - y g r r (1,3 1 3 a,(1,4 - y g r r (1, ( y + g ( r r hash (1, hash 1 - y + g ( r r (1, hash ( hash - y g ( r r (1,3 hash ( y g ( r r hash (1,4 hash a,(1, a,(1,6 - y + g ( r r (1,6 hash a,(1, a,(,3 y g ( r r (,3 hash y + g ( r r (,3 hash a,(,4 y + g ( r r (,4 hash 4 - y g ( r r (,4 hash a,(, a,(,6 y g ( r r (,6 hash a,(, a,(3,4 y + g ( r r y g ( r r (3,4 hash 3 4 (3,4 hash y g r r (3,4 3 4 a,(3, y g r r (3,5 3 5 a,(3, y g r r (3, ( y + g ( r r hash (3,4 hash ( hash - y + g ( r r (3,5 hash ( y g ( r r hash (3,6 hash a,(3, a,(4,5 - - y + g ( r r (4,5 hash a,(4,6 - - y + g ( r r (4,6 hash a,(4, a,(5,6 - - y + g ( r r (5,6 hash a,(5, a,(6, a a 1 a a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

39 7 Contoh 3.5: Gambar 3.1 berkut n menunjukkan suatu hpergraf H yang akan dgunakan sebaga dasar dalam mengkonstruks skema 3-SAH. P 7 P 1 P P 4 P 6 P 3 P 5 Gambar 3.1 Contoh 3-Unform Hpergraf H=(V,E Dar Gambar 3.1 dapat dperoleh: {,,,,,, } P= p p p p p p p {{ } { } { } E( H =Γ = p, p, p, p, p, p, p, p, p, { p p p } { p p p } { p p p },,,,,,,,, { p3, p4, p6},{ p3, p5, p 6}} { A P S A S 0 } Γ = Γ { A P S A S 0 } Δ = P \ Γ = Γ Langkah-langkah konstruks skema 3-SAH berdasarkan Gambar 3.1 adalah sebaga berkut: Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

40 8 Langkah 1: Msalkan rahasa K { K, K } { 179, 41} = = yang dambl secara 0 1 acak dar Z q dan k = 93 dambl acak dar Z 331. Langkah : Dealer D mengkonstruks polnomal f ( x = k x + K x+ K, 1 0 yatu f( x = 93x + 41x k 1 Langkah 3: Htung y( 1, = f kn untuk 1 1< n. k = 1 Langkah 4: Plh 7 blangan acak a1, a,..., a 7 dar Z 331 yatu: a = 31, a = 45, a = 57, a = 63, a = 70, a = 8, a = Langkah 5: Fungs hash yang dgunakan pada contoh n adalah fungs hash sederhana x-or p (yang dnotaskan dengan. Untuk 1 7, tentukan share S = a,..., a,..., a, a untuk,(1,,( j1, j,( n 3+,..., n 1 j < j 7 dmana: 1 a,( j1, j y( + h( a, jka {,, } ( ; 1, j a 1 j p j j pj p 1 j E H = kosong, untuk lannya Share S dengan nla subshare dar masng-masng partspan p dar skema 3- SAH berdasarkan Gambar 3.1 tercantum pada Tabel 3.. Share dar konstruks skema 3-SAH berdasarkan Gambar 3.1 dengan nla subshare sepert yang terlhat pada Tabel 3. dapat drekonstruks untuk memperoleh nla kunc rahasa K. Berkut adalah proses rekonstruks dar skema 3-SAH dar Contoh 3.5: a Untuk A P dan A < 3 Untuk 1 share dar p 3 adalah: A = msalnya dambl { } A = p 3, maka dar Tabel 3., S 3 = 313,-,50,-,-,-,-,167,-,-,-,-,-,-,-,30,30,-,155,-,-,57. Karena A = 1, maka A tdak mempunya nformas y ( j, j untuk semua 1 j < j 7. Sehngga dar Tabel 3., partspan p 3 tdak dapat 1 merekonstruks kunc rahasa K. 1 Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

41 9 Untuk A = msalkan dambl A { p, p } =. Maka dar Tabel 3. 1 share dar p 1 adalah S 1 = -,-,-,-,-,-,65,167,-,187,-,3,-,-,-,-,-,-,-,-,-,31, sedangkan share dar p adalah S = -,151,50,-,77,-,-,-,-,-,-,3,-,-,-,-,-,-,-,-,-,45. Sehngga dar Tabel 3.1 pada kolom S 1 dan S, tdak ada nformas tentang y ( 1, yang dperoleh. Hal n menunjukkan bahwa partspan p1, p tdak dapat merekonstruks kunc rahasa K. b Untuk e A P e Γ 0 dan A 3 Untuk 3 A =, msalkan dambl A { p, p, p } =. Maka share dar p adalah S 1 = -,-,-,-,-,-,65,167,-,187,-,3,-,-,-,-,-,-,-,-,-,31, share dar p 4 adalah S 4 = 313,151,-,-,-,-,65,-,-,-,-,-,8,75,-,-,-,-,-,-,-,63, sedangkan share dar p 6 adalah S 6 = 313,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,3,8,-,-,-,-,-,-,-,-,8 A yang mungkn dperoleh adalah (, (, 1,4 1,6 ( 4,6. Informas share dar y y y. Karena {,, } p p p Γ dar Tabel 3.1 terlhat pada kolom share S 1, S 4, dan S 6, tdak ada nformas tentang y(, y 1,4 ( 1,6, y ( 4,6 yang dapat dperoleh. Sehngga partspan p1, p4, p 6 tdak dapat merekonstruks kunc rahasa K. Untuk 3 p1, p3, p6, p 7 adalah: A >, msalkan dambl A { p, p, p, p } =. Maka share dar S 1 = -,-,-,-,-,-,65,167,-,187,-,3,-,-,-,-,-,-,-,-,-,31 S 3 = 313,-,50,-,-,-,-,167,-,-,-,-,-,-,-,30,30,-,155,-,-,57 S 6 = 313,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,3,8,-,-,-,-,-,-,-,-,8 S 7 = -,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,96 Informas share dar A yang mungkn dperoleh adalah y, y, y, y, y, y. Karena A tdak memenuh ( 1,3 ( 1,6 ( 1,7 ( 3,6 ( 3,7 ( 6,7 e A P e Γ 0, dar Tabel 3.1 terlhat pada kolom S, S, S, S, tdak ada nformas mengena y(, y(, y(, y 1,3 1,6 1,7 ( 3,6, y( 3,7, y ( 6,7 yang dapat Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

42 30 dperoleh. Sehngga partspan p1, p3, p6, p 7 tdak dapat merekonstruks kunc rahasa K. c Untuk e Γ, e A P 0 dan A 3 Msalkan dambl A = { p, p, p }, hal n memenuh {,, } 1 4 untuk sembarang e Γ 0. Maka share dar p 1 adalah p p p = e A, 1 4 S 1 = -,-,-,-,-,-,65,167,-,187,-,3,-,-,-,-,-,-,-,-,-,31, share dar p adalah S = -,151,50,-,77,-,-,-,-,-,-,3,-,-,-,-,-,-,-,-,-,45, sedangkan share dar p 4 adalah S 4 = 313,151,-,-,-,-,65,-,-,-,-,-,8,75,-,-,-,-,-,-,-,63. Informas share dar A yang mungkn dperoleh adalah y(, y 1, ( 1,4, y (,4. Dar Tabel 3.1 pada kolom share S 1, S, dan S 4, dperoleh nla dar a 1, (,4 = 167, a, ( 1,4 = 50, dan a 4, ( 1, = 313. Sedangkan nla dar a1, a, a 4 adalah berturut-turut 31, 45, dan 63. Berdasarkan Tabel 3.1 maka nformas dar y(, y 1, ( 1,4, y (,4 dapat dperoleh yatu ( y (,4 = 149. y = 63, 1, ( 1,4 18 y =, dan Dar nla y(, y 1, ( 1,4, y (,4 yang sudah dperoleh selanjutnya dlakukan proses rekonstruks untuk memperoleh nla kunc rahasa K. Proses rekonstruksnya sesua dengan Sub-bab 3.1 adalah sebaga berkut: Langkah 1 dan Langkah telah dlakukan sehngga dperoleh nla dar y, y, y ( 1, ( 1,4 (,4. 3 k 1 Langkah 3: Koleks 3 ttk-ttk n k, y( 1, dar langkah, yatu k = 1 ( 9,63, ( 11,18, ( 18,149. Dar 3 ttk tersebut dperoleh f (9 = 63, f (11 = 18 dan f (18 = 149, sehngga bentuk polnomal f ( x K K x k x = yang dperoleh adalah: f (9 K 9K 81k = , f (11 K0 11K1 11k f (18 = K + 18K + 34k. 0 1 = + + dan Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

43 31 Langkah 4: Untuk mencar nformas rahasa K dar persamaan yang dperoleh dar langkah 3 maka dgunakan sstem persamaan lnear (SPL. Semua perhtungan dalam langkah rekonstruks skema 3-SAH dar Contoh 3.5 n menggunakan modulo 331. Dengan SPL maka dperoleh nla K 0, K 1, dan k yatu K = 179, K = 41, k = 93. Sehngga nla nformas rahasa 0 1 {, } K = K K dapat dperoleh. 0 1 Tabel 3.: Nla share dar skema 3-SAH untuk untuk 7 partspan S 1 S S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 a,(1, a,(1, a,(1, a,(1, a,(1, a,(1, a,(, a,(, a,(, a,(, a,(, a,(3, a,(3, a,(3, a,(3, a,(4, a,(4, a,(4, a,(5, a,(5, a,(6, a Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.

44 3 3.4 Informaton Rate Skema 3-SAH Sepert telah djelaskan pada Bab, nformaton rate yang dnotaskan dengan ρ, merupakan ukuran tngkat efsens dar skema pembagan rahasa yang dukur dar rata-rata nformasnya, yatu perbandngan antara ukuran kunc rahasa dengan ukuran share yang terbesar. Menurut Brckell dan Davenport (1991, nformaton rate dar skema pembagan rahasa dnyatakan dengan: log K ρ = max log S dmana K menunjukkan nformas rahasa yang ddstrbuskan kepada partspan P, sedangkan share dar partspan ke- dtunjukkan oleh S, untuk = 1,,,n. Dar proses konstruks skema 3-SAH pada Contoh 3.5 dketahu kunc rahasa K ( K, K, ( 179, = =, sedangkan ukuran share S dar masngmasng partspan p, untuk = 1,,..., n dapat dketahu dar Tabel 3. yatu S 1 = 5, S = 5, S 3 = 7, S 4 = 6, S 5 = 3, S 6 = 4, S 7 = 1. Maka menurut Brckell dan Davenport (1991, nformaton rate dar skema 3-SAH adalah: ρ ( 9 ( ( ( 9 9 K log log = = = = 7 9 S log 7 log log max log 7 Menurut Wang dan Juan (007, nformaton rate dar skema pembagan rahasa 3-Hypergraph Access yang berdasarkan suatu hpergraf H akan memenuh: ρ = d max + 1 dmana d max adalah derajat maksmum dar hpergraf H. Dar Gambar 3.1 dperoleh derajat maksmum dar hpergraf H adalah d max = 6, sehngga nformaton rate dar skema 3-SAH pada Contoh 3.5 adalah: ρ = = = d Analss perbandngan..., I Ketut Tr Martana, FMIPA UI, 010.