APLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA JALUR TAKSI UNTUK MEMAKSIMUMKAN PENDAPATAN PENGEMUDI TAKSI

Transkripsi

1 Jurnal Barekeng Vol 5 No Hal 9 3 (0) APLIKASI ALJABA MAKS-PLUS PADA JALU TAKSI UNTUK MEMAKSIMUMKAN PENDAPATAN PENGEMUDI TAKSI DOTEUS LODEWYIK AHAKBAUW Staf Jurusan Matematika FMIPA UNPATTI Jl Ir M Putuhena, Kampus Unpatti, Poka-Ambon lodewyik@gmailcom ABSTAK Jaringan jalur transportasi pada suatu daerah memegang peranan penting dalam mobilitas masyarakat antar satu daerah, baik antar kota maupun antar tempat yang satu ke tempat yang lain Berbagai macam alat transportasi digunakan baik alat transportasi umum maupun pribadi Ditengah aktivitas yang padat masyarakat yang berekonomi menengah kebawah cenderung menggunakan taksi sebagai solusi untuk membantu aktivitas agar tepat waktu, ditengah kepadatan lalu lintas Jalur taksi pada umumnya lebih bervariasi daripada jalur kendaraan umum karena tidak mempunyai jalur yang ditetapkan Sopir taksi dalam hal ini cenderung memaksimalkan tarif/ongkos yang didapat untuk itu sering diambil jalur yang dapat memaksimalkan tarif/ongkos tersebut Dalam paper ini dikonstruksikan model aljabar maksplus untuk rute/jalur taksi yang dianggap maksimal akan ditempuh oleh seorang pengemudi taksi Keywords: graph, jalur taksi, aljabar maks-plus, lintasan kritis PENDAHULUAN Transportasi menjadi alat yang sangat penting dalam mobilitas masyarakat ditengah aktivitasnya sehari-hari Namun seringkali transportasi seringkali dikaitkan dengan ketepatan waktu yang harus dicapai oleh pengguna alat tranportasi Dalam paper ini penulis mencoba mengabaikan hal tersebut tetapi akan dikaji jalur taksi yang bisa menghasilkan pendapatan yang maksimal dari seorang pengemudi taksi Dengan mengabaikan waktu berorientasi pada tarif deterministi pada kajian jalur taksi, akan dikonstruksikan aljabar maks-plus untuk bagaimana pengemudi taksi dapat mencapai tujuan penumpang dengan memilih jalur-jalur yang dirasa sangat menguntungkannya TINJAUAN PUSTAKA Aljabar Maks-Plus Elemen dasar dari aljabar maks-plus adalah bilangan real Operasi dasar dari aljabar maks-plus adalah maximum (dinotasikan dengan simbol, dibaca : O-plus ) tambah (dinotasikan dengan simbol, dibaca O-times ) dengan dua operasi tersebut diperoleh : Untuk setiap, dimana Catatan: untuk semua Operasi yang diperluas ke matriks sebagai berikut : untuk semua i,j Definisi Graph Dalam Aljabar Max-Plus Diberikan graph berarah dengan V adalah suatu himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya disebut titik (vertex) A adalah suatu himpunan pasangan terurut titik-titik pada garis (edge) V Suatu barisan garis dari dari suatu garis dinamakan path Suatu path dikatakan elementer apabila tidak ada titik terjadi dua kali dalam path tersebut Suatu sirkuit adalah path elementer tertutup yaitu

2 Barekeng Vol 5 No Hal 9 3 (0) Suatu graph berarah dengan dikatakan strongly connected jika untuk setiap, terdapat suatu lintasan dari i ke j Suatu graph yang memuat sirkuit disebut graph siklik, segkan suatu graph yang tidak memuat sirkuit disebut graph tak siklik (a) (b) Gambar (a) merupakan path elementer,gambar (b) bukan path elementer Graph berarah G dikatakan berbobot jika setiap garis (j, i) A dikawankan dengan suatu bilangan real A ij Bilangan real A ij disebut bobot garis (j, i), dilambangkan dengan w(j, i) Graph preseden dari nxn matriks A max adalah graph berarah berbobot G(A) = (V, A) dengan V = {,,, n}, A = {( j, i ) w( i, j ) = A ij ε, i, j } Sebaliknya untuk setiap graph berarah berbobot G = (V, A) selalu dapat nxn didefinisikan suatu matriks A max dengan A ij = w ij, jika ( i, j) A, jika ( i, j) A bobot graph G Bobot suatu path dinotasikan oleh, yang disebut matriks diberikan oleh: ( ) Panjang dari path P/ banyak garis dalam path P dinotasikan oleh Bobot rata-rata dari path P adalah bobot P dibagi banyak garis dalam path P : HASIL DAN PEMBAHASAN Pemodelan Jaringan Transportasi (Jalur Taksi) a Asumsi pendukung Diasumsikan bahwa walaupun penumpang taksi cenderung berkeinginan sampai tepat pada waktunya namun pengemudi taksi selalu memperhitungkan biaya yang nantinya dia terima, sehingga pengemudi taksi akan mengambil jalur yang dirasanya dapat mencapai ongkos/tarif maksimum Dengan kata lain pengemudi taksi yang menentukkan jalur/rute untuk dicapai ke tempat tujuan penumpang Dalam kenyataannya seringkali terdapat faktorfaktor pendukung seorang pengemudi taksi mendapatkan tarif/biaya maksimum seperti waktu tunggu saat berada pada lampu lalu lintas, waktu tunggu pada saat terjadi kemacetan, kecepatan taksi yang diatur oleh pengemudi taksi, lama perjalanan sebagainya 30 Dan sebaliknya faktor-faktor yang kurang mendukung adalah permintaan rute oleh penumpang kepada pengemudi taksi yang dapat meminimumkan pendapatan pengemudi taksi tersebut Dalam paper ini dikaji sebuah contoh jalur taksi dengan ongkos/tarif deterministik yang sudah ditentukan Tabel Jalur biaya taksi Kode dari Tujuan Tarif (puluh ribu) upiah K K 5 A 3 3 A 4 4 K 0 5 K3 7 6 K K 0 7 A 4 8 K 9 K3 0 0 K3 K 0 A K 6 3 K3 4 A K 4 5 K 6 6 K3 3 b Contoh jalur taksi Pada bagian ini akan dikaji jalur taksi yang digunakan oleh seorang pengemudi taksi dalam memaksimalkan pendapatan yang didapat Dalam contoh ini dibuat graph berarah (directed graph), dimana ada 4 node yang menunjukkan tempat yakni kota (K ), kota (K ), kota 3(K 3 ), pelabuhan udara (Airport)(A), dimana bobot-bobot dari masing-masing garis(edge) menunjukkan tarif/ongkos rute Dari Tabel terlihat pada kode, 3 terdapat jalur yang sama untuk itu pengemudi akan selalu memakai jalur yang dirasanya maksimum terhadap tarif/ongkos Dengan demikian jalur dari kode akan selalu diabaikan oleh pengemudi taksi juga jalur dari kode 4, 6, 9, 0 karena menghasilkan tarif yang minimum Gambar Graph di atas diubah menjadi graph seperti di bawah ini karena diambil maksimum dari path yang sama ahakbauw

3 Barekeng Vol 5 No Hal 9 3 (0) 3 Gambar 3 Graph berarah yang dibangun berdasarkan jalur taksi yang diberikan pada tabel berikut : Dari graph diatas didapat matriks bobot sebagai [ ] Berdasarkan graph di atas dapat dibuat path berdasarkan kode sebagai berikut :, 3, 5, 7, 8,,, 3, 4, 5, 6 Kajian Aljabar Maks-Plus dengan menggunakan Scilab a Menentukan Maximum Cycle Mean (MCM) Diketahui ada 3 jalur sikel/sirkuit, secara manual didapat : Tabel No JALU SIKUIT CYCLE MEAN K-K 5/=5 K-A-K (4 4)/=4 3 K-K3-A-K (7 4)/3= 4,33 4 K-K3-K-A-K ( )/4=5,5 5 K-K /= 6 K-A-K (6 4)/=5 7 K-A-K3-K (4 3 6)/3=4,33 8 K-A-K-K3-K ( )/4=5,5 9 K3-K3 3/=3 0 K3-A-K3 ( 3)/=,5 K3-A-K-K3 ( 4 7)/3=4,33 K3-K-A-K3 (6 4 3)/3=4,33 3 K3-K-A-K-K3 ( )/4=5,5 Pada dasarnya no 3 adalah bentuk sikel yang sama (misalkan sikel a), no 4, 8, 3 juga sama (misalkan sikel b), no7 juga sama (misalkan sikel c), ditambah,, 5, 6, 9, 0 jadi ada 9 bentuk sikel/sirkuit Dan Maximum Cycle Mean (MCM) dari 9 bentuk sikel/sirkuit adalah Dengan menggunakan scilab : -->t=-%inf t = -Inf -->A=[5 4 t 7;4 t 6 3;t 4 t;t 6 ] A = 5 4 -Inf 7 4 -Inf 6 3 -Inf 4 -Inf -Inf 6 -->mcm=maxplusmcm(a) mcm = 55 b Lintasan kritis Menentukan lintasan kritis adalah hal yang sangat penting bagi seorang pengemudi taksi, karena pada lintasan kritis tersebut akan dipakai sebagai jalur yang akan sering digunakkan oleh pengemudi taksi Dengan mendapatkan maksimum dari semua sikel mean (maximum cycle mean), akan didapat rute yang menyebabkan tarif tersebut dalam hal ini bobot pada graph A menjadi maksimum Hal ini mengandung arti bahwa pada sikel tersebut pengemudi taksi dapat memaksimalkan tarif yang dicapai yakni sebesar 0000 yakni no 4, 8 3 yang menunjukkan rute masing-masing K-K3-K-A- K,untuk berangkat dari kota ; K-A-K-K3-K, untuk berangkat dari kota, K3-K-A-K-K3 untuk berangkat dari kota 3 Berikut implementasi dengan scilab dalam hal menentukan lintasan kritis -->[l,d,x] = maxplusccir(a) x = 4 3 d = 4 l = 55 c Strongly connected Untuk mengecek apakah graph A ini strongly connected ataukah tidak maka dengan menggunakan tool yang ada pada scilab s = maxplusscg(a) s = T Didapat jawaban T yang berarti benar (True), hal ini berarti graph berarah A yang merupakan konstruksi graph atas jalur/rute taksi adalah strongly connected KESIMPULAN Kesimpulan yang dapat di capai adalah : Untuk memaksimalkan pendapatan pengemudi taksi dalam hal ini tarif/ongkos dari penumpang harus beroperasi pada lintasan kritis dalam hal ini maksimum dari sikel-sikel mean yang ada (maximum cycle mean) ahakbauw

4 Barekeng Vol 5 No Hal 9 3 (0) 3 Selanjutnya paper ini dapat disempurnakan dengan menggunakan maks-min untuk mendapatkan waktu yang minimum bagi keuntungan penumpang DAFTA PUSTAKA St ephane Gaubert and Max Plus, Methods and Applications of (max,+) Linear Algebra, INIA, Domaine de Voluceau, BP05, 7853 Le Chesnay Cedex, France ftp://ftpinriafr/inia/publication/publipdf//-3088pdf Winarni, Subiono, Penjadwalan jalur bus dalam kota dengan aljabar max-plus, Seminar nasional matematika IV, Institut teknologi sepuluh nopember surabaya, 3 desember 008 Subiono, (000), On classes of min-max-plus systems and their application, Thesis PhD, Technische Universiteit Delft, Delft ahakbauw

5 Jurnal Barekeng Vol 5 No Hal (0) KAAKTEISASI ELEMEN IDEMPOTEN CENTAL HENY W M PATTY, ELVINUS ICHAD PESULESSY, UDI WOLTE MATAKUPAN 3,,3 Staf Jurusan Matematika FMIPA UNPATTI Jl Ir M Putuhena, Kampus Unpatti, Poka-Ambon henry_4t00@yahoocom, richardelvinus@yahoocom, rwmatakupan@yahoocom ABSTAK Elemen idempoten e dalam suatu ring dengan elemen satuan disebut idempotent central jika untuk sebarang r berlaku er re Selanjutnya dibentuk ring e e yang merupakan subring dengan elemen satuan e Dimotivasi dari struktur ring e e akan diselidiki sifat-sifat dalam ring modul diantaranya, indecomposable, homomorfisma radikal Jacobson, dalam kaitannya dengan elemen idempotent central Dalam tulisan ini akan dipelajari karakterisasi Kata kunci: indecomposable, homomorfisma, radikal Jacobson, idempoten central PENDAHULUAN Dalam struktur ring yang komutatif, jika dipunyai suatu elemen idempoten e maka ring tersebut dapat didekomposisikan (decomposable) menjadi hasil kali langsung dari ring e ( e) Dilain pihak, terdapat ring yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil kali langsung dari dua ring yang tak nol ing ini disebut ring yang tidak dapat didekomposisikan (indecomposable) Dalam ring yang indecomposable ini, hanya 0 yang merupakan elemen idempoten atau sering disebut idempoten trivial Sebaliknya dalam teori ring nonkomutatif, elemen idempoten dikenal dengan sebutan idempoten central Hal ini berarti suatu ring yang tak nol disebut indecomposable jika ring tersebut tidak memiliki elemen idempoten central yang nontrivial Selanjutnya untuk memahami struktur ring indecomposable ini, diperlukan pengetahuan tentang karakteristik elemen idempoten central yang dalam perkembangannya lebih banyak berperan dalam teori ring nonkomutatif dibandingkan dalam teori ring komutatif Oleh karena itu dalam tulisan ini akan dibahas karakteristik elemen idempoten khususnya elemen idempoten central TINJAUAN PUSTAKA Untuk mempelajari karakteristik elemen idempoten central ini diperlukan beberapa pengetahuan dasar tentang ring modul diantaranya ideal maksimal, homomorfisma, radikal Jacobson jumlah langsung (direct sum) yang dikaji dari Malik (997) Fuller (99) Selanjutnya dalam bukunya yang berjudul A first Course in Noncommutative ings, Tsit Yuen Lam (99) menjelaskan beberapa sifat elemen idempoten central peranannya dalam struktur ring modul ing yang dibicarakan dalam tulisan ini adalah ring dengan elemen satuan Jadi, tidak harus komutatif terhadap operasi pergandaan Berikut ini diberikan beberapa definisi sifat yang melandasi karakterisasi elemen idempoten central Definisi Suatu elemen e disebut elemen idempoten jika e e Selanjutnya diberikan beberapa sifat dalam ideal kanan e ( e ) dengan asumsi analog untuk ideal kiri e ( e)

6 Barekeng Vol 5 No Hal (0) Proposisi Misalkan e elemen idempoten dalam Suatu ideal kanan e ( e ) dapat dinyatakan sebagai berikut ( e) ( e) r r e er r Selanjutnya didefinisikan hasil tambah langsung (direct sum) dari ideal kanan e ( e ) sebagai berikut Definisi Misalkan e ( e ) ideal kanan dalam maka disebut direct sum dari ideal kanan e ( e ), dinotasikan e ( e), jika e ( e) e ( e) 0 Berikut ini diberikan definisi beberapa sifat dari ideal kanan maksimal dalam suatu ring dengan asumsi bahwa definisi sifat-sifat tersebut juga berlaku untuk ideal kiri maksimal Definisi 3 Ideal kanan M disebut ideal kanan maksimal jika M tidak terdapat suatu ideal kanan I sedemikian sehingga M I Selanjutnya, suatu ideal kanan N disebut ideal kanan minimal jika N 0 tidak terdapat ideal kanan J sedemikan hingga 0 J N Berikut ini diberikan pengertian radikal Jacobson dari suatu ring dalam kaitannya dengan ideal kanan maksimal dengan asumsi yang analog untuk ideal kiri maksimal Definisi 4 adikal Jacobson dari suatu ring (dinotasikan Jac()) adalah irisan dari semua ideal kanan maksimal dalam Jadi, ( ) M M ideal kanan maksimal dalam Jac = Berdasarkan Definisi 3, dapat dipahami bahwa ideal kanan M disebut ideal kanan maksimal jika terdapat suatu ideal kanan I yang memenuhi sifat M I maka berlaku I M atau I Selanjutnya, suatu ideal I disebut ideal sejati jika I Selain itu radikal Jacobson dari suatu ring dapat dipahami dengan bantuan elemen unit dalam ring tersebut, seperti yang termuat dalam sifat berikut ini Teorema Jika y Jac( ) maka xy merupakan unit kiri untuk setiap x Bukti: Diambil sebarang y Jac( ) Akan ditunjukkan xy merupakan unit kiri dalam Diandaikan terdapat xy yang bukan unit kiri dalam Artinya ( xy) ( xy) Karena ideal 34 ( xy) termuat dalam suatu ideal maksimal M Akibatnya, xy M y M sehingga diperoleh M Timbul kontradiksi dengan M sebagai ideal maksimal, maka xy merupakan unit kiri dalam HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam bagian ini akan dibahas beberapa sifat elemen idempoten central sebagai berikut Karakterisasi Elemen Idempoten Central Misalkan ring dengan elemen satuan Jika ideal e e berturut-turut merupakan ideal kanan yang dibangun oleh elemen idempoten e e maka ring dapat dinyatakan sebagai dekomposisi dari e e, seperti yang dijelaskan dalam proposisi berikut ini Proposisi Misalkan ring dengan elemen satuan Elemen e e idempoten di, maka berlaku: () e e ideal kanan dalam () e ( e) Bukti: () Diambil sebarang er, er e s Akan ditunjukkan e ideal kanan dalam Diperoleh, er er e( r r ) e er s e( rs) e Terbukti e merupakan ideal kanan dalam Analog untuk ( e ) () Diambil sebarang a diketahui e elemen idempoten dalam Akan ditunjukkan e ( e) Diperoleh a ea a ea ea e a dengan ea e ( e) a ( e) Hal ini berarti e ( e) Selanjutnya diambil sebarang be ( e) yang artinya b ec b( e) d untuk suatu c, d Jika digandakan dengan e akan diperoleh eb e( e) d demikian b eb 0 eb e c ec b ( e e ) d ( e e) d 0 Dengan atau e ( e) 0 Terbukti e ( e) Berdasarkan Proposisi dapat dinyatakan bahwa, suatu ring juga merupakan jumlah langsung dari idealideal kiri dalam yang dibangun oleh elemen idempoten e e (dinotasikan e ( e) ) Segkan untuk ring 0 yang tidak dapat dinyatakan sebagai jumlah langsung dari sebarang dua ideal yang tak nol disebut ring indecomposable ing tersebut hanya memiliki elemen idempoten yang trivial yaitu 0

7 Barekeng Vol 5 No Hal (0) Selanjutnya, jika e elemen idempoten central maka ring e e ere r merupakan subring dengan elemen satuan e Namun sebelumnya diberikan definisi elemen idempoten central sebagai berikut Definisi 5 Suatu elemen idempoten e disebut central jika untuk sebarang r berlaku er re Himpunan semua elemen idempoten central dinotasikan dengan C ( ) Proposisi 3 Jika ring dengan elemen idempoten central e maka e e ere r merupakan subring dengan elemen satuan e Bukti: Diambil sebarang x, x e e dengan x ere x ere, untuk suatu r, r Akan ditunjukkan e e merupakan subring dengan elemen satuan e x x er e er e e( r r ) e e e (i) (ii) x x ( er e)( er e) er e r e e( r er ) e e( r r ) e e e Dari (i) (ii) terbukti e e merupakan subring Misalkan ee e dengan e e e maka untuk setiap x ee dengan x ere diperoleh ex e( ere) e re ere x xe ( ere) e ere ere x Terbukti e e subring dengan elemen satuan e Berdasarkan Proposisi 3 maka suatu ring e e f f dapat dinyatakan sebagai berikut (i) e e er r re r (ii) f f fr r rf r () dengan e f e berturut-turut merupakan elemen idempoten central sekaligus merupakan elemen satuan Selanjutnya, diberikan proposisi tentang elemen idempoten central yang ditinjau dari () Proposisi 4 Suatu elemen idempoten e merupakan idempoten central ( e C( ) e f f e 0 ) jika hanya jika Bukti: Diambil sebarang r diberikan e, f C( ) dengan f e Akan ditunjukkan e f f e 0 Diperoleh erf er( e) er ere er er 0 fre ( e) re re ere re re 0 Terbukti e f 0 f e Sebaliknya, diberikan e f f e 0 35 Akan ditunjukkan untuk setiap r berlaku ec( ) atau er re 0 Jika erf 0 dengan f e maka berlaku er( e) 0 atau er ere 0 Akibatnya, er ere Selanjutnya, jika fre 0 maka berlaku ( e) re 0 atau re ere 0 Akibatnya, re ere Terbukti, re ere er Dalam suatu ring yang memiliki sebarang elemen idempoten e e ', dapat ditentukan Hom ( e, e ) sebagai homomorfisma dari e ke e Berikut ini diberikan suatu isomorfisma antara e e dengan suatu ring e e Proposisi 5 Jika diberikan sebarang elemen idempoten e dalam suatu ring M modul kanan atas ring maka terdapat suatu isomorfisma grup aditif : Hom ( e, M ) Me Bukti: Diberikan suatu homomorfisma modul, e M Untuk setiap r dengan r e diperoleh : ( er) m segkan untuk r e juga diperoleh ( ee) m Karena e elemen idempoten maka () e m sehingga berlaku ( er) m ( e) Selanjutnya, didefinisikan suatu pemetaan : Hom ( e, M ) M e e' dengan ( ) me, untuk setiap m M Jika () e m maka diperoleh me ( e) e ( e ) ( e) m atau dengan kata lain m me M e, sehingga berlaku ( ) me m ( e) Akan ditunjukkan isomorfisma grup aditif atau Hom ( e, M ) M e (i) Akan ditunjukkan terdefinisi Diambil sebarang, Hom( e, M) dengan Akan ditunjukkan ( ) ( ) Jika atau dengan kata lain 0 maka untuk suatu elemen idempoten e diperoleh ( ) e 0 Selanjutnya, karena suatu homomorfisma modul maka berlaku ( e) ( e) 0 atau ( e) ( e) Mengingat definisi ( e) ( ) maka untuk ( e) ( e) diperoleh ( ) ( ) Terbukti, terdefinisi (ii) Akan ditunjukkan homomorfisma grup Diambil sebarang, Hom( e, M) Diperoleh ( ) ( )e ( e) ( e) ( ) ( ) Terbukti, homomorfisma grup (iii) Akan ditunjukkan injektif

8 Barekeng Vol 5 No Hal (0) Diambil sebarang ( ), ( ) Me dengan ( ) ( ) Akan ditunjukkan Karena ( ) ( ) atau ( ) ( ) 0 maka untuk suatu homomorfisma diperoleh ( ) 0 Selanjutnya, karena didefinisikan ( ) ( e) maka untuk ( ) 0 diperoleh ( ) e 0 atau ( e) ( e) 0 Akibatnya, ( e) ( e) atau Terbukti, injektif (iv) Akan ditunjukkan surjektif Diambil sebarang () e M e Akan ditunjukkan terdapat Hom ( e, M ) sehingga berlaku ( ) ( e) Karena ( e) m me ( ) maka akan selalu ditemukan Hom ( e, M ) sehingga ( ) ( e) Terbukti, surjektif Berdasarkan bukti (i)-(iv) terbukti bahwa Hom ( e, M ) M e Berdasarkan Proposisi 5 diperoleh suatu akibat sebagai berikut Akibat Jika diberikan sebarang elemen idempoten e dalam suatu ring maka Hom ( e, e' ) e' e Bukti: Pada Proposisi 5 telah dibuktikan bahwa terdapat suatu isomorfisma grup aditif : Hom ( e, M ) M e atau Hom ( e, M ) M e Dengan asumsi M e, maka diperoleh Hom ( e, e' ) e' e Dari Akibat diperoleh suatu akibat sebagai berikut Akibat Untuk suatu idempoten e terdapat suatu isomorfisma ring, End ( e) e e Bukti: Diambil sebarang idempoten e e ' dengan e e Akan ditunjukkan End ( e) e e Berdasarkan Akibat Hom ( e, e' ) e' e Jika diasumsikan elemen idempoten e e maka diperoleh End ( e) Hom ( e, e) ee Selanjutnya untuk suatu pemetaan : e e dengan definisi ( er) er, r serta mengingat Proposisi 5 yaitu ( er) m me maka untuk suatu pemetaan : Hom( e, e) ee diperoleh ( ) ere ( er) e me m Dapat disimpulkan m e e yang artinya me m em Akan dibuktikan homomorfisma ring Diambil sebarang, End ( e) maka diperoleh: (i) ( ) ( ) e ( e) ( e) ( ) ( ) (ii) ( ) ( e) ( m) ( em) ( e) m ( ) ( ) e ' 36 Berikut ini didefinisikan elemen idempoten yang saling ortogonal diberikan beberapa sifat indecomposable dalam ring Definisi 6 Dua elemen idempoten, dikatakan saling ortogonal jika 0 Definisi 7 Suatu ring disebut indecomposable jika ring tersebut tidak memiliki elemen idempoten central yang nontrivial atau dengan kata lain hanya 0 yang merupakan elemen idempoten central dalam Dari sifat ring indecomposable, idempoten central idempoten ortogonal, dapat didefinisikan elemen idempoten yang primitif, namun sebelumnya diberikan suatu proposisi yang mendasari pendefinisian tersebut Proposisi 7 Untuk sebarang idempoten e yang tidak nol, maka beberapa pernyataan berikut ini ekuivalen e indecomposable sebagai -modul kanan e indecomposable sebagai -modul kiri ing e e tidak memiliki idempoten yang non trivial 3 Elemen e tidak dapat didekomposisikan ke dalam bentuk dcngan, adalah idempoten tidak nol yang saling ortogonal Bukti: () () Diketahui e indecomposable sebagai - modul kanan Akan ditunjukkan ring e e tidak memiliki idempoten yang nontrivial Berdasarkan Akibat End ( e) e e maka ring e e juga indecomposable dengan kata lain ring e e tidak memiliki idempoten yang nontrivial Dengan asumsi yang sama dibuktikan untuk pernyataan e indecomposable sebagai -modul kiri () (3) Dibuktikan dengan kontradiksi Andaikan e dengan idempoten tak nol yang saling ortogonal maka diperoleh e ( ) 0 e ( ) 0 Diperoleh e e 0 maka kontradiksi dengan () karena e e memuat idempoten yang nontrivial Pengandaian diingkari, terbukti e dengan dengan idempoten tak nol yang saling ortogonal (3) () Dibuktikan dengan kontradiksi Diandaikan ring e e memiliki idempoten yang nontrivial sehingga untuk suatu komplemen idempoten dari yaitu e dengan

9 Barekeng Vol 5 No Hal (0) e e, akan dipunyai suatu dekomposisi dari idempoten yang ortogonal yaitu e Akibatnya timbul kontradiksi dengan pernyataan (3), sehingga ring e e tidak mempunyai elemen idempoten yang nontrivial Berdasarkan Proposisi 7 didefinisikan suatu idempoten primitif sebagai berikut Definisi 8 Suatu elemen idempoten e 0 disebut idempoten primitif dari, jika memenuhi salah satu dari kondisi berikut ini eindecomposable sebagai -modul kanan segkan e indecomposable sebagai -modul kiri ing e e tidak memiliki idempoten yang non trivial 3 Elemen e tidak dapat didekomposisikan ke dalam bentuk dcngan, adalah idempoten tak nol yang saling ortogonal Selanjutnya, struktur Jac ( e e ) e e dapat dipahami dengan memanfaatkan teorema homomorfisma ring Teorema Diberikan suatu elemen idempotent e dalam J Jac( ) Diperoleh Jac ( e e) J ( e e) eje e e/ Jac ( e e) e e Bukti: Diberikan elemen idempoten e J Jac( ) Akan ditunjukkan: Jac ( e e) J ( e e) eje e e/ Jac ( e e) e e Akan ditunjukkan Jac ( e e) J ( e e) eje Dibuktikan dengan beberapa tahapan sebagai berikut: (i) rjac ( e e) r J, (ii) rj ( e e) r e J e, (iii) re J er Jac ( e e) Pembuktian seperti berikut: (i) Diambil sebarang r Jac ( e e) Akan ditunjukkan r J Berdasarkan Teorema jika rj Jac( ) maka yr unit dalam, untuk setiap y Dengan asumsi yang sama maka untuk setiap r Jac ( e e) y e e berlaku e eye r yang merupakan unit dalam e e Artinya untuk suatu be e berlaku b( e eye r) e, akibatnya be( ye r) e Karena bee maka be b eb sehingga berlaku b( yer) e Mengingat yee maka diperoleh b( yr) e Di lain pihak, jika digandakan dengan yr dari ruas kiri pada 37 b( yr) e diperoleh yrb( yr) yre yr akibatnya yrb yrb yr yr Diberikan ( yrb), ( yr) maka berlaku ( yrb)( yr) ( yr) yrb( yr) yr yr Terbukti bahwa terdapat yrb sehingga berlaku ( yrb )( yr) atau dengan kata lain yr unit dalam (ii) Diambil sebarang r J e e Akan ditunjukkan r e J e Jika r J e e yang artinya r J r e e maka berlaku r er e Segkan di lain pihak telah diketahui bahwa r J mengingat bahwa J maka diperoleh r er e e J e (iii) Diambil sebarang r e J e J Akan ditunjukkan r Jac ( e e) Berdasarkan Teorema yaitu untuk setiap y e e maka e yr merupakan unit dalam e e Di lain pihak karena r e J e J Jac( ) maka yr merupakan unit dalam, yang artinya terdapat suatu x sehingga berlaku x( yr) Diperoleh e e e ex( yr) e ex( e yre) ex( e yr) ex( e eyr) exe( e yr) Dengan kata lain exe e e adalah invers kiri dari e yr atau e yr unit di e e Akan ditunjukkan e e/ Jac ( e e) e e Diberikan suatu pemetaan : e e e e yang terdefinisi dengan ( ere) e r e Suatu pemetaan merupakan homomorfisma ring dari ee ke e e, yakni untuk sebarang er e, er eee diperoleh : ( er e er e) ( e( r r ) e) e ( r r ) e (i) (ii) e ( r r ) e e r e e r e ( er e) ( er e) ( er e er e) ( er e r e) ( er er e) Di lain pihak ( er r e) e ( r r ) e e ( r r ) e e re e re ( ere ) ( ere ) :ee ee juga merupakan suatu epimorfisma karena untuk setiap e r e e e dengan masing-masing e r adalah bayangan dari e r sehingga berlaku e r e ( e J)( r J)( e J) ere J e e Hal ini berarti untuk setiap e r e e e dapat ditemukan er e ee sehingga berlaku

10 Barekeng Vol 5 No Hal (0) ( ere) e r e Diperoleh, untuk setiap ere e e berlaku Im( ) e r e e e ( ere) e r e e e Ker ( ) ere e e ( ere) 0 ereee e r e 0 ereee er e J 0 J Jika ee J ere ee maka erej ee Selanjutnya, mengingat bukti (i) (ii), jika J ( e e) eje maka ereej e Ker ( ) eje rad ( ee) Dengan mengingat teorema utama homomorfisma ring diperoleh e e/ Ker ( ) Im( ) Terbukti e e/ Jac ( e e) e e Berikut ini diberikan proposisi yang mendasari definisi isomorfisma antara dua elemen idempoten dalam suatu ring Proposisi 8 Diberikan elemen idempoten e, f, maka pernyataanpernyataan berikut ini ekuivalen e f sebagai -modul kanan e f sebagai -modul kiri Terdapat elemen a ef b fe sedemikian sehingga e ab f ba 3 Terdapat elemen a, b sedemikian sehingga e ab f ba Bukti: Diberikan e f sebagai modul kanan atas Akan ditunjukkan e ab f ba Berdasarkan Proposisi 5, untuk sebarang elemen idempoten e f, dengan e f dapat ditemukan suatu isomorfisma : e f atau Hom ( e, f ) f e dengan definisi () e b fe Sebaliknya untuk suatu pemetaan invers : f e atau Hom ( f, e) e f didefinisikan ( f ) a ef Karena b fe dengan f, e yang juga merupakan elemen satuan maka berlaku fb b be untuk setiap a ef berlaku ea a af diperoleh e ( ( e )) ( )( ) ( b) ( f) b ab, ( fb) ( ( f )) ( a) ( ea) () ea ba Dari hasil komposisi, elemen e dipetakan ke ab elemen f dipetakan ke ba Karena maka terbukti e=ab f=ba 38 Bukti e f sebagai -modul kiri dikerjakan secara analog dengan asumsi e f sebagai modul kiri atas 3 Pernyataan 3 adalah pernyataan yang trivial 3 Diberikan a, b dengan e ab f ba Akan ditunjukkan e f sebagai modul kanan atas Dipunyai be b( ab) ( ba) b fb f af a( ba) ( ab) a ea e Selanjutnya, didefinisikan : e f dengan () e b f sehingga untuk setiap x e diperoleh ( x) ( ex) () ex bx f Didefinisikan juga : f e dengan ( f ) a e sehingga untuk setiap y berlaku ( y) ( fy) Karena () e b fb be ( f ) a ea af ( f) y ay e diperoleh () e ( ( e )) ( be) a( be) ( ab) e ee e e ( f ) ( ( f )) ( af ) b( af ) ( ba) f ff f f Karena, terbukti e f Berdasarkan Proposisi 8 dapat didefinisikan isomorfisma antara dua elemen idempoten dalam sebagai berikut Definisi 9 Elemen idempoten e dikatakan saling isomorfisma dengan idempoten f (dinotasikan e f ) jika memenuhi salah satu dari kondisi berikut ini e f e f sebagai modul kanan atas segkan sebagai modul kiri atas Terdapat elemen aef b fe sedemikian sehingga e ab f ba 3 Terdapat elemen a, b sedemikian sehingga e ab f ba KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan maka dapat disimpulkan bahwa beberapa karakteristik dari elemen idempotent central adalah sebagai berikut: Syarat perlu cukup suatu elemen idempoten e merupakan idempoten central adalah e f f e 0

11 Barekeng Vol 5 No Hal (0) 39 Jika diberikan sebarang elemen idempoten e e dalam suatu ring M modul kanan atas ring maka terdapat suatu isomorfisma grup aditif : Hom ( e, M ) Me 4 Untuk sebarang idempoten e yang tidak nol, maka beberapa pernyataan berikut ini ekuivalen yaitu e( e) indecomposable sebagai -modul kanan (modul kiri), ring e e tidak memiliki idempoten yang non trivial, elemen e tidak dapat didekomposisikan ke dalam bentuk dcngan, adalah idempoten tidak nol yang saling ortogonal 5 Jika diberikan suatu elemen idempoten e dalam J Jac( ) maka diperoleh Jac ( e e) J ( e e) eje e e / Jac ( e e ) e e 6 Untuk sebarang elemen idempoten e, f, maka beberapa pernyataan berikut ini ekuivalen yaitu: e f ( e f ) sebagai -modul kanan (-modul kiri), terdapat elemen a ef b fe sedemikian sehingga e ab elemen a, b sehingga e ab f ba, terdapat f ba DAFTA PUSTAKA Anderson, W Fuller, K, 99, ing and Categories of Modules, Springer Verlag, New York Lam, TY, 99, A First Course in Noncommutative ings, Springer Verlag, New York Malik, DS, Mordeson, J M, Sen, M K, 997, Fundamentals of Abstract Algebra, The McGraw- Hill Companies, Inc, NewYork