BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai latar belakang masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian serta sistematika penulisan dari skripsi ini. 1.1 Latar Belakang Ring adalah suatu struktur aljabar yang terdiri dari suatu himpunan dengan dua operasi biner, yaitu operasi penjumlahan ( ) dan perkalian ( ). Di dalam teori ring telah dipelajari mengenai beberapa subhimpunan di dalam ring, di antaranya yaitu subring, ideal, serta telah dipelajari juga tentang homomorfisma ring. Diberikan adalah suatu ring komutatif dengan elemen satuan. Suatu jumlahan formal dengan dan adalah variabel tak tentu, disebut dengan polinomial dalam. Himpunan semua polinomial dalam dengan koefisien koefisiennya berada di dinotasikan dengan, -. Himpunan, - merupakan ring dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada polinomial. Selanjutnya ring, - disebut dengan ring polinomial. Kemudian, jika untuk setiap didefinisikan * + dengan untuk setiap, maka adalah subgrup di ring, - untuk setiap, dan berlaku, -. Lebih lanjut, setiap polinomial ( ), - dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari elemen-elemen di dalam keluarga himpunan * + dan dapat dilihat bahwa untuk sebarang berlaku ( )( ). Penjelasan di atas kemudian menjadi salah satu motivasi munculnya definisi ring bertingkat. Diberikan sebarang grup dengan elemen identitas. Suatu ring komutatif dengan elemen satuan disebut dengan ring bertingkat apabila terdapat keluarga himpunan subgrup { } di sedemikian sehingga 1

2 2 berlaku dan untuk setiap berlaku. Selanjutnya, yang merupakan ring bertingkat- tersebut cukup disebut dengan ring bertingkat. Kemudian, elemen-elemen di dalam keluarga himpunan { } disebut dengan elemen elemen homogen dari. Lebih lanjut, untuk sebarang, setiap elemen di dalam disebut dengan elemen homogen berderajat. Selanjutnya, himpunan semua elemen homogen dari ring bertingkat dinotasikan dengan ( ). Apabila diberikan ( ) berarti terdapat sedemikian sehingga, selanjutnya dinotasikan dengan. Di dalam ring bertingkat didefinisikan juga ideal bertingkat. Suatu ideal di dalam suatu ring bertingkat merupakan ideal bertingkat di jika ideal tersebut memuat elemen-elemen homogen di sedemikian sehingga setiap elemen di dalam ideal tersebut dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari elemen-elemen homogen tersebut. Akan tetapi tidak setiap ideal di dalam ring bertingkat adalah ideal bertingkat. Sebagai contoh telah diketahui bahwa ring polinomial, - adalah ring bertingkat dan ( ), - adalah ideal dari ring, -. Jika diambil ( ) ( ), -, diperoleh bahwa dan, akan tetapi ( ), -. Sehingga ( ), - tidak memuat elemen-elemen homogen di dalam, -. Dengan demikian ( ), - ( ), -, sehingga ( ), - adalah ideal dari ring bertingkat, -, namun ( ), - bukan merupakan ideal bertingkat di, -. Diberikan adalah ring bertingkat dan adalah ideal bertingkat di. Jika untuk setiap ( ) yang memenuhi berlaku atau, maka merupakan ideal bertingkat di. Selanjutnya dalam pembahasan tugas akhir ini akan dibicarakan mengenai ideal bertingkat prima dan beberapa sifatnya. Selain itu, di dalam pembahasan tugas akhir ini juga akan dibahas mengenai ideal bertingkat primary dan beberapa sifatnya yang berkaitan dengan ideal bertingkat prima.

3 3 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan uraian di atas, maka rumusan masalah yang akan dibahas pada skripsi ini adalah sebagai berikut : 1. Bagaimanakah struktur ring bertingkat secara garis besar? 2. Bagaimanakah sifat-sifat ideal bertingkat prima dan ideal bertingkat primary dari suatu ring bertingkat? 1.3 Batasan Masalah Pada tugas akhir ini, penulis membatasi pembahasannya pada sifat-sifat ideal bertingkat prima dan ideal bertingkat primary. Kemudian, pada tugas akhir ini penulis juga membatasi pembahasan pada ring komutatif dengan elemen satuan. 1.4 Maksud dan Tujuan Penelitian Skripsi ini merupakan kajian singkat mengenai ideal bertingkat, sehingga tujuan penelitian ini adalah 1. Memahami konsep-konsep di dalam ring bertingkat, yang juga meliputi subring bertingkat, ideal bertingkat serta homomorfisma ring bertingkat. 2. Mempelajari beberapa macam ideal bertingkat, di antaranya yaitu ideal bertingkat prima, ideal bertingkat primary dan ideal bertingkat maksimal. 3. Mempelajari beberapa sifat ideal bertingkat prima dan ideal bertingkat primary. 1.5 Tinjauan Pustaka Pustaka yang menjadi acuan utama dalam penulisan skripsi ini adalah jurnal yang berjudul On Graded Primary Ideals (2004), yang ditulis oleh Mashhoor Refai dan Khaldoun Al-Zoubi. Pada jurnal tersebut dijelaskan

4 4 mengenai ideal bertingkat primary dan dekomposisi dari ideal bertingkat primary. Disamping itu beberapa konsep tentang ring bertingkat juga diambil dari buku Rings and Their Modules (2010) yang disusun oleh Paul E. Bland, serta jurnal berjudul On The Graded Primary Avoidance Theorem (2007), yang ditulis oleh Shahabaddin E. Atani dan Unsal Tekir. Penjelasan mengenai grup, subgrup, ring, subring, dan ideal merujuk pada buku karangan Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra (2003). Selanjutnya, beberapa penjelasan mengenai ideal prima, radikal dari suatu ideal serta ideal primary juga diambil dari buku Abstract Algebra (2004), yang ditulis oleh David S. Dummit dan Richard M. Foote. 1.6 Metodologi Penelitian Metode yang digunakan penulis dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan melakukan studi literatur berkaitan dengan ring bertingkat. Lebih lanjut, dengan mempelajari materi yang berkaitan dengan ideal bertingkat prima dan ideal bertingkat primary. Penelitian ini dimulai dengan mempelajari beberapa pengertian dasar di dalam ring bertingkat beserta sifatnya, diantaranya mengenai subring bertingkat, ideal bertingkat dan homomorfisma ring bertingkat. Setelah itu, dilanjutkan dengan mempelajari pengertian ideal bertingkat prima dan ideal bertingkat primary, serta beberapa sifatnya. 1.7 Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini penulis menggunakan sistematika sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN Bab ini menjelaskan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penulisan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian serta menjelaskan tentang sistematika yang digunakan pada skripsi ini.

5 5 BAB II DASAR TEORI Pada bab ini dijelaskan mengenai konsep-konsep dasar yang digunakan pada bab selanjutnya. Konsep dasar yang dijelaskan di antaranya yaitu tentang grup, ring, subring, ideal, homomorfisma ring, ideal prima dan ideal primary. BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini dijelaskan mengenai pengertian dari ring bertingkat, subring bertingkat, ideal bertingkat dan juga homomorfisma bertingkat, serta beberapa teorema yang berkaitan dengannya. Kemudian, pada bab ini dijelaskan mengenai pengertian dari ideal bertingkat prima dan ideal bertingkat primary beserta sifatsifatnya. BAB IV KESIMPULAN Bab ini berisi kesimpulan yang diperoleh dari keseluruhan pembahasan skripsi ini yang disajikan secara ringkas.