PROSES KEPUTUSAN MARKOVIAN TEKNIK RISET OPERASI
|
|
- Suhendra Irawan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 PROSES KEPUTUSAN MARKOVIAN TEKNIK RISET OPERASI
2
3 Contoh TIA 310 3
4 Contoh TIA 310 4
5 TIA 310 5
6 TIA 310 6
7 TIA 310 7
8 TIA 310 8
9 Cara Perhitungan 0.2 x x x 3 = x x x 1 = 3 0 x x x -1 = x x x -1 = x x x 0 = x x x -2 =
10 -0.6 TIA
11 Cara Perhitungan x x x x x x = 8.03 = x x x 0.4 = x x x 0.4 = x x x 0.4 = x x x 0.4 = 2.13
12 TIA
13 Cara Perhitungan x x x 2.13 = x x x 2.13 = x x x 2.13 = x x x 2.13 = x x x 2.13 = x x x 2.13 = 4.23
14 14
15 15
16 16
17 17
18 18
19 Metode Enumerasi Lengkap Contoh 1: Masalah petani dengann horison perencanaan periode tak hingga Di sini ada 8 kebijakan stasioner, yaitu: Kebijakan Stasioner s Tindakan 1 Tidak menggunakan pupuk sama sekali 2 Menggunakan pupuk tanpa bergantung pada keadaan 3 Gunakan pupuk ketika keadaan 1 4 Gunakan pupuk ketika keadaan 2 5 Gunakan pupuk ketika keadaan 3 6 Gunakan pupuk ketika keadaan 1 atau 2 7 Gunakan pupuk ketika keadaan 1 atau 3 8 Gunakan pupuk ketika keadaan 2 atau 3 TIA
20 Metode Enumerasi Lengkap Matriks P k dan R k untuk kebijakan 3 sampai 8 diturunkan dari matriks untuk kebijakan 1 dan 2. Karena itu kita memiliki 0,2 0,5 0,3 P 1 = 0 0,5 0,5 R 1 = ,3 0,6 0,1 P 2 = 0,1 0,6 0,3 R 2 = 0,05 0,4 0, ,3 0,6 0,1 P 3 = 0 0,5 0,5 R 3 = ,2 0,5 0,3 P 4 = 0,1 0,6 0,3 R 4 =
21 Metode Enumerasi Lengkap 0,2 0,5 0,3 P 5 = 0 0,5 0,5 R 5 = 0,05 0,4 0,55 0,3 0,6 0,1 P 6 = 0,1 0,6 0,3 R 6 = ,3 0,6 0,1 P 7 = 0 0,5 0,5 R 7 = 0,05 0,4 0, ,2 0,5 0,3 P 8 = 0,1 0,6 0,3 R 8 = 0,05 0,4 0, Nilai-nilai v ik karena itu dapat dihitung seperti diberikan dalam tabel berikut ini: 21
22 Metode Enumerasi Lengkap s i = 1 i = 2 i = 3 1 5, ,7 3,,1 0,4 3 4, ,3 3,, ,3 3 0,4 6 4,7 3,, ,7 3 0,4 8 5,3 3,,1 0,4 Perhitungan dari probabilitas stasioner tersebut dicapai dengan menggunakan persamaan: π s P s = π s π 1 + π π m = 1 22
23 Metode Enumerasi Lengkap Sebagai ilustrasi, pertimbangkan s = 2. Persamaan yang berkaitan adalah: 0,3π 1 + 0,1π 2 + 0,05π 3 = π 1 0,6π 1 + 0,6π 2 + 0,4π 3 = π 2 0,1π 1 + 0,3π 2 + 0,55π 3 = π 3 π 1 + π 2 + π 3 = 1 Berdasarkan hasil eliminasi dan substitusi didapatkan : π 12 = 6/59, π 22 = 31/59, π 32 = 22/ /59 Dalam kasus ini, pendapatan tahunan yang diperkirakan adalah: E i vi i1 6x4, 7 31x31, 22 x0, 4 2, 256 Tabel berikut ini meringkaskan π k stasioner dan E k untuk semua kebijakan 23
24 Metode Enumerasi Lengkap s π 1 s / π s 2 π s 3 E s /59 22/59 2, /154 69/154 80/154 1, /137 62/137 70/137 1, /135 69/135 54/135 2,216 Tabel terakhir ini menunjukkan bahwa kebijakan 2 menghasilkan pendapatan tahunan yang diperkirakan terbesar. Akibatnya, kebijakan jangka panjang optimum menyatakan penggunaan pupuk tanpa bergantung pada keadaan sistem. 24
25 Metode Iterasi Kebijakan Tanpa Diskonto Bayangkan jika metode enumerasi lengkap diterapkan untuk masalah petani dengan 4 arah tindakan (bukan dua) ): tidak menggunakan pupuk, menggunakan pupuk satu kali selama musim tersebut, menggunakan pupuk dua kali, dan menggunakan pupuk tiga kali. Dalam kasus ini, petani tersebut secara keseluruhan memiliki 4 3 = 256 kebijakan stasioner. Melakukan enumerasi dari semua kebijakan secara eksplisit bukan hanya sulit, tetapi juga jumlah perhitungan yang terlibat dalam evaluasi kebijakan ini dapat sangat besar. Karena itu dikembangkan metode iterasi kebijakan sebagai berikut. Di bagian sebelumnya sudah diperlihatkan bahwa pengembalian total yang diperkirakan di tahap n dinyatakan dengan persamaan rekursif: fn m i v p f j, i i j 1 ij n 1 1,2,..., m Persamaan rekursif ini adalah dasar untuk pengembangan metode iterasi kebijakan. Tetapi, bentuk ini harus sedikit dimodifikasi untuk memungkinkan kita untuk mempelajari perilaku asimtut dari proses ini. 25
26 Metode Iterasi Kebijakan Tanpa Diskonto Pada intinya, kita mendefinisikan η sebagai jumlah tahap yang tersisa untuk dipertimbangkan. Ini adalah berbalikan dengan n dalam persamaan di atas, yang mendefinisikan tahap ke-n. Jadi, persamaan rekursif itu dapat ditulis: m f i vi pij f1 j, i 1,2,...,m j1 Catat bahwa f η adalah pendapatan kumulatif yang diperkirakan dengan diketahui η adalah jumlah tahap yang tersisa untuk dipertimbangkan. Dengan definisi baru ini, perilaku asimtut dari proses ini dapat diketahui dengan menganggap η. Dengan diketahui bahwa π = (π 1, π 2,, π m ) adalah vektor probabilitas steady state dari matriks transisi P = p ij dan E = π 1 v 1 + π 2 v 2 + π m v m adalah pendapatan yang diperkirakan per tahun seperti dihitung di bagian sebelumnya, dapat diperlihatkan bahwa untuk η yang sangat besar, f η (i) = ηe +f(i) 26
27 Metode Iterasi Kebijakan Tanpa Diskonto dengan f(i) adalah sebuah bagian konstan yang mewakili titik potong asimtut dari f η (i) dengan diketahui keadaan i. Karena f η (i) adalah pengembalian optimum kumulatif untuk η tahap dengan diketahui keadaan i dan E adalah pengembaliann yang diperkirakan per tahap, kita dapat secara intuitif melihat mengapa f η (i) sama dengan ηe ditambah faktor koreksi f(i) yang memperhitungkan keadaan spesifik i. Hasil ini tentu saja mengasumsikan bahwa η sang besar. Menggunakan informasi ini, persamaan rekursif tersebut dapat ditulis: E f i m Dengan menyederhanakan persamaan di atas, kita memperoleh: E f i vi pij 1 E f j, i 1, 2,...,m v i i1 m i1 p ij.. 1 E f j, i 1, 2,...,m yang menghasilkan m persamaan dan m + 1 variabel yang tidak diketahui, di mana variabel yang tidak diketahui itu adalah f(1), f(2),, f(m), dan E. 27
28 Metode Iterasi Kebijakan Tanpa Diskonto Tujuan akhir adalah menentukan kebijakan optimum yang menghasilkan nilai E maksimum. Karena terdapat m persamaan dengan m+1 variabel yang tidak diketahui, nilai E optimum tidak dapat ditentukan dalam satu langkah. Sebaliknya, suatu pendekatan iteratif dimanfaatkan yang, dengan memulai di satu kebijakan secara sembarang, lalu akan menentukan suatu kebijakan baru yang menghasilkan nilai E yang lebih baik. Proses iteratif tersebut berakhir ketika dua kebijakan yang berturut- turut adalah identik. Proses iteratif ini terdiri dari dua komponen dasar, yang disebut langkah penentuan nilai (value determination) dan langkah perbaikan kebijakan (policy improvement). 1. Langkah penentuan nilai. Pilihlah satu kebijakan s secara sembarang. Gunakan matriks P s dan R s yang berkaitan dan secara sembarang asumsikan bahwa f s (m) = 0, pecahkan persamaan E s v s i m j 1 p ij s f s j f s i, i 1,2,..., m ( b.1) dengan variabel yang tidak diketahui E s, f s (1),, dan f s (m-1). Lanjutkan ke tahap perbaikan kebijakan. 28
29 Metode Iterasi Kebijakan Tanpa Diskonto 2. Langkah Perbaikan Kebijakan. Untuk setiap keadaan i, tentukan alternatif k yang menghasilkan: m k k maxvi pij f s j, i 1, 2,..., m k j1 [Nilai-nilai f s (j), j = 1, 2,, m, adalah nilai-nilai yang ditentukan dalam langkah penentuan nilai.] Keputusan optimum yang dihasilkan k untuk keadaan 1, 2,, m membentuk kebijakan baru t. Jika s dan t adalah identik, berhenti; t adalah optimum. Jika tidak identik, tetapkan = t dan kembali ke langkah penentuan nilai. Masalah optimisasi dari langkah perbaikan kebijakan memerlukan penjelasan. Tujuan kita dalam langkah ini adalah memperoleh max{e}. Seperti diketahui: E v i m j1 p ij f j f i 29
30 Metode Iterasi Kebijakan Tanpa Diskonto Karena f(i) tidak bergantung pada alternatif k, disimpulkan bahwa maksimisasi E di semua alternatif k adalah setara dengan masalah maksimisasi yang diketahui dalam langkah perbaikan kebijakan. Contoh: Kita mmecahkan contoh petani tersebut dengan metode iterasi kebijakan. Iterasi 1 Kita mulai dengan kebijakan sembarang yang menyatakan tidak diperguna-kannya pupuk. Matriks yang berkaitan adalah: Persamaan dalam langkah iterasi nilai adalah: E + f(1) 0,2f(1) 0,5f(2) 0,3f(3) = 5,3 E + f(2) - 0,5f(2) 0,5f(3) = 3 E + f(3) - f(3) = -1 0,2 0,5 0, P = 0 0,5 0,5 R = Jika kita secara sembarang menganggap f(3) = 0, persamaan-persamaan tersebut menghasilkan pemecahan: E = -1, f(1) = 12,88, f(2) = 8, f(3) = 0 30
31 Metode Iterasi Kebijakan Tanpa Diskonto Selanjutnya, kita menerapkan langkah perbaikan kebijakan. Perhitungan yang berkaitan diperlihatkan dalam tabel berikut ini. Kebijakan baru ini menyatakan penggunaan pupuk tanpa bergantung pada keadaan. Karena kebijakan baru ini berbeda dari yang sebelumnya, langkah penentuan nilai kembal dilakukan. Iterasi 2 i k=1 1 5,3+0,2x12,88+0,5x8+0,3x0 = 11, ,0+0x12,88+0,5x8+0,5x0 = 7 v ik + p i1k f(1) + p i2k f(2) + p i3k f(3) Pemecahan optimal 3-1,0+0x12,88+0x8+1x0 = -1 0,4+0,05x12,88+0,4x8+0,55x0 = 4,24 4,24 2 Matriks yang berkaitan dengan kebijakan baru ini adalah: 0,3 0,6 0, P = 0,1 0,6 0,3 R = ,05 0,4 0, Matriks ini menghasilkan persamaan-persamaan berikut: k=2 f(i) k* 4,7+0,3x12,88+0,6x8+0,1x0 = 13,36 13,36 2 3,1+0,1x12,88+0,6x8+0,3x0 = 9,19 9,19 2 E + f(1) 0,3f(1) 0,6f(2) 0,1f(3) = 4,7 TIA
32 Metode Iterasi Kebijakan Tanpa Diskonto E + f(2) 0,1f(1) 0,6f(2) 0,3f(3) = 3,1 E + f(3) 0,05f(1) 0,4f(2) 0,55f(3) = 0,4 Sekali lagi, dengan menganggap f(3) = 0, kita memperoleh pemecahan: E = 2,26, f(1) = 6,75, f(2) = 3,79, f(3) = 0 Perhitungan dalam langkah perbaikan kebijakan diberikan dalam tabel berikut ini: v ik + p i1k f(1) + p i2k f(2) + p i3k f(3) Pemecahan optimal i k=1 k=2 f(i) k* 1 5,3+0,2x6,75+0,5x3,79+0,3x0 = 8,54 4,7+0,3x6,75+0,6x3,79+0,1x0 = 8,99 8, ,0+0x6,75+0,5x3,79+0,5x0 = 4,89 3,1+0,1x6,75+0,6x3,79+0,3x0 = 6,05 6, ,0+0x6,75+0x3,79+1x0 = -1 0,4+ +0,05x6,75+0,4x3,79+0,55x0 = 2,25 2,25 2 Kebijakan baru ini, yang menyatakan penggunaan pupuk tanpa bergantung pada keadaan adalah identik dengan yang sebelumnya. Jadi, kebijakan terakhir ini optimal dan proses iteratif berakhir. Secara alamiah, kesimpulan dengan metode ini sama dengan kesimpulan yang diperoleh dengan metode enumerasi lengkap. 32
33 Metode Iterasi Kebijakan Dengan Diskonto Dengan diketahui bahwa α (< 1) adalah faktor diskonto, persamaan rekursif tahap terhingga dapat ditulis sebagai: f i m k k maxvi pij k j1 f 1 (Perhatikan bahwa η mewakili sejumlah tahap yang masih harus dilalui). j Dapat dibuktikan bahwa sementara η (model tahap tak hingga), f η (i) = f(i), dengan f(i) adalah nilai sekarang (yang didiskonto) dari pendapatan yang diperkirakan dengan diketahui bahwa sistem tersebut berada dalam keadaan i dan beroperasi dalam horison waktu yang tak terhingga. Jadi perilaku jangka panjang dari f η (i) sementara η tidak bergantung dari nilai η. Ini berlawanan dengan kasus tanpa diskonto, di mana f η (i) = ηe + f(i), seperti disebutkan di atas. Hasil ini dapat diperkirkan karena dalam kasus diskonto, pengaruh pendapatan masa mendatang akan menurun menjadi nol secara asimtut. Pada kenyataannya, nilai sekarang f(i) akan mendekati nilai konstan sementara η. 33
34 Metode Iterasi Kebijakan Dengan Diskonto Langkah kebijakan iterasi dimodifikasi sebagai berikut. 1. Langkah penentuan nilai. Untuk sebuah kebijakan sembarang s dengan matriks P s dan R s, pecahkan m persamaan: f s i v s i m j 1 p ij s f s j, i 1,2,..., m ( b.2 ) dalam m nilai yang tidak diketahui f s (1), f s (2),, f s (m). (Catat bahwa di sini terdapat m persamaan dengan tepat m variabel yang tidak diketahui) 2. Langkah perbaikan kebijakan. Untuk setiap tahap i, tentukan alternatif k yang menghasilkan m k k max vi pij f 1 j, i 1, 2,..., m k j 1 di mana f s (j) adalah nilai-nilai yang diperoleh dari langkah penentuan nilai. Jika kebijakan yang dihasilkan t adalah sama dengan s, berhenti; t optimum. Jika tidak sama, tetapkan s = t dan kembali ke langkah penentuan nilai 34
35 Metode Iterasi Kebijakan Dengan Diskonto Contoh: Kita akan menyelesaikan contoh terdahulu dengan α = 0,6 Dengan dimulai dari satu kebijakan sembarang s = {1,1,1}. Matriks P dan R (P 1 dan R 1 dalam contoh terdahulu) menghasilkan persamaan: f(1) 0,6[0,2f(1) + 0,5f(2) + 0,3f(3)] = 5,3 f(2) 0,6[ 0,5f(2) + 0,5f(3)] = 3 f(3) 0,6[ f(3)] = -1 Pemecahan dari persamaan-persamaann ini menghasilkan: f(1) = 6,6, f(2) = 3,21, f(3) = -2,5 Ringkasan iterasi perbaikan kebijakan diberikan dalam tabel berikut ini: v ik + 0,6[p i1k f(1) + p i2k f(2) + p i3k f(3)] Pemecahan optimal i k=1 k=2 f(i) k* 1 5,3+0,6[0,2x6,6+0,5x3,21+0,3x-2,5] = 6,61 4,7+ +0,6[0,3x6,6+0,6x3,21+0,1x-2,5] = 6,89 6, ,0+0,6[0x6,6+0,5x3,21+0,5x-2,5] = 3,21 3,1+ +0,6[0,1x6,6+0,6x3,21+0,3x-2,5] = 4,2 4, ,0+0,6[0x6,6+0x3,21+1x-2,5] = -2,5 0,4+0,6[0,05x6,6+0,4x3,21+0,55x-2,5] = 0,54 0,
36 Metode Iterasi Kebijakan Dengan Diskonto Langkah penentuan nilai yang menggunakan P 2 dan R 2 dalam contoh sebelumnya menghasilkan persamaan-persamaan berikut: f(1) 0,6[0,3f(1) + 0,6f(2) + 0,1f(3)] = 4,,7 f(2) 0,6[0,1f(1) + 0,6f(2) + 0,3f(3)] = 3,1 f(3) 0,6[0,05f(1) + 0,4f(2) + 0,55f(3)] = 0,4 Pemecahan dari persamaan-persamaan ini menghasilkan: f(1) = 8,88, f(2) = 6,62, f(3) = 3,57 Ringkasan iterasi perbaikan kebijakan diberikan dalam tabel berikut ini: v ik + 0,6[p i1k f(1) + p i2k f( (2) + p i3k f(3)] Pemecahan optimal i k=1 k=2 f(i) k* 1 5,3+0,6[0,2x8,88+0,5x6,62+0,3x3,37] = 8,95 4,7+0,6[0,3x8,88+0,6x6,62+0,1x3,37] = 8,88 8, ,0+0,6[0x8,88+0,5x6,62+0,5x3,37] = 5,99 3,1+0,6[0,1x8,88+0,6x6,62+0,3x3,37] = 6,62 6, ,0+0,6[0x8,88+0x6,62+1x3,37] = 1,02 0,4+0,6[0,05x8,88+0,4x6,62+0,55x3,37] = 3,37 3,
37 Metode Iterasi Kebijakan Dengan Diskonto Karena kebijakan baru {1,2,2} berbeda dengan kebijakan di atas, langkah penentuan nilai dimasuki kembali dengan menggunakan P 8 dan R 8 dalam conto sebelumnya menghasilkan persamaan-persamaan berikut: f(1) 0,6[0,2f(1) + 0,5f(2) + 0,3f(3) )] = 5,3 f(2) 0,6[0,1f(1) + 0,6f(2) + 0,3f(3)] = 3,1 f(3) 0,6[0,05f(1) + 0,4f(2) + 0,55f(3)] = 0,4 Pemecahan dari persamaan-persamaan ini menghasilkan: f(1) = 8,98, f(2) = 6,63, f(3) = 3,38 Ringkasan iterasi perbaikan kebijakan diberikan dalam tabel berikut ini: v ik + 0,6[p i1k f(1) + p i2 f(2) + p i3k f(3)] Pemecahan optimal i k=1 k=2 f(i) k* 1 5,3+0,6[0,2x8,98+0,5x6,63+0,3x3,38] = 8,98 4,7+0,6[0,3x8,98+0,6x6,63+0,1x3,38] = 8,91 8, ,0+0,6[0x8,98+0,5x6,63+0,5x3,38] = 6,00 3,1+0,6[0,1x8,98+0,6x6,63+0,3x3,38] = 6,63 6, ,0+0,6[0x8,98+0x6,63+1x3,38] = 1,03 0,4+0,6[0,05x8,98+0,4x6,63+0,55x3,38] = 3,37 3,
38 Metode Iterasi Kebijakan Dengan Diskonto Karena kebijakan baru ini {1,2,2} adalah identik dengan kebijakan sebelumnya, kebijakan ini optimal. Catat bahwa kebijakan diskonto menghasilkan kebijakan optimal yang berbeda, yang menyatakan tidak digunakannya pupuk jika keadaan sistem adalah baik (keadaan 1). 38
39 Pemecahan Pemrograman Linear untuk Masalah Keputusan Markov Masalah keputusan Markov tahap tak hingga, baik dengan maupun tanpa diskonto, dapat dirumuskan dan dipecahkan sebagai sebuah program linear. Masalah Keputusan Markov tanpa diskonto. Di bagian seblumhya, sudah diperlihatkan bahwa masalah Markov tahap tak hingga tanpa diskonto pada akhirnya menyempit menjadi masalah penentuan kebijakan optimal s*, yang bersesuaian dengan: m s s s s s s s s s max i vi P, m 1, i 0, i 1, 2,..., m ss i1 dengan S adalah kumpulan dari semua kebijakan yang mungkin dalam masalah itu. Batasan dari masalah ini memastikan bahwa π is, i = 1, 2,, m mewakili probabilitas steady-state dari rantai Markov P s. Secara spesifik, setiap kebijakan s dinyatakan dengan sekelompok tindakan yang tetap (stasioner). Kita harus memodifikasi variabel yang tidak diketahui dari masalah ini sedemikian rupa sehingga pemecahan optimal akan secara otomatis menentukan tindakan optimal k ketika sistem tersebut berada dalam keadaan i. Kumpulan dari semua tindakan optimal ini lalu akan mendefinisikan s*, kebijakan optimal. 39
40 Pemecahan Pemrograman Linear untuk Masalah Keputusan Markov Tujuan ini dicapai sebagai berikut. Anggaplah q ik = probabilitas kondisional dari memilih alternatif k dengan diketahui sistem tersebut berada dalam keadaan i Jadi, masalah ini dapat diekspresikan sebagai maksimumka n dengan batasan m j i pij, j 1, 2,..., m i m K qi qi... qi 1, i 1, 2,..., m k i 0, qi 0, i dan k E m K i i1 k 1 q k i v k i Catat bahwa p ij adalah fungsi dari kebijakan yang dipilih dan karena itu merupakan fungsi dari alternatif spesifik k dari kebijakan tersebut. 40
41 Pemecahan Pemrograman Linear untuk Masalah Keputusan Markov Masalah ini dapat dikonversikan menjadi sebuah program linear dengan membuat substitusi yang tepat yang melibatkan q ik. Amati bahwa formulasi tersebut adalah setara dengan masalah semula hanya jika q ik = 1 untuk tepat satu k untuk setiap i, karena hal ini akan mengurangi jumlah menjadi v ik, di mana k* adalah alternatif optimal yang dipilih. Untungnya, program linear yang kita kembangkan di sini memperhitungkan kondisi ini secara otomatis. Definisikan w ik = π i q ik, untuk semua i dan k Berdasarkan definisinya, w ik mewakili probabilitas gabungan untuk berada dalam keadaan i dan membuat keputusan k. Dari teori probabilitas kita mengetahui bahwa: i K k 1 w ik K k k q i vi k 1 41
42 Pemecahan Pemrograman Linear untuk Masalah Keputusan Markov Karena itu q k i K w k 1 ik w ik Jadi kita melihat bahwa batasan m i 1 i 1 dapat ditulis sebagai m K i 1 k 1 w ik 1 K k 1 k q i Juga batasan secara otomatis tersirat berdasarkan cara kita mendefinisikan q k i dalam bentuk w ik. Jadi masalah ini dapat ditulis sebagai 1 maksimumka n E m K i i1 k 1 q k i v k i 42
43 Pemecahan Pemrograman Linear untuk Masalah Keputusan Markov dengan batasan m m K w p k jk ij w ik i 1 i 1 k 1 m K wik 1 i 1 k 1 w ik 0, i 1, 2,..., m ; k 0, j 1, 2,..., K 1, 2,..., m Model yang dihasilkan ini merupakan sebuah program linear dalam w ik. Di sini akan diperlihatkan bahwa pemecahan optimalnya secara otomatis menjadi q ik = 1 untuk satu k untuk setiap i. Pertama, catat bahwa program linear ini memeliki m persamaan independen (satu persamaan yang berkaitan dengan π = πp adalah berlebihan). Karena itu, masalah ini harus memiliki m variabel dasar. Tetapi, dapat diperlihatkan bahwa w ik harus positif secara ketat untuk setidaknya satu k untuk setiap i. Dari kedua hasil ini, kita menyimpulkan bahwa: k q i TIA 310 K w k 1 ik w ik 43
44 Pemecahan Pemrograman Linear untuk Masalah Keputusan Markov hanya dapat memiliki nilai biner (0 atau 1), seperti yang diinginkan. (Pada kenyataannya, hasil di atas juga memperlihatkan bahwa di mana k* adalah alternatif yang bersesuaian dengan w ik >0) K i w 1 k Contoh: Formulasi LP untuk masalah petani tadi tanpa diskonto: maksimumkan E = 5,3w ,7w w ,1w 22 w ,4w 32 dengan batasan w 11 + w 12 (0,2w ,3w ,1w ,05w 32 ) = 0 w 21 + w 22 (0,5w ,6w ,5w ,6w ,4w 32 ) = 0 w 31 + w 32 (0,3w ,1w ,5w ,3w 22 + w ,55w 32 ) = 0 w 11 + w 12 + w 21 + w 22 + w 31 + w 32 = 1 w ik 0, untuk semua i dan k Pemecahan optimalnya adalah w 11 = w 12 = w 31 = 0 dan w 12 = 6/59, w 22 = 31/59, dan w 32 = 22/59. Hasil ini berarti bahwa q 12 = q 2 2 = q 32 = 1. Jadi, kebijakan optimal menyatakan dipilihnya alternatif 2 (k = 2) untuk i = 1, 2, dan 3. Nilai optimal dari E adalah 2,256. ik * wik TIA
45 Pemecahan Pemrograman Linear untuk Masalah Keputusan Markov Adalah menarik bahwa nilai-nilai positif dari w ik tepat setara dengan nilai-nilai π i yang berkaitan dengan kebijakan optimal dalam prosedur enumerasi lengkap. Observasi ini menunjukkan hubungan langsung di antara kedua metode pemecahan ini. Masalah Keputusan Markov dengan diskonto. Masalah ini diekspresikan dengan persamaan rekursif f k k i max v p f j, i 1, 2,..., m k i Persamaan ini adalah setara dengan f m dengan ketentuan bahwa f(i) mencapai nilai minimum untuk setiap i. Sekarang pertimbangkan fungsi tujuan m j1 ij k k i v p f j, i dan k i j1 ij min imumkan m i1 b i f i 45
46 Pemecahan Pemrograman Linear untuk Masalah Keputusan Markov dengan b i (> 0 untuk semua i) adalah sebuah konstanta sembarang. Dapat diperlihatkan bahwa optimisasi dari fungsi ini dengan dikenakan pertidaksamaan yang diberikan akan menghasilkan nilai minimum dari f(i), seperti yang diinginkan. Jadi masalah ini dapat ditulis sebagai m min imumkan b f i i1 i dengan batasan i m k pij j1 f(i) tidak dibatasi, i = 1, 2,, m. f Sekarang, masalah dual dari masalah ini adalah f j v k i, i dan k 46
47 Pemecahan Pemrograman Linear untuk Masalah Keputusan Markov maksimumkan m K i1 k 1 k v i w ik dengan batasan K m K k w jk pij wik b j, j 1, 2,...,m k 1 i1 k 1 w ik 0, untuk i = 1, 2,, m; k = 1,2,, K Perhatikan bahwa fungsi tujuan ini memiliki bentuk yang sama seperti kasus tanpa diskonto, sehingga w ik dapat diinterpretasikan dengan cara serupa. Contoh: Contoh petani tadi dengan faktor diskonto α = 0,6. Jika kita menganggap b 1 = b 2 = b 3 = 1, masalah dual dari LP ini dapat ditulis sebagai TIA
48 Pemecahan Pemrograman Linear untuk Masalah Keputusan Markov maksimumkan 5,3w ,7w w ,1w 22 w ,4w 32 dengan batasan w 11 + w 12 0,6[0,2w ,3w ,1w ,05w 32 ] = 1 w 21 + w 22 0,6[0,5w ,6w ,5w ,6w ,4w 32 ] = 1 w 31 + w 32 0,6[0,3w 11 +0,1w 12 +0,5w ,3w 22 + w ,55w 32 ] = 1 w ik 0, untuk semua i dan k Pemecahan optimalnya adalah w 12 = w 21 = w 31 = 0 dan w 11 = 1,5678, w 22 = 3,3528, dan w 32 = 2,8145. Pemecahan ini memperlihatkan bahwa pemecahan optimal adalah {1,2,2}, seperti yang diperoleh pada contoh terdahulu.. 48
PENYELESAIAN MODEL TAHAP TERHINGGA DAN TAKHINGGA PADA PROSES KEPUTUSAN MARKOV DAN APLIKASINYA DI BIDANG PERTANIAN BILYAN USTAZILA
PENYELESAIAN MODEL TAHAP TERHINGGA DAN TAKHINGGA PADA PROSES KEPUTUSAN MARKOV DAN APLIKASINYA DI BIDANG PERTANIAN BILYAN USTAZILA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. suatu fungsi dalam variabel-variabel. adalah suatu fungsi linear jika dan hanya jika untuk himpunan konstanta,.
II LANDASAN TEORI Pada pembuatan model penjadwalan pertandingan sepak bola babak kualifikasi Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan, diperlukan pemahaman beberapa teori yang digunakan di dalam penyelesaiannya,
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kamar darurat (Emergency Room/ER) adalah tempat yang sangat penting peranannya pada rumah sakit. Aktivitas yang cukup padat mengharuskan kamar darurat selalu dijaga oleh
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Semakin tingginya mobilitas penduduk di suatu negara terutama di kota besar tentulah memiliki banyak permasalahan, mulai dari kemacetan yang tak terselesaikan hingga moda
Lebih terperinciBAB II METODE SIMPLEKS
BAB II METODE SIMPLEKS 2.1 Pengantar Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan
Lebih terperinciVolume 2 No 1 Desember 216 ISSN:288-3943 ANALISIS PERSEDIAAN BAHAN BAKU YANG OPTIMAL MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV DI PT. PDM INDONESIA Muslena Layla Program Studi Komputerisasi Akuntansi Politeknik Trijaya
Lebih terperinciBAB III METODE PENELITIAN
18 BAB III METODE PENELITIAN Pada bab ini akan dikemukakan metode-metode yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Metode-metode pada bab ini yaitu metode Value at Risk dengan pendekatan distribusi normal
Lebih terperinciII TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf Definisi 1 (Graf, Graf Berarah dan Graf Takberarah) 2.2 Linear Programming
4 II TINJAUAN PUSTAKA Untuk memahami permasalahan yang berhubungan dengan penentuan rute optimal kendaraan dalam mendistribusikan barang serta menentukan solusinya maka diperlukan beberapa konsep teori
Lebih terperinciBAB 2 KAJIAN PUSTAKA
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA 2.1 Program Linier Penyelesaian program linear dengan algoritma interior point dapat merupakan sebuah penyelesaian persoalan yang kompleks. Permasalahan dalam program linier mungkin
Lebih terperinciBAB IV. METODE SIMPLEKS
BAB IV. METODE SIMPLEKS Penentuan solusi optimal menggunakan simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim (ingat kembali solusi
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Pengantar Proses Stokastik
Bab 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan penjelasan singkat mengenai pengantar proses stokastik dan rantai Markov, yang akan digunakan untuk analisis pada bab-bab selanjutnya. 2.1 Pengantar Proses
Lebih terperinciMetode Simpleks M U H L I S T A H I R
Metode Simpleks M U H L I S T A H I R PENDAHULUAN Metode Simpleks adalah metode penentuan solusi optimal menggunakan simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan
Lebih terperinciPenelitian Operasional II Rantai Markov RANTAI MARKOV
Penelitian Operasional II Rantai Markov 49 4. RANTAI MARKOV 4. PENDAHULUAN Dalam masalah pengambilan suatu keputusan, seringkali kita diperhadapkan dengan suatu ketidakpastian. Permasalahan ini dapat dimodelkan
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah penentuan rute bus karyawan mendapat perhatian dari para peneliti selama lebih kurang 30 tahun belakangan ini. Masalah optimisasi rute bus karyawan secara matematis
Lebih terperinciTeori Dualitas dan Penerapannya (Duality Theory and Its Application)
Teori Dualitas dan Penerapannya (Duality Theory and Its Application) Kuliah 6 TI2231 Penelitian Operasional I 1 Materi Bahasan 1 Teori dualitas 2 Metode simpleks dual TI2231 Penelitian Operasional I 2
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Sukarelawan adalah seseorang atau sekelompok orang yang secara ikhlas karena panggilan nuraninya memberikan apa yang dimilikinya tanpa mengharapkan imbalan. Sukarelawan
Lebih terperinciBAB III. Hidden Markov Models (HMM) Namun pada beberapa situasi tertentu yang ditemukan di kehidupan nyata,
BAB III Hidden Markov Models (HMM) 3.1 Pendahuluan Rantai Markov mempunyai state yang dapat diobservasi secara langsung. Namun pada beberapa situasi tertentu yang ditemukan di kehidupan nyata, beberapa
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. real. T dinamakan himpunan indeks dari proses atau ruang parameter yang
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Proses Stokastik Stokastik proses = { ( ), } adalah kumpulan dari variabel acak yang didefinisikan pada ruang peluang (Ω, ς, P) yang nilai-nilainya pada bilangan real. T dinamakan
Lebih terperinciBAB IV ANALISIS MARKOV
BAB IV ANALISIS MARKOV 1. Pendahuluan Model Rantai Markov dikembangkan oleh seorang ahli Rusia A.A. Markov pada tahun 1906. Pada umumnya Riset Operasional bertujuan untuk mengambil keputusan yang optimal
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori teori yang berhubungan dengan pembahasan ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mempermudah dalam hal pembahasan
Lebih terperinciBAB III MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY
BAB III MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY 3.1 State dan Proses Observasi Semua proses didefinisikan pada ruang peluang Ω,,. Misalkan ; adalah rantai Markov dengan state berhingga
Lebih terperinciBAB III SOLUSI GRAFIK DAN METODE PRIMAL SIMPLEKS
BAB III SOLUSI GRAFIK DAN METODE PRIMAL SIMPLEKS A. Metode Simpleks Metode simpleks yang sudah kita pelajari, menunjukkan bahwa setiap perpindahan tabel baru selalu membawa semua elemen yang terdapat dalam
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. A. Sistem Persamaan Linear dan Sistem Pertidaksamaan Linear
5 BAB II LANDASAN TEORI A Sistem Persamaan Linear dan Sistem Pertidaksamaan Linear Persamaan linear adalah bentuk kalimat terbuka yang memuat variabel dengan derajat tertinggi adalah satu Sedangkan sistem
Lebih terperinci: METODE GRAFIK. Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya
LINEAR PROGRAMMING : METODE GRAFIK Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama
Lebih terperinciBAB III. METODE SIMPLEKS
BAB III. METODE SIMPLEKS 3.1. PENGANTAR Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memilki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, maka untuk menyelesaikannya
Lebih terperinciBAB VI. DUALITAS DAN ANALISIS POSTOPTIMAL
BAB VI. DUALITAS DAN ANALISIS POSTOPTIMAL HUBUNGAN PRIMAL-DUAL Dual adalah permasalahan PL yang diturunkan secara matematik dari primal PL tertentu. Setiap permasalahan primal selalu mempunyai pasangan
Lebih terperinciBAB VI PROGRAMA LINIER : DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS
BAB VI PROGRAMA LINIER : DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS 6.1 Teori Dualitas Teori dualitas merupakan salah satu konsep programa linier yang penting dan menarik ditinjau dari segi teori dan praktisnya.
Lebih terperincisejumlah variabel keputusan; fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut sebagai fungsi objektif, Ax = b, dengan = dapat
sejumlah variabel keputusan; fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut sebagai fungsi objektif nilai variabel-variabel keputusannya memenuhi suatu himpunan kendala yang berupa persamaan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Model Matematika Model matematika adalah suatu rumusan matematika (dapat berbentuk persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi) yang diperoleh dari hasil penafsiran seseorang ketika
Lebih terperinciMetode Simpleks (Simplex Method) Materi Bahasan
Metode Simpleks (Simplex Method) Kuliah 03 TI2231 Penelitian Operasional I 1 Materi Bahasan 1 Rumusan Pemrograman linier dalam bentuk baku 2 Pemecahan sistem persamaan linier 3 Prinsip-prinsip metode simpleks
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Program Integer Program Integer merupakan pengembangan dari Program Linear dimana beberapa atau semua variabel keputusannya harus berupa integer. Jika hanya sebagian variabel
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Linear Programming Linear Programming (LP) merupakan metode yang digunakan untuk mencapai hasil terbaik (optimal) seperti keuntungan maksimum atau biaya minimum dalam model matematika
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Salah satu observasi yang berguna dalam bidang komputasi di tahun 1970 adalah observasi terhadap permasalahan relaksasi Lagrange. Josep Louis Lagrange merupakan tokoh ahli
Lebih terperinciIII RELAKSASI LAGRANGE
III RELAKSASI LAGRANGE Relaksasi Lagrange merupakan salah satu metode yang terus dikembangkan dalam aplikasi pemrograman matematik. Sebagian besar konsep teoretis dari banyak aplikasi menggunakan metode
Lebih terperinciBAB 3 PEMBAHASAN. Contoh 1:
BAB 3 PEMBAHASAN 3.1 Pengolahan Data Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, rantai markov atau proses markov akan digunakan untuk menganalisa data yang diperoleh dalam penelitian ini. Contoh kasus yang
Lebih terperinciBAB IV MODEL HIDDEN MARKOV
BAB IV MODEL HIDDEN MARKOV 4.1 State dan Proses Observasi Semua proses didefinisikan pada ruang peluang (Ω, F, P). Misalnya X = {X : k N} adalah rantai Markov dengan state berhingga yang bersifat homogen
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar elakang Sepak bola merupakan olahraga yang populer di seluruh dunia termasuk di Indonesia. Sepak bola sebenarnya memiliki perangkat-perangkat penting yang harus ada dalam penyelenggaraannya,
Lebih terperinciIII KERANGKA PEMIKIRAN
III KERANGKA PEMIKIRAN 3.1 Kerangka Pemikiran Teoritis 3.1.1 Sistem Produksi Secara umum produksi dapat diartikan sebagai suatu kegiatan atau proses yang mentransformasikan masukan (input) menjadi hasil
Lebih terperinciDUALITAS. Obyektif 1. Memahami penyelesaian permasalahan dual 2. Mengerti Interpretasi Ekonomi permasalahan dual
DUALITAS 3 Obyektif 1. Memahami penyelesaian permasalahan dual 2. Mengerti Interpretasi Ekonomi permasalahan dual Istilah dualitas menunjuk pada kenyataan bahwa setiap Program Linier terdiri atas dua bentuk
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Zaman yang semakin berkembang membuat persoalan semakin kompleks, tidak terkecuali persoalan yang melibatkan persoalan matematika. Dalam pemecahannya, matematika memegang
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Teori Pemeliharaan Untuk menjamin kontinuitas kegiatan operasional suatu sistem, keandalan setiap komponen peralatan sangat dijaga agar peralatan tersebut tidak mengalami kegagalan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Linier Program linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan cara
Lebih terperinci12/15/2014. Apa yang dimaksud dengan Pemrograman Bulat? Solusi yang didapat optimal, tetapi mungkin tidak integer.
1 PEMROGRAMAN LINEAR BULAT (INTEGER LINEAR PROGRAMMING - ILP) Apa yang dimaksud dengan Pemrograman Bulat? METODE SIMPLEKS Solusi yang didapat optimal, tetapi mungkin tidak integer. 2 1 INTEGER LINEAR PROGRAMMING
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. pemrograman nonlinear, fungsi konveks dan konkaf, pengali lagrange, dan
BAB II KAJIAN PUSTAKA Kajian pustaka pada bab ini akan membahas tentang pengertian dan penjelasan yang berkaitan dengan fungsi, turunan parsial, pemrograman linear, pemrograman nonlinear, fungsi konveks
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Pada bab ini akan diuraikan beberapa landasan teori untuk menunjang penulisan skripsi ini. Uraian ini terdiri dari beberapa bagian yang akan dipaparkan secara terperinci
Lebih terperinciPROGRAM LINIER : ANALISIS POST- OPTIMAL. Pertemuan 6
PROGRAM LINIER : ANALISIS POST- OPTIMAL Pertemuan 6 Pengantar Biasanya, setelah solusi optimal dari masalah program linier ditemukan maka peneliti cenderung untuk berhenti menganalisis model yang telah
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Efektivitas Efektivitas berasal dari kata efektif, yang merupakan kata serapan dari bahasa Inggris yaitu effective yang artinya berhasil. Menurut kamus ilmiah popular, efektivitas
Lebih terperinciBAB VII METODE TRANSPORTASI
BAB VII METODE TRANSPORTASI Pada umumnya masalah transportasi berhubungan dengan distribusi suatu produk tunggal dari beberapa sumber, dengan penawaran terbatas, menuju beberapa tujuan, dengan permintaan
Lebih terperinciALGORITMA METODE SIMPLEKS (PRIMAL)
ALGORITMA METODE SIMPLEKS (PRIMAL) Artificial Variable Algoritma Simpleks Metode M (Method of penalty) Metode dua fase Tabel Simpleks dalam bentuk matriks Artificial Variable (AV) Apabila terdapat satu
Lebih terperinciModel Optimisasi dan Pemrograman Linear
Modul Model Optimisasi dan Pemrograman Linear Prof. Dr. Djati Kerami Dra. Denny Riama Silaban, M.Kom. S PENDAHULUAN ebelum membuat rancangan penyelesaian masalah dalam bentuk riset operasional, kita harus
Lebih terperinciBAB III HIDDEN MARKOV MODELS. Rantai Markov bermanfaat untuk menghitung probabilitas urutan keadaan
BAB III HIDDEN MARKOV MODELS Rantai Markov bermanfaat untuk menghitung probabilitas urutan keadaan yang dapat diamati. Tetapi terkadang ada urutan dari suatu keadaan yang ingin diketahui tetapi tidak dapat
Lebih terperinciModel umum metode simpleks
Model umum metode simpleks Fungsi Tujuan: Z C X C 2 X 2 C n X n S S 2 S n = NK FungsiPembatas: a X + a 2 X 2 + + a n X n + S + S 2 + + S n = b a 2 X + a 22 X 2 + + a 2n X n + S + S 2 + + S n = b 2 a m
Lebih terperinciBAB III MODEL STATE-SPACE. dalam teori kontrol modern. Model state space dapat mengatasi keterbatasan dari
BAB III MODEL STATE-SPACE 3.1 Representasi Model State-Space Representasi state space dari suatu sistem merupakan suatu konsep dasar dalam teori kontrol modern. Model state space dapat mengatasi keterbatasan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2. Program linier (Linier Programming) Pemrograman linier merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diuraikan mengenai metode-metode ilmiah dari teori-teori yang digunakan dalam penyelesaian persoalan untuk menentukan model program linier dalam produksi.. 2.1 Teori
Lebih terperinciBAB II. PEMROGRAMAN LINEAR
BAB II. PEMROGRAMAN LINEAR KARAKTERISTIK PEMROGRAMAN LINEAR Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik
Lebih terperinciBAB 2 PROGRAM LINEAR
BAB 2 PROGRAM LINEAR 2.1. Pengertian Program Linear Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan
Lebih terperinciMasalah maksimisasi dapat ditinjau dari metode minimisasi, karena
Lecture 2: Optimization of Function of One Variable A. Pendahuluan Ide dasar dari masalah optimisasi adalah mengoptimumkan (memaksimumkan/ meminimumkan) suatu besaran skalar yang merupakan harga suatu
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Salah satu tujuan dari industri atau perusahaan adalah menciptakan laba yang maksimal. Salah satu bentuk usahanya adalah dengan memaksimumkan hasil produksi atau meminimumkan
Lebih terperinciPROSES KEMATIAN MURNI (Pure Death Processes)
PROSES KEMATIAN MURNI (Pure Death Processes) Komplemen dari bertambahnya proses kelahiran murni adalah dengan penurunan proses kematian murni. Hal itu ditunjukkan keberhasilan melewati state,,, 2, dan
Lebih terperinciBAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN. 4.1 Distribusi probabilitas banyaknya pelanggan dalam sistem antrian
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Distribusi probabilitas banyaknya pelanggan dalam sistem antrian M/M/1/K Pada model antrian, kedatangan pelanggan dalam sistem antrian dan kepergian pelanggan yang telah
Lebih terperinciBentuk Standar. max. min
Teori Dualitas 2 Konsep Dualitas Setiap permasalahan LP mempunyai hubungan dengan permasalahan LP lain Masalah dual adalah sebuah masalah LP yang diturunkan secara matematis dari satu model LP primal 3
Lebih terperinciBAB III MODEL ANTRIAN MULTISERVER DENGAN VACATION
BAB III MODEL ANTRIAN MULTISERVER DENGAN VACATION Dalam sebuah sistem antrian akan terdapat individu yang datang untuk mendapatkan pelayanan yang disebut dengan customer, juga individu yang akan memberikan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Model Markov Dalam teori probabilitas, model Markov adalah model stokastik yang digunakan untuk memodelkan sistem yang berubah-ubah secara random di mana diasumsikan bahwa kondisi
Lebih terperinciHanna Lestari, ST, M.Eng. Lecture 11 : Rantai Markov
Hanna Lestari, ST, M.Eng Lecture 11 : Rantai Markov I. Pendahuluan Model rantai markov dikembangkan oleh A.A Markov tahun 1896. Dalam Analisis markov yang dihasilkan adalah suatu informasi probabilistik
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Tinjauan Pustaka 2.1.1 Pengertian, Struktur, Kelebihan dan Kekurangan, serta Potensi Dynamic Programming Dynamic Programming adalah suatu teknik kuantitatif yang digunakan untuk
Lebih terperinciModul 10. PENELITIAN OPERASIONAL MODEL TRANSPORTASI. Oleh : Eliyani PROGRAM KELAS KARYAWAN PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
Modul 0 PENELITIAN OPERASIONAL Oleh : Eliyani PROGRAM KELAS KARYAWAN PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS MERCU BUANA http://wwwmercubuanaacid JAKARTA 007 PENDAHULUAN Suatu
Lebih terperinciPr { +h =1 = } lim. Suatu fungsi dikatakan h apabila lim =0. Dapat dilihat bahwa besarnya. probabilitas independen dari.
6.. Proses Kelahiran Murni Dalam bab ini, akan dibahas beberapa contoh penting dari waktu kontinu, state diskrit, proses Markov. Khususnya, dengan kumpulan dari variabel acak {;0 } di mana nilai yang mungkin
Lebih terperinciPROSES KEPUTUSAN MARKOV DENGAN METODE THE POLICY IMPROVEMENT ALGORITHM. (Skripsi) Oleh Nafisatutaliah
PROSES KEPUTUSAN MARKOV DENGAN METODE THE POLICY IMPROVEMENT ALGORITHM Skripsi) Oleh Nafisatutaliah JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2018
Lebih terperinci6.6 Rantai Markov Kontinu pada State Berhingga
6.6 Rantai Markov Kontinu pada State Berhingga Markov chain kontinu 0 adalah proses markov pada state 0, 1, 2,.... Diasumsikan bahwa probabilitas transisi adalah stasioner, pada persamaan, (6.53) Pada
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Linear Menurut Sitorus, Parlin (1997), Program Linier merupakan suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu problema keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu suatu
Lebih terperinciBab 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
Bab 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Sebagian besar mahasiswa ITB mengambil mata kuliah MA1122 Kalkulus I pada tahun pertama perkuliahannya. Mata kuliah ini merupakan salah satu mata kuliah yang
Lebih terperinciCatatan Kuliah 7 Memahami dan Menganalisa Optimisasi Sederhana Tanpa Kendala dengan Satu Variabel Keputusan
Catatan Kuliah 7 Memahami dan Menganalisa Optimisasi Sederhana Tanpa Kendala dengan Satu Variabel Keputusan Optimisasi Ilmu ekonomi adalah ilmu yang mempelajari bagaimana melakukan penelitian yang terbaik
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
0 I PEDAHULUA. Latar Belakang Peternakan didefinisikan sebagai suatu usaha untuk membudidayakan hewan ternak. Jika dilihat dari enis hewan yang diternakkan, terdapat berbagai enis peternakan, salah satunya
Lebih terperinciPemanfaatan Teori Graf untuk Menguraikan Permasalahan dalam Pemodelan Persoalan Penjadwalan Kereta Api
Pemanfaatan Teori Graf untuk Menguraikan Permasalahan dalam Pemodelan Persoalan Penjadwalan Kereta Api Muhammad Dhito Prihardhanto - 13507118 Prodi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika
Lebih terperinciBAB III MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE (MSAR)
25 BAB III (MSAR) 3.1 Model Markov Switching Autoregressive Model runtun waktu Markov Switching Autoregressive adalah salah satu model runtun waktu yang merupakan perluasan dari model Autoregressive (AR).Ide
Lebih terperinciPenelitian Operasional II Programma Dinamik 9. S2 : Musim gugur S3 : Musim dingin S4 : Musim semi
Penelitian Operasional II Programma Dinamik 9 Penyelesaian Tahapan : Musim S : Musim panas S : Musim gugur S3 : Musim dingin S4 : Musim semi Peubah keputusan : x n = Jumlah / level pekerja untuk tahapan
Lebih terperinci1. Fungsi Objektif z = ax + by
Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif, Program Linear, Fungsi Objektif, Cara Menentukan, Contoh Soal, Rumus, Pembahasan, Metode Uji Titik Sudut, Metode Garis Selidik, Matematika Nilai Optimum Suatu Fungsi
Lebih terperinciMETODE BIG M. Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 1
METODE BIG M Sering kita menemukan bahwa fungsi kendala tidak hanya dibentuk oleh pertidaksamaan tapi juga oleh pertidakasamaan dan/atau persamaan (=). Fungsi kendala dengan pertidaksamaan mempunyai surplus
Lebih terperinciBAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL
BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL Optimisasi kombinatorial merupakan suatu cara yang digunakan untuk mencari semua kemungkinan nilai real dari suatu fungsi objektif. Proses pencarian dapat dilakukan dengan
Lebih terperinciPROGRAM LINIER METODE SIMPLEKS
PROGRAM LINIER METODE SIMPLEKS Merupakan metode yang biasanya digunakan untuk memecahkan setiap permasalahan pada pemrogramman linear yang kombinasi variabelnya terdiri dari tiga variabel atau lebih. Metode
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Program Dinamik
5 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Dinamik Pemrograman dinamik adalah suatu teknik matematis yang biasanya digunakan untuk membuat suatu keputusan dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan. Pemrograman
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Program Linear Program Linear adalah suatu cara yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi suatu model linear dengan berbagai kendala yang dihadapinya. Masalah program
Lebih terperinciPenelitian Operasional II Programa Dinamik 1 1. PROGRAM DINAMIK
Penelitian Operasional II Programa Dinamik. PROGRAM DINAMIK. PENDAHULUAN Definisi.: Program dinamik adalah suatu teknik matematik untuk menentukan serangkaian keputusan yang saling terkait, serta memberikan
Lebih terperinciBAB 2. PROGRAM LINEAR
BAB 2. PROGRAM LINEAR 2.1. Pengertian Program Linear Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan
Lebih terperinciBAB III. KERANGKA PEMIKIRAN
BAB III. KERANGKA PEMIKIRAN 3.1. Kerangka Pemikiran Teoritis 3.1.1. Teori Produksi Produksi dapat diartikan sebagai suatu kegiatan atau proses yang mentransformasi masukan (input) menjadi hasil keluaran
Lebih terperincimempunyai tak berhingga banyak solusi.
Lecture 4: A. Introduction Jika suatu masalah LP hanya melibatkan 2 kegiatan (variabel keputu-san) saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Tetapi, jika melibatkan lebih dari 2 kegiatan, maka
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pemrograman linear (PL) ialah salah satu teknik dari riset operasi untuk
BAB II LANDASAN TEORI A. Pemrograman Linear Pemrograman linear (PL) ialah salah satu teknik dari riset operasi untuk memecahkan persoalan optimasi (maksimum atau minimum) dengan menggunakan persamaan dan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
8 BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep teori permainan pada permainan berstrategi murni dan campuran dari dua pemain yang akan digunakan sebagai landasan berpikir dalam melakukan
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 6: Rantai Markov Waktu Kontinu Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Pendahuluan Rantai Markov Waktu Kontinu Pendahuluan Pada bab ini, kita akan belajar mengenai
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2. Pengertian Pemeliharaan Menurut Agus Ahyari (99) pemeliharaan merupakan suatu kegiatan mutlak yang diperlukan dalam perusahaan yang saling berkaitan dengan proses produksi, sehingga
Lebih terperinciMETODE SIMPLEKS DALAM PROGRAM LINIER
METODE SIMPLEKS DALAM PROGRAM LINIER Dian Wirdasari Abstrak Metode simpleks merupakan salah satu teknik penyelesaian dalam program linier yang digunakan sebagai teknik pengambilan keputusan dalam permasalahan
Lebih terperinciRantai Markov Diskrit (Discrete Markov Chain)
#10 Rantai Markov Diskrit (Discrete Markov Chain) 10.1. Pendahuluan Berbagai teknik analitis untuk mengevaluasi reliability dari suatu sistem telah diuraikan pada bab terdahulu. Teknik analitis ini mengasumsikan
Lebih terperincikita menggunakan variabel semu untuk memulai pemecahan, dan meninggalkannya setelah misi terpenuhi
Lecture 4: (B) Supaya terdapat penyelesaian basis awal yang fisibel, pada kendala berbentuk = dan perlu ditambahkan variabel semu (artificial variable) pada ruas kiri bentuk standarnya, untuk siap ke tabel
Lebih terperinciPROGRAM LINEAR DENGAN METODE SIMPLEX
PROGRAM LINEAR DENGAN METODE SIMPLEX PENDAHULUAN Metode simpleks ini adalah suatu prosedur aljabar yang bukan secara grafik untuk mencari nilai optimal dari fungsi tujuan dalam masalah-masalah optimisasi
Lebih terperinciANALISIS POSTOPTIMAL/SENSITIVITAS
ANALISIS POSTOPTIMAL/SENSITIVITAS Dalam sub bab ini kita akan mempelajari apakah solusi optimal akan berubah jika terjadi perubahan parameter model awal. Jika solusi optimal berubah, dapatkah kita menghitung
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Peluang Peluang mempunyai banyak persamaan arti, seperti kemungkinan, kesempatan dan kecenderungan. Peluang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang bersifat acak.
Lebih terperinciMetode Simpleks. Program linier bentuk standar Pengantar metode simpleks
Metode Simpleks Program linier bentuk standar Pengantar metode simpleks Metode-metode Grafis; Jumlah variable yang sedikit Simpleks; Jumlah variable: small - large Interior-point Jumlah variable: etra
Lebih terperinciKonsep Dasar Markov Chain serta Kemungkinan Penerapannya di Bidang Pertanian
Edi Abdurachman * Konsep Dasar Markov Chain serta Kemungkinan Penerapannya di Bidang Pertanian Pendahuluan Konsep dasar Markov Chain baru diperkenalkan sekitar tahun 1907, oleh seorang Matematisi Rusia
Lebih terperinciBahanKuliahKe-3 Penelitian Operasional VARIABEL ARTIFISIAL. (Metode Penalty & Teknik Dua Fase) Oleh: Darmansyah Tjitradi, MT.
BahanKuliahKe-3 Penelitian Operasional VARIABEL ARTIFISIAL (Metode Penalty & Teknik Dua Fase) Oleh: Darmansyah Tjitradi, MT. PROGRAM MAGISTER TEKNIK SIPIL UNLAM 2006 1 TEKNIK VARIABEL ARTIFISIAL Dalam
Lebih terperinci