BahanKuliahKe-3 Penelitian Operasional VARIABEL ARTIFISIAL. (Metode Penalty & Teknik Dua Fase) Oleh: Darmansyah Tjitradi, MT.

Transkripsi

1 BahanKuliahKe-3 Penelitian Operasional VARIABEL ARTIFISIAL (Metode Penalty & Teknik Dua Fase) Oleh: Darmansyah Tjitradi, MT. PROGRAM MAGISTER TEKNIK SIPIL UNLAM

2 TEKNIK VARIABEL ARTIFISIAL Dalam metode Simpleks menggunakan variabel slack sebagai solusi basis awal, sedemikian sehingga masingmasing merupakan ruas kanan yang berharga positif pada masing-masing persamaan. Sekarang bagaimana solusi untuk kasus yang persamaan pembatasnya tidak lagi bertanda, tetapi bertanda = atau. Untuk kasus yang persamaan pembatasnya bertanda =, maka daerah fisibelnya hanya berupa segmen garis saja, sehingga kita tidak dapat memperoleh solusi fisibel basis awal karena tidak ada variabel slack yang dapat digunakan sebagai variabel basis awalnya. Contoh: 3.X1 + 2.X2 18, diubah menjadi 3.X1 + 2.X2 =18, maka daerah fisibelnya hanya berupa segmen garis yang menghubungkan titik (2,6) dengan (4,3). 2

3 TEKNIK VARIABEL ARTIFISIAL Untuk kasus yang persamaan pembatasnya bertanda, kita tidak akan memiliki solusi fisibel basis awal karena ruas kanannya berharga negatif. Contoh: 3.X1 + 2.X2 18, adalah sama dengan -3.X1-2.X2-18 Dengan menambahkan variabel slack menjadi -3.X1-2.X2 + S1 = - 18, S1 tidak bisa menjadi variabel basis awal karena harganya negatif. Untuk menyelesaikan kedua jenis kasus tersebut, kita memerlukan adanya variabel dummy (variabel palsu) yang disebut variable artifisial, sehingga variabel basis awal bisa tetap ada. 3

4 TEKNIK VARIABEL ARTIFISIAL Contoh 1: Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas X1 4 2.X X1 + 2.X2 = 18 X1, X2 0 Bentuk di atas kita ubah menjadi: Maksimumkan Z - 3.X1-5.X2 = 0 Pembatas X1 + S1 = 4 2.X2 + S2 = 12 3.X1 + 2.X2 + R3 = 18 X1, X2, S1, S2, R3 0 Pengaruh variabel artifisial (R) ini adalah untuk memperluas daerah fisibel. Pada kasus di atas, daerah fisibel berkembang dari semula berupa segmen garis yang menghubungkan titiktitik (2,6) dan (4,3) menjadi bidang ABCDE. 4

5 TEKNIK VARIABEL ARTIFISIAL Contoh 2: Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas X1 4 2.X X1 + 2.X2 = 18 X1, X2 0 Bentuk di atas kita ubah menjadi: Maksimumkan Z - 3.X1-5.X2 = 0 Pembatas X1 - S1 + R1 = 4 2.X2 - S2 + R2 = 12 3.X1 + 2.X2 + R3 = 18 X1, X2, S1, S2, R1, R2, R3 0 Pada akhirnya, iterasi-iterasi metode Simples akan secara otomatis menjadikan variabel artifisial ini tidak mucul lagi (berharga nol), yaitu apabila persoalan semula telah terselesaikan. 5

6 TEKNIK VARIABEL ARTIFISIAL Dengan kata lain, kita gunakan variabel artifisial ini hanya untuk memulai solusi, dan harus menghilangkannya (menjadikannya berharga nol) pada akhir solusi. Jika tidak demikian, solusi yang diperoleh akan tidak fisibel. Untuk itu, maka harus diberikan penalty M (dimana M adalah bilangan positif yang sangat besar) pada setiap variabel artifisial dalam fungsi tujuannya. Nilai M bertanda negatif (-) untuk fungsi tujuan maksimum, dan bertanda positif (+) untuk fungsi tujuan minimum Ada 2 teknik penyelesaian untuk kasus dengan variabel artifisial, yaitu: 1. Teknik M 2. Teknik dua fase Kedua teknik ini saling berkaitan erat 6

7 METODE PENALTY (TEKNIK M) Contoh 1: Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas X1 4 2.X X1 + 2.X2 = 18 X1, X2 0 Karena pembatas ketiga bertanda =, maka untuk mendapatkan solusi basis awalnya kita harus menambahkan variabel artifisial sehingga diperoleh bentuk: Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 + 0.S1 + 0.S2 M.R3 Pembatas X1 + S1 = 4 2.X2 + S2 = 12 3.X1 + 2.X2 + R3 = 18 X1, X2, S1, S2, R3 0 7

8 METODE PENALTY (TEKNIK M) Untuk memasukkan model di atas ke dalam bentuk tabel, maka terlebih dahulu substitusikan R3 dengan cara: R3 = 18 3.X1 2.X2 Kemudian masukkan ke dalam persamaan Z sebagai berikut: Z = 3.X1 + 5.X2 + 0.S1 + 0.S2 M.(18 3.X1 2.X2) atau Z = (3.M + 3).X1 + (2.M + 5).X2 + 0.S1 + 0.S2 18.M Z (3.M + 3).X1 (2.M + 5).X2 0.S1 0.S2 = 18.M Hal ini dilakukan dengan maksud agar dalam pembuatan tabel Simpleks awalnya, R3 sudah secara otomatis dipaksa berharga nol. Selanjutnya selesaikan persoalan di atas dengan cara yang sama. 8

9 METODE PENALTY (TEKNIK M) Iterasi Basis Z X1 X2 S1 S2 R3 Solusi 0 Z 1 (-3M-3) (-2M-5) M S S R

10 METODE PENALTY (TEKNIK M) Iterasi Basis Z X1 X2 S1 S2 R3 Solusi 0 1 Z 1 (-3M-3) (-2M-5) M S S R Z 1 0 (-2M-5) (3M+3) 0 0 (-6M+12) X S R

11 METODE PENALTY (TEKNIK M) Iterasi Basis Z X1 X2 S1 S2 R3 Solusi Z 1 (-3M-3) (-2M-5) M S S R Z 1 0 (-2M-5) (3M+3) 0 0 (-6M+12) X S R Z /2 0 (M+5/2) 27 X S X /2 0 1/2 3 11

12 METODE PENALTY (TEKNIK M) Iterasi Basis Z X1 X2 S1 S2 R3 Solusi 2 3 Z /2 0 (M+5/2) 27 X S X /2 0 1/2 3 Z /2 (M+1) 36 X /3 1/3 2 S /3-1/3 2 X /2 0 6 X1 = 2 X2 = 6 Z optimum = 36 12

13 METODE PENALTY (TEKNIK M) Contoh 2: Minimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas X1 4 2.X2 =12 3.X1 + 2.X2 18 X1, X2 0 Karena pembatas ketiga bertanda =, maka untuk mendapatkan solusi basis awalnya kita harus menambahkan variabel artifisial sehingga diperoleh bentuk: Minimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 + 0.S1 + 0.S3 + M.R2 + M.R3 Pembatas X1 + S1 = 4 2.X2 + R2 = 12 3.X1 + 2.X2 S3 + R3 = 18 X1, X2, S1, S3, R2, R3 0 Perhatikan: Bahwa Penalty M bertanda positif, mengapa? 13

14 METODE PENALTY (TEKNIK M) Untuk memasukkan model di atas ke dalam bentuk tabel, maka terlebih dahulu substitusikan R2 dan R3 dengan cara: R2 = 12 2.X2 R3 = 18 3.X1 2.X2 + S3 Kemudian masukkan ke dalam persamaan Z sebagai berikut: Z = 3.X1 + 5.X2 + 0.S1 + 0.S3 + M.(12 2.X2) + M.(18 3.X1 2.X2 + S3) atau Z = ( 3.M + 3).X1 + ( 4.M + 5).X2 + 0.S1 + M.S M Z ( 3.M + 3).X1 ( 4.M + 5).X2 0.S1 M.S3 = 30.M 14

15 METODE PENALTY (TEKNIK M) Minimumkan: Z ( 3.M + 3).X1 ( 4.M + 5).X2 0.S1 M.S3 = 30.M Pembatas X1 + S1 = 4 2.X2 + R2 = 12 3.X1 + 2.X2 S3 + R3 = 18 X1, X2, S1, S3, R2, R3 0 Iterasi Basis Z X1 X2 S1 S3 R2 R3 Solusi 0 Z 1 (3M-3) (4M-5) 0 -M M S R R

16 METODE PENALTY (TEKNIK M) Iterasi Basis Z X1 X2 S1 S3 R2 R3 Solusi 0 1 Z 1 (3M-3) (4M-5) 0 -M M S R R Z 1 (3M-3) 0 0 -M (-2M +5/2) 0 6M+30 S X /2 0 6 R

17 METODE PENALTY (TEKNIK M) Iterasi Basis Z X1 X2 S1 S3 R2 R3 Solusi Z 1 (3M-3) (4M-5) 0 -M M S R R Z 1 (3M-3) 0 0 -M (-2M +5/2) 0 6M+30 S X /2 0 6 R Z (-M +3/2) (-M +1) 36 S /3 1/3-1/3 2 X /2 0 6 X /3-1/3 1/3 2 X1 = 2 X2 = 6 Z optimum = 36 17

18 TEKNIK DUA FASE Dengan digunakannya konstanta M yang merupakan bilangan positif yang sangat besar sebagai penalty, maka bisa terjadi kesalahan perhitungan, terutama apabila perhitungan itu dilakukan dengan menggunakan program komputer. Kesalahan itu bisa terjadi karena koefisien tujuan relatif sangat kecil dibandingkan dengan harga M, sehingga komputer akan memperlakukannya sebagai koefisien yang berharga nol. Sebagai contoh, apabila pada persoalan teknik M di atas ditetapkan harga M = , maka koefisien X1 dan X2 pada fungsi tujuannya menjadi ( ) dan ( ). 18

19 TEKNIK DUA FASE Kesulitan ini bisa dikurangi dengan menggunakan teknik dua fase. Disini konstanta M dihilangkan dengan cara menyelesaikan persoalan dalam dua fase (dua tingkatan) sebagai berikut: Fase 1: Fase ini digunakan untuk menguji apakah persoalan yang kita hadapi memiliki solusi fisibel atau tidak. Pada fase ini fungsi tujuan semula diganti dengan MEMINIMUMKAN JUMLAH VARIABEL ARTIFISIALNYA (ΣRi). Jika nilai minimum fungsi tujuan baru ini berharga NOL (artinya seluruh variabel artifisial berharga nol), berarti persoalan memiliki SOLUSI FISIBEL, lanjutkan fase 2 Tetapi, jika nilai minimum fungsi tujuan baru ini berharga POSITIF, maka persoalan tidak memiliki solusi fisibel, STOP. Fase 2: Gunakan solusi basis optimum dari fase 1 sebagai solusi awal bagi persoalan semula. Dalam hal ini ubahlah bentuk fungsi tujuan fase 1 dengan mengembalikannya pada fungsi tujuan persoalan semula. Pemecahan persoalan dilakukan dengan cara seperti biasa. 19

20 TEKNIK DUA FASE Contoh 1: Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas X1 4 2.X X1 + 2.X2 = 18 X1, X2 0 Bentuk standar: Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 + 0.S1 + 0.S2 M.R3 Pembatas X1 + S1 = 4 2.X2 + S2 = 12 3.X1 + 2.X2 + R3 = 18 X1, X2, S1, S2, R3 0 Untuk memasukkan model di atas ke dalam bentuk tabel, maka terlebih dahulu substitusikan R3 dengan cara: R3 = 18 3.X1 2.X2 20

21 TEKNIK DUA FASE Fase 1: Minimumkan r = R3 atau r = 18 3.X1 2.X2 Pembatas X1 + S1 = 4 2.X2 + S2 = 12 3.X1 + 2.X2 + R3 = 18 X1, X2, S1, S2, R3 0 21

22 TEKNIK DUA FASE Fase 1: Minimumkan: r + 3.X1 + 2.X2 = 18 Pembatas: X1 + S1 = 4 2.X2 + S2 = 12 3.X1 + 2.X2 + R3 = 18 X1, X2, S1, S2, R3 0 Iterasi Basis X1 X2 S1 S2 R3 Solusi 0 r S S R

23 TEKNIK DUA FASE Fase 1: Iterasi Basis X1 X2 S1 S2 R3 Solusi 0 1 r S S R r X S R

24 TEKNIK DUA FASE Fase 1: Iterasi Basis X1 X2 S1 S2 R3 Solusi r S S R r X S R r X S X /2 0 1/2 3 Persoalan di atas memiliki solusi fisibel. Selanjutnya R tidak diikutsertakan lagi. 24

25 TEKNIK DUA FASE Iterasi Basis X1 X2 S1 S2 R3 Solusi 2 r X S X /2 0 1/2 3 Fase 2: Dari tabel optimum pada fase 1 di atas dapat dituliskan persamaanpersamaan berikut: X1 + S1 = X1 = 4 S1 3.S1 + S2 = 6 X2 (3/2).S1 = X2 = 3 + (3/2).S1 25

26 Fase 2: Dari tabel optimum pada fase 1 di atas dapat dituliskan persamaanpersamaan berikut: X1 + S1 = X1 = 4 S1 3.S1 + S2 = 6 X2 (3/2).S1 = X2 = 3 + (3/2).S1 Kembali kepada model persoalan semula, dan dengan mensubstitusikan persamaan-persamaan di atas, didapatkan: Maksimumkan: Z = 3.X1 + 5.X2 Z = 3.(4 S1) + 5.(3 + (3/2).S1) Z = (9/2).S Pembatas: X1 + S1 = 4 3.S1 + S2 = 6 X2 (3/2).S1 = 3 X1, X2, S1, S2 0 TEKNIK DUA FASE 26

27 TEKNIK DUA FASE Fase 2: Iterasi Basis X1 X2 S1 S2 Solusi 0 Z 0 0-9/ X S X /

28 TEKNIK DUA FASE Fase 2: Iterasi Basis X1 X2 S1 S2 Solusi 0 1 Z 0 0-9/ X S X /2 0 3 Z /2 36 X /3 2 S /3 2 X /2 6 X1 = 2 X2 = 6 Z optimum = 36 28

29 TEKNIK DUA FASE Contoh 2: Minimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas X1 4 2.X2 =12 3.X1 + 2.X2 18 X1, X2 0 Minimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 + 0.S1 + 0.S3 + M.R2 + M.R3 Pembatas X1 + S1 = 4 2.X2 + R2 = 12 3.X1 + 2.X2 S3 + R3 = 18 X1, X2, S1, S3, R2, R3 0 Untuk memasukkan model di atas ke dalam bentuk tabel, maka terlebih dahulu substitusikan R2 dan R3 dengan cara: R2 = 12 2.X2 R3 = 18 3.X1 2.X2 + S3 29

30 Fase 1: Minimumkan: r = R2 + R3 atau TEKNIK DUA FASE r = (12 2.X2) + (18 3.X1 2.X2+S3) r + 3.X1 + 4.X2 S3 = 30 Pembatas: X1 + S1 = 4 2.X2 + R2 = 12 3.X1 + 2.X2 S3 + R3 = 18 X1, X2, S1, S3, R2, R3 0 30

31 TEKNIK DUA FASE Fase 1: Iterasi Basis X1 X2 S1 S3 R2 R3 Solusi 0 r S R R

32 TEKNIK DUA FASE Fase 1: Iterasi Basis X1 X2 S1 S3 R2 R3 Solusi 0 1 r S R R r S X /2 0 6 R

33 Fase 1: TEKNIK DUA FASE Iterasi Basis X1 X2 S1 S3 R2 R3 Solusi r S R R r S X /2 0 6 R r S /3 1/3-1/3 2 X /2 0 6 X /3-1/3 1/3 2 33

34 TEKNIK DUA FASE Iterasi Basis X1 X2 S1 S3 R2 R3 Solusi 2 r S /3 1/3-1/3 2 X /2 0 6 X /3-1/3 1/3 2 Fase 2: Dari tabel optimum pada fase 1 di atas dapat dituliskan persamaanpersamaan berikut: S1 + (1/3).S3 = 2 X2 = 6 X1 (1/3).S3 = X1 = 2 + (1/3).S3 34

35 Fase 2: Dari tabel optimum pada fase 1 di atas dapat dituliskan persamaanpersamaan berikut: S1 + 1/3.S3 = 2 X2 = 6 X1 (1/3).S3 = X1 = 2 + (1/3).S3 Kembali kepada model persoalan semula, dan dengan mensubstitusikan persamaan-persamaan di atas, didapatkan: Minimumkan: Z = 3.X1 + 5.X2 Z = 3.[2 + (1/3).S3] + 5.(6) Z S3 = 36 Pembatas: S1 + (1/3).S3 = 2 X2 = 6 X1 (1/3).S3 = 2 X1, X2, S1, S3 0 TEKNIK DUA FASE 35

36 TEKNIK DUA FASE Fase 2: Iterasi Basis X1 X2 S1 S3 Solusi 0 X1 = 2 X2 = 6 Z optimum = 36 Z S /3 2 X X /3 2 Tabel di atas sudah langsung merupakan tabel optimum: Hal yang penting untuk diingat adalah bahwa variabel-variabel artifisial tidak diikutsertakan lagi dalam perhitungan pada fase 2 apabila pada akhir fase 1 variabel-variabel artifisial itu berstatus sebagai variabel non basis. 36

37 Soal 1: Model matematis: Minimum: Z = 6.X + 3.Y Pembatas: 2.X + 4.Y 16 4.X + 3.Y 24 dan X 0, Y 0 Model Standar: Minimum: Z - 6.X - 3.Y + M.R1 + M.R2 Pembatas: 2.X + 4.Y - S1 + R1 = 16 4.X + 3.Y - S2 + R2 = 24 dan X 0, Y 0, S1 0, S2 0, R1 0, R2 0 Tentukan: Bentuk standar model program liniernya Tabel Simpleks awal Pemecahan optimal dengan metode grafis dan simpleks (X=0, Y=8, Z=24) 37

38 Untuk memasukkan model di atas ke dalam bentuk tabel, maka terlebih dahulu substitusikan R1 dengan cara: R1 = 16 2.X 4.Y + S1 R2 = 24 4.X 3.Y + S2 Kemudian masukkan ke dalam persamaan Z sebagai berikut: Z = 6.X + 3.Y + 0.S1 + 0.S2 + M.(16 2.X 4.Y + S1) + M.(24 4.X 3.Y + S2) atau Z = (6 6.M).X + (3 7.M).Y + M.S1 + M.S M Z (6 6.M).X - (3 7.M).Y - M.S1 - M.S2 = 40.M Hal ini dilakukan dengan maksud agar dalam pembuatan tabel Simpleks awalnya, R1 dan R2 sudah secara otomatis dipaksa berharga nol. Selanjutnya selesaikan persoalan di atas dengan cara yang sama. 38

39 METODE PENALTY (TEKNIK M) Iterasi Basis Z X Y S1 S2 R1 R2 Solusi Rasio 0 Z 1 6M-6 7M-3 -M -M M R R Z 1 0 2,5M+1,5 -M 0,5M-1,5 0-1,5M+1,5 4M+36 1 R ,5-1 0,5 1-0,5 4 1,6 X 0 1 0,75 0-0,25 0 0, Z ,6-1,8 -M-0,6 -M+1,8 33,6 Y ,4 0,2 0,4-0,2 1,6 X ,3-0,4-0,3 0,4 4, Z M -M+1 24 Y 0 4/ /3 0 +1/3 8 S1 0 10/ /3-1 4/3 16 X = 0 Y = 8 Z optimum = 24 39

40 LATIHAN-1 Model matematis: Minimum: Z = 5.X + 3.Y Pembatas: 2.X + 4.Y 16 4.X + 3.Y 24 dan X 0, Y 0 Tentukan: Bentuk standar model program liniernya Tabel Simpleks awal Pemecahan optimal dengan metode grafis dan simpleks (X=4,8, Y=1,6, Z=28,8) 40

41 LATIHAN-2 Model matematis: Maksimum: Z = 3.X + 5.Y Pembatas: 2.X + 4.Y 16 4.X + 3.Y 24 2.X + 4.Y 7 dan X 0, Y 0 Tentukan: Bentuk standar model program liniernya Tabel Simpleks awal Pemecahan optimal dengan metode grafis dan simpleks (X=4,8, Y=1,6, Z=22,4) 41