ANALISIS KOMPLEKSITAS ALGORITMA PENCARIAN CONVEX HULL PADA BIDANG PLANAR

Transkripsi

1 ANALISIS KOMPLEKSITAS ALGORITMA PENCARIAN CONVEX HULL PADA BIDANG PLANAR Petra Novadi NIM : Program Studi Tekik Iformatika, Istitut Tekologi Badug Jl. Gaesha 10, Badug if15059@studets.if.itb.ac.id Website : ABSTRAK Makalah ii membahas tetag aalisis kompleksitas algoritma pecaria covex hull dari himpua titik terbatas pada bidag plaar. Covex hull sebuah himpua titik pada bidag plaar adalah himpua titik titik yag membetuk sebuah poligo koveks yag meligkupi seluruh himpua titik tersebut. Algoritma yag telah ditemuka utuk memecahka permasalaha ii atara lai Brute Force, Jarvis March, Quick Hull, Divide ad coquer, Mootoe Chai, Icremetal, Mariage before Coquest, da lai lai. Adapu dari bayak algoritma yag telah ditemuka yag aka diaalisa di sii adalah Brute Force, Jarvis March, Graham Sca, da Divide ad Coquer. Aalisa yag dilakuka pada algoritma-algoritma ii adalah utuk mecari kompleksitas waktu asimtotikya. Pecaria kompleksitas tersebut dilakuka dega meghitug kompleksitas upper boud atau yag serig disebut Big O dari masig-masig algoritma megguaka teorema Big O utuk algoritma sekuesial da Master Theorem utuk algoritma rekures. Aalisa ii juga mecari kasus terbaik da kasus terburuk dari setiap algoritma. Sejak pecaria covex hull bayak diperluka dalam kehidupa sehari-hari da sejala dega perkembaga tekologi yag memerlukaya utuk hal hal yag meyagkut kehidupa orag bayak, maka sagat petiglah utuk mecari pemakaia algoritma yag sesuai, efektif, da efisie. Aalisa ii dilakuka utuk mecari daya gua da kemagkusa dari algoritma-algoritma tersebut meski tidak bermaksud utuk membadigka daya gua da kemagkusa masig-masig utuk meyelesaika masalah. Kata Kuci : Algorithm Aalysis, Computatioal Geometry, Covex hull, Kompleksitas algoritma 1. Pedahulua Bayak sekali hal di dalam kehidupa sehari hari yag sagat berhubuga dega geometri. Segala betuk da wujud yag ada di sekitar mausia didefiisika ke dalam geometri. Misalya utuk meetuka betuk sebuah beda, utuk meetuka dua buah terdekat dari beda-beda yag ada. Sejala dega perkembaga tekologi, masalah masalah mejadi sagat kompleks da meyagkut kehidupa orag bayak seperti sistem avigasi autopilot pesawat terbag dalam meetuka betuk permukaa bumi yag aka dilaluiya. Masalah masalah tersebut sagat memerluka algoritma yag diracag dega baik utuk meyelesaikaya dega efektif da efisie. Pada sekitar tahu 1970 disipli ilmu geometri komputasioal (computatioal geometry) utuk membatu meyelesaika masalah-masalah tersebut. Computatioal Geometry adalah salah satu bidag ilmu komputer yag mempelajari tetag masalah masalah geometri. Di dalam duia rekayasa moder da matematika, aplikasi aplikasi tetag geometri komputasioal telah bayak diguaka pada disipli disipli lai seperti dalam computer graphic, robotik, desai VLSI, CAD (Computer Aided Desig, da juga statistik. 1

2 Permasalaha geometri komputasioal biasaya meligkupi objek objek geometri seperti himpua titik, himpua garis, himpua segme, da juga poligo. Beberapa bahka ada permasalaha geometri yag mucul dari disipli ilmu tersebut. Salah satu cabag dari computatioal geometry adalah combiatorial computatioal geometry yag juga dikeal dega algorithmic geometry. Tujua utama cabag ilmu ii adalah utuk megembagka algoritma yag efisie da struktur data yag tepat utuk meyelesaika masalah-masalah yag berhubuga dega geometri. Disipli ii mejadi petig utuk disipli ilmu lai seperti GIS da computer graphic di maa sekarag ii komputer dipakai utuk memproses puluha da ratusa milyar data yag ada. Salah satu permasalaha mausia yag berkaita dega peetua betuk geometri dapat diselesaika dega megguaka algoritma pecaria covex hull. Salah satu aplikasi pegguaa covex hull adalah utuk meetuka betuk permukaa alam seperti yag serig dipakai dalam disipli ilmu GIS (Geographical Iformatio System). Covex hull Sebuah subset S dari bidag disebut koveks jika da haya jika pada seluruh dua buah titik sembarag p, q S dibetuk garis yag seluruhya berada dalam S [1]. N N CH ( Q) λ j p j ; λ j 0; λ j = 1 j= 1 j= 1 Gambar Covex hull D Gambar 3 Covex hull 3D covex set buka covex set Gambar 1 Covex Set Pecaria covex hull dari sebuah himpua titik Q (CH(Q)) adalah mecari sebuah covex set terkecil yag memuat seluruh titik pada Q. Covex hull dari dari sebuah himpua titik Q (CH(Q)) pada dimesi adalah seluruh irisa dari semua covex set yag megadug Q. Terlebih lajut, utuk N buah titik p 1, p,... p N. covex hull merupaka himpua covex combiatio yag diyataka dega 3. Algoritma Pecaria Covex hull Usaha pecaria algoritma yag efisie utuk pecaria covex hull sudah dilakuka sejak lama da masih dilakuka sampai sekarag. Berikut adalah daftar algoritma pecaria covex hull pada bidag plaar yag telah ditemuka beserta peemu da tahu publikasi pertamaya []. Daftar Algoritma Covex hull Berdasarka Tahu Publikasi No Algoritma Peemu Tahu 1. Brute Force N/A -. Graham Graham 197 Sca 3. Jarvis March Jarvis Divide-ad- Coquer Preparata & Hog 1977

3 5. Mootoe Adrew 1979 Chai 6. Icremetal Kallay Marriage- before- Coquest Kirkpatrick & Seidel 1986 Sumber : ive/algorithm_0109/algorithm_0109.htm merupaka covex hull yaki dega membadigka keberadaa titik lai megguaka cross product. Lagkah lagkah pecaria dega megguaka Better Brute Force adalah 1. Utuk setiap titik p 1 pada himpua Q, betuk vektor p 1 p dega semua titik lai pada Q. Dari seluruh algoritma yag telah didaftar di atas, yag aka diaalisis di sii atara lai Brute Force, Graham Sca, Jarvis March, da Divide ad Coquer Brute Force Dalam ilmu komputer, brute force search atau exhaustive search adalah cara trivial da tekik umum utuk memecahka masalah. Brute force search secara sederhaa megeumerasi seluruh kemugkia kadidat yag bisa mejadi solusi masalah da mememeriksa apakah kadidatkadidat tersebut memeuhi solusi permasalaha. Brute force search adalah cara yag sagat mudah diimplemetasika utuk memecahka masalah karea brute force search selalu mecari keberadaa solusi dari seluruh kemugkia yag ada. Aka tetapi pemecaha masalah megguaka metode brute force biasaya memerluka sumber yag bayak baik waktu da memori da kebutuha tersebut maki membesar dega cepat sejala dega bayakya permasalaha yag igi diselesaika. Biasaya cara ii diguaka jika bayakya permasalaha dibatasi utuk jumlah yag tidak terlalu bayak Algoritma Pecaria covex hull dega megguaka Brute Force ada macam: Naive Brute Force da Better Brute Force. Naive Brute Force mecari covex hull dega cara megiterasi seluruh titik yag ada da mememeriksa apakah titik tersebut berada di dalam seluruh kombiasi segitiga yag dapat dibetuk oleh tiga buah titik dari titik yag lai. Sebuah titik merupaka aggota covex hull jika titik tersebut tidak terletak di dalam semua kombiasi segitiga lai tersebut. Berbeda dega Naive Brute Force, Better Brute Force mecari covex hull dega mecari semua kombiasi garis yag dapat dibetuk dari dua buah titik pada himpua Q da kemudia memeriksa apakah garis tersebut (a) Covex hull (b) Buka Covex hull Gambar 4 Brute Force. Pada vektor p 1 p, badigka keberadaa vektor tersebut dega titik p 3 yaki seluruh titik pada Q selai p 1 p. Utuk membadigka tiga titik tersebut, diperluka cross product dari dua buah vektor yag dibetuk dari tiga titik tersebut. 3. Jika seluruh titik p 3 berada di sebelah kiri atau sebelah kaa vektor p 1 p, maka titik p 1 da p merupaka CH(Q). 3

4 ()* +, -. / 0 *1 *1 *13 456!7*1* $:!78!7'' 6! 9$: Pseudocode Brute Force Aalisis Metode Brute Force ii megguaka tiga buah iterasi utama. Iterasi terluar pada baris diguaka utuk mecacah titik lalu iterasi selajutya diguaka utuk mecacah titik titik lai utuk membetuk dua garis. Lalu iterasi di dalamya diguaka utuk membadigka letak titik-titik selai kedua titik itu dega garis yag dibetuk. Seperti yag ditulis di atas, pembadiga tersebut megguaka cross product. Kompleksitas pecaria ii megguaka O(1). Pecaria tersebut haya megguaka operasi operasi matematika utuk meetukaya.!" #$%#$&#'% #'%#$%#$&#' %#' Pada iterasi terdalam dari keseluruha, ekspresi yag dieksekusi berilai 1) + O(1) + O(1) = max( O(1), O(1), O(1)) 1) masig-masig O(1) adalah utuk pegeceka, pegubaha ilai boolea da peambaha titik ke dalam himpua CH(Q) (jika ada). Oleh karea itu ilai keseluruha dari algoritma adalah {} T( O( ( O(1) + O(1) + ( O( O(1))) T(. max( O(1), O(1), O( ) T(.. T( 3 ) Kompleksitas waktu asimtotik yag diguaka O( 3 ) Karea setiap operasi dilakuka dega waktu yag kosta maka dapat disimpulka juga bahwa T( = ( 3 ) 3.. Graham Sca!! " #!! $ %&' ( )! * )! +,-. /"0 1!!! *! +*! * +!#**!! #+!! * Algoritma Lagkah lagkah Graham Sca utuk meetuka covex hull : 1. Tetuka pivot p 0 satu titik yag terdapat pada koordiat y terkecil dalam himpua Q. Jika ada lebih dari satu titik yag memiliki ordiat (koordiat y) yag sama maka p 0 adalah titik yag memiliki absis (koordiat x) terkecil.. Urutka seluruh titik tersisa pada himpua Q mejadi p 1 p... p -1 dari titik yag berada relatif palig kaa pada sistem koordiat polar terhadap p 0 4

5 3. Masukka p 0 da p 1 ke dalam tumpuka S sebuah himpua titik pada Q yag mejadi covex hull. 4. Utuk p setiap titik tersisa dari p sampai p, badigka vektor atara p da titik kedua teratas pada tumpuka S (S T-1 ) dega titik teratas teratas (S T ) da S T-1. Jika vektor pertama terletak relatif lebih kaa maka S T pada tumpuka S buka termasuk CH(Q) da kemudia dikeluarka dari tumpuka S. Masukka p ke dalam S. Gambar 5 5. Tumpuka S merupaka CH(Q) Pseudocode utuk algoritma ii adalah ;5< *!9* <49* 8* 9: + <*1, <*1 - =. > *1 4< < < / < 0 <* < 8< 6 3 9$: Pseudocode Graham Sca 3... Aalisis Sekarag aka dicari kompleksitas asimptotik dari fugsi Graham Sca. Algoritma ii haya memiliki sebuah kalag traversal. Tepat di dalam kalag tersebut, masig-masig eksekusi yag dilakuka tepat memiliki kompleksitas O(1). Utuk megetahui apakah sebuah sebuah titik adalah membelok kaa dari dua titik lai haya memerluka waktu O(1). Seperti pada perhituga algoritma Brute Force Search, perhituga tersebut tidak memerluka pecaria beda sudut pada segme atara dua vektor yag dibetuk tapi haya dega perhituga biasa yaki mecari cross product dari ketiga titik. Utuk tiga titik (x 1, y 1 ), (x, y ), da (x 3, y 3 ), diberika hasil cross product ya adalah C = (( x x1 )( y3 y1) ( x3 x1 )( y y1)) (a) (b) (c) (d) (e) Gambar 6. Graham Sca 5

6 Jika hasil ii berilai egatif disimpulka bahwa titik vektor yag dibetuk kemudia berada lebih kaa dari vektor atara dua titik yag berada palig atas pada S. Da jika hasilya berilai 0 maka meadaka bahwa ketiga titik berada dalam satu garis. C!" #$%#$&#'% #'%#$%#$&#' %#' Iterasi pada baris 6 dieksekusi selalu dieksekusi sebayak 3 kali. Karea fugsi Push() da Pop() utuk stack masig-masig megguaka waktu O(1) kali, pegeceka vektor juga memerluka O(1) maka waktu yag diguaka utuk megeksekusi loop = ( O(1) + O(1) + O(1)) = O(1) adalah O(. Pecaria Pivot pada himpua titik Q yag dieksekusi pada baris adalah dega megiterasi setiap titik yag ada da mecari titik yag berada pada ordiat terkecil. Operasi ii memerluka O( kali utuk perbadiga dimaa adalah bayak titik yag ada pada Q. Setelah pecaria pivot tersebut, seluruh titik yag tersisa di urutka berdasarka letakya relatif terhadap pivot. Pada baris 3 lagkah tersebut dieksekusi. Peguruta dapat dilakuka dega megguaka mergesort atau pu heapsort da utuk membadigka titik dapat mecari crossproduct dari dua titik yag dibadigka dega titik yag mejadi pivot. Peguruta ii megguaka waktu rata-rata O( log!9* <49* <*1 <*1 = 8: Jadi total waktu yag diguaka pada algoritma Graham Sca adalah O( log. Pada kasus terburuk yaki jika seluruh titik adalah covex hull algoritma ii Aka tetapi pada kasus terbaik yaki jika masuka himpua titik Q sudah terurut lebih dahulu maka proses peguruta dapat diabaika da kompleksitasya mejadi tepat ( karea titik titik ii tepat diiterasi seluruhya utuk mecari titik yag merupaka covex hull Jarvis March R.A. Jarvis pada 1973 mempublikasika algoritma yag kemudia diamaka sesuai dega amaya [4]. Algoritma ii serig dikeal dega Gift Wrappig karea sesuai amaya, algoritma ii aalog dega cara sehari hari mausia dalam membugkus kado. Secara ituitif Jarvis March mesimulasika pembugkusa kertas himpua titik Q. Dimulai dari titik yag mempuyai ordiat teredah lalu kertas ditarik ke kaa sampai meyetuh sebuah titik yag kemudia diaggap sebagai covex hull, kemudia diulagi lagi sampai meemuka titik yag pertama Algoritma Lagkah-lagkah utuk mecari covex hull pada algoritma ii 1. Tetuka titik ekstrim yag memiliki absis terkeci yag mejadi titik pertama pada covex hull. Cari titik selajutya yag di maa garis atara titik tersebut dega titik sebelumya berada di sebelah kiri semua titik yag ada 3. Titik yag didapat tersebut adalah aggota covex hull kemudia ulagi lagkah di atas utuk mecari covex hull selajutya Pseudocode utuk algoritma ii?9@*!71434 * +,!71A!! 9$7*!71 - A.!71B!71% Pseudocode Jarvis March Aalisis Pada iterasi pertama di baris 5 algoritma tersebut mecari semua titik yag mejadi covex hull. Cara pecaria covex hull selajutya ada dua macam : 1. Mecoba setiap titik yag ada da memeriksa apakah garis yag dibetuk titik tersebut dega titik covex hull sebelumya merupaka CH(Q) yaki dega membadigkaya dega seluruh titik yag ada. Cara ii sama seperti dega metode brute force search yag 6

7 telah ditujukka sebelumya. Lagkah ii membutuhka O( ) dalam pegeksekusiaya. Misalka h adalah bayakya CH(Q), maka total waktu yag dibutuhka = ho( ) h) O( h ) Kasus terburuk utuk algoritma ii adalah 3 jika h = maka ). Sedagka kasus terbaikya adalah ketika h = log yaki log. Cara yag ii membagu rutua CH(Q) = p o, p 1, p,... p h dega membadigka sudut polar. Misalka titik pertama adalah p o, maka p 1 adalah titik dega sudut polar terkecil terhadap p o. p merupaka titik dega sudut polar terkecil terhadap p da seterusya. Jika ada titik yag sama sudutya pilih yag terjauh. Setelah rutua mecapai titik tertiggi, pk maka algoritma telah membetuk bagia kaa dari covex hull tersebut. Utuk medapatka p k+1 maka cari titik yag memiliki sudut polar terkecil dari p k tetapi dari sumbu x egatif. Utuk mecari sudut terkecil haya diperluka total waktu O( karea waktu utuk mecari sudut polar tersebut adalah O(1). Maka keseluruhaya adalah = ho( h) O( h Gambar 7 Jarvis March ) ) Sedagka kasus terbaikya adalah ketika h = log yaki log 3.4. Divide ad Coquer Divide ad coquer adalah sebuah desai algoritma yag sagat petig di dalam ilmu komputer. Dalam sebuah permasalaha, algoritma ii bekerja secara rekursif utuk membagi permasalaha tersebut mejadi sub sub permasalaha sampai sub permasalaha ii dapat diselesaika secara lagsug. Solusi dari permasalaha kecil ii kemudia dikombiasika dega solusi sub permasalaha lai utuk meyelesaika permasalaha yag lebih besar sampai keseluruha permasalaha diselesaika. Tekik ii mejadi basis dari bayak algoritma efisie utuk berbagai permasalaha seperti peguruta da juga pecaria covex hull Algoritma Cara utama yag dilakuka oleh algoritma ii utuk membetuk sebuah covex hull dari himpua titik adalah dega membagi dua semua himpua mejadi subhimpua da mecari covex hull dega cara yag sama sampai subhimpua terdiri dari atau 1 buah titik lalu semua buah sub himpua tersebut digabugka sampai keseluruha Q terdapat dalam sebuah covex set. 1. Urutka setiap titik dalam Q berdasarka absisya.. Bagi semua titik sama bayak ke dalam sub himpua Q da secara rekursif cari covex hull dari masig masig sub himpua sampai sub himpua terdiri dari 1 atau buah titik. 3. Gabugka dua buah himpua covex hull yag mejadi sub himpua Q, a. Hubugka titik tertiggi dari kedua himpua covex hull b. Iterasi setiap titik searah jarum jam utuk himpua yag berada di sebelah kaa, da berlawaa arah jarum jam pada himpua yag berada di sebelah kiri. c. Hubugka titik teredah dari kedua himpua da guaka cara yag sama. Sama seperti cara pada poi 1, algoritma ii memiliki kasus terbaik jika h = maka 7

8 (a) (b) (c) (d) (f) Gambar 8 Divide Ad Coquer (e) D9E! F* <*! 9$7* +! 9$7*, G(*B G(* B 86: - *. / D9*** 0 *! 9$7* *! D9*** + G(*, ) H - *1*1. ) HA / *1*1%) HA Pseudocode Divide Ad Coquer Aalisis Berikut aka diaalisis kompleksitas waktu utuk mecari CH(Q) dega megguaka algoritma divide ad coquer Pada baris, seluruh titik Q diurutka berdasarka absisya. Proses peguruta ii dapat megguaka peguruta quicksort yag mempuyai kompleksitas waktu O( log Utuk membagi dua sebuah himpua dibutuhka O( karea haya megiterasi seluruh titik yag sudah terurut pada Q. Demikia juga meggabugka buah himpua membutuhka waktu asimtotik liier karea dalam covex hull sudah otomatis terurut berdasarka letakya. Fugsi waktu utuk fugsi! 9$7 adalah O(1) = T ( /) + O( = 1, = > Dimaa O( adalah kompleksitas waktu utuk membagi himpua mejadi dua sub himpua da megabugka dua buah covex hull yag telah dicari. Utuk mecari kompleksitas waktu asimptotik dari betuk rekures seperti ii dapat diguaka cara Master Theorem [5] Pada betuk = at ( / b) + f(, jika logb a ε 1) f ( O( ), ε > 0 log a b log a ) f ( Θ( b ) logb a ) log logb a+ ε 3) f ( O( ), ε > 0 af ( ) cf (, c > 1 b log a b Dari fugsi waktu CovexHull didapat a =, b = Karea ) f ( Θ( log ) maka maka da maka 8

9 maka fugsi waktu dari betuk rekures fugsi CovexHull adalah log Waktu pecaria covex hull sama dega waktu utuk megurutka titik yag ada. Dega demikia kompleksitas waktu asimptotik dari metode divide ad coquer adalah O( log Algoritma ii tidak memiliki cotoh kasus terbaik da terburuk 4. Kesimpula Dari hasil aalisa kompleksitas waktu dapat disimpulka utuk adalah bayakya titik yag ada pada tiap kasus 1. Algoritma pecaria CH(Q) dega megguaka Brute Force Search adalah algoritma yag palig stabil karea utuk seluruh kasus yag adaya, semuaya dilakuka dega waktu yag sama. Brute Force search juga sagat mudah diimplemetasika. Aka tetapi algoritma ii megguaka waktu yag sagat lama yaki T(. Algoritma Jarvis March mempuyai kompleksitas waktu 3 ) h) di maa h adalah bayakya CH(Q) yag ada pada setiap kasus. Adapu kasus terbaik (best case) adalah jika h = log yag memberika log Da kasus terburuk (worst sceario) pada saat h = (seluruh titik merupaka CH(Q)) yag memberika h) 3. Algoritma Graham Sca memiliki kompleksitas log Nilai ii didapat dari peguruta titik yag dilakuka terlebih dahulu. Dapat dikataka algoritma ii bergatug pada kompleksitas peguruta yag diguaka. Utuk kasus terbaik yaki himpua Q sudah diurutka terlebih dahulu, maka peguruta dapat dilewatka da memberika Sayagya algoritma ii haya bisa diguaka pada bidag berdimesi. 4. Divide ad coquer bertujua utuk mecari CH(Q) secara rekursif. Kompleksitas waktu rata-rataya adalah log 9

10 DAFTAR PUSTAKA [1] MathWorld, Wolfram Research. html; Taggal akses pada Jauari 007. TES [] Geometry Algorithm. ve/algorithm_0109/algorithm_0109.htm; Taggal akses pada Jauari 007 [3] R. L. Graham (197). A efficiet algorithm for determiig the covex hull of a fiite plaar set Iformatio Processig Letters [4] R. A. Jarvis, "O the idetificatio of the covex hull of a fiite set of poits i the plae" Iform. Process. Lett.,, 1973, [5] Thomas H. Corme, Charles E. Leiserso, Roald L. Rivest, ad Clifford Stei. Itroductio to Algorithms, Secod Editio. MIT Press ad McGraw-Hill, 001. ISBN