SolusiPersamaanDiferensialBiasa

Transkripsi

1 SolusiPersamaanDiferensialBiasa (Bag. 1) Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Informatika I Oleh; Rinaldi Munir(IF-STEI ITB) 1

2 Jenis-jenisPersamaanDiferensial 1. Persamaandiferensialbiasa(PDB)-Ordinary Differential Equations(ODE). PDB adalah persamaan diferensial yang hanya mempunyai satu peubah bebas. Peubah bebas biasanya disimbolkan dengan x. Contoh-contoh persamaan berikut adalah persamaan diferensial biasa (PDB): dy (i) = x + y dx (ii) y' = x 2 + y 2 (iii) 2 dy/dx + x 2 y - y = 0 (iv) y" + y'cos x - 3y = sin 2x (v) 2y"' - 23y' = 1 - y" 2

3 2. PersamaanDiferensialParsial(PDP)-Partial Differential Equations(PDE) PDP adalah persamaan diferensial yang mempunyai lebih dari satu peubah bebas. Turunan fungsi terhadap setiap peubah bebas dilakukan secara parsial. Contoh-contoh persamaan berikut adalah persamaan diferensial parsial (PDP): (i) 2 2 u x u y 2 = 6xye x+y (yang dalam hal ini, u = g(x,y)) (ii) u t = 3sin(x + t) + 2 x u 2 + (1 + x 2 ) 2 y u 2 (yang dalam hal ini, u = g(x, y, t)) 3

4 ContohPersamaanDiferensialdalamFisika Hukum tegangan Kirchoff menyatakan bahwa jumlah aljabar dari perubahan tegangan di sekeliling rangkaian tertutup adalah nol, di L dt q + Ri = - E(t) = 0 C L i E C R 4

5 PDB Orde1 Bentuk baku PDB orde satu dengan nilai awal ditulis sebagai y' = f(x, y) dengannilaiawaly(x 0 ) = y 0 Catatan: Kadang-kadang y' ditulissebagaidy/dx. Jadi, y' = dy/dx. 5

6 PDB orde satu yang tidak mengikuti bentuk baku tersebut harus ditulis ulang menjadi bentuk persamaan baku, agar ia dapat diselesaikan secara numerik. Contoh-contoh persamaan berikut adalah persamaan diferensial biasa dan transformasinya ke dalam bentuk baku PDB orde 1: (i) 2y' + xy = 100 ; y(0) = 1 Bentuk baku: y' = (100 - xy)/2 ; y(0) = 1 (ii) -xy' + 2y/x = y' - y ; y(1) = -1 Bentuk baku: y' = 2y / x + 1+ x y ; y(1) = -1 6

7 Penyelesaian PDB secara numerik berarti menghitung nilai fungsidix r+1 = x r + h, denganhadalahukuranlangkah(step) setiaplelaran. Pada metode analitik, nilai awal berfungsi untuk memperoleh solusi yang unik, sedangkan pada metode numerik nilai awal (initial value) berfungsiuntukmemulailelaran. Terdapat beberapa metode numerik yang sering digunakan untuk menghitung solusi PDB, yaitu 1. Metode Euler 2. Metode Heun 3. Metode Deret Taylor 4. Metode Runge-Kutta 7

8 MetodeEuler Diberikan PDB orde satu, y' = dy/dx= f(x, y); y(x 0 ) = y 0 Misalkan y r = y(x r ) adalahhampirannilaiydix r yang dihitungdengan metode Euler. Dalam hal ini x r = x 0 + rh, r= 0,1,2,... n. 8

9 Metoda Euler diturunkan dengan cara menguraikan y(x r+1 ) di sekitar x r ke dalam deret Taylor: ( x ) r+ 1 xr y(x r+1 ) = y(x r ) + 1! ( x ) r+ 1 xr y'(x r ) + Bila persamaan (1) dipotong sampai suku orde tiga, diperoleh ( x ) r+ 1 xr y(x r+1 ) y(x r ) + Berdasarkan bentuk baku, 1! 2! ( xr+ 1 xr y'(x )2 r ) + 2! 2 y"(x r ) +... (1) y"(t), x r < t < x r+1 (2) y'(x r ) = f(x r, y r ) dan x r+1 - x r = h maka persamaan (2) dapat ditulis menjadi y(x r+1 ) y(x r ) + hf(x r, y r ) + 2 h 2 y"(t) 9

10 Dua suku pertama persamaan(3), yaitu y(x r+1 ) = y(x r ) + hf(x r, y r ) ; r= 0, 1, 2,..., n menyatakanmetodeeuler. Untuk menyederhanakan penulisan, persamaan metode Euler dapat juga ditulis lebih singkat sebagai y r+1 = y r + hf r 10

11 function y_euler(x0, y0, b, h:real):real; {menghitung nilai y(b) pada PDB y'=f(x,y); y(x0)=y0 dengan metode Euler } var r, n: integer; x, y: real; begin n:=(b-x0)/h; {jumlah langkah} y:=y0; {nilai awal} x:=x0; for r:=1 to n do begin y:=y + h*f(x,y); { hitung solusi y[xr] } x:=x + h; { hitung titik berikutnya } end; {for} y_euler:=y; {y(b)} end; 11

12 Analisis Galat Metode Euler Metode Euler mengandung dua macam galat, yaitu galat pemotongan (truncation error) dangalatlonggokan(cumulative error). Galat pemotongan dapat langsung ditentukan dari persamaan E p 2 1 h 2 y"(t) = O(h 2 ) Perhatikanbahwanilaipadasetiaplangkah(y r ) dipakai lagipadalangkah berikutnya(y r+1 ). Galat solusi pada langkah ke-r adalah tumpukan galat dari langkah-langkah sebelumnya. Galat yang terkumpul pada akhir langkah ke-r ini disebut galatlonggokan(cumulative error). 12

13 Jikalangkahdimulaidarix 0 = adanberakhirdix n = bmaka total galatyang terkumpulpadasolusiakhir(y n ) adalah E total n = r= 1 (1/ 2 2 h ( b a) 2 ( b 2) h y"( t) = n y"( t) = h y"( t) = 2 2h 2 a) y"( t) h Jadi, galatlonggokansebandingdenganh. IniberartimetodeEuler memberikanhampiransolusiyang buruk, sehinggadalampraktekmetodeinikurangdisukai, namun metode ini membantu untuk memahami gagasan dasar metode penyelesaian PDB dengan orde yang lebih tinggi. 13

14 Contoh: Diketahui PDB dy/dx = x+ y dany(0) = 1 Gunakan metode Euler untuk menghitung y(0,10) dengan ukuranlangkah h= 0.05 danh= Jumlahangkabena = 5. DiketahuisolusisejatiPDB tersebutadalahy(x) = e x -x-1. Penyelesaian: (i) Diketahui a = x 0 = 0 b = 0.10 h = 0.05 Dalam hal ini, f(x, y) = x + y, dan penerapan metode Euler pada PDB tersebut menjadi y r+1 = y r (x r + y r ) 14

15 Langkah-langkah: x 0 = 0 y 0 = 1 x 1 = 0.05 y 1 = y (x 0 + y 0 ) = 1 + (0.05)(0 + 1) = x 2 = 0.10 y 2 = y (x 1 + y 1 ) = (0.05)( ) = Jadi, y(0.10) ( Bandingkan dengan nilai solusi sejatinya, y(0.10) = e = sehingga galatnya adalah galat = = ) 15

16 (i) Diketahui a = x 0 = 0 b = 0.10 h = 0.02 Dalam hal ini, f(x, y) = x + y, dan penerapan metode Euler pada PDB tersebut menjadi y r+1 = y r (x r + y r ) 16

17 Langkah-langkah: x 0 = 0 y 0 = 1 x 1 = 0.02 y 1 = y (x 0 + y 0 ) = 1 + (0.02)(0 + 1) = x 2 = 0.04 y 2 = y (x 1 + y 1 ) = (0.02)( ) = x 3 = 0.06 y 3 = x 4 = 0.08 y 4 = x 5 = 0.10 y 5 = Jadi, y (0,10) ( Bandingkan dengan solusi sejatinya, y (0.10) = , sehingga galatnya adalah galat = = ) 17

18 Tafsiran Geometri Metode PDB Pikirkanlah kembali bahwa f(x,y) dalam persamaan diferensial menyatakan gradien garis singgung kurva di titik(x,y). Kita mulaimenarikgarissinggungdarititik(x 0, y 0 ) dengan gradienf(x 0, y 0 ) danberhentidititik(x 1, y 1 ), dengany 1 dihitungdaripersamaaneuler. Selanjutnya, darititik(x 1, y 1 ) ditariklagigarisdengangradien f(x 1, y 1 ) danberhentidititik(x 2, y 2 ), dengany 2 dihitungdari persamaaneuler. Proses ini kita ulang beberapa kali, misalnya sampai lelaran ke-n, sehinggahasilnyaadalahgarispatah-patahsepertiyang ditunjukkan pada Gambar berikut: 18

19 y y=f (x) gradien f(x n-1,y n-1 ) L x 0 x 1 x 2 x 3 L x n-1 x n x 19

20 Berdasarkan tafsiran geometri pada Gambar di atas, kita juga dapat menurunkan metode Euler. Tinjau Gambar di bawah ini. Gradien(m) garissinggungdix r adalah y y r+1 sejati y(x) y r+1 y r A B C h x r x r+1 x m = y '(x r ) = f(x r, y r ) = y x BC = = AC y r+1 h y r y r+1 = y r + hf(x r, y r ) yang tidak lain adalah persamaan metode Euler. 20

21 Metode Heun (Perbaikan Metoda Euler) Metode Euler mempunyai ketelitian yang rendah karena galatnyabesar(sebandingdenganh). Buruknya galat ini dapat dikurangi dengan menggunakan metodeheun, yang merupakanperbaikanmetodeeuler (modified Euler's method). Pada metode Heun, solusi dari metode Euler dijadikan sebagai solusi perkiraan awal(predictor). S Selanjutnya, solusi perkiraan awal ini diperbaiki dengan metode Heun(corrector). 21

22 PersamaanHeun: y r+1 = y r + h / 2 [f(x r, y r ) + f(x r+1, y r+1 )] Dalam persaman di atas, suku ruas kanan mengandung y r+1. Nilaiy r+1 iniadalahsolusiperkiraanawal(predictor) yang dihitungdenganmetodeeuler. Karena itu, persamaan Heun dapat ditulis sebagai Predictor : y (0) r+1 = y r + hf(x r, y r ) Corrector : y r+1 = y r + h / 2 [f(x r, y r ) + f(x r+1, y (0) r+1)] atau ditulis dalam satu kesatuan, y r+1 = y r + h / 2 [f(x r,y r ) + f(x r+1, y r + hf(x r, y r )] 22

23 Tafsiran Geometri Metode Heun: y y(x) y 1 y 0 h/2 h/2 Galat Metode Heun: 3 h E p - 12 = O(h 3 ) x 0 x 1 x y"(t), x r < t < x r+1 23

24 Galat longgokan: n r = E L = h y"( t) 12 ( b a ) = - 12 h 2 y"(t) = O(h 2 ) y y r+1 sejati y(x) y r+1 (1) y r+1 (0) Heun Euler y r h x r x r+1 24

25 function y_heun(x0, y0, b, h:real):real; {menghitung y(b) dengan metode Heun pada PDB y'=f(x,y); y(x0)=y0 } var r, n: integer; x, y, y_s : real; begin n:=(b-x0)/h; {jumlah langkah} y:=y0; {nilai awal} x:=x0; for r:=1 to n do begin y_s:=y; { y dari langkah r-1 } y:=y + h*f(x,y); { y(xr) dengan Euler } y:=y_s + h/2 * ((f(x,y_s) + f(x+h,y)); { y(xr) dengan Heun } x:=x+1; { titik berikutnya} end; y_heun:=y; end; 25

26 Contoh: DiketahuiPDB dy/dx= x+ y ; y(0) = 1 Hitung y (0.10) denganmetodeheun(h = 0.02) Penyelesaian: Diketahui f(x, y) = x+ y a= x 0 = 0; b= 0.10; h= 0.02 maka n = (0.10-0)/0.02 = 5 (jumlahlangkah) Langkah-langkah: x 1 = 0.02 y (0) 1 = y 0 + hf(x 0, y 0 ) = (0 + 1) = y (1) 1 = y 0 + (h/2) [f(x 0,y 0 ) + f(x 1,y (0) 1)] = 1 + (0.02/2) ( ) =

27 x 2 = 0.04 y (0) 2 = y 1 + hf(x 1, y 1 ) = ( ) = y (1) 2 = y 1 + (h/2) [f(x 1,y 1 ) + f(x 2, y (0) 2)] = (0.02/2) [ ] = x 5 = 0.10 y (0) 5 = y 4 + hf(x 4, y 4 ) y (1) 5 = y 4 + (h/2)[f(x 4,y 4) + f(x 5,y (0) 5)] 5 = Jadi, y (0.10) Bandingkan: Nilai sejati : y(0.10) = Euler (Contoh 8.4) : y(0.10) = Heun (Contoh8.5) : y(0.10) = lebihbaikdarieuler 27

28 Perluasan Metode Heun Metode Heun dapat diperluas dengan meneruskan lelarannya sebagai berikut: y (0) r+1 = y r + hf(x r, y r ) y (1) r+1 = y r + h / 2 [f(x r, y r ) + f(x r+1, y (0) r+1)] y (2) r+1 = y r + h / 2 [f(x r, y r ) + f(x r+1, y (1) r+1)] = y r + h / 2 [f(x r, y r ) + f(x r+1, y (2) r+1)] y (3) r+1... y (k+1) r+1 = y r + h / 2 [f(x r, y r ) + f(x r+1, y (k) r+1)] Kondisiberhentiadalahbila y (k) r+1-y (k-1) r+1< ε 28

29 MetodeDeretTaylor Metode deret Taylor adalah metode yang umum untuk menurunkanrumus-rumussolusipdb. MetodeEuler merupakanmetodederettaylor yang paling sederhana. Diberikan PDB y'(x) = f(x,y) dengankondisiawal y(x 0 ) = y 0 Misalkan y r+1 = y(x r+1 ), r= 0,1,,n adalahhampirannilaiy dix r+1. 29

30 Hampiraninidiperolehdenganmenguraikany r+1 disekitarx r sebagai berikut: ( x ) r+ 1 xr y(x r+1 ) = y(x r ) + atau 1! ( x ) r+ 1 xr y'(x r ) + 2! ( x ) r+ 1 xr y"'(x r ) + + n! 2 ( x ) r+ 1 xr y"(x r ) + n y (n) (x r ) 3! 3 y(x r+1 ) = y(x r ) + hy'(x r ) + 2 h 2 y"(x r ) + Persamaan di atas menyiratkan bahwa untuk menghitung hampirannilaiy r+1, kitaperlumenghitungy'(x r ), y"(x r ),, y (n) (x r ). 3 h 6 y"'(x r ) + + h ( n) ( n) y n! x r 30

31 Contoh: Diketahui PDB dy/dx= ½ x-½ y; y(0) = 1 Tentukan y(0.50) dengan metode deret Taylor ( h = 0.25). Penyelesaian: x 0 = 0 y 0 = 1 x 1 = 0.25 y 1 =? 2 h 3 y(x 1 ) = y(x 0 ) + hy'(x 0 ) + 2 y"(x 0) + h 6 y"'(x 0 ) + + h ( n ) n! (n) y (n) x 0 + Misal kita hanya menghitung y(x 1 ) sampai suku orde ke-4 saja. y'(x) = ½ x - ½ y d y"(x) = ( ½ x - ½ y ) dx = ½ + f. (-1/2) = ½ - ( ½ x - ½ y). ½ = ½ - ¼ x + ¼ y 31

32 d y"'(x) = ( ½ - ¼ x + ¼ y) dx = -1/4 + f. 1/4 = -1/4 + ( ½ x - ½ y). ¼ = -1/4 + x/8 - y/8 y (4) d (x) = (1/4 + 1/8 x - 1/8 y) dx = 1/8 + f. (-1/8) = 1/8 - (x/2 - y/2). 1/8 = 1/8 - x/16 + y/16 32

33 Diperoleh: y(x 0 ) = y(0) = 1 y'(x 0 ) = y'(0) = ½ 0 - ½ 1 = -1/2 y"(x 0 ) = y"(0) = ½ - ¼ 0 + ¼ 1 = 3/4 y"'(x 0 ) = y"'(0) = -1/4 + 1/8 0-1/8 1 = - 3/8 y (4) (x 0 ) = y (4) (0) = 1/8-1/ /16 1 = 3/16 sehingga y(x 1 ) = (-1/2) + ((0.25) 2 /2) (3/4) + ((0.25) 3 /6) (-3/8) + ((0.25) 4 /24) (3/16) =

34 x 2 = 0.50 y 2 =? h y(x 2 ) = y(x 1 ) + hy'(x 1 ) y"(x 1 ) + 3 h 6 y"'(x 1 ) + + ( ) h n n! y (n) x 1 = Diperoleh: Sehingga, y(x 1 ) = y'(x 1 ) = (1/2)(0.25) - (1/2)( ) = y"(x 1 ) = ½ - (¼) (0.25) + (1/4)( ) = y"'(x 1 ) = -1/4 + (1/8)(0.25) - (1/8)( ) = y (4) (x 1 ) = 1/8 - (1/16)(0.25) + (1/16)( ) = y 2 = ( ) + ( /2)( ) + ( /6)( ) + ( /24)( ) = Jadi, y(0.50) (Bandingkan dengan solusi sejati, y(0.50) = ) 34

35 Galat metode deret Taylor Galat perlangkah metode deret Taylor setelah pemotongan ke-n adalah E t h ( n+ 1) ( n+ 1) f ( n + 1)! = O(h n+1 ) (t), x 0 < t < x r+1 Galat longgokan total metode deret Taylor adalah: E L = ( + 1) h n ( n + 1)! f ( n+1) (t) = b a h ( + 1) h n f ( (n+1) (t) = (b - a) n + 1)! ( + 1) f n ( t) h ( n = O(h n ) n + 1)! 35

36 Metode Runge-Kutta Penyelesaian PDB dengan metode deret Taylor tidak praktis karena metode tersebut membutuhkan perhitungan turunan. Metode Runge-Kutta adalah alternatif lain dari metode deret Taylor yang tidakmembutuhkanperhitunganturunan. Metodeiniberusahamendapatkanderajatketelitianyang lebih tinggi, dan sekaligus menghindarkan keperluan mencari turunan yang lebih tinggi. MetodeRunge-Kutta adalahmetodepdb yang paling popuper karena banyak dipakai dalam praktek. 36

37 Bentuk umum metoda Range-Kutta orde-n ialah: y r+1 = y r + a 1 k 1 + a 2 k a n k n dengana 1, a 2,..., a n adalahtetapan, dan k 1 = hf(x r, y r ) k 2 = hf(x r + p 1 h, y r + q 11 k 1 ) 2 r 1 r 11 1 k 3 = hf(x r + p 2 h, y r + q 21 k 1 + q 22 k 2 )... k n = hf(x r + p n-1 h, y r + q n-1,1 k 1 + q n-1,2 k q n-1, n-1 k n-1 ) 37

38 Nilaia i, p i, q ij dipilihsedemikianrupasehingga meminimumkan galat per langkah, dan persamaan di atas akan sama dengan metode deret Taylor dari orde setinggi mungkin.. Galatper langkahmetoderunge-kuttaorde-n: O(h n+1 ) GalatlonggokanmetodeRunge-Kuttaorde-n: O(h n ) Ordemetode= n 38

39 Metode Runge-Kutta Orde Satu Metode Runge-Kutta orde satu berbentuk k 1 = hf(x r, y r ) y r+1 = y r + (a 1 k 1 ) Galatper langkahmetoder-k ordesatuadalaho(h 2 ). Galat longgokan metode R-K orde satu adalah O(h). Yang termasuk ke dalam metode Runge-Kutta orde satu ialah metode Euler: k 1 = hf(x r, y r ) y r+1 = y r + k 1 (dalamhalinia 1 = 1) 39

40 MetodeRunge-KuttaOrdeDua Metode Runge-Kutta orde dua berbentuk k 1 = hf(x r, y r ) k 2 = hf(x r + p 1 h, y r + q 11 k 1 ) y r+1 = y r + (a 1 k 1 + a 2 k 2 ) r+1 r Galat per langkah metode Runge-Kutta orde dua adalah O(h 3 ). Galat longgokan metode Runge-Kutta orde dua adalah O(h 2 ). 40

41 Contoh metode Runge-Kutta orde dua adalah metode Heun, yang dalam hal ini a 2 = 1/2, a 1 = 1/2, p 1 = q 11 = 1 Dalam bentuk Runge-Kutta orde 2, metode Heun dapat ditulis sebagai k 1 = hf(x r,y r ) k 2 = hf(x r + h, y r + k 1 ) y r+1 = y r + 1 / 2 (k 1 + k 2 ) 41

42 Contoh metode Runge-Kutta orde dua lainnya ialah metode Ralston, yang dalam hal ini a 2 = 2/3 a 1 = 1/3, p 1 = q 11 = 3/4 sehingga metode Ralston dapat ditulis dalam bentuk Runge-Kutta orde dua sebagai k 1 = hf(x r, y r ) k 2 = hf(x r + 3 / 4 h, y r + 3 / 4 k 1 ) y r+1 = y r + ( 1 / 3 k / 3 k 2 ) 42

43 MetodeRunge-KuttaOrdeTiga Metode Runge-Kutta yang terkenal adalah metode Runge-Kutta orde tiga dan metode Runge-Kutta orde empat. Metode Runge-Kutta orde tiga berbentuk: k 1 = hf(x r, y r ) k 2 = hf(x r + 1 / 2 h, y r + 1 / 2 k 1 ) k 3 = hf(x r + h, y r -k 1 + 2k 2 ) y r+1 = y r + 1 / 6 ( k 1 + 4k 2 + k 3 ) Galatper langkahmetoder-k ordetigaadalaho(h 4 ). GalatlonggokanmetodeR-K ordetigaadalaho(h 3 ). 43

44 function y_rk3(x0, y0, b, h:real):real; {menghitung y(b) dengan metode Runge-Kutta orde tiga pada PDB y'=f(x,y); y(x0)=y0 } var r, n: integer; x, y, k1, k2, k3: real; begin n:=(b - x0)/h; {jumlah langkah} y:=y0; {nilai awal} x:=x0; for r:=1 to n do begin k1:=h*f(x, y); k2:=h*f(x + h/2, y + k1/2); k3:=h*f(x + h, y - k1 + 2*k2); y:=y + (k1 + 4*k2 + k3)/6 { nilai y(xr) } x:=x+h; end; y_rk3:=y; end; { titik berikutnya} 44

45 MetodeRunge-KuttaOrdeEmpat Metode Runge-Kutta orde empat adalah k 1 = hf(x r, y r ) k 2 = hf(x r + 1 / 2 h, y r + 1 / 2 k 1 ) k 3 = hf(x r + 1 / 2 h, y r + 1 / 2 k 2 ) k 4 = hf(x r+ h, y r+ k 3) y r+1 = y r + 1 / 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) Galat per langkah metode Runge-Kutta orde empat adalah O(h 5 ). Galat longgokan metode Runge-Kutta orde empat adalah O(h 4 ). 45

46 function y_rk4(x0, y0, b, h:real):real; {menghitung y(b) dengan metode Runge-Kutta orde empat pada PDB var y'=f(x,y); y(x0)=y0 } begin end; r, n: integer; x, y, k1, k2, k3, k4: real; n:=(b - x0)/h; y:=y0; x:=x0; for r:=1 to n do begin k1:=h*f(x, y); {jumlah langkah} {nilai awal} k2:=h*f(x + h/2, y + k1/2); k3:=h*f(x + h/2, y + k2/2); k4:=h*f(x + h, y + k3); y:=y + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6 { nilai y(xr) } x:=x+h; end; y_rk4:=y; { titik berikutnya} 46

47 Contoh: Diketahui PDB dy = 1 + y 2 ; y(0) = 0 dx Tentukan y(0.20) dengan metode Runge-Kutta orde tiga. Gunakan ukuran langkah h = Penyelesaian: Diketahui a = x 0 = 0 b = 0.20 h = 0.10 maka n = (0.20-0)/0.10 = 2 (jumlah langkah 47

48 Langkah: x 0 = 0 y 0 = 0 x 1 = 0.10 y 1 =? k 1 = hf(x 0, y 0 ) = (0.10) ( ) = 0.10 k 2 = hf(x / 2 h, y / 2 k 1 ) = (0.10) ( ) = k 2 3 = hf(x 0 + h, y 0 - k 1 + 2k 2 ) = (0.10) ( ) = y 1 = y / 6 ( k 1 + 4k 2 + k 3 ) = / 6 ( ) =

49 x 2 = 0.20 y 2 =? k 1 = hf(x 1,y 1 ) = (0.10)( ) = k 2 = hf(x / 2 h, y / 2 k 1 ) = (0.10)( ) = k 3 = hf(x 1 + h, y 1 - k 1 + 2k 2 ) = (0.10) ( ) = y 2 = y / 6 (k 1 + 4k 2 + k 3 ) = / 6 ( ) = Jadi, y(0.20) Nilai sejati y(0.20) =