Kata-kata Mutiara. Lelah dalam belajar itu wajar Tapi... tetap semangat dan jangan menyerah dalam belajar...!!!

Transkripsi

1 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 1 Kata-kata Mutiara Lelah dalam belajar itu wajar Tapi... tetap semangat dan jangan menyerah dalam belajar...!!! Jika seseorang bepergian dengan tujuan mencari ilmu, maka Allah akan menjadikan perjalanannya seperti perjalanan menuju surga Nabi Muhammad SAW

2 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 2 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel PLSV & PtLSV Paris mempunyai menara Eiffel yang dirancang oleh Alexandre Eiffel untuk Pekan Raya Dunia tahun Menara Eiffel dengan tinggi 300 m tersebut pernah menjadi bangunan tertinggi di dunia selama beberapa tahun. Jakarta juga mempunyai menara yaitu Monumen Nasional (Monas), yang dibangun Pada masa pemerintahan Presiden Soekarno. Jika tinggi Monumen Nasional dikalikan dua dan ditambah 36 meter maka tingginya akan sama dengan menara Eiffel. Berapa meterkah tinggi Monas? Kata Kunci Kalimat Terbuka Kalimat Tertutup Persamaan Persamaan Linear Satu Variabel Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, siswa diharakan dapat: Mengenal PLSV dalam beberapa bentuk dan variabel, Memecahkan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan PLSV, Menyatakan dengan lisan dan tulisan kejadian seharihari yang berkaitan dengan masalah pertidaksamaan, Menggunakan noktah <, >,,, Mengenali PtLSV dalam beberapa bentuk dan variabel, Menentukan penyelesaian PtLSV, Menggunakan konsep PtLSV untuk Menyelesaikan Masalah.

3 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 3 1. Kalimat Terbuka 1.1. Kalimat Benar dan Salah Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagai macam kalimat, misalnya sebagai berikut: a. Mahatma Gandhi adalah negarawan dari Asia. Kalimat tersebut sepakat kita katakan benar. b. Semua benda akan memuai bila dipanaskan. Kalimat tersebut salah, sebab terdapat benda yang tidak memuai bila dipanaskan, misalnya kayu. Berdasarkan contoh 1 dan 2, dalam kehidupan sehari-hari terdapat kalimat yang benar dan kalimat yang salah. Apakah dalam matematika juga terdapat kalimat benar dan kalimat salah? Perhatikan contoh-contoh berikut! Contoh a. Bilangan prima selalu bilangan ganjil. Kalimat tersebut adalah kalimat yang salah, bilangan prima ada juga yang genap, yaitu 2 b. Jumlah 9 dan 17 adalah 26. Kalimat terebut benar, sebab = 26. sebab

4 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 4 c. Hasil perkaluan bilangan ganjil dengan bilangan genap adalah bilangan ganjil. Kalimat tersebut salah, sebab perkalian bilangan ganjil sengan bilangan genap akan selalu menghasilkan bilangan genap. Dari contoh-contoh diatas, termyata dalam kalimat matematika juga terdapat kalimat benar dan kalimat salah. Kalimat benar dan kalimat salah disebut pernyataan. Latihan 1 Lati Nyatakan kalimat kalimat berikut benar atau salah! = adalah sifat sosiatif penjumlahan. 2. Hasil kali 5 dan 7 sama dengan hasil kali 7 dan kg karet busa lebih ringan jika dibandingkan dengan 1 kg besi 4. Arti dari 3 4 adalah Jumlah dua bilangan ganjil selalu merupakan bilangan genap Pengertian Kalimat Terbuka Perhatikan contoh contoh kalimat berikut ini! < 7

5 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 5 2. adalah faktor dari adalah kelipatan 3 4. x + 7 = 15 Dari contoh diatas, contoh 3 merupakan kalimat benar dan Contoh 1 mereupakan kalimat salah, sedangkan Contoh 2 dan 4, yaitu adalah faktor dari 4 dan x + 7 = 15 merupakan kalimat-kalimat yang belum dapat ditentukan benar atau salahnya. Kalimat-kalimat seperti ini disebut kalimat terbuka Kalimat adalah faktor dari 4 bernilai benar jika lambang diganti dengan 1, 2, atau 4. jika lambang diganti 1, maka 1 adalah faktor dari 4. (benar) jika lambang diganti 2, maka 2 adalah faktor dari 4. (benar) jika lambang diganti 3, maka 3 adalah faktor dari 4. (benar) jika lambang diganti debgab bilangan-bilangan yang lain, maka akan doperoleh kalimat salah. Pada kalimat x + 7 = 15, jika x diganti dengan 8, maka akan menjadi kalimat benar, dan jika x diganti dengan ilangan bukan 8, maka akan menjadi kalimat salah. Lambang-lambang seperti x dan disebut variabel atau peubah. Pengganti dari variabel sehingga kalimat terbuka menjadi kalimat benar atau kalimat salah disebut konstanta.

6 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 6 Kalimat yang memuat variabel sehingga belum diketahui nilai kebenarannya (benar atau salah) disebut kalimat terbuka. Peubah atau variabel adalah lambang (simbol) yang dapat diganti oleh sembarang bilangan yang ditentukan. Latihan 2 Tentukan pengganti dari lambang-lambang berikut ini sehingga kalimat berikut menjadi kalimat benar! a. + 4 = 15, = b. 9 = 21, = c. 8 = 42, = 1.3. Penyelesaian Kalimat Terbuka Setiap kalimat terbuka memuat variabel yang dapat diganti dengan satu atau beberapa anggota yang telah ditentukan. Pengganti dari variabel yang membuat kalimat terbuka menjadi kalimat benar disebut penyelesian. Pengganti variabel (peubah) sehingga kalimat terbuka menjadi kalimat benar disebut penyelesaian.

7 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 7 Contoh 1. x + 6 = 25 Pengganti x yang benar adalah 19. Jadi, penyelesaiannya adalah x = x adalah bilangan ganjil dan x adalah variabel pada bilangan 3, 6, 9, 12, dan 15. Pengganti x yang benar adalah 3, 9, dan 15. Jadi penyelesaiannya adalah 3, 9, dan 15. Latihan 3 Untuk soal Nomor 1 sampai dengan Nomor 3, tentukan penyelesaiannya! 1. Satu minggu ada x hari. 2. Sebuah kubus dibentuk oleh x persegi yang konruen. 3. Dalam setahun ada x bulan yang lamanya 31 hari. Untuk penyelesaian nomor 4 dan 5 tentukan penyelesaiannya! 4. Jika x dikalikan tiga, hasilnya sama dengan seperempat dari Bilangan 30 memiliki x faktor prima

8 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 8 2. Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel 2.1. Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel Perhatikan kalimat- kalimat terbuka berikut ini! 1. X + 8 = n 7 = 20 Kalimat-kalimat terbuka diatas menggunakan tanda hubung = ( sama dengan), kalimat seperti itu disebut persamaan. Masing-masing persamaan di atas hanya memiliki satu variabel, yaitu x, n, atau p, maka persamaan yang demikian disebut persamaan dengan satu variabel (peubah). Tiap Variabel pada persamaan berpankat 1. Dalam aljabar, pangkat 1 boleh tidak ditulis. Persamaan demikian disebut persamaan linear. Jadi, kalimat seperti x + 8 = 15 dan 3n 7 = 20 disebut persamaan linear dengan satu variabel. Persamaan linear adalah kaliamat terbuka yang memikili hubungan sama dengan dan variabelnya berpangkat satu Perhatikan persamaan 3n 7 = 20 Jika n diganti dengan 9 atau n = 9, maka persamaan tersebut berubah menjadi = 20 Yang merupakan kalimat benar, dan n = 9 disebut akar atau penyelesaian dai persamaan itu.

9 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 9 Jika n diganti dengan bilangan yang bukan 9, misalnya n = 10, maka persamaan tersebut menjadi = 20 yang merupakan kalimat salah, sehingga n = 10 bukan akar dari persamaan tersebut. Penggantian dari variabel (peubah) sehingga suatu persamaan kalimat benar disebut akar atau penyelesaian dari persamaan tersebut. 3. Menyelesaikan Persamaan Linear Satu 3.1. Menyelesaikan Persamaan dengan Cara Substitusi Menyelesaikan persamaan dengan cara substitusi artinya menyelesaikan persamaan dengan cara mengganti variabel dengan bilangan-bilangan yang telah ditemukan, sehingga persamaan tersebut menjadi kalimat benar. Contoh Tentukan penyelesaian dari persamaan 2x 1 = 5, x adalah variabel pada bilangan asli! Jawab: Untuk x = 1, maka = 5 (merupakan kalimat salah) Untuk x = 2, maka = 5 (merupakan kalimat salah)

10 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 10 Untuk x = 3, maka = 5 (merupakan kalimat benar) Untuk x = 4, maka = 5 (merupakan kalimat salah) Jadi, penyelesaiannya adalah x = 3. Sedangkan 1, 2, dan 4 bukan penyelesaian dari persamaan 2x 1 = 5 Latihan 4 Dengan menagmbil variabel pada bilamgan asli, tentukan penyelesaian persamaan berikut ini dengan cara substitusi! 1. a + 4 = n 4 = = 10 p 4. 4 y = Menyelesaikan Persamaan dengan Menambah atau Mengurangi Kedua Ruas Persamaan dengan Bilangan yang Sama Perhatikan kesamaan kesamaan berikut ini! = 7 (kalimat Benar) = (Kedua ruas ditambah 10) 7 = 17 (kalimat Benar) = 11 (kalimat Benar) = 11 3 (Kedua ruas dikurangi 3) 8 = 8 (kalimat Benar)

11 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 11 Ternyata kesamaan tetap bernilai bernar jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama. Selanjutnya perhatikan persamaan-persamaan berikut ini. 1. x + 6 = 10 i) x + 6 = 10, x diaganti dengan 4 menjadi = 10 (kalimat benar). Penyelesaiannya adalah x = 4. ii) x = 10 6 kedua ruas dibagi 6 x = 4 Penyelesaiannya adalah x = 4. Jadi, x + 6 = 10 x = x 7 = 12 i) x 7 = 12, x diganti dengan 5 menjadi 5 7 = 12 (kalimat benar) Penyelesaiannya adalah x = 5. ii) x = kedua ruas ditambah 7 x = 5 Penyelesaiannya adalah x = 5. Jadi, x 7 = 12 x = Berdasarkan uraikan di atas, dapat disimpulkan hal berikut ini : Setiap persamaan tetap ekuivalen jika kedua ruas persamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.

12 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 12 Perhatikan! Menambah atau mengurangi kesua ruas persamaan dengan bilangan bilangan tertentu yang sama bertujuan agar dalam satu ruas persamaan terdapat variabel saja atau bilangan konstan saja. Untuk menyelesaikan suatu persamaan, harus diperoleh persaman yang ekuivalen dalam bentuk yang paling sederhana. Untuk mendapat hal itu, usahakan agar variabel (peubah) terletak dalam satu ruas (biasanya di ruas kiri), sedangkan bilangan tetap (konstan) di ruas yang lain (biasanya di ruas kanan) dengan menggunakan cara seperti tersebut di atas Menyelesaikan persamaan dengan mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama. Perhatikan persamaan-persamaan berikut! = 21 (bilangan benar) = 21 2 (kedua ruas dikalikan 2) 42 = 42 (bilangan benar) = 30 (bilangan benar)

13 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel = 30 3 (kedua ruas dibagi 3) 10 = 10 (bilangan benar) Ternyata kesamaan tetap bernilai benar jika kedua ruas dikalikan atau dibagidengan bilangan yang sama. Contoh 1. 3x = 18 atau 3x = 18 3x 3 = x = x = 6 x = 6 Penyelesaiannya adalah x = 6 penyelesaiannya adalah x = x 4 = x = (kedua ruas ditambah 4) x = x = 3 2 (15) x = 10 Penyelesaiannya adalah x = 10

14 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel x + 2 = 2(3x 4) 3x + 6 = 6x 8 (sifat distributif) 3x = 6x 8 6 (kedua ruas dikurangi 6) 3x = 6x 14 3x 6x = 6x 6x 14 (kedua ruas dikurangi 6x) 3x = 14 3x 3 = 14 3 (kedua ruas dibagi 3) x = Catatan: Penyelsaiannya adalah x = Untuk menentukan pengalih atau pembagi, yang harus diperhatikan adalah koefisien dari variabel sehingga menjadi Latihan 5 Tentukan penyelesaian setiap persamaan berikut! Kerjakan dengan cara mengali atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama! 1. 2x = x = x = x = x = x = 2 3

15 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 15 Tentukan penyelesaian setiap persamaan berikut! 7. x 4 = q q 4 = 9 8. x 3 = q + (4 q 5 = x 8 = x 3 2 x 3 = y + 5 = x + 3 x 2 5 4x = y 4 = 5y x 3 2 x + 1 = x x = y 5 2y 3 = 4 y p + 6 = 24 2p 14. 5p 8 = 7p Grafik Penyelesaian persamaan dengan Satu Variabel Penyelesaian dari suatu persamaan dapat ditunjukkan pada garis bilangan yang disebut grafik penyelesaian. Pada garis biangan, grafik penyelesaian dari suatu persamaan dinyatakan dengan noktah atau titik. Perhatikan contoh-contoh penyelesaian persamaan dengan grafiknya berikut ini! Contoh 2x 1 = 5, x adalah bilangan cacah 2x = x = 6

16 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 16 2X = x = 3 Penyelesaiannya adalah x = 3 Grafik penyelesaian dari persamaan di atas adalah Latihan 6 Selesaikan setiap persamaan berikut, kemudian gambarkan penyelesaiannya masing-masing dalam grafik tersendiri! 1. x 5 = p + 1 = 7 2. y + +3 = q 1 = x + 1 = n + 2 = 2n 1 4. y 2 = n 5 = 5n Menyelesaikan persamaan bentuk pecahan Persamaan bentuk pecahan adalah persamaan yang variabelnya memuat pecahan, atau bilangan konstantanya berbentuk pecahan atau keduanya memuat pecahan. Untuk menyelesaikan persamaan bentuk pecahan dengan cara yang lebih mudah, terlebih dahulu ubahlah persamaan tersebut menjadi persamaan lain yang ekuevalen tetapi tidak lagi memuat pecahan. Hal ini dapat dilakukan dengan cara mengalikan kedua ruas persamaan

17 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 17 dengan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari penyebutpenyebutnya. Selain itu, persamaan bentuk pecahan pecahan dapat juga diselesaikan tanpa mengubah bentuk persamaan. Contoh 1. Tentukan penyelesaian dari persamaan 2 5 3x 2 = 6 Jawab: x 2 = 6. 3x 2 = 5 6 kedua ruas dikalikan 5, agar persamaan tidak lagi memuat pecahan 2 3x 2 = 30 6x 4 = 30 6x = kedua ruas ditambah 4, agarruas kiri tidak lagi terdapat 4. 6x = 34 6x 6 x = 34 6 kedua ruas dibagi 6, agar koefisien x di ruas kiri menjadi 1

18 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 18 x = Jadi penyelesaian dari persamaan x = Tentukan penyelesaian dari persamaan 2x 3 4 = x + 5 6, Jawab 2x 3 4 = x (2x 3 ) = 12(1 1 x + 5 ) kedua ruas x 9 = 16x + 10 dikalikan12,yaitu KPK dari 2,3, dan 6 24x = 16x kedua ruas 24x = 16x + 19 ditambah x = 16x 16x + 19 dua ruas dikurangi 8x = 19 16x 8x 8 = 19 8 kedua ruas dibagi 8. x = Penyelesaiaannya adalah x =

19 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 19 Latihan 7 Tentukan penyelesaian persaaan-persamaan berikut ini dengan cara mengalikan dengan KPK penyebutnya! 1. 1 x + 3 = y + 1 = x 5 = y 1 y = Tentukanlah penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini! 5. 1 x 1 2 = x 1 2 = p 2 p 3 = 1 p ,2x 7,1 = 5, y + 3 y = q 5 = q y 2 3y = n n = Persamaan Memuat Perkalian Suku Dua Untuk menyelesaikan persamaan yang memuat perkalian suku dua, perlu di ingat kembali cara menentukan hasil perklian dan hasil pengkuadratan bentuk aljabar berikut ini. x x + k = x x + x k = x 2 + kx x + a x + b = x 2 + bx + ax + ab x + a 2 = x x a + a 2

20 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 20 = x 2 + 2ab + a 2 Selain itu, persamaan diselaikan dengan menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada persamaan. Menambah atau mengurangi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama, tidak selalu ditulislengkap,hal itu dapat juga disimpan dalam pikiran saja. 1. Selesaikan persamaan 2x + 5 x 6 = x(2x + 3)! Jawab 2x + 5 x 6 = x(2x + 3) 2x 2 2x + 5x 30 = 2x 2 + 3x 2x 2 7x 30 = 2x 2 + 3x 2x 2 2x 2 7x 30 = 0 pada ruas kanan : 2x 2 2x 2 = 0, 3x 3x = 0 10x = pada ruas kiri : = 0 10x = 30 x = Contoh x = 3 Penyelesaiaannya adalah x = 3

21 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel Selesaikan persamaan 4y 3 y + 6 = (2y + 3) 2! Jawab 4y 3 y + 6 = (2y + 3) 2 4y y 3y 18 = 4y y + 9 4y y 18 = 4y y + 9 4y 2 4y y 12y 18 = 9 9y = pada ruas kiri: = 0 y = 27 9 y = 3 Penyelesaiannya adalah y = 3. Latihan 8 Tentukan penyelesaiaan setiap persamaan berikut ini! 1. y + 4 y 10 = (y + 2) y 7 2y + 1 = (2y + 3) y + (2y + 4) 2 = (4y 8)(y + 5) 4. (4y 3) 2 7 = (8y + 5)(2y 4) 5. 4(y 3) 2 = (2y 3)(2y 10)

22 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel Penerapan Persamaan dalam Kehidupan Untuk menyelesaikan soal-soal n dalam kehidupan sehari-hari yang berbentuk cerita, maka langkah-langkah berikut dapat membantu mempermudah penyelesaian. 1. Jika memerlukan diagram (sketsa), misalnya untuk soal yang berhubungan dengan geometri, buatlah diagram (sketsa) berdasarkan kalimat cerita itu. 2. Menerrjemahkan kalimat cerita menjadi kalimat matematika dalam bentuk persamaan. 3. Menyelesaian persamaan tersebut. Contoh 1. Jumlah bilangan ganjil beraturan adalah 36. a. Tentukan bilangan kedua yang dinyatakan dalam n, jika bilangan pertama adalah n. b. Susunlah persamaan dalam n, kemudian selesaikan! c. Tentukan bilangan kedua tersebut! Jawab a. Bilangan pertama = n, maka Bilangan kedua = n + 2.

23 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 23 b. Bilangan pertama = n, maka Bilangan kedua = n + 2. c. Bilangan I + bilangan II = 36 c. bilangan pertama = n n + n + 2 = 3 = 17 n + n + 2 = 36 bilangan kedua 2n + 2 = 36 = n = 36 2 = 19 2n = 34 2n = n = Adiik memiliki 20 keping uang logam yang terdiri dari dua ratusan dan lima ratusan. Jika nilai uang tersebut berjumlah Rp7.600, tentukan banyak mata uang masing-masing! Jawab Banyak uang dua ratusan = x keping Banyak uang lima ratusan = (20 x) keping Jumlah nilai mata uang = 200x + 500(20 x) 7600 = 200x x 7600 = 300x x =

24 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel x = 2400 x = = 8 Jadi, banyak uang dua ratusan = 8 keping Dan banyak uang lima ratusan = 20 8 = 12 keping 2. Panjang suatu persegi panjang sama dengan dua kali lebarnya dan kelilingnya adalah 54 cm. a. Tentukan panjang yang dinyatakan adalah p cm! b. Susunlah persamaan dalam p, dan selesaikan! c. Tentukan panjang dan lebar persegi panjang itu! Jawab a. Lebar = p, maka panjang = 2p cm p cm b. Keliling = 2 2p + 2 p = 54 4p + 2p = 54 6p = 54 2p cm p = 54 6 p = 9 c. Panjang = 2p cm Panjang = p cm = 2 9 cm = 9 cm = 18 cm

25 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel Nyatakan bilangan 0, sebagai pecahan biasa! Jawaban Missal 0, = y Karena bilangan desimalnya berulang 2 angka, maka kedua ruas persamaan kita kalikan dengan 100, diperoleh: 100y = 45,4545 y = 0, y = 45 y = y = 5 11 Kedua ruas persamaan 0, = y dikalikan 100 Jadi bentuk pecahan biasa dari 0, adalah 5 11 Latihan 9 1. Dua kali dua bilangan dikurangi 15 adalah 117. a. Misalkan bilangan itu x! b. Tentukan bilangan tersebut! 2. Jumlah tiga bilangan fanjil yang berutun adalah 117.

26 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 26 a. Jika bilangan pertama n, nyatakan bilangan kedua dan ketiga dalam n! b. Tentukan bilangan-bilangan tersebut! 3. Harga sebuah mesin cetak adalah 5 kali harga sebuah computer. Harga 5 buah computer dan 2 buah mesin cetak adalah Rp berapakah harga sebuah mesin cetak? 3. Nyatakan bilangan 0, sebagai pecahan biasa! 4. Nyatakan bilangan-bilangan berikut sebagai pecahan biasa! a. 0, b. 0, Pengertian Kertidaksamaan dan Pertidaksamaan 6.1. Pengertian Ketidaksamaan Dari kalimat 8 = 5 + 3, maka diperoleh hubungan berikut: 8 lebih dari 5, ditulis 8 > 5 5 kurang dari 8, ditulis 5 < 8 8 lebih dari 3, ditulis 8 > 3 3 kurang dari 8, ditulis 3 < 8 Kalimat-kalimat seperti 8 > 5, 8 > 3, 5 < 8, dan 3 < 8 disebut Ketidaksamaan. Jika a tidak sama dengan b, maka dapat ditulis dengan notasi a b. Untuk sembarang bilangan a dan b selalu berlaku salah satu hubungan berikut ini: a < b (dibaca a kurang dari b ),

27 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 27 a = b (dibaca a sama dengan b ), a > b (dibaca a lebih dari b ). Selain tanda-tanda ketidaksamaan diatas, terdapat tanda ketidaksamaan lainnya, yaitu: dibaca kurang dari atau sama dengan atau tidak lebih dari, dan dibaca lebih dari atau sama dengan atau tidak kurang dari. Contoh 1. Tuliskan kalimat-kalimat berikut dalam bentuk ketidaksamaan. a. 4 kurang dari 9 b. 0 terletak di antara 1 dan 1 c. x tidak kurang dari 8 Jawaban a. 4 kurang dari 9 Bentuk pertidaksamaannya adalah 4 < 9. b. 0 terletak di antara 1 dan 1 Bentuk pertidaksamaannya adalah 1 < 0 < 1. c. Tidak kurang dari 8, berarti x dapat lebih dari 8 atau x adalah 8 Jadi, bentuk pertidaksamaannya adalah x 8.

28 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel Nyatakan bentuk-bentu berikut menjadi satu ketidaksamaan. a. 3 < 4 dan 4 < 5 b. 7 > 3 dan 3 > 4 c. 5 > 8 dan 5 < 12 Jawaban a. 3 < 4 dan 4 < 5 maka 3 < 4 < 5 b. 7 > 3 dan 3 > 4 maka 7 > 3 > 4 c. 5 > 8 dan 5 < 12, dapat ditulis menjadi 8 < 5 dan 5 < 12 Jadi, 8 < 5 < Pengertian Pertidaksamaanlinier satu variabel Perhatikan kalimat-kalimat oertidaksamaan berikut ini! 1. 4x < y > 2y x y + 7 8y 6 Kalimat-kalimat terbuka di atas menggunakan tanda hubung <, >,, atau. Kalimat seperti itu disebut pertidaksamaan. Masing-masing pertidaksamaan diatas hanya memiliki satu variabel (perubah), yaitu x atau y, maka pertidaksamaan yang demikian disebut pertidaksamaan dengan satu variabel (perubah). Setiap variabel pad pertidaksamaan di atas berpangkat 1 (dalam aljabar, pangkat 1 boleh tidak ditulis), sehingga pertidaksamaan di atas dinamakan pertidaksamaan linier.

29 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 29 Pertidaksamaan linier adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan <,, >, atau dan variabelnya berpangkat satu. Latihan Sisipkan salah satu lambing >, =, atau < diantara pasangan bilangan berikut ini agar menjadi kalimat benar a c b d Tulislah kalimat-kalimat berikut ini dalam bentuk kalimat matematika a. p terletak di antara 3 dan 7 b. q tidak kurang dari 18 c. y tidak lebih dari Susunlah masing-masing soal berikut ini menjadi satu ketidaksamaan a. 5 < 8 dan 8 < 10 b. 4 > 2 dan 2 > 3 c. 2 < 5 dan 14 > 5

30 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Perhatikan pertidaksamaan 2n + 5 > 16 dengan n variabel pada bilangan bulat yang kurang dari 10. Jika n diganti 6, maka pertidaksamaan menjadi > 16 (kalimat benar) jika n diganti 7, maka pertidaksamaan menjadi > 16 (kalimat benar) jika n diganti 8, maka pertidaksamaan menjadi > 16 (kalimat benar) jika n diganti 9, maka pertidaksamaan menjadi > 16 (kalimat benar) ternyata jika n diganti dengan 6, 7, 8 dan 9 diperoleh kalimat benar. Dengan demikian 6, 7, 8 dan 9 merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan 2n + 5 > 16. Jika n di ganti dengan bilangan bulat yang kurang dari 6, misalnya 5, 4, dan 3, maka pertidaksamaan tersebut akan menjadi seperti beriku ini. Jika n diganti 5, maka pertidaksamaan menjadi > 16 (kalimat salah) Jka n diganti 4, maka pertidaksamaan menjadi > 16 (kalimat salah) jika n diganti 3, maka pertidaksamaan menjadi > 16 (kalimat salah)

31 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 31 ternyata jika n diganti dengan 5, 4, dan 3 diperoleh kalimat salah. Dengan demikian, 5, 4, dan 3, dan seterusnya bukan penyelesaian dari pertidaksamaan 2n + 5 > 16. Pengganti dari variabel sehingga suatu pertidaksamaan menjadi kalimat benar disebut penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut Menyelesaikan pertidaksamaan dengan menambah atau mengurangi dengan bilangan yang sama Perhatikan ketidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini > 8 (kalimat benar) > (kedua ruas ditambah 3) 14 > 11 (kalimat benar) < 17 (kalimat benar) < 17 7 (kedua ruas dikurangi 7) 5 < 10 (kalimat benar) Ternyata ketidaksamaan tetap bernilai benar jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.

32 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 32 Contoh 1. Tentukan penyelesaian dari x + 5 > 9 untuk x variabel dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8. Jawab x + 5 > 9 x > 9 5 kedua ruas dikurangi 5 agar ruas kiri tidak lagi memuat 5 x > 4 Penyelesaiannya adalah 5, 6, 7, dan Tentukan penyelesaian dari 4x x untuk x variabel dengan bilangan 2,3,4,5..9. Jawab 4x x 4x x kedua ruas ditambah 2 4x 7 + 3x 4x 3x 7 + 3x 3x kedua ruas dikurangi 3x x 7 Penyelesaiannya adalah 2,3,4,5,6,7

33 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel Tentukan penyelesaian dari 3 < x + 2 < 9! Jawab 3 < x + 2 < < x < 9 2 kedua ruas dikurangi 2 1 < x < 7 Penelesaiannya adalah 1 < x < 7 Perhatikan!! Menambah atau mengurangi kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan tertentu tang sama bertujuan agar dalam satu ruas pertidaksamaan terdapat perubah saja atau bilangan konstan saja. Untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan, kita harus mendapatkan pertidaksamaan yang ekuevalen dan bentuk yang paling sederrhana. Untuk mendapatkan hal itu, usahakan agar variabel (pengubah) terletak dalam satu ruas (biasanya di ruas kiri), sedangkan bilangan tetap (konstan) berada di ruas lain (biasannya di ruas kanan)

34 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 34 Latihan 11 Tentukan pertidaksamaan paling sederhana yang ekuivalen dengan pertidaksamaan berikut ini! Tuliskan jawabannya (nasal) dalam bentuk x < 3 atau x 5 1. x 5 > z 3 2. x + 9 < z > 5 3. y p 4. y p Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini! 9. 4x 3x < x + 1 < n 4 4n n 3 < m < x + 4 < m + 3 3m x Penyelesaian pertidaksamaan dengan kedua ruas dengan bilangan positif yang sama Perhatikan ketidaksamaan-ketidaksamaan berikut ini! 1. 2 < 8 (kalimat benar) 2 3 < 8 3 (kedua ruas dikalikan 3) 6 < 24 (kalimat benar) 2. 4 > (kalimat benar) > 1 4 ( 8) (kedua ruas dikalikan 1 4 )

35 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 35 1 > 2 (kalimat benar) Ternyata ketidaksamaan tetap bernilai benar jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan positif yang sama. Contoh 1. Selesaikan pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut! a. 2x < 8 b. Jawaban 1 3 x > 2 a. 2x < 8 b. 1 3 x > x < x > 3 ( 2) 3 x < 4 x > 6 2. Selesaikan pertidaksamaan 5y 1 < 2y + 5! Jawaban 5y 1 < 2y + 5 5y < 2y (kedua ruass ditambah 1) 5y < 2y + 6 5y 2y < 2y 2y + 6 (kedua ruas dikurangi 2y) 3y < y < (kedua ruas dikali 1 3 )

36 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 36 Catatan: Untuk menentukan pengali atau pembagi, yang harus diperhatikan adalah koefisien dari variabel sehingga koefisiennya menjadi Menyelesaikan pertidaksamaan dengan mengalihkan kedua ruas denga bilangan negative yang sama. Perhatikan ketidaksamaan-ketidaksamaan berikut ini > 2 (kalimat benar) 3 8 > 3 2 (kedua ruas dikalikan 3) 24 > 6 (kalimat benar) Agar menjadi kalimat benar, maka tanda ketidaksamaan > diubah menjadi <, sehingga menjadi 24 < 6 yang merupakan kalimat benar 2. 5 < 10 (kalimat benar) < (kedua ruas dikalikan 1 ) 5 1 < 2 (kalimat benar) Agar menjadi kalimat benar, maka tanda ketidaksamaan < diubah menjadi >, sehingga menjadi 1 > 2 yang merupakan kalimat benar.

37 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel Tentukan penyelesaian dari 2 y 6 3 Jawab Contoh 2 3 y y 3 2 ( 6) kedua ruas dikalikan 3 2, y 9 tanda diubah menjadi 2. Tentukan penyelesaian dari 15 8x 2x + 30 Jawab 15 8x 2x x 2x kedua ruas dikurangi 15 8x 2x x 2x 2x 2x + 15 kedua ruas dikurangi 2x 10x kedua ruas dikali 1 10 x diubah

38 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 38 Latihan 12 Tentukan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan berikaut ini! 1. 2x < k > 8k x > y 5 4y x m + 6 < 4m y p 4 > 7p y < 2p < y 8 < p y + 15 > p + 1 > t < p 4 > 7p t < n 1 < 3(2n + 3) 10. 7k < k n) 4(n 5) 7.4. Menyelesaian pertidaksaman bentuk pecahan Untuk menyelesaikan pertidaksamaan dalam bentuk pecahan. Terlebih dahulu ubahlah bentuknya sehingga tidak lagi memuat bentuk pecahan. Hal ini dapat dilakukan dengan mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan kpk dari penyebut-penyebutnya. Selain itu, penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dapat juga ditentukan dengan tidak mengubah bentuk pertidaksamaan semula.

39 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 39 Contoh 1. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 1 3 x + 2 > 2 + 3x 2 Jawab 1 3 x + 2 > 2 + 3x 2 KPK dari 2 dan 3 kedua ruas dikalikan 6 yaitu x + 2 > x 2 2 x + 2 > x 2x + 4 > x 2x > x 2x > 8 + 9x 2x 9 > 8 + 9x 9x 7x > 8 1 7x < 1 8 kedua ruas dikalikan 1, maka tanda pertidaksamaan diubah yaitu > menjadi < x < 8 7 x < 1 1 7

40 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan Jawab x 1 > x x 1 2 > x ( x 1 ) > 2 10(x+3 ) kedua ruas dikalikan 10. Yaitu 5 5 x 1 > 2(x + 3 5x 5 > 2x + 6 5x > 2x x > 2x x 2x > 2x 2x x > 11 KPK dari 2 dam 5 3x 3 > 11 3 x > 3 2 3

41 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 41 Latihan 13 Tentukan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan berikaut ini! x + 3 > x 3 > 5 2x x + 2 < p 1 < y 1 > 3 y y 1 > 1 (2y + 1) t > x x 1 > 1 5. p 3 x + 2 > p m+1 5 < m Grafik Penyelesaian Pertidaksamaan Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dapat ditunjukan pada garis bilangan yang disebut grafik penyelesaian. Pada garis bilangan, grafik penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dinyatakan dengan noktah. Perhatikan contoh-contoh penyelesaian persamaan-persamaan beserta grafiknya berikut ini!

42 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 42 Contoh 1. Tentukan grafik penyelesaian dari x > 3 untuk x variabel pada bilangan asli kurang dari 7. Jawab Karena x > 3 dan x variabel pada bilangan asli kurang dari 7, maka pengganti dari x yang benar yaitu 4,5 dan 6. Grafik penyelesaiannya adalah 2. Tentukan grafik penyelesaian dari 3x 2 < x + 8, untuk x variabel pada bilangan positif Jawaban 3x 2 < x + 8 3x < x x < x x x < x x x < 10 2x < x < 5 Pengganti dari x yang benar adalah 1,2,3 dan 4. Grafik penyelesaiannya adalah

43 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 43 Latihan 14 Tunjukan Grafik, penyelesaian dari setiap pertidaksamaan berikut jika x adalah variabel pada bilangan 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4 dan x > x x x + 4 < 2x 3. x > 3 8. x 5 > 3X 1 4. x 0 dan x > X 2X x X > 3X Penerapan Pertidaksamaan dalam Kehidupan Untuk menyelesaikan soal-soal dalam bentuk cerita, terlebih dahulu soal tersebut diterjemahkan ke dalam bentuk pertidaksamaan, setelah itu baru diselesaikan. Jika perlu, buatlah diagram (sketsa) untuk mempermudah penyelesaiannya. Contoh 1. Panjang suatu persegi panjang 6 cm lebih dari lebarnya, dan kelilingnya kurang dari 40 cm. jika lebarnya x cm, susunlah pertidaksamaan dalam x dan selesaikan. Jawab Lebar = x cm, panjang = x + 6 cm Keliing = 2p + 21

44 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel Panjang suatu persegi panjang 6 cm lebih dari lebarnya, dan kelilingnya kurang dari 40 cm. jika lebarnya x cm, susunlah pertidaksamaan dalam x dan selesaikan. Jawab Lebar = x cm, panjang = x + 6 cm Keliing = 2p p + 21 < 40 2 x x < 40 x cm 2x x < 40 4x + 12 < 40 4x < (x + 6) 4x < 28 4x < x < 7 Karena panjang dan lebar tidak bernilai negatif, maka penyelesaiannya adalah 0 < x < 7

45 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel Setiap segitiga, jumlah panjang dua sisinya lebih dari panjang sisi ketiga. Segitiga A, B, C di samping, berlaku AC + BC > AB. susunlah pertidaksamaan dalam x, kemudian selesaikan! Jawab AC + BC > AB x x + 2 > x + 4 x + 1 x + 2 x + x > x + 4 2x + 3 > x + 4 2x x > 4 3 x + 4 x > 1 Jadi, agar AC + BC > AB, maka x > 1. Latihan 15 Selesaikan soal cerita berikut ini! 1. Seorang anak mengendarai sepeda sejauh 9x km, kemudian berjalan kaki sejauh x km, a. Tentukan jumlah jarak yang di tempuh dinyatakan dalam x. b. Jika jarak yang ditempuh seluruhnya kurang dari 30 km, susunlah pertidaksamaan dalam x, kemudian selesaikanlah. 2. Panjang diagonal-diagonal suatu jajaran-genjang adalah (2x 1) cm dan x + 5 cm. jika diagonal pertama lebih panjang dari diagonal kedua, susunlah pertidaksamaan dalam x kemudian selesaikan!

46 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 46 Daftar Pustaka Abdul kodir, Matematika untuk SMP jilid 7, 8, dan 10, Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, M. Cholik Adinawan Sugijono, Matematika untuk SMP jilid 1A Kelas VII, Jakarta : Erlangga. 2006

47 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 47 Biodata kelompok Nama : Taufik Maulana T Nama Panggilan : Taufik, Maulana, Opik & Topik Tempat, Tangal Lahir Alamat : Cirebon, 22 November 1994 : Blok. Petapean RT/RW 02/01 No.07 Ds. Kasugengan Kidul Kec.Depok Kab. Cirebon No.Hp : Taufik_mu22@yahoo.com Facebook : Taufikx MaulaNa Twitter Peran Dalam Kelompok : Berperan dalam pengerjaan editing, desain buku ajar, membantu pengetikan dan fasilitator. Motto Hidup : awali dengan Bismillah dan mencoba terus mencoba melakukan hal-hal kebaikan untuk menuju Kesuksesan.

48 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 48 Nama : Taufik Maulana Nama Panggilan : Taufik, Maulana, Opik & Topik Tempat, Tangal Lahir Alamat : Cirebon, 22 November 1994 : Blok. Petapean RT/RW 02/01 No.07 Ds. Kasugengan Kidul Kec.Depok Kab. Cirebon No.Hp : Taufik_mu22@yahoo.com Facebook : Taufikx MaulaNa Twitter Peran Dalam Kelompok : Berperan dalam pengerjaan editing, desain buku ajar, membantu pengetikan dan fasilitator. Motto Hidup : awali dengan Bismillah dan mencoba terus mencoba melakukan hal-hal kebaikan untuk menuju Kesuksesan.