Pendekatan Bayes dalam Model Poisson untuk Underreported Counts

Transkripsi

1 Pendekatan Bayes dalam Model Posson untuk Underreorted Counts Reny Ran Marlana, Setad Padmadsastra, Achmad Zanbar Soleh 3 Unverstas Padjadjaran Program Penddkan Magster Program Stud Statstka Teraan, Konsentras Statstka Sosal Emal : nhe_jul6@yahoocom, s_admadsastra@yahoocom, 3 a_zanbar_s@yahoocom Abstrak Peneltan n mengkaj mengena emodelan ada data enjualan roduk yang mengalam underreortng counts akbat dar keterlambatan nut data ke sales cycle Tujuan analss adalah untuk menaksr arameter model yatu banyaknya enjualan roduk yang sebenarnya Model yang dgunakan adalah hasl enggabungan antara dstrbus osson dan dstrbus bnomal yang dkembangkan oleh Wnkelmann (996) Penaksran arameter model dlakukan melalu endekatan bayes dan smulas Markov Chan Monte Carlo menggunakan algortma gbbs samlng Penaksran arameter model akan bergantung ada enentuan burn n erod yang dlakukan sejalan dengan emerksaan konvergens algortma melalu trace lot, autocorrelaton lot dan ergodc mean lot Analss yang dlakukan menunjukkan bahwa enentuan burn n erod lebh mudah dlakukan melalu ergodc mean lot Pada akhrnya taksran arameter model yang deroleh adalah rata-rata nla samel hasl smulas yang dhtung dar teras setelah burn n erod sama dengan teras terakhr Kata Kunc : Underreorted counts, Model Posson, Bayesan, Gbbs samlng, MCMC Pendahuluan Msreortng counts daat terjad dalam seta sstem elaoran L et al (dalam Parara, 00) menyatakan bahwa dalam sebuah model, msreortng terjad jka laoran seorang ndvdu terhada banyaknya kejadan yang damat berbeda dar nla yang sebenarnya Dengan demkan, msreortng counts terbag menjad dua, yatu underreortng counts dan overreortng counts Underreortng adalah sebuah masalah yang daat terjad saat engumulan data, ketka encacahan sebuah kejadan, untuk beberaa alasan menjad tdak lengka (Neubauer, 0) Underreorted counts terjad jka banyaknya kejadan yang damat, dlaorkan lebh kecl dar banyaknya kejadan yang sebenarnya Sebalknya, overreorted counts terjad jka banyaknya kejadan yang sedang damat dlaorkan melebh dar banyaknya kejadan yang sebenarnya Pada eneltan yang dlakukan, underreorted counts terjad sebaga akbat dar keterlambatan nut data enjualan roduk yang terjad secara berulang ada sstem elaoran yang dsebut dengan sales cycle Inut data enjualan roduk akan secara langsung mengurang reka stock roduk tersebut d toko terkat, sehngga terjadnya underreortng counts secara tdak langsung akan menyebabkan terjadnya overreortng counts terhada reka stock roduk tersebut d toko terkat Hal n meruakan faktor enyebab utama terjadnya kekelruan dalam rencana roduks selanjutnya dan kekelruan dalam endstrbusan roduk Untuk daat mengurang resko tersebut erlu dlakukan enaksran banyaknya enjualan roduk yang sebenarnya

2 Jelas bahwa, sebaga konsekuens dar terjadnya underreortng adalah enjualan roduk yang dlaorkan hanyalah bagan dar enjualan roduk yang sebenarnya Sehngga terdaat enjualan roduk yang tdak terlaorkan (terlambat dnut ke sales cycle) Hal n memberkan engertan bahwa sebuah roduk yang terjual d sebuah toko akan mendaat dua kemungknan erlakuan dar admn yatu dnut ke sales cycle atau tdak Dalam statstka, besar kemungknan dnutnya sebuah roduk yang terjual d sebuah toko ke sales cycle daat dnyatakan dalam sebuah eluang Peluang n memlk nla yang berksar antara 0- Sementara dketahu ula bahwa enjualan roduk yang sebenarnya d sebuah toko dalam satu bulan adalah acak dan berksar antara 0- eces dengan rata-rata 4 eces er bulan Dalam statstka, kedua nformas tersebut daat dangga sebaga sebuah nformas ror yang daat dgunakan dalam enaksran enjualan roduk yang sebenarnya Banyaknya enjualan roduk (yang sebenarnya) dengaruh oleh kegatan dar enjualan roduk tu sendr Basu (dalam Snaga, 03) menyatakan bahwa faktor- faktor yang memengaruh kegatan enjualan, salah satunya adalah konds asar Berbedanya konds ekonom enduduk kota, lokas toko berada, akan memberkan engaruh terhada segmentas asar dan tngkat enjualan roduk d toko terkat Dengan demkan, untuk daat menaksr banyaknya enjualan roduk yang sebenarnya, derlukan sebuah analss yang daat memodelkan hubungan antara banyaknya roduk yang terjual (deroleh dar sales cycle) dengan tngkat jual toko yang melbatkan kedua nformas ror sebelumnya Selama n, emodelan dar sebuah data cacahan (count) serngnya, tdak melbatkan adanya kemungknan underreorted counts seert model regres osson dan model regres bnomal Dengan kata lan, kedua model tersebut daat dgunakan jka data cacahan dangga accurately reorted Sedangkan model untuk underreorted counts ertama kal derkenalkan dalam Moran s (95) characterzaton dan Rao-Rubn condton (964) (dalam Paadatos, 005) Kemudan, beberaa enelt telah mengembangkan model untuk underreorted counts, dantaranya model regres osson untuk underreorted counts yang dkembangkan oleh Wnkelmann (996), model regres bnomal negatf untuk underreorted counts yang dkembangkan oleh Mukhoadhyay (dalam Parara, 00) dan generalzed osson-osson mxture model yang daat dgunakan untuk msreortng counts (under, over dan accurately reorted) dkembangkan Parara (00) Dalam enaksran arameter model, Parara (00) menggunakan endekatan statstka klask yang hanya memanfaatkan nformas data samel melalu metode maksmum lkelhood Sementara, Wnkelmann (996) menggunakan endekatan statstka Bayesan dalam enaksran arameter model Penaksran arameter model dalam endekatan statstka Bayesan, dsamng memanfaatkan nformas data samel yang dreresentatfkan sebaga fungs lkelhood, juga memerhtungkan adanya nformas ror yang dreresentatfkan sebaga dstrbus ror Atas dasar nlah, enuls ngn melakukan kajan mengena endekatan bayes dalam model underreorted counts untuk menaksr banyaknya enjualan roduk yang sebenarnya Model Posson untuk Underreorted Counts Model untuk underreorted counts ertama kal dkenal dalam Moran s (95) characterzaton dstrbus osson (dalam Paadatos, 005) Moran (95) (dalam Paadatos, 005) menyatakan bahwa jka N dan N adalah varabel acak ndeenden no-degenerate yang

3 bernla non-negatf dan jka dstrbus bersyarat dar N (N + N = n) adalah bnomal dengan n N 0,, 0, untuk semua n N, arameter dan eluang sukses P N N n 0 maka dstrbus N, N dan N N n N, P N dan P N 0 0 adalah osson Dmana untuk Bentuk lan dar Moran s (95) characterzaton derkenalkan oleh Rao & Rubn (964) (dalam Paadatos, 005), dmana kebebasan N dan N dsebut sebaga Rao-Rubn condton yang ddefnskan sebaga : P N n N P N n n N 0, () Rao & Rubn (964) (dalam Paadatos, 005) menyatakan bahwa jka dstrbus dar N N N tdak terkonsentras ada 0 dan jka untuk semua n N dengan P N n 0, n n nn P N n N n, n 0,,, () n untuk 0, maka Rao-Rubn condton ada ersamaan () memberkan engertan bahwa N dan N berdstrbus osson dengan arameter dan dengan 0 Dengan kata lan, Rao-Rubn condton ada ersamaan () ekuvalen dengan kebebasan N dan N dbawah bnomal damage model (Paadatos, 005) Berkatan dengan underreorted counts, Rao-Rubn condton menunjukkan N sebaga observas yang dlaorkan (undamaged) sedangkan N N N sebaga observas yang tdak terlaorkan (damaged) sehngga N dan N adalah bagan dar varabel acak dskrt N Dengan demkan, jelas bahwa model underreorted counts meruakan model osson dengan arameter 0 3 Model Regres Posson untuk Underreorted Counts Seert Moran (95) dan Rao & Rubn (964) (dalam Paadatos, 005), model regres osson untuk underreorted counts yang dkembangkan oleh Wnkelmann (996) juga meruakan model hasl enggabungan antara dstrbus osson dan dstrbus bnomal Angga bahwa engamatan ke- Y adalah banyaknya kejadan yang damat ada waktu tertentu untuk unt Y dasumskan bergantung ada varabel ndeenden ex xβ osson dengan arameter untuk : Y 0,,, ;,,, n P Y y ex ex x β x β e y! x dan berdstrbus (3) 3

4 Kemudan, asumskan bahwa banyaknya kejadan yang damat ada waktu tertentu untuk unt engamatan ke- yang dlaorkan adalah Y dan berdstrbus bnomal dengan arameter Y dan y y y P Y Y, (4) y untuk : Y 0,,, ; Y 0,,, ;,,, n; 0 = eluang sebuah kejadan dlaorkan Underreorted counts terjad jka Y Y sehngga fungs dstrbus eluang margnal Y daat ddefnskan sebaga: 4 y, P Y y P Y y P Y y y y y y e y! y y y y y! e y dengan : Y 0,,, ; 0;,,, n; 0 = eluang sebuah kejadan dlaorkan y Dengan demkan model regres untuk underreorted counts meruakan model osson ex xβ dengan arameter Dalam enaksran arameter model untuk underreorted counts, beberaa enelt menggunakan endekatan statstka klask dan beberaa lannya menggunakan endekatan statstka Bayesan Dalam endekatan statstka klask, enaksran arameter seenuhnya mengandalkan roses nferens ada data samel yang dambl dar oulas Sementara, endekatan statstka Bayesan, dsamng memanfaatkan data samel yang deroleh dar oulas, juga memerhtungkan suatu dstrbus awal yang dsebut dengan dstrbus ror 3 Pendekatan Statstka Klask dalam Model Posson untuk Underreorted Counts Wnkelmann (996) menyebutkan bahwa arameter ada model underreorted counts tdak daat derlakukan sebaga arameter fxed dkarenakan model yang dhaslkan adalah model sngular dengan n+k arameter dengan n adalah ukuran data Dengan demkan, arameter dasumskan sebaga varabel acak dan mengkut sebuah dstrbus tertentu Oleh karena tu, enaksran akan sult dlakukan jka menggunakan endekatan statstka klask seert metode maksmum lkelhood Salah satu enelt yang menggunakan endekatan statstka klask dalam enaksran arameter model underreorted counts adalah Olkn et al (98) (dalam Moreno, 998) Olkn et al (98) mengunakan metode maksmum lkelhood dan metode momen dalam menaksr arameter model underreorted counts Penaksr yang dhaslkan sangat tdak stabl, dmana y y (5)

5 sebuah erubahan kecl dalam data menyebabkan erubahan besar ada taksran arameter model (Moreno, 998) Dengan demkan derlukan sebuah endekatan lan dalam enaksran arameter model, seert endekatan bayes 3 Pendekatan Bayes dalam Model Posson untuk Underreorted Counts Pendekatan statstka Bayesan memandang sebuah arameter dar sebuah model sebaga varabel acak yang memlk dstrbus yang dsebut dengan dstrbus ror Dar dstrbus ror selanjutnya daat dtentukan dstrbus osteror sehngga deroleh taksran Bayesan yang meruakan rata-rata dar dstrbus osteror Berkatan dengan enaksran arameter model underreorted counts, emlhan dstrbus ror yang dlakukan enelt-enelt adalah berbeda Draer & Guttman (97) (dalam Moreno, 998) mengasumskan bahwa arameter N dan ada ersamaan () adalah varabel acak ndeenden, dmana N berdstrbus unform dan berdstrbus beta Sementara, Raftery (988) (dalam Moreno, 998) mengasumskan bahwa N berdstrbus osson dengan arameter λ dan berdstrbus unform Sedangkan Wnkelmann (996) mengasumskan bahwa N dalam ersamaan () atau Y dalam ersamaan (4) berdstrbus osson dengan arameter exxβ dmana arameter β dasumskan berdstrbus normal dengan arameter µ dan σ, sedangkan dasumskan berdstrbus unform Sehngga dalam sebuah model regres untuk underreorted counts, dstrbus osteror yang deroleh Wnkelmann (996) ddefnskan sebaga :,, β, x, β β P y y P y y P y f f osteror lkelhood ror (6) Maka deroleh :, β,, β β P Y Y P Y Y P Y f f n ex ex y ex β μ β μ x β x β y y y y y! y! (7) dengan : Y 0,,, ; Y 0,,, ; 0 ; β ;,,, n Jelas bahwa sult untuk menentukan dstrbus osteror yang deroleh ada ersamaan (7), sehngga untuk memudahkan enaksran arameter model dlakukan smulas Markov Chan Monte Carlo (MCMC) Untuk tu, erlu dtentukan fungs eluang bersyarat dar masngmasng arameter sebaga berkut : P Y y y ˆ ex y x β y y! β,, Y (8) 5

6 y y y P Y, Y (9) n P β Y, Y ex β μ β μ ex y ex D β D β (0) dengan : Y 0,,, ; Y 0,,, ; 0 ; β ;,,, n Menurut Johnson & Kotz (dalam Wnkelmann, 996) fungs eluang bersyarat arameter Y ada ersamaan (8) meruakan sebuah dslaced osson dstrbuton yatu : Y Y ~ Posson ex y xβ () Sementara melalu endekatan conjugate fungs eluang bersyarat arameter ada ersamaan (9) daat dasumskan berdstrbus beta dengan arameter y y y, Namun, famly dstrbus dar fungs eluang bersyarat arameter β tdak dketahu sehngga dalam enaksran arameter β menggunakan algortma Random-Walks Metrools Hastngs 33 Markov Chan Monte Carlo (MCMC) Teknk MCMC dlakukan berdasarkan ada enyusunan ranta markov yang konvergen secara ceat (stasoner) ada dstrbus osteror MCMC membangktkan data samel arameter θ yang memlk dstrbus tertentu melalu sebuah algortma dan dlakukan secara teras, dmana nla seta langkah bergantung ada satu langkah sebelumnya Salah satu algortma yang serng dgunakan dalam MCMC adalah gbbs samlng Gbbs samlng bsa dterakan aabla dstrbus bersyarat dar ta-ta arameter dketahu Oleh karena fungs eluang bersyarat dar masng-masng arameter model underreorted counts dketahu maka enaksran daat dlakukan melalu algortma gbbs samlng dengan langkah-langkahnya adalah sebaga berkut : 0 Y Penentuan nla awal arameter model Tentukan ukuran teras T 3 Lakukan smulas untuk t =,,, T melalu beberaa langkah berkut: 0 0 β t t t a Bangktkan kanddat nla baru Y dar Y β,, Y b Bangktkan kanddat nla baru t dar c Bangktkan kanddat baru arameter t t Y, Y t β dar t t β Y, Y melalu algortma Random- Walks dengan N D 4 Perbaharu nla-nla arameter model dar nla-nla hasl smulas 5 Perksa konvergens algortma melalu Autocorrelaton lot, Trace lot, Ergodc mean lot 6 Tentukan burn-n erod 7 Dar nla-nla smulas setelah burn n sama dengan teras terakhr htung : a Nla rata-rata dan standar devas dar arameter β β β V z dmana z ~ 0, I 6

7 b Nla rata-rata dan standar devas dar arameter untuk,,, n c Nla rata-rata dan standar devas dar arameter Y untuk,,, n 4 Data dan Hasl Penaksran Data yang dgunakan ada eneltan n adalah data laoran enjualan roduk d 08 toko erode bulan Agustus tahun 03 mlk sebuah erusahaan garmen Count varabel bernla antara -6 dengan rata-rata 5,44 dan standar devas 4,57 sedangkan varabel ndeenden adalah tngkat jual toko yang terdr atas kategor sangat tngg, tngg, rendah dan sangat rendah Oleh karena varabel ndeenden terdr atas 4 kategor maka emodelan dlakukan dengan menggunakan 3 buah varabel dummy Smulas enaksran arameter dalam model dlakukan dengan menggunakan bantuan R verson 5 dengan 5000 teras dan algortma yang telah djelaskan ada ada bagan 33 Pemerksaan konvergens dlakukan menggunakan trace lot, autocorrelaton lot dan ergodc mean lot Hasl emerksaan menunjukkan konvergens algortma telah tercaa dengan burn-n erod 3000 teras ertama Penentuan burn n erod dlakukan sejalan dengan emerksaan konvergens dan dlakukan melalu ergodc mean lot Ergodc mean lot yang dhaslkan menunjukkan bahwa nla ergodc mean dar nla-nla samel β, dan Y hasl smulas mula stabl setelah 3000 teras ertama Sehngga taksran arameter β, dan Y adalah rata- t t t rata dar nla-nla samel β, dan Y hasl smulas yang dhtung dar t 300,, 5000 Hasl enaksran arameter β daat dlhat ada Tabel 4 berkut : Tabel 4 Taksran Parameter Regres Parameter Taksran Stdev 0,999 0,4709,07 0,479 0,3876 0, ,774 0,4843 Dengan demkan daat dnyatakan bahwa rata-rata enjualan roduk yang sebenarnya erode bulan Agustus 03 meruakan fungs dar : ˆ,999+,07 D +0,3876 D +0,774 D3 E Y X e Sehngga, berdasarkan kategor tngkat jual toko taksran rata-rata enjualan roduk yang sebenarnya erode Agustus 03 daat dlhat ada tabel berkut : Tabel 4 Taksran Rata-Rata Penjualan Produk Berdasarkan Tngkat Jual Toko Tngkat Jual Toko Sangat Tngg Taksran X E Y Rata-Rata (cs),999+,07 E Y D, D 0, D3 0 e 7

8 Tngkat Jual Toko Tngg Rendah Sangat Rendah Taksran X E Y Rata-Rata (cs),999+0,3876 E Y D 0, D, D3 0 e,999+0,774 E Y D 0, D 0, D3 e 9,860 E Y D 0, D 0, D3 0 e 7 Tabel tersebut memberkan makna bahwa secara rata-rata banyaknya enjualan roduk erode Agustus 03 d toko yang memlk tngkat jual roduk yang sangat tngg adalah eces, d toko yang memlk tngkat jual roduk yang tngg adalah eces, d toko yang memlk tngkat jual roduk yang rendah adalah 9 eces dan d toko yang memlk tngkat jual roduk yang sangat rendah adalah 7 eces Sementara hasl enaksran enjualan roduk yang sebenarnya atau Y dan eluang sebuah roduk yang terjual dlaorkan (dnut ke sales cycle) atau berdasarkan kategor tngkat jual toko daat dlhat ada tabel berkut : Tabel 43 Ksaran Taksran Y dan Berdasarkan Tngkat Jual Toko Rata-rata Rata-rata Tngkat Jual ŷ std yˆ ˆ Toko std ˆ yˆ ˆ Stdev y yˆ Stdev yˆ y (cs) (cs) (cs) (cs) Sangat Tngg ,095-0,899 0,0655-0, Tngg ,83-0,909 0,0797-0, Rendah ,54-0,8830 0,0943-0, Sangat Rendah ,634-0,6790 0,04-0, Dengan demkan daat dsmulkan bahwa secara keseluruhan, rata-rata taksran enjualan roduk yang sebenarnya d toko dengan tngkat jual roduk yang sangat tngg berksar antara 7-6 eces dengan selsh 8-8 eces dbandngkan dengan enjualan roduk yang tercatat ada laoran (deroleh dar sales cycle), d toko dengan tngkat jual roduk yang tngg berksar antara 8-4 eces dengan selsh 3-8 eces, d toko dengan tngkat jual roduk yang rendah berksar antara 6- eces dengan selsh -7 eces dan d toko dengan tngkat jual roduk yang sangat rendah berksar antara 4-3 eces dengan selsh -9 eces 5 Saran Pada eneltan n, emodelan ddasarkan ada data yang dasumskan berdstrbus bnomal dengan arameter N dan yang mengkut sebuah dstrbus ror Parameter N dasumskan mengkut sebuah dstrbus osson sehngga dasumskan memlk rata-rata dan varans yang sama Namun, ada kenyataannya, arameter tersebut serng memlk nla ratarata dan varans yang berbeda 8

9 Dengan demkan, untuk engembangan eneltan selanjutnya dharakan menerakan model untuk underreorted counts yang daat mengatas kemungknan terjadnya overdsers atau underders dengan kajan emlhan dstrbus ror yang bak ula Dmana, model yang dterakan tersebut daat danalss secara nferensal dengan menggunakan taraf uj tertentu dan daat dgunakan untuk komonen sstematk yang multvarat 6 Ucaan Termakash Peneltan n tdak daat terselesakan tana bmbngan, bantuan dan dorongan dar berbaga hak, untuk tu enuls menyamakan rasa terma kash yang sebesar-besarnya keada Kementran Penddkan dan Kebudayaan, Drektorat Jenderal Penddkan Tngg (DIKTI) atas kesematan dan bantuan dana enddkan dan eneltan melalu rogram Beasswa Unggulan Calon Dosen 0 7 Daftar Pustaka Agrest, Alan 996 An Introducton to Categorcal Data Analyss John Wley &Sons, Inc, New York Bolstad, Wllam M 007 Introducton to Bayesan Statstcs, Second Edton John Wley &Sons, Inc, New Jersey Cameron, A Colln & Pravn K Trved 998 Regresson Analyss of Count Data Cambrge Unversty Press, New York Dobson, Annette J 983 Introducton to Statstcal Modellng Chaman and Hall, Ltd, London Irawan, Nur 006 Bayesan : Sngle Parameter Insttut Teknolog Surabaya, Surabaya Irwant, Les K Moch Abdul M & Rta R 0 Pembangktan Samel Random Menggunakan Algortma Metrools-Hastngs Jurnal Gaussan, Volume, Nomor, Halaman Moreno, Elas & Javer Gron 998 Estmatng wth Incomlete Count Data, A Bayesan Aroach Journal of Statstcal Plannng and Inference 66, Neubauer, Gerhard Goardana Djuras & Herwg Fred 0 Models for Underreortng : A Bernaull Samlng Aroach for Reorted Counts Austran Journal of Statstcs, Volume 40, Number &, 85-9 Ntzoufras, Ioanns 009 Bayesan Modelng Usng WnBUGS John Wley & Sons, Inc New Jersey Paadatos, Nckos 005 Characterzatons of Dscrete Dstrbutons Usng The Rao-Rubn Condton Journal of Statstcal Plannng and Inference 35, -8 Parara, Marvs Felx Famoye & Carl Lee 00 Generalzed Posson-Posson Mxture Model for Msreorted Counts wth an Alcaton to Smokng Data Journal of Data Scence 8, Scollnk, Davd PM 006 A Damage Generalzed Posson Model and Its Alcaton to Reorted and Unreorted Accdent Counts Astn Bulletn 36(): Snaga, Ulysa I 03 Faktor Faktor yang Memengaruh Volume Penjualan Seeda Motor Honda Varo ada PT Caella Dnamk Nusantara Pekanbaru Unverstas Neger Rau, Pekanbaru Wnkelmann, Raner 996 Markov Chan Monte Carlo Analyss of Underreorted Count Data Wth an Alcaton to Worker Absenteesm Emrcal Economs :