ALGORITMA UJI KOMPOSIT BERDASARKAN TEOREMA KONGRUENSI FERMAT DAN TEOREMA STRONG PSEUDOPRIME. Oleh: BANGUN JATI KUSUMO G

Transkripsi

1 ALGORITMA UJI KOMPOSIT BERDASARKAN TEOREMA KONGRUENSI FERMAT DAN TEOREMA STRONG PSEUDOPRIME Oleh: BANGUN JATI KUSUMO G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 006 1

2 ALGORITMA UJI KOMPOSIT BERDASARKAN TEOREMA KONGRUENSI FERMAT DAN TEOREMA STRONG PSEUDOPRIME Skripsi Sebgi slh stu syrt untuk memperoleh gelr Srjn Sins P Fkults Mtemtik n Ilmu Pengethun Alm Institut Pertnin Bogor Oleh : BANGUN JATI KUSUMO G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 006

3 RINGKASAN BANGUN JATI KUSUMO Algoritm Uji Komposit Bersrkn Teorem Kongruensi Fermt n Teorem Strong Pseuoprime Dibimbing oleh SUGI GURITMAN n SISWANDI Dlm menentukn pkh sutu bilngn bult positif gnjil m merupkn bilngn komposit tu bukn, iperlukn sutu uji Uji tersebut inmkn uji komposit Uji Komposit I lh uji yng isrkn p Teorem Kongruensi Fermt Input ri uji ini lh bilngn bult m n sebgi bsis Jik uji berhsil mk m pt iktkn sebgi bilngn komposit Jik tik, mk m iktkn bilngn iug prim berbsis, imn lh nggot ri himpunn bilngn-bilngn bult moulo m yng reltif prim engn m Uji Komposit II lh uji yng isrkn p Teorem Strong Pseuoprime Input ri uji ini lh bilngn yng tik pt itentukn kekompositnny menggunkn Uji Komposit II, yitu bilngn iug prim berbsis Jik uji berhsil mk m merupkn bilngn komposit n isebut bilngn prim semu berbsis Jik tik, mk m iktkn bilngn iug kut prim berbsis Uji Crmichel lh uji untuk menentukn pkh sutu bilngn merupkn bilngn Crmichel tu bukn Input ri uji ini lh m bilngn prim semu berbsis Jik uji berhsil mk bilngn tersebut merupkn bilngn Crmichel Jik tik, mk bilngn tersebut merupkn bilngn prim semu berbsis Uji komposit III lh Uji Diug Kut Prim engn bsis yng telh itentukn, yitu:, 3, 5, n 7 Input ri Uji ini lh bilngn iug kut prim berbsis Jik uji berhsil mk m pt iktkn sebgi bilngn komposit Jik tik, mk m isebut bilngn iug kut prim berbsis, 3, 5, n 7 yng merupkn hsil khir ri tulisn ini Bilngn komposit n iug kut prim berbsis isebut bilngn prim semu kut berbsis Ji bilngn komposit ri Uji Komposit III merupkn bilngn prim semu kut berbsis 3

4 Juul Nm NRP : Algoritm Uji Komposit Bersrkn Teorem Kongruensi Fermt n Teorem Strong Pseuoprime : Bngun Jti Kusumo : G Menyetujui, Pembimbing I Pembimbing II Dr Sugi Guritmn NIP Drs Siswni, M Si NIP Mengethui, Dekn Fkults Mtemtik n Ilmu Pengethun Alm Institut Pertnin Bogor Prof Dr Ir Yonny Koesmryono, MS NIP Tnggl Lulus : 4

5 RIWAYAT HIDUP Penulis ilhirkn i Jkrt p tnggl 1 Juni 198 sebgi nk pertm ri tig bersur Ayh bernm Nurhi (lmrhum) n Ibu bernm Puji Rhyu Penulis menyelesikn peniikn Sekolh Dsr p thun 1994 i SD Negeri Mngunsri 1 Mgelng, Sekolh Lnjutn Tingkt Pertm Negeri 7 Mgelng thun 1997, Sekolh Menengh Umum Negeri 1 Muntiln thun 000, n msuk Institut Pertnin Bogor mellui jlur UMPTN p thun 001 Penulis pernh menji nggot ktif lm himpunn profesi Gugus Mhsisw Mtemtik IPB sebgi ketu eprtemen humnior p thun 003 5

6 PRAKATA Puji syukur penulis pnjtkn kep Allh SWT yng sellu menji pust tujun hiup n rs syukur yng menlm kep Sng Guru Sejtiku, Muhmm SAW yng sellu memberikn pepng, tuntunn, n linungn, sehingg penulis pt menyelesikn kry ilmih ini Keterbtsn n ketiksempurnn membut penulis membutuhkn bntun, ukungn n semngt ri orng-orng secr lngsung tupun tik lngsung berkontribusi besr lm pembutn kry ilmih ini Oleh kren itu penulis ingin mengucpkn rs terim ksih yng sebesr-besrny kep ibu yng sellu memberikn ksih syng, semngt n o Almrhum Bpk Nurhi ts petuh-petuh bijkny wktu itu Bpk Sugi Guritmn n Bpk Siswni yng engn sbr telh membimbing n mengrhkn selm penulisn kry ilmih ini Dwicnr Ekstry yng telh memberi msukn n semngt Wn yng telh memberi ukungn n o Seluruh Dosen Deprtemen Mtemtik ts segl ilmu yng telh iberikn tnp lelh Stf n krywn TU Mtemtik IPB: Ms Yono, Ms Deni, Ibu Susi, Ibu Ae, Ms Bono, Ibu Mrisi, Pk Jun n Mbk Ynti yng senntis irepotkn Mtemtik ngktn 38 ts pershbtnny yng semog tik kn berkhir Sert seluruh pihk-pihk yng tik pt penulis sebutkn stu per stu Semog kry ilmih ini pt bermnft Bogor, Agustus 006 Bngun Jti Kusumo 6

7 DAFTAR ISI Hlmn DAFTAR BAGAN DAN GRAFIK vii DAFTAR LAMPIRAN vii PENDAHULUAN 1 11 Ltr Belkng 1 1 Tujun penulisn 1 LANDASAN TEORI 1 1 Keterbgin, 1 Teorem Fermt n Teorem Strong Pseuoprime UJI KOMPOSIT I 4 31 Penentun bilngn bult m 4 3 Penentun bilngn bult 4 34 Bilngn iug prim berbsis 4 UJI KOMPOSIT II 5 41 Menentukn bilngn bult x 5 43 Bilngn iug kut prim berbsis 5 44 Bilngn prim semu berbsis 6 UJI CARMICHAEL 7 51 Definisi bilngn Crmichel 7 5 Algoritm Uji Crmichel 7 UJI DIDUGA KUAT PRIMA 8 61 Algoritm Uji Diug Kut Prim 8 UJI KOMPOSIT III 9 71 Algoritm Uji Komposit III Bilngn iug kut prim berbsis, 3, 5, n 7 10 PENENTUAN BILANGAN 10 8 Bilngn prim semu kut berbsis 10 SIMPULAN DAN SARAN 1 91 Simpuln 1 9 Srn DAFTAR PUSTAKA 13 LAMPIRAN 14 7

8 DAFTAR BAGAN DAN GRAFIK Hlmn Bgn 1 : Klsifiksi Uji Komposit I 5 Bgn : Klsifiksi Uji Komposit II 7 Bgn 3 : Himpunn bilngn komposit, prim semu, n iug kut berbsis 7 Bgn 4 : Letk bilngn Crmichel 8 Bgn 5 : Penentun bilngn menji lim mcm 11 Bgn 6 : Posisi bilngn-bilngn hsil Penentun Bilngn 11 Bgn 7 : Semu uji yng telh ilkukn 1 Grfik 1 : Bnykny bilngn komposit p setip selng stu jut 0 Grfik : Bnykny bilngn prim semu berbsis p setip selng stu jut 0 Grfik 3 : Bnykny bilngn prim semu kut berbsis p setip selng stu jut 1 Grfik 4 : Bnykny bilngn Crmichel p setip selng stu jut 1 Grfik 5 : Bnykny bilngn iug kut prim berbsis, 3, 5, n 7 1 Grfik 6 : Persentse bnykny bilngn gnjil ntr DAFTAR LAMPIRAN Hlmn Lmpirn A : Algoritm Kongruensi Bilngn Pngkt n implementsiny 15 Lmpirn B : Algoritm engn bntun perngkt lunk Mtemtic Lmpirn C : Tbel n grfik hsil uji komposit 0 Lmpirn D : Beberp bilngn Crmichel n prim semu kut berbsis 8

9 Ltr Belkng Dlm menentukn pkh sutu bilngn bult positif m merupkn bilngn komposit tu bukn, iperlukn sutu uji Uji tersebut inmkn uji komposit Teorem Fermt n Teorem Strong Pseuoprime [SPP] kn igunkn sebgi lnsn teori p beberp uji komposit yng kn ilkukn Bilngn bult positif m iktkn komposit jik memenuhi kontrposisi ri Teorem Fermt terhp bsis, imn lh nggot ri himpunn bilngnbilngn bult moulo m yng reltif prim engn m Jik m tik memenuhi kontrposisi Teorem Fermt mk m isebut bilngn iug prim berbsis Kemuin bilngn yng telh ikethui iug prim berbsis pt itentukn kekompositnny menggunkn Teorem SPP Jik m memenuhi kontrposisi Teorem SPP mk m lh bilngn komposit Jik tik, mk m isebut bilngn iug kut prim berbsis Selnjutny bilngn iug kut prim berbsis kn itentukn kekompositnny engn cr menggnti bsisny engn bilngn-bilngn yng telh itentukn, yitu, 3, 5, n 7 Bilngn iug kut prim berbsis, 3, 5, n 7 lh hsil khir ri tulisn ini Bilngn prim semu mutlk m lh bilngn komposit yng tik pt itentukn kekompositnny hny menggunkn Teorem Fermt terhp setip bsisny yng reltif prim engn m Bilngn prim semu mutlk ibicrkn BAB I PENDAHULUAN pertm kli oleh Korslet p thun 1899 nmun Korslet tik pt memberikn contohny Hingg p thun 1910 Robert Dniel Crmichel pertm kli menemukn bilngn prim semu mutlk pertm n terkecil yitu 561 n iberi nm bilngn Crmichel Dlm sejrh perkembngn bilngn Crmichel, Pul Eros pernh memberikn rgumen bhw sehrusny bilngn Crmichel memiliki tk hingg jumlhny P 1994, Willim Alfor, Anrew Grnville n Crl Pomernce menunjukkn bhw tk hingg bilngn Crmichel Hingg st ini suh ikethui Bilngn Crmichel ntr Bilngn Crmichel pt jug igunkn lm proses pembutn t enkripsi untuk membngun sebuh kunci n pt igunkn pul p pliksi grf [Wikipei, 006] 1 Tujun Tujun ri penulisn ini lh: 1 Mengkji beberp teorem yng berkitn engn penentun pkh bilngn bult positf gnjil lh komposit tu bukn Mempeljri lgoritm-lgoritm yng igunkn untuk menentukn bilngn komposit, bilngn prim semu berbsis, bilngn prim semu kut berbsis, bilngn iug kut prim berbsis, 3, 5, n 7 sert bilngn Crmichel BAB II LANDASAN TEORI Dlm tulisn ini secr khusus kn ibicrkn bilngn bult Himpunn bilngn bult inotsikn engn Z Berikut lh spek teoritis yng menji lnsn teori bgi penulisn tugs khir ini 1 Keterbgin, Bilngn Prim, Moulo, Pembgi Bersm Terbesr, Reltif Prim, n Kongruensi Definisi 11 (Keterbgin) Bilngn bult b iktkn terbgi oleh bilngn bult ( 0), jik bilngn bult x seemikin sehingg b= x n itulis b Apbil b tik terbgi oleh, mk itulis Fb [Niven,1991] Definisi 1 (Bilngn Prim) Sebuh bilngn bult p ( p ) iktkn sebgi bilngn prim jik p hny terbgi oleh stu n iriny seniri Selinny, isebut bilngn komposit [Menezes,1997] 9

10 Definisi 13 (Himpunn Bilngn Bult Moulo m) Himpunn bilngn bult moulo m, inotsikn Z, merupkn sutu himpunn m ri bilngn-bilngn bult {0,1,,3,,m-1} [Menezes,1997] Opersi p penjumlhn, pengurngn, n perklin bilngn bult moulo m bersift tertutup lm Z m Contoh Untuk m= 3 1 Himpunn bult moulo tig lh Z 3 = {0,1, } Opersi penjumlhn yng berlku: 0+ 1= 1, 1+ = 0, + = 1 Opersi pengurngn yng berlku: 1= 1, 1 = Opersi perklin yng berlku: 1=, = 1, 11= 1 Definisi 14 (Pembgi Bersm) Sutu bilngn bult c isebut pembgi bersm ri bilngn n bilngn b jik c n c b [Niven,1991] Definisi 15 (Pembgi Bersm Terbesr) Sutu bilngn bult tk negtif iktkn pembgi bersm terbesr ri bilngn bult n b, jik : 1 lh pembgi bersm ri n b, n Jik c Z imn c n c b, mk c Bisny pembgi bersm terbesr ri n b inotsikn engn = (, b) [Menezes,1997] Definisi 16 (Reltif Prim) Bilngn n b iktkn reltif prim jik (, b ) = 1n bilngn-bilngn 1,,, n iktkn reltif prim jik ( 1,,, n ) = 1 Bilngn-bilngn 1,,, n iktkn reltif prim berpsngn jik (, ) = 1 untuk setip i= 1,,3, n n j= 1,,3, n engn i j [Niven,1991] i j Definisi 17 (Kongruensi) Mislkn, b n m bilngn bult, engn m> 0 Bilngn iktkn kongruen terhp b moulo m, inotsikn engn b(mo m), jik m membgi ( b) Bilngn bult m isebut moulus ri kongruensi [Menezes,1997] Definisi 18 (Sistem Resiu Lengkp Moulo m) Jik x y(mo m), mk y iktkn resiu ri x moulo m Himpunn x, x, x,, x 1 3 isebut sistem resiu lengkp moulo m jik untuk setip bilngn bult y stu n hny stu x j m seemikin sehingg y x j (mo m), engn j = 1,,3,,m [Niven,1991] Definisi 19 (Sistem Resiu Tereuksi Moulo m) Sutu sistem resiu tereuksi moulo m lh himpunn ri bilngn-bilngn bult T= { x1, x,, x r }, engn r m seemikin sehingg berlku: i ( x T)( m, x ) = 1, i i ii Jik i j mk x T x (mo m), n iii Jik x Z n ( x, m ) = 1, mk i (! xi T ) xi x(mo m) [Niven,1991] Teorem Fermt n Teorem SPP Teorem 1 (Sistem Resiu Tereuksi n Lengkp Moulo m) Mislkn (, m ) = 1 n mislkn r, r, r,, r lh sistem resiu lengkp 1 3 n moulo m tu sistem resiu tereuksi moulo m mk r, r, r,, r lh jug 1 3 sistem resiu lengkp tu sistem resiu tereuksi moulo m [Niven,1991] Teorem (Sift Kongruensi) Mislkn, b, c, lh bilngn bult, mk: 1 Ketig pernytn berikut ekuivlen : i b(mo m), ii b (mo m), n iii b 0(mo m) j n 10

11 Jik b(mo m) n b c(mo m) mk c(mo m) 3 Jik b(mo m) n c (mo m) mk + c(mo m) b+ (mo m) 4 Jik b(mo m) n c (mo m) mk c b(mo m) 5 Jik b(mo m) n m, > 0 mk b(mo ) 6 Jik b(mo m) mk c bc(mo m) untuk setip bilngn bult positif c [Niven,1991] Teorem 3 (Kongruensi Pembgin) Mislkn, x, y lh bilngn-bilngn bult, jik x y(mo m) n (,m)=1 mk x y(mo m) [Niven,1991] Teorem 4 (Generlissi Euler ri Teorem Fermt) Jik (,m)=1 mk φ( m) 1(mo m), engn φ ( m) lh bilngn bult positif kurng tu sm engn m yng reltif prim engn m [Niven,1991] Bukti Mislkn r 1, r, r 3,, r φ( m) lh sistem resiu tereuksi moulo m, mk engn Teorem 1, r 1, r, r 3,, r φ( m) lh jug sistem resiu tereuksi moulo m Dengn emikin koresponensi setip r i lh stu n hny stu r yng j seemikin sehingg r r (mo m) Selnjutny i r yng berbe kn i menptkn koresponensi berbe ri r Ini berrti bhw bilngn r 1, r, r 3,, r φ( m) hny j merupkn resiu moulo m ri r 1, r, r 3,, r φ( m) Dengn menggunkn Teorem bgin 4, pt iperoleh: φ ( m) φ ( m) ( r ) r (mo m) j j= 1 i= 1 i j Selnjutny: φ ( m) φ ( m) φ ( m) j j j= 1 j= 1 ( r ) r (mo m) Sekrng ( r j,m)=1 Dengn emikin pt igunkn Teorem 3 bgin untuk menghilngkn r j Dri sini iperoleh bhw φ ( m) 1(mo m) Dri Teorem 4 pt iperoleh teorem berikut Teorem 5 (Kongruensi Fermt) Jik p merupkn bilngn prim mk Z yng memenuhi (,p)=1, berlku p 1 1(mo p) [Niven,1991] Bukti Teorem Fermt Dikethui (, p ) = 1, oleh kren itu menurut φ ( p ) Teorem 4 ipt 1(mo p) Semu bilngn bult 1,,3,,p-1 lh reltif prim engn p Ji kit menptkn bhw φ ( p) = p 1 Teorem 6 (Fktor Pembgi) Jik p b, engn p lh prim, mk p tu p b Umumny, jik p,,,, mk p membgi seikitny 1 3 n stu fktor ri i [Niven,1991] Teorem 7 (Teorem Strong Pseuoprime (SPP)) Jik p sutu bilngn prim, mk berlku x 1(mo p) x ± 1(mo p), engn x lh bilngn bult [Niven,1991] Bukti Teorem SPP Bentuk kongruensi pngkt i ts pt iekspresikn x 1 0(mo p) Bentuk tersebut setr engn bentuk ( x+ 1)( x 1) 0(mo p) Dri bentuk terkhir pt iktkn bhw p ( x+ 1)( x 1) Bersrkn Teorem 6, p ( x+ 1)( x 1) pt itulis sebgi p ( x + 1) tu p ( x 1), sm rtiny engn x 1(mo p ) tu 11

12 x 1(mo p ) Seblikny, jik slh stu ri bentuk u kongruensi terkhir benr, engn menggunkn Teorem bgin 4 mk ipt bhw x 1(mo p) BAB III PEMBAHASAN Kontrposisi Teorem SPP igunkn sebgi lnsn teori uji komposit p pembhsn Uji Komposit I Bersrkn Teorem 5 (Kongruensi Fermt) iperoleh kontrposisiny, yitu: Teorem 31 (Uji Komposit I): Jik Z memenuhi (, m ) = 1 n m 1 berlku T1(mom) mk m lh bilngn komposit Teorem 31 kn igunkn sebgi lt untuk menguji kekompositn ri sutu bilngn bult positif m Bersrkn Definisi 1 (bilngn prim) mk uji hny kn ilkukn p bilngn bult positif lebih besr ( m> ) Kren telh ikethui bhw bilngn prim genp hny stu yitu mk uji hny kn ilkukn p bilngn gnjil Pelksnn Uji Komposit I beberp thp, yitu: i Menentukn bilngn bult yng imbil ri nggot bilngn-bilngn bult moulo m, ji [0, m 1] Selnjutny isebut bsis ri m ii Bilngn bult hrus reltif prim engn m ( (,m)=1) Jik = 0 mk pt ibikn kren 0 ipngktkn berppun kn menghsilkn 0, tik menghsilkn kesimpuln Jik = 1 mk jug pt ibikn kren 1 ipngktkn berppun kn tetp sm engn 1 Jik = mk jug pt ibikn kren setr engn -1 p bilngn moulo m n merupkn bilngn genp kren m lh bilngn gnjil, sehingg -1 pngkt bilngn genp kn menji 1 Ji, jik = {0,1, } mk kit tik kn memperoleh hsil ppun p Uji Komposit I ini Ji = {0,1, m 1} tik igunkn sebgi lt uji Dengn emikin [, m ] m 1 iii Menguji pkh T 1(mo m) Jik uji berhsil mk m merupkn bilngn komposit Jik tik (berrti m 1 1(mo m) ), mk tik pt imbil kesimpuln ppun ri uji komposit I n m isebut bilngn iug prim berbsis m 1 Untuk menentukn pkh T 1(mo m) igunkn AKBP (liht Lmpirn A) Contoh 1 Mislkn m= 1763, pkh m lh bilngn komposit? Cr penyelesinny lh sebgi berikut: 1 Ambil = [,1761] (,1763) = mo 1763, itentukn menggunkn AKBP Ji 1763 lh bilngn komposit Tik selmny Uji Komposit I ini berhsil Contoh Mislkn m= 1387, pkh m lh bilngn komposit? Cr penyelesinny lh sebgi berikut: 1 Ambil = [,1385] (,1387) = (mo 1387), itentukn menggunkn AKBP Ji 1387 merupkn bilngn iug prim berbsis Sejuh ini bilngn bult gnjil m telh pt itentukn menji u mcm yitu bilngn komposit n bilngn iug prim berbsis (liht Bgn 1) Jik p Uji Komposit I ipt hsil bhw m merupkn bilngn iug prim berbsis mk u cr yng pt ilkukn selnjutny untuk menentukn kekompositnny Pertm, lh engn menggnti bsisny hingg ipt bhw m lh bilngn komposit, nmun cr ini tik efisien untuk bilngn m yng besr Keu, engn melkukn uji komposit yng lin, yitu Uji Komposit II 1

13 Untuk menentukn pkh x yng memenuhi Teorem 3 igunkn AKBP (liht Lmpirn A) Bgn 1 Klsifiksi uji komposit I Uji Komposit II Bersrkn Teorem 7 (SPP) iperoleh kontrposisiny, yitu: Kontrposisi Teorem 7: Jik ( x 1(mo m) xt± 1(mo m) ) tu ( x T1(mo m ) xª ± 1(mo m) ), mk m lh komposit Untuk kepentingn Uji Komposit II mk kontrposisi Teorem 7 (SPP) hny kn igunkn sebgin Teorem 3 (Uji Komposit II) Jik x 1(mo m) n xt ± 1(mo m) mk m lh bilngn komposit Uji Komposit II merupkn kelnjutn ri Uji Komposit I, sehingg input ri uji ini lh bilngn iug prim berbsis yng iperoleh ri Uji Komposit I Ji kit memiliki bilngn m seemikin sehingg bilngn bult [, m ] yng memenuhi (, m ) = 1 m 1 n berlku 1(mo m) Selnjutny nili x yng memenuhi m 1 Teorem 3 itentukn ri yng nili pngktny ibgi secr berulng hingg ipt x yng iinginkn tu hingg pngktny tik pt ibgi lgi 4 n ( x {,,,, }, n n lh bilngn gnjil) Jik tik ipt x yng iinginkn mk m isebut bilngn iug kut prim berbsis Ilustrsi : Lngkh 1 Mislkn x = m sehingg 1 1(mo ) x1= n x1 = (mo m) ihitung menggunkn AKBP A 3 kemungkinn ri nili x 1, yitu: Jik x 1 T± 1(mo m) mk nili x yng memenuhi Teorem 3, yitu x= Ji m lh bilngn komposit b Jik x1 1(mo m), mk m lh bilngn iug kut prim kren tik x yng memenuhi Teorem 3 Pencrin nili x ihentikn c Jik x1 1(mo m), mk kit belum menpt kesimpuln ppun n perhitungn ilnjutkn ke lngkh Lngkh Dri lngkh sebelumny telh ikethui bhw x1 1(mo m) 4 Mislkn x= x x = Hitung nili 4 1 x = (mo m) engn AKBP A 3 kemungkinn ri nili x, yitu: Jik xt ± 1(mo m) mk nili x yng memenuhi Teorem 3, yitu 4 x= Ji m lh bilngn komposit b x 1(mo m), mk m lh bilngn iug kut prim kren tik x yng memenuhi Teorem 3 Pencrin nili x ihentikn c x 1(mo m), mk kit belum menpt kesimpuln ppun Lngkh-lngkh selnjutny lh sm seperti lngkh keu (engn menggnti xi= x, i= 3, 4,5, n ), jik sellu iperoleh hsil lh bgin c Lngkh ihentikn ketik pngkt ri lh gnjil sehingg tik pt ibgi lgi P lngkh tersebut hny kemungkinn Lngkh n Dri lngkh sebelumny telh ikethui bhw x n 1 1(mo m) 13

14 n Mislkn x = n 1 x n x = n, engn lh bilngn gnjil Hitung nili n n x = (mo m) engn AKBP A u n kemungkinn ri nili x n, yitu: Jik xnt± 1(mo m) mk nili x yng memenuhi Teorem 3, yitu n x= m lh bilngn komposit b xn ± 1(mo m), mk m lh bilngn iug kut prim kren tik x yng memenuhi Teorem 3 Pencrin nili x ihentikn Untuk lebih jelsny iberikn beberp contoh ksus Contoh 3 Mislkn m=1387, pkh m lh bilngn komposit? 1 Uji Komposit I Dri hsil p Contoh, ipt bhw 1387 lh bilngn iug prim berbsis Mislkn x = 1(mo1387) x 1= 51(mo1387) x1t ± 1(mo m), mk x engn 693 x= yng memenuhi Teorem 3 Ji m merupkn bilngn komposit Contoh i ts hny membutuhkn stu kli perhitungn Contoh 4 Mislkn m=1905, pkh m lh bilngn komposit? 1 Uji Komposit I Ambil = [,1903], 1904 (,1905)=1 1(mo1905) 1904 x 1= 1(mo1905) 3 Mislkn x = x mk nili ri (mo1905) x = Perhitungn ilnjutkn 4 Mislkn x (mo1905) = x mk nili ri x = Perhitungn ilnjutkn 5 Mislkn x = x mk nili ri (mo1905) x = Kren 38 x engn x= yng memenuhi Teorem 3, mk 1905 lh bilngn komposit Contoh i ts membutuhkn beberp kli perhitungn Contoh 5 Mislkn m=341, pkh m lh bilngn komposit? 1 Uji Komposit I Ambil = [, 339], 340 (,341)=1 1(mo 341) 340 x 1= 1(mo 341) 3 Mislkn x = x mk nili ri (mo 341) x = Perhitungn ilnjutkn 4 Mislkn x = x mk nili ri 3 85 x 3= 3(mo 341) Kren x 85 engn x= yng memenuhi Teorem 3 Ji 341 lh bilngn komposit Contoh i ts membutuhkn beberp kli perhitungn Contoh 6 Mislkn m= 047, pkh m lh bilngn komposit? 1 Uji Komposit I Ambil = [, 045], (,047)= (mo 047) 046 x 1= 1(mo 047) 3 Mislkn x = x mk nili ri (mo 047) x = Kren tik x yng memenuhi Teorem 3 mk lngkh ihentikn n m lh bilngn iug kut prim berbsis Contoh i ts hny membutuhkn stu kli perhitungn Uji Komposit II menghsilkn u klsifiksi bilngn yitu bilngn komposit n bilngn iug kut prim berbsis Bilngn komposit n bilngn iug prim berbsis isebut bilngn prim semu berbsis Kren input ri Uji Komposit II merupkn bilngn iug prim berbsis mk contohcontoh bilngn p Uji Komposit II i ts yng merupkn bilngn komposit (341, 1905, 1387) lh contoh bilngn prim semu Smpi Uji Komposit II ini bilngn bult gnjil telh pt itentukn menji tig mcm yitu bilngn komposit, bilngn prim semu berbsis n bilngn iug kut prim berbsis (bgn ) Letk ri bilngn komposit, prim semu berbsis n iug kut prim berbsis igmbrkn p bgn 3 i bwh Bilngn iug kut prim berbsis kn itentukn kemuin menggunkn Uji Komposit III Contoh bilngn-bilngn prim semu kut engn beberp bsis berbe i bwh 1000: 14

15 1 11,703 lh bilngn prim semu kut berbsis lh bilngn prim semu kut berbsis lh bilngn prim semu kut berbsis , 17 lh bilngn prim semu kut berbsis 6 5 5, 35, 703 lh bilngn prim semu kut berbsis 7 6 9, 65, 481, 511 lh bilngn prim semu kut berbsis , 11, 671, 703 lh bilngn prim semu kut berbsis 9 8 9, 91 lh bilngn prim semu kut berbsis 10 Bgn Klsifiksi uji komposit II Uji Crmichel Definisi Bilngn Crmichel: Mislkn m lh komposit Jik [, m ] yng memenuhi (,m)=1 m 1 berlku 1(mo m), mk m lh bilngn Crmichel [Menezes,1997] Input ri Uji Crmichel lh bilngnbilngn prim semu berbsis yng itentukn ri hsil uji komposit II Bersrkn Definisi Bilngn Crmichel kn ibut lgoritm uji Crmichel Algoritm Uji Crmichel : Input : m (m lh bilngn prim semu) Output : m lh bilngn Crmichel tu bukn 1 = Selm < m 1, lkukn: 11 Jik (, m ) = 1 mk m 1 1(mo m), 1 Jik pernytn i ts bernili benr mk = + 1, 13 Jik pernytn i ts bernili slh mk m lh bilngn prim semu berbsis sj Berhenti 3 Jik lngkh keu tik berhenti hingg ipt = m 1(mo m) mk m lh bilngn Crmichel Jik m lh bilngn Crmichel mk bilngn ini memiliki sift yng unik kren meskipun merupkn bilngn komposit, nmun benr-benr tik pt itentukn hny menggunkn Uji Komposit I p semu bsis yng reltif prim engn m Contoh kecil bilngn Crmichel pertm : 561, 1105, 179, 465, 81, 6601, lh bilngn Crmichel terkecil n memiliki tig fktor Dn contoh bilngn Crmichel pertm engn k=3,4,5,6,7,8,9 (k lh bnyk fktor ri bilngn Crmichel) Bgn 3 A = Himpunn bilngn iug prim berbsis, A-B = Himpunn bilngn iug kut prim berbsis, A B = Himpunn bilngn prim semu berbsis, B = Bilngn komposit k = = = = = =

16 = [Wikipei, 006] Bgn 4 Letk bilngn Crmichel A = Himpunn bilngn iug prim berbsis, A-B = Himpunn bilngn iug kut prim berbsis, A B = Himpunn bilngn prim semu berbsis, B = Bilngn komposit, n C = Bilngn Crmichel Bilngn Crmichel mengmbil tempt p bgin bilngn prim semu berbsis Disertkn hsil Uji Crmichel (p Lmpirn D) untuk bilngn bult ntr stu hingg u puluh jut Uji Diug Kut Prim Uji ini ibngun bersrkn Teorem 31 n Teorem 3 P prinsipny uji ini hmpir sm engn Uji Komposit II hny berbe p teknik penentun x yng memenuhi Teorem 3 P uji ini igunkn teknik terblik yng imuli ri, engn lh bilngn gnjil Agr lebih jels, perhtikn ilustrsi berikut: m 1 x itentukn ri (mom) hingg n (mom) engn ibgi secr berulng hingg tik pt ibgi lgi n = engn lh bilngn gnjil n m 1 (mom) 4 n (mom) (mom) j (mom) 1 j (mom) j (mom) (mom) (mom) Ji engn teknik terblik, x kn itentukn ri bilngn-bilngn:,, 4,, j (mo m ), engn j lh bilngn bult Dimuli ri n menggunkn Teorem (Sift Kongruensi) bgin 4: Jik b (mo m) mk b (mo m) Kit pt mengkonstruksi lgoritm iug kut prim Algoritm Diug Kut Prim: Input : Bilngn bult m 3 n [, m ] Output : m lh bilngn komposit tu iug kut prim berbsis 1 Cri nili j n engn lh bilngn gnjil, seemikin sehingg memiliki bentuk m 1= j Cri nili resiu ri (mo m ) engn AKBP Jik ± 1(mo m) mk m lh bilngn iug kut prim berbsis, berhenti 3 Kurtkn menji, cri reuksi nili ri (mo m ) menggunkn AKBP Jik 1(mo m) mk m lh bilngn komposit, berhenti Jik 1(mo m) mk m lh bilngn iug kut prim berbsis Berhenti 4 Ulngi lngkh tig engn menggnti nili j engn,,,, 5 Jik lngkh i ts telh ilkukn n tik menptkn hsil mk m lh bilngn komposit [Niven,1991] Ilustrsi lgoritm iug kut prim: Lngkh 1 11 Jik p perhitungn wl ipt ± 1(mo m) mk m lh bilngn iug kut prim berbsis, berhenti Sebb tik nili x imn 4 j x {,,,, } yng memenuhi Teorem 3 Ilustrsi Lngkh 11: ± 1(mo m) 1(mo m) 16

17 j 1(mo m) 1(mo m) 1 Jik lngkh 11 tik berhsil mk lnjutkn ke lngkh Lngkh 1 Selm j x, lkukn: Dengn sumsi bhw perhitungn j 1 sebelumny ipt T ± 1(mo m), i (1 i j), mk hitung (mo m ) i 1 Jik ipt 1(mo m) mk m lh bilngn komposit, berhenti Ilustrsi lngkh 1: ± 1(mo m) 1 i i i+ 1 j T 1(mo m ) 1(mo m), (1 i j) 1(mo m) 1(mo m) 1(mo m) 1 i Artiny x engn x = yng memenuhi Teorem 3 Ji m lh bilngn komposit i Jik ipt 1(mo m) mk m lh bilngn iug kut prim berbsis, berhenti Ilustrsi : ± 1(mo m) 1 i i i+ 1 j T 1(mo m ) 1(mo m), (1 i j) 1(mo m) 1(mo m) 1(mo m) Artiny tik x seemikin sehingg x 1(mo p) xt± 1(mo p) 3 Jik lngkh 1 n tik berhsil mk i= i+ 1 Lngkh-lngkh selnjutny mengikuti lngkh jik sellu iptkn hsil 3 Lngkh n Jik hingg perhitungn 1 1 j tik j menpt hsil ( T 1(mo m)), mk m lh bilngn komposit Kren ppun hsil j ri pt itunjukkn bhw m lh bilngn komposit 1 Jik j 1(mo m) mk menurut 1 j Teorem 3 x= seemikin sehingg x memenuhi x 1(mo p) xt± 1(mo p) Ji m pt iktkn bilngn komposit Jik j T1(mo m ) setr engn m 1 T1(mo m ) n menurut Teorem 31 mk pt iktkn bhw m lh bilngn komposit Uji Komposit III Uji komposit III lh Uji Diug Kut Prim engn menggunkn beberp bsis yng berbe Dlm tulisn ini kn igunkn empt bilngn pertm yng telh kit kethui prim,yitu, 3, 5, n 7 Kren telh ikethui bhw keempt bilngn tersebut lh prim n bilngn bult selin bilngn prim i ts yng kurng ri tujuh ( m< 7 ) lh komposit mk Uji Komposit III ini kn mengmbil input m> 7 Pertm kren telh ikethui bhw keempt bilngn tersebut lh prim mk keempt bilngn tersebut hny pt ibgi oleh iriny n 1 Ji untuk mengethui pkh m> 7 reltif prim engn setip nggot ri himpunn A={,3,5,7} tu tik, lh cukup engn mencri kh i A, imn ( 1 i 4 ) yng membgi m Jik mk m tik reltif prim engn i, yng rtiny ( i,m)= i Jik ( i,m)= i mk i m Artiny 17

18 m lh komposit kren pt ibgi oleh i imn i 1 n i m ( m> 7 ) Jik m reltif prim engn setip nggot A mk lngkh selnjutny lh melkukn lgoritm iug kut prim engn setip nggot A sebgi bsisny Algoritm Uji Komposit III: Input : m> 7, engn m lh bilngn bult gnjil Output : m lh bilngn iug kut prim berbsis, 3, 5 n 7 tu m lh bilngn komposit 1 Bentuk, m 1= j seemikin sehingg lh bilngn gnjil i=1 3 Selm i 4, ikuti lngkh berikut: 31 A= {,3,5,7} i j 3 Hitung nili y= i (mo m) engn AKBP 33 Jik y 1 n y mk ikuti lngkh berikut: j= 1 Selm j 1 n y m 1 lkukn lngkh berikut: Hitung y y (mo m) Jik y= 1 mk m lh bilngn komposit, berhenti j= j+ 1 Jik y m-1 mk m lh bilngn komposit, berhenti 34 i= i+ 1 4 Jik lngkh 3 tik berhsil mk m lh bilngn iug kut prim berbsis, 3, 5 n7 Hsil ri Uji Komposit III ini lh bilngn komposit tu bilngn iug kut prim berbsis, 3, 5 n 7 yng merupkn hsil khir ri tulisn ini Uji ini igunkn untuk membntu penentun bilngn bult menggunkn Teorem 3 kn ilnjutkn Uji Crmichel kren input ri Uji Crmichel lh bilngn-bilngn prim semu Jik Uji Crmichel menentukn bhw bilngn m lh bilngn komposit mk m lh hny bilngn prim semu berbsis n jik uji berhsil mk kit menptkn bhw m lh bilngn Crmichel P penentun yng menghsilkn bilngn iug kut prim berbsis kn ilnjutkn engn Uji Komposit III yng merupkn bhsn selnjutny tulisn ini Jik menggunkn Uji Komposit III ipt hsil bhw sutu bilngn lh bilngn komposit mk bilngn tersebut isebut bilngn prim semu kut berbsis Penentun Bilngn igunkn untuk menentukn sutu bilngn gnjil menji lim mcm, yitu: bilngn komposit, bilngn prim semu, bilngn prim semu kut, bilngn Crmichel n bilngn iug kut prim berbsis Jik Penentun Bilngn menentukn bhw sutu bilngn bult m lh bilngn iug kut prim berbsis, 3, 5, n 7 mk kit belum pt menentukn bhw m lh benr-benr prim (liht bgn 5) Bersrkn [Niven,1991] telh iuji bhw bilngn-bilngn iug kut prim berbsis, 3, 5, n 7 pt inytkn prim jik m n m Dengn bntun perngkt lunk Mtemtic 51 hsil ri Niven pt ilnjutkn untuk bilngn-bilngn yng itentukn iug kut prim berbsis, 3, 5, n 7 Hsil uji lh hingg bilngn tik itemukn bilngn prim semu kut berbsis, 3, 5, n 7, selin m = Dengn emikin selm m n m mk bilngn iug kut prim berbsis, 3, 5, n 7 pt inytkn prim Penentun Bilngn Bult Penentun bilngn bult ilkukn bersrkn lgoritm iug kut prim Bilngn yng ikethui bilngn komposit menggunkn Teorem 31 lh bilngn komposit bis Bilngn-bilngn yng ikethui komposit menggunkn Teorem 3 isebut bilngn prim semu, oleh kren jik sutu bilngn bult x x 1 mo p xt± 1 mo p mk m 1 1(mo m) Dri lgoritm iug prim yng menghsilkn komposit 18

19 Bgn 5 Penentun bilngn menji lim mcm Bgn 6 Posisi bilngn-bilngn hsil Penentun Bilngn : A = Himpunn bilngn iug prim berbsis, A-B = Himpunn bilngn iug kut prim berbsis A={,3,5,7}, A B = Himpunn bilngn prim semu berbsis, B = Bilngn komposit, C = Bilngn Crmichel, D = Bilngn prim semu kut berbsis 19

20 Bgn 7 Semu uji yng telh ilkukn BAB IV SIMPULAN DAN SARAN 81 Simpuln P uji prim kli ini ipt beberp hsil sebgi berikut: 1 Teorem 5 (Kongruensi Fermt) menji lnsn teori p Uji Komposit I, Uji Komposit III, Penentun Bilngn n Uji Crmichel Di lin pihk Teorem 7 (SPP) menji lnsn teori p Uji Komposit II, Uji Komposit III n Penentun Bilngn Algoritm penentun bilngn ibntu engn AKBP, Uji Komposit III n Uji Crmichel lh lgoritm yng menentukn bilngn bult positif gnjil menji lim mcm, yitu : bilngn komposit, bilngn prim semu berbsis, bilngn Crmichel, bilngn prim semu kut berbsis n bilngn iug kut prim berbsis, 3, 5, n 7 3 Kren p uji komposit kli ini menggunkn perhitungn bilngn berpngkt mk uji komposit kli ini hny terbts p bilngn-bilngn yng memiliki igit yng kecil Semkin besr nili bilngn bult gnjil yng kn iuji mk kn semkin pnjng perhitungn yng hrus ilkukn sehingg semkin lm wktu yng ibutuhkn untuk menptkn hsil ri perhitungn 4 Hsil khir ri tulisn ini lh bilngn iug kut prim berbsis, 3, 5 n, 7 5 Bilngn Crmichel merupkn bilngn komposit yng ihsilkn ri Uji Komposit II n memenuhi Uji Crmichel Meskipun merupkn bilngn komposit, bilngn Crmichel tik pt itentukn kekompositnny hny menggunkn Uji Komposit I p setip bsis yng reltif prim engn bilngn tersebut Bilngn Crmichel memiliki letk terseniri (liht bgn 6), bilngn Crmichel merupkn Selesi 0

21 bgin ri bilngn prim semu berbsis, nmun bilngn ini bukn merupkn prim semu kut berbsis P penentun bilngn Crmichel benrbenr kn membut perhitungn semkin lebih besr sehingg kn memkn wktu semkin lm kren kit hrus menghitung setip bsis yng reltif prim engn m terhp Teorem 31 Semkin besr bilngn yng iuji semkin lm wktu perhitungn 6 P tulisn ini sutu bilngn bult pt iuji pkh merupkn bilngn komposit tu bukn komposit (iug prim berbsis, 3, 5, n 7) Untuk bilngn bult yng bukn komposit belum pt iktkn sebgi bilngn prim Ji p tulisn ini, menentukn pkh sutu bilngn lh bilngn komposit lebih muh rip menentukn pkh sutu bilngn lh bilngn prim 7 Hingg bilngn , bnykny bilngn komposit memiliki kecenerungn meningkt p setip selng Sengkn bnykny bilngn prim semu berbsis, prim semu kut berbsis, Crmichel, n bilngn iug kut prim berbsis, 3, 5, n 7 memiliki kecenerungn menurun p setip selng yng sm (liht Lmpirn C) 8 Srn Tem lm kry ilmih ini pt iteruskn bgi yng bermint, slh stuny lh menentukn kekompositn bilngn iug kut prim berbsis, 3, 5, n 7 menggunkn fktorissi prim DAFTAR PUSTAKA Niven, I Zuckermn, H S n Montgomery, L H 1991 An Introuction to The Theory of Numbers John Wiley & Sons Inc: New York Menezes, A J Oorschot, P C V n S Vnstone 1997 Hnbook of Applie Cryptogrphy CRC Press, Inc: New York Wikipei 006 Crmichel Number In Wikipei, The Free Encyclopei The Wikipei _number Buchmnn, J Muller, V 199 Primlity Testing Germny Ellege, S Glenn, H 005 An Appliction of Grph Pebbling to Zero-Sum Sequences in Abelin Groups Deprtment of Mthemtics n Sttistics, Arizon Stte University: Arizon Higgins, B C 006 The Rbin-Miller Probbilistic Primlity Test: Some Result on The Number of No-Witnesses to compositness Penn Stte Erie-The Behren College Hry, G H Wright, E M 1997 An Intouction to The Theory of Numbers, Oxfor University Press 1

22 LAMPIRAN

23 Lmpirn A Algoritm Kongruensi Bilngn Pngkt n Implementsiny Kongruensi bilngn pngkt Bilngn berpngkt ( k ) cenerung memiliki nili yng besr untuk ihitung tu ikethui nili bilngn pngkt stuny sebelum ireuksi engn m sebgi moulo bilngn pembginy, k (mo m ) Dengn emikin untuk memuhknny k ibgi u secr berulng hingg ipt bhw nili k sm engn stu, engn nili ikurtkn secr bersmn Llu bilngn hsil pembgin yng memiliki pngkt lebih kecil pt ireuksi oleh moulo bilngn pembginy (m) engn lebih muh Ilustrsi Mencri nili: mo mo mo1763 ( ) ( ) 44 ( ) ( )( ) mo1763 ( ) ( )( ) mo ( ) ( )( ) mo ( )( )( )( ) mo1763 ( ) ( )( )( )( ) mo1763 ( )( )( )( )( ) mo1763 Llu nili its ireuksi engn moulo bilngn pembginy mo1763 ( ) ( ) ( ) ( mo1763 ) ( ) ( mo1763 ) ( ) ( mo1763 ) ( ) ( mo1763 ) ( ) ( mo1763 ) ( ) ( mo1763 ) llu substitusi bilngn pngkt yng besr engn bilngn hsil reuksi moulo i ts ( )( )( )( )( ) mo (mo 1763) 119 (mo 1763) Dengn cr yng hmpir sm pt ibngun sebuh lgoritm untuk menyelesikn mslh i ts, yitu lgoritm kongruensi bilngn pngkt 3

24 AKBP: k Input : (mo m ) k Output : x (resiu ri (mo m ) ) 1 Bentuk x=1 Selm k>0, ulngi lngkh-lngkh berikut: k e= k [ ] (nili e = 0 tu e = 1 tergntung ri nili k pkh gnjil tu genp) b Jik e=1 mk gntikn nili x engn x Dn reuksi nili tersebut engn moulo m Jik e=0 mk tik ilkukn ppun ( x= x ) c Gntikn nili engn Dn reuksi nili tersebut engn moulo m k e Gntikn nili k engn 3 Jik lngkh stu n u telh selesi mk pt kit liht bhw x k mo m [Niven,1991] 5 Ilustrsi: Input: 3 (mo5), =3, k=5, m=5 k= 5>0 b x=1 c =3 k=5 5>0 e=5-[5/]=1 x=3 =4 k= >0 e=-[/]=0 x=3 =1 k=1 1>0 e=-[1/]=1 x=3 =1 k=0 ku0 berhenti 5 Ji x=3 sehingg 3 3(mo 5) Implementsi AKBP engn bntun perngkt lunk Mtemtic 51 Algoritm kongruensi bilngn pngkt k Input : (mo m ) k Output : y sebgi hsil reuksi (mo m ) AKBP[_Integer, kk_integer, mm_integer]:= Moule[{x=1, =, k = kk, m=mm}, While[k>0, e=k- Floor[ k ]; x ] If[e = = 1, x = x; x = mo[x,m] ]; = ; =Mo[,m]; k e k= ]; Contoh: Input : AKBP[34,1345,1346] Output : 34 Input : AKBP[,560,561] Output : 1 4

25 Lmpirn B Algoritm engn bntun perngkt lunk Mtemtic 51 1 Algoritm Uji Crmichel Input : m lh bilngn prim semu berbsis Output : menentukn pkh m merupkn bilngn Crmichel (Uji Crmichel=3) tu bukn(uji Crmichel=5) UjiCrmichel[nn_Integer]:= Moule[{i=, n=nn, c, xx}, While[i<n-1, c=i; If[GCD[c,n] = = 1ïAKBP[c,n-1,n] = = 1, i++; If[i+1= =n, xx=3;brek[] ], xx=5;brek[] ] ]; xx ] Contoh : Input Output Input Output : UjiCrmichel[341] : 5 ( 341 bukn bilngn Crmichel) : UjiCrmichel[561] : 3 (561 lh bilngn Crmichel) Algoritm Uji Komposit III 1 Algoritm uji reltif prim bilngn bult m engn setip nggot ri A Input : m lh bilngn bult gnjil Output : m reltif prim (ReltifP=1) tu tik reltif prim engn setip nggot ri himpunn A(ReltifP=0) ClerAll[] ReltifP[m_Integer]:= If[IntegerQ[ m ] IntegerQ[ 3 m ] IntegerQ[ 5 m ] IntegerQ[ 7 m ], 0,1] Contoh: Input : ReltifP[561] Output : 0 (561 tik reltif prim engn slh stu nggot A, yitu 3) Input : ReltifP[137] Output : 1 (137 reltif prim engn setip nggot ri A) Algoritm Uji Komposit III Input : m lh bilngn bult gnjil Output : m lh komposit (DiugKP=4) tu iug kut berbsis A (DiugKP=) Selm m n m mk m pt inytkn prim DiugKP[m_Integer]:= Moule[{s=0, x, r=m-1,, j, v, A={,3,5,7}, i, y}, If[ReltifP[m] = = 0, x=4, While[EvenQ[r], r ;s++]; For[i=1, i 4, 5

26 =A[[i]]; y=akbp[,r,m]; If[ y 1 && y m-1, j=1; While[j s-1&&y m-1, y=akbp[y,,m]; If[y= =1, x=4; Goto[selesi]; ]; j++; ]; If[y m-1, x=4; Goto[selesi]; ]; ]; i++]; x=; Lbel[selesi]; ]; x ] Contoh : Input : DiugKP[34567] Output : 4(m lh komposit) Input : DiugKP[ ] Output : (m lh iug kut prim, n telh iuji prim bhw m lh komposit Ji m lh prim semu kut berbsis, 3, 5 n 7) 3 Algoritm Penentun Bilngn Teriri ri u fungsi Algoritm Penentun Bilngn: Input : m bilngn bult yng kn iuji n sebgi bsis ri m Output : menentukn m menji lim mcm, yitu : m=1(bilngn Komposit), m=(bilngn Prim), m=3(bilngn Crmichel), m=4(bilngn Prim Semu Kut), m=5(bilngn Prim Semu) Penentun[mm_Integer, _Integer]:= Moule[{m=mm, =, j=0, y=m-1,, x}, While[EvenQ[y], y= y ;j++]; =y; If[AKBP[,,m] = =1 AKBP[,,m] = = -1, x=diugkp[m], While[<m, If[==m-1, If[AKBP[,,m] 1, x=1; Brek[], x=ujicrmichel[m];brek[] ], = ; Switch[AKBP[,,m], 1, x=ujicrmichel[m]; Brek[], 6

27 ] ]; X ] ] m-1, x=diugkp[m];brek[] ] Contoh: Input : Seleksi[047] Output : 4 Input : Seleksi[561] Output : 3 b Algoritm bntun untuk lgoritm penentun bilngn Input : m bilngn bult yng kn iuji n sebgi bsis ri m Output : menentukn m menji lim mcm, yitu : bilngn komposit, bilngn prim ( m n m ), bilngn prim semu berbsis, bilngn prim semu kut berbsis n bilngn Crmichel Fseleksi[mm_Integer, _Integer]:=Moule[{m=mm,=}, x=if [GCD[,m] = = 1,Penentun[m,],x=6]; Switch[x, 1,Print[m];Print["lh bilngn komposit"],,print[m];print["lh bilngn iug kut prim berbsis, 3, 5 n 7"], 3,Print[m];Print["lh bilngn Crmichel"], 4,Print[m];Print["lh bilngn prim semu kut berbsis "], 5,Print[m];Print["lh bilngn prim semu berbsis "], 6,Print[m];Print[" n m tik reltif prim"] ] ] Contoh: Input :Fseleksi[41041,] Output :41041 Bilngn Crmichel Input :Fseleksi[703,9] Output :703 lh bilngn prim semu kut berbsis "], Input :Fseleksi[341,] Output :341 lh bilngn prim semu berbsis Input :Fseleksi[99,] Output :99 lh bilngn komposit Input :Fseleksi[ ,] Output : lh bilngn iug kut prim berbsis, 3, 5 n, 7 7

28 Lmpirn C Tbel n grfik bnykny bilngn-bilngn komposit, prim semu berbsis, prim semu kut berbsis, Crmichel n iug kut prim berbsis, 3, 5, n 7 Bilngn bult gnjil Bnykny bilngn-bilngn bult yng Komposit Prim semu Prim semu Crmichel Diug kut prim berbsis kut berbsis berbsis, 3, 5, n Jumlh Jumlh totl Persentse 8783 % 0006 % 000 % 0001 % 1603 % Selng (Selng ke-) Grfik 1 Bnykny bilngn komposit p setip selng stu jut 8

29 (Selng ke-) Grfik Bnykny bilngn prim semu berbsis p setip selng stu jut (Selng ke-) Grfik 3 Bnykny bilngn prim semu kut berbsis p setip selng stu jut (Selng ke-) Grfik 4 Bnykny bilngn Crmichel p setip selng stu jut (Selng ke-) Grfik 5 Bnykny bilngn iug kut prim berbsis, 3, 5, n 7 p setip selng stu jut 9

30 Grfik 6 Persentse bnykny bilngn gnjil ntr , yng berup : 1 Bilngn komposit, Bilngn prim semu berbsis, 3 Bilngn prim semu kut berbsis, 4 Bilngn Crmichel, n 5 Bilngniug kut prim berbsis, 3, 5, n 7 30

31 31 Lmpirn D Beberp bilngn Crmichel n prim semu kut berbsis Bilngn prim semu kut berbsis

32 3 Bilngn Crmichel