SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2004 TINGKAT PROVINSI TAHUN Prestasi itu diraih bukan didapat!!!

Transkripsi

1 SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 004 TINGKAT PROVINSI TAHUN 003 Prestsi itu dirih bukn didpt!!! SOLUSI SOAL Bidng Mtemtik Bgin Pertm Disusun oleh :

2 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 003 Bgin Pertm BAGIAN PERTAMA. Bnykny bilngn bult ntr dn b dlh b. Kren dn b gnjil, mk bnykny bilngn genp di ntr dn b lebih stu dri bnykny bilngn gnjil di ntr dn b. ( b ) + Mk bnykny bilngn bult genp dirumuskn dengn. Bnykny bilngn genp di ntr dn b dlh b ( 85) + ( x ) + ( x 4). Misl nili ulngn ke- Agung = x, mk = x = 8 3 x = 8 3 Nili ulngn Agung ke- = 8 3. * Untuk x, mk x + = x dn 3x = 3x x + + 3x = 4 x 3x = 4 x = 4 (memenuhi bhw x ) * Untuk x 0 mk x + = x + dn 3x = 3x x + + 3x = 4 x + 3x = 4 x = 6 (tidk memenuhi bhw x 0) * Untuk x 0 mk x + = x + dn 3x = 3x x + + 3x = 4 x + + 3x = 4 x = 3 (memenuhi bhw x 0) Himpunn jwb dri persmn x + + 3x = 4 dlh = { 4, 3} 4. Teori : Agr T M mksiml, mk T hrus sebesr-besrny dn M hrus sekecil-lecilny. Jik diinginkn N sebesr-besrny, mk A dn D hrus mksiml dengn A > D sedngkn B dn C hrus minimum dn kren B C = C B, mk tidk d pengruh posisi B dn C. Berrti A = 8, B = 3, C = 5, D = 7 tu A = 8, B = 5, C = 3, D = N = 8 5 = Kren fktor persekutun terbesr dri x, y, z dlh, mk x, y, z kn berbentuk x =, y = b dn z = c dengn, b dn c dlh bilngn bult FPB(, b, c) = Dn kren 840 : = 70, mk, b dn c msing-msing hrus fktor dri 70. Nili, b dn c hrus dimbil dri fktor-fktor 70 yitu :,, 5, 7, 0, 4, 35 dn 70. Kren diinginkn nili x + y + z yng terbesr mk nili + b + c jug hrus yng terbesr. Kren FPB (4, 35, 70), FPB (0, 35, 70), FPB (7, 35, 70), FPB (5, 35, 70) semuny lebih dri mk, b dn c dimbil dri, 35 dn 70 tu 0, 4, 35 dn kren > mk, b dn c dimbil dri, 35 dn 70. (x + y + z) terbesr = = 84

3 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 003 Bgin Pertm 6. Misl N = L k Agr N hbis dibgi 9 mk jumlh digit N hrus hbis dibgi 9. Kren = 5 mk jumlh digit N = 5k. Bilngn bult positif k terkecil yng memenuhi dlh k = ± ( 4 + ) 4( )( ) 7. x, = = + ± * Akr-krny rel berrti Disk 0 Disk = (4 + ) 4()( ) ± 6 4( )( ) 3, = = ± Nili yng memenuhi dlh 7 tu + 7 * < x < > Akr dri sutu bilngn bernili positif sehingg semu nili memenuhi. * > x > > ( + 3) > 0 Nili yng memenuhi dlh < 3 tu > > 3 3 Kren 7 < 3 mk 7 > 3 dn + 7 < 0. Irisn dri ketig penyelesin untuk dlh < 3 tu > 0 Mk nili yng memenuhi dlh < 3 tu > 0 8. Misl PQ = QR = RS = PS = k

4 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 003 Bgin Pertm ACB = ABC = APQ = AQP = BPS = CQR = 45 o Mk BS = CR = k BP = CQ = k Lus ΔABC = ( )( AC ) = k + k k + k 4x k = 9 Lus persegi PQRS = AB = x 4x 9 9. Kren nili terkecil ddu =, mk n 6. * Untuk n = Pelung terjdiny jumlh mt ddu sm dengn 6 dlh 6 * Untuk n = Kejdin jumlh mt ddu sm dengn 6 dlh (,5), (,4), (3,3), (4,), (5,) = = < 36 6 Pelung terjdiny jumlh mt ddu sm dengn 6 dlh * Untuk n = 3 Kejdin jumlh mt ddu sm dengn 6 dlh (,,4), (,,3), (,3,), (,4,), (,,3), (,,), (,3,), (3,,), (3,,), (4,,) = 0 Pelung terjdiny jumlh mt ddu sm dengn 6 dlh = < < * Untuk n = 4 Kejdin jumlh mt ddu sm dengn 6 dlh (,,,3), (,,,), (,,3,), (,,,), (,,,), (,3,,), (,,,), (,,,), (,,,), (3,,,) = Pelung terjdiny jumlh mt ddu sm dengn 6 dlh = < < < * Untuk n = 5 Kejdin jumlh mt ddu sm dengn 6 dlh (,,,,), (,,,,), (,,,,), (,,,,), (,,,,) = 5 Pelung terjdiny jumlh mt ddu sm dengn 6 dlh * Untuk n = 6 Kejdin jumlh mt ddu sm dengn 6 dlh (,,,,,) = 5 Pelung jumlh mt ddu sm dengn 6 dlh 6 < 5 < Pelung terbesr dlh jik n = < < < < < < <

5 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 003 Bgin Pertm 0. Misl persmn gris vertikl tersebut dlh x = k Lus ΔABC = ½ (9 )( 0) = 4 Persmn gris mellui (0,0) dn (9,) dlh y = 9 x Untuk x = k mk y = 9 k Lus Δ II = ½ Lus ΔABC ½ (9 k)( 9 k) = ½ 4 9 k = ± 6 k = 3 (memenuhi) tu k = 5 (tidk memenuhi bhw 0 k 9) Persmn gris vertikl tersebut dlh x = 3. m 003 = n m n = 003 (m + n)(m n) = dlh bilngn prim sehingg persmn dipenuhi hny jik m + n = 003 dn m n = m = 00 dn n = 00 mn = = log ( log x ) + log( log x ) = log / ( log x ) + log( log x ) = log x 3 / ( ) = 8 log x = log x x = 4 x = 6 = 4

6 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 003 Bgin Pertm 3. Mislkn AP = mk BP = dn CP = 3 Dengn berpust di B, titik P diputr sejuh 90 o menjdi titik P. mk ΔPBP dlh segitig sikusiku sm kki. BPP = 45 o dn PP = ΔBPC ΔAP B sehingg AP = 3 (AP ) = (AP) + (PP ) (AP)(PP )cos APP (3) = () + ( ) ()( )cos APP cos APP = 0 APP = 90 o APB = APP + BPP = 90 o + 45 o = 35 o 4. * Jik terdpt sedikitny stu wrn yng tidk ikut dicmpur Slh stu perbndingn yng menghsilkn wrn dlh 0:0:. Kren d 3 wrn, mk kn d 3 wrn yng dihsilkn dri perbndingn ini. Perbndingn 0:0:, 0:0:3, 0:0:4, 0:0:5 kn menghsilkn wrn yng sm dengn perbndingn 0:0:. Perbndingn linny yng memenuhi dlh 0::, 0::, 0::3, 0::4, 0::5, 0::3, 0::5, 0:3:4, 0:3:5, 0:4:5. Bnykny wrn yng dihsilkn dlh 3 x = 33. * Jik terdpt sedikitny stu wrn yng tept kleng wrn tersebut yng dicmpur Kemungkinn perbndingnny dlh ::, ::, ::3, ::4, ::5, ::, ::3, ::4, ::5, :3:3, :3:4, :3:5, :4:4, :4:5, :5:5. Perbndingn :: hny d kemungkinn. Bnykny wrn yng dihsilkn dlh + 3 x 4 = 43. * Jik terdpt sedikitny stu wrn yng tept kleng wrn tersebut yng dicmpur Kemungkinn perbndingnny dlh ::3, ::5, :3:3, :3:4, :3:5, :4:5, :5:5. Perbndingn :: kn menghsilkn wrn yng sm dengn perbndingn ::. Hl yng hmpir sm berhubungn dengn perbndingn ::4 dn :4:4. Bnykny wrn yng dihsilkn dlh 3 x 7 =. * Jik terdpt sedikitny stu wrn yng tept 3 kleng wrn tersebut yng dicmpur Kemungkinn perbndingnny dlh 3:3:4, 3:3:5, 3:4:4, 3:4:5, 3:5:5. Bnykny wrn yng dihsilkn dlh 3 x 5 = 5. * Jik terdpt sedikitny stu wrn yng tept 4 kleng wrn tersebut yng dicmpur Kemungkinn perbndingnny dlh 4:4:5, 4:5:5. Bnykny wrn yng dihsilkn dlh 3 x = 6. Bnykny wrn keseluruhn yng dihsilkn dlh = 8.

7 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 003 Bgin Pertm 5. Misl hrg jul msing-msing mobil = p Misl hrg pembelin mobil pertm = y 0 y + 0,3y = p y = p 3 Misl hrg pembelin mobil kedu = y y 0,y = p y = 4 5 p Hrg pembelin totl = y + y = p + p = p Selisih = p 0 5 p p = p Kerugin Pk Oto = Kerugin Pk Oto = p 5 05 p 5 0 % x 00 % = 00 % Bnykny cr duduk msing-msing kelompok dlh sm dengn menemptkn 4 obyek pd 4 tempt = 4 P 4 = 4. Bnykny cr memberikn tempt duduk kepd merek dlh = 4 4 = 5 cr. 7. BC = 0 πr = 0πr CA = OC cotg 30 o = r 3 AB = BC + CA = 0πr + r 3 Jrk dri B ke A = (0π + 3)r

8 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 003 Bgin Pertm 8. Misl P =! +! + 3 3! ! ! T =! + 3! + 4 3! ! ! =! + 3! + 4! ! + 0! T P = ( )! + (3 )! + (4 3) 3! + + (00 99) 99! + (0 00) 00! T P =! +! + 3! ! + 00!! + 3! + 4! ! + 0! P =! +! + 3! ! + 00! P = 0!! = 0! 0! Adlh bilngn yng hbis dibgi 0, mk P = 0! = 0k + 0 = 0k + 00! +! + 3 3! ! ! Dibgi 0 kn bersis Misl pnjng AB = b = 0 + b OC = ½ AB = ½ (0 + b) Pnjng CD = b = 0b + CH = ½ (0b + ) Dengn dn b dlh bilngn bult positif dn 0 < 9, 0 < b 9 OH = ( OC ) ( CH ) OH = ( 0 + b) ( 0b + ) 3 OH = ( + b)( b) Kren OH dlh bilngn rsionl dn + b > b mk : + b = k dn b = k dengn k dlh bilngn rsionl Didpt = k = 6k dn b = 0k b = 5k 6k 6 = = b 5 k 5 Kren dn b dlh bilngn bult dn 0 < 9, 0 < b 9 mk = 6 dn b = 5 Pnjng AB = 65

9 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 003 Bgin Pertm 0. Misl H = {,, 3,, 9, 0} * Bnykny bilngn berurutn dri himpunn H d 9 yitu : (,), (,3), (3,4),, (9,0) * Menentukn 3 bilngn dri H yng berurutn nmun ketigny tidk berurutn : Untuk (,) hny d stu bilngn ketig yng kn membut ketig bilngn tersebut berurutn, yitu 3. Mk bnykny cr 3 bilngn dimbil dri himpunn H yng bilngnny dlh (,) nmun bilngn ketig bukn 3 d 7, yitu : (,,4), (,,5),, (,,0). Bnykny cr ini jug sm dengn bilngn di ntrny dlh (9,0) Untuk (,3) d du bilngn ketig yng kn membut ketig bilngn tersebut berurutn, yitu dn 4. Mk bnykny cr 3 bilngn dimbil dri himpunn H yng bilngnny dlh (,3) nmun bilngn ketig bukn tu 4 d 6, yitu : (,3,5), (,3,6),, (,3,0). Bnykny cr ini jug sm dengn bilngn di ntrny dlh (3,4), (4,5),, (8,9). Bnykny cr 3 bilngn dimbil dri himpunn H yng di ntrny berurutn nmun ketig bilngn tersebut tidk berurutn dlh = = 56. * Bnykny cr 3 bilngn dimbil dri himpunn H yng ketigny berurutn = 8, yitu : (,,3), (,3,4), (3,4,5),, (7,8,9), (8,9,0). * Bnykny cr 3 bilngn dimbil dri himpunn H = 0 C 3 = 0. Bnykny cr memilih 3 bilngn berbed dri himpunn H sehingg tidk d bilngn berurutn = = 54.

10 SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 004 TINGKAT PROVINSI TAHUN 003 Prestsi itu dirih bukn didpt!!! SOLUSI SOAL Bidng Mtemtik Bgin Kedu Disusun oleh :

11 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 003 Bgin Kedu BAGIAN KEDUA. Pernytn-pernytn :. Andi berkt bhw Beni dlh kncil b. Coki berkt bhw Doni dlh serigl c. Edo berkt Andi bukn serigl d. Beni berkt Coki bukn kncil e. Doni berkt bhw Edo dn Andi dlh bintng berbed Mislkn Andi dlh kncil. Berdsrkn () mk Beni dlh kncil. Berdsrkn (d) mk Coki dlh serigl. Berdsrkn (b) mk Doni dlh kncil. Berdsrkn (e) kren Andi kncil mk Edo dlh serigl. Berdsrkn (c) mk Andi dlh serigl. Pernytn ini kontrdiksi dengn permisln bhw Andi dlh kncil. Mislkn Andi dlh serigl. Berdsrkn () mk Beni dlh serigl. Berdsrkn (d) mk Coki dlh kncil. Berdsrkn (b) mk Doni dlh serigl. Berdsrkn (e) mk Edo dn Andi sejenis. Kren Andi serigl mk Edo jug serigl. Berdsrkn (c) mk Andi dlh serigl yng berrti sesui dengn permisln bhw Andi dlh kncil. Yng termsuk kncil dlh Coki dn yng termsuk serigl dlh Andi, Beni, Doni dn Edo. Bnykny serigl d 4 +. Kren dlh bilngn rsionl mk 3 + b bilngn sli dn q 0 sert p dn q reltif prim = b q + q = p 3 + p b ( q p 3) ( ) = p b q q + 3p pq 6 = p b + q pq b p q dengn, b, p dn q dlh Kren, b, p dn q dlh bilngn sli mk 6 = b. Psngn (, b) yng memenuhi dlh (,6) ; (,3) ; (3,) ; (6,). Subtitusikn keempt psngn ini ke persmn semul untuk dicek pkh memenuhi bilngn rsionl tu tidk. Jik dicek mk psngn (,b) yng kn membut persmn semul merupkn bilngn rsionl dlh (3,) = b = 3 dn b = 3 =

12 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 003 Bgin Kedu 3. Kren bidng ADHE sejjr dengn BCGF dn bidng ABFE sejjr dengn bidng DCGH mk DP sejjr FQ dn FP sejjr DQ. PF = DP = DQ = FQ = () + = 5 PQ sejjr AC PQ = AC = Alterntif : Mencri sudut PFQ. Misl PFQ = α (PQ) = (PF) + (FQ) (PF)(FQ) cos α 5 5 = cosα 4 4 cos α = sin α = Lus segi empt DPFQ = (FP)(PD)sin α Lus segi empt DPFQ = Lus segi empt DPFQ = 6 Alterntif : Kren PF = DP = DQ = FQ mk segiempt DPFQ dlh belh ketupt. Digonl PQ = sedngkn digonl DF dlh digonl rung mk FD = 3. Lus segiempt DPFQ = ½ PQ FD = ½ 3 Lus segi empt DPFQ = 6 6

13 Solusi Olimpide Mtemtik Tk Provinsi 003 Bgin Kedu 4. Teori : Rtn Geometri Rtn Aritmtik + + n L 3 n n + L + 3 n n Tnd kesmn berlku jik = = 3 = = n- = n. Mk : L L < ! < ( 999) ! < 500 Terbukti bhw 999! < n x 3y + = 0 7x = 3y x = ( y + 7 )( y 7 ) 7 merupkn sutu persmn prbol dengn punck di ( 3,0) dn titik potong dengn sumbu Y di (0, 7) dn (0, 7). Tmpk bhw d derh. Stu derh di ts sumbu X dn stu derh lgi di bwh sumbu X. Jrk AB = ( 3 0) + ( 0 7 ) = 4 Jrk AC = ( 3 0) + ( 0 ( 7) ) = 4 Untuk 0 y 7, tmpk bhw jrk terjuh titik terjdi jik kedu titik tersebut di A dn B dengn jrk AB = 4. Untuk 7 y 0, tmpk bhw jrk terjuh titik terjdi jik kedu titik tersebut di A dn C dengn jrk AC = 4. Kren d 3 buh titik dn d derh mk sesui Pigeon Hole Principle (PHP) mk sekurngkurngny d titik dlm stu derh yitu memiliki ordint 0 y 7 tu 7 y 0. Dri penjelsn di ts dpt disimpulkn bhw jik 3 titik terletk pd derh yng dibtsi oleh sumbu Y dn grfik persmn 7x 3y + = 0, mk sedikitny titik di ntr ketig titik tersebut mempunyi jrk tidk lebih dri 4 stun.