A. KALIMAT MATEMATIKA, PERNYATAAN, KALIMAT TERBUKA DAN KALIMAT MAJEMUK.

Transkripsi

1 Standar Kompetensi Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadratdan fungsi kuadrat, system persamaan linier kuadrat, pertidak samaan satu variable, logika matematika. A. KALIMAT MATEMATIKA, PERNYATAAN, KALIMAT TERBUKA DAN KALIMAT MAJEMUK. Kompetensi Dasar : Menggunakan nilai kebenaran pernyataan majemuk dan implikasi dalam pemecahan masalah. A.1. KALIMAT MATEMATIKA, PERNYATAAN, NILAI KEBENARAN DAN KALIMAT TER- BUKA. Pengalaman Belajar: Mengidentifikasi kalimat yang merupakan pernyataan atau bukan pernyataan Menentukan nilai kebenaran pernyataan dengan menggali in formasi berupa fakta atau melalui perhityungan matematika Membuat pernyataan yang merupakan ingkaran dari suatu pernyataan. Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut logika matematika diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: Dalam setiap pembicaraan, baik lisan maupun tulisan, kita sering menggunakan Kalimat. Kalimat dalam matematika dapat dibedakan menjadi dua, yaitu: Kalimat Matematika Tertutup dan Kalimat Matematika Terbuka. Salah satu jenis kalimat yang penting dan banyak digunakan dalam pembicaraan matematika adalah Kalimat deklaratif atau pernyataan atau Kalimat Matematika Tertutup. Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah (Nilai Kebenaran) Sedang kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya dikenal dengan Kalimat Terbuka, yang dicirikan oleh adanya suatu variabel yang belum pasti. Contoh 1 : 1. Dalam sebuah bidang, jumlah sudut-sudut suatu segitiga adalah 180 o. Ini merupakan pernyataan benar, sebab teori ini sudah dikenal dalam geometri Euclides.. Presiden RI yang ke tiga adalah Bapak B. Ini bukan pernyataan akan tetapi merupakan kalimat matematika terbuka sebab nilai kebenarannya tidak dapat dipastikan. Suatu kalimat matematika terbuka dapat berubah menjadi tertutup (pernyataan) jika variabelnya diganti dengan suatu unsur yang disebut konstanta. Contoh : Presiden RI yang ke tiga adalah Bapak B. Jika B diganti konstanta Megawati SP, maka kalimatnya berubah menjadi pernyataan yang SALAH. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menyelesaikan dan memahami

2 1. Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil.. Benarkah 36 habis dibagi oleh 9? 3. Terdapat bilangan x sedemikian hingga x + 5 = 3 4. Sebuah belah ketupat dapat ditempatkan ke dalam bingkainya dengan tepat empat cara. 5. Bagilah sebuah segitiga menjadi tiga bagian yang sama luasnya! 6. Tidak ada bilangan prima yang terbesar. 7. Mudah-mudahan kita sehat wal afiat. 8. Dalam himpunan bilangan rasional positif ada anggota yang terkecil. Penyelesaian: 1. Merupakan pernyataan yang salah, sebab bilangan genap juga prima Bukan pernyataan tetapi termasuk dalam katagori kalimat perintah / suruh, sehingga nilai kebenarannya kabur Masalah : Dengan mengambil himpunan bilangan Asli sebagai semesta pembicaraan, tentukan himpunan penyelesaian dari masing-masing kalimat terbuka di bawah ini: 1. x + y = x 5 = x +. x 3 = 3x 1 6. x + y = 5 3. x -x -3 = 0 7. x y = (x + y)(x y) 4. x adalah faktor dari 6 8. xy < 10 Penyelesaian : 1. Jika x dan y adalah variabel pada himpunan bilangan asli, maka HP dari x + y = 6 adalah : { (0, 6) ; (1, 4) ; (, ) ; (3, 0) } Jika x B, maka HP = { 1,, 3, 6 } sebab bilangan tersebut merupakan factor dari Dalam pembicaraan selanjutnya suatu Pernyataan biasa diwakili oleh suatu huruf/abjad alpabhet kecil, missal: p Surabaya kota pahlawan q Amir sekolah di SMA N 1 Gondang A.. Ingkaran / Negasi atau pernyataan sangkalan. Pengantar materi:

3 Dan biasa dilambangkan dengan : ~p atau p atau p atau p dan biasa dibaca: bukan p atau tidak p bisa juga menggunakan kata yang mempunyai lawan katanya. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan negasi dari pernyataan berikut ini: Masalah 3: Tentukan negasi atau ingkaran dari : a. Surabaya kota cosmopolitan. b. Sebuah belah ketupat dapat ditempatkan ke dalam bingkainya dengan tepat empat cara. c. Bagilah sebuah segitiga menjadi tiga bagian yang sama luasnya! d. Cuaca hari ini sangat cerah. e. + 9 > 15 Penyelesaian: a. Surabaya bukan kota cosmopolitan b.... c. Tidak punya negasi sebab bukan pernyataan. d.... e.... Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Tentukan beberapa kalimat di bawah, termasuk kalimat tertutup atau kalimat terbuka! a. 3 + = 5 b. a + 16 = 0 c. Pada segitiga ABC siku-siku di A berlaku b + c = a. Negasi dari pernyataan berikut adalah : a. Pada hari Senin siswa SMA X Mojokerto mengikuti Upacara Bendera. b. Joko merupakan siswa teladan yang berasal dari Desa Kampung Cendekia. c. 4 < 6 d. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki faktor. A.3. Pernyataan Majemuk. Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pernyataan majemuk diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media inetraktif. Pengantar materi: Suatu pernyataan yang terdiri dari dua atau lebih gabungan pernyataan-pernyataan tungal dikenal dengan Pernyataan Majemuk. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih dalam tentang beberapa jenis pernyataan majemuk berikut ini: A.3.1. Konjungsi. Konjungsi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menggunakan kata hubung DAN atau TETAPI atau MESKIPUN atau WALAUPUN Atau yang bermakna sama, dst Biasa dilambangkan dengan tanda

4 Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Konjungsi sebagaimana tabel; p Q p q B B B B S S S B... S S... Jika diaplikasikan dalam model jaringan listrik maka Konjungsi dapat terwakili oleh pola arus listrik hubungan seri dari dua buah saklar, sebagai berikut: p q A.3.. Disjungsi. P q p q p q Jaringan Listrik Arus B B B Ada B S S S B Tidak S S Disjungsi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menggunakan kata hubung ATAU Biasa dilambangkan dengan tanda V Missal: p Ani salah satu siswa SMA X Mojokerto yang cerdas q Ani anak rajin maka p V q Ani salah satu siswa SMA X Mojokerto yang cerdas atau rajin. Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Disjungsi bermakna pilihan bebas sebagaimana tabel; p Q p V q B B... B S B S B... S S... Jika diaplikasikan dalam model jaringan listrik maka Disjungsi dapat terwakili oleh pola arus listrik hubungan paralel dari dua buah saklar, sebagai berikut: p q P Q p v q p q Jaringan Listrik Arus B B Ada B S S B B S S Tidak Masalah 4: Diketahui: p Tari gadis pandai q Tari anak orang kaya

5 Tulis dan nyatakan dalam kalimat atau kata-kata pernyataan berikut ini: Penyelesaian: a. p q Tari gadis pandai dan anak orang kaya. b. p ~q c. q v p d. ~p v ~q e. q v ~p A.3.3. Implikasi atau Kondisional. Implikasi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menggunakan kata hubung Jika... maka... Biasa dilambangkan dengan tanda p q di mana lambang ini juga dibaca: - p hanya jika q - p syarat cukup bagi q - q jika p - q syarat perlu bagi p Pernyataan p dikenal dengan Anteseden (Sebab) dan q dikenal dengan konsekuen (Akibat). Missal: p Ani salah satu siswa yang cerdas q Ani anak rajin maka p q Jika Ani salah satu siswa yang cerdas maka Ani anak rajin. Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Implikasi sebagaimana tabel; P Q p q B B... B S S S B... S S B A.3.4. Bi-Implikasi atau Bi-Kondisional. Implikasi merupakan gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menggunakan kata hubung...jika dan hanya jika... Biasa dilambangkan dengan tanda p q di mana lambang ini juga dibaca: - p bila dan hanya bila q - p syarat perlu dan cukup bagi q - Jika p maka q dan jika q maka p - q syarat perlu dan cukup bagi p Missal: maka p Ani salah satu siswa yang cerdas q Ani anak rajin p q Jika dan hanya jika Ani salah satu siswa yang cerdas maka Ani anak rajin. Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk jenis Implikasi sebagaimana tabel; Masalah 5: P Q p q B B... B S S S B... S S B Diketahui: p Tari gadis pandai q Tari anak orang kaya

6 Penyelesaian: a. p q Tari gadis pandai jika dan hanya jika Tari anak orang kaya. b. p ~q c. q p d. ~p ~ q e. q ~ p Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Jika p Aswan tidak suka menyanyi dan q Aswan suka sepak bola Nyatakan dalam kalimat yang sesuai dari pernyataan berikut: a. p v ~q c. ~p q e. ~q ~p g. ~p q b. ~ p q d. ~q p f. q ~p h. ~p ~q. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan: a. Kucing binatang menyusui dan gajah binatang melata b. 3 x 3 x 3 = 3 x (3 + 3) atau 3 = 8 c. Jika 3 bilangan prima maka 3 = d. Jika bilangan genap maka Jakarta ibu kota RI. e. Jika jumlah sudut suatu segitiga 180 o maka = 4 f. 4 x = 8 Solo di Pulau Bali 3. tentukan nilai x agar pernyataan berikut bernilai Benar! a. Jika x = 1 maka bilangan ganjil b. Jika sin x = ½, x sudut lancip maka cos 45 o = ½ c. x = 9 jika dan hanya jika = 4 d. Sin x = ½ jika dan hanya jika tan 45 o = -1 e. Cos x = 1 dan tan x = -1 f. x 1 < 0 atau x > 0 A.3.4. Pernyataan majemuk yang ekuivalen. Dua atau lebih suatu pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang sama disebut dengan Pernyataan Majemuk ekuivalen. Missal : Jakarta ibukota RI dan + 3 = 5 ekuivelen dengan < 9 atau gajah berkaki 3. A.4. Nilai kebenaran suatu pernyataan. Pengantar materi: Nilai Kebenaran suatu pernyataan majemuk dapat dibuktikan dengan menggunakan kaidah tabel kebenaran masing-masing pernyataan induknya Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih dalam tentang aturan tabel kebenaran guna menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan berikut ini: Masalah 6: Selidiki nilai kebenaran dari pernyataan: a. ( p q ) p b. ~p ~ ( p q ) Penyelesaian: a. ( p q ) p b. ~p ~ ( p q ) x y p q p q (p q) p p Q ~p p q ~ (p q) x y B B B... B B S... S... B S... B B S S S......

7 Jika diperhatikan hasil penyelidikan terhadap dua pernyataan majemuk di atas mendapatkan nilai kebenaran sebagai berikut: a. ( p q ) p, ternyata dalam kondisi apapun nilai kebenaran dari pernyataan tunggal nya, pernyataan ini selalu bernilai benar ( dan pernyataan seperti ini dikenal dengan Tautologi) b. ~p ~ (p q), ternyata dalam kondisi apapun nilai kebenaran dari pernyataan tunggalnya, pernyataan ini selalu bernilai Salah ( dan pernyataan seperti ini dikenal dengan kontradiksi ) Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Selidiki nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut ini: a. (p q) ~ (p q) b. ~ (~p q ) p. Selidiki apakah pernyataan majemuk ini ekuivalen: a. q v (p r) b. (p q ) r dan r (p q) c. ~ (p q) dan p ~ q 3. Buktikan bahwa Negasi dari masing-masing pernyataan majemuk berikut benar adanya ( Dalil d Morgan) : a. ~ (p q) ~ p v ~ q c. ~ ( p q ) (p ~ q) v (q ~ p) b. ~ (p v q) ~ p ~ q d. ~ (p q) p ~ q A.5. Konvers, invers dan kontra posisi. Pengantar materi: Dari suatu pernyataan majemuk implikasi dapat dilakukan suatu operasi bervariasi yang menghasilkan pernyataan baru dan biasa dikenal konvers, invers serta kontra posisi. Karakteristik masing-masing pernyataan tersebut dapat anda perhatikan dalam bahasan di bawah ini. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih dalam tentang konvers, invers dan kontra posisi berikut nilai kebenarannya: Masalah 7: Selidiki dan lengkapi nilai kebenaran dari beberapa pernyataan berikut ini : p Q ~p ~q p q q p ~p ~ q ~q ~ p Pernyataan tunggal Implikasi Konvers Invers Kontra posisi B B S B B S... B B... S B B S S B Permasalahan untuk didiskusikan siswa: Nilai logisnya sama Ini berarti ekuivalen 1. Negasi dari pernyataan majemuk di bawah ini adalah : a. Segitiga ABC adalah siku-siku dan sama kaki b. Garis a dan b sejajar atau berpotongan c. Harga barang naik dan sulit didapat d. Jika mandor tidak datang maka kuli banyak yang pulang e. Jika x bilangan real dengan x < maka x < 4 f. Jika Ac tegal lurus BD maka ABCD layang-layang. Tentkan konvers, invers dan kontra posisi dari pernyataan pada nomor 1 d s/d f.

8 A.5. Pernyataan Kuantor. Pengalaman Belajar: Mendiskusikan pengertian kuantor universal dan ekstensial beserta ingkarannya Mempresentasikan hasil diskusi Menyimpulkan hasil diskusi secara kelompok Membuat pernyataan berkuantor universal dan ekstensial beserta ingkarannya Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pernyataan kuantor diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Pengantar materi: Dalam bagian terdahulu telah kita pahami, bahwa kalimat matematika terbuka dapat diubah menjadi suatu pernyataan, dengan mengganti variabel nya dengan suatu anggota / unsur semesta pembicaraan. Masih ada suatu langkah mengubah kalimat matematika terbuka menjadi tertutup/ pernyataan, yaitu dengan menggunakan kuantor, suatu ungkapan/kata yang menyatakan nominal atau berapa banyak. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami dan mengenal lebih dalam tentang pernyataan kuantor, perhatikan hal-hal berikut ini: Pernyataan kuantor dibedakan menjadi dua, yaitu: a. Kuantor Universal: Suatu kuantor yang menunjukan bahwa setiap atau semua elemen/unsur berlaku pada sistem /semesta pembicaraan. Kuantor universal biasa diberi lambang: (x) dibaca: Untuk semua x, berlaku... Semua x, berlaku... Setiap x, berlaku... b. Kuantor Ekstensial: Suatu kuantor yang menunjukan bahwa (Tidak semua) / hanya ada atau beberapa elemen/unsur yang berlaku/memenuhi sistem /semesta pembicaraan. Kuantor universal biasa diberi lambang: (x) dibaca: Tidak semua x, berlaku... Ada x, berlaku... Beberapa x, berlaku... Catatan: Diantara ke dua jenis pernyataan kuantor tersebut keduanya memiliki sifat saling invers / sangkal / atau ingkarannya. Masalah 8: 1. Nyatakan pernyataan kuantor di bawah ini ke dalam bentuk kalimat! a. (x) R, x + 1 > 0 c. (x) B, 5x 3 = 1 b. (x) R, x 4 < 4 d. (x) R, x = 4. Nyatakan pernyataan kuantor di bawah ini ke dalam lambang-lambang kuantor! a. Untuk semua bilangan x anggota real berlaku 3x = 8 b. Ada bilangan x anggota bilangan cacah sedemikian hingga x selalu genap. c. Semua bilangan x anggota bilangan Asli berlaku x x > 0 d. Beberapa bilangan x anggota real berlaku x 4x < 0 3. Tentukan negasi dari masing-masing pernyataan kuantor berikut! a. (x) R, x + 1 > 0 b. (x) R, x = 4 c. Untuk semua bilangan x anggota real berlaku 3x = 8 d. Ada bilangan x anggota bilangan cacah sedemikian hingga x selalu genap. e. Semua bilangan x anggota bilangan Asli berlaku x x > 0 f. Beberapa bilangan x anggota real berlaku x 4x 3 < 0

9 Penyelesaian: 1. a. (x) R, x + 1 > 0 ; Untuk semua x anggota bilangan real berlaku x + 1 > 0 b. (x) R, x 4 < 4 ; Beberapa x anggota real berlaku x 4 < 4 c. (x) B, 5x 3 = 1 ;... d. (x) R, x = 4 ;.... a. Untuk semua bilangan x anggota real berlaku 3x = 8 (x) R, 3x = 8 b. Ada bilangan x anggota bilangan cacah sedemikian hingga x selalu genap.... c. Semua bilangan x anggota bilangan Asli berlaku x x > 0... d. Beberapa bilangan x anggota real berlaku x 4x 3 < a. (x) R, x + 1 > 0 negasinya : (x) R, x b. (x) R, x = 4 negasinya :... c.... d.... e.... f.... Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan kuantor berikut ini: a. (x) R, x + 0 b. (x) R, x = x c. (x) R, x = 5 x =5 d. ( (x) R)( (y) e. (x) R, x -5x + 6 = 0 f. (x) R, x + 4 > 7 g. ( (x) C )( (y) h. ( (x) R )( (x) R), x y = (x +y)(x y) C ), x < y R), x + y > xy. Nyatakan dalam bentuk pernyataan kuantor: a. x + 1 = 0 tidak mempunyai akar real b. Setiap bilangan bulat, genap atau ganjil c. Terdapat bilangan real x sedemikian hingga x < 0 d. Setiap bilangan prima adalah ganjil. 3. Tentukan negasi dari setiap pernyataan berikut dan tentukan nilai kebenarannya. a. (x) R, x 3 > x b. (x) Q, x -x -1 = 0 c. ( (x) R )( (y) R ), sin ( x + y) = sin x + sin y

10 A. Berilah tanda silang pada huruf yang memuat jawaban paling tepat! 1. Negasi dari Pada hari minggu semua siswa tidak masuk ke sekolah, adalah... a. Pada hari minggu semua siswa ke sekolah. b. Pada hari minggu ada siswa ke sekolah c. Pada hari minggu ada siswa yang tidak ke sekolah d. Pada hari yang bukan minggu semua siswa tidak ke sekolah e. Pada hari yang bukan hari minggu ada siswa yang tidak ke sekolah. Negasi dari Jika saya ke Jakarta, maka saya mampir ke rumah Ayu adalah... a. Jika saya tidak ke Jakarta, maka saya tidak mampir ke rumah ayu. b. Jika saya tidak mampir ke rumah Ayu, maka saya tidak ke Jakarta c. Jika saya ke Jakarta, maka saya tidak mampir ke rumah Ayu. d. Saya ke Jakarta dan saya tidak mampir ke rumah Ayu e. Saya ke Jakarta dan saya mampir ke rumah Ayu. 3. Diketahui Jika jalan diperbaiki maka lalu linta lancar Kontraposisi dari konvers pernyataan diatas adalah... a. Jika jalan tidak diperbaiki, maka lalu lintas tidak lancar b. Jika lalu lintas lancar, maka jalan diperbaiki c. Jika lalu lintas tidak lancar, maka jalan tidak diperbaiki d. Jika jalan diperbaiki maka lalu lintas lancar e. Jika jalan diperbaiki, maka lalu lintas tidak lancar. 4. Nilai x agar implikasi x = 5 tan 45 o = 3 bernilai benar kecuali... a. x = 5 b. x = -5 c. x 5 d. x -5 e. x 5 5. Jika pernyataan p dan q benar, maka pernyataan yang bernilai benar adalah... a. p q b. p v ~q c. p q d. ~q p e. ~p q 6. ~p q mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan... a. p q b. q ~ p c. ~p ~ q d. p q e. p v q 7. Diketahui p, q, r, dan s, Jika p q, q r, r s dan s masing-masing bernilai Benar, maka pernyataan berikut yang bernilai salah adalah.. a. p v q b. ~p v q c. p q d. ~p ~ s e. ~p ~ q 8. Negasi dari (p q) r adalah... a. (p v q) r b. p q ~ r c. (p q) r d. p v q v r e. p q v r 9. Perhatikan kalimat Jika ia berusaha, maka ia berhasil. Kontra posisinya adalah. a. Jika ia tidak berusaha, maka ia tidak berhasil b. Jika ia berhasil, maka ia berusaha. c. Jika ia tidak berhasil, maka ia tidak berusaha. d. Ia tidak berusaha, tetapi ia berhasil. e. Ia tidak berusaha, tetapi ia tidak berhasil. 10. Pernyataan, Jika Rina lulus ujian, maka Rina akan kawin, senilai dengan... a. Jika Rina lulus, maka Rina kawin. b. Jika Rina tidak lulus ujian, maka Rina akan kawin. c. Jika Rina tidak lulus ujian, maka Rina tidak kawin. d. Jika Rina kawin, maka Rina lulus ujian. e. Jika Rina tidak kawin, maka Rina tidak lulus ujian. B. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Tentukan ingkaran dari pernyataan: a. Semua peserta ujian tulis lulus. c. Ada manusia yang dapat hidup di planet Mars b. Jika x bilangan Prima, maka x bilangan Ganjil.. Tentukan nilai kebenaran dari: a. x = x + 3x + 1 = 7 b. Sin x = ½, x di kuadran dua maka tan x = 1

11 B. PENARIKAN KESIMPULAN dan PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA. Kompetensi Dasar B.1. PENARIKAN KESIMPULAN. : 1.1. Menggunakan sifat dan prinsip logika untuk penarikan kesimpulan dan membuktikan sifat/teorema matematika Pengalaman Belajar: Mengingat kembali tabel kebenaran, operasi logika Membuat argumentasi tentang kehidupan sehari-hari yang relevan dengan logika menarik kesimpulan dengan kaidah modus ponens, tollens, dan silogisme. Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut penarikan kesimpulan diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: Salah satu tujuan penting dari logika matematika adalah untuk memperoleh pengetahuan guna menguji argumentasi atau penarikan kesimpulan. Yang dimaksud dengan argumentasi dalam pembahasan ini adalah suatu penegasan bahwa dari beberapa pernyataan benar yang diketahui (premis), melalui langkah-langkah logis, dapat diturunkan suatu pernyataan yang benar ( disebut kesimpulan atau konklusi ) Suatu argumentasi dikatakan berlaku atau sah jika dan hanya jika konjungsi dari premispremisnya berimplikasi konklusi, yaitu bilamana semua premisnya benar, maka konklusinya juga benar. Terdapat beberapa model penarikan kesimpulan yang mengedepankan kaidah implikasi, yaitu: b.1.1. Modus Ponens. Suatu model penarikan kesimpulan yang mengikuti pola, sebagai berikut: Premis 1 : p q : Benar Premis : p : Benar Jadi : q : Benar (Konklusi) b.1.. Modus Tollens. Suatu model penarikan kesimpulan yang mengikuti pola, sebagai berikut: Premis 1 : p q : Benar Premis : ~ q : Benar Jadi : ~ p : Benar (Konklusi) Guna menyelidiki berlakunya Modus kebenaran di bawah ini: p q p q ~p ~q Ponens dan Tollens dapat diperhatikan tabel B B B S S Modus Ponens B S S S B S B B B S S S B B B Modus Tollens b.1.3. Silogisma. Suatu model penarikan kesimpulan yang mengikuti pola, sebagai berikut: Premis 1 : p q : Benar Premis : q r : Benar

12 Masalah 9: Berlakunya kaidah silogisma dapat diperhatikan pada tabel kebenaran berikut ini: p q r p q q r p r B B B B B B S... S... B S B B B S S S S B B S B S... S... S S B B S S S Selidiki sah tidaknya penarikan kesimpulan di bawah ini dan menurut pola apa a. Jika umar seorang haji, maka ia beragama Islam. Umar adalah seorang haji Jadi Umar beragama Islam. b. Jika ABCD sebuah belah ketupat, maka AC tegak lurus BD AC tidak tegak lurus BD Jadi ABCD bukan belah ketupat. c. Jika Burhan begadang pada malam minggu, maka ia masuk angin Jika Burhan masuk angin, hari Senin tidak masuk sekolah Jadi : Jika burhan begadang pada malam mingu, maka hari Senin ia tidak masuk Sekolah.. Kajilah sah tidaknya argumentasi berikut ini: a. p q b. p v q p p Jadi: q Jadi: ~q Penyelesaian: 1. a. p q : premis 1 c. p... : premis 1 p : premis... r : premis 1 Jadi: q : konklusi : Konklusi Syah menurut Modus Ponens. Syah menurut... b. p q : premis 1... : premis Jadi:... : konklusi Syah menurut Modus.... a. p q b. p v q p p Jadi: q Jadi: ~q p q p q p q ~q p v q B... B B... S S S... B... B S S... S... S

13 Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Tentukan syah tidaknya argumentai berikut ini! a. Jika Amir rajin belajar, maka Amir naik kelas. Amir naik kelas. Jadi Amir rajin belajar b. Jika Burhan lulus ujian, maka ia dibelikan sepeda motor. Burhan tidak dibelikan sepeda motor. Jadi Burhan tidak lulus ujian c. Jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 a 0 dan b Jadi ab 0 d. Setelah tamat SMA, saya bekerja atau kuliah di UNESA Saya tidak kuliah di UNESA. Jadi Saya bekerja.. Kajilah syah tidaknya pernyataan berikut! a.1. p q. p q ~ r ~ q ~ q ~ r Jadi: ~r ~ p Jadi: r p b. Jika Cecep lulus ujian maka saya diajak ke Bandung Jika saya diajak ke Bandung maka saya pergi ke Lembang Jadi: Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Cecep tidak lulus ujian. c. Jika n bilangan prima ganjil maka n > Jika n > maka n > 4. Jadi: Jika n bilangan prima ganjil, maka n 4 B.. PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA. Pengalaman Belajar: Membuktikan sifat matematika dengan bukti langsung dan tidak langsung (Menggunakan kaidah kontraposisi/kontradiksi) Membuktikan sifat matematika dengan induksi matematika Mengolah dan mendiskusikan informasi yang diperolehnya Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pembuktian dalam matematika diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: B..1. Bukti langsung. Suatu model pembuktian yang menggunakan argumentai langsung dari beberapa premis yang ada. Masalah 10: Buktikanlah bahwa untuk semua bilangan bulat n, Jika n ganjil maka n ganjil. Penyelesaian: Misalkan: p n bilangan Bulat ganjil, dan q n bilangan Bulat ganjil Bukti: Harus dibuktikan bahwa p q bernilai BENAR. Oleh karena n ganjil (p), maka dapat dimisalkan : n = a + 1, dengan a bilangan Bulat, Dengan demikian: n = ( a + 1 ) = [ Bulat ganjil (q) ]

14 LKS-Mat.X-59 B... Bukti tidak langsung. Metode bukti tak langsung yang sering disebut reductio ad absurdum dengan kemustahilan banyak digunakan dalam Geometri. atau bukti (i) Dengan Kontradiksi: Misal akan dibuktikan : p q bernilai BENAR. Dari yang diketahui p benar, diandaikan q salah atau ~ q benar. Dengan langkah logis diturunkan bahwa ~ p benar. Hal ini berarti terjadi kontradiksi (karena diketahui p benar), dengan demikian pengandaian bahwa q salah harus diingkar yang berarti benar. Masalah 11: Buktikanlah bahwa untuk semua bilangan bulat n, Jika n ganjil maka n ganjil. Penyelesaian: Misalkan: Diketahui n bilangan ganjil, akan dibuktikan n bilangan ganjil Bukti: Andaikan n bukan bilangan genap, karena n bilangan genap, Dapat dimisalkan : n = k, dengan k bilangan Bulat, Dengan demikian: n = ( k ) =... = (... ) = m, dengan m =... Karena n = m berarti n bilangan genap. Hal ini bertentangan (kontradiksi) dengan yang diketahui bahwa n ganjil. Oleh karena itu pengadaian harus diingkar yaitu yang benar adalah n bilangan ganjil. (terbukti) (ii) Dengan Kontraposisi Bukti dengan kontraposisi dapat dilakukan dengan langkah logis sbb: Misalkan harus dibuktikan p q (BENAR) Kita andaikan q Salah atau ~ q Benar, dengan langkah logis diturunkan p salah atau ~ p benar, maka diperoleh : ~ q ~ p (BENAR) Oleh karena : ~q ~ p p q maka Jika ~ q ~ p (BENAR), akibatnya p q juga BENAR. Masalah 1: Buktikanlah bahwa untuk semua bilangan bulat n, Jika n ganjil maka n ganjil. Penyelesaian: Diketahui : n bilangan bulat ganjil. ( p ) Harus dibuktikan : n bilangan bulat ganjil ( q ) Andaikan : n bukan bilangan bulat ganjil (~q ) Maka : n bukan bilangan bulat ganjil. (~p ) Karena : ~q ~ p kontraposisi dari p q dan ekuivalen Maka terbukti bahwa pernyataan benar. Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Gunakan bukti langsung guna membuktikan kebenaran masing-masing pernyataan di bawah ini! a. Untuk setiap bilangan n, jika n genap maka n genap. b. Setiap bilangan real x, jika x = 3 maka x = 9 c. Terdapat bilangan real sehingga r > r d. Jumlah sudut-sudut dalam sebuah segitiga ama dengan 180 o e. Untuk setiap bilangan real x, 1 + cos x 0

15 LKS-Mat.X-60 c. Untuk setiap bilangan bulat a dan b, jika ab ganjil maka a dan b keduaduanya ganjil. d. Jika dua garis a dan b sejajar dipotong oleh garis ke tiga c, maka sudutsudut dalam berseberangan sama besar. e. Untuk setiap bilangan real x, Jika x > 1 maka x < -1 atau x > 1 B... Induksi matematika. Salah satu cara pembuktian yang penting dalam matematika adalah jenis ini. Dengan prinsip sebagai berikut: Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1) bernilai BENAR, dan apabila P(k) juga bernilai BENAR maka P(k +1) juga bernilai BENAR. Maka dapat dipastikan P(n) bernilai BENAR untuk semua n bilangan Asli Masalah 13: Buktikanlah bahwa (n 1) = n, untuk semua bilangan Asli n. Penyelesaian: Misalkan: P(n) adalah (n 1) = n (a). Untuk n = 1, maka P(1) bernilai Benar, Sebab 1 = (.. ) = 1 (b). Andai untuk n = k sehingga P(k) bernilai Benar, yaitu apabila: (. 1) =..., maka: (c). Akan dibuktikan berlaku (Benar) untuk n = k (k -1) + ( (k+1) 1) = [ (k -1) + [(k ) ] k =... + (... +1) = k = ( ) Jadi untuk P(k + 1) bernilai Benar, dengan demikian P(n) Benar. Permasalahan untuk didiskusikan siswa: Buktikan kebenaran dari argumentasi di bawah ini dengan Induksi Matematika! 1. Buktikan bahwa n 3 +5n habis dibagi oleh 6. Buktikan bahwa n = ½ n (n +1) 3. Buktikan bahwa n -1 = n Buktikan bahwa 3 3n + n + habis dibagi 5 5. Buktikan bahwa 4n n +1 habis dibagi oleh 11

16 1. Jika kita akan membuktikan kebenaran implikasi p q, kita dapat melakukannya dengan bukti tidak langsung yaitu kontraposisi, hal ini sah karena a. kedua ruas di negasi sehingga nilai kebenarannya sama b. kontraposisi ekuivalen dengan implikasi c. invers ekuivalen dengan implikasi d. pembuktian dengan kontraposis selalu bernilai benar e. kontraposisi sama dengan implikasi pvq 0. Kesimpulan dario tiga premis: q r, adalah... r a. p b. p c. q d. q e. p p 03. Ditentukan premis-premis : 1. Jika Adi rajin, maka ia disayang ibu.. Jika Adi disayang ibu, maka ia disayang bapak. 3. Adi tidak disayang bapak. Kesimpulan yang sah dari ke-tiga premis tersebut adalah... a. Adi rajin tapi tidak disayang ibu. d. Adi tidak rajin b. Adi rajin e. Adi disayang nenek c. Adi disayang ibu LKS-Mat.X Semua peserta UMPTN ingin diterima di Perguruan Tinggi Negeri. Soni tidak ingin diterima di perguruan tinggi negeri. Kesimpulan:..., Isian yang tepat adalah: a. Soni ingin diterima di perguruan tinggi negeri b. Soni tidak ingin lulus UMPTN c. Soni peserta UMPTN d. Soni bukan peserta UMPTN e. Soni peserta UMPTN yang tidak ingin diterima di perguruan tinggi negeri. 05. Semua lelaki berrambut gondrong berjiwa seni. Ali berjiwa seni Amir berambut gondrong, Penarikan kesimpulan berikut: 1. Ali berambut gondrong. 3. Ali dan Amir berambut gondrong.. Amir berjiwa seni 4. Ali atau Amir berambut gondrong. Penarikan kesimpulan yang valid adalah... a. 1, dan 3 b. 1 dan 3 c. dan 4 d. 4 e. 1,, 3 dan Pembuktian berikut termasuk bukti langsung, kecuali... a. Modus ponens c. kontraposisi e. Silogisme b. Modus Tollens d. Induksi Matematika 07. Jika kita akan membuktikan bahwa 3 irrasional menggunakan bukti tak langsung, maka langkah yang benar adalah... a. lihat 3 dalam tabel c. 3 = 6 e. dengan menggunakan kalkulator b. lihat 3 lewat kalkulator d. 3 = b a, a, b bulat yang tidak punya faktor persekutuan. 08. Jika kita akan membuktikan kebenaran Implikasi p q, kita dapat melakukanya dengan bukti tak langsung melalui kontraposisi, hal ini syah karena... a. ke-dua ruas dinegasi sehingga nilai kebenarannya sama. b. kontraposisi ekuivalen dengan implikasi c. invers ekuivalen dengan implikasi d. pembuktian dengan kontraposisi selalu bernilai benar.

17 1. Semua siswa kelas X memakai baju baru. Semua siswa kelas X tidak memakai dasi. Budi memakai dasi, Tentukan kesimpulan yang syah dari ke-tiga premis tersebut!. Buktikan bahwa n = n (n +1) 3. Buktikan bahwa 7 n habis dibagi 8 untuk semua n bilangan asli! LKS-Mat.X-6 MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR Menurut anda materi belajar tentang bentuk pangkat dan logaritma (lingkari angka diantara pernyataan berikut): Menyenangkan Membosankan Bermanfaat Tidak Bermanfaat Menarik Tidak Menarik Sangat perlu dipelajari Tidak perlu dipelajari Menantang Tidak Menantang Perlu disebar luaskan Tidak Perlu disebar luaskan Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari Tidak Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari Petunjuk Penilaian: 1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan maka materi pembelajaran menarik minat siswa.. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak menarik minat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi pembelajaran, dll.

18 Standar Kompetensi Memahami dan Menggunakan aturan dan sifat perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah A. NILAI PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. Kompetensi Dasar :.1. Menggunakan sifat dan aturan tentang fungsi trigonometri, rumus Sinus, dan rumus Cosinus dalam pemecahan masalah. A.1. UKURAN SUDUT DALAM DERAJAT DAN RADIAN. Pengalaman Belajar:.1. Mendefinisikan pengertian derajat dan radian..1. Mengidentifikasi hubungan ukuran sudut dari derajat ke radian dan sebaliknya. Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut ukuran sudut diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: Dalam setiap pembicaraan tentang trigonometri tidak terlepas dari apa yang dinamakan ukuran sudut. Pada hakekatnya ukuran sudut sering dinyatakan dalam dua hal, sebagai berikut: A.1.1. UKURAN DERAJAT. Y Jika Titik A bergerak mengelilingi keliling lingkaran penuh, berarti titik A menempuh sudut 360 o Jika bergerak setengah putaran penuh, berarti Titik A menempuh sudut... o Jika bergerak seperempat putaran penuh, berarti Titik A menempuh sudut... o Jika titik A menempuh sudut 30 o, maka A bergerak o 30 mengelilingi keliling lingkaran putaran =... putaran. o 360 A X

19 ... Jadi pengertian dari: 1 o = putaran penuh.... A.1.. UKURAN RADIAN. Y Perhatikan gambar disamping: B R Besar sudut AOB dapat dinyatakan dalam : O A Panjang busur AB radian Jari jari LKS-Mat.X-63 LKS-Mat.X-64 y Q Perhatikan gambar disamping ini: R Jika panjang busur PQ sama dengan panjang jari-jari R Lingkaran. Maka POQ besarnya 1 radian. R P Sehingga 360 o =...?... radian. O x Telah diketahui bahwa 360 o adalah besar sudut 1 putar an penuh. Dalam perhitungan ukuran radian, maka: Keliling lingkaran 360 o = radian Jari jari R = radian... Jadi : =... radian =... radian =... radian. Jika mendekati 7 maka 1 radian = o x180 =... o 7 Masalah 14: a. Nyatakan ukuran derajat berikut ke dalam ukuran radian! i. 60 o ii iii b. Nyatakan ukuran radian berikut ke dalam ukuran derajat! i. 3 radian ii. 3 radian iii. radian Penyelesaian: i. 60 o = x = x = radian a =... b = i. 3 radian = 3 x 180 o =... o ii. 3 radian =... iii. radian = x 57,7 o =... o Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

20 a. 3 7 rad b. rad c. rad d. 1, rad e. 3,5 rad f. 0,5 rad A.. NILAI PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI. Pengalaman Belajar:.3. Mendefinisikan nilai perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku..4. Menghitung nilai sinus sudut siku-siku dan sudut-sudut tertentu/ atau sudut khusus. Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut nilai perbandingan fungsi trigonometri diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: LKS-Mat.X-65 Nilai perbandingan fungsi trigonometri pada hakekatnya dapat diturunkan dari konsep dasar tempat Kedudukan Titik pada koordinat cartesius (Ingat materi SLTP) dipadu dengan teorema Phytagoras, sebagaimana dapat diperhatikan pada gambar berikut: Untuk setiap sudut di kuadran 1 (a o lancip) dapat diturunkan pengertian Fungsi Trigonometri, yang pada hake- P(x, y) katnya merupakan nilai perbandingan dari 3 sisi suatu se gitiga siku-siku ( perhatikan segitiga OAP ), sbb: sisi tegak AP y R y Sinus a o = Sin a o = = = sisi miring OP... sisi datar OA... a o Cosinus a o = Cos a o = = = sisi miring OP... O x A X sisi tegak AP... Tangen a o = Tan a o = = = sisi datar Disamping itu terdapat pula relasi kebalikan dari fungsi trigonometri sebagai berikut: Secans a o = Sec a o sisi miring OP... 1 = = = = sisi datar OA... o cos.a Cosecans a o = Cosec a o sisi miring = = = = sisi tegak AP... o sin.a Cotangens a o = Cotan a o sisi datar OA... 1 = = = = sisi tegak Masalah 15: Tentukan nilai-nilai perbandingan dari 4 fungsi trigonometri dari sebuah segitiga a siku-siku di bawah ini C Penyelesaian: 5 Dari gambar didapat: a = 5... = =... =... Sehingga nilai-nilai fungsi trigonometri dapat diturunkan, sebagai berikut: B A

21 AB... BC... Cos A = = =... Cos C = = = Tan A = AB = =... Tan C = = = Sec A = = =... Cosec C = = = Sekarang bagaimana kita menentukan nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut khusus atau istimewa, dan perlu diketahui bahwa yang dimaksud sudut istimewa adalah nilai-nilai sudut pada kuadran I diantaranya 0 o, 30 o, 45 o, 60 o dan 90 o C Pada segitiga ABC siku-siku di B sama kaki dengan panjang sisi siku-sikunya p, berarti AB = BC = p Sehingga didapat AC = p dan sudut A = 45 o p A B Sehingga didapat: BC p Sin A = Sin 45 o = = AC p p... = = = =... LKS-Mat.X-66 AB... CosA = Cos 45 o = =... p = = C BC... Tan A = Tan 45 o = = =... AB... Pada segitiga ABC siku-siku di B dengan AB = p, A = 60 o, D Maka C =.. o Dibuat ABD = 60 o, maka ADB =... o dan CBD =.. o 60 o A B Karena A = 60 o = ABD, maka segitiga ABD sama sisi, sehingga AB = AD = = p Karena C = CBD, maka segitiga BCD sama kaki, sehingga BD = =.. Akibatnya AC = AD + CD = +.. = dan BC = AC AB =. BC Sin A = sin 60 o = = = Sin C = sin 30 o = = = AC... AC Cos A = sin 60 o = = = Cos C = Cos... o = = = Tan A = sin... o = = = Tan C = Tan... o = = = Dari beberapa temuan di atas dapat dibuat tabel dan coba lengkapilah tabel berikut: Fungsi 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o Sin

22 Cosec Cotan Masalah 16: Tanpa menggunakan kalkulator dan alat lain, tentukan nilai dari: sin 30 o cos 60 o + cos 30 o sin 60 o Penyelesaian: sin 30 o cos 60 o + cos 30 o sin 60 o = ( 1 x... ) + (... x... ) = =... Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Tentukan nilai perbandingan fungsi trigonometri lengkap dari gambar di bawah ini! C Q C a 3 B P p B 6 R A c A. Tentukan nilai dari : a. Tan 30 o + cos 45 o sin 45 o d. cos 30 o cos 60 o sin 30 o sin 60 o b. sin 30 o + cos 60 o + tan 45 o e. sin 60 o tan 30 o + tan 60 o cos 30 o c. cos 45 o + cos 45 o 1 o o o sin 45 sin 60 cos 45 cos f. o o tan30 tan o LKS-Mat.X Hitunglah unsur-unsur yang belum diketahui dari segitiga ABC jika diketahui C= 90 o dan: a. A= 15 o dan a = 10 cm b. B= 70 o dan c = 0 cm 4. D p 4cm Tentukan nilai p dari gambar disamping! C 30 o A 10 cm B 5. P Pada gambar disamping, jika Q = 60 o dan QR = 8 cm, APQ = ASP = PRS = 90 o Tentukan panjang PQ, PR, PS dan QS! R A S Q A.3. RELASI SUDUT FUNGSI TRIGONOMETRI. Pengalaman Belajar:.5. Menunjukan letak sudut di beberapa kuadran.6. Menghitung nilai sinus, cosinus, tangen dari beberapa kuadran.7. Menghitung besarnya sudut dalam perbandingan trigonometri jika salah satu nilai trigonometrinya diketahui. Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa

23 Pengantar materi: A.3.1. Tanda-tanda fungsi trigonometri di berbagai kuadran. Dengan mengingat kembali definisi fungsi trigonometri dan juga memperhatikan letak kaki sudut di kuadran tertentu, terdapat perbedaan tanda positif dan negatif pada setiap unsur x dan y, sehingga memiliki pengaruh pada nilai perbandingan fungsi trigonometri, coba perhatikan gambar dan tabel dibawah ini: y Kuadran II Kuadran I x < 0, y 0 x > 0, y > 0 R 0 R > 0 x 0, y 0 x 0, y 0 R 0 R... 0 Kuadran III Kuadran IV x Kuadran Nilai Perbandingan Trigo- I II III IV nometri x y x y x y x y Sinus + + Cosinus + - Tangen + + A.3.. Relasi sudut fungsi trigonometri di berbagai kuadran. y Perhatikan gambar di samping, nampak bahwa P P hasil pencerminan Titik P terhadap sumbu y, di dapat titik P dan seterusnya, sehingga diturunkan nilai sudut di berbagai kuadran yang mem- (180 - ) x punyai korelasi satu sama yang lainnya, seba- (180 + ) (360 - ) gai berikut: atau (- ) LKS-Mat.X-68 Kuadran II Kuadran I Sin (180 - ) = Sin Cos (180 - ) = - Cos Tan (180 - ) = - Tan Sin Cos Tan Kuadran III Sin (180 + ) = - Sin Cos (180 + ) = - Cos Tan (180 + ) = Tan Kuadran IV Sin (360 - ) = - Sin Cos (360 - ) = Cos Tan (360 - ) = - Tan A.3.3. Relasi sudut yang saling berkomplemen di berbagai kuadran. Dengan menggunakan aturan refleksi/pencerminan terhadap garis y = x & y = -x dari suatu titik P(x, y) yang membentuk sudut, kita dapat turunkan relasi dari beberapa sudut yang saling berkomplemen, sebagai berikut: Kuadran II Sin (90 + ) = Cos Kuadran I Sin (90 - ) = Cos

24 Sin (70 - ) = - Cos Cos (70 - ) = - Sin Tan (70 - ) = Cotan Sin (70 + ) = - Cos Cos (70 + ) = Sin Tan (70 + ) = - Cotan Masalah 17: 1. Tanpa menggunakan kalkulator dan alat lain, tentukan nilai dari: a. sin 10 o b. Cos 300 o Tan 135 o c. Sec 10 o. Jika sin 44 o = 0,695 dan cos 46 o = 0,719, maka tentukan nilai dari fungsi trigonometri berikut ini (tanpa bantuan alat hitung)! a. cos 6 o b. Sin 4 o sin 316 o Penyelesaian: 1. a. Sin 10 o = ( ingat 10 o berada pada kuadran II sehingga Sin + ) 1 Sin 10 o = Sin ( ) o = Sin... o = 3 b. Cos 300 o Tan 135 o = Cos ( ) Tan ( ) = Cos... ( -Tan... ) = =... c. Sec 10 o = Sec ( ) o = ( Sec.. o ) = =. Diketahui : sin 44 o = 0,695 dan cos 46 o = 0,719 Ditanya : a. cos 6 o b. Sin 4 o sin 316 o Jawab : a. cos 6 o = (berada di kuadran II berkomplemen ) cos 6 o = cos ( ) o = - sin 44 o = -. b. Sin 4 o sin 316 o = Sin ( ) o - Sin ( ) o = - cos... cos... = - cos... = -... A.3.4. Menentukan nilai perbandingan trigonomeri. LKS-Mat.X-69 Menentukan nilai fungsi trigonometri di berbagai kuadran jika salah satu nilai fungsinya diketahui harus memperhatikan aturan nilai fungsi yang berlaku di masing-masing kuadran. Masalah 18: Jika sin A = 5 4 dan 90 o < A < 180 o (kuadran II) maka Tentukan nilai dari: a. cos A b. Tan A c. sec A d. 1 cotan A Penyelesaian: Karena A pada kuadran II, maka x < 0 dan y > 0 maka R > 0 4 y sin A = =, maka didapat y = 4 dan R = 5 sehingga x = R y 5 R maka x = x... a. cos A = = R =... =... dan didapat : c. sec A = [ sec A ] = [ ] = b. Tan A = = d. 1 cotan A = 1 - [ ] = 1 - =

25 -½ Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Tanpa alat bantu, tentukan nilai dari: a. tan 40 o (sin 30 o + cos 45 o ) c. tan 10 o cotan 30 o + sec 330 o b. tan ( sin + cos ) d. tan - cotan + sin + cos Jika diketahui A =, maka nilai dari : sin A cos A + tan A adalah Jika diketahui cos 15 o = k, maka tentukan nilai dari Sin 15 o! 4. Jika sin A = 7 4 dan A sudut lancip maka tentukan nilai dari : a. sin A cos A b. Cos A sin A c. cosec A ½ cotan A 7 5. Jika tan B = dan B sudut tumpul 9pada kuadran III) maka tentukan nilai dari: 4 a. cos B sin B b. Cos B tan B c. sec B cotan B A.4. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI. Pengalaman Belajar:.8. Menggambar grafik fungsi sinus, cosinus dan tangen Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut grafik fungsi trigonometri diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: Pengantar materi: Grafik fungsi trigonometri merupakan sketsa gambar fungsi trigonometri dalam bidang datar yang tertuang dalam sumbu salib cartesius, dan guna mendukung hal tersebut siswa diharapkan membuka lagi konsep periodisitas fungsi trigonomeri yang sudah disampaikan pada jenjang SLTP. Grafik fungsi trigonometri dasar dinyatakan dalam: f(x) = sin x, f(x) = cos x dan f(x) = tan x LKS-Mat.X-70 Dengan bantuan nilai perbandingan fungsi trigonometri sudut-sudut istimewa di beberapa kuadran, maka garfik fungsi trigonometri tersebut dapat kita lukis / sketsa sebagaimana langkah berikut: X f(x) = sin x 0... ½ ½... -½ -½ 1 y ½ y = sin x

26 X f(x) = cos x 1 ½ 3... ½ ½... 1 y ½ y = cos x ½ -1 X Y = tan x 0 1/ y 3 1 y = cos x LKS-Mat.X-71 Dari grafik fungsi trigonometri di atas nampak bahwa fungsi trigonometri memiliki periode / satu putaran nilai yang berbeda, dan dapat diperhatikan sebagai berikut: Fungsi : f(x) = sin x dan f(x) = cos x terbentuk grafik utuh/penuh dalam interval : 0 o x 360 o, dengan demikian nilai fungsi akan berulang kembali setelah 360 o, Jadi fungsi sinus dan cosinus mempunyai periode 360 o atau biasa dinyatakan : x k. 360 o, di mana k Bil. Real. f(x) = tan x terbentuk grafik utuh/penuh dalam interval : 0 o x 180 o, dengan demikian nilai fungsi akan berulang kembali setelah 180 o, Jadi fungsi tangen dan cotangen mempunyai periode 180 o atau biasa dinyatakan : x k. 180 o, di mana k Bil. Real. A.5. TEMPAT KEDUDUKAN TITIK (KOORDINAT KUTUB). Tempat kedudukan titik pada hakekatnya dapat dinyatakan dalam fungsi trigonometri dan biasa dikenal dengan Koordinat kutub, sistem ini dapat diturunkan dari hubungan pengertian dasar nilai perbandingan fungsi trigonometri sebagaimana bagian terdahulu. Jika terdapat titik dalam koordinat Kartesius P ( x, y ) dapat diubah menjadi koordinat

27 P(x, y) Telah diketahui bahwa:... Sin o = maka y = R... R R y R = x o Cos o =... maka x =... cos o 3 x y O x X... Tan o = maka o = anti tan... Masalah 19: Nyatakan ke dalam koordinat kutub A( -1, 3 ) Penyelesaian: A( -1, 3 ) didapat x = -1 dan y = 3 berarti o berada pada kuadran II =... Maka R =... Dan o = anti tan =... =... = o sehingga didapat P ( R, o ) P (.,.. o ) A.6. PERSAMAAN TRIGONOMETRI DASAR. Persamaan trigonometri pada hakekatnya sama saja dengan persamaan linier maupun kuadrat, di mana Himpunan penyelesaiannya merupakan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut, bedanya dalam persamaan trigonomeri nilai pengganti x merupakan suatu sudut, beberapa bentuknya: sin x = c, cos x = c, tan x = c dst, dan c Bil. Real. Masalah 19: Tentukan Himpunan Penyelesaian dari: sin x = ½ pada 0 o x 360 o Penyelesaian: sin x = ½ karena sin x nilainya + maka x berada dalam kuadran I atau II, sehingga: i). sin x = sin 30 o (Kuadran I) ii). sin x = sin (180 30) o (Kuadran II) x =... o k. 360 o x =... o k. 360 o untuk k = 0 x = 30 o untuk k = 0 x =... o k = 1 x = 390 o (Tidak memenuhi) Jadi: HP = { 30 o,... o } Permasalahan untuk didiskusikan siswa: 1. Gambarlah grafik fungsi berikut ini, pada 0 o x 360 o : a. y = ½ cos x c. f(x) = sin x b. y = - tan x d. f(x) = -3 cos 3x. Nyatakan ke dalam koordinat kutub beberapa titik berikut ini: a. (, 3 ) b. (-3 3, 3) c. (-1, 3 ) d. (-3, -3) 3. Nyatakan ke dalam koordinat katesius beberapa titik berikut ini: 7 5 a. (4, 60 o ) b. (3, 40 o ) d. (5, ) d. (6, ) Tentukan Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut ini: a. sin x = ½ 3 c. cos x = -½ e. Tan x = 3 LKS-Mat.X-7

28 A. Berilah tanda silang pada huruf yang memuat jawaban paling tepat! 1. Jika tan A = 7/4, A sudut lancip, maka nilai sin A. cos A =. a. 168/65 b. 131/65 c. 14/65 d. 4/175 e. 7/175. Koordinat cartesius titik (6, 45 o ) adalah.. a. (3, 3 ) c. (3 3, 3 3 ) e. (3 3, 3 ) b. (3, 3) d. (6, 6) 3. Koordinat kutub dari titik (9, 9 3 ) adalah. a. (9, 30 o ) b. (9, 60 o ) c. (18, 60 o ) d. (18, 30 o ) e. (4, 30 o ) 4. Nilai dari cos (100 o ) =... a. 0 b. ¼ c. ½ d. ½ 3 e. ¾ 5. Diketahui = 3,1416, maka jika 60 o dinyatakan dalam radian =... a.,0944 b. 1,5708 c. 1,047 d. 0,945 e. 0, Hitung harga cos 75 + cos 15 =...(tanpa menggunakan tabel) a. 1 b c. 1 5 d. 1 6 e cos 105 = a. 6 - b. 6 + c d. - 6 e jika tg = ( A lancip) maka sin A = a. b. c jika cos A = 0,8 maka tg A adalah a. b. c. d bila tg ½ x = t maka sin x adalah... t t 3t 1 t 1 t 1 t a. b. c. B. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Tentukan nilai dari tg 135 sin10 cos150!. Tentukan titik p (4, 180 ) dalm koordinat kartesius! Jika cosec dan lancip, tentukan sin dan ctg! 1 e t d. 13 d. 1 t 3 e e. 5t 1 t LKS-Mat.X-73 B. ALJABAR (PERHITUNGAN DASAR) FUNGSI TRIGONOMETRI. Kompetensi Dasar :.. Menentukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang ber kaitan dengan fungsi trigonometri. B.1. IDENTITAS FUNGSI TRIGONOMETRI. Pengalaman Belajar:..1. Membuktikan berlakunya identitas fungsi trigonometri... Mendiskusikan pola pembuktian fungsi trigonometri..3. Mempresentasikan dan menyimpulkan hasil diskusi Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut identitas fungsi rigonometri diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari

29 Dalam setiap pembicaraan tentang identitas fungsi trigonometri tidak terlepas dari apa pengertian dasar nilai perbandingan fungsi trigonometri, dan perhatikan serta diskusikan dengan teman anda beberapa konsep dasar berikut ini: y Perhatikan gambardi samping: P(x, y) Telah diketahui bahwa:... Sin o = maka y = R... R R y R = x o Cos o =... maka x =... cos o 3 x y O x X... Tan o = maka o = anti tan... a. Dari x + y = R (... cos o ) + (R...) = R R (...) +... sin o =... R ( ) = R ( ) = 1 Jadi: cos o +... o = 1 Cos o = Sin o = o sin b. o cos = y R x R sin cos o o = x R x... =... = tan o Dengan langkah dan pola berpikir yang sama, diskusikan dan tunjukan berlakunya identitas berikut ini: 1 cos A 1. cosec A = 4. cotan A = sin A sin A 1. sec A = 5. tan A + 1 = sec A cos A 1 3. cotan A = 6. cotan A + 1 = cosec A tan A LKS-Mat.X-74 Masalah 0: Buktikan bahwa: sin A cotan A + cos A tan A = 1 Bukti: Ambil Ruas Kiri: sin A cotan A + cos A tan A sin A cos A... + cos A cos A +..

30 Bukti: Ambil Ruas Kiri: ( cos A + sin A ) cos A sin A ( cos A + cos A +. A ).. ( cos A +.. ) 1 (terbukti) Permasalahan untuk didiskusikan siswa: Buktikan identitas-identitas berikut ini: 1. (cos A + sin A)(cos A sin A) = 1 sin A. sin 4 A + sin A cos A + cos 4 A = cos A 3 = 5 sin A 4. tan A sin A = cos A 5. ( 1 + tan A) cos A = 1 6. ( 1 sin A)(1 + tan A) = 1 7. sin 4 A cos 4 A = 1 cos A sin A cos A sin A cos A 1 sin ACosA 9. sin A sec A cosec A 1 = tan A sin A + cos A = sec A B..1. LUAS SEGITIGA dan SEGI-n. Pengalaman Belajar:..4. Membuktikan berlakunya rumus sinus untuk luas segitiga..5. Mempresentasikan dan menyimpulkan hasil diskusi..6. Mendiskusikan berlakunya aturan sinus dan aturan cosinus...7. Menghitung luas segi-n beraturan. Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut penerapan fungsi sinus dalam luas segitiga dan segi-n diharapkan peserta didik secara mandiri menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini: LUAS SEGITIGA Pengantar materi: Rumus sinus untuk menentukan luas segitiga dapat diturunkan dari pengertian dasar nilai perbandingan fungsi trigonometri jika diketahui dua sisi dan satu sudut apit segitiga, LKS-Mat.X-75 dan perhatikan serta diskusikan dengan teman anda beberapa konsep dasar berikut ini: C C b a b t a t