Jadi penting itu baik, tapi jadi baik jauh lebih penting

Transkripsi

1 LOGIKA MATEMATIKA

2 Logika Matematika - Pernyataan, Nilai Kebenaran, dan Kalimat Terbuka - Pernyataan Majemuk - Konvers, Invers, dan Kontraposisi - Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial - Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor - Penarikan Kesimpulan Klik salah satu - Penyusunan Bukti

3 Pernyataan, Nilai Kebenaran dan Kalimat Terbuka - Pernyataan - Lambang dan Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan - Ingkaran atu Negasi Suatu Pernyataan - Kalimat Terbuka Klik salah satu

4 Pernyataan Adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak dapat sekaligus benar dan salah. Contoh: - Menara itu tinggi. - Jumlah hari ada 7. - Tangkaplah orang itu! (Pernyataan) (Pernyataan) - Berapa Umurmu sekarang? (Bukan Pernyataan) (Bukan Pernyataan)

5 Lambang dan Nilai Kebenaran Contoh: Suatu Pernyataan Lambang Suatu pernyataan dilambangkan dengan memakai huruf kecil, seperti a, b, c,,p,q,r, dan seterusnya. Pernyataan 4 adalah bilangan genap dapat dilambangkan dengan memakai huruf p. Ditulis: P : 4 adalah bilangan genap.

6 Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan Nilai benar atau salah dari suatu pernyataan dapat ditentukan memakai: Dasar Empiris: Menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang ada atau dijumpai dalam kehidupan sehari-hari Contoh: 1. Ibukota jawa Timur adalah Surabaya, meupakan pernyataan benar. 2. Air adalah benda padat, merupkana pernyataan salah. Dasar Tak Empiris: Menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan dengan memakai bukti atau perhitungan-perhitungan dalam matematika. Contoh: 1. Akar persamaan 3x 1 = 5 adalah 2, merupakan pernyataan benar. 2. Jika x > 1, maka x > 2 merupakan pernyataan salah. Lanjut

7 Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar), Sedangkan untuk pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran s (salah). Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan memakai huruf Yunani τ (dibaca: tau) Contoh: 1. τ(p) = B dibaca niali kebenaran pernyataan p adalah B atau pernyataan p mempunyai nilai kebenran B. 2. q: 10 kurang dari 5, merupakan pernyataan yang salah, ditulis τ(q) = S.

8 Ingkaran Atau Negasi Suatu Pernyataan Adalah pernyataan yang menyangkal atau mengingkari pernyataan awal Dari suatu pernyataan p dapat dibentuk ingkaran p atau negasi p, dilambangkan oleh ~p, dengan cara menambahkan kalimat tidak benar bahwa di depan pernyataan p, atau jika mungkin dengan menyisipkan perkataan tidak atau bukan di dalam pernyataan p. Tabel Kebenaran Ingkaran suatu pernyatan menyatakan kebalikan dari pernyataan itu sendiri berari nilai kebenarannya adalah terbalik p ~p B S Jika p bernilai benar, maka ~p bernilai salah Jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar. S B Lanjut

9 Contoh: p : = 5 (τ (p) = B) ~p : (τ (~p) = S) q : Semua bilangan prima adalah ganjil (τ (~q) = S) ~q : Tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil (τ (~p) = B) atau ~q : Ada bilangan prima yang tidak ganjil (τ (~q) = B)

10 Kalimat Terbuka Adalah kalimat yang memuat peubah/variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya ( benar atau salah ). Tetapi apabila variabel diganti nilai tertentu akan menjadi suatu pernyataan. Contoh: 2x + 3 = 11 (kalimat terbuka) Y 3 < 4 (kalimat terbuka) Perhatikan contoh!! Jika x diganti 3, diperoleh 2(3) + 3 = 11, merupakan pernyataan salah. Jika x diganti 4, diperoleh 2(4) + 3 = 11, merupakan pernyataan benar. Nilai pengganti x = 4 mengubah kalimat terbuka 2x + 3 = 11 menjadi pernyataan yang benar. Nilai x = 4 disebut penyelesaian dari kalimat terbuka itu. Lanjut

11 Kesimpulan: 1. Kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada himpunan semestanya. 2. Penyelesaian kalimat terbuka adalah nilai pengganti pada himpunan semesta yang mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar. 3. Himpunan penyelesaian kalimat terbuka adalah suatu himpunan dengan anggota-anggota merupakan penyelesaian dari terbuka itu. Contoh: 1. Himpunan penyelesaian persamaan x + 3 = 8 (x peubah pada himpunan bilangan real R) adalah HP = {5}. 2. Himpunan penyelesaian persamaan x2 5x + 6 = 0 (x peubah pada himpunan bilangan real R) adalah HP = {2,3}.

12 Pernyataan Majemuk - Kebenaran Suatu Pernyataan Majemuk - Negasi Suatu Pernyataan majemuk Klik salah satu

13 Kebenaran Suatu Pernyataan Majemuk - Disjungsi - Konjungsi - Implikasi - Biimplikasi Klik salah satu

14 Disjungsi Adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q dengan kata hubung atau. Notasinya: p v q Dibaca: p atau q Tabel Kebenaran disjungsi p q p v q B B B B S B S B B S S S Lanjut

15 Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari: 6 adalah bilangan genap atau 13 adalah bilangan prima. Jawab: Misal: p : 6 adalah bilangan genap q : 13 adalah bilanagn prima p bernilai benar dan q bernilai benar sehingga pernyataan 6 adalah bilangan genap atau 13 adalah bilangan prima bernilai benar

16 Konjungsi Adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q dengan kata hubung dan. Notasinya: p q Dibaca: p dan q Tabel kebenaran konjungsi: p q p q B B B B S S S B S S S S Lanjut

17 Contoh: 13 bilangan prima dan 13 2 = 169 Jawab: Misal: p : 13 bilangan prima Q : 132 = 169 p bernilai benar dan q bernilai benar sehingga pernyataan 13 bilangan prima dan 132 = 169 berniai benar.

18 Implikasi Notasinya: Adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk jika p, maka q. p q Dibaca: Jika p, maka q Bagian jika p dinamakan alasan atau sebab dan bagian maka q dinamakan kesimpulan atau akibat. Tabel kebenaran implikasi: p q p q B B B B S S S B B S S B Lanjut

19 Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut: Jika = 5, maka 5 adalah bilangan prima Jawab: Misal: P : = 5 Q : 5 adalah bilangan prima Jika = 5, maka 5 adalah bilangan prima B B Implikasi ini bernilai benar karena alasan benar dan kesimpulan benar

20 Biimplikasi Notasinya: Adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk p jika dan hanya jika q. p q Dibaca: p jika dan hanya jika q Tabel kebenaran biimplikasi: p q p q B B B B S S S B S S S B Lanjut

21 Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut: 16 1/2 = 4 jika dan hanya jika 16 log 4 = 1/2 Jawab: Misal: p :16 1/2 = 4 Q : 16 log 4 = 1/2 16 1/2 = 4 jika dan hanya jika 16 log 4 = 1/2 B B Merupakan biimplikasi yang benar

22 Negasi Suatu Pernyataan Majemuk - Negasi Konjungsi - Negasi Implikasi - Negasi Disjungsi - Negasi Biimplikasi Klik salah satu

23 Negasi Konjungsi Negasi dari pernyataan p q adalah ~p v ~q Perhatikan contoh konjungsi berikut. p q p q : saya suka apel. : saya tidak suka wortel. : saya suka apel dan tidak suka wortel. ~( p q) : saya tidak suka apel atau saya suka wortel. p ~p q ~q p q ~(p q ) ~p v ~q B S B S B S S B S S B S B B S B B S S B B S B S B S B B

24 Negasi Disjungsi Negasi disjungsi dari pernyataan p v q adalah ~p ~q Perhatikan contoh berikut: ~p p : Andi pergi ke supermarket. q : Andi menonton di bioskop. p v q : Andi pergi ke supermarket atau menonton di bioskop. ~(p v q) : Andi tidak pergi ke supermarket dan tidak menonton di bioskop. p ~p q ~q ~p v ~q ~(p v q) ~q B S B S B S S B S S B B S S S B B S B S S S B S B S B B

25 Negasi Implikasi Negasi pernyataan p q adalah p ~q Perhatikan contoh p berikut: p : Nico belajar dengan giat. q : Nico naik kelas. p q : Jika nico belajar dengan giat maka nico naik kelas. ~(p q) : Jika Nico belajar dengan giat dan ternyata nico tidak naik kelas. p ~p q ~q p q ~( p q) p ~q B S B S B S S B S S B S B B S B B S S S S S B S B S S S

26 Negasi Biimplikasi Perhatikan contoh berikut: P : Ulangan dibatalkan Negasi pernyataan p q adalah (p ~q) v (q ~p) Q : Diadakan kerja bakti p q : Ulangan dibatalkan jika dan hanya jika diadakan kerja bakti ~(p q ) : Ulangan dibatalkan dan tidak diadakan kerja bakti atau diadakan kerja bakti dan ulangan tidak dibatalkan. p ~p q ~q p q ~(p q) p ~q q ~p (p ~q) v (q ~p) B S B S B S S S S B S S B S B B S B S B B S S B B B B S B S B B S S S S

27 Konvers, Invers, dan Kontraposisi Dari suatu implikasi p q dapat dibentuk implikasi lain: q p, yang disebut konvers dari p q. ~p ~q, yang disebut invers dari p q. ~q ~p, yang disebut kontraposisi dari p q. p q konvers q p invers Kontraposis i invers ~p ~q konvers ~q ~p Lanjut

28 p ~p q ~q p q q p ~p ~q ~q ~p B S B S B B B B B S S B S B B S S B B S B S S B S B S B B B B B Contoh:Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi: Jika harga minyak naik, maka harga barang naik. Konversnya (q p) : jika haga barang naik maka harga minyak naik. Invernya (~p ~q) : jika harga minyak tidak naik mak harga barang tidak naik. Kontraposisi (~q ~p) : jika harga barang tidak naik mak harga minyak tidak naik.

29 Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial - Kuantor Universal - Kuantor Eksistensial Klik salah satu

30 Kuantor Universal Sebuah pernyataan dikatakan menggunakan kuantor universal jika menggunakan kata setiap atau semua atau yang ekuivalen dengan itu. Contoh: 1. Semua siswa kelas XA senang olahraga. 2. Setiap peserta ujian wajib membawa kartu tanda peserta ujian.

31 Kuantor Eksistensial Pernyataan dikatakan menggunakan kuantor eksistensial jika menggunakan kata beberapa atau ada atau yang ekuivalen dengan itu. Contoh: 1. Beberapa siswa kelas XB senang olahraga. 2. Ada siswa yang senang matematika.

32 Inkaran dari Pernyataan Berkuantor - Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Universal - Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Eksistensial Klik salah satu

33 Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Universal Ingkaran dari semua p adalah q yaitu beberapa p bukan q. Contoh:p : Semua bilangan prima adalah bilngan asli. Bernilai benar Tentukan ~ p serta nilai kebenarannya. ~ p : Tidak semua bilangan prima adalah bilangan asli, atau ~ p : Beberapa bilangan prima bukan bilangan asli. Jadi, jelas bahwa ~ p bernilai salah. ingkaran dari pernyataan berkuantor universial adalah sebuah pernyataan berkuantor eksistensial

34 Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Eksistensial Ingkaran dari beberapa p adalah q yaitu semua p bukan q. Contoh:p : Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap Tentukan ~ p serta nilai kebenarannya ~ p : Semua bilangan prima bukan bilangan genap, atau ~ p : Tidak ada bilangan prima yang bilangan genap, atau ~ p : Jika x adalah bilangan prima, maka x bukan bilangan genap. ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah sebuah pernyataan berkuantor universal

35 Penarikan Kesimpulan - Prinsip Modus Ponens - Prinsip Modus Tolens - Prinsip Silogisme Klik salah satu

36 Prinsip Modus Ponens Premis 1 : p q Premis 2 : p Konklusi : q Contoh: Premis 1 : Jika Afra kehujanan, maka Afra akan masuk angin. Premis 2 : Afra kehujanan. Konklusi : Afra masuk angin. Misal: p: Afra kehujanan q: Afra masuk angin Penarikan kesimpulannya: p q p q Penarikan kesimpulan ini menggunakan prinsip modus ponens, berarti kesimpulan yang ditarik adalah sah.

37 Prinsip Modus Tolens Premis 1 : p q Premis 2 : q Konklusi : p Contoh: Premis 1 : Jika saya berolahraga teratur, maka saya akan sehat. Premis 2 : Saya tidak sehat Konklusi : Saya tidak berolahraga teratur Misal: p: saya berolahraga teratur q: saya akan sehat Penarikan kesimpulannya: p q ~q ~p Penarikan kesimpulan ini menggunakan prinsip modus tolens, berarti kesimpulan yang ditarik adalah sah

38 Prinsip Silogisme Premis 1 : p q Premis 2 : q r Konklusi : p r Premis 1 : jika x bilangan ganjil, maka 2x bilangan genap. Premis 2 : jika 2x bilangan genap, amka 2x + 1 bilangan ganjil. Konklusi : jika x bilangan ganjil, maka 2x + 1 bilangan ganjil. Misal: p: x bilangan ganjil q: 2x bilangan genap r: 2x + 1 bilangan ganjil Penarikan kesimpulannya: p q q r p r Penarikan kesimpulan ini menggunakan prinsip silogisme, berarti penarikan kesimpulan ini sah.

39 Penyusunan Bukti - Bukti Langsung - Bukti Tak Langsung - Induksi Matematika Klik salah satu

40 Bukti Langsung Bukti langsung mengambil prinsip silogisme sebagai dasarnya. Kebenaran pernyataan pertama berakibat kebenaran pernyataan kedua dan seterusnya samapi pernyataan atau persamaan terbukti. Pada pernyataan berkuantor eksistensial, bukti langsung dilakukan dengan menyebutkan sebuah contoh dari semesta yang menyebabkan pernyataan bernilai benar. Cara substitusi juga termasuk bukti langsung. Buktikan bahwa 3 merupakan akar dari persamaan kuadrat x 2 4x + 3 = 0 Jika 3 disubsitusikan ke persamaan, maka diperoleh 3 2 4(3) + 3 = 0 3 adalah akar dari persamaan kuadrat x 2-4x + 3 = 0

41 Bukti Tak Langsung Bukti tak langsung dengan kontraposisi mengambil prinsip modus tolens sebagai dasarnya. Membuktikan bahwa sebuah pernyataan berkuantor universal salah cukup dengan mengambil contoh yang menyangkal kebenarannya disebut contoh penyangkal dan membuktikan bahwa pernyataan berkuantor universal benar cukup dibuktikan bahwa ingkarannya salah. Buktikan bahwa x, x Andaikan x A x + 2 < 3, maka x < 3 2 x < 1 Pernyataan terakhir ini salah karena tak ada bilangan asli yang lebih kecil dari satu x A, X

42 Induksi Matematika Dua langkah pembuktian dengan Induksi matematika: 1. Buktikan rumus berlaku untuk n = Dimisalkan rumus berlaku untuk n = k, buktikan rumus berlaku untuk n = k + 1 Apabila langkah 1 dan 2 telah dilakukan dan benar, maka dapat disimpulkan bahwa Sn berlaku untuk setiap bilangan asli n. Lanjut

43 Contoh: Buktikan bahwa ( 2n 1) = n 2 untuk n anggota A Langkah 1 Untuk n = 1 1 = = 1 (benar) Langkah 2 Misalkan rumus Sn berlaku untuk n = k, yaitu: ( 2k 1) = k 2 Akan dibuktikan Sn berlaku untuk n = k ( 2k 1) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) K 2 + (2k + 1) = (k + 1) 2 S k + 1 Lanjut

44