LOGIKA MATEMATIKA. Modul Matematika By : Syaiful Hamzah Nasution
|
|
- Ridwan Kurniawan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 LOGIKA MATEMATIKA Logika matematika mempunyai peranan mendasar dalam perkembangan teknologi computer. Karena logika digunakan dalam berbagai aspek di bidang computer seperti pemrograman, ersitektur computer, basisdata dan sebagainya. Nah coba kamu tentukan keterkaitan antara logika matematika dengan pemrograman computer. Logika merupakan ilmu yang mempelajari aturan-aturan penalaran (pemikiran logis) baik dalam bidang matematika, sains, hokum dan bidang lainnya. Logika berhubungan dengan pernyataan. Oleh karena itu, dalam logika hanya terdapat dua kemungkinan kebenaran, yaitu benar atau salah. Dalam pengoperasian computer hanya dikenal du kondisi yang analog dengan logika, yaitu ada atau tidak adanya aliran listrik. Kondisi ini dapat diartikan dalam bahasa logika sebagai kondisi True atau False. Masih ingatkah kamu akan bilangan biner? Sistem bilangan inilah yang digunakan dalam setiap instruksi pada computer. Instruksi ini pada dasarnya merupakan serangkaian kombinasi logis. Dalam bahasan berikut, kita akan mempelajari logika dimulai dengan pengertian tentang pernyataan, bentuk-bentuk logika sama dengan metode-metode penalaran atau pemikiran logis. 1
2 A. PERNYATAAN, BUKAN PERNYATAAN, NILAI KEBENARAN, DAN KALIMAT TERBUKA. 1. Pernyatan dan Bukan Pernyataan Kalimat merupakan rangkaian kata-kata yang disusun sedemikian rupa sehingga memiliki arti yang utuh. Kalimat itu sendiri dikelompokkan menjadi 4 (empat) kelompok, yaitu : kalimat pernyataan, kalimat Tanya, kalimat perintah, dan kalimat seru. Dalam matematika, kalimat yang penting adalah kalimat pernyataan (deklaratif). Kalimat seperti ini memiliki cirri khusus, yaitu kita dapat menentukan kalimat itu sebagai kalimat yang hanya benar saja atau sebagai kalimat yang salah saja. Sebagai contoh : a. Sembilan adalah bilangan ganjil b. Sin 30 0 sama dengan c. Ibu kota Indonesia adalah Yogyakarta. d. Pada segitiga siku-siku berlaku kuadrat sisi miring sama dngan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain. Kalimat (a), (b), (c), (d) pada contoh di atas merupakan pernyataan, mengapa? Pada kalimat (a) dan (d) kita dapat menentukan bahwa kalimat-kalimat tersebut adalah benar dan kalimat (b) dan (c) adalah kalimat yang bernilai salah. Dari penjelasan di sata, kita peroleh definisi sebagai berikut : DEFINISI Pernyataan adalah kalimat tertutup yang hanya benar atau salah saja, tetapi tidak sekaligus kedua-duanya Perhatikan contoh berikut : a. x + 5 = 17 b. p adalah bilangan prima c. Ani adalah gadis yang cantik d. Jarak antara Jakarta dan Surabaya adalah dekat. Kalimat (a), (b), (c) dan (d) bukan pernyataan. Pada kalimat-kalimat tersebut kita tidak dapat menentukan papakah kalimat itu benar atau salah. Untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan berikut ini. Kalimat x + 5 = 17 adalah bukan pernyataan karena bila x diganti dengan 12, maka = 17 menjadi pernyataan yang benar, tetapi bila x diganti dengan sembarang bilangan real yang 2
3 tidak sama dengan 12, maka kalimat tersebut bernilai salah. Jadi kalimat tersebut bias bernilai benar atau bernilai salah tergantung dari nilai x. Jadi x + 5 = 17 bukanlah pernyataan. Kalimat p adalah bilangan prima merupakan bukan pernyataan karena bila p diganti dengan 0, maka pernyataan 0 adalah bilangan prima bernilai salah, tetapi bila p diganti dengan 3, maka pernyataan 3 adalah bilangan prima bernilai benar. Kalimat Ani adalah gadis cantik adalah relative, cantik menurut si A belum tentu cantik menurut si B. Jadi kalimat Ani adalah gadis cantik bukan pernyataan. Demikian pula hanya untuk kalimat jarak antara Jakarta dan Surabaya adalah dekat adalah bukan pernyataan. Karena dekat itu relative. Jarak antara Jakarta dan Surabaya dekat apabila dibandingkan dengan jarak antara Jakarta dan Kairo sehingga menjadi pernyataan yang benar, tetapi bila dibandingkan dengan jarak antara Jakarta dan Bandung maka menjadi pernyataan yang salah. Dari penjelasan di atas, maka diperoleh definisi sebagai berikut. DEFINISI Suatu kalimat merupakan bukan pernyataan jika kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar atau salahnya atau menggantung pengertian relative. Soal Latihan Manakah dari kalimat-kalimat berikut yang merupakan pernyataan? tentukan nilai kebenarannya. 1. Sin cos = x 6 = habis dibagi 3 4. Persegi adalah persegi panjang yang mempunyai panjang dan lebar sama : 5 = Jumlah sudut dalam segitiga adalah Rumus luas persegi panjang adalah panjang dikalikan lebarnya. 8. Menara itu sangat tinggi 9. 2 adalah bilangan rasional 10. Bilangan asli merupakan himpunan bagian dari bilangan bulat 11. Sekarang menunjukkan jam Pelajar yang malas tidak suka belajar 3
4 13. Kota besar menyerap tenaga kerja dari pedesaan 14. Keliling segitiga merupakan jumlah panjang ketiga sisi-sisinya 15. Udara di Kota Bandung sejuk sekali Manakah dari kalimat-kalimat berikut yang merupakan kalimat terbuka? Tentukan penyelesaian dari himpunan penyelesaiannya! 16. Satu jam sama dengan 360 detik 17. x menit sama dengan 3 4 jam 18. 2x 2 7x 15 = 0, x anggota Real 19. 2k +1 merupakan bilangan ganjil untuk k anggota bilangan cacah 20. 2k merupakan bilangan genap untuk k anggoata bilangan cacah 21. Untuk setiap bilangan riil x berlaku x < x cos x < 1 untuk 0 0 x Ada bilangan prima yang genap 24. x 2 < 3 2x, x anggota bilangan real 25. Satu windu sama dengan p hari B. INGKARAN atau NEGASI Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menyangkal atau mengingkari sesuatu. Untuk mengingkari atau menyangkal sesuatu kita seringkali menggunakan kata tidak, tidak benar atau bukan. Misalnya ada seorang teman kamu mengatakan bahwa Paus bernafas dengan insang. Karena kamu mengetahui bahwa pernyataan temanmu itu salah, maka kamu menyangkal pernyataan tersebut dengan mengatakan 1. Tidak benar bahwa paus bernafas dengan insang, atau 2. Paus tidak bernafas dengan insang, atau 3. Paus bernafas bukan dengan insang, atau 4. Paus bernafas dengan paru-paru. Keempat pernyataan baru diatas yang diperoleh dari menyangkal pernyataan awal disebut negasi. Negasi atau ingkaran dari pernyataan p ditulis p. Nilai kebenaran dari suatu ingkaran selalu berlawanan dengan pernyataan semula. Jika p benar, maka p salah dan jika p salah maka p benar. Perhatikan table kebenaran berikut! 4
5 Tabel 1.1 Tabel kebenaran Negasi p B S p S B Catatan: Metamatematika atau metalogika merupakan cabang dari logika yang berkaitan dengan kombinasi dan aplikasi symbol matematika. Metalogika juga berkaitan dalam penelusuran penalaran (pembuktian) teorema-teorema yang ada pada matematika Metalogika ini sendiri terdiri dari beberapa prinsip dasar yang pada umumnya berkaitan dengan bukti-bukti dari ketetapan dalam merumuskan suatu teorema. Metalogika berkembang pada sekitar tahun 1800-an seiring dengan banyaknya usaha yang dilakukan metematikawan dalam merumuskan suatu teorema. Teorema itu sendiri diperoleh sebagai akibat dari aksioma yang tidak memerlukan pembuktian tersendiri. Karena memiliki tingkat kesulitan yang tinggi, dalam merumuskan suatu teorema diperlukan usaha yang lama dan teliti sedemikian sehingga metematika pada saaat itu dipandang sebagai suatu buku cerita atau novel. Sampai pada akhirnya Whitehead dan Russel menerbitkan buku berjudul Principia Mathematica sekitar tahun sebagai contoh, ratusan halaman diperlukan untuk memperoleh suatu pernyataan sederhana seperti = 2 C. PERNYATAAN MAJEMUK Dua atau lebih pernyataan dapat digabungkan sehingga membentuk pernyataan baru yang disebut pernyataan majemuk. Penggabungan tersebut menggunakan kata hubung logika seperti dan ( ), atau ( ), jika,maka ( ), serta jika dan hanya jika ( ) Ada 4 jenis pernyataan majemuk, yaitu: 1. Konjungsi 2. Disjungsi 3. Implikasi 4. Biimplikasi Suatu pernyataan dapt bernilai benar atau salah, sehingga ada dua kemungkinan nilai untuk setiap satu pernyataa, yaitu benar (B) atau salah (S). Oleh karena itu, untuk gabungan dua pernyataan p dan q (pernyataan majemuk) mempunyai komposisi nilai kebenaran seperti pada table berikut : 5
6 Table 1.2 Komposisi Pernyataan p B B S S q B S B S Dengan kata lain suatu pernyataan majemuk tidak diharuskan memiliki hubungan antara komponen-komponennya. Hal itu merupakan sifat yang mendasar di dalam logika matematika. 1. KONJUNGSI Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung dan dilambangkan dengan. Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q adalah p q, dibaca p dan q Suatu konjungsi akan mempunyai nilai benar, jika kedua pernyataannya benar. Tetapi jika salah satu atau kedua-duanya bernilai salah, maka konjungsi itu bernilai salah. Tabel 1.3 Nilai Kebenaran p q p q p q B B B B S S S B S S S S Contoh : Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi berikut : a. P : Tan 30 0 = q : 2 4 = 16 (benar) (benar) (p q) : tan 30 0 = dan 2 4 = 16 bernilai benar b. p : Surabaya ibukota provinsi Jawa Timur (benar) q : 7 adalah bilangan genap (salah) 6
7 (p q) : Surabaya ibukota provinsi Jawa Timur dan 7 adalah bilangan genap bernilai salah c. p : 225 habis dibagi 4 (salah) q : 3 x 7 = 16 (salah) (p q) : 225 habis dibagi 4 dan 3 x 7 = 16 bernilai salah Catatan : Pada konjungsi kata logika dan dapat diganti dengan tetapi, walaupun, dan meskipun. 2. DISJUNGSI Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung atau dan dilambangkan dengan. Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan sebagai berikut : p q, dibaca : p atau q Suatu konjungsi akan mempunyai nilai kebenaran salah jika kedua pernyataannya bernilai salah. Tetapi jika salah satu atyau kedua-duanya bernilai benar, maka disjungsi itu bernilai benar. Perhatikan table kebenaran untuk disjungsi berikut : Tabel. 1.4 Nilai Kebenaran pv q p q p v q B B B B S B S B B S S S Contoh : Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut : a. Semua bilangan prima adalah ganjil atau semua grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x b. Ada bilangan asli yang terbesar atau jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah c. Semua persegi mempunyai sisi sama panjang atau besar sudut pusat lingkaran sama dengan dua kali sudut keliling Jawab : a. p : semua bilangan prima ganjil, berarti pernyataan bernilai salah q : semua grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x, pernyataan bernilai salah jadi p v q bernilai salah 7
8 b. p : ada bilangan asli yang terbesar, berarti pernyataan bernilai salah q : jumlah sudut sudut dalam segitiga adalah 180 0, pernyataan bernilai benar jadi p v q bernilai benar c. p : semua persegi mempunyai sisi sama panjang, pernyataan bernilai benar q : besar sudut pusat lingkaran sama denngan dua kali sudut keliling, pernyataan bernilai benar jadi p v q bernilai benar 3. IMPLIKASI Implikasi atau pernyataan bersyarat adalah pernyataan majemuk dari pernyataan p dan pernyataan q yang berbentuk : p q dibaca : a. jika p, maka q b. bila p, maka q c. p hanya jika q d. q jika p e. p syarat cukup bagi q f. q syarat perlu bagi p p disebut anteseden (sebab) dan q disebut konsekuen (akibat atau konklusi). Jadi, suatu implikasi menyatakan hubungan sebab-akibat walaupun pada dasarnya nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk tiddak diharuskan ada hubungan antara komponen-komponen pembentuknya. Perhatikan table kebenaran berikut : Tabel 1.5 Nilai kebenaran Implikasi p q q q B B B B S S S B B S S B Dari table diatas dapat kita lihat pada baris ke-2. Suatu implikasi bernilai salah bila anteseden bernilai benar dan konsekuennya bernilai salah. Jika anteseden bernilai salah, maka 8
9 nilai kebenaran dari implikasi itu bernilai benar. Jika konsekuennya bernilai benar, maka nilai kebenaran dari suatu implikasi bernilai benar. Contoh : Tentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut: a. Jika ada grafik fungsi kuadrat yang berpotongan dengan sumbu x, maka 16 bilsngsn genap b. Jika (ab) 2 = a 2 b 2, maka Lampung terletak di pulau Jawa c. Jika 3 log 9 = 3, maka 3 adalah bilangan genap d. Jika Kudus ibukota provinsi Jawa Tengah, maka Semarang terletak di Jawa Tengah Jawab : a. p : ada grafik fungsi kuadrat yang berpotongan dengan sumbu x, pernyataan bernilai benar q : 16 adalah bilangan genap, pernyataan bernilai benar jadi p q bernilai benar b. p : (ab) 2 = a 2 b 2, pernyataan bernilai benar q : Lampung terletak di pulau Jawa, pernyataan bernilai salah jadi p q bernilai salah c. p : 2 log 9 = 3, pernyataan bernilai salah q : 3 adalah bilangan genap, pernyataan ssalah jadi p q bernilai benar d. p : Kudus ibukota Jawa Tengah, pernyataan bernilai salah q : Semarang terletak di Jawa Tengah, pernyataan bernilai benar jadi p q bernilai benar 4. BIIMPLIKASI Biimplikasi atau implikasi dua arah adalah pernyataan majemuk dari pernyataan p dan pernyataan q yang berbentuk p q atau (p q) (q p) dibaca : a. p jika dan hanya jika q b. p syarat perlu dan cukup bagi q c. q syarat perlu dan cukup bagi p d. p jika q dan q jika p 9
10 Suatu bilangan bernilai benar bila kedua pernyataanya mempunyai nilai kebenaran yang sama. Perhatikan table kebenaran berikut : Tabel 1.6 Nilai Kebenaran Biimplikasi p q p q q p (p q) ( q p) p q B B B B B B B S S B S S S B B S S S S S B B B B Contoh : Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi berikut : a. Surabaya ibukota provinsi Jawa Timur jika dan hanya jika Jakarta ibukota Negara Indonesia b = 3 jika dan hanya jika 2 x 2 = 5 c. Arema adalah klub sepakbola dari Malang dan hanya jika 2 2 = 8 Jawab : a. p : Surabaya ibukota provinsi Jawa Timur, pernyataan bernilai benar q : Jakarta ibukota Negara Indonesia, pernyataan bernilai benar jadi p q bernilai benar b. p : 1+1 = 3, pernyataan bernilai salah q : 2 x 2 = 5, pernyataan bernilai salah jadi p q bernilai benar c. p : Arema adalah klub sepakbola dari Malang, pernyataan bernilai benar q : 2 2 = 8, pernyataan bernilai salah jadi p q bernilai salah SOAL LATIHAN Untuk soal no 1-2 tentukan nilai kebenaran dari (p q) untuk pernyataan-pernyataan berikut : 1. p : 2 log 5. 5 log 32 = 5 q : 8 log 2 = p : Persamaan kuadrat yang akar-akarnya ½ dan 3 adalah 2x 2 7x + 3 = 0 q : Nilai minimum dari f(x) = -2 sin x adalah -2 Untuk soal no 3-4 tentukan nilai kebenaran dari (pvq) untuk pernyataan-pernyataan berikut: 3. p : x 2 + 5x +10 = 0 mempunyai dua akar real yang berlainan 10
11 q : Grafik fungsi kuadrat f(x) = x 2 +4x +10 tidak memotong sumbu x 4. p : untuk m > 9 4, persamaan x2 + 3x + m = 0 mempunyai dua akar real yang berlainan q : jumlah kuadrat akar-akar persamaan 8x 2 6x + 1 = 0 adalah 5 10 Untuk soal no 5 6 tentukan nilai kebenaran dari (p q) untuk pernyataan-pernyataan berikut : 5. p : = 2 15 q : = p : grafik fungsi kuadrat f(x) = x 2 3x + 2 memotong sumbu x di titik (1,0) dan (2,0) q : Daerah hasil fungsi kuadrat f(x) = x 2 6x + 4 adalah y y 5 Untuk soal no 7 8 tentukan nilai kebenaran dari (p q ) untuk pernyataan-pernyataan berikut. 7. p : grafik fungsi kuadrat f(x) = x 2 + 3x +10 terletak di bawah sumbu x q : grafik fungsi kuadart f(x) = -x 2 + 4x 10 terletak di atas sumbu x 8. p : log 15 + log 5 = log 20 q : log 15 log 5 = log 3 Tentukan nilai x agar bentuk implikasi berikut benar. 9. Jika 2 log (x 1) < 1, maka x 2 4x + 3 < x 2 > 1 atau x > 6 Tentukan nilai x agar bentuk biimplikasi berikut benar. 11. x 2 4x 5 = 0 jika dan hanya jika x 2 + x = x 4x 5, jika dan hanya jika 2 x-2 < 8 11
12 EKUIVALENSI, TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, DAN KONJUNGSI 1. Ekuivalensi Sampai dengan saat ini, kita telah mengetahui bahwa nilai kebenaran pernyataan majemuk merupakan fungsi dari nilai kebenaran pernyataan-pernyataan penyusunnya. Dalam bahasan berikut, kita akan mendefinisikan dua pernyataan majemuk yang ekuivalen. Perhatikan table berikut ini : Tabel 1.7 Tabel penyataan yang ekuivalen p q p q p v q p q B B S S B B B S S B S S S B B S B B S S B B B B Perhatikan bahwa nilai kebenaran dari pernyataan majemuk p v q dan p q adalah sama. Dengan demikian kita peroleh definisi berikut : DEFINISI Dua pernyataan majemuk A dan B dikatakan ekuivalen jika memiliki nilai kebenaran yang sama dan dinotasikan dengan A B Berikut adalah beberapa ekuivalensi yang penting untuk diketahui. 1. Hukum Komutatif a. p v q q v p b. p q q p 2. Hukum Asosiatif a. p (q r) (p q) r b. p v (q v r) (p v q) v r 3. Hukum Distributif a. p (q v r) (p q) v (p r) b. p v (q r) (p v q) (p v r) 4. Hukum De Morgan a. (p q) p v q b. (p v q) p q 12
13 5. Bentuk ekuivalensi lainnya : a. (p) p b. p q p v q c. p q q p d. p q (p q) (q p) e. (p q) p q Berdasarkan nilai kebenarannya, suatu pernyataan majemuk dapat dibagi menjadi tiga macam, yaitu : tautology, kontradiksi dan kontingensi 2. Tautologi Suatu pernyataan majemuk merupakan tautology, jika nilai kebenarannya selalu benar. Contoh : Tabel 1.8 Tautologi p p p v p B S B S B B Selalu benar (tautologi) 3. Kontradiksi Suatu pernyataan majemuk merupakan kontradiksi, jika nilai kebenarannya selalu salah. Contoh : Tabel 1.9 Kontradiksi p p p p B S S S B S Selalu salah (kontradiksi) 4. Kontingensi Suatu pernyataan majemuk merupakan kontingensi, jika nilai kebenarannya memuat benar dan salah. Contoh : Tabel 1.10 Kontingensi p p p p B S S 13
14 S B B Memuat benar dan salah (kontingensi) Soal Latihan Untuk soal nomor 1 6, tunjukkan dengan menggunakan table kebenaran bahwa pernyataan berikut benar. 1. p v q q v q 4. p q (p q) (q p) 2. p v (q v r) (q v p) v r 5. p q p v q 3. p (q v r) (p q) v (p r) 6. p q q p Untuk soal nomor 7 12, tentukan mana diantara pernyataan berikut yang termasuk tautologi, kontradiksi atau kontingensi. 7. p (p q) q 10. p v (p q) (p r) 8. p v ( p q) 11. (p q) ( p v q ) 9. (p q) v ( p q ) 12. p (p q) q E. Invers, Konvers, dan Kontraposisi Perhatikan implikasi berikut : Jika MAlang ibukota Jawa Timur, maka Medan ada di pulau Sumatra Implikasi di atas bernilai benar. Dari bentuk implikasi di atas, dapat dinyatakan menjadi pernyataan baru, diantaranya : a. Jika Malang bukan ibukota Jawa Timur, maka Medan bukan di pulau Sumatra b. Jika Medan berada di pulau Sumatra, maka Malang ibukota Jawa Timur c. Jika Medan bukan di pulau Sumatra, maka Malang bukan ibukota Jawa Timur. Misalnya pernyataan-pernyataan penyusun dari implikasidi atas dinyatakan sebagai p : Malang ibukota Jawa Timur q : Medan ada di pulau Sumatra maka pernyataan (a) (c) dapat dinyatakan sebagai : a. p q b. q p c. q p Bentuk-bentuk di atas berturut-turut disebut invers, konvers, dan kontraposisi dari suatu implikasi p q. Dengan demikiann dari suatu implikasi kita dapat mengubahnya menjadi pernyataan baru yaitu konvers, invers, dan kontraposisi. 14
15 1. p q inversnya adalah p q 2. p q konversnya adalah q p 3. p q kontraposisinya adalah q p Contoh : Nyatakan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan implikasi berikut : Jika persamaan kuadrat mempunyai diskriminan sama dengan nol, maka akar-akarnya kembar Jawab : Misal p : Persamaan kuadrat mempunyai diskriminan sama dengan nol q : Persamaan kuadrat mempunyai akar-akar kembar a. Konvers : Jika persamaan kuadrat mempunyai akar-akar kembar, maka diskriminannya sama dengan nol b. Invers : Jika persamaan kuadrat diskriminannya tidak sama dengan nol, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar kembar c. Kontraposisi : Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar kembar, maka diskriminannya tidak sama dengan nol. Soal Latihan Untuk soal nomor 1 6, tentukan konvers, invers, dan kontraposisinya. 1. p (q v p ) 4. (p q) (q v p) 2 (p q) r 5. q (q p) p 3. ( p q) (p q) 6. (p q) p q Untuk soal nomor 7 10, tentukan konvers, invers, dan kontraposisinya dari pernyataan berikut : 7. Jika suatu bilangan adalah genap, maka bilangan itu tidak habis dibagi 3 8. Jika kuadrat suatu bilangan adalah positif, maka bilangan itu adalah genap 9. Jika ABC sama sisi, maka ABC sama kaki 10. Jika Kiki rajin belajar, maka ia akan lulus ujian 15
16 F. Pernyataan Berkuantor 1. Kuantor Universal ( Umum ) Perhatikan kalimat terbuka berikut ini! x 2 + x + 1 > 0 Untuk menyatakan kalimat terbuka di atas menjadi sebuah pernyataan, terlebih dahulu kita tentukan penyelesaiannya. Dalam hal ini, penyelesaian dari x 2 + x + 1 > 0 adalah x bilangan real. Denagn kata lain, jika kita membatasi daerah asal x sebagai bilangan real, maka x 2 + x + 1 > 0 bernilai benar. Dengan demikian penyelesaian dari x 2 + x + 1 > 0sama halnya dengan pernyataan : Untuk setiap x bilangan real berlaku x 2 + x + 1 > 0 Perrnyataan di atas tersebut pernyataan berkuantor universal (umum). Dalam hal ini, kata setiap atau semua sebagai kuantor universal. Secara umum, suatu kalimat terbuka p(x) dapat dinyatakan sebagai pernyataan dengan cara menambahkan kuantor universal sebelum kalimat terbuka tersebut dengan penyelesaian dari p(x) dibatasi pada pembicaraan semesta S, yaitu x S, p(x) Dibaca : untuk setiap x anggota S berlaku p(x) 2. Kuantor Eksistensial Perhatikan kalimat terbuka berikut ini. x + 3 = 7 Penyelesaian dari x + 3 = 7 adalah x = 4. Dengan kata lain, jika kita mengganti x dengan 4, maka 4 +3 = 7 bernilai benar. Analog dengan penjelasan di atas, jika kita membatasi daerah asal dari x sebagai bilangan real, maka terdapat x, yaitu x = 4 yang memenuhi x + 3 = 7 bernilai benar, atau dengan kata lain : Terdapat x bilangan real sehingga x + 3 = 7 Pernyataan di atas merupakan pernyataan berkuantor ekstensial dengan kata terdapat atau ada atau beberapa sebagai kuantor eksistensial. Secara umum, misalnya p(x) merupakan kalimat terbuka, maka penyelesaian dari p(x) dapat dinyatakan sebagai : x S, p(x) Dibaca : terdapat x anggota S berlaku p(x) 16
17 3. Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Dalam bahasan sebelumnya, kita telah mempelajari ingkaran dari suatu pernyataan, yaitu : a. Ingkaran dari pernyataan p adalah p b. Jika p bernilai benar, maka p bernilai salah c. Jika p bernilai salah, maka p bernilai benar Aturan-aturan di atas juga berlaku untuk pernyataan berkuantor. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut : Contoh : Diketahui pernyataan berkuantor universal p : Setiap makhluk hidup pasti akan mati. Tentukan ingkaran dan nilai kebenarannya. Jawab : Pernyataan p merupakan pernyataan yang bernilai benar. Dengan demikian, ingkaran dari p haruslah mengandung arti sebagai berikut : Ada makhluk hidup yang tidak akan mati. Jadi, jelas bahwa p bernilai salah. Dari contoh di atas, terlihat bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial. Secara matematis ditulis sebagai : ( x, p (x) ) x, p(x) Dibaca : Ingkaran dari setiap x berlaku p(x) ekuivalen dengan ada x yang bukan p(x). Soal Latihan Untuk soal nomor 1 4, nyatakan pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan kuantor universal atau eksistensial. 1. Setiap haji adalah muslim 2. Semua manusia adalah fana 3. Ada tumbuhan yang tidak berdaun 4. Tidak semua anak pandai diterima di sekolah favorit. Untuk soal nomor 5 8, nyatakan dalam notasi kuantor yang tepat dari pernyataan yang diberikan, serta nyatakan juga negasinya. 5. Setiap ilmuwan terpelajar 6. Setiap orang yang jujur adalah bahagia 7. Tidak ada manusia yang fana 8. Tidak ada penjahat yang terpelajar 17
18 Untuk soal nomor 9 10, tentukan nilai kebenaran tiap pernyataan berikut untuk nilai x, dan y anggota bilangan bulat. 9. x, y, x 2 + y x, y, 3x y 4 6. PENARIKAN KESIMPULAN Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menghadapi berbagai persoalan dan kita harus menentukan keputusan yang tepat untuk menyelesaikan persoalan tersebut. Sebagai contoh, seorang hakim yang memutuskan perkara di pengadilan sangat berat tanggung jawabnya, tidak hanya bertanggung jawab kepada Negara dan bangsa, tetapi juga harus bertanggung jawab kepada Tuhan kelak di kemudian hari atas keputusan yang diambilnya. Dalam logika matematika, penarikan kesimpulan dilakukan berdasarkan premis-premis penyusunnya sampai denngan diperoleh suatu kesimpulan (konklusi). Misalnya, premis-premis tersebut p 1, p 2, p 3,,p n dan kesimpulan yang diperoleh adalah q. Penarikan kesimpulan dapat dilakukan berdasarkan konjungsi dari premis-premisny. P 1 p 2 p 3 p n yang menghasilkan kesimpulan q. Secara umum : p 1 p 2.. p n kesimpulan : q Penarikan kesimpulan di atas dikatakan sah atau valid, jika konklusi q merupakan konsekuen dari premis-premisnya. Ertinya premis-premisnya benar, maka q benar, yaitu : (p 1 p 2 p n ) q Merupakan tautologi. Keabsahan penarikan kesimpulan di atas dapat diperiksa dengan menggunakan table kebenaran dari (p 1 p 2 p n ) q. Berikut akan kita pelajari beberapa metode penarikan kesimpulan, diantaranya modus ponens, modus tolens, dan silogisme. 18
19 1. Modus Ponens Penarikan kesimpulan dengan modus ponens dilakukan berdasarkan premis-premisnya yang berbentuk : Premis 1 : p q Premis 2 : p Kesimpulan : q Modus ponens di atas dapat juga dinyatakan dalam bentuk implikasi berikut : ( p q) p q Untuk menguji keabsahannya dapat dilakukan dengan menggunakan table kebenaran untuk ( p q) p q, yang merupakan implikasi tautologi. Tabel 1.11 Nilai Kebenaran dan Modus Ponens p q p q (p q) q ( p q) p q B B B B B B S S S B S B B B B S S B S B Terbukti bahwa ( p q) p q merupakan implikasi tautology Contoh : Tentukan kesimpulan dari pernyataan-pernyataan berikut ini. 1. P1 : Jika Adi rajin belajar, maka ia akan naik kelas P2 : Adi rajin belajar 2. P1 : Jika x bilangan real, maka x 0 P2 : x bilang real Jawaban : 1. P1 : Jika Adi rajin belajar, maka ia akan naik kelas P2 : Adi rajin belajar Kesimpulan : Adi naik kelas 2. P1 : Jika x bilangan real, maka x 0 P2 : x bilang real Kesimpulan : x 0 19
20 2. Modus Tolens Penarikan kesimpulan modus Tolens dilakukan premis-premisnya yang berbentuk p q dan q yang menghasilkan konklusi p. Secara matematis dinyatakan sebagai : Premis 1 : p q Premis 2 : q Kesimpulan : p Modus Tolens di atas dapat dinyatakan dalam bentuk implikasi yaitu : (p q) q p Untuk menguji keabsahannya dapat dilakukan dengan menggunakan table kebenaran dari (p q) q p Tabel 1.12 Nilai Kebenaran dari Modus Tolens p q p q p q (p q) q (p q) q p B B B S S S B B S S S B S B S B B B S S B S S B B B B B Karena pernyataan (p q) q p merupakan tautology (pernyataan yang selalul benar), maka kesimpulan itu benar dan sah. Contoh : Tentukan konklusi dari premis-premis berikut. 1. P1 : Jika ia seorang pemimpin, maka tindakannya terpuji P2 : Tindakannya tidak terpuji 2. P1 : Jika hewan adalah mamalia, maka ia bernafas dengan paru-paru P2 : Ikan bernafas tidak dengan paru-paru Jawaban : 1. P1 : Jika ia seorang pemimpin, maka tindakannya terpuji P2 : Tindakannya tidak terpuji Kesimpulan : Ia bukan seorang pemimpin 20
21 2. P1 : Jika hewan adalah mamalia, maka ia bernafas dengan paru-paru P2 : Ikan bernafas tidak dengan paru-paru Kesimpulan : Ikan bukan hewan mamalia 3. Silogisme Penarikan kesimpulan dengan silogisme dilakukan berdasarkan premis-premisnya yang berbentuk p q dan q r yang menghasilkan kesimpulan p r. Secara matematis dinyatakan sebagai : Premis 1 : p q Premis 2 : q r Kesimpulan : p r Jika dinyatakan dengan bentuk implikasi, maka pernyataan di atas dinyatakan sebagai (p q) (q r) (p q) Untuk menguji keabsahannya dapat dilakukan dengan menggunakan table kebenaran dari (p q) (q r) (p q) Tabel 1.13 Nilai Kebenaran untuk Silogisme p q r p q q r p r (p q) (q r) ( p q) ( q r ) ( p q) B B B B B B B B B B S B S S S B B S B S B B S B B S S S B S S B S B B B B B B B S B S B S B S B S S B B B B B B S S S B B B B B Karena (p q) (q r) (p q) merupakan pernyataan tautology, maka kesimpulan di atas adalah benar dan sah. 21
22 Contoh : Premis 1 : Jika kita sabar, maka kita disayang Tuhan Premis 2 : Jika kita disayang Tuhan, maka kita akan bahagia Kesimpulan : Jika kita sabar, maka kita akan bahagia. Soal Latihan Untuk soal nomor 1 5, tentukan sah atau tidak tiap argumen berikut. 1. P1 : Jika hari hujan, maka Adi membawa payung P2 : Hari ini hujan Kesimpulan : Adi membawa paying 2. P1 : Jika Aryo pemain basket, maka ia berpostur tinggi P2 : Aryo pemain basket Kesimpulan : Aryo berpostur tinggi 3. P1 : Jika f(-x) = - f(x) untuk semua x R, maka f(s) fungsi ganjil P2 : f(x) fungsi linier Kesimpulan : f(x) bukan fungsi ganjil 4. P1 : Jika Nanda seorang pramugari, maka ia berparas cantik P2 : Jika Nanda berparas cantik, maka ia disenangi banyak orang. Kesimpulan : Jika Nanda seorang pramugari, maka ia disenangi banyak orang 5. P1: Jika x bilangan real, maka x 2 0 P2 : x 2 < 0 Kesimpulan : x bukan bilangan real. Untuk soal nomor 6 10, periksalah keabsahan argumentasi yang diberikan. 6. P1 : p q 8. P1 : q q 10. P1 : p q P2 : q P2 : q r P2 : q v r p r p P3 : p r 7. P1 : p v q 9. P1 : p q P2 : p q P2 : p q 22
23 UJI KOMPETENSI LOGIKA MATEMATIKA A. Pilihlah jawaban yang benar 1. Kalimat-kalimat berikut merupakan pernyataan kecuali... a. a 2 b 2 = (a b)(a + b) b = 21 c. x + 3 = 9 d. Semua bilangan ganjil habis dibagi 3 e. Kota Yogyakarta pernah menjadi ibukota Republik Indonesia 2. Negasi dari pernyataan : Semua tamu undangan berdiri saat pengantin tiba adalah a. Tidak semua tamu undangan duduk saat pengantin tiba b. Tidak benar ada tamu undangan yang tidak berdiri saat pengantin tiba c. Semua tamu undangan duduk saat pengantin tiba d. Tidak ada tamu yang duduk saat pengantin tiba e. Ada tamu undangan yang tidak berdiri saat pengantin tiba 3. Diketahui p adalah pernyataan ia kaya dan q adalah pernyataan ia kikir. Pernyataan p q adalah a. ia kaya atau kikir b. Ia kaya tetapi kikir c. Ia tidak kaya dan kikir d. Ia kaya atau tidak kikir e. Ia kaya walaupun tidak kikir 4. Pernyataan-pernyataan berikut yang bernilai benar adalah a. (m n) 2 = m 2 + 2mn + n 2 b = 16 7 c. Sin 30 0 = 1 2 atau d. Sin 30 0 = 1 2 dan cos 600 = e. a b = b a 5. Jika pernyataan p benar dan pernyataan q bernilai salah, maka pernyataan berikut yang benar adalah a. p q d. p q 23
24 b. p v q e. q p c. p q 6. p q p q p v q p q (pvq) ( p q) B B S S B S B S S B B S S B B S B S S S B B S B Nilai kebenaran yang tepat diisikan pada kolom (p v q) ( p q) adalah a. BBBS d. SSSB b. SSBB e. SBBB c. SBBS 7. Pernyataan (p v q) p bernilai benar jika a. p benar atau q benar b. p benar dan q salah c. p salah dan q benar d. p salah dan q salah e. p salah atau q benar 8. Pernyataan berikut ekuivalen dengan jika p benar, maka q salah adalah a. p benar atau q salah b. Jika q salah, maka p benar c. jika p salah, maka q benar d. jika q benar, maka p salah e. jika q benar, maka p benar 9. Perhatikan kalimat jika ia berusaha, maka ia berhasil. Kontraposisinya adalah a. jika ia tidak berusaha, maka ia tidak berhasil b. jika ia berusaha, maka ia berhasil c. jika ia tidak berhasil, maka ia tidak berusaha d. ia tidak berusaha, tetapi ia berhasil e. ia tidak berusaha, tetapi ia tidak berhasil 10. Negasi dari pernyataan semua siswa uang lulus SMU ingin masuk perguruan tinggi adalah a. tiada siswa yang lulus SMU ingin masuk perguruan tinggi b. semua siswa lulus SMU tidak ingin masuk perguruan tinggi 24
25 c. ada siswa yang lulus SMU tidak ingin masuk perguruan tinggi d. ada siswa yang lulus SMU ingin masuk perguruan tinggi e. tidak semua siswa yang lulus SMU tidak ingin masuk perguruan tinggi 11. Konvers dari pernyataan jika ia sakit, maka tidak masuk sekolah adalah a. ia tidak masuk sekolah jika ia sakit b. ia sakit, jika ia tidak masuk sekolah c. jika ia masuk sekolah, maka ia tidak sakit d. jika ia tidak sakit, maka ia masuk sekolah e. jika ia tidak sakit, maka ia tidak masuk sekolah 12. Kontraposisi dari pernyataan :jika matahari terbit, maka semua ayam jantan berkokok adalah a. jika beberapa ayam jantan tidak berkokok, maka matahari tidak terbit b. jika beberapa ayam jantan berkokok, maka matahari tidak terbit c. jika beberapa ayam jantan berkokok, maka matahari terbit d. jika matahari tidak terbit, maka beberapa ayam jantan tidak berkokok e. jika matahari terbit 13. Diantara pernyataan di bawah ini yang bukan kalimat terbuka adalah a. 2a 10 b. 3x x c. x 2 x 5 d. Jika hari ini hujan maka Rudi tidak berangkat sekolah e. Ibu kota RI adalah Semarang 14. Negasi dari kalimat Semua siswa senang ketika guru tidak datang adalah... I.Semua siswa tidak senang ketika guru tidak datang. II.Tidak ada yang senang ketika guru tidak datang. III.Ada yang senang ketika guru datang. IV.Ada siswa yang tidak senang ketika guru datang. V.Tidak ada siswa yang tidak senang ketika guru datang. 15. Negasi dari pernyataan Jika bulan ini turun hujan maka panen padi tahun ini akan melimpah adalah.. a. Jika bulan ini tidak turun hujan maka panen padi tahun ini tidak melimpah b. Jika bulan ini tidak turun hujan maka panen padi tahun ini akan melimpah c. Bulan ini turun hujan tetapi panen padi tahun ini tidak melimpah d. Bulan ini turun hujan dan panen padi tahun ini akan melimpah e. Bulan turun hujan dan panen padi tahun ini melimpah 25
26 16. Ingkaran pernyataan Jika harga bahan pokok turun maka semua orang senang. adalah... a. Harga bahan pokok turun dan semua orang senang. b. Harga bahan pokok turun dan ada orang tidak senang. c. Jika harga bahan pokok tidak turun maka semua orang tidak senang. d. Harga bahan pokok tidak turun dan semua orang tidak senang. e. Harga bahan pokok turun dan semua orang akan senang. 17. Ingkaran dari p q r adalah... A. ( p ~ q) ~ r D. ~ p ~ q r B. p ~ q ~ r E. C. p q ~ r ~ p q r 18. Konvers pernyataan Jika sungai itu dalam maka sungai itu banyak ikannya. adalah... a. Jika sungai itu tidak dalam maka sungai itu tidak banyak ikannya. b. Jika sungai itu tidak banyak ikannya maka sungai itu tidak dalam. c. Jika sungai banyak ikannya maka sungai itu dalam. d. Jika sungai itu tidak dalam maka sungai itu banyak ikannya. e. Sungai itu dalam tetapi sungai itu tidak banyak ikannya. 19. Invers pernyataan Jika bulan diatas laut maka laut pasang adalah... a. Jika bulan tidak diatas laut maka laut pasang. b. Jika bulan tidak diatas laut maka laut tidak pasang. c. Jika laut pasang maka bulan diatas laut. d. Jika laut tidak pasang maka bulan tidak diatas laut. e. Jika bulan diatas laut maka laut tidak pasang. 20. Kontraposisi pernyataan Jika tidak ada pejabat korupsi maka pembangunan berjalan lancar. adalah... a. Jika tidak ada pejabat korupsi maka pembangunan tidak berjalan lancar. b. Jika ada pejabat korupsi maka pembangunan berjalan lancar. c. Jika pembangunan berjalan lancar maka tidak ada pejabat korupsi. e. Jika ada pejabat korupsi maka pembangunan tidak berjalan lancar. e. Jika pembangunan tidak berjalan lancar maka ada pejabat korupsi. 21. Kontraposisi pernyataan Jika semua penjahat tertangkap maka guru negara dalam keadaan aman adalah... a. Jika negara dalam keadaan aman maka semua penjahat tertangkap. b. Jika negara tidak dalam keadaan aman maka semua penjahat tertangkap. c. Jika negara tidak dalam keadaan aman ada penjahat yang tidak tertangkap. 26
27 d. Jika ada penjahat yang tidak tertangakap maka guru negara tidak dalam keadaan aman. e. Jika ada penjahat yang tidak tertangkap maka negara dalam keadaan aman. 22. Invers dari penyataan p ~ q p adalah... a. p p ~ q b. ~ p p q c. ~ p q p d. ~ p q ~ p e. p ~ q ~ p 23. Premis I : Jika Rudi jual motor maka ia berangkat sekolah naik kendaraan umum. Premis II : Rudi berangkat sekolah tidak naik kendaraan umum. Kesimpulan dari argumen diatas adalah... a. Rudi jual motor. b. Rudi berangkat sekolah tidak naik kendaraan umum. c. Rudi berangkat sekolah naik motor. d. Rudi tidak jual motor. e. Rudi jual motor dan naik kendaraan umum. 24. Premis I : Jika Yuli rajin menabung maka ia orang yang hemat. Premis II Kesimpulannya adalah.. : Yuli rajin menabung. a. Yuli rajin menabung tetapi bukan orang yang hemat. b. Yuli bukan orang hemat. c. Yuli kadang-kadang hemat d. Yuli rajin menabung. e. Yuli orang hemat 25. Premis I : Jika Romi rajin belajar maka ia pandai. Premis II : Jika Romi pandai maka ia akan naik kelas. Kesimpulannya adalah... a. Jika Romi pandai maka ia naik kelas. b. Jika Romi rajin belajar maka ia pandai. c. Jika Romi rajin belajar maka ia naik kelas. d. Jika Romi tidak rajin belajar maka ia tidak naik kelas. e. Jika Romi rajin belajar maka ia tidak naik kelas. 26. Semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk ~ p q p adalah... 27
28 a. BBBB b. BBBS c. BBSS d. BSSS e. SBBB 27. Pernyataan ~ p ~ q ekivalen dengan... a. q p b. ~ { p q) c. ~ q p d. p ~ q e. q ~ p 28. Kontraposisi dari pernyataan majemuk p ( p V ~q ) adalah. a. ( p V ~q ) ~p b. (~p Λ q ) ~p c. ( p V ~q ) p d. (~p V q ) ~p e. ( p Λ ~q ) ~p 29. Invers dari pernyataan p ( p Λ q ) a. (~p Λ ~q ) ~p b. (~p V ~q ) ~p c. ~p (~p Λ ~q ) d. ~p (~p Λ q ) e. ~p (~p V ~q ) 30. Diketahui pernyataan : I. Jika hari panas, maka Ani memakai topi II. III. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung Ani tidak memakai payung Kesimpulan yang sah adalah. a. Hari panas b. Hari tidak panas c. Ani memakai topi d. Hari panas dan Ani memakai topi e. Hari tidak panas dan Ani memakai topi 28
LOGIKA MATEMATIKA. Tabel kebenarannya sbb : p ~ p B S S B
LOGIKA MATEMATIKA A. Pernyataan, kalimat terbuka, dan ingkaran pernyataan. 1. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus kedua-duanya. a. Hasil kali
Lebih terperinciLogika. Arum Handini Primandari, M.Sc. Ayundyah Kesumawati, M.Si.
Logika Arum Handini Primandari, M.Sc. Ayundyah Kesumawati, M.Si. Logika Matematika Kalimat Terbuka dan Tertutup Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak mengandung nilai kebenaran Contoh: Semoga kamu
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA (Pendalaman Materi SMA)
LOGIKA MATEMATIKA (Pendalaman Materi SMA) Disampaikan Pada MGMP Matematika SMA Provinsi Bengkulu Tahun Ajaran 2007/2008 Oleh: Supama Widyaiswara LPMP Bengkulu DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA I. PENDAHULUAN
LOGIKA MATEMATIKA I. PENDAHULUAN Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk menyampaikan
Lebih terperinciI. PERNYATAAN DAN NEGASINYA
1 I. PERNYATAAN DAN NEGASINYA A. Pernyataan. Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus keduanya. Benar atau salahnya suatu pernyataan dapat ditunjukkan
Lebih terperinciBAHAN AJAR LOGIKA MATEMATIKA
1 BAHAN AJAR LOGIKA MATEMATIKA DI SUSUN OLEH : DRS. ABD. SALAM,MM KELAS X BM & PAR SMK NEGERI 1 SURABAYA LOGIKA MATEMATIKA Standar Kompetensi : Menerapkan logika matematika dalam pemecahan masalah yang
Lebih terperinciModul Matematika X Semester 2 Logika Matematika
Modul Matematika X Semester 2 Logika Matematika Oleh : Markus Yuniarto, S.Si Tahun Pelajaran 2014 2015 SMA Santa Angela Jl. Merdeka No. 24 Bandung LOGIKA MATEMATIKA A. Standar Kompetensi : Menggunakan
Lebih terperinciBAB I LOGIKA MATEMATIKA
BAB I LOGIKA MATEMATIKA A. Ringkasan Materi 1. Pernyataan dan Bukan Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut
Lebih terperinciUnit 5 PENALARAN/LOGIKA MATEMATIKA. Wahyudi. Pendahuluan
Unit 5 PENALARAN/LOGIKA MATEMATIKA Wahyudi Pendahuluan D alam menyelesaikan permasalahan matematika, penalaran matematis sangat diperlukan. Penalaran matematika menjadi pedoman atau tuntunan sah atau tidaknya
Lebih terperinci5. 1 Mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan (kalimat terbuka)
Sumber: Art and Gallery Standar Kompetensi 5. Menerapkan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor Kompetensi Dasar 5. 1 Mendeskripsikan
Lebih terperinciBAB 6 LOGIKA MATEMATIKA
A 6 LOGIKA MATEMATIKA A RINGKAAN MATERI 1. Pengertian Logika adalah suatu metode yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran (bentuk pemikiran yang masuk akal). Pernyataan adalah kalimat yang hanya
Lebih terperinciLOGIKA. Logika Nilai kebenaran pernyataan majemuk Ingkaran suatu pernyataan Penarikan kesimpulan. A. Pernyataan, Kalimat Terbuka, Ingkaran.
LOGIKA Standar Kompetensi Lulusan (SKL) Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkarannya, menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk, serta mampu menggunakan prinsip logika matematika dalam pemecahan
Lebih terperinciCBT Psikotes CBT UN SMA IPA SBMPTN. FPM Matematika. Tes Buta Warna
GENTA GROUP in PLAY STORE CBT UN SMA IPA Aplikasi CBT UN SMA IPA android dapat di download di play store dengan kata kunci genta group atau gunakan qr-code di bawah. CBT Psikotes Aplikasi CBT Psikotes
Lebih terperinciNAMA LAMBANG KATA PERNYATAAN LOGIKANYA PENGHUBUNG
LOGIKA MATEMATIKA A. PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar dan salah). 1. Gadis itu cantik. 2. Bersihkan lantai itu. 3. Pernyataan/kalimat
Lebih terperinciBAB I DASAR-DASAR LOGIKA
BAB I DASAR-DASAR LOGIKA 11 Pendahuluan Logika adalah suatu displin yang berhubungan dengan metode berpikir Pada tingkat dasar, logika memberikan aturan-aturan dan teknik-teknik untuk menentukan apakah
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) LOGIKA MATEMATIKA Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana 37 Logika Matematika Kompetensi
Lebih terperinciLOGIKA Matematika Industri I
LOGIKA TIP FTP UB Pokok Bahasan Pengertian Logika Pernyataan Matematika Nilai Kebenaran Operasi Uner Operasi Biner Tabel kebenaran Pernyataan Tautologi, Kontradiksi dan Kontingen Pernyataan-pernyataan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. a. Apa sajakah hukum-hukum logika dalam matematika? b. Apa itu preposisi bersyarat?
BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG Secara etimologi, istilah Logika berasal dari bahasa Yunani, yaitu logos yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga ilmu pengetahuan. Dalam arti
Lebih terperinciJadi penting itu baik, tapi jadi baik jauh lebih penting
LOGIKA MATEMATIKA Logika Matematika - Pernyataan, Nilai Kebenaran, dan Kalimat Terbuka - Pernyataan Majemuk - Konvers, Invers, dan Kontraposisi - Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial - Ingkaran dari
Lebih terperinciMatematika Industri I
LOGIKA MATEMATIKA TIP FTP - UB Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai kebenaran dari proposisi Tautologi Ekuivalen Kontradiksi Kuantor Validitas pembuktian Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai
Lebih terperinciLogika Matematika. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Logika Matematika 1. Pengertian Logika 2. Pernyataan Matematika 3. Nilai Kebenaran 4. Operasi Uner 5. Operasi Biner 6. Tabel kebenaran Pernyataan 7. Tautologi, Kontradiksi dan Kontingen 8. Pernyataan-pernyataan
Lebih terperinciUnit 6 PENALARAN MATEMATIKA. Clara Ika Sari Budhayanti. Pendahuluan. Selamat belajar, semoga Anda sukses.
Unit 6 PENALARAN MATEMATIKA Clara Ika Sari Budhayanti Pendahuluan D alam menyelesaikan permasalahan matematika, penalaran matematis sangat diperlukan baik di bidang aritmatika, aljabar, geometri dan pengukuran,
Lebih terperinciLOGIKA. Arum Handini Primandari
LOGIKA Arum Handini Primandari LOGIKA MATEMATIKA KALIMAT TERBUKA DAN TERTUTUP Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak mengandung nilai kebenaran Contoh: Apakah kamu tahu pencipta lagu PPAP? Semoga ujian
Lebih terperinci4. LOGIKA MATEMATIKA
4. LOGIKA MATEMATIKA A. Negasi (Ingkaran) Negasi adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan. ~ p : tidak p p ~ p B S S B B. Operator Logika 1) Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) Kelas XI. To ali. Kelompok Penjualan dan Akuntansi. Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
i MATEMATIKA Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) Kelas XI Kelompok Penjualan dan Akuntansi To ali Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional ii Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi
Lebih terperinciBAB IV LOGIKA A. Pernyataan B. Operasi uner
BAB IV LOGIKA A. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat matematika tertutup yang benar atau yang salah, tetapi tidak kedua-duanya pada saat yang bersamaan. Pernyataan biasa dilambangkan dengan p, q, r,...
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. Pernyataan
LOGIKA MATEMATIKA 1 PERNYATAAN DAN UKAN PERNYATAAN A Pengertian logika Matematika Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Logika matematika (logika simbolik) adalah ilmu tentang penyimpulan
Lebih terperinciKONSEP DASAR LOGIKA MATEMATIKA. Riri Irawati, M.Kom Logika Matematika - 3 sks
KONSEP DASAR LOGIKA MATEMATIKA Riri Irawati, M.Kom Logika Matematika - 3 sks Agenda 2 Pengantar Logika Kalimat pernyataan (deklaratif) Jenis-jenis pernyataan Nilai kebenaran Variabel dan konstanta Kalimat
Lebih terperinciPENGERTIAN. Proposisi Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya. Nama lain proposisi: kalimat terbuka.
BAB 2 LOGIKA PENGERTIAN Logika Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara proposisi atau pernyataan (statements). Proposisi Kalimat deklaratif yang
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Materi Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester : X / 2 Pertemuan ke : 1,2 Alokasi Waktu : 5 x 45 menit Standar Kompetensi : Menerapkan logika matematika dalam pemecahan
Lebih terperinciLogika. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Logika Drs. Sukirman, M.Pd. L PENDAHULUAN ogika merupakan salah satu bidang ilmu yang mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah, baik yang bersifat deduktif
Lebih terperinci6. LOGIKA MATEMATIKA
6. LOGIKA MATEMATIKA A. Negasi (Ingkaran) Negasi adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan. ~ p : tidak p p ~ p B S S B B. Operator Logika 1) Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan
Lebih terperinciINGKARAN DARI PERNYATAAN
HAND-OUT Student Name : Subject : Matematika Wajib Grade/Class : / Toic : Logika Matematika Date : Teacher(s) : Mr. Daniel Kristanto Semester : 2 Parent s Signature : LOGIKA MATEMATIKA Kalimat logika matematika
Lebih terperinciBAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN
BAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN 2.1 Pendahuluan Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi
Lebih terperinciSILABUS. Menyimak pemahaman tentang bentuk pangkat, akar dan logaritma beserta keterkaitannya. Mendefinisikan bentuk pangkat, akar dan logaritma.
SILABUS Nama Sekolah : SMA PGRI 1 AMLAPURA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/Program : X Semester : 1 STANDAR KOMPETENSI: 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma.
Lebih terperinciPusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada 1
2. ALJABAR LOGIKA 2.1 Pernyataan / Proposisi Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah), tetapi tidak keduanya. Contoh 1 : P = Tadi malam BBM mulai naik (memiliki
Lebih terperinciBAB 4 PROPOSISI. 1. Pernyataan dan Nilai Kebenaran
BAB 4 PROPOSISI 1. Pernyataan dan Nilai Kebenaran Ilmu logika adalah berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen-argumen) dan hubungan yang ada diantara kalimat-kalimat tersebut. Tujuannya adalah memberikan
Lebih terperinciPertemuan 2. Proposisi Bersyarat
Pertemuan 2 Proposisi ersyarat Proposisi ersyarat Definisi 4 Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk jika p, maka q disebut proposisi bersyarat (implikasi dan dilambangkan dengan p q Proposisi
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA Talisadika Maifa
22 BAB II LOGIKA MATEMATIKA Talisadika Maifa A. PENDAHULUAN Pembahasan mengenai logika sudah ada sejak lama bahkan sebelum manusia mengenal istilah logika itu sendiri. Menilik kembali kepada sejarahnya,
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. Materi SMA/SMK/MA. kelas X
LOGIKA MATEMATIKA Materi SMA/SMK/MA kelas X Orang yang paling sempurna bukanlah orang dengan otak yang sempurna, melainkan orang yang dapat mempergunakan sebaiknya-baiknya dari bagian otaknya yang kurang
Lebih terperinciLOGIKA. /Nurain Suryadinata, M.Pd
Nama Mata Kuliah Kode Mata Kuliah/SKS Program Studi Semester Dosen Pengampu : Matematika Diskrit : MAT-3615/ 3 sks : Pendidikan Matematika : VI (Enam) : Nego Linuhung, M.Pd /Nurain Suryadinata, M.Pd Referensi
Lebih terperinciPENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF
Unit 6 PENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF Wahyudi Pendahuluan U nit ini membahas tentang penalaran induktif dan deduktif yang berisi penarikan kesimpulan dan penalaran indukti deduktif. Dalam penalaran induktif
Lebih terperinciSILABUS. Menyimak pemahaman tentang bentuk pangkat, akar dan logaritma beserta keterkaitannya. Mendefinisikan bentuk pangkat, akar dan logaritma.
SILABUS Nama Sekolah : SMA NEGERI 6 PONTIANAK Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/Program : X Semester : 1 STANDAR KOMPETENSI: 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma.
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. d. 6 + a > -4 e. 7 adalah faktor dari 63. c. 4 x 6 2. Tentukan variabel dan himpunan penyelesaian dari: a.
LOGIKA MATEMATIKA A. Definisi 1). Pernyataan Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Air laut rasanya asin, adalah bilangan prima, urabaya
Lebih terperinciLogika & Himpunan 2013 LOGIKA MATEMATIKA. Oleh NUR INSANI, M.SC. Disadur dari BUDIHARTI, S.Si.
LOGIKA MATEMATIKA Oleh NUR INSANI, M.SC Disadur dari BUDIHARTI, S.Si. Logika adalah ilmu yang mempelajari secara sistematis kaidah-kaidah penalaran yang absah/valid. Ada dua macam penalaran, yaitu: penalaran
Lebih terperinciPernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
LOGIKA MATEMATIKA 1. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r dan seterusnya.
Lebih terperinciNEGASI KALIMAT DAN KALIMAT MAJEMUK (Minggu ke-3)
NEGASI KALIMAT DAN KALIMAT MAJEMUK (Minggu ke-3) 1 1 Kata Penghubung Kalimat 1. Konjungsi: menggunakan kata penghubung: dan 2. Disjungsi: menggunakan kata penghubung: atau 3. Implikasi: menggunakan kata
Lebih terperinciLogika Matematika. Bab 1
Bab 1 Sumber: pkss.co.id Pada bab ini, Anda akan diajak untuk memecahkan masalah yang ber - hubungan dengan konsep, di antaranya mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan (kalimat terbuka), mendeskripsikan
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA Menuju TKD 2014
LOGIKA MATEMATIKA Menuju TKD 2014 A. PERNYATAAN MAJEMUK Jenis-jenis pernyataan majemuk: 1. Konjungsi (^ = dan ) A: Hari ini Jowoki kampanye B: Hari ini Jowoki Umroh Konjungsi (A ^ B): Hari ini Jowoki kampanye
Lebih terperinci1.3 Pembuktian Tautologi dan Kontradiksi. Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi
1.3 Pembuktian 1.3.1 Tautologi dan Kontradiksi Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi yang membentuknya disebut toutologi, sedangkan proposisi yang selalu bernilai salah
Lebih terperinciLogika Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara proposisi atau pernyataan (statements).
Logika (logic) 1 Logika Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara proposisi atau pernyataan (statements). Proposisi Kalimat deklaratif yang bernilai
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA LOGIKA. Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom
LOGIKA MATEMATIKA LOGIKA Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom Pendahuluan Untuk menemukan suatu gagasan baru dari informasi dan gagasan yang telah ada, diperlukan proses berpikir. Proses ini dikenal
Lebih terperinciULANGAN SEMESTER GENAP TAHUN PELAJARAN 2009/2010. Hari, Tanggal : Senin, 17 Mei 2010 Waktu : WIB (120 menit)
PEMERINTAH KABUPATEN DEMAK DINAS PENDIDIKAN PEMUDA DAN OLAHRAGA SMK NEGERI 1 DEMAK Jalan Sultan Trenggono No. 87 Telp/Fax : (0291) 685519 Demak (Email : smk1dmk@yahoo.com) ULANGAN SEMESTER GENAP TAHUN
Lebih terperinciRUMUS LOGIKA MATEMATIKA DAN TABEL KEBENARAN
RUMUS LOGIKA MATEMATIKA DAN TABEL KEBENARAN Updated by Admin of Bahan Belajar Logika matematika merupakan salah satu materi pelajaran matematika dan cabang logika yang mengandung kajian matematis logika.
Lebih terperinciMODUL LOGIKA MATEMATIKA
PERENCANAAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA MODUL LOGIKA MATEMATIKA AUTHOR: Navel Mangelep UNIVERSITAS NEGERI MANADO FAKULTAS MATEMATIKA & ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA KATA PENGANTAR Salah satu penunjang
Lebih terperinciLogika Proposisi 1. Definisi 1. (Proposisi) Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya sekaligus.
Logika Proposisi 1 I. Logika Proposisi Logika adalah bagian dari matematika, tetapi pada saat yang sama juga merupakan bahasa matematika. Pada akhir abad ke-19 dan awal abad ke-20, ada kepercayaan bahwa
Lebih terperinciLogika Matematika. Logika Matematika. Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah. September 26, 2012
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah September 26, 2012 Cara menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu dengan membagi beberapa bagian (kolom). Nilai kebenarannya
Lebih terperinciTingkat 2 ; Semester 3 ; Waktu 44 menit
MK Negeri 3 Jakarta tandar Kompetensi H Menerapkan Logika Matematika Dalam Pemecahan Dalam Pemecahan Masalah Yang erkaitan Dengan Pernyataan Majemuk Dan Pernyataan erkuantor. Tingkat 2 ; emester 3 ; Waktu
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR (Ekivalensi dan Kuantifikasi)
MATEMATIKA DASAR (Ekivalensi dan Kuantifikasi) Antonius Cahya Prihandoko Universitas Jember Indonesia Jember, 2015 Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 1 / 20
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT LOGIKA
MATEMATIKA DISKRIT LOGIKA Logika Perhatikan argumen di bawah ini: Jika anda mahasiswa Informatika maka anda tidak sulit belajar Bahasa Java. Jika anda tidak suka begadang maka anda bukan mahasiswa Informatika.
Lebih terperinciPERNYATAAN MAJEMUK & NILAI KEBENARAN
PERNYATAAN MAJEMUK & NILAI KEBENARAN 1. Pernyataan Majemuk Perhatikan pernyataan hari ini hujan dan aku berjalan-jalan. Pernyataan tersebut terdiri dari dua pernyataan pokok/tunggal (prime sentence), yaitu
Lebih terperinciMODUL PERKULIAHAN EDISI 1 MATEMATIKA DISKRIT
MODUL PERKULIAHAN EDISI 1 MATEMATIKA DISKRIT Penulis : Nelly Indriani Widiastuti S.Si., M.T. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 2011 DAFTAR ISI Daftar Isi. 2 Bab 1 LOGIKA
Lebih terperinciKRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS X ( 1 ) SEMESTER I
KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS X ( 1 ) SEMESTER I KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Sekolah : SMA/MA... Kelas : X Semester : I (SATU) KKM
Lebih terperinciBab 1 LOGIKA MATEMATIKA
LOGIKA MATEMATIKA ab 1 Dalam setiap melakukan kegiatan sering kita dituntut untuk menggunakan akal dan pikiran. Akal dan pikiran yang dibutuhkan harus mempunyai pola pikir yang tepat, akurat, rasional,
Lebih terperinciRUMUS-RUMUS TAUTOLOGI. (Minggu ke-5 dan 6)
RUMUS-RUMUS TAUTOLOGI (Minggu ke-5 dan 6) 1 1 Rumus-rumus tautologi Rumus 1.1 (Komutatif) 1. p q q p 2. p q q p Bukti: p q p q q p T T T T T F F F F T F F F F F F 2 Rumus 1.2 (Distributif) 1. p (q r) (p
Lebih terperinciKUANTOR. A. Fungsi Pernyataan
A. Fungsi Pernyataan KUANTOR Definisi : Suatu fungsi pernyataan adalah suatu kalimat terbuka di dalam semesta pembicaraan (semesta pembicaraan diberikan secara eksplisit atau implisit). Fungsi pernyataan
Lebih terperinciLOGIKA PROPOSISI 3.1 Proposisi logika proposisional. Contoh : tautologi yaitu proposisi-proposisi yang nilainya selalu benar. Contoh 3.
LOGIKA PROPOSISI 3.1 Proposisi Proposisi adalah suatu pernyataan yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya.
Lebih terperinciLOGIKA (LOGIC) Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataanpernyataan
LOGIKA (LOGIC) Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataanpernyataan (statements). Proposisi kalimat deklaratif yang bernilai benar (true)
Lebih terperinciDASAR-DASAR LOGIKA. Pertemuan 2 Matematika Diskrit
DASAR-DASAR LOGIKA Pertemuan 2 Matematika Diskrit 25-2-2013 Materi Pembelajaran 1. Kalimat Deklaratif 2. Penghubung kalimat 3. Tautologi dan Kontradiksi 4. Konvers, Invers, dan Kontraposisi 5. Inferensi
Lebih terperinciUnit 7 PENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF. Clara Ika Sari Budhayanti. Pendahuluan. Selamat belajar dan tetap bersemangat, semoga Anda sukses.
Unit 7 PENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF Pendahuluan Clara Ika Sari Budhayanti U nit penalaran induktif dan deduktif ini akan membahas mengenai penarikan kesimpulan dan penalaran indukti deduktif. Dalam
Lebih terperinciPETA PERKULIAHAN MATA KULIAH : LOGIKA MATEMATIKA KODE MATA KULIAH : GD 321. SEMESTER : GANJIL (5) DOSEN : MAULANA, S.Pd., M.Pd.
Doc Logika Matematika PGSD Maulana 1 PETA PERKULIAHAN MATA KULIAH : LOGIKA MATEMATIKA KODE MATA KULIAH : GD 321 BOBOT SKS : 2 (DUA) TAHUN AKADEMIK : 2007/2008 PROGRAM : PGSD S-1 KELAS SEMESTER : GANJIL
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMK... Mata Pelajaran : Matematika Kelas : XI Program Keahlian : Akuntansi dan Penjualan
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMK... Mata Pelajaran : Matematika Kelas : XI Program Keahlian : Akuntansi dan Penjualan Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Indikator Alokasi Waktu
Lebih terperinciPROPOSISI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1
PROPOSISI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1 Logika Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements). Proposisi Pernyataan atau kalimat
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. Oleh : Siardizal, S.Pd., M.Kom
LOGIKA MATEMATIKA Oleh : iardizal,.pd., M.Kom elamat datang di CD berprogram Menu Utama Info Guru Diskripsi Materi Pelajaran LOGIKA MATEMATIKA Kompetensi Dasar Materi Latihan oal 2 elamat datang di CD
Lebih terperinciModul ke: Logika Matematika. Proposisi & Kuantor. Fakultas FASILKOM BAGUS PRIAMBODO. Program Studi SISTEM INFORMASI.
Modul ke: 5 Logika Matematika Proposisi & Kuantor Fakultas FASILKOM BAGUS PRIAMBODO Program Studi SISTEM INFORMASI http://www.mercubuana.ac.id Materi Pembelajaran Kalkulus Proposisi Konjungsi Disjungsi
Lebih terperinciSilabus. Kegiatan Pembelajaran Instrumen
NAMA SEKOLAH : MATA PELAJARAN : Matematika KELAS : XI STANDAR KOMPETENSI : Menerapkan logika matematka dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor KODE KOMPETENSI
Lebih terperinciBAB I TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN
BAB I TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi juga dapat diterapkan
Lebih terperinciKata Pengantar. Tim Penyusun
i Kata Pengantar Matematika merupakan ilmu yang sangat berkaitan dengan kehidupan. Sebagai ibu dari ilmu pengetahuan, matematika merupakan ilmu dasar yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah dalam
Lebih terperinciSilabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
Siswanto MODEL Silabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) for Grade X of Senior High School and Islamic Senior High School Berdasarkan Permendiknas Nomor 22 Tahun 2006 tentang Standar Isi dan Permendiknas
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. MATEMATiKA DISKRET S1-SISTEM INFORMATIKA STMIK AMIKOM. proposisi conjungsi tautologi inferensi
LOGIKA MATEMATIKA MATEMATiKA DISKRET S1-SISTEM INFORMATIKA STMIK AMIKOM Definisi Proposisi adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah dan tidak keduanya Proposisi Kalimat Deklaratif Proposisi
Lebih terperinciUNDANG-UNDANG REPUBLIK INDONESIA NOMOR 19 TAHUN 2002 TENTANG HAK CIPTA PASAL 72 KETENTUAN PIDANA SANKSI PELANGGARAN
Logika Matematika 0 UNDANG-UNDANG REPUBLIK INDONESIA NOMOR 19 TAHUN 2002 TENTANG HAK CIPTA PASAL 72 KETENTUAN PIDANA SANKSI PELANGGARAN 1. Barangsiapa dengan sengaja dan tanpa hak mengumumkan atau memperbanyak
Lebih terperinciMateri 4: Logika. I Nyoman Kusuma Wardana. STMIK STIKOM Bali
Materi 4: Logika I Nyoman Kusuma Wardana STMIK STIKOM Bali Logika merupakan dasar dr semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan-pernyataan (statements). Dalam Logika
Lebih terperinci- Mahasiswa memahami dan mampu membuat kalimat, mengevaluasi kalimat dan menentukan validitas suatu kalimat
LOGIKA Tujuan umum : - Mahasiswa memahami dan mampu membuat kalimat, mengevaluasi kalimat dan menentukan validitas suatu kalimat Tujuan Khusus: - mahasiswa diharapkan dapat : 1. memahami pengertian proposisi,
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA SOAL DAN PENYELESAIAN Logika, Himpunan, Relasi, Fungsi JONG JEK SIANG Kita menjalani hidup dari apa yang kita dapatkan Tetapi kita menikmati hidup dari apa yang kita berikan Jong Jek
Lebih terperinciRencana Pelaksaan Pembelajaran (RPP)
Rencana Pelaksaan Pembelajaran (RPP) Nama Sekolah Program Keahlian Mata Pelajaran Kelas/Semester Pertemuan Ke- Alokasi Waktu : SMK Negeri 1 Salatiga : Akuntansi : Matematika : X / 2 (dua) : 1(satu) : 2
Lebih terperinciLogika Matematika. Logika Matematika. Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah. September 26, 2012
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah September 26, 2012 yang diharapkan Dasar: Menggunakan logika matematika. Indikator Esensial: 1 Mengidentifikasi suatu tautologi 2 Menentukan ingkaran suatu pernyataan
Lebih terperincip q p? q (p? q) -p -q (1) (2) (3) (4) (5) (6) B B B S S S B S S B S B S B S B B S S S B B B B B S S ( - p? - q ) B S (p? q) S
MAT. 02. Logika i Kode MAT.02 Logika p q p? q (p? q) -p -q (1) (2) (3) (4) (5) (6) B B B S S S B S S B S B S B S B B S S S B B B (p? q)? ( - p? - q ) B B S S ( - p? - q ) B S (p? q) S BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN
Lebih terperinciPERTEMUAN KE 3 F T T F T F T F
PEREMUAN KE 3 E. DISJUNGSI EKSLUSI (Exclusive OR) Misalkan p dan q adalah proposisi. Exclusive or p dan q, dinyatakan dengan notasi, adalah proposisi yang bernilai benar bila hanya salah satu dari p dan
Lebih terperinciPengantar Logika. Didin Astriani Prasetyowati, M.Stat UIGM
Pengantar Logika Didin Astriani Prasetyowati, M.Stat UIGM 1 BAB I PENGANTAR LOGIKA Konsep Logika Apakah logika itu? Seringkali Logika didefinisikan sebagai ilmu untuk berfikir dan menalar dengan benar
Lebih terperinciLOGIKA SIMBOLIK. Bagian II. September 2005 Pengantar Dasar Matematika 1
LOGIKA IMOLIK agian II eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 1 LOGIKA Realitas Kalimat/ Pernyataan Logis LOGIKA eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 2 Apakah logika itu? Logika: Ilmu untuk berpikir
Lebih terperinciLogika Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Logika Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan Tahun Ajaran 2013/2014 Logika Klasik Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik
Lebih terperinciVARIASI MODEL SILOGISME UNTUK PENGAMBILAN KESIMPULAN DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA DI SEKOLAH DASAR
98 VARIASI MODEL SILOGISME UNTUK PENGAMBILAN KESIMPULAN DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA DI SEKOLAH DASAR Elly s Mersina Mursidik Program Studi Pendidikan Guru Sekolah Dasar Fakultas Ilmu Pendidikan IKIP
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
125 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) JENJANG PENDIDIKAN : SMA KELAS : X MATA PELAJARAN : MATEMATIKA POKOK BAHASAN : LOGIKA MATEMATIKA ALOKASI WAKTU : 2 x 45 MENIT PERTEMUAN KE- : 1 STANDAR KOMPETENSI
Lebih terperinciBab 1 LOGIKA MATEMATIKA
LOGIKA MATEMATIKA ab 1 Dalam setia melakukan kegiatan sering kita dituntut untuk menggunakan akal dan ikiran. Akal dan ikiran yang dibutuhkan harus memunyai ola ikir yang teat, akurat, rasional, logis,
Lebih terperinciLOGIKA DAN PEMBUKTIAN
BAB I LOGIKA DAN PEMBUKTIAN A. PENGANTAR Prinsip dari logika matematika memiliki korelasi dengan pembuktian kebenaran yang dilakukan menggunakan tabel kebenaran ataupun tanpa menggunakan tabel kebenaran
Lebih terperinciBerdasarkan tabel 1 diperoleh bahwa p q = q p.
PEMAHAAN 1. Pengertian Kata LOGIKA mengacu pada suatu metode atau cara yang sistematis dalam berpikir (reasoning), dan terdapat dua sistem khusus yaitu : suatu metode dasar yang disebut dengan Kalkulus
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT. Logika
MATEMATIKA DISKRIT Logika SILABUS KULIAH 1. Logika 2. Himpunan 3. Matriks, Relasi dan Fungsi 4. Induksi Matematika 5. Algoritma dan Bilangan Bulat 6. Aljabar Boolean 7. Graf 8. Pohon REFERENSI Rinaldi
Lebih terperinciKATA PENGANTAR. Assalamu alaikum Wr. Wb.
KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Alhamdulillah.. Puji syukur kehadirat Allah SWT. atas segala rahmat dan hidayah-nya. Segala pujian hanya layak kita aturkan kepada Allah SWT. Tuhan seru sekalian
Lebih terperinciMAKALAH RANGKUMAN MATERI LOGIKA MATEMATIKA : NURHIDAYAT NIM : DBC
MAKALAH RANGKUMAN MATERI LOGIKA MATEMATIKA Nama : NURHIDAYAT NIM : DC 113 055 JURUAN TEKNIK INFORMATIKA FAKULTA TEKNIK UNIVERITA PALANGKA RAYA 2013 A I PENGERTIAN Logika adalah dasar dan alat berpikir
Lebih terperinciPROPOSISI LOGIKA MATEMATIKA
PROPOSISI SMTS 1101 / 3SKS LOGIKA MATEMATIKA Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si 1 Dra. Noeryanti, M.Si DAFTAR ISI Cover pokok bahasan... 1 Daftar isi... 2 Judul Pokok Bahasan... 3 1.1. Pengantar... 3
Lebih terperinci