PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS

Transkripsi

1 PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS oleh ADIMAS BANJAR M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012 i

2 ABSTRAK Adimas Banjar PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Aljabar max-plus dibentuk dari himpunan R max = { } R yang dilengkapi dengan operasi maksimum ( ) dan penjumlahan ( ). Aljabar max-plus merupakan suatu idempotent semi-field. Sedangkan aljabar konvensional adalah himpunan R yang dilengkapi penjumlahan (+) dan perkalian ( ) dan merupakan suatu field. Aljabar max-plus mempunyai struktur yang mirip dengan aljabar konvensional menyebabkan sifat dan konsep aljabar linear mempunyai ekuivalensi dalam aljabar max-plus. Penelitian ini dilaksanakan guna menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Hasil dari penelitian ini adalah persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus, yaitu λ n k l d k λ n k = k j d k λ n k, dengan d k adalah koefisien tertinggi untuk setiap λ n k. Kata kunci: Aljabar max-plus, aljabar linear, persamaan karakteristik iv

3 ABSTRACT Adimas Banjar CHARACTERISTIC EQUATION ON MAX PLUS ALGEBRAIC MATRICES Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Max-plus algebra is constructed by the set R max = R { } endowed with maximum ( ) and addition ( ) operations. Max-plus algebra have properties as idempotent semi-field. In other hand, the properties of conventional algebra that constructed by the set of R endowed with addition (+) and multiplication ( ) operations is a field. There is exist remarkable similarity between max-plus algebra and conventional algebra, as consequence there is many linear algebra concept have a max-plus analogue. The main objective of this research is to find characteristic equation on max-algebraic matrices. Method of this research is a literary study. Result of this research are max-algebraic characteristic equation, that is λ n d k λ n k = d k λ n k, k l k j where d k are the highest coefficient from λ n k Key words: Max-plus algebra, linear algebra, characteristic polynomial v

4 PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS oleh ADIMAS BANJAR M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012 i

5 SKRIPSI PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS yang disiapkan dan disusun oleh ADIMAS BANJAR M dibimbing oleh Pembimbing I Pembimbing II Drs. Siswanto, M.Si Dra. Respatiwulan, M.Si NIP NIP telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Rabu, 8 Februari 2012 dan dinyatakan telah memenuhi syarat. Anggota Tim Penguji Tanda Tangan 1. Drs. Pangadi, M.Si NIP Dra. Yuliana Susanti, M.Si NIP Surakarta, 10 Februari 2012 Disahkan oleh Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Dekan, Ketua Jurusan Matematika Ir. Ari Handono Ramelan, M.Sc.(Hons) commit Ph.D to user Irwan Susanto, S.Si, DEA NIP NIP ii

6 MOTO Tidak ada mimpi yang dapat dicapai tanpa pengorbanan. Setiap pengorbanan tidak ada yang sia-sia. iii

7 ABSTRAK Adimas Banjar PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Aljabar max-plus dibentuk dari himpunan R max = { } R yang dilengkapi dengan operasi maksimum ( ) dan penjumlahan ( ). Aljabar max-plus merupakan suatu idempotent semi-field. Sedangkan aljabar konvensional adalah himpunan R yang dilengkapi penjumlahan (+) dan perkalian ( ) dan merupakan suatu field. Aljabar max-plus mempunyai struktur yang mirip dengan aljabar konvensional menyebabkan sifat dan konsep aljabar linear mempunyai ekuivalensi dalam aljabar max-plus. Penelitian ini dilaksanakan guna menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Hasil dari penelitian ini adalah persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus, yaitu λ n k l d k λ n k = k j d k λ n k, dengan d k adalah koefisien tertinggi untuk setiap λ n k. Kata kunci: Aljabar max-plus, aljabar linear, persamaan karakteristik iv

8 ABSTRACT Adimas Banjar CHARACTERISTIC EQUATION ON MAX PLUS ALGEBRAIC MATRICES Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Max-plus algebra is constructed by the set R max = R { } endowed with maximum ( ) and addition ( ) operations. Max-plus algebra have properties as idempotent semi-field. In other hand, the properties of conventional algebra that constructed by the set of R endowed with addition (+) and multiplication ( ) operations is a field. There is exist remarkable similarity between max-plus algebra and conventional algebra, as consequence there is many linear algebra concept have a max-plus analogue. The main objective of this research is to find characteristic equation on max-algebraic matrices. Method of this research is a literary study. Result of this research are max-algebraic characteristic equation, that is λ n d k λ n k = d k λ n k, k l k j where d k are the highest coefficient from λ n k Key words: Max-plus algebra, linear algebra, characteristic polynomial v

9 PERSEMBAHAN Tulisanku ini kupersembahkan untuk kedua orang tuaku Bapak Haryono dan Ibu Indrasti Nur Rahayu atas pengorbanan, do a, bimbingan, dan dukungannya kepadaku Mbak Enya dan Mas Omman yang selalu menyemangati dan memberikanku motivasi, adik-adikku Zulva, Aziza, Ayyub, Wi am, Kun-Kun, Wicak, dan Wibi yang telah memberikanku semangat. vi

10 KATA PENGANTAR Aljabar max-plus adalah salah satu dari idempotent semi-field yang memiliki banyak kegunaan di berbagai bidang matematika. Aljabar max-plus mulai dikenal karena strukturnya yang mirip dengan aljabar konvensional. Banyak penelitian yang menjelaskan tentang ekuivalensi teorema dalam aljabar linear konvensional di aljabar max-plus. Satu yang menarik perhatian penulis adalah karya Schutter dan Moor yang membahas tentang persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Oleh karena itu, penulis bertujuan untuk mengkaji ulang hasil penelitian tersebut. Skripsi ini dibagi menjadi 5 bagian. Bab 1 berisikan latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan, dan manfaat dari penelitian ini. Pada bab 2 dipaparkan tentang penelitian-penelitian yang mendahului dan teori-teori penunjang sebagai dasar penulisan. Kemudian, langkah-langkah penelitian dirangkum dalam metodologi penelitian yang dipaparkan pada bab 3. Pada bab 4 diuraikan tentang hasil penelitian yang telah dilaksanakan. Terakhir, bab 5 berisikan tentang kesimpulan dan saran. Skripsi ini tidak dapat selesai tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak. Penulis mengucapan terima kasih kepada Bapak Drs. Siswanto, M.Si. dan Ibu Dra. Respatiwulan, M.Si. sebagai Pembimbing I dan Pembimbing II atas bimbingannya selama penulisan skripsi ini. Tak lupa, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Nugroho, Gery, Adi, Agus, Ika, dan Hokki yang senantiasa memberikan dukungan, kritik, dan saran kepada penulis. Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat. Surakarta, Januari 2012 Penulis vii

11 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGESAHAN MOTO ABSTRAK ABSTRACT PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR DAFTAR ISI DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL i ii iii iv v vi vii ix x I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah Perumusan Masalah Tujuan Manfaat II LANDASAN TEORI Tinjauan Pustaka Teori-Teori Penunjang Sistem Persamaan Linear dan Matriks Determinan Matriks Persamaan Karakteristik Suatu Matriks Aljabar Max-Plus. commit.... to. user Matriks dalam Aljabar max-plus viii

12 2.3 Kerangka Pemikiran III METODE PENELITIAN 13 IV PEMBAHASAN Persamaan Karakteristik Suatu Matriks dalam Aljabar max-plus Contoh Kasus V PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA 22 ix

13 DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL S T : S adalah himpunan bagian dari T R : himpunan bilangan real R m n I n A αβ Cn k P n : matriks berukuran m n dengan elemen R : matriks identitas berukuran n n : submatriks dari A dengan elemen baris dinyatakan oleh α dan elemen kolom yang dinyatakan oleh β : himpunan seluruh subhimpunan dengan kerdinalitas k dari himpunan {1,2,...,n} : himpunan seluruh permutasi dari himpunan {1,2,...,n} f : D T : fungsi dengan domain D dan kodomain T : ekuivalensi asimtotik λ : nilai eigen dari suatu matriks A : operasi penjumlahan aljabar max-plus : operasi pergandaaan aljabar max-plus ε : elemen identitas untuk ; ε = x r E n R max : pangkat ke-r dari x dalam aljabar max-plus : matriks identitas berukuran n n dalam aljabar max-plus : R { } R m n max : matriks berukuran m n dengan elemen R max x

14 Bab I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Sistem kejadian diskrit (skd) adalah nama klasifikasi masalah sistem dengan sumber daya terbatas yang digunakan oleh beberapa pengguna demi mencapai tujuan bersama. Contoh-contoh masalah skd antara lain adalah jaringan transportasi, jaringan telekomunikasi, sistem antrian dengan kapasitas berhingga, sistem produksi, dan berbagai masalah dengan sumber daya yang terbatas [10]. Dari masalah skd dapat dibentuk model matematika yang biasanya berbentuk sistem persamaan non-linear. Mencari penyelesaian sistem persamaan non-linear dengan metode penyelesaian sistem dinamik tidaklah mudah. Dalam perkembangannya, menurut Schutter dan Boom [12] jika digunakan aljabar max-plus untuk mempelajari sifat skd, maka diperoleh suatu model berbentuk sistem persamaan linear. Masalah skd akan lebih mudah diselesiakan jika model berbentuk sistem yang linear. Skd merupakan sistem yang komponennya bekerja dalam suatu siklus, karena tiap komponen harus menunggu hasil dari komponen lain yang berada dalam sistem tersebut untuk bekerja. Muncul masalah bagaimana cara mengatur sistem agar seluruh komponennya dapat memulai siklus bersamaan. Nilai eigen mendeskripsikan waktu maksimal yang diperlukan satu komponen dalam sistem untuk menyelesaikan kerjanya [5]. Mencari nilai eigen dalam aljabar max-plus yang diperoleh dari model adalah cara menyelesaikan permasalahan tersebut [3]. Menurut Anton [1] jika A adalah suatu matriks berukuran n n, maka nilai eigen λ dapat diperoleh dengan mencari akar-akar yang tidak nol dari persamaan det(λi A) = 0. Persamaan tersebut disebut sebagai persamaan karakteristik dari A. 1

15 Menurut Bacelli [2], aljabar max-plus adalah himpunan R { } bersama dengan operasi maksimum ( ) dan penjumlahan ( ) yang menggantikan operasi penjumlahan dan perkalian pada aljabar konvensional. Aljabar konvensional merupakanfield, sedangkanaljabarmax-plus (R max,, )merupakanidempotent semi-field. Karena kemiripan strukturnya, berbagai sifat dan konsep pada aljabar linear, seperti aturan Crammer, teorema Cayley-Hamilton, masalah nilai eigen, dan persamaan karakteristik memiliki ekuivalensi secara aljabar max-plus[7]. Penelitian yang telah dilaksanakan Schutter dan Boom menjelaskan mengenai sistem persamaan linear dalam aljabar max-plus [10]. Kemudian, Schutter dan Moor pada [11] dan Farlow pada [7] menunjukkan bagaimana menentukan persamaan karakteristik dari suatu matriks dalam aljabar max-plus. Sejalan dengan kedua penelitian tersebut, penulisan skripsi ini bertujuan untuk mengkaji ulang tulisan Schutter dan Moor dan Farlow tentang persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus dengan memberikan penyempurnaan penjelasan, bukti teorema, dan contoh kasus. 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah, dapat dirumuskan masalah yaitu bagaimana menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus? 1.3 Tujuan Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah menentuan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. 1.4 Manfaat Manfaat penulisan skripsi ini adalah pengayaan di bidang aljabar, khususnya aljabar max-plus, yaitu dapat menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. 2

16 Bab II LANDASAN TEORI Bab kedua skripsi ini terbagi menjadi tiga bagian. Bagian pertama dijelaskan mengenai tinjauan pustaka penelitian-penelitian yang dilaksanakan dan digunakan sebagai dasar dilaksanakannya penelitian ini. Pada bagian kedua dijelaskan mengenai teori-teori penunjang yang meliputi definisi-definisi yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya. Setelah dijelaskan mengenai landasan teori yang digunakan, pada bagian terakhir bab ini dibangun alur pemikiran dalam penulisan skripsi ini yang dijelaskan dalam kerangka pemikiran. 2.1 Tinjauan Pustaka Aljabar max-plus adalah salah satu jenis dari idempotent semi-field. Jenis idempotent semi-field yang lain adalah aljabar min-plus. Operasi penjumlahan dalam himpunan tersebut adalah operasi minimum dengan elemen identitas [7]. Aljabar max-plus diperkenalkan oleh Klene pada papernya yang membahas tentang jaringan syaraf dan automata di tahun 1956 [8]. Dalam perkembangannya, diketahui bahwa aljabar max-plus juga dapat digunakan untuk memodelkan, menganalisis, dan mengontrol beberapa subkelas sistem kejadian diskrit (skd) [12]. Beberapa contoh skd tersebut adalah jaringan telekomunikasi, sistem kontrol lalu lintas, sistem logistik, sistem transportasi, jaringan komputer, dan sebagainya. Karakteristik yang paling menonjol dari skd adalah dinamisasi sistem yang berdasarkan atas kejadian. Kejadian adalah keadaan dari dimulainya hingga berakhirnya suatu aktivitas. Misalkan dalam suatu proses produksi, kejadian yang dapat terjadi antara lain adalah input, proses, dan output. Diasumsikan bahwa jika satu kejadian selesai, maka kejadian selanjutnya akan langsung terjadi 3

17 dan interval tiap-tiap kejadian tidak harus sama. Pada umumnya model matematika dari skd menghasilkan model yang nonlinear jika dideskripsikan menggunakan aljabar konvensional. Akan tetapi terdapat beberapa subkelas dari skd yang dapat dideskripsikan menggunakan aljabar max-plus [2] yang dilengkapi dengan operasi maksimisasi dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya, sehingga diperoleh model yang linear. Adapun subkelas tersebut adalah skd dengan sinkronisasi tanpa adanya kejadian yang bercabang. Operasi hitung maksimisasi menggambarkan sinkronisasi komponen skd yang akan langsung melaksanakan operasi setelah seluruh operasi komponen sebelumnya selesai. Sedangkan operasi hitung penjumlahan menggambarkan durasi dari seluruh aktivitas. Waktu penyelesaian operasi diperoleh dari penjumlahan dari waktu dimulainya operasi dengan durasi aktivitas. Deskripsi tersebut menyebabkan aljabar max-plus dapat menghasilkan model yang linear [12]. Hal inilah yang menyebabkan aljabar max-plus mempunyai banyak kegunaan di berbagai bidang. Pada awal tahun enam puluhan fakta kegunaan aljabar max-plus ditemukan secara independen oleh beberapa peneliti, antara lain adalah Cunningham-Green dan Giffler. Hal tersebut menyebabkan banyak peneliti mulai tertarik untuk meneliti aljabar max-plus, adapun beberapa perintisnya adalah Cunningham- Green, Gaubert, Gondran, dan Minoux. Mereka menemukan bahwa berbagai teorema dan teknik yang digunakan dalam aljabar linear klasik mempunyai analogi pada aljabar max-plus [6]. Bacelli [2] telah menjelaskan bagaimana pentingnya nilai eigen suatu matriks pada aljabar max-plus. Dalam jurnalnya Bapat [3], Chung [5], dan Butkovic [4] telah menjelaskan bagaimana menyelesaikan masalah nilai eigen tersebut. Akan tetapi nilai eigen suatu matriks dapat pula diperoleh dari persamaan karakteristik matriks tersebut [1]. Schutter dan Moor pada [11] dan Farlow pada [7] telah menunjukkan analogi dari persamaan karakteristik pada aljabar max-plus. Sejalan dengan kedua penelitian tersebut, penelitian ini dilaksanakan bertujuan untuk mengkaji ulang kedua penelitian tersebut disertai dengan penyempurnaan penjelasan, bukti teorema, dan contoh kasus. 4

18 2.2 Teori-Teori Penunjang Untuk dapat mencapat tujuan penelitian, perlu diuraikan terlebih dahulu beberapa hal yang mendasari penelitian ini. Beberapa hal tersebut antara lain adalah pengertian aljabar max-plus, struktur aljabar max-plus, pengertian sistem persamaan linear dan matriks dalam aljabar konvensional, matriks dalam aljabar max-plus, dan terakhir adalah beberapa sifat dan konsep aljabar linear dalam aljabar konvensional Sistem Persamaan Linear dan Matriks Dua definisi yang berhubungan dengan sistem persamaan linear berikut diambil dari Lipschutz [9]. Definisi (Definisi Persamaan Linear). Bentuk umum dari suatu persamaan linear dengan variabel bebas x 1,x 2,...,x n adalah a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n = b, dengan a 1,a 2,...,a n,b adalah suatu konstanta. Konstanta a k disebut koefisien dari x k untuk k = 1,2,...,n. Sedangkan b disebut sebagai konstanta dari persamaan. Definisi (Definisi Sistem Persamaan Linear). Bentuk umum dari suatu sistem persamaan linear dengan variabel bebas x 1,x 2,...,x n adalah a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n = b 2, (2.1). a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = b m dengan a ij,b i adalah konstanta. Sistem (2.1) dapat dibentuk menjadi commit to suatu user bentuk barisan angka yang dise- 5

19 but matriks perbesaran. Berikut adalah bentuk matriks perbesaran tersebut. a 11 a 12 a 1n b 1 a M = 21 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn b m Dapat dilihat bahwa setiap baris dari M berkorespodensi dengan setiap persamaan dari sistem. Sedangkan, setiap kolom dalam sistem berkorespodensi dengan setiap variabel dari sistem, kecuali kolom terakhir yang berkorespodensi dengan konstanta dari sistem. Barisan angka tersebut biasa disebut sebagai matriks dan berikut adalah definisi matriks. Definisi (Lipschutz [9]). Jika A adalah suatu barisan angka berbentuk persegi empat sebagai berikut a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n,.... a m1 a m2 a mn maka barisan A disebut sebagai matriks. Matriks tersebut dapat dituliskan sebagai A = (a ij ) dengan i = 1,...,m, j = 1,...,n. Ukuran dari suatu matriks ditentukan dari jumlah baris dan kolomnya. Sebagai contoh jika suatu matriks memiliki tiga baris dan dua kolom, maka ukuran dari matriks tersebut adalah 3 2. Matriks dengan ukuran m n disebut sebagai matriks m n Determinan Matriks Menurut Anton [1], determinan adalah suatu fungsi yang bernilai real dari suatu matriks persegi berukuran n misal A = (a ij ) dan dinotasikan sebagai det(a) atau 6

20 A atau a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n..... a n1 a n2 a nn Misal terdapat suatu matriks A = (a ij ) dengan i = 1,2,...,n dan j = 1,2,...,n, akan dibentuk suatu produk perkalian yang diambil dari n elemen dari A. Dari masing-masing kolom dari matriks A diambil satu elemen. Selain berasal dari kolom yang berbeda, elemen tersebut harus berasala dari baris yang berbeda pula, sehingga hasil perkalian n elemen tersebut dapat dituliskan sebagai a 1j1 a 2j2...a njn. Indeks angka pertama diperolehdari baris, sehingga urutannya adalah1,2,...,n. Sedangkan untuk indeks angka kedua diperoleh dari kolom yang berbeda, sehingga diperoleh dari permutasi σ = j 1,j 2,...,j n S n. Definisi Determinan dari A = (a ij ) yang dinotasikan sebagai det(a) atau A adalah suatu jumlahan seluruh hasil permutasi dari S n dan dikalikan dengan sgn σ, yaitu A = σ S n (sgn σ)a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n). Dengan sgn σ adalah 1, jika σ permutasi genap; sgn σ = 1, jika σ permutasi ganjil Persamaan Karakteristik Suatu Matriks Jika dimisalkan A adalah suatu matriks persegi berukuran n n, maka matriks karakteristik dari A adalah matriks λi n A dengan I n adalah matriks identitas berukuran n dan λ adalah variabel bebas. Matriks karateristik dari A dapat 7

21 dituliskan sebagai λi n A = λ a 11 a 12 a 1n a 21 λ a 22 a 2n.... a n1 a n2 λ a nn. Dengan mencari determinan dari matriks karakteristik dari A, diperoleh suatu polinomial, yaitu A (λ) = det(λi n A). Polinomial A (λ) adalah polinomial yang disebut sebagai polinomial karakteristik dari A. Kemudian, persamaan karakteristik dari A adalah A (λ) = det(λi n A) = Aljabar Max-Plus Pada bagian ini dijelaskan lebih lanjut mengenai struktur, sifat-sifat, dan beberapa operasi dasar dalam aljabar max-plus. Dalam penelitiannya, Bacelli [2] dan Siswanto [13] telah membahas beberapa definisi yang berkaitan dengan struktur aljabar max-plus. Definisi (Definisi Monoid). Monoid (K, ) adalah himpunan K bersama dengan operasi biner ( ), yang memiliki sifat asosiatif dan elemen identitas. Definisi (Definisi Grup). Grup (G, ) adalah himpunan G bersama dengan operasi biner ( ), yang memiliki sifat asosiatif, elemen identitas, dan elemen invers. Definisi (Definisi Semi-ring). Semi-ring (S,, ) adalah himpunan S bersama dengan operasi biner membentuk monoid abelian, dengan operasi biner membentuk monoid, bersifat distributif pada terhadap. Definisi (Definisi Dioid). Dioid (D,, ) adalah semi-ring yang idempotent, yaitu a a untuk setiap a D. 8

22 Definisi (Definisi Semi-field). Semi-field (S,, ) adalah himpunan S bersama dengan operasi penjumlahan membentuk monoid abelian, dengan operasi pergandaan membentuk grup, bersifat distributif pada terhadap. Aljabar max-plus atau (R max,, ) adalah suatu semi-field yang dibentuk oleh himpunan R max = R { } yang dilengkapi dengan operasi max sebagai operasi penjumlahan dan operasi plus sebagai operasi pergandaan yang dituliskan sebagai berikut a b = max(a,b) a b = a+b. Berikut adalah contoh penggunaan operasi hitung tersebut. 3 2 = max(3,2) = 3 = max(2,3) = 2 3, 4 5 = 4+5 = 9 = 5+4 = 5 4. Elemen identitas terhadap operasi pergandaan adalah e = 0. Sedangkan elemen identitas terhadap operasi penjumlahan adalah ε =. Selanjutnya, sifat-sifat dasar dari aljabar max-plus dijelaskan pada Lema Karena pembuktian bersifat dasar sehingga tidak disertakan. Lema Untuk setiap x,y,z R max berlaku sifat 1. assosiatif x (y z) = (x y) z dan x (y z) = (x y) z, 2. komutatif x y = y x dan x y = y x, 3. distributif x (y z) = (x y) (x z) dan (x y) z = (x z) (y z) 4. elemen nol x ε = ε x = x 5. elemen unit x e = e x = x 6. invers terhadap pergandaan adalah jika x e maka akan terdapat elemen y yang tunggal dengan x y = e 7. elemen penyerap x ε = ε x commit = εto user 8. idempotent terhadap penjumlahan x x = x. 9

23 Aljabar max-plus juga dikenal sebagai aljabar dari fungsi dengan pertumbuhan asiptotik dalam aljabar konvensional. Untuk memperjelas hal tersebut, diberikan definisi dan lema berikut. Definisi Jika p : (0, ) (0, ) dan u (, ), maka didefinisikan p e su yang berarti lim s s 1 ln(p) = u. Lema Jika f e sa dan g e sb dengan a,b [, ), maka f +g e s(a b) dan fg e s(a b) Bukti. Jika digunakan Definisi pada f g maka diperoleh lim s s 1 ln(fg) = lim s 1 ln(f)+ lim s 1 ln(g) = a+b = a b, s s yang berarti terbukti bahwa fg e s(a b). Kemudian, dapat diketahui bahwa max(f,g) f + g 2max(f,g). Jadi, jika digunakan kembali Definisi maka diperoleh lim s s 1 ln ( max(e sa,e sb ) ) ( lim s 1 ln(e sa +e sb ) lim s 1 ln ( max(e sa,e sb ) ) ) +ln2. s s Karenas 1 ln ( max(e sa,e sb ) ) = max(a,b), dandenganmenggunakanteorema apit, diperoleh bahwa lim s s 1 ln(f +g) = max(a,b) = a b. Jika Definisi dan Lema digunakan pada fungsi eksponensial e sa dan e sb akan diperoleh operasi dan sebagai berikut e sa e sb e s(a b) e sa +e sb e s(a b). Hubungan aljabar max-plus dengan aljabar konvensional tersebut sering digunakan untuk membuktikan sifat-sifat dalam aljabar max-plus. 10

24 2.2.5 Matriks dalam Aljabar max-plus Berikut adalah definisi matriks dalam aljabar max-plus sebagaimana telah dijelaskan oleh Farlow dalam [7]. Definisi (Definisi Matriks dalam Aljabar Max-Plus). Himpunan matriks berukuran m n dengan elemen-elemen R max dinotasikan dengan R m n max. Himpunan tersebut dapat dituliskan sebagai a 11 a 12 a 1n a R m n max = 21 a 22 a 2n.... a ij R max. a m1 a m2 a mn Elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A R m n max dinyatakan oleh a ij atau dapat ditulis sebagai [A] ij. Selanjutnya dijelaskan mengenai operasi matriks dalam aljabar max-plus. Definisi-definisi berikut diacu dari Farlow [7] dan Siswanto [13]. Definisi (Operasi Hitung dari Matriks dalam Aljabar Max-Plus). 1. Untuk setiap A,B R m n max, definisi penjumlahan A B adalah [A B] ij = a ij b ij = max(a ij,b ij ). 2. Untuk setiap A R m k max dan B Rk n max, definisi pergandaan A B adalah [A B] il = k (a ij b jl ) = max (a ij +b jl ). j {1,2,...} j=1 3. TransposedarimatriksdituliskansebagaiA T dandidefinisikansepertidalam aljabar konvensional, yaitu [A T ] ij = [A] ji. 11

25 4. Untuk matriks berukuran n n dalam aljabar max-plus memiliki identitas E n yang didefinisikan sebagai e, jika i = j; [E n ] ij = ε, jika i j, dengan ε adalah elemen identitas dari operasi max yaitu sedangkan e adalah elemen identitas dari operasi penjumlahan yaitu Untuk suatu matriks A R n n max dan bilangan bulat positif k, pangkat k dari A dituliskan sebagai A k dan didefinisikan dengan Untuk k = 0, berlaku A 0 = E n. A k = } A A... A {{} k kali 6. UntuksebarangmatriksA R n n max danα R max,operasiα Adidefinisikan dengan [α A] ij = α [A] ij Kerangka Pemikiran Berdasarkan tinjauan pustaka dapat disusun suatu kerangka pemikiran langkah-langkah penyelesaian masalah dalam penulisan skripsi ini. Pertama, akan dipahami terlebih dahulu mengenai struktur aljabar max-plus. Kedua, dilanjutkan dengan memahami tentang sistem persamaan linear aljabar max-plus dan bagaimana membuat suatu matriks dari sistem tersebut. Ketiga, memahami konsep-konsep aljabar linear dalam aljabar max-plus, khususnya determinan matriks dalam aljabar max-plus. Setelah memahami determinan matriks dalam aljabar max-plus barulah dapat ditentukan persamaan karakteristik dari suatu matriks. Kemudian, untuk memperjelas pembahasan, akan diberikan contoh kasus mengenai penentuan persamaan commit karakteristik to user dari suatu matriks. 12

26 Bab III METODE PENELITIAN Metode penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah kajian pustaka, yaitu dengan mengumpulkan berbagai referensi buku, skripsi, jurnal, maupun informasi dari halaman websites mengenai struktur aljabar, aljabar max-plus, sifat-sifat aljabar linear, dan sistem persamaan linear aljabar max-plus. Dari metode tersebut, diharapkan dapat dikaji ulang bagaimana penentuan persamaan karakteristik dari suatu matriks dalam aljabar max-plus dan kemudian memberikan contoh penerapannya dalam contoh kasus. Berikut adalah langkah-langkah yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini. 1. Menerapkan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar konvensional, 2. menerapkan sistem persamaan linear dalam bentuk matriks pada aljabar max-plus, 3. menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus, dan 4. memberikan contoh kasus berupa model dari jalur kereta api sederhana yang diambil dari Vries [14]. 13

27 Bab IV PEMBAHASAN Pada bab ini diberikan hasil studi dan pembahasan. Bab ini terdiri dari dua bagian. Pada bagian pertama akan dijelaskan tentang bagaimana cara mengkonstruksikan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Kemudian, akan diberikan contoh kasus tentang jaringan kereta api sederhana pada bagian yang kedua. 4.1 Persamaan Karakteristik Suatu Matriks dalam Aljabar max-plus Sebelum membahas persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus, terlebih dahulu didefinisikan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar konvensional. Jika A adalah suatu matriks berukuran n n dan ϕ {1,2,...n}, maka A ϕϕ adalah submatriks yang diperoleh dengan menghapus seluruh baris dan kolom dari A kecuali elemen dari baris dan kolom yang dinyatakan oleh ϕ. Kemudian, persamaan karakteristik suatu matriks adalah det(λi A) = λ n +c 1 λ n c n 1 λ+c n = 0 (4.1) untuk c k = ( 1) k σ C det(a σσ) dengan C n k n k adalah himpunan dari seluruh subhimpunan k elemen dari himpunan {1,2,...,n}. Karena dalam aljabar max-plus tidak didefinisikan operasi pengurangan, koefisien c k λ n k dari persamaan (4.1) yang bertanda negatif dipindahkan ke ruas kanan. Sifat-sifat dari permutasi digunakan untuk memisahkan antara koefisien c k λ n k yang bernilai positif. Digunakan pendekatan melalui fungsi eksponensial, yaitu matriks e sa untuk menentukan analogi persamaan karakteristik dalam aljabar max-plus. Jika 14

28 matriks e sa disubstitusikan pada persamaan (4.1), maka diperoleh det(λi e sa ) = λ n +γ 1 λ n γ n 1 λ+γ n = 0, (4.2) dengan γ k (s) = ( 1) k σ C k n det(esaσσ ). Didefinisikan Γ k = {ζ : {i 1,i 2,...,i k } C k n, ρ P k sedemikian sehingga ζ = k r=1 a i ri ρ(r)} untuk k = 1,2,...,n dengan P n adalah himpunan seluruh permutasi σ : {1,2,...,n} {1,2,...,n}. Nilai Γ k merupakan himpunan pangkat dari e sζ yang terjadi pada γ k (s). Jika didefinisikan I k (ζ) adalah koefisien dari e sζ untuk setiap ζ Γ k dengan k 1,2,...,n, maka I k (ζ) = I e k (ζ) Io k (ζ) dengan 1. I e k (ζ) adalah nilai dari ρ Pe k sedemikian sehingga {i 1,i 2,...,i n } C k n dan ζ = k r a i ri ρ(r), 2. I o k (ζ) adalah nilai dari ρ Po k sedemikian sehingga {i 1,i 2,...,i n } C k n dan ζ = k r a i ri ρ(r), untuk P e n sebagai permutasi genap dan P o n sebagai permutasi ganjil. Nilai I k (ζ) disubstitusikan pada γ k (s) dan diperoleh γ k (s) = ( 1) k ζ Γ k I k (s)e sζ. (4.3) Didefinisikan dominan dari γ k (s) adalah d k = max{ζ Γ k : I k (ζ) 0}. Jika digunakan Definisi pada persamaan (4.3), maka diperoleh γ k (s) e sd k. Kemudian didefinisikan nilai koefisien dari γ k (s) sebagai γ k (s) = ( 1) k I k (d k ) untuk k = 1,2,...,n. Misal l = {k : γ k (s) > 0} dan j = {k : γ k (s) < 0}, agar dapat memisahkan koefisien yang positif dengan negatif. Sebagai contoh untuk setiap ζ Γ 1 = {a ii : i = 1,2,...,n} diketahui bahwa I1 o(ζ) = 0 dan Ie 1 (ζ) > 0. Hal ini menyebabkan I 1 (d 1 ) > 0 sehingga γ 1 < 0 yang berarti 1 j. Sejalan 15

29 dengan Γ 1 seluruh γ k (s) dengan γ k (s) < 0 atau k j dipindah ke ruas kanan agar tanda negatif dapat dihilangkan. Seluruh γ k (s) dengan k j dipindahkan ke ruas kanan dan diperoleh λ n + k l γ k (s)e sd k λ n k = k j γ k (s)e sd k λ n k. (4.4) Kemudian, agar Lema dapat digunakan, variabel λ pada persamaan (4.4) diganti dengan variabel e sλ dan diperoleh e sλn + k l γ k (s)e sd k e sλn k k j γ k (s)e sd k e sλn k e sλn + k l γ k (s)e sd kλ n k k j γ k (s)e sd kλ n k Jika digunakan Definisi , maka diperoleh ( lim s s 1 ln e sλn + ) γ k (s)e s(d kλ n k ) = lim s 1 ln s k l ( k j ) γ k (s)e s(d kλ n k ) (4.5) Kemudian, digunakan Lema pada persamaan (4.5) dan diperoleh ( max nλ,d k + ( (n k)λ ) +ln ( γ k (s) )) ( = max d k + ( (n k)λ ) +ln ( γ k (s) )). k l k j Karena ln ( γ k (s) ) dapat diabaikan, persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus adalah λ n k l d k λ n k = k j d k λ n k (4.6) 4.2 Contoh Kasus Kasus berikut diambil dari penelitian yang telah dilaksanakan oleh Vries et. al [14]. Misalkan diketahui suatu jaringan rel kereta api sederhana seperti yang dapat dilihat pada Gambar 4.1. Pada jaringan tersebut, terdapat rute kereta dari P menuju ke S dan sebaliknya yang melewati stasiun Q. Selain itu terdapat rute dari stasiun Q ke R dan sebaliknya. Pada stasiun Q kereta dari P dan S harus mendahulukan kereta yang berjalan pada rute Q ke R dan sebaliknya. Waktukeberangkatandarikereta ke-k padaruteidinotasikansebagaix i (k), untuk i = 1,2,...,n dengan n adalah jumlah rute yang berbeda pada jaringan. 16

30 Gambar 4.1. Jaringan rel kereta api sederhana. Kereta ke-(k + 1) harus memenuhi beberapa kondisi untuk dapat berjalan pada rute i. Kondisi pertama adalah kereta harus telah tiba di stasiun. Dianggap bahwa kereta dari rute j akan melanjutkan perjalanan melewati rute i, sehingga diperoleh kondisi berikut. x i (k +1) a ij x j (k), (4.7) dengan x i (k + 1) adalah waktu keberangkatan ke-(k + 1) pada rute i dan a ij adalah waktu tempuh yang diperlukan untuk melewati rute j ke i ditambah dengan waktu yang diperlukan penumpang untuk turun dan naik dari kereta. Kondisi kedua adalah setiap kereta dapat menunggu kereta lain yang berhubungan. Hal tersebut menyebabkan munculnya kondisi berikut. x i (k +1) a il x l (k), (4.8) untuk l adalahhimpunan seluruh rute sebelum idengan a il adalah waktu tempuh pada rute l ke i ditambah dengan waktu yang diperlukan penumpang untuk turun dan naik dari kereta. Diasumsikan bahwa kereta langsung berangkat jika seluruh kondisi telah dipenuhi. Waktu keberangkatan kereta ke-(k + 1) pada rute i yang dituliskan dalam aljabar max-plus adalah x i (k +1) = a ij (k) x j (k) l a il (k)x l (k). Sehingga, model dari jaringan pada Gambar 4.1 dengan memperhatikan kondisi 17

31 (4.7) dan (4.8) adalah sebagai berikut x 1 (k +1) = a 2 (k) x 2 (k) x 2 (k +1) = a 3 (k) x 3 (k) a 4 (k) x 4 (k) x 3 (k +1) = a 1 (k) x 1 (k) a 3 (k) x 3 (k) a 4 (k) x 4 (k) x 4 (k +1) = a 1 (k) x 1 (k) a 3 (k) x 3 (k). Jika dimisalkan x(k) = ( x 1 (k),...,x i (k),...,x n (k) ) T, maka model dapat dituliskan menjadi x(k+1) = A(k) x(k) dengan A(k) adalah suatu matriks, yaitu ε a 2 ε ε ε ε a A(k) = 3 a 4. (4.9) a 1 ε a 3 a 4 a 1 ε a 3 ε Jikawaktutempuha i (k)deterministik dengansatuanwaktu, makaperilaku sistem x(k + 1) = A(k) x(k) ditentukan oleh nilai eigen dalam aljabar maxplus dari matriks A(k). Menurut Chung [5], nilai eigen adalah nilai besarnya waktu maksimal yang diperlukan kereta untuk dapat melewati rute manapun yang ada dalam jaringan tersebut. Dalam artikel ini hanya dibahas bagaimana cara mencari persamaan karakteristik dari matriks A tersebut. Jika dimisalkan a 1 = 14,a 2 = 17,a 3 = 11,a 4 = 9, maka nilai a 1,a 2,a 3,a 4 disubstitusikan pada matriks (4.9) dan diperoleh matriks A berikut ε 17 ε ε ε ε 11 9 A =. 14 ε ε 11 ε Kemudian, akan dicari persamaan karakteristik dari matriks A. Persamaan karakteristik dari matriks A akan dicari dengan dua cara. Cara pertama adalah memperoleh persamaan karakteristik dengan menggunakan matriks e sa. Sedangkan cara kedua adalah dengan menggunakan persamaan (4.6). 18

32 Pertama akan digunakan matriks e sa untuk memperoleh persamaan karakteristik dari matriks A. Berikut adalah matriks e sa. 0 e 17s e e sa = 11s e 9s e 14s 0 e 11s e 9s e 14s 0 e 11s 0 Kemudian, jika matriks e sa disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1), maka diperoleh det(λi e sa ) = λ 4 e 11s λ 3 e 20s λ 2 + (e 42s +e 40s )λ e 51s = 0 (4.10) Koefisien dengan pangkat tertinggi dari seluruh γ k mempunyai tanda negatif. Oleh karena itu, seluruh γ k dipindahkan ke ruas kanan. Jika hanya diambil pangkat terbesar dari γ k, maka diperoleh persamaan (4.11), yaitu λ 4 = e 11s λ 3 +e 31s λ 2 +e 42s λ+e 51s. (4.11) Jika nilai λ diganti dengan e sλ dan digunakan Definisi pada persamaan (4.12), maka diperoleh lim s s 1( e sλ4 ) = lim s s 1( e 11s e sλ3 +e 31s e sλ2 +e 42s e sλ +e 51s) (4.12) Kemudian, jika digunakan Lema 2.2.2, maka diperoleh persamaan karakteristik dari matriks A adalah λ 4 = 11 λ 3 31 λ 2 42 λ 51. (4.13) Kemudian, jika digunakan persamaan (4.6) untuk menentukan persamaan karakteristik dari matriks A, berikut adalah langkah-langkah penyelesaiannya. Dengan menggunakan definisi Γ k untuk i = 1,2,3,4, diperoleh Γ 1 = {ε,11}, Γ 2 = {ε,20}, Γ 3 = {ε,40,42}, dan Γ 4 = {ε,51}. Kemudian berikut adalah nilai I k (ζ) untuk k = 1,2,3,4. I 1 (ε) = 1, I 1 (11) = 1 I 2 (ε) = 4, I 2 (20) = 1 I 3 (ε) = 10, I 3 (40) = 1, I 3 (42) = 2 I 4 (ε) = 5, I 4 (51) = 1. 19

33 Kemudian dicari d k untuk k = 1,2,3,4. Karena max{γ 1 } = 11 dan I 1 (11) 0, diperoleh d 1 = 11. Dengan cara yang sama, diperoleh d 2 = 20, d 3 = 42, dan d 4 = 51. Hal tersebut menyebabkan γ 1 = 1, γ 2 = 1, γ 3 = 1, dan γ 4 = 1. Diperoleh l = {} dan j = {1,2,3,4}. Persamaan karakteristik dari matriks A dengan memperhatikan persamaan (4.6) adalah λ 4 = 11 λ 3 31 λ 2 42 λ 51. (4.14) Tampak bahwa persamaan (4.13) dan (4.14) sama. Sehingga terbukti bahwa dengan menggunakan det(λi e sa ) ataupun persamaan (4.6) diperoleh hasil sama. Mencari persamaan karakteristik menggunakan det(λi e sa ) masih membutuhkan penggunaan operasi (+) dan ( ) pada aljabar konvensional, sehingga tidak efektif. Sedangkan, pada persamaan (4.6) hanya menggunakan operasi dalam aljabar max-plus. Kemudian, nilai eigen dari matriks A dapat diperoleh dengan memfaktorkan persamaan karakteristik tersebut. Dari nilai eigen yang diperoleh tersebut, misalkan λ dapat diartikan bahwa kereta dalam jaringan tersebut dapat diberangkatkan tiap λ satuan waktu. 20

34 Bab V PENUTUP 5.1 Kesimpulan Sesuai dengan masalah yang telah dirumuskan, diperoleh kesimpulan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus adalah λ n k l d k λ n k = k j d k λ n k, dengan d k = max{ζ Γ k : I k (ζ) 0}. NilaiΓ k adalahhimpunan pangkat yang mungkin terjadi untuk setiapλdani k (ζ) adalah koefisien dari ζ Γ k. 5.2 Saran Penelitian ini hanya membahas tentang bagaimana menentukan persamaan karakteristik suatu matriks dalam aljabar max-plus. Jika pembaca tertarik dapat melakukan penelitian tentang bagaimana cara memperoleh algoritma untuk memperoleh nilai eigen dan vektor eigen dari persamaan karakteristik. 21