PROBABILITAS PUNCAK EPIDEMI MODEL RANTAI MARKOV DENGAN WAKTU DISKRIT SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS)

Transkripsi

1 PROBABILITAS PUNCAK EPIDEMI MODEL RANTAI MARKOV DENGAN WAKTU DISKRIT SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS) oleh IQROK HENING WICAKSANI M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2014 i

2 HALAMAN PENGESAHAN PROBABILITAS PUNCAK EPIDEMI MODEL RANTAI MARKOV DENGAN WAKTU DISKRIT SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS) yang disiapkan dan disusun oleh IQROK HENING WICAKSANI M dibimbing oleh Pembimbing I Pembimbing II Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. Sri Kuntari, M.Si. NIP NIP telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Kamis, 20 Maret 2014 dan dinyatakan telah memenuhi syarat. Anggota Tim Penguji Tanda Tangan 1. Drs. Isnandar Slamet, M.Sc. Ph.D NIP Putranto Hadi Utomo, S.Si., M.Si NIP Surakarta, Mei 2014 Disahkan oleh Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Dekan Ketua Jurusan Matematika Prof. Ir. Ari Handono Ramelan, M.Sc(Hons), Ph.D. Irwan Susanto, S.Si., DEA. NIP NIP ii

3 ABSTRAK Iqrok Hening Wicaksani PROBABILITAS PUNCAK EPIDEMI MODEL RANTAI MARKOV DENGAN WAKTU DISKRIT SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS ). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Masalah penyebaran penyakit dapat dijelaskan dengan menggunakan model matematika. Model matematika yang menggambarkan penyebaran penyakit dengan karakteristik setiap individu yang telah sehat, rentan terinfeksi kembali adalah model epidemi susceptible infected susceptible (SIS). Penyebaran penyakit dapat dipandang sebagai kejadian random yang bergantung pada variabel waktu, sehingga merupakan proses stokastik. Penyebaran penyakit dengan karakteristik SIS ditinjau dalam selang waktu diskrit dapat disajikan menggunakan model rantai Markov dengan waktu diskrit SIS. Tujuan penelitian ini adalah menurunkan ulang probabilitas puncak epidemi. Metode yang digunakan adalah kajian pustaka. Probabilitas puncak epidemi secara matematis diperoleh dari komplemen probabilitas berhentinya epidemi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa probabilitas puncak epidemi dipengaruhi oleh laju penularan β, laju kesembuhan γ, laju kelahiran b, dan individu awal yang terinfeksi I (0). Terlihat bahwa jika laju penularan lebih besar dari jumlahan laju kelahiran dan laju kesembuhan maka puncak epidemi dimungkinkan terjadi, namun jika laju penularannya kurang dari atau sama dengan jumlahan laju kelahiran dan laju kesembuhan maka puncak epidemi tidak dimungkinkan terjadi. Selanjutnya dilakukan penerapan terhadap model rantai Markov dengan waktu diskrit SIS pada penyakit pertusis, untuk memberikan gambaran yang lebih jelas mengenai perilaku parameter yang berpengaruh terhadap probabilitas puncak epidemi. Simulasi memperjelas bahwa semakin besar laju penularan dan individu awal yang terinfeksi probabilitas puncak epidemi semakin tinggi. Semakin besar laju kesembuhan dan laju kelahiran probabilitas puncak epidemi semakin rendah. Kata kunci : probabilitas puncak epidemi, proses percabangan, model rantai Markov dengan waktu diskrit, model SIS iii

4 ABSTRACT Iqrok Hening Wicaksani PROBABILITY OF AN OUTBREAK DISCRETE TIME MARKOV CHAIN SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS) MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Disease outbreak problems can be approached through mathematical models. When each individual can be reinfected then susceptible infected susceptible (SIS) epidemic model is the suitable model. Since spreading of disease can be considered as random event, therefore this process called stochastic process. The changes of the number of infected individual is a stochastic process in discrete time interval. Furthermore, the epidemic model can be explained as discrete time Markov chain SIS epidemic model. The purpose of this research is to determine probability of an outbreak at discrete time Markov chain SIS model. The probability of an outbreak is mathematically obtained by complement of probability of extinction. It can be noted that the probability of an outbreak depends on contact rate β, recovery rate γ, birth rate b, and initial number of infected I (0). From the result if the value of β is larger than the sum of γ and b, probability of an outbreak will happen. However if β less than or equivalent to sum of γ and b, probability of an outbreak does not happen. The results of simulation show that the greater value of contact rate and initial number of infected, the higher probability of an outbreak. On the other hand the greater value of recovery rate and birth rate, the lower of probability of an outbreak. Keywords: Probability of an outbreak, branching process, DTMC model, SIS model iv

5 KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada 1. Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. sebagai Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan dan arahan baik penulisan skripsi maupun dalam hal penurunan model rantai Markov dengan waktu diskrit SIS dan simulasi, 2. Sri Kuntari, M.Si. sebagai Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan arahan baik penulisan skripsi maupun materi maupun dalam hal penurunan model rantai Markov dengan waktu diskrit SIS, 3. Dra. Respatiwulan, M.Si. yang telah memberikan masukan dan saran dalam diskusi skripsi, dan 4. Ina Lailatur Wulanjari, Eski Shintawati, dan Luk Luk Alfiana atas kerjasama dan masukan yang diberikan dalam pengerjaan skripsi. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Surakarta, Maret 2014 Penulis v

6 PERSEMBAHAN Sebuah karya sederhana ini kupersembahkan untuk orang tua atas doa, semangat, dan dukungan yang diberikan selama ini. vi

7 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL i HALAMAN PENGESAHAN ii ABSTRAK iii ABSTRACT iv KATA PENGANTAR v PERSEMBAHAN vi DAFTAR ISI viii DAFTAR GAMBAR ix I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Perumusan Masalah Tujuan Manfaat II LANDASAN TEORI Tinjauan Pustaka Teori Penunjang Proses Stokastik Proses Markov Model Rantai Markov dengan Waktu Diskrit SIS Proses Percabangan Kerangka Pemikiran III METODE PENELITIAN 10 vii

8 IV PEMBAHASAN Probabilitas Berhentinya Epidemi Probabilitas Puncak Epidemi Penerapan dan Simulasi V PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA 25 viii

9 DAFTAR GAMBAR 4.1 Banyaknya individu terinfeksi dengan β = 0.4, γ = 0.04, b = 0.1, dan I (0) = 1, pada selang waktu 0 t Banyaknya individu terinfeksi dengan γ = 0.04, b = 0.1, I (0) = 1, dan β = 0.35, 0.4, 0.45, pada selang waktu 0 t Banyaknya individu terinfeksi dengan β = 0.4,b = 0.1, I (0) = 1, dan γ = 0.01, 0.04, 0.07, pada selang waktu 0 t Banyaknya individu terinfeksi dengan β = 0.4, γ = 0.04, I (0) = 1, dan b = 0.05, 0.1, 0.15 pada selang waktu 0 t Banyaknya individu terinfeksi dengan β = 0.4, γ = 0.04, b = 0.1, dan I (0) = 1, 6, 11 pada selang waktu 0 t ix