STATISTIK INDUSTRI 1. Random Variable. Distribusi Peluang. Distribusi Peluang Diskrit. Distribusi Peluang Diskrit 30/10/2013 DISKRIT DAN KONTINYU

Transkripsi

1 STATISTIK INDUSTRI 1 Agustina Eunike, ST., MT., MBA Distribusi Peluang DISKRIT DAN KONTINYU Random Variable Random variable / peubah acak: Suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real dengan tiap elemen pada ruang sampel Random/Acak karena tidak diketahui pasti nilai yang akan dihasilkan pada percobaan yang dilakukan Notasi random variable: huruf besar (X, Y, A, B,...) Nilai random variable: huruf kecil (x, y, a, b,...) Ruang sampel Diskrit Bilangan bulat, berupa titik, ada gap antar titik sampel Variabel acak diskrit Ruang sampel Kontinyu Dapat berupa pecahan, semua poin pada interval dalam ruang sampel Variabel acak kontinyu Distribusi Peluang Distribusi frekuensi relatif yang secara teori seharusnya terjadi pada pengamatan suatu populasi Pemahaman dasar tentang terjadinya suatu kejadian secara natural Identifikasi peluang terjadinya suatu kejadian Model yang menggambarkan peluang suatu kejadian dan penggambaran kapan terjadinya Membantu pengambilan keputusan secara efektif Persiapan untuk proses yang terkait dengan kejadian tersebut Distribusi Klasik f(x) 0, x f x = 1, P X = x = f(x), 0 P(X = x) 1 Mutually Exclusive Distribusi Kumulatif / Frekuensi relatif F x = P X x = f t, ~ < x < ~ t x 1

2 Kumulatif F 1 = P X 1 = f 0 + f 1 = = 0.75 F(x) 0, untuk x < , untuk 0 x < , untuk 1 x < 2 1, untuk x 2 Mean / Expected Value μ = E X = xf(x) x Distribusi Peluang Distribusi Peluang Kontinyu Probability density function Variansi σ 2 = E[ X μ 2 ] = (x μ) 2 f(x) x BINOMIAL Percobaan berturut-turut dengan dua kemungkinan hasil: Sukses vs Gagal Yes vs No Mengacu pada Proses Bernoulli: Percobaan dilakukan berulang Tiap percobaan hanya ada 2 kemungkinan hasil Percobaan bersifat independen Peluang sukses selalu sama dari percobaan satu ke percobaan berikutnya 2

3 p = peluang sukses q = peluang gagal X = variabel random B = distribusi binomial kumulatif P X < r atau P(a X b) Dengan Tabel: Dengan Tabel: 3

4 CATATAN: Pada kondisi tertentu, distribusi binomial dapat diselesaikan dengan pendekatan distribusi poisson atau distribusi normal Hasil perhitungan berdasarkan pendekatan distribusi harus diterima dengan bijaksana dan penuh kehati2an. Karena pada prinsipnya setiap pendekatan menggunakan beberapa asumsi. Pada distribusi binomial, asumsi yang digunakan adalah asumsi independen pada proses percobaan bernoulli, dan bahwa p adalah konsisten MULTINOMIAL Distribusi Multinominal Distribusi Multinominal p i = peluang X i = variabel random Distribusi Multinominal HYPERGEOMETRIC 4

5 Percobaan berturut-turut dengan dua kemungkinan hasil: Sukses vs Gagal Yes vs No Tidak menganut proses Bernoulli percobaan tidak independen tanpa pengembalian (without replacement) Aplikasi: penerimaan sampel (acceptance sampling), pengujian elektronik, jaminan mutu Notasi dalam percobaan hypergeometric: variabel acak hypergeometric: jumlah sukses variabel X dalam percobaan hypergeometric Distribusi hypergeometric:distribusi peluang dari variabel hypergeometric x :jumlah sukses variabel X dalam percobaan n sampel n :ukuran sample acak (dilakukan tanpa pengembalian) N :jumlah keseluruhan obyek k :jumlah obyek sukses dari keseluruhan obyek n - x :jumlah gagal dalam percobaan N - k:jumlah gagal pada keseluruhan obyek h :nilai dari distribusi hypergeometric x; N, n, k = k x N k n x N n, max 0, n N k x min n, k. μ = nk N σ 2 = N n N 1. n. k N 1 k N N = 40, n = 5, k = 3, Distribusi hypergeometric dapat diselesaikan dengan distribusi binomial, jika n N 0.05, p = k N Sehingga rata-rata dan variansinya dapat dihitung dengan cara: 5

6 Negatif BINOMIAL NEGATIF Percobaan binomial negatif Mencari peluang k sukses dalam x percobaan Variabel acak binomial negatif Jumlah X percobaan yang diperlukan untuk mendapatkan k sukses pada percobaan binomial negatif Distribusi peluang binomial negatif Peluang jumlah X percobaan yang diperlukan untuk mendapatkan k sukses pada percobaan binomial negatif Negatif Negatif Notasi: b :peluang sukses pada trial tertentu x :jumlah percobaan p :peluang sukses q :peluang gagal k :jumlah sukses yang terjadi Negatif μ = k p σ 2 = k(1 p) p 2 GEOMETRIC 6

7 Distribusi Geometric Distribusi Geometric Kondisi khusus dari binomial negatif k = 1 Distribusi Geometric μ = 1 p σ 2 = (1 p) p 2 POISSON Percobaan Poisson: Percobaan yang variabel acak-nya adalah banyaknya hasil selama selang waktu tertentu atau area tertentu Selang waktu: menit, jam, hari, minggu, bulan, tahun, dll X: banyaknya penelepon 108 per jam, X: banyaknya hari sekolah libur karena banjir X: banyaknya pertandingan bola ditunda pada musim hujan Area: panjang garis, luas daerah, isi benda, potongan material, dll X: banyaknya tikus sawah per hektar X: banyaknya salah ketik per halaman Karakteristik Proses Poisson: Jumlah hasil yang terjadi pada selang waktu atau area adalah independen terhadap hasil yang terjadi pada selang waktu atau area lain yang terpisah. (poisson process has no memory) Peluang satu hasil terjadi dalam selang waktu yang singkat atau area yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau ukuran area. Peluang tersebut independen terhadap hasil di luar interval waktu atau area tersebut. 7

8 Rumus: μ = λt Peluang distribusi poisson = p x; λt Dengan Tabel P r; λt = p x; λt r x=0 p x; λt = e λt λt x x!, x = 0, 1, 2, t: "waktu", "jarak", "area", atau "volume λ: "rata rata jumlah hasil per satuan unit t e = 2,71828 Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel melewati penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu? p 6; 4.1 = e ! = 2, x5x4x2x1 = 0, = 0, Dengan Tabel: 6 5 p 6; 4 = x=0 p x; 4 x=0 p x; 4 = = Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tanker sehari. Berapakah peluang pada suatu hari tanker terpaksa ditolak karena pelabuhan tak mampu melayaninya? X: banyaknya tanker yang tiba tiap hari P X > 15 = 1 P X 15 P X > = 1 x=0 p x; 10 P X > 15 = 1 0,9513 P X > 15 = 0,0487 μ = λt σ 2 = λt Poisson dan Binomial Percobaan Binomial dapat diselesaikan dengan Poisson jika: n relatif besar n p relatif kecil (p 0) np n μ, b(x; np) n p(x; μ) 8

9 Poisson dan Binomial Poisson dan Binomial RANGKUMAN Distribution Binomial Negative Binomial Geometric Hypergeometric Poisson Random Variable X No. of success in n trials with p = P (success) (draw w/ replacement, independet trials) No of trials until the kth success with p = P (success) No of trials until the 1st success with p = P (success) Possible Values of X No. of success in n trials max 0, n N k... min n, k with p = P (success) = k/n (draw w/o replacement, dependet trials) Distribution Function Fx(a) = P(X=a) Mean E(X) 0, 1,., n n a pa 1 p n a np k, k + 1, a 1 k 1 pk 1 1 p a k. p k/p 1, 2, 3, p(1 p) a 1 1/p k a N k n a N n No. of arrivals with 0, 1, 2,... e λt λt a arrivale rate λ during an interval length t a! n(k N) λt The number of defectives found when inspecting 10 items produced by a production line with defective rate 5 %. (binomial n = 10, p = 5% ) The number of flips required to observe the 4thhead flipping a biased coin with P(head)=1/3. (negative binomial k = 4, p = 1/3 ) The number of red balls observed when drawing without replacement 10 balls from a bag with 5 red and 20 black balls. (ypergeometric N = 25, k = 5, n = 10 ) The number of bubbles observed when inspecting a piece of glass with area 100 m 2 where on the average there exist 5 bubbles on a piece of glass with area m 2. (poisson λ = 5/10000, t = 100 ) 9