DISTRIBUSI PROBABILITAS

Transkripsi

1 DISTRIBUSI PROBABILITAS DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT Distribusi binomial Distribusi binomial - Distribusi peluang diskrit Distribusi geometrik Distribusi hipergeometrik Distribusi poison

2 BERNOULLI TRIAL a. Ciri ciri :. Percobaan menghasilkan keluaran M. E., aitu S SUKSES dan F GAGAL. Keluaran bersifat exhaustive, aitu : tidak ada keluaran ang lain 3. P(S) p dan P (F) q, sehingga p+q b. Diberikan oleh : P(Y ) p.q (-), dengan { c. µ p dan σ p.q, jika Smuncul 0, jikafmuncul STUDI KASUS Dalam pelemparan koin, ditentukan bahwa munculna muka (M) adalah SUKSES dan munculna belakang (B) adalah GAGAL. SOLUSI :, jika muncul muka, dan P(M) p ½ 0, jika muncul belakang, dan P(B) q ½ Sehingga distribusi peluang dari menurut bernoulli trial adalah : P() p.q (-) p 0,5 P(0) p 0.q (-0) q 0,5 DISTRIBUSI BINOMIAL a. Ciri ciri :. Percobaan terdiri atas n kali bernoulli trial ang identik ;. Hana ada keluaran M.E., aitu S SUKSES dan F GAGAL untuk tiap trial ; 3. P(S) p dan P (F) q, bernilai tetap dari satu trial ke trial lain ;. Semua trial saling independent ; 5. Variabel random Binomial Y adalah adalah jumlah S dalam n trial. b. Diberikan oleh : n (n-) P(Y ).p.q, untuk 0,,,...,n dengan : p peluang SUKSES dalam trial tunggal q p n jumlah trial jumlah SUKSES dalam n trial c. µ n.p dan σ n.p.q

3 STUDI KASUS Seorang insinur elektro sedang mengamati problem arus listrik pada komputer. Hasil surve terakhir menunjukkan bahwa 0 % komputer ang dipakai mengalami problem ini. Jika 5 sampel random dipilih dari seluruh populasi amatan, hitung peluang : a. terdapat 3 komputer terpilih mengalami kerusakan b. paling sedikit 3 komputer terpilih mengalami kerusakan c. kurang dari 3 komputer terpilih mengalami kerusakan SOLUSI : a. Tepat 3 komputer, 3 P(3) 5 ( ) 3 ().(0%).(90%) 0, b. Paling sedikit 3 komputer, 3,, dan 5 P (Y 3) P(3) + P() + P(5) P(3)0,008 P() P(5) 5 ( ) 5 ( ) 5 0.(0%).(90%) 0, (0%).(90%) 0,0005 Maka, P(Y 3) 0, , ,0000 0,00856 c. Kurang dari 3 komputer, 0,, P(Y < 3) P(Y 3) 0, ,99 ATAU dengan memanfaatkan TABEL DISTRIBUSI BINOMIAL. 3

4 7 STUDI KASUS 3 Y P ) ( Sebuah mata uang dilempar kali, kemungkinan munculna sisi gambar mempunai distribusi Binomial dengan kemungkinan sukses ½ adalah sebagai berikut : Kemungkinan munculna gambar kali adalah : 6 6!!! ) ( Y P 8 Fungsi kepadatan probabilitasna adalah : 6 () 6 3 (3) 6 6 () 6 () 6 0 (0) P P P P P jumlah gambar ang muncul probabilitas

5 Rata-rata kemunculan gambar adalah : µ n 0!! !3!!! Varians kemunculan gambar adalah :! 3!! +! 0!! σ np( p) ( ) 9 STUDI KASUS 5 Dilakukan n pengulangan percobaan dengan menggunakan bilangan acak ang mempunai probabilitas untuk sukses adalah ⅔.Jika diulangi 3 kali, hitung kemungkinan sukses lebih dari kali..jika diulangi 5 kali, hitung kemungkinan sukses lebih dari 3 kali. 0 5

6 Bila dilakukan pengulangan kali P ( ) P() + P(3) Bila dilakukan pengulangan 5 kali P ( 3) P(3) + P() + P(5) DISTRIBUSI MULTINOMIAL Percobaan BINOMIAL akan menjadi percobaan MULTINOMIAL apabila tiap usaha dapat memberikan lebih dari DUA hasil ang mungkin. Misal, pembagian hasil output pabrik menjadi ringan, berat, atau masih dapat diterima. Contoh lain adalah pengambilan suatu kartu dengan perhatian kempat jenis kartu. a. Ciri ciri. Percobaan terdiri atas n kali trial ang identik ;. Terdapat k jenis keluaran untuk tiap trial ; 3. p, p, p 3,..,p k, aitu peluang dari masing masing keluaran, bernilai tetap dari satu trial ke trial lain, dan p + p + p p k ;. Semua trial bersifat independent ; 5. Variabel random multinomial adalah Y, Y, Y 3,,Y k untuk setiap k jenis keluaran. 6

7 b. Diberikan oleh : n! 3 k P(Y, Y, Y 3,,Y k).p.p.p3..p k!! 3! k! dengan : p i peluang keluaran ke i dalam trial tunggal p + p + p p k n k jumlah trial i jumlah kemunculan keluaran ke i dalam n trial c. µ i n.p i dan σ i n. p i.(-p i ) STUDI KASUS 6 Sebuah penelitian menunjukkan bahwa 0% monitor komputer memberikan radiasi tinggi, 30 % sedang, dan 60% rendah. Bila diambil sampel acak 0 monitor dari sebuah populasi amatan, hitunglah : a. Peluang bahwa 0 monitor memiliki radiasi tinggi, 0 sedang, 0 rendah ; b. Rata rata dan variansi monitor dengan radiasi tinggi dari 0 monitor ang terpilih sebagai sampel. SOLUSI : a. Ditentukan : jumlah monitor radiasi tinggi jumlah monitor radiasi sedang 3 jumlah monitor radiasi rendah p peluang terpilihna monitor radiasi tinggi p peluang terpilihna monitor radiasi sedang p 3 peluang terpilihna monitor radiasi rendah Sehingga : 0! P( 0,0,0).(0%) 0.(30%) 0.(60%) 0 0, !0!0! b. µ i n.p i 0.0% σ i n. p i.(-p i ) 0.(0%).(-0%) 3,6 7

8 DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF Percobaan BINOMIAL NEGATIF ingin mengetahui peluang bahwa sukses ke r terjadi pada usaha ke x. Sehingga distribusi BINOMIAL NEGATIF merupakan banakna usaha ang berakhir tepat pada sukses ke r. a. Ciri ciri. Kondisi umum IDENTIK dengan distribusi peluang binomial ;. Pengecualian pada perubahan definisi variabel random Y. jumlah trial ang diperlukan untuk memperoleh keluaran S (SUKSES) ke i. b. Diberikan oleh : r r P(Y ) ( ).p.q, untuk r,r +,r +,... r dengan : p peluang sukses dalam trial tunggal q p jumlah trial ang diperlukan untuk memperoleh keluaran S (SUKSES) ke i. c. µ i r/ p dan σ r.q/ p STUDI KASUS 7 Untuk memasang baut, digunakan sebuah peralatan elektrik dengan tingkat keberhasilan 0,8 dalam selang waktu detik. Jika operator gagal memasang baut dalam selang waktu detik pertama, tingkat keberhasilan pemasangan pada selang waktu detik kedua dianggap tetap 0,8. dalam rangkaian assembl, terdapat baut ang harus dipasang. Tentukan : a. distribusi probabilitas, aitu waktu (detik) ang diperlukan untuk memasang ke- baut dalam assembl. b. peluang bahwa waktu ang diperlukan untuk memasang ke- baut tersebut adalah 6 detik. SOLUSI : a. r dan p 0,8 ; q 0, didapat r r P(Y ) ( ).p.q ( ).(0,8).(0,) r 3 b. Waktu ang diperlukan 6 detik, berarti 6 dengan S dan F. P(6) ( ).(0,8).(0,) 0, 638 8

9 STUDI KASUS 8 Pada pelemparan koin ang dilakukan berulang kali, bagaimana distribusi probabilitas mendapatkan gambar setelah kali pelemparan? Dalam kasus ini r, sehingga fungsi probabilitasna adalah : P( ) 7 DISTRIBUSI GEOMETRIC Distribusi GEOMETRIC, aitu banakna usaha ang berakhir pada sukses ang pertama. a. Ciri ciri Distribusi Binomial negatif dengan r (mencapai SUKES pertama) b. Diberikan oleh : P(Y ) p.q, untuk,,3,... dengan : jumlah trial sampai SUKSES PERTAMA dicapai. c. µ i / p dan σ q/ p 9

10 STUDI KASUS 9 Sebuah kontainer berisi sekring untuk ekspor. Dari spesifikasi produsen diketahui bahwa proporsi cacat sekring adalah 0 %. Inspektor sedang melakukan pengujian kesesuaian mutu sekring dengan cara mengambil satu persatu sampai diketemukan sekring ang cacat. Tentukan peluang bahwa sekring cacat ditemukan dalam 5 pengujian pertama. SOLUSI : p 0, dan q 0,9 Sehingga : P(Y ) p.q (0,).(0,9) P(Y 5) p() + p() + p(3) + p() + p(5) (0,)(0,9) 0 + (0,)(0,9) + (0,)(0,9) + + (0,)(0,9) 0, DISTRIBUSI HYPERGEOMETRIC a. Ciri ciri. Percobaan terdiri atas pengambilan random n elemen tanpa pengembalian dari total N elemen ;. Terdapat S (SUKSES) sebanak r dan F(GAGAL) sebanak N r ; 3. Ukuran n dianggap besar sebanding N (n/ N > 0,05). Variabel random hpergeometric Y adalah jumlah S (SUKSES) dalam pengambilan n elemen. b. Diberikan oleh : rn r n P (Y ), untuk 0,,,3,...,n N n dengan : N jumlah total elemen r jumlah SUKSES dalam N n jumlah elemen pengambilan jumlah SUKSES dalam pengambilan (n) r.(n r).n.(n n) c. µ i n.r/ N dan σ N (N ) 0

11 STUDI KASUS 0 Dari 0 katalis ang ada diperlukan 3 untuk keperluan pembuatan produk kimia baru. Dari sepuluh katalis tersebut terdapat jenis katalis berkadar asam tinggi dan 6 jenis berkadar asam rendah. a. tentukan peluang bahwa katalis ang terpilih semua berkadar asam rendah ; b. tentukan peluang bahwa dari 3 katalis ang dipilih, hana ang memiliki kadar asam tinggi. SOLUSI : jumlah katalis berkadar asam tinggi dari 3 katalis terpilih N 0, n 3, r MAKA 6 3 P(Y ) a. 0 3 P (Y 0) 0 6 b. 3 P (Y ) 0 3 STUDI KASUS Diketahui dari 00 produk reproduksi VCD terdapat 7 VCD ang rusak. Bila diambil 0 hasil reproduksi VCD secara acak, banakna VCD ang rusak mempunai distribusi hpergeometrik sebagai berikut : P( Y ) 00 0 P() Total.0000

12 Dengan menggunakan tabel distribusi geometrik ang sudah didapatkan dapat dikatakan bahwa : Probabilitas VCD ang rusak dari 0 pengambilan acak adalah : P() Rata-rata VCD ang rusak dari 0 pengambilan acak adalah : r 7 µ n N 00 Varians VCD ang rusak dari 0 pengambilan acak adalah : r( N r)( N n) (7)(93)(90) σ n N ( N ) (00) (99) 3 DISTRIBUSI POISSON a. Ciri ciri. Variabel random jumlah kemunculan kejadian ang diamati selama unit ukuran tertentu (contoh : jarak, area, volume, dll) ;. Nilai peluang dari sebuah kejadian adalah sama untuk setiap ukuran tertentu ; 3. Jumlah kejadian ang muncul untuk setiap unit adalah independent ;. ג rata rata jumlah kejadian dalam setiap unit ukuran b. Diberikan oleh λ λ.e P(Y ),untuk 0,,,...! dengan : ג rata rata jumlah kejadian dalam setiap unit ukuran e,788 c. µ ג dan σ ג

13 STUDI KASUS Sejumlah retak pada spesimen beton untuk sebuah jenis semen mengikuti distribusi poisson. Dengan pengamatan awal diketahui bahwa jumlah rata rata keretakan setiap spesimen adalah,5. Tentukan peluang bahwa sebuah spesimen ang dipilih secara random memiliki jumlah keretakan 5. SOLUSI : µ ג,5 Sehingga 5,5.e P(Y 5) 5!,5 0,067 STUDI KASUS 3 Rata rata banakna partikel radioaktif ang melewati suatu penghitung selama milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah. Berapakah peluang 6 partikel melewati penghitung dalam suatu milidetik tertentu? SOLUSI : 6 ; ג 6.e P(Y 6) 6! 0,0 3

14 STUDI KASUS P() Distribusi Poisson dengan ratarata dapat dituliskan dengan : e P( Y )! P() STUDI KASUS 5 Rata-rata kedatangan truk setiap jam pada sebuah gudang bongkar muat adalah, maka kedatangan x truk dapat dinatakan sebagai distribusi Poisson dengan rata-rata ang dituliskan dengan : e P( Y )!