DISTRIBUSI DISKRIT. MA 2081 Statistika Dasar Utriweni Mukhaiyar

Transkripsi

1 DISTRIBUSI DISKRIT Uniform (seragam) Bernoulli Binomial Poisson Beberapa distribusi lainnya : MULTINOMIAL, HIPERGEOMETRIK, GEOMETRIK, BINOMIAL NEGATIF MA 081 Statistika Dasar Utriweni Mukhaiyar 5 Maret 01

2 Distribusi uniform (seragam) Peubah acak X diasumsikan setiap nilainya (x 1, x,, x k ) memiliki peluang yang sama. Distribusi peluang X : 1 P X x x x x x k ( ), 1,,..., k Rataan : 1 k xi k Variansi : k i 1 1 k x k i1 x i

3 Bukti : mean dan variansi untuk p.a distribusi seragam. Berdasarkan definisi ekspektasi, k k 1 k x [ ] ( ) i EX xpx i xi xi, k k i1 i1 i1 k k EX x ( ) i P X xi xi i1 k i1 1 3

4 Contoh 1 Pelantunan sebuah dadu. 1 P ( X x ), x1,,3, 4,5, , P(X=x) x 4

5 Percobaan Bernoulli Percobaan terdiri dari 1 usaha Usaha Peluang sukses p Peluang gagal 1-p Misalkan X Sukses Gagal 1, jika terjadi sukses 0, jika terjadi tidak sukses (gagal) 5

6 Distribusi Bernoulli X berdistribusi ib i Bernoulli, x 1 x p (1 p), x 0,1 PX ( x) berxp ( ; ) 0, x lainnya Rataan : E[X] = µ x = p Variansi : Var(X)= x = p(1-p) 6

7 Percobaan Binomial n usaha yang berulang. Tiap usaha memberi hasil yang dapat dikelompokkan menjadi sukses atau gagal. Peluang sukses tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya. Tiap usaha saling bebas. 7

8 Distribusi Binomial Distribusi binomial, parameter n dan p Notasi X ~ B(n,p) F.m.p: n x PX ( x) bxnp ( ;, ) p(1 p) x nx 8 Koefisien binomial : n! = n.(n-1).(n-) 1 o Rataan n n! x x!( n x)! : E[X] = µ x = np untuk x = 0,1,, n o Variansi : var(x)= X = np(1-p)

9 Bukti : Akan ditunjukkan bahwa X = np. Misalkan hasil pada usaha ke-j dinyatakan oleh peubah acak Bernoulli I j, dimana I j 0, jika gagal dengan peluang q 1, jika sukses dengan peluang p Dalam hal ini I j disebut peubah indikator/penunjuk. Banyaknya sukses dalam suatu percobaan binomial dapat dinyatakan sebagai jumlah n peubah indikator bebas. Dapat ditulis, 9 Sehingga, X = I 1 + I I n EX [ ] EI [ 1 ] EI [ ]... EI [ n ] p p... p np

10 Bukti : Akan ditunjukkan bahwa X = npq. Variansi setiap I j diberikan oleh p j I E I j p E I j p j q p p p p pq Karena percobaan binomial terdiri dari n percobaan Bernoulli yang saling bebas, maka X I I... I pq pq... pq npq 1 n 10

11 Contoh Suatu penelitian dilakukan untuk melihat sikap masyarakat tentang obat penenang. Penelitian itu menunjukkan bahwa sekitar 70% penduduk percaya obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhnya. Menurut penelitian ini, berapa peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang yang dipilih secara acak berpendapat seperti itu? 11

12 Jawab 1 Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya y penduduk percaya obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhnya a. Maka X~B(5, 0.7) Yang ingini dicarii adalah hp(x 3). P(X 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) ! 5! 5! (0,343)(0, 09) (0, 40)(0,30) (0,168)(1)!3! 1!4! 0!5! 0,309 0,360 0,168 0,837 edited 011 by UM

13 Percobaan Poisson Memiliki keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL. Terdefinisi pada : (yang membedakan dari percobaan Binomial) Panjang selang waktu Luas daerah/area Contoh : - Banyak kejadian angin tornado dalam satu tahun di US - Banyak batu Apung ditemukan di setiap meter panjang sungai A 13

14 Proses Poisson Selang waktu atau daerahnya saling bebas. Peluang pada Proses Poisson tergantung pada selang waktu dan besarnya daerah. Peluang untuk selang gyang gpendek atau daerah yang sempit dapat diabaikan. 14

15 Distribusi Poisson 15 Peubah acak X berdistribusi Poisson X~P(t) F.m.p : o t e t PX ( x), x0,1,,... x!! Rataan : E[X] = X = t o Variansi : var(x)= X = t x e = tetapan Euler (.7188 )

16 Bukti : Akan ditunjukkan bahwa rataan adalah t,, tulis = t. x x x 1 e e e E X x x x! x! x 1! x0 x1 x1 Misalkan y = x 1, diperoleh Definisi fungsi peluang untuk p.a. Poisson E X y0 y! e y 1 y y! y 0 e t 16

17 Bukti : 17 Akan ditunjukkan bahwa variansi adalah t. Sehingga, 1 E X X E X X x x e e x x1 x x1 x0 x! x x! x yx y e e x! y! EX x y0 E X E X X E X E X t = 1

18 Contoh 3 Rt Rata-rata t banyaknya kjdi kejadian hj hujan beserta bdi badai dl dalam satu bulan (empat minggu) di suatu daerah adalah 7. a. Hitung gpeluang bahwa lebih dari kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode minggu. b. Berapa rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode bulan. 18

19 19 Alur Analisis Kasus

20 Jawab Jenis kasus Satuan Kasus Diskrit Misal p.a. X : banyak kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan di suatu daerah Distribusi Poisson Satuan waktu : 1 bulan = 4 minggu (Kasus dapat dibagi atas jenis berdasar satuan waktunya Jika dipandang waktu dalam bulan, ambil t = 1 Jika dipandang waktu dalam minggu, ambil t = 4 Rata-rata kejadian 1 bulan : 7, rata-rata kejadian 1 minggu : 7/4 Jika t = 1 (dalam bulan) maka X ~ P (7), dengan rata-rata = t = 7 Parameter distribusi Jika t = 4 (dalam minggu) maka X ~ P (), dengan rata-rata = t = (7/4)(4) = 7 Pertanyaan a. Pertanyaan b. t = 0,5 (dalam bulan), X ~ P(3,5) maka P(X>) =... t = (dalam minggu), X ~ P(3,5) maka P(X>) =... t = (dalam bulan), X ~ P(14) maka =... t = 8 (dalam minggu), X ~ P(14) maka =... 0

21 ... Ingat definisi: sehingga a. t e t PX ( x), x0,1,,... x! PX ( ) 1 P X 1P X 0 P X 1 P X x 3,5 3,5 3,5 3,5 0 3,5 1 3,5 t0,5 e e e 1 0! 1!! ,106 0,370 0,494 1 b. Jika dalam 1 bulan, rata-rata banyak kejadian hujan beserta badai adalah 7 (=7) maka dalam bulan (t=), rata-rata banyak hujan beserta badai terjadi adalah t = 14.

22 Hubungan distribusi Bernoulli, Binomial, Poisson dan Normal Misalkan p.a X Distribusi Bernoulli X ~ Ber (1, p) Distribusi Normal X ~ N(μ, σ ) μ= np, σ = np(1- p) μ=, σ = n >>> n >1 Distribusi Binomial X ~ Bin (n, p) n >>>, p <<< n >>> DLP Distribusi Poisson X ~ POI (t) = np = np(1- p)

23 Beberapa distribusi diskrit lainnya Distribusi Multinomial Distribusi ib i Hipergeometrik ik Distribusi Binomial Negatif Distribusi Geometri 3

24 Distribusi Multinomial Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E 1, E,, E k dengan peluang p 1, p,, p k, maka distribusi peluang peubah acak X 1, X,, X k yang menyatakan banyak terjadinya E 1 1, E,, E k dalam n usaha bebas ialah, n x1 x x PX ( 1 x1, X x,..., X ) p1 p p k k xk k x1, x,..., xk dengan, k x n dan p 1 i i1 i1 k i Percobaan Binomial menjadi Multinomial jika setiap percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil. 4

25 Contoh 4 Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta berturut-turut adalah 0.4, 0., 0.3, dan 0.1. Hitung peluang dari 9 perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan pesawat, 3 orang dengan bus, 1 orang dengan mobil pribadi, dan orang dengan kereta. Jawab: Misalkan X i : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan transportasi i, i=1,,3,4 berturut-turut mewakili pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta PX ( 1 3, X 3, X3 1, X4 ) ,3,1, 9! , !3!1!! 5

26 Distribusi Hipergeometrik X ~ h(n, n, k) X : banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k bernama gagal. kn k x n x PX ( x) hxnnk ( ;,, ), x0,1,,..., n N n Rataan : Variansi : 6 nk N N n k k N 1 n N N 1

27 Contoh 5 Dari 50 gedung di sebuah kawasan industri, 1 gedung mempunyai kode pelanggaran. Jika 10 gedung dipilih secara acak dalam suatu inspeksi, hitung peluang bahwa 3 dari 10 gedung mempunyai kode pelanggaran! Jawab : Misalkan X : banyak gedung yang dipilih mempunyai kode pelanggaran. 7 X ~ h(50, 10, 1) PX ( 3) h(3;50,10,1)

28 Kaitannya dengan distribusi ib i Binomiali Percobaan binomial maupun hipergeometrik sama-sama memiliki kemungkinan, yaitu sukses dan gagal. Perbedaan mendasar adalah pada binomial percobaan dilakukan dengan pengembalian sedangkan hipergeometrik, percobaan dilakukan tanpa pengembalian. Untuk ukuran sampel acak (n) yang diambil semakin kecil terhadap N, maka distribusi hipergeometrik dapat dihampiri oleh distribusi Binomial, dengan peluang sukses k/n. 8

29 Distribusi Geometrik X ~ g(p) atau X ~ Geom(p) X : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama dari usaha- usaha yang saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p). P X x g x p p p x x1 ( ) ( ; ) (1 ), 1,,... Rataan : Variansi : 1 p 1 p p 9

30 Contoh 6 Suatu tes hasil pengelasan logam meliputi proses pengelasan sampai suatu patahan terjadi. Pada jenis pengelasan tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh logam itu sendiri dan 0% oleh penyinaran pada pengelasan. Beberapa hasil pengelasan dites. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sampai ditemukan patahan pertama pada hasil pengelasan. Hitung peluang pada tes ketiga ditemukan patahan pertama! Jawab : X ~ Geom(0.) PX ( 3) g(3;0.) 0.(0.8)

31 X ~ b*(k, p) Distribusi Binomial Negatif X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dari usaha-usaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p). x 1 k xk PX ( x) b*( xkp ;, ) p(1 p), xkk, 1, k... k 1 Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah acak-peubah acak Geometrik. 31 X = Y 1 + Y Y k dimana Y 1, Y,..., Y k adalah peubah acak saling bebas, masing-masing berdistribusi Geom(p). k Rataan : Variansi : p k(1 p) p

32 Contoh 7 Perhatikan Contoh 6. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sehingga ditemukan 3 patahan pertama. Hitung peluang bahwa dilakukan 8 tes sehingga ditemukan 3 patahan pertama! Jawab : PX ( 8) b*(8;3, 0.) (0.) (0.8)

33 Referensi Navidi, William., 008, Statistics for Engineers and Scientists, nd Ed., New York: McGraw-Hill. Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, Walpole, Ronald E., et.al, 007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall. Pasaribu, U.S., 007, Catatan Kuliah Biostatistika. 33