IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson

Transkripsi

1 Non Homogen IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si TELKOM UNIVERSITY JALAN TELEKOMUNIKASI 1, BANDUNG, INDONESIA IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

2 Non Homogen Proses Menghitung Proses stokastik N(t), t 0 dikatakan proses menghitung (counting process) jika N(t) atau N t menyatakan banyaknya peristiwa yang terjadi selama waktu t. IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

3 Contoh Proses Menghitung Non Homogen MANAKAH YANG MERUPAKAN PROSES MENGHITUNG? Banyaknya bayi yang lahir saat t. Banyaknya orang yang datang ke Carepour dalam waktu [0, t] IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

4 Non Homogen Proses Menghitung Proses menghitung N(t), t 0 memenuhi sifat: N(t) 0 N(t) adalah bilangan bulat Jika s < t, maka N(s) N(t) Untuk s < t, N(t) N(s) menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu (s, t] IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

5 Non Homogen Proses menghitung disebut proses dengan kenaikan bebas (independent increment) jika banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu t (yaitu N(t))bebas dari banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu antara t dan t + s (yaitu N(t + s) N(t)). IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

6 Contoh Proses Menghitung Non Homogen Bayi yang lahir sampai waktu t, ii kah? Bagaimana dengan banyaknya gol yang diciptakan pemain sepak bola? IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

7 Non Homogen Proses menghitung disebut kenaikan stasioner (stationary increment) jika banyaknya kejadian pada interval waktu (t 1 + s, t 2 + s] (yaitu N(t 2 + s) N(t 1 + s)) mempunyai distribusi yang sama dengan banyaknya kejadian pada interval waktu (t 1, t 2 ] (yaitu N(t 2 ) N(t 1 )), untuk semua t 1 < t 2, s > 0 IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

8 Contoh Proses Menghitung Non Homogen Banyaknya gol pemain sepak bola sampai waktu ke t, si kah? IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

9 Little o Proses Menghitung Non Homogen Fungsi f (h) dikatakan o(h) jika lim h 0 f (h) h = 0 CONTOH Untuk interval waktu yang kecil (h > 0) e λh = Σ ( λh) n n=0 n! = 1 λh + ( λh)2 2 e λh = 1 λh + o(h) ( λh)3 3! +... (tidak ada kejadian pada interval waktu yang kecil), sehingga peluang ada kejadian pada interval waktu yang kecil, 1 e λh = λh + o(h) IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

10 Non Homogen Suatu proses menghitung N(t), t 0 dikatakan dengan laju (parameter) λ > 0 jika memenuhi N(0) = 0 Proses mempunyai kenaikan bebas dan kenaikan stasioner P(N(h) = 1) = λh + o(h), untuk h interval waktu yang pendek P(N(h) 2) = o(h) IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

11 Catatan Proses Menghitung Non Homogen Maka untuk t 0 berlaku P n (t) = P(N(t + s) N(s) = n) = (λt)n e λt, k = 0, 1, 2,... n! adalah peluang bawa ada n kejadian yang terjadi pada interval t. IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

12 Catatan Proses Menghitung Non Homogen N(t + s) N(s) POI(λt) E(N(t)) = λt dan Var(N(t)) = λt Laju dari proses (rate) atau mean kejadian per satuan waktu t λ = E(N(t)) t IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

13 Non Homogen stasioner, maka P (N(s + t) N(s) = n) = P (N(t) = n N(0) = 0) = P t (t) untuk sebarang s 0, t 0. IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

14 Latihan Proses Menghitung Non Homogen Pelanggan tiba di toko Indomar mengikuti PP dengan laju 2 orang per jam. Jam kerja toko pukul Tentukan peluang 2 pelanggan datang pada pukul Tentukan mean dan variansi kedatangan pelanggan selama jam kerja IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

15 Non Homogen Panggilan telepon suatu kedai delivery order mengikuti PP dengan laju 8/jam. Tentukan peluang terdapat 2 panggilan telepon pada setengah jam pertama, diketahui terdapat 5 panggilan telepon pada setengah jam kedua? IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

16 Non Homogen Berdasarkan proses menghitung N(t), t 0. Perhatikan bahwa kejadian - kejadian tersebut dapat terjadi kapan saja dalam interval. Panjang interval ini disebut dengan waktu antar kedatangan. IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

17 Non Homogen Distribusi Waktu Antar Kedatangan Waktu antar kedatangan X n, n = 1, 2,... dari suatu PP adalah saling bebas dan berdistribusi Eksponensial dengan parameter λ dengan, X 1, X 2, X 3,...X n EXP(λ) E(X n ) = 1 λ ; Var(X n) = 1 λ 2 Karakteristik: Memory less properties IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

18 Non Homogen Waktu menunggu sampai kejadian ke-n, t 1 + (t 2 t 1 ) + (t 3 t 2 ) (t n t n 1 ) Jika S n adalah waktu sampai kejadian ke-n, maka S n = X 1 + X X n, n = 1, 2,... IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

19 Non Homogen Distribusi Waktu Tunggu PROSES POISSON N(t) POI(λt) dan X(n) EXP(λ) WAKTU TUNGGU S(n) = Σ n k=1 X n, S 0 = 0 Untuk X n, n = 1, 2,... saling bebas dan X(n) EXP(λ), maka S(n) GAM(λ) P(S n t) = t 0 ( λ(λt) n 1 e λt (n 1)! ) dt IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

20 Latihan Proses Menghitung Non Homogen Segerombolan imigran datang ke suatu wilayah dengan rate λ = 1 hari mengikuti proses Poisson. Hitung ekspektasi waktu sampai imigran ke-10 tiba? Berapa peluang waktu tunggu antara kedatangan ke-10 dan ke-11 lebih dari 2 hari? IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

21 Non Homogen The time required to repair a machine is an exponentially distributed random variable with mean 1 2 (hours) What is the probability that a repair time exceeds 1 2 hour What is the probability that a repair takes at least hours given that its duration exceeds 12 hours IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

22 Non Homogen Misalkan Andi tiba di suatu Bank or Bang dengan satu Teler. Dia melihat lima orang di bank, satu sedang dilayani oleh Teler dan sisanya sedang antri. Andi bergabung dalam antrian. Jika waktu pelayanan berdistribusi eksponensial dengan rate µ. Berapa expected of time Andi akan menghabiskan waktu di Bank or Bang? IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

23 Non Homogen Hubungan S n dan N t S n t N(t) n IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

24 Non Homogen Distribusi Bersyarat Waktu Antar Kedatangan Distribusi bersyarat waktu antar kedatangan pertama X 1, diberikan ada kejadian pada waktu [0, t], untuk s t P(X 1 s N(t) = 1) = P(X 1 s, N(t) = 1) P(N(t) = 1) P(N(s) = 1)P(N(t) N(s) = 0) = P(N(t) = 1) P(N(s) = 1)P(N(t s) = 0) = P(N(t) = 1) = λse λs e λ(t s) λte λt = s t IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

25 Non Homogen Superposisi Misalkan proses N 1 (t), t 0 juga merupakan proses Poisson dengan laju λ dan µ, maka {N 1 (t) + N 2 (t), t 0} juga merupakan Proses Poisson dengan laju λ + µ IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

26 Definisi Proses Menghitung Non Homogen Proses menghitung N 1 (t), t 0 dikatakan PP Non Homogen atau non stasioner dengan fungsi intensitas λ(t) jika memenuhi, N(0) = 0 Proses mempunyai kenaikan bebas P(N(t + h) N(t) = 1) = λ(t)h + o(h) P(N(t + h) N(t) 2) = o(h) IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

27 Non Homogen homogen mempunyai parameter λ. non homogen mempunyai parameter λ(t), λ(t) disebut fungsi intensitas sehingga, m(t) = t 0 λ(x)dx P k (t) = P(N(t) = k N(0) = 0) = [m(t)]k e m(t) k! IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

28 Non Homogen sehingga, E[N(t)] = m(t) IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

29 Latihan Proses Menghitung Non Homogen McE a chicken stand stand that opens at 8 AM. From 8 until 11 AM customers seem to arrive, on the average, at steadily increasing rate that starts with an initial rate of 5 customers per hour 8 AM and reaches a maximum of 20 customers per hours at 11 AM. From 11 AM until 1 PM the average rate seems to remain constant at 20 customers per hours. However, the average arrival rate then drops steadily from 1 PM until closing time at 5 PM at which time it has the value of 12 customers per hours. If we assume that the numbers of customers arriving at McE s stand during disjoint time periods are independent, then what is a good probability model for the preceding? What is the probability that no customers arrive between 8.30 AM and 9.30 AM morning? IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

30 Non Homogen Banyaknya pelanggan yang datang ke suatu toko mengikuti PP dengan laju 3 orang perjam Tentukan nilai harapan jumlah pelanggan yang datang antara pukul di suatu pagi. Tentukan peluang bahwa untuk menunggu datangnya 7 pelanggan dibutuhkan waktu lebih dari 2 jam IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

31 Non Homogen Penjualan tiket pertunjukan Ini Wayang mengikuti tiga PP sebagai berikut Penjualan harga sebenarnya dengan laju 2/jam Penjualan tiket harga diskon dengan laju 4/jam Penjuaalan tiket VIP dengan laju 0.3/jam IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

32 Non Homogen 1 Waktu harapan hingga penjualan tiket berikutnya 2 Waktu harapan hingga penjualan tiket VIP berikutnya 3 Peluang bahwa penjualan setelah tiket harga sebenarnya adalah tiket harga sebenarnya yang lain 4 Peluang bahwa tiket VIP akan djual pada 30 menit kedepan 5 Peluang bahwa setidaknya 2 dari 3 tiket yang dijual berikutnya adalah tiket diskon IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

33 Non Homogen λ = λ TS + λ TD + λ TV = 6.3, E(T) =... E(T V ) =... λ TS λ =... P(T V < 1 2 ) =... Misalkan N banyaknya tiket harga diskon yang terjual, sehingga N B(3, λ TD λ ) P(N 2) =... IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

34 Non Homogen Supermarket buka dari pukul Pelanggan datang mengikuti PP non homogen dengan fungsi intensitas: Hitung rataan kedatangan pelanggan pada waktu kerja Hitung rataan kedatangan pelanggan pada waktu kerja pada pukul IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

35 Non Homogen Misalkan T k menyatakan waktu yang dibutuhkan (elapsed time) untuk klaim - klaim asuransi diproses. T 1 menyatakan waktu yang dibutuhkan hingga klaim pertama diproses. Diketahui T 1, T 2,... saling bebas dan berdistribusi f (t) = 0.1e 0.1t, t > 0 t dalam setengah jam. Hitung peluang bahwa setidaknya sebuah klaim akan diproses 5 jam kedepan? Berapa peluang setidaknya 3 klaim diproses dalam 5 jam? IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK

36 Non Homogen P(T 10) =... P(N 10 3) =... IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK