Distribusi Peluang Kontinyu STATISTIK INDUSTRI 1. Distribusi Peluang Kontinyu. Distribusi Diskrit Uniform. Distribusi Diskrit Uniform 13/11/2013

Transkripsi

1 3//203 STATISTIK INDUSTRI Agustina Eunike, ST., MT., MBA Rata-rata dan Variansi Rumus Umum: Distribusi Peluang Diskrit dan Kontinyu UNIFORM Distribusi Diskrit Uniform Distribusi Diskrit Uniform Contoh: Suatu bacth produk terdiri dari nomor serial, dengan nomor urut pertama terdiri dari 0 sampai dengan 9. Jika salah satu produk diambil secara acak, maka X adalah munculnya nomor serial dengan angka pertama tersebut masing-masing nomor (R={0,,2,...,9) memiliki peluang 0,. f x = 0 = 0, Distribution Uniform Random Variable X Realization of x, x 2,, x n Possible Values of X Distribution Function Fx(a) = P(X=a) Mean E(X) x, x 2,, x n /n b:a 2 μ = (9:0) 2 <4,5 σ 2 = (9;0:)2 ; <8,25 2

2 3//203 Distribusi Kontinyu Uniform Distribusi Kontinyu Uniform Contoh: Variabel acak kontinyu menotasikan pengukuran arus pada kawat tembaga dalam miliamper. Jika diketahui bahwa f(x)=0,05 untuk 0 x 20. Berapakah peluang pengukuran arus berada antara 5 dan 0 ma. 0 P 5 < X < 0 = f x dx = 5 0,05 = 0,25 5 Rata-rata dan Variansi distribusi uniform arus kawat tembaga: a=0, b=20 μ = E X = (0+20) 2 = 0mA σ 2 = V X σ = 5,77 ma = (20 0)2 2 = 33,33 ma Gaussian distribution (Karl Friedrich Gauss, ) Bell-shaped curve Probability density function: NORMAL n x; μ, σ = < x < π = 3,459 e = 2,7828 2πσ e 2σ 2 (x μ)2, Area dalam Kurva Normal 2

3 3//203 Area dalam Kurva Normal Standard : Kurva normal yang telah di-standarisasi dan menggambarkan nilai standar deviasi dari nilai rata-rata. Mean = 0, Variansi =. N(0,). Z: normal random variabel dengan mean = 0, dan variansi = Z = X μ σ z = x μ σ z 2 = x 2 μ σ Menggunakan Tabel Standar Contoh Soal Suatu perusahaan generator menghitung berat salah satu komponennya. Berat komponen tersebut berdistribusi normal dengan rata-rata 35 gram, dan standard deviasi 9 gram.. Hitung probabilitas bahwa satu komponen yang diambil secara acak akan memiliki berat antara 35 dan 40 gram? 2. Berapa peluang pengambilan acak satu komponen dengan berat paling ringan 50 gram? JAWAB:. P 35 x 40 : x = 40 gram, x μ z = = = 0,56, P Z 0,56 = 0,723 σ 9 x = 35 gram, x μ z = = = 0, P Z 0 = 0,5 σ 9 P 35 x 40 = P 0 z 0,56 = 0,723 0,5 = 0,223 Contoh Soal 3

4 3//203 Latihan Soal: Nilai ujian fisika di sebuah kelas terdistribusi secara normal dengan rata-rata 60 dan standar deviasi 0. Berapa persen siswa yang memperoleh nilai antara 60 dan 70? Menghitung nilai x x μ z =, maka x = zσ + μ σ Contoh: Diketahui suatu distribusi normal dengan μ = 40 dan σ = 6. Carilah nilai x, yang memiliki: a. 45% area dari sisi kiri b. 4% area dari sisi kanan Jawab: a. P Z z = 0.45, z = 0,3 x = 6 0, = 39,22 Latihan Soal: Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 2% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah? Central Limit Theory Menyelesaikan permasalahan binomial dengan distribusi normal Distribusi Gamma Diaplikasikan pada masalah antrian dan masalah keandalan (reliabilitas). Time / space occuring until a specified number of Poisson events occur Fungsi gamma: GAMMA Properti fungsi gamma: 4

5 3//203 Fungsi distribusi gamma: Distribusi Gamma α: parameter bentuk; β: parameter skala β: waktu rata rata antar kejadian α: jumla kejadian yang terjadi berturutan pada waktu/ruang tertentu λ: jumla kejadian per unit waktu/ruang (λ = /β) x: nilai random variabel (lama waktu atau luasan area hingga kejadian berikutnya) Distribusi Gamma Rata-rata dan Variansi: Jika X dan X 2 adalah variabel acak yang independen, dan X ~ Gamma (α, β); X 2 ~ Gamma (α 2, β), maka X + X 2 ~ Gamma (α + α 2, β) Sehingga, jika X i ~ Gamma α i, β, for i =,, k, maka (X + + X k )~ Gamma (α + + α k, β) EKSPONENSIAL Distribusi Eksponensial Bentuk khusus dari distribusi peluang gamma (α = ) Time to arrival or time to first poisson event problems Diaplikasikan pada permasalahan waktu antar kedatangan pada fasilitas jasa, life time / waktu kegagalan komponen, survival time, dan waktu respon komputer Distribusi Eksponensial Eksponensial menganut proses Poisson (λ: laju kedatangan) X~Exp λ : P X a = λe ;λx dx = e ;λa a λ = /β μ = λ ; σ2 = /λ 2 Karakter penting: memoryless property Pada permasalahan life time (hingga terjadi break down / failure / kerusakan), misal life time dari lampu, TV, kulkas Kerusakan yang diakibatkan oleh pemakaian berkala (misal pemakaian mesin), tidak berlaku distirbusi eksponensial. Lebih tepat menggunakan distribusi GAMMA atau distribusi WEIBULL 5

6 3//203 Contoh: Gamma Contoh: Gamma Contoh: Gamma Dari Tabel: Contoh: Eksponensial Jumlah telpon masuk pada nomor darurat 9 pada suatu kota diketahui berdistribusi Poisson dengan rata-rata 0 telpon per jam. Jika saat ini dilakukan pengamatan, berapakah peluang telpon masuk terjadi paling cepat 5 menit dari sekarang? λ = 0 telpon per jam = 0/60 telpon per menit β = /λ = 6 menit per telpon P X a = e ;λa P X 5 = e ;( 6 )(5) = 2,7828 ;0,833 = 0,4347 X = menit antar telp ke 9 Rangkuman Distributions with Parameters Possible Values of X Density Function f x Normal (μ, σ 2 ) < X < 2πσ e 2σ 2(x μ)2 Exponential (λ) 0 < X λe ;λx Gamma (α, β) 0 < X Γ(α)β α x α; e ;x/β Note: P(x) = f x dx CHI-SQUARED 6

7 3//203 Distribusi Chi-Squared Distribusi Chi-Squared Distribusi gamma dengan α = ν/2 dan β = 2 ν: degrees of freedom (derajat kebebasan), positive integer Density Function: f x; ν = 2 ν/2 Γ(ν/2) x(ν/2); e ;x/2, x > 0 0, elsewere Mean dan Variansi: μ = ν dan σ 2 = 2ν Di suatu kota, pemakaian tenaga listrik harian dalam jutaan kilowatt-jam, variabel acak X berdistribusi gamma dengan μ = 6 dan σ 2 = 2. a. Cari nilai α dan β b. Cari peluang suatu hari tertentu pemakaian harian tenaga listrik akan melebihi 2 juta kilowatt-jam Jawab: a. α = ν/2, ν = μ = 6, α = 6 = 3, β = 2 2 b. P X > 2 = Γ 3 x2 e x P X > 2 = Γ 3 y2 e y 0 P X > 2 = F 6; 3 = = BETA Distribusi Beta Pengembangan dari distribusi uniform Distribusi kontiyu yang fleksibel tetapi terbatas pada suatu range tertentu. Misal: proporsi radiasi matahari yang diserap oleh suatu material, waktu maksimal untuk menyelesaikan suatu proyek Fungsi Beta: B α, β = x α; ( x) β; dx = Γ(α)Γ(β), for α, β > 0 Γ(α + β) 0 Dengan parameter: α > 0, β > 0 Density Function: f x; ν = B(α,β) xα; ( x) β;, 0 < x < 0, elsewere Catatan: distribusi uniform (0,) adalah distribusi beta dengan parameter α =, β = α = β, distribusi beta akan berbentuk simetris Distribusi Beta Distribusi Beta Mean dan Variansi: μ = α dan α:β σ2 αβ = α:β 2 α:β: Modus: μ = α α + β 2 Distribusi uniform (0,), mean dan variansi: μ = : = 2 dan σ2 = ()() : 2 :: = 2 7

8 3//203 Distribusi Beta Referensi Jika diketahui waktu maksimum penyelesaian suatu proyek berdistribusi beta dengan α = 3, dan β =. a. Berapakah peluang waktu penyelesaian melebihi 0.7? b. Berapa rata-rata dan variansi distribusi tersebut? Jawab: Γ(α:β) a. P X > 0.7 = Γ(α)Γ(β) xα; ( x) β; 0.7 Γ(4) P X > 0.7 = Γ(3)Γ() x2 ( x) P X > 0.7 = x3 0.7 = = Montgomery, D.C., Runger, G.C., Applied Statistic and Probability for Engineers, 5 th ed, John Wiley & Sons, Inc., NJ, 20 Walpole, Ronald B., Myers, Raymond H., Myers, Sharon L., Ye, Keying, Probability & Statistics for Engineers and Scientist, 9 th ed, Prentice Hall Int., New Jersey, 202. Weiers, R.M., 20, Introduction to Business Statistics, Cengage Learning, OH, b. Rata rata = 0.75; Variansi =