Beberapa Peubah Acak Diskret (1) Kuliah 8 Pengantar Hitung Peluang

Transkripsi

1 Beberapa Peubah Acak Diskret (1) Kuliah 8 Pengantar Hitung Peluang rahmaanisa@apps.ipb.ac.id

2 Outline Peubah acak Bernoulli Peubah acak binom Peubah acak geometrik Latihan dan Diskusi

3 Review Peubah Acak Diskret Diskret Dapat Dicacah

4 Beberapa Peubah Acak Diskret Bernoulli Binomial Geometrik Binom Negatif Hipergeometrik Poisson

5 Peubah Acak Bernoulli

6 Definisi Misal, suatu percobaan yang hasilnya dapat digolongkan atas keberhasilan atau kegagalan. Jika diambil X=1 untuk kejadian berhasil, dan X=0 untuk kejadian gagal, fungsi massa peluangnya adalah: p X = 0 = 1 p p X 1 = p Nilai Harapan dan Ragam: 1 E X = x=0 x. p(x) = 0 1 p + 1 p = p Var X = E X 2 E X 2 = p p 2 = p(1 p)

7 Contoh Kasus Sebuah dadu setimbang dilemparkan sebanyak satu kali. Misalkan, jika diperoleh angka 4 atau 6, maka dikatakan berhasil, sedangkan sisanya dikatakan gagal. Tentukan fungsi massa peluang bagi peubah acak X, yaitu munculnya angka 4 atau 6.

8 X = 1, jika muncul angka 4 atau 6 0, selainnya Jika X adalah peubah acak Bernoulli dengan parameter p = maka fungsi peluangnya adalah: X = 2/3, jika x=0 1/3, jika x=1 0, selainnya 1 3, Nilai harapan dan ragam: E X = p = 1 3 Var X = p 1 p = = 2/9

9 Peubah Acak Binomial

10 Definisi Jika kita melakukan n tindakan bebas yang berpeluang p untuk berhasil dan berpeluang (1 p) untuk gagal, maka X yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam n tindakan adalah peubah acak binomial. Fungsi massa peluangnya: b x, n, p = P X = x = n x px 1 p n x, untuk x = 1,2,, n Nilai Harapan dan Ragam E X = np Var X = np(1 p)

11 Bentuk sebaran binomial

12 Contoh Kasus Ujian matematika menggunakan pilihan berganda. Setiap soal ada empat pilihan dan hanya satu jawaban yang benar untuk setiap soal. Selanjutnya, antarnomor soal diasumsikan saling bebas. Amir mengikuti ujian matematika tersebut, dan terdapat 10 soal yang harus dijawab. a. Berapa peluang dia menjawab benar 5 soal? b. Berapa peluang dia menjawab soal minimal 3 yang benar?

13 a. P X = 5 = = b. P X 3 = 1 x=0 x 1 4 x x P X 3 = P X 3 =

14 Peubah Acak Geometrik

15 Definisi Misalkan kita melakukan tindakan 2 yang saling bebas, masing 2 dengan peluang p, sampai terjadi satu keberhasilan. Jika X adalah banyaknya tindakan yang diperlukan, maka X adalah peubah acak geometrik. Fungsi massa peluangnya: g x, p = P X = x = 1 p x 1 p, untuk x = 1,2, Nilai Harapan dan Ragam E X = 1 p Var X = 1 p p 2

16 Pola sebaran p.a geometrik Bentuk sebaran geometrik: menjulur ke kanan

17 Contoh Kasus Dalam suatu proses produksi diketahui bahwa rata-rata di antara 100 butir hasil produksi 1 yang cacat. Berapakah peluang bahwa setelah 5 butir yang diperiksa baru menemukan cacat pertama? Jawab: Gunakan distribusi geometrik dengan x = 5 dan p = 0,01, maka diperoleh g 5; 0.01 = = Tentukan pula nilai harapan dan simpangan baku bagi p.a X!

18 Lack of memory property P X = x + n X > n = P X = x A geometric random variable has been defined as the number of trials until the first success. However, because the trials are independent, the count of the number of trials until the next success can be started at any trial without changing the probability distribution of the random variable.

19 Contoh Kasus Products are inspected until the first defective is found. The first 10 trials have been found to be free of defectives. What is the probability that the first defective will occur in the 15th trial? P X = 15 X > 10 =??

20 Contoh Kasus

21 Latihan & Diskusi

22 1. Tiga orang ibu akan melahirkan bayi tunggal. Peluang setiap ibu untuk melahirkan bayi perempuan atau bayi laki-laki adalah sama. Peluang semua bayi yang dilahirkan laki-laki sama dengan: a b c. 0.5 d Peluang sebuah komponen dapat lolos uji tertentu adalah 2/3 dan mengikuti distribusi binomial. Peluang bahwa 3 dari 6 komponen yang diuji berikutnya lolos uji adalah: a. 10/729 b. 160/729 c. 30/729 d. 40/729

23 3. Lima orang sarjana melamar kerja pada suatu perusahaan XXX. Menurut informasi diketahui peluang seorang diterima kerja pada perusahaan tersebut sebesar 0.4. Manakah pernyataan berikut yang benar? a. Bersarnya harapan jumlah pelamar yang diterima kerja pada perusahaan XXX dari 10 pelamar adalah 4 orang. b. Jumlah pelamar yang diterima kerja di perusahaan XXXX adalah peubah acak binomial c. Peluang tidak satu pun pelamar diterima kerja di perusahaan XXXX adalah sebesar

24 Tugas Kelompok Montgomery & Runger (2003), Exercise 3.55 Horgan (2008), Exercise 10.1, nomor 1 dan 3. Horgan (2008), Exercise 11.1 nomor 8

25 Tugas Mandiri Baron (2014): Exercise 3.1, 3.2, dan 3.3

26 Video 1 Video 2

27 REFERENSI Aidi, M.N., Djuraidah, A Pengantar Peluang. Bogor: IPB Press. Baron, M Probability and Statistics for Computer Scientist, Second Edition. Boca Raton: CRC Press, Taylor & Francis Group. Ghahramani, S Fundamentals of Probability Second Edition. New Jersey: Prentice Hall.w Horgan, J Probability with R: An Introduction with Computer Science Application. New Jersey: John Wiley & Sons. Montgomery, D.C., Runger, G.C Applied Statistics and Probability for Engineers. New York: John Wiley & Sons.

28

29