SEBARAN PELUANG DISKRET

Transkripsi

1 SEBARAN PELUANG DISKRET

2 Beberapa Peubah Acak Diskret Seragam Bernoulli Binomial Hipergeometrik Binom Negatif Geometrik Poisson

3 Peubah Acak Seragam Bila setiap kemungkinan percobaan memiliki kesempatan yang sama untuk muncul/terpilih DEFINISI : Bila peubah acak X mempunyai nilai-nilai x1, x2,, xk, dengan peluang yang sama, maka fungsi peluang bagi peubah acak X adalah : 1 P ( X = x ) = f ( x; k ) = x= x1, x 2,..., k x k

4 CONTOH : Tentukan rumus bagi fungsi peluang X yang menyatakan nomor yang terambil bila satu potong kertas diambil dari sebuah kotak yang berisi 12 potong kertas yang masingmasingnya diberi nomor 1 sampai 12. Tentukan peluang terambilnya kertas bernomor kurang dari 4

5 Peubah Acak Bernoulli, Binomial dan Multinomial Percobaan dilakukan sebanyak n kali ulangan Ciri-ciri Percobaan Binomial Setiap ulangan hanya memiliki dua kemungkinan hasil. Berhasil dan Gagal Peluang Berhasil dan Gagal sama pada setiap ulangan ; P(Berhasil) = p dan P(Gagal)=q=1-p n ulangan saling bebas, artinya hasil suatu ulangan tidak dipengaruhi dan mempengaruhi hasil ulangan lainnya

6 Peubah Acak Bernoulli, Binomial dan Multinomial DEFINISI : Peubah acak X didefinisikan sebagai banyaknya keberhasilan dalam n percobaan binomial. Fungsi peluang bagi peubah acak binomial X adalah : x n x P( X= x) = b( x; n, p) = n Cx p (1 p) x= 0,1,..., n Bila n = 1, maka X dinamakan peubah acak bernoulli, dengan fungsi peluang P( X = x) = p x (1 p) 1 x x = 0,1

7 Peubah Acak Bernoulli dan Binomial CONTOH : Diketahui bahwa 40% dari populasi sejenis serangga terinfeksi virus tertentu. Jika dari populasi serangga tersebut diambil contoh acak berukuran 10, dan masingmasing serangga diperiksa secara terpisah apakah terinfeksi atau tidak dan dicatat banyaknya serangga yang terinfeksi dari 10 serangga yang diperiksa. Bila diketahui bahwa peluang setiap serangga pada contoh untuk terinfeksi tidak dipengaruhi atau mempengaruhi peluang serangga lain untuk terinfeksi. (a) Berapa peluang lima dari sepuluh serangga tersebut terinfeksi virus (b) Berapa peluang lebih dari 7 serangga yang diperiksa ternfeksi virus (c) Berapa peluang lebih dari 2 serangga terinfeksi.

8 Peubah Acak Bernoulli dan Binomial CONTOH : Satu buah dadu dilemparkan satu kali. Berapa peluang munculnya mata lebih dari 4.

9 Tabel Binomial n X P

10 Peubah Acak Hipergeometrik Percobaan : Pengambilan 4 kelereng tanpa pengembalian dari kotak yang berisi 10 kelereng (6 merah, 4 biru). Percobaan binomial??? Pengambilan-1 P(M) = 0.6; P(B) = 0.4 Pengambilan-2 P(M) dan P(B) tergantung hasil pengambilan sebelumnya Pengambilan-1 terambil merah P(M) = 5/9; P(B) = 4/9 Pengambilan-1 terambil biru Jadi perc. ini bukan perc binomial P(M) = 6/9; P(B) = 3/9 Cust ani

11 Peubah Acak Hipergeometrik Populasi berukuran N, yang terdiri dari k anggota yang dapat dianggap sebagai keberhasilan dan N-k anggota yang dapat dianggap sebagai kegagalan. Dari populasi tersebut diambil n contoh acak satu persatu tanpa pengembalian. Cara pengambilan seperti ini sama dengan pengambilan secara sekaligus. Jika dinyatakan X sebagai banyaknya keberhasilan dalam n ulangan, maka peubah acak tersebut dinamakan peubah acak hipergeometrik.

12 Peubah Acak Hipergeometrik Bila dalam populasi N benda, k benda diantaranya merupakan keberhasilan dan N-k benda benda merupakan kegagalan, maka sebaran peluang bagi peubah acak hipergeometrik X yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n adalah : P C k x N k n x ( X= x) = h( x; N, n, k) = Untuk x = a, a+1, a+2,,b N C C Dengan a = max{0, n-(n-k)} b = min{n,k} n

13 Peubah Acak Hipergeometrik CONTOH : Dari sepuluh orang yang melamar sebagai seorang ahli terapi bicara, 6 di antaranya memiliki gelar master. Lima orang dari 10 orang tersebut dipilih secara acak untuk menduduki jabatan tersebut. Berapa peluang tiga di antaranya memiliki gelar master.

14 Hampiran Sebaran Binomial bagi sebaran Hipergeometrik Percobaan : Pengambilan 3 kelereng dari sebuah kotak tanpa pengembalian Kasus I : Isi kotak 4 M + 6 B Kasus II : Isi kotak 4000 M B P(M1) = 4/10 P(M2 M1) = 3/9 P(M2 B1) = 4/9 P(M3 M1 M2) = 2/8 P(M3 M1 B2) = 3/8 P(M3 B1 M2) = 3/8 P(M3 B1 B2) = 4/8 P(M1) = 4000/ P(M2 M1) = 3999/99999 P(M2 B1) = 4000/99999 P(M3 M1 M2) = 3998/99998 P(M3 M1 B2) = 3999/99998 P(M3 B1 M2) = 3999/99998 P(M3 B1 B2) = 4000/99998 = 4/10 4/10 4/10 4/10 4/10 4/10 4/10 Tidak sama Tidak sama Dapat dianggap sama Seb. hipergeometrik dapat didekati dengan seb. normal

15 Hampiran Sebaran Binomial bagi sebaran Hipergeometrik X = banyaknya keberhasilan dalam contoh berukuran n PA hipergeometrik X dapat didekati dengan sebaran peluang binomial jika : populasi berukuran besar atau tak hingga ukuran contoh relatif sangat kecil jika dibandingkan dengan ukuran populasi Menurut Kvanli jika n N 0.05 Bila PA hipergeometrik X didekati dengan PA binomial, maka : PA X = banyaknya keberhasilan dalam n ulangan peluang keberhasilan p = k/n

16 Hampiran Sebaran Binomial bagi sebaran Hipergeometrik CONTOH : Suatu batch yang terdiri dari 350 buah resistor baru akan dikirim bila dari 15 resistor yang diambil dari batch tersebut, hanya ditemukan kurang dari dua resistor yang cacat. Jika diketahui terdapat 50 resistor cacat dalam batch tersebut, berapa peluang batch tersebut tidak jadi dikirim.

17 Sebaran Poisson PA X : banyaknya hasil suatu percobaan pada suatu selang waktu atau luas daerah tertentu PA X dinamakan PA Poisson Asumsi : 1. Banyaknya kejadian pada suatu selang waktu atau daerah tertentu tidak dipengaruhi oleh banyaknya kejadian pada selang waktu atau daerah yang lain. 2. Rata-rata banyaknya kejadian suatu percobaan pada suatu selang waktu atau daerah tertentu sebanding dengan panjang selang waktu atau luas daerah tersebut. Contoh, bila rata-rata banyaknya kecelakaan dalam 1 bulan adalah 20 kecelakaan, maka rata-rata banyaknya kecelakaan dalam 1 minggu adalah 5 kecelakaan. 3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat atau dalam daerah yang sangat sempit dapat diabaikan.

18 Sebaran Poisson C O N T O H : Rata-rata banyaknya pelanggaran lalu lintas pada salah satu perempatan jalan di Kota Padang adalah 1 pelanggaran per hari. Pada suatu hari tertentu, berapa peluang terjadinya: 3 pelanggaran kurang dari 2 pelanggaran lebih dari 1 pelanggaran

19 Sebaran Poisson r x= 0 p( x;5.0) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3) Contoh : P(X=3) =. P(X < 2) =..

20