BAB 8 DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT

Transkripsi

1 BAB 8 DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT A. Peluang Peluang atau yang sering disebut sebagai probabilitas dapat dipandang sebagai cara untuk mengungkapkan ukuran ketidakpastian/ ketidakyakinan/ kemungkinan suatu peristiwa terjadi atau tidak terjadi. Untuk menyatakan suatu ketidakpastian atau kepastian diperlukan permodelan matematis yang secara teoritis dinyatakan dengan sebaran atau distribusi. Nilai probabilitas suatu kejadian dalam suatu percobaan tersebar di antara 0 dan 1 atau antara 0% dan 100%. Jika probabilitas/peluang suatu kejadian A terjadi dilambangkan dengan notasi P(A) maka, probabilitas [bukan A] atau komplemen A, atau probabilitas suatu kejadian A tidak akan terjadi, adalah 1-P(A). Secara sederhana peluang suatu kejadian terjadi atau tidak dapat direpresentasikan pada tabel 10.1 berikut. Tabel 10.1 peluang suatu kejadian terjadi atau tidak Tipe representasi Peristiwa terjadi Peristiwa tidak terjadi Persentase 100% 0% Bilangan bulat 1 0 Notasi peluang P[A] 1 P[A] Pada aplikasi di kehidupan sehari-hari, peluang distribusi sangat berguna untuk menganalisis terjadinya suatu peristiwa atau kejadian, jika kejadian bersifat berhingga maka objek sebarannya berbeda dengan kejadian yang tak berhingga. Objek dari sebaran peluang adalah variabel acak dimana objek ini merupakan suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel. Jenis-jenis sebaran perlu dipahami sebagai dasar penentuan uji kebolehjadian. Dan dalam hubungannya dengan pengujian objek percobaan, pemilihan sebaran akan mempermudah penghitungan peluang. Ditinjau dari objek kajian peluang distribusi akan dikenal istilah peubah acak yang diklasifikasikan dalam kelompok besar yaitu peubah acak diskrit dan kontinyu, dimana masing-masing peubah memiliki beberapa jenis distribusi. Pada sebarang jenis percobaan yang kita lakukan maka setiap proses yang melalui proses pengukuran akan mendapatkan suatu kemungkinan-kemungkinan. Kemungkinan Distribusi Peluang Diskrit Page 1

2 pada percobaan akan menghasilkan suatu hasil numerik. Bilangan tersebut dapat dipandang sebagai nilai yang diperoleh suatu peubah acak. B. Pengertian Distribusi Peluang Diskrit Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan angka yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskrit sedangkan peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel tersebut adalah variabel acak diskrit. Variabel acak diskrit X menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai-nilai X = x 1, x 2,, x n terdapat peluang p (x i ) sehingga: n p(x i ) = 1, i 1 p(x) disebut fungsi peluang untuk variabel acak X pada harga X = x Suatu nilai yang diharapkan akan menjadi kejadian dapat dipandang sebagai nilai harapan atau dinyatakan dengan (X) dibaca ekspektasi. Dimana nilai harapan suatu peubah acak dapat diperoleh dengan mengalikan tiap nilai peubah acak tersebut dengan peluangnya dan menjumlahkan hasilnya. (X) = xi. p(xi) Jenis distribusi peluang diskrit antara lain Distribusi Seragam (Uniform), Distribusi Binominal, Distribusi Multinominal, Distribusi Hypergeometrik, Distribusi Poisson. 1. Distribusi Seragam (Uniform) Diskrit Edhy Sutanta (2005:74) menyatakan setiap kejadian mempunyai probabilitas atau peluang yang sama/ seragam (uniform). Sedangkan menurut Budiyono (2009: 97) Distribusi uniform diskret merupakan distribusi variabel random diskret yang mengasumsikan bahwa semua nilai mempunyai kemungkinan yang sama untuk muncul. Definisi 1: Bila peubah acak X mendapat harga x1, x2,..., xn, dengan peluang yang sama, maka distribusi seragam diskrit diberikan oleh : Keterangan : P(x) = 1 n Distribusi Peluang Diskrit Page 2

3 P(x): Peluang terjadinya x x: harga variabel n banyaknya data pengamatan / ukuran sampel Teorema 1 Rataan distribusi seragam diskrit f(x, k) adalah n μ = E(x) = i=1 x. P(x), dimana E(x)= Ekspektasi x Varians distribusi seragam diskrit adalah k dan σ 2 = (x μ) 2. P(x) i=1 Contoh : Untuk merencanakan persediaan suatu barang x, suatu toko serba ada (Toserba) perlu memperkirakan jumlah permintaan harian terhadap barang x. Menurut catatan penjualan, diketahui bahwa permintaan harian terhadap barang x adalah berkisar di antara 0-5 unit. Permintaan ini memiliki fluktuasi secara acak, sehingga tidak bisa ditentukan peluang permintaannya. Dalam hal ini, maka permintaan terhadap barang x dapat dimodelkan mengikuti distribusi uniform. Untuk empermudah penyelesaian contoh diatas, akan digunakan bantuan perhitungan seperti ditampilkan pada Tabel Distribusi Peluang Diskrit Page 3

4 permintaan x Tabel 10.2 Perhitungan untuk distribusi uniform Probabilitas Permintaan P(x) xp(x) (x μ) 2 (x μ) 2 P(x) 0,25 1, Jumlah 15 2,25 0, ,25 0,041 0,25 0,041 2,25 0,37500,25 1,041 17,5 2,91 Berdasarkan hasil perhitungan pada tabel 10.2 maka ekspektasi rata-rata permintaan per hari terhadap barang x, adalah sebagai berikut : μ = E(x) = x. P(x) n i=1 = 15 = 2,5 unit perhari Sedangkan dengan pendekatan distribusi uniform, maka rata-rata permintaan per hari terhadap barang x adalah sebgai berikut : k σ 2 = (x μ) 2. P(x) i=1 σ = k i=1 (x μ) 2. P(x) = 2,91 = 1,7078 unit. 2. Distribusi Binomial Distribusi binomial menggambarkan distribusi probabilitas variabel acak diskrit yang hanya mempunyai dua nilai yang mengkin, misalnya berhasil atau gagal. (Sutanta: 2005, 7). Budiyono (2009 : 98) juga mengatakan bahwa Distribusi peluang binomial adalah distribusi peluang yang dihasilkan dari sebuah eksperimen yang Distribusi Peluang Diskrit Page 4

5 sering dilakukan berulang-ulang, yang setiap kali hasil ulangan mempunyai dua kemungkinan hasil yang dapat disebut sukses dan gagal. Sudjana (2005 : 130) juga berpendapat sama yaitu distribusi binom adalah distribusi yang dihasilkan dari eksperimen yang hanya menghasilkan peristiwa A dan bukan A. Ciri-ciri atau karakteristik distribusi binomial : a. Percobaan diulang sebanyak n kali b. Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan dalam 2 kelas. Misal : berhasil atau gagal, ya atau tidak, success atau failed c. Peluang berhasil atau sukses disimbolkan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap, dimana p = 1 q sedangkan peluang gagal dinyatakan dengan q dimana q = 1 p d. Banyaknya keberhasilan dalam peubah acak disimbolkan dengan X e. Setiap ulangan bersifat bebas (independent) satu dengan lainnya. f. Semakin banyak N maka peluang terjadinya suatu kejadian tertentu semakin kecil. Perlu diingat bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan ataupun ditanyakan dari suatu permasalahan bisa dikategorikan sebagai kejadian sukses atau berhasil. Definisi 2 Banyaknya sukses X dalam n usaha suatu percobaan binomial disebut suatu peubah acak binomial. Untuk mencari peluang dengan distribusi binomial digunakan rumus : P(X) = ( N X ) px q N X Sedangkan koefisien binom dicari dengan rumus: Sehingga didapatkan rumus : Dengan P(X) = ( N n ) = N! n! (N n)! N! n! (N n)! px q N X X = 0,1,2,, N ; N! = N(N 1)(N 2).1; dan 0! = 1 berdasarkan definisi, dalam distribusi binom dikenal parameter rata-rata (μ) dan simpangan baku (σ) Mean μ = Np Sandar Deviasi σ = Npq Distribusi Peluang Diskrit Page 5

6 Varians σ 2 = Npq Contoh : Dalam pelambungan sebuah mata uang tiga kali, didefinisikan X= banyaknya Angka yang muncul. Berapa peluangnya muncul 2 buah Angka? Jawab : p = Peluang muncul angka pada satu pelambungan = 1 2 N = 3 (Banyaknya pelambungan, banyaknya pengulangan) X = 2 (Banyaknya Angka yang diharapkan muncul) P(X) = ( N X ) px q N X P(X = 2) = ( 3 2 ) (1 2 ) 2 (1 1 2 ) 3 2 = (3) ( 1 4 ) (1 2 ) = 3 8 Jadi peluang munculnya 2 buah Angka adalah Distribusi Multinomial Distribusi multinomial merupakan distribusi variabel acak diskrit dimana suatu percobaan dapat menghasilkan beberapa kejadian. Distribusi multinomial adalah perluasan dari distribusi binomial (Sudjana, 2005 :132). Budiyono (2009 : 101) menyatakan bahwa eksperimen binomial akan menjadi eksperimen multinomial jika setiap percobaan menghasilkan lebih dari dua kemungkinan hasil. Dalam pelambungan sebuah dadu misalnya, akan terjadi kemungkinan, yaitu muncul mata 1,2,3,4,5, atau (Spiegel, Murray R., 2004 : 35). Misalkan sebuah percobaan menghasilkan kejadian E1, E2,, Ek dengan peluang p 1, p 2,, p K dan dilakukan percobaan sebanyak N kali maka peluang terjadinya x1 peristiwa E1, x2 peristiwa E2, xk peristiwa Ek diantara N, ditentukan oleh : P(X 1, X 2,, X K ) = N! X 1! X 2!, X K! p 1 X 1p 2 X 2.. p K X K Dimana X 1 + X X K = N Distribusi ini merupakan perluasan distribusi binomial. Karena rumus diatas adalah suku umum dalam ekspansi multinomial (p 1 + p p K ) N. Distribusi Peluang Diskrit Page

7 Contoh : Dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah, 4 bola biru, dan 5 bola putih. Sebuah bola diambil dari kotak tersebut, dilihat warnanya, kemudian dikembalikan lagi kedalam kotak. Diambil sebuah bola lagi, dilihat warnanya, kemudian dikembalikan lagi kedalam kotak. Hal demikian dilakukan sampai kali. Dalam kali pengambilan tersebut, berapa peluangnya terdapat 1 bola merah, 2 bola biru, dan 3 bola putih? Jawab : x 1 = 1; x 2 = 2; x 3 = 3; n = ; p 1 = 3 12 ; p 2 = 4 12 ; p 3 = 5 12 P(1 bola merah, 2 bola biru, dan 3 bola putih) =! 1! 2! 3! ( 3 12 ) 1 ( 4 12 ) 2 ( 5 12 ) 3 = 0, Distribusi Hipergeometrik Definisi 3 Banyaknya sukses X dalam percobaan hipergeometrik disebut peubah acak hipergeometrik. Budiyono (2009 : 102), menyatakan bahwa distribusi hipergeometrik adalah distribusi dari eksperimen sampling tanpa pengambilan. Jika sebuah variabel acak x menyatakan jumlah sukses dalam n percobaan / sampel dan total jumlah sukses (Edhy Sutanta, 2005 :79). D diambil dari sebuah populasi berukuran N, maka x dikatakan mengikuti distribusi hipergeometrik dengan fungsi peluang dirumuskan sebagai berikut : p(x) = (D x )(N D n x ) ( N n ) Keterangan : P(x) : peluang x D : pengambilan N : populasi n : banyaknya data pengambilan / sampel (Sutanta:2005,79) Distribusi Peluang Diskrit Page 7

8 Dengan x = 0,1,2,, n dan faktor faktor diruas kanan ditentukan oleh rumus : ( N n ) = N! n! (N n)! Apabila populasi besar dan sampel relatif kecil, pengambilan secara sampling dilakukan tanpa pengembalian menimbulkan efek terhadap probabilitas sukses dalam setiap percobaan kecil, untuk mendekati nilai probabilitas hipergeometrik dapat digunakan konsep distribusi binomial, dengan syarat n 0,05 N. Suatu percobaan hipergeometrik memiliki sifat berikut: 1. Sampel acak ukuran n diambil dari N benda. 2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya, N k diberi nama gagal. Rataan dan variansi distribusi hipergeometrik h(x; N, n, k) adalah μ = nk N dan σ 2 = Teorema 4 N n N 1 n. k N (1 k N ) Contoh : Suatu kotak memuat 100 bola dan 5 diantaranya merah. Jika 10 bola diambil tanpa pengembalian, berapakah probabilitas mendapat paling sedikit 4 merah? Jawab : p(x) = (D x )(N D n x ) ( N n ) p(x 4) + p(x = 5) = (5 4 )( ) ( ) + ( 5 5 )( ) ( ) = 0, Distribusi Poisson Distribusi poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson. Percobaan Poisson apabila menghasilkan peubah acak X yang menyatakan banyaknya hasil selama selang waktu, periode atau daerah tertentu. Misalnya jumlah barang yang cacat setiap kali pengiriman, banyaknya hubungan telepon yang diterima kantor per jam. Distribusi Peluang Diskrit Page 8

9 Beberapa karakteristik distribusi Poisson adalah sebagai berikut: a. Banyaknya hasil yang terjadi dalam suatu interval tertentu tidak terpengaruh oleh apa yang terjadi pada interval lain yang terpisah (tidak berpotongan dan independent) dalam kaitan ini, proses Poisson dikatakan tidak punya ingatan). b. Peluang terjadi suatu hasil (tunggal) dalam selang tertentu yang amat pendek sebanding dengan panjang selang dan tidak tergantung pada banyaknya hasil yang terjadi dluar selang c. Peluang terjadinya lebih dari satu hasil dalam selang waktu yang pendek (sempit) dapat diabaikan. Distribusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial dalam situasi tertentu.rumus poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan, misalnya: probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor. Budiyono, (2009 : 103) menyatakan jika pada distribusi binomial b(x; n; θ), parameter n cukup besar (secara teoritis n ~) maka akan diperoleh distribusi poisson dangan parameter = nθ. Sutanta (2005:80) menyatakan jika suatu variabel random x menyatakan ratarata kedatangan pada suatu rentang waktu yang kecil, maka x dikatakan mengikuti distribusi poisson, dengan formula : p(x) = P(X = x) = e x x! Dimana : e= = sebuah bilangan tetap untuk e λ dapat dilihat dalam tabel daftar D x = 1,2, 3,.. p(x) = probabilitas kelas sukses Teorema 5 Rataan dan variansi distribusi poisson p(x; µ) keduanya sama dengan µ. Distribusi Poisson dapat diposisikan sebagai bentuk limit distribusi binomial bila n, p 0, dan np tetap tidak berubah. Jadi bila n besar dan p dekat dengan nol, distribusi Poisson dapat digunakan dengan µ = np, untuk menghampiri peluang bimomial. Distribusi Peluang Diskrit Page 9

10 Contoh : Jika peluang seseorang terkena penyakit demam adalah 0,005, berapa peluang bahwa terdapat 18 orang yang terkena penyakit demam dari 3000 orang? Jawab : Jika X= banyaknya orang yang terkena penyakit demam, maka X berdistribusi Poisson dengan parameter =nθ=(3000)(0,005)=15. Oleh karena itu peluang yang ditanyakan ialah : P(X=18) = p(18;15) = e = 0,070 18! Jadi dari 3000 orang, peluang 18 orang diantaranya terkena penyakit demam adalah 0,070. Distribusi Peluang Diskrit Page 10

11 DAFTAR PUSTAKA Akbar, Purnomo Setiady dan Husaini Usman Pengantar Statistika Edisi Kedua. Jakarta : PT Bumi Aksara Akdon dan Riduwan Rumus dan Data dalam Analisis Statistika. Bandung : Alfabeta. Dajan, Anto, 198. Pengantar Metode Statistik Jilid II. Jakarta : LP3ES. Furqon Statistika Terapan Untuk Penelitian. AFABETA:Bandung Gaspersz, Vincent Statistika. Armico:Bandung Hamid, H.M. Akib dan Nar Herrhyanto Statistika Dasar. Jakarta : Universitas Terbuka. Harinaldi, Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains. Jakarta : Erlangga. Hasan, M. Iqbal Pokok Pokok Materi Statistika 1 ( Statistik Deskriptif ). Jakarta : PT Bumi Aksara Herrhyanto, Nar Statistika Dasar. Jakarta: Universitas Terbuka. Mangkuatmodjo, Soegyarto Statistika Lanjutan. Jakarta: PT Rineka Cipta. Pasaribu, Amudi Pengantar Statistik. Gahlia Indonesia : Jakarta Rachman,Maman dan Muchsin Konsep dan Analisis Statistik. Semarang : CV. IKIP Semarang Press Riduwan Dasar-dasar Statistika. Bandung : Alfabeta. Saleh,Samsubar STATISTIK DESKRIPTIP. Yogyakarta : UPP AMP YKPN. Siregar,Syofian Statistika Deskriptif untuk Penelitian Dilengkapi Perhitungan Manual dan Aplikasi SPSS Versi 17. Jakarta : Rajawali Pers. Somantri, Ating dan Sambas Ali Muhidin Aplikasi statistika dalam Penelitian. pustaka ceria : Bandung Subana,dkk Statistik Pendidikan. Pustaka Setia:Bandung Sudijono, Anas Pengantar Statistik Pendidikan. Raja Grafindo Persada.Jakarta Sudijono, Anas Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta : PT RajaGrafindo Persada. Sudijono, Anas Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta : PT RajaGrafindo Persada. Sudjana, M.A., M.SC METODE STATISTIKA. Bandung: Tarsito Sugiyono Statistika untuk Penelitian. Bandung : Alfabeta. Supranto, Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2. Jakarta : Erlangga. Usman, Husaini & Setiady Akbar, Purnomo.200. PENGANTAR STATISTIKA. Yogyakarta: BUMI AKSARA. Walpole, Ronald E, Pengantar Statistik Edisi Ke-4. Jakarta : PT Gramedia. Distribusi Peluang Diskrit Page 11