Perepresentasian Pohon Berakar dengan Model Balon

Transkripsi

1 Perepresentasan Pohon Berakar dengan Model Balon Danang Aref Setyawan Jurusan Teknk Informatka Insttut Teknolog Bandung, emal: Abstract Terdapat beberapa metode yang dapat dgunakan untuk merepresentaskan pohon berakar selan dengan model pohon sepert yang kta pada umumnya. Dalam makalah n akan dbahas salah satu metode perepresentasan pohon berakar tersebut, yatu dengan menggunakan model balon (balon drawng). Pada model n, tap upapohon (subtree) pada pohon dgambarkan dalam sebuah lngkaran dengan jar-jar tap lngkaran menunjukkan kedalaman tap upapohon yang bersangkutan.untuk mendapatkan model balon yang sembang dan memlk nla estets yang tngg, perlu dlakukan optmas terhadap faktor-faktor berupa nla resolus sudut serta perbandngan aspek dar model balon tersebut. Optmas dlakukan dengan mencar nla optmum dar hmpunan permutas pengurutan semua anak dar tap smpul. Kata Kunc: pohon berakar (rooted tree), model balon (balon drawng).. PENDAHULUAN Ada banyak metode yang dapat dgunakan untuk merepresentaskan suatu data. Pemlhan metode yang dgunakan pada umumnya dpengaruh oleh jens data yang ngn drepresentaskan serta tujuan perepresentasan data tu sendr. Msalnya data yang berupa rncan kategor beserta jumlahnya pada umumnya drepresentaskan dalam bentuk tabel atau dagram sesua dengan keperluan. Jka keperluannya untuk dgunakan sebaga data laporan rnc, bentuk tabel lebh cenderung untuk dplh. Sedangkan untuk sarana perbandngan antar kategor, bentuk dagram (batang, gars, pe, dsb) lebh dutamakan. Salah satu bentuk representas data yang serng dgunakan adalah graf dengan berbaga varas dan bentuk khususnya. Graf dgunakan untuk merepresentaskan objek-objek dskrt dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representas secara vsualnya adalah dengan menyatakan objek dskrt dengan noktah, bulatan atau ttk dan menyatakan hubungan antar objek dengan gars. Dantara bentuk umum graf yang ada, salah satunya yang cukup populer dan serng dgunakan adalah bentuk pohon (tree). Bentuk n termasuk salah satu bentuk yang sudah dgunakan sejak lama dan cukup akrab dengan kehdupan kta sehar-har, msalnya untuk menyatakan slsah keluarga. Pohon basanya drepresentaskan secara sederhana dengan merepresentaskan smpul dengan ttk dan ss dengan gars. Namun ada beberapa metode lan untuk merepresentaskan pohon yang bsa dpaka, salah satu dantaranya adalah dengan model balon (ballon drawng). Model n merupakan salah satu metode representas yang mempunya kesembangan dan nla estets yang tngg.. POHON BERAKAR.. Graf dan Beberapa Sfatnya Sebelum membahas lebh jauh mengena pohon berakar dan representasnya, terlebh dahulu kta smak kembal pengertan dar graf. Graf ddefnskan sebaga pasangan hmpunan (V,E) yang dalam hal n : V = hmpunan tdak kosong dar smpul-smpul (vertces atau node) = v,v,...,v n dan E = hmpunan ss (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang smpul = e,e,...,e n Graf tak berarah adalah graf yang ss-ssnya tdak mempunya orentas arah. Dalam hal n, urutan pasangan smpul yang dhubungkan oleh suatu ss tdak dperhatkan. Graf tak berarah G dsebut graf terhubung jka untuk setap pasang smpul v dan v d dalam hmpunan V terdapat lntasan dar v ke v... Pohon Pohon terutama dgunakan untuk merepresentaskan data yang berupa hrarkh, msalnya slslah keluarga, struktur organsas, skema/jadwal pertandngan dan lan-lan. + - / ^ ^ 6 - a b c b a Gambar : Contoh Pohon untuk Operas Artmatka Pohon ddefnskan sebaga berkut: Pohon adalah graf tak berarah terhubung yang tdak mengandung srkut Dar defns n, terdapat dua sfat pentng yang terdapat pada pohon, yatu terhubung dan tdak mengandung srkut. Sebuah graf dkatakan memlk srkut apabla ada suatu lntasan yang mempunya

2 ttk awal dan ttk akhr berupa smpul yang sama... Pohon Berakar dan Beberapa Termnolognya Pada kebanyakan aplkas pohon, smpul tertentu dperlakukan sebaga akar (root), sehngga dsebut sebaga pohon berakar. Pohon berakar (rooted tree) adalah pohon yang sebuah smpulnya dperlakukan sebaga akar dan ss-ssnya dber arah sehngga menjad graf berarah. Arah panah yang ada pada pohon berakar selalu mengarah dar smpul orangtua ke smpul anak, oleh karena tu tanda arahnya serngkal dhlangkan (menyerupa graf tak berarah). Pada pohon berakar terdapat beberapa termnolog umum, yatu : a. Anak (chld) dan Orangtua (parent). Msal x dan y adalah smpul d dalam pohon berakar. Smpul y dkatakan anak smpul x jka ada ss dar smpul x ke y dan smpul y dkatakan sebaga smpul orangtua. b. Lntasan (path) Lntasan dar smpul v ke v k adalah runtutan smpulsmpul v, v,..., v k sedemkan sehngga v adalah orangtua dar v + untuk = = k. c. Keturunan (descendant) dan Leluhur (ancestor) Jka terdapat lntasan dar smpul x ke smpul y dalam suatu pohon, maka x adalah leluhur dar smpul y dan y adalah keturunan dar smpul x. d. Upapohon (subtree) Msal x adalah smpul dalam pohon T, maka yang dmaksud upapohon T dengan x sebaga akarnya adalah upagraf T' = (V', E') sedemkan sehngga V' mengandung x dan semua keturunannya dan E' mengandung ss-ss dalam semua lntasan yang berasal dar x. Pohon berakar yang urutan upapohon-upapohonnya dperhatkan dan bersfat tetap dsebut sebaga pohon terurut (ordered tree), jka tdak maka pohon dsebut sebaga pohon tak terurut (unordered tree). e. Derajat (degree) Derajat sebuah smpul adalah jumlah upapohon (jumlah anak) pada smpul tersebut. f. Daun (leaf) Daun adalah smpul yang berderajat nol (tdak mempunya anak). g. Aras (level) atau Tngkat Akar mempunya aras = 0, sedangkan aras smpul lannya = + panjang lntasan dar akar ke smpul tersebut. h. Tngg (heght) atau Kedalaman (depth) Aras maksmum dar suatu pohon dsebut sebaga tngg atau kedalaman pohon tersebut. 3. MODEL BALON 3.. Pengenalan Model Balon (Ballon Drawng) Model balon dar sebuah pohon berakar mempunya atrbut-atrbut berkut :. semua cabang yang berada d bawah parent yang sama dtempatkan d dalam satu lngkaran yang sama dengan berpusat pada parent tersebut,. tdak ada ss yang salng berslangan, dan 3. untuk dua ss dalam setap lntasan yang bermula dar akar, ss yang letaknya lebh jauh dar akar, mempunya panjang yang lebh pendek dalam penggambarannya. Dalam model balon, setap upapohon secara ke seluruhan dlngkup dalam sebuah lngkaran, yatu pada suatu bagan rsan dengan ttk akhr (end-pont) berupa smpul orangtuanya. Sedangkan jar-jar dar setap lngkaran mencermnkan jumlah keturunan dar akar upapohon yang bersangkutan. Berdasarkan ukuran sudut rsan yang terbentuk akbat pembagan area oleh ss yang menghubungkan akar dar upapohon dengan orangtuanya, model balon untuk pohon berakar terbag menjad jens, yatu :. Model dengan sudut sembang (even angles) Pada model n, kedua sudut dar rsan yang terbentuk harus memlk derajat yang sama, atau dengan kata lan ss yang menghubungkan antara akar upapohon dengan orangtuanya harus membag area rsan tepat d tengah. Untuk mendapatkan model n, pada waktu menggambar model harus dpastkan bahwa poss akar dar upapohon bertndhan dengan pusat lngkaran yang melngkup upapohon yang bersangkutan. Gambar : Model balon dengan sudut sembang. Model dengan sudut tak sembang (uneven angles) Berlawanan dengan model sudut sembang, model n tdak mengharuskan sudut dua rsan yang terbentuk untuk sama besar, sehngga besarnya bsa dtentukan secara bebas oleh pembuat model.

3 Msalkan kta mempunya graf S dengan n+ smpul c 0,c,...,c n dengan v 0 sebaga akarnya. Dar gambar 3 d atas dapat dketahu bahwa pada model balon tersebut, lngkaran yang berpusat pada akar dbag menjad n rsan yang masng-masng mempunya lngkaran yang mengasosaskan anak dar c 0. Selanjutnya, perhatkan gambar 4 berkut. Gambar 3: Model balon dengan sudut tak sembang Krtera estets (sen) utama yang terdapat pada model balon n terletak pada resolus sudut (angular resoluton) dan perbandngan aspek (aspect rato) yang dgunakan dalam penggambarannya. Resolus sudut merupakan sudut terkecl yang terbentuk antara dua ss yang berdekatan. Sedangkan perbandngan aspek menyatakan perbandngan antara sudut terbesar dengan sudut terkecl yang terbentuk oleh dua ss yang berdekatan. Sebuah representas pohon berakar dengan model balon yang mempunya perbandngan aspek yang kecl cenderung memberkan gambaran model pohon yang sembang dan enak dlhat. 3.. Mencar Model Balon dengan Resolus Sudut Maksmum dan Perbandngan Raso Mnmum Pada perepresentasan pohon berakar dengan model balon, mengubah urutan penulsan anak akan mempengaruh resolus sudut dan juga perbandngan raso dar model balon yang dbuat. Kta juga telah mengetahu bahwa besar resolus sudut dan perbandngan aspek menentukan kendahan dan kesembangan model balon. Maka muncullah pertanyaan berkut : Bagamana kta menemukan urutan yang seharusnya agar kta memperoleh model balon dengan resolus sudut yang maksmum dan perbandngan aspek yang mnmum? Pertama, mar kta perhatkan penggambaran sebuah graf bntang dengan ukuran lngkaran upapohon yang tak seragam (subtrees wth nonunform szes atau SNS) berkut n: Gambar 5: Graf bntang SNS dengan berpusat d c 0 Jka w adalah sudut antara ruas ss l - dan c 0 c, maka model balon dkatakan sembang jka w = w untuk setap = = n, artnya ruas c 0 c membag rsan menjad bagan yang sama besar. Jka tdak maka model dsebut model balon dengan sudut tak sembang. Msal?, = = n, adalah ukuran sudut rsan yang melngkup lngkaran yang berpusat pada node c. Pengurutan semua anak dar c0 adalah permutas s dar,,...,n yang menyatakan penempatan smpulsmpul c,c,...,cn (beserta lngkaran yang berasosas dengannya) dalam area lngkaran yang berpusat pada c0. Secara lebh spesfk, semua smpul anak dgambar dengan urutan c, c,, c, dengan c dan c adalah dua smpul yang bertetangga. Dengan mengetahu s, besar sudut antara 0 c dan c 0c adalah n n Dengan demkan besar resolus sudut antara c 0 c dan c 0c adalah Ang Re sl mn n dan perbandngan aspeknya adalah Gambar 4: Graf bntang SNS. O bukan akar, dan ss dar O ke orangtuanya melewat lngkaran dengan jar-jar R mn menyatakan ( mod n) +

4 AspRato max mn n n Msal merupakan hmpunan dar semua permutas,,...,n. Pada bagan berkut kta akan merancang algortma yang mangkus untuk mencar permutas yang mengembalkan nla sebaga berkut optang Re sl max Ang Re sl perbandngan aspek yang optmum. - Urutkan hmpunan sudut rsan (melngkup n lngkaran yang tak-seragam) secara menak mula dar yang terkecl hngga yang palng besar sesua dengan persamaaan () dan () d atas. - Bergantung pada apakah nla n = k atau n=k+ dan apakah k bernla genap atau ganjl, haslkan urutan ( M, m, M 3, m4, (, md),, M 4, m3, M, m ) dengan menggunakan acuan gambar model yang bersesuaan d bawah n : dan optasprato mn AspRato Untuk memudahkan penotasan, kta urutkan hmpunan sudut rsan?,?,...,? n dalam urutan menak (ascendng) sebaga berkut m, m,..., mk, mk, M k, M k,..., M, M...() untuk n blangan genap, atau m, m,..., mk, mk, md, M k, M k,..., M, M...() untuk n blangan ganjl, untuk beberapa nla k dmana m adalah nla mnmum ke- dan md merupakan nla medan yang bernla unk. Kta bsa mendefnskan M m j a, j,, j k Perhatkan kembal gambar 4. Dengan mengabakan detal pada tap upapohon, model balon tersebut dapat dlhat sebaga model balon dar sebuah graf bntang SNS dengan akar O untuk berapapun kedalaman dar O. Sebaga tambahan, meskpun kta menghlangkan urutan anak dar O, ukuran lngkaran luar yang melngkup semua anak dar O akan selalu tetap; artnya, optmsas setap upapohon pada kedalaman k tdak mempengaruh optmsas pada orangtuanya (pada kedalaman k-). Dar gambaran tersebut, dapat kta ketahu bahwa optmsas resolus sudut dan perbandngan aspek sebuah model balon dar sebuah pohon berakar tak terurut dapat dlakukan bertahap dar bawah (bottom-up). Sebaga haslnya, cukuplah bag kta untuk memerksa bagamana melakukan optmsas resolus sudut dan perbandngan raso pada model graf bntang, sedangkan untuk model graf lannya dapat dturunkan dar model graf bntang Prosedur Optmas Model Balon pada Pohon Berakar Tak Terurut Berkut n prosedur untuk mencar nla resolus sudut dan perbandngan aspek yang optmum pada pohon berakar tak terurut. Procedure OPTMODELBALON Input : graf bntang SNS S dengan n smpul anak. Output : model balon S dengan resolus sudut dan (a) Jka n=k dan k ganjl (b) Jka n=k dan k genap (c) Jka n=k+ dan k ganjl (d) Jka n=k+ dan k genap 3.3. Anasls Prosedur Untuk memberkan gambaran hasl dar penggunaan prosedur d atas, berkut n smulas hasl prosedur pada graf bntang yang cukup sederhana. Gambar 6: Model Fraktal dan salah satu Model SNS-nya Gambar pertama d atas adalah model fraktal atau model standard, yatu menamplkan gambar model balon dengan besar sudut semua rsan bernla dentk atau sama besar. Karena semua rsan dentk, maka sebenarnya model fraktal n memlk besar resolus sudut dan perbandngan aspek palng bak. Namun kelemahan model n adalah tngkat vsblty (keterlhatan) yang buruk pada bagan upapohon. Sepert kta lhat upapohon B hampr menyerupa upapohon C, padahal kenyataannya upapohon B mempunya struktur yang lebh rumt darpada C.

5 Gambar d sebelah kanannya merupakan salah satu model SNS (Subtree wth Non-unform Sze) dar model fraktal sebelumnya, dengan tetap memperhatkan keterurutan smpul-smpul anak. Sepert kta lhat, model SNS mengorbankan nla resolus sudut dan perbandngan aspek untuk memperoleh tngkat keterlhatan yang lebh bak pada upapohonnya. Kelemahan model n terletak pada nla estetsnya, yatu kurangnya kesembangan pada gambar sehngga kurang nyaman untuk dpandang. Jka urutan smpul-smpul anak bsa dabakan maka prosedur optmas nla resolus sudut dan perbandngan raso d atas akan memberkan hasl yang lebh nyaman untuk dlhat sebagamana terlhat pada gambar d bawah: mempunya kesembangan yang bak. 3. Metode optmas yang dpergunakan dalam makalah n hanya bsa dterapkan dalam pohon berakar yang nla keterurutan smpul-smpul anaknya bsa dabakan. DAFTAR REFERENSI [] R. Munr, Matematka Dskrt, Insttut Teknolog Bandung, 006 [] C. Ln, H. Yen, Journal of Graph Algorthms and Applcatons vol., no., 007 [3] R. Destel, Graph Theory : Electronc Edton 005, Sprnger-Verlag Hedelberg, 005 [4] [5] [6] books/graph.theory/ [7] [8] [9] Gambar 7: Model dengan menggunakan Prosedur Optmas Model yang sudah teroptmas n mempunya tngkat vsbltas yang sama dengan model SNS sebelumnya, namun tetap mempertahankan nla kendahan dan kesembangannya. Upapohon durutkan dar yang mempunya besar rsan sudut yang palng kecl ke yang palng besar kembal ke yang palng kecl. Sehngga apabla dbuat sebuah gars lurus yang melewat akar upapohon dengan sudut rsan terbesar dan akar upapohon dengan sudut rsan terkecl, maka gars tersebut akan membag model balon menjad dua bagan yang cenderung smetrs. * Semua referens dar nternet dakses pada rentang tanggal 0 s.d. 3 Desember KESIMPULAN Dar penjabaran dan analss d atas, dapat kta tark kesmpulan sebaga berkut :. Model balon merupakan salah satu metode perepresentasan pohon berakar yang mempunya nla estets yang tngg jka dbandngkan dengan metode representas standard yang basa dpaka. Selan tu model balon juga memberkan gambaran struktur pohon dengan lebh cepat dan mudah dpaham.. Model fraktal dan model SNS basa kurang bsa memberkan model balon yang mempunya nla kesembangan dan tngkat vsbltas yang tngg. Untuk tu dperlukan sebuah metode optmas terhadap nla resolus sudut dan perbandngan aspek pada model balon dengan cara mencar urutan smpul-smpul anak (dar hmpunan semua permutas urutan smpul anak) sehngga