KUANTOR SMTS 1101 / 3SKS LOGIKA MATEMATIKA. Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si 31 MODUL LOGIKA MATEMATIKA
|
|
- Suharto Jayadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 KUANTOR SMTS 1101 / 3SKS LOGIKA MATEMATIKA Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si 31
2 DAFTAR ISI Cover pokok bahasan Daftar isi Judul Pokok Bahasan Pengantar Kompetensi Uraian Materi Semesta Pembicaraan Variabel dan Konstanta Pernyataan Terbuka Kuantor Universal dan Ekstensial Negasi suatu pernyataan Fungsi Pernyataan Rangkuman Soal-soal Latihan
3 Dra. Noeryanti, M.Si KUANTOR.1 Pengantar Dalam modul ini akan mempelajari konsep dasar tentang semesta pembicaraan, kalimat terbuka, kuantor universal dan kuantor eksistensial, sebagai konsep penalaran dalam logika matematika.. Kompetensi Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan: a. Terampil dalam menggunakan konsep dasar semesta pembicaraan, kalimat terbuka, penggunaan kuantor. b. Terampil dalam membedakan kuantor universal dan kuantor eksistensial. c. Terampil dalam mengerjakan contoh soal kuis / latihan.3 Uraian Materi Pentingnya persiapan sebelum mempelajari pokok bahasan ini merupakan langkah awal keberhasilan kompetensi yang diharapkan. Kuantor yang akan dibahas disini hanya salah satu cara dalam merubah suatu pernyataan terbuka (yang belum punya nilai kebenaran) menjadi suatu pernyataan yang mempunyai nilai kebenaranya. Dalam logika matematika, ada beberapa hal yang perlu kita ketahui sebelum membahas kuantor, misalnya perlunya pergertian semesta pembicaraan, variabel, konstanta dan pernyataan/kalimat terbuka Semesta Pembicaraan Semesta pembicara itu menguraikan sifat-sifat dari, dan hubungan antara obyek-obyek. Obyek-obyek ini dapat berupa apa saja, seperti orang-orang, bendabenda, binatang, bilangan dan lain sebagainya. Keseluruhan obyek-obyek yang dibicarakan disebut semesta pembicara disingkat semesta saja. 33
4 Pada setiap pembicaraan matematika, orang selalu mulai dengan menetapkan lebih dahulu semesta pembicara nya. Sebab benar atau salahnya suatu ucapan tergantung pada semesta pembicara nya. Contoh(.1): Suatu pernyataan x + 1 = 0 mempunyai penyelesaian tidak mempunyai nilai benar atau salah sebelum terlebih dahulu ditentukan semesta pembicara nya. Jika semesta pembicaranya himpunan bilangan-bilangan riil (nyata), maka pernyataan di atas bernilai salah. Tetapi jika semesta pembicaranya himpunan bilangan-bilangan kompleks, maka pernyataan bernilai benar..3.. Variabel dan Konstanta Definisi (.1): Variabel adalah simbol yang menunjukan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan. Sedangkan konstanta adalah simbol yang menunjukan suatu anggota tertentu (yang sudah spesifik) dalam semesta pembicaraan Untuk dapat berbicara tentang anggota tertentu dari semestanya, diperlukan suatu simbol atau tanda yaitu suatu nama dari anggota tersebut. Contoh(.1): Misalnya ada pernyataan Niken, Ais, Aji adalah nama orang, dimana semestanya adalah himpunan orang-orang. Jika semestanya himpunan bilangan-bilangan, maka angka 5, angka 11 adalah suatu simbol untuk bilangan-bilangan yang disajikan. Simbol seperti itu disebut Konstanta. Jadi konstanta adalah suatu simbol atau tanda yang diucapkan atau ditulis untuk menunjukkan tentang anggota tertentu dari semestanya. 34
5 Dra. Noeryanti, M.Si Jika hendak berbicara tentang anggota sembarang dari semestanya, maka diperlukan suatu tanda-tanda lain dari konstanta. Tanda demikian yang dimaksud adalah variabel (atau perubah). Jadi variabel adalah suatu simbol atau tanda yang digunakan untuk menunjuk pada anggota sembarang dari semesta pembicaranya. Contoh (.): Misalnya semesta pembicaranya terdiri atas mereka yang kuliah pada sebuah universitas (perguruan tinggi) maka kata mahasiswa menunjuk pada anggota sembarang dari semesta pembicaranya. Contoh (.3): Pehatikan beberapa pernyataan berikut: (a). Manusia makan nasi (b). Manusia memakai sepatu (c). 4 + x = 7 (d). p < 5 Suatu pernyataan mempunyai nilai benar atau salah tergantung pada kesesuaian kalimat tersebut dengan keadaan sesungguhnya. Bernilai benar jika keadaan sesungguhnya sesuai dengan realita yang ada, jika sebaliknya bernilai salah. Pernyataan seperti ini biasanya disebut pernyataan faktual. Jika pernyataan (a) manusia diganti Tony, maka pernyataannya menjadi Toni makan nasi. Pernyataan ini jelas bernilai benar saja atau salah saja, tergantung realitasnya. Demikian juga untuk pernyataan (b) akan menjadi pernyataan Tony memakai sepatu pernyataan ini akan menjadi jelas nilainya, yaitu benar atau salah tergantung realitasnya. Pada pernyataan (c) jika x diganti 3, akan bernilai benar. tetapi jika x diganti 4 akan bernilai salah. Demikian juga untuk pernyataan (d) jika p diganti 0 atau 1, atau, atau 3, atau 4 akan bernilai benar untuk semesta pembicaraan himpunan bilangan cacah, tetapi jika semestanya himpunan bilangan asli, maka pernyataan akan bernilai salah. 35
6 Kata-kata manusia, x, p pada pernyataan diatas disebut variabel. Sedangkan pengganti katanya yaitu Tony, 3, 4, dan 0,1,,3,4 disebut konstanta. Jika semesta pembicaranya bilangan-bilangan maka variabel yang dimaksudkan adalah variabel numerik. Dalam hal ini, variabel adalah tanda-tanda, yang biasanya dipilih huruf kecil dari abjad x, y dan seterusnya Pernyataan Terbuka. Pernyataan-pernyataan dalam contoh (.3) di atas disebut kalimat (pernyataan) terbuka. Jika variabel dalam kalimat terbuka sudah diganti dengan konstanta yang sesuai, maka pernyataan yang terjadi dikatakan sebagai pernyataan tertutup. Definisi (.): Pernyataan terbuka adalah suatu pernyataan yang memuat variabel, dan jika variabel tersebut diganti konstanta yang sesuai dengan semestanya maka pernyataanya akan bernilai benar saja atau salah saja. Jadi pernyataan terbuka merupakan pernyataan yang belum mempunyai nilai kebenaran, belum bernilai benar atau salah. Kita misalkan pernyataan terbuka ini dengan simbol/notasi p(x). Huruf p, q,.dan seterusnya disini hanyalah sebuah simbol/notasi dalam pengkajian suatu sifat, hanya untuk mempermudah dalam pembicaraan selanjutnya. Misalnya: p (x) ini merupakan kalimat terbuka, dan diucapkan sebagai obyek x mempunyai sifat p. Variabel yang terdapat dalam rangkaian tanda p(x) disebut variabel bebas. Disini p(x), tidak bernilai benar atau salah. Pernyataan ini disebut pernyataan terbuka. Agar pernyataan terbuka p(x) ini mempunyai nilai salah atau benar (yaitu menjadi pernyataan deklaratif), maka jika perlu semua variabel bebas di dalamnya diganti dengan suatu konstanta. Ada cara yang lazim digunakan untuk merubah 36
7 Dra. Noeryanti, M.Si pernyataan terbuka ini menjadi pernyataan deklaratif, yaitu dengan membubuhkan suatu kuantor. Yang dimaksud kuantor disini adalah kuantor universal atau kuantor eksistensial di depan pernyataan p(x) Kuantor Universal Dan Kuantor Eksistensial. a. Fungsi Pernyataan Suatu fungsi pernyataan adalah suatu pernyataan terbuka di dalam semesta pembicaraannya. Fungsi pernyataan merupakan suatu kalimat terbuka yang dinyatakan sebagai p(x) yang bersifat bahwa p(a) bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya untuk setiap a semesta pembicaraannya. Ingat disini p(a) suatu pernyataan. Contoh (.4): Misalnya: fungsi pernyataan p(x) = 1+ x > 5 Disini p(x) akan merupakan fungsi pernyatan pada A = himpunan bilangan asli. Tetapi p(x) bukan merupakan fungsi pernyataan pada K = himpunan bilangan kompleks. Contoh (.5): a) Jika p(x) = 1 + x > 5 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, maka p(x) bernilai benar untuk x = 5,6,7,... b) Jika q(x) = x + 3 < 1 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, tidak ada x yang menyebabkan q(x) bernilai benar. c) Jika r(x) = x + 3 > 1 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, maka r(x) bernilai benar untuk x = 1,,3,... Dari contoh di atas terlihat bahwa fungsi pernyataan p(x) yang didefinisikan pada suatu himpunan tertentu akan bernilai benar untuk semua anggota semesta 37
8 pembicaraan, beberapa anggota semesta pembicaraan, atau tidak ada anggota semesta pembicaraan yang memenuhi. b. Kuantor Umum (Universal) Simbol " yang dibaca untuk semua atau untuk setiap disebut kuantor umum (universal). Jika p(x) adalah fungsi proposional pada suatu himpunan A (himpunan A adalah semesta pembicaraanya) maka ("x A) p(x) atau "x, p(x) atau "x p(x) adalah suatu pernyataan yang dapat dibaca sebagai Untuk setiap x elemen dalam himpunan A, p(x) merupakan pernyataan yang benar. atau Untuk semua x, berlaku p(x). Beberapa macam ucapan-ucapan yang mempunyai arti sama diantaranya: ("x A) p(x) dibaca : Untuk setiap x A berlakulah x mempunyai sifat p Semua x, berlaku p(x) Tiap-tiap x, x memenuhi sifat p(x). Contoh (.6): Misalnya pernyataan p(x) = x tidak kekal p(manusia) = Manusia tidak kekal maka x p(x) atau x, p(x) atau x x {manusia}, p(x) = semua manusia tidak kekal (Benar). Perhatikan: Bahwa p(x) merupakan kalimat terbuka (tidak mempunyai nilai kebenaran). Tetapi x p(x) merupakan pernyataan (mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak kedua-duanya). Contoh (.7): x r(x) = x (x+3>1) pada A = {bilangan asli} bernilai benar. Contoh (.8): x q(x) = x (x+3<1) pada A = {bilangan asli} bernilai salah. 38
9 Dra. Noeryanti, M.Si c. Kuantor Khusus (Eksistensial) Simbol $ dibaca ada atau untuk beberapa atau untuk paling sedikit satu disebut kuantor khusus. Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada himpunan tertentu A (himpunan A adalah semesta pembicaraanya) maka ( x A) p(x) atau x! p(x) atau x p(x) adalah suatu pernyataan yang dibaca Ada x elemen A, sedemikian hingga p(x) merupakan pernyataan benar atau Untuk beberapa x, p(x). Ada yang menggunakan simbol x! untuk menyatakan Ada hanya satu. Beberapa macam ucapan-ucapan yang mempunyai arti sama diantaranya: ($x) P(x) dibaca : Terdapat x A, x bersifat p(x) Ada x A sedemikian hingga x mempunyai sifat p. Sekurang-kurangnya satu x A mempunyai sifat p Beberapa x, x mempunyai sifat p. Contoh (.9): Misalkan suatu pernyataan p(x) = x adalah anita p(pewira ABRI) = perwira ABRI adalah wanita Maka x p(x) = x! p(x) = x {perwira ABRI}, p(x) = Ada perwira ABRI wanita (Benar). Contoh (.10): x p(x) = x ( x + 1 < 5 ) pada A = {bilangan asli} maka pernyataan itu bernilai salah. Contoh (.11): x r(x) = x (3 + x > 1) pada A = {bilangan asli} maka pernyataan itu bernilai salah. 39
10 Contoh(.1): Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut dengan mengambil semesta pembicaraannya adalah himpunan semua bilangan riil. (1) x, x = x (4). x ; x + = x () x, x = x (5). x x = 0 (3) x ; x + 1 > x Jawab : (1) Bernilai salah, sebab jika x 0 = -3, maka x 0 x 0 () Bernilai benar, sebab ada x 0 = 1, sedemikian sehingga berlaku x 0 =x 0 (3) Benar, sebab tiap-tiap bilangan riil selalu memenuhi pertidaksamaan x+1 > x (4) Salah, sebab tidak ada pemecahan untuk x + = x (5) Bernilai benar, sebab ada x 0 = 0, sehingga x 0 = Negasi Suatu Pernyataan yang Memuat Kuantor. Negasi dari Semua manusia tidak kekal semua manusia tidak kekal atau Beberapa manusia tidak kekal adalah tidak benar bahwa tidak kekal atau Jika p(x) adalah manusia (=x) tidak kekal, maka Semua manusia adalah x px ( ) bernilai salah. x px ( ) bernilai benar dan beberapa manusia tidak kekal atau Jadi ingkaran dari kuantor universal ( x) p(x) dinyatakan dengan simbol logika :[ xp(x)] x : p(x) atau ( x) p(x) ( x)p(x) ( x) p(x) Jadi negasi dari suatu pernyataan yang memuat kuantor universal adalah ekivalen dengan pernyataan yang memuat kuantifikasi eksistensial (fungsi pernyataan yang dinegasikan) 40
11 Dra. Noeryanti, M.Si Dan sebaliknya Ingkaran dari kuantor eksistensial ( x) p(x) dinyatakan dengan ( x) p(x) dinyatakan dengan simbol logika :[ xp(x)] x : p(x) atau ( x) p(x) ( x) p(x) ( x) p(x) Jadi negasi dari suatu pernyataan yang memuat kuantor eksistensial adalah ekivalen dengan pernyataan yang memuat kuantifikasi universal (fungsi pernyataan yang dinegasikan) Contoh(.13): Tentukan ingkaran-ingkaran dari setiap pernyataan soal contoh (.1) diatas Penyelesaian: (1) x, x = x x, x = x x, x x () = = x, x x x, x x x, x x (3) x, x + 1> x x, x+ 1> x x, x + 1> / x x, x + 1 x (4) x, x + = x x, x+ = x x, x+ x (5) x, x = 0 x, x = 0 x, x Fungsi Pernyataan yang memuat lebih dari satu variabel Didefinisikan himpunan A, 1 A, A 3,...,A n. Suatu fungsi pernyataan yang memuat variabel pada himpunan A1 A A 3... An merupakan kalimat tebuka p(x 1, x, x 3,..., x n ) yang mempunyai sifat p(a 1, a, a 3,..., a n ) ernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk (a 1, a, a 3,..., a n ) anggota semesta pembicaraan A1 A A 3... An. 41
12 Contoh (.14): Diketahui P = {pria}, W = {wanita}. x menikah dengan y M(x,y) adalah fungsi pernyataan pada P x W. Contoh (.15): Diketahui A = {bilangan asli}. x y + 5z < 10 K(x,y,z) adalah fungsi pernyataan pada A x A x A. Suatu fungsi pernyataan yang bagian depannya dibubuhi dengan suatu kuantor untuk setiap variabel seperti berikut ini: "x $x p(x,y) atau $x $y "z p(x,y,z) merupakan suatu pernyataan dan mempunyai nilai kebenaran. Contoh (.16): Misalnya: P = {Nyoman, Agus, Darman} dan W = {Rita, Farida}, serta p(x,y) = x adalah kakak y. Maka "x P, $y W, p(x,y) dibaca Untuk setiap x di P dan y di W sedemikian hingga x adalah kakak y berarti bahwa setiap anggota P adalah kakak dari Rita atau Farida. Jika pernyataan itu ditulis sebagai $y W "x P p(x,y) dibaca Ada y di W untuk setiap x di P sedemikian hingga x adalah kakak y berarti 4
13 Dra. Noeryanti, M.Si bahwa ada (paling sedikit satu) wanita di W mempunyai kakak semua anggota P. Misalnya negasi dari pernyataan yang memuat kuantor dapat ditentukan sebagai berikut ini: ~[$x {"y p(x,y)} ] "x ~ ["y p(x,y)] "x $y ~ p(x,y) atau x { y p(x,y)} x y p(x,y) x yp(x,y) x y p(x,y) Contoh (.17): Diketahui P = {Nyoman, Agus, Darman} dan W = {Rita, Farida} serta p(x,y) = x adalah kakak y. Tuliskan negasi dari pernyataan: x P, y W, p(x,y) Jawab: Negasi dari pernyataan x P, y W, p(x,y) adalah: ~[ x P { y W, p(x,y)} ] x P, ~[ y W, p(x,y)] x P, y W, ~p(x,y) atau x P { y W, pxy (, )} ( x P){ y W, pxy (, )} 43
14 x P ( y W) pxy (, ) x P ( y W) pxy (, ) Jika kita baca pernyataan semula adalah: Setiap anggota P adalah kakak dari paling sedikit satu anggota W Negasi dari pernyataan itu adalah Tidak benar bahwa setiap anggota P adalah kakak dari paling sedikit satu anggota W yang ekivalen dengan Ada anggota P yang bukan kakak dari semua anggota W. Rangkuman 1. Keseluruhan obyek-obyek yang dibicarakan disebut semesta pembicara. Variabel adalah suatu simbol atau tanda yang digunakan untuk menunjuk pada anggota sembarang dari semesta pembicaranya. 3. Konstanta adalah suatu simbol atau tanda yang diucapkan atau ditulis untuk menunjukkan tentang anggota tertentu dari semestanya. 4. Pernyataan terbuka adalah suatu pernyataan yang belum mempunyai nilai kebenaran, belum bernilai benar atau salah ditulis p(x). 5. Kuantor universal yang dinyatakan sebagai ( x) dan kuantor eksistensial dinyatakan sebagai ( x). 6. Pernyataan ( x) p(x) dibaca : (1). Semua x mempunyai sifat p. (). Untuk setiap x berlakulah x mempunyai sifat p. (3).Tiap-tiap x, x mempunyai sifat p. 44
15 Dra. Noeryanti, M.Si Pernyataan ( x) p(x) dibaca : (1). Terdapat x, x mempunyai sifat p. (). Ada x sedemikian hingga x mempunyai sifat p. (3). Sekurang-kurangnya satu x mempunyai sifat p. (4). Beberapa x, x mempunyai sifat p 7. Ingkaran dari pernyataan ( x) p(x) ditulis ( x) p(x) ( x)p(x) ( x) p(x) 8. Ingkaran dari pernyataan( x) p(x ditulis ( x)p(x) ( x)p(x) ( x) p(x) 9. negasi dari pernyataan $x W, "y P, p(x,y) adalah ~[ x { y p(x,y)} ] x ~ [ y p(x,y)] x y ~ p(x,y) atau x { y p(x,y)} x y p(x,y) x yp(x,y) x y p(x,y) 10. Negasi dari pernyataan x P, y W, p(x,y) adalah: ~[ x P { y W, p(x,y)} ] x P, ~[ y W, p(x,y)] x P, y W, ~p(x,y) atau x P { y W, pxy (, )} ( x P){ y W, pxy (, )} x P ( y W) pxy (, ) x P ( y W) pxy (, ) 45
16 SOAL-SOAL LATIHAN 1. Manakah yang merupakan kalimat terbuka (a) Jika saya lapar maka saya tidak bisa belajar (b) Mahasiswa Jurusan matematika rajin-rajin (c) Segitiga sama sisi adalah segi tiga yang ketiga sisinya sama panjang. (d). x 5 < 7 (e). Agus kuliah di UGM (f). Diagonal bujur sangkar saling berpotongan dan tegak lurus. Misalkan A = {, 1345,,, } merupakan himpunan semesta, tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut, kemudian carilah negasinya (a). ( x A), x + 3 = 10 (e). ( x A), x + 3 < 5 (b). ( x A), x + 3 < 10 (f). ( x A), x (c). x ( 4+ x < 10) (g). x ( 4+ x > 8) (d). x ( 4+ x = 7) (h). x ( 4+ x 7) 3. Tuliskan pernyataan-pernyataan berikut ini dalam bentuk simbolik, kemudian tentukan negasinya (a). Setiap bilangan kuadrat lebih besar atau sama dengan nol (b). Ada segi tiga sama kaki yang bukan segi tiga sama sisi (c). Tidak ada manusia yang hidup abadi (d). Di perguruan tinggiku ada profesor wanita 4. Tentukan negasi pernyataan-pernyataan berikut ini: (a). x,( x + 3= 5) dalam himpunan X = {, 13,,...} (b). n ( + n > 5) dalam himpunan bilangan asli (c). ( x R)( x 0) ; R = {bilangan cacah} 46
17 Dra. Noeryanti, M.Si (d). x x 0 dalam himpunan bilangan riel (e). ( x R)( x > x) ; R = {bilangan riel} 5. Ingkarilah (cari negasi) pernyataan-pernyataan berikut ini, (a). xpx ( ) yqy ( ) (g). x ypxy (, ) (b). xpx ( ) yqy ( ) (h). x ypxy (, ) (c). xpx ( ) yqy ( ) (i). x y [ px ( ) qy ( )] (d). xpx ( ) y (: qy ( )) (j). x y [: px ( ) qy ( )] (e). xpx ( ) yqy ( ) (k). x y [ px ( ) qy ( )] (f). xpx ( ) yqy ( ) (l). x y zpxyz (,, ) 6. Ambil M = {1,, 3} adalah himpunan universal, tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut ini : (a). x y ( x y 1) + = (k) ( )( ) (b) x y ( x y 1) x y x + y < 1 + = (l) ( x)( y ) x y + < 1 (c). x y ( x + y = 1) (m) x y, x +y < 0 (d). x y ( x < y + 1) (n) x y, x + y < 13 (e). (f). x y ( x < y + 1) (o) x y, x + y < 13 x y ( x < y + 1) (p) x y, x + y < 13 (g). (h) x y, x + y < 10 (q) x y, x + y > 10 (r). x y z, x +y < z x y z, x +y < z x y x + y < 1 (s). (i) ( )( ) x y z, x +y < z (j) ( x)( y ) x y + < 1 (t). x y z, x +y < z 47
18 7. Tentukan ingkaran dari soal no 6 8. Tiadakanlah pernyataan berikut ini : (1) ( x) ( y), p(x,y) (7). ( x) ( y) (p(x).. q(y)) () ( x) ( y), p(x,y) (8). ( x) ( y), (p(x, y) q (y)) (3) ( x) ( y) ( z), P(x,y,z) (9). ( x) ( y), (p(x).. q(y)) (4) ( x) ( y), (p(x).. q(y)) (10). ( x) p(x) ( x) q(x) (5) ( x) y), (p(x,y) q (x,y)) (11). ( y) p(y) ( x) q(x) (6) ( y) ( x), (p(x) q(y)) (1). ( x) p(x).. x q(x) Kunci jawaban No 1: (a). bukan (b) ya (c) bukan (d) ya (e) bukan (f) bukan (coba cari alasannya) No : (a). Salah, sebab tidak ada bilangan dalam A yang memenuhi persamaan x+3=10 (b) Benar, sebab tiap-tiap bilangan dalam A memenuhi pertidaksamaan x+ 3<10 (e) Benar, sebab jika x 0 = 1, maka x < 5, yakni1 adalah pemecahannya. (f) Salah, sebab jika x 0 = 5, maka x > 7 (cobalah untuk soal yang lainnya) Negasinya (a) ( ) ( ) ( ) x A, x + 3 = 10 x A, x + 3 = 10 x A, x (b) ( ) ( ) ( ) x A,x+ 3< 10 x A, x+ 3< 10 x A,x (e) ( ) ( ) ( ) x A,x+ 3< 5 x A,x+ 3< 5 x A,x
19 Dra. Noeryanti, M.Si x A, x+ 3 7 x A, x+ 3 7 x A, x + 3 > 7 (f) ( ) ( ) ( ) (cobalah untuk soal yang lainnya) No 5: (a) ( x ) p(x) ( y ) q(y) ( x ) p(x) ( y ) q(y) ( y ) p(x) ( ) y q(y) (e) ( x) p(x) ( y ) q(y) ( x ) p(x) ( y ) q(y) ( y ) p(x) ( ) y q(y) (cobalah untuk soal yang lainnya) No 6: Untuk menjawab (d), (e), (f) Diselidiki M = {1,, 3}, apakah sifat x < y + 1 akan dipenuhi? x = 1, y = 1 1 < y = 1 < + 1 y = 3 1 < x =, y = y = + 1 y = x = 3, y = y = y = Jadi x y x < y + 1 salah (d) ( )( ) 49
20 x y x < y + 1 salah (e) ( )( ) (f) ( )( ) x y x < y + 1 benar Untuk menjawab (g) dan (h) Diselidiki apakah sifat x + y < 10 dipenuhi? x = 1, y = < 10 y = 1 +. < 10 y = < 10 x =, y = < 10 y = +. < 10 y = = 10 x = 3, y = > 10 y = 3 +. > 10 y = > 10 (g) ( )( ) x y x + y < 10 salah x y x + y > 10 benar (h) ( )( ) Untuk menjawab (i), (j), (k), (l) Diselidiki apakah sifat x + y < 1 akan dipenuhi? x = 1, y = < 1 y = 1 + < 1 50
21 Dra. Noeryanti, M.Si y = < 1 x =, y = y = + 1 y = x = 3, y = < 1 y = y = Jadi x y x + y < 1 salah (i) ( )( ) x y x + y < 1 benar (j) ( )( ) x y x + y < 1 benar (k) ( )( ) x y x + y < 1 salah (l) ( )( ) (cobalah untuk soal yang lainnya) 51
KUANTOR. A. Fungsi Pernyataan
A. Fungsi Pernyataan KUANTOR Definisi : Suatu fungsi pernyataan adalah suatu kalimat terbuka di dalam semesta pembicaraan (semesta pembicaraan diberikan secara eksplisit atau implisit). Fungsi pernyataan
Lebih terperinciMahasiswa memahami kuantifikasi dan simbolisme logika. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan hubungan antara kuantor eksistensial dan kuantor
BAB II KUANTIFIKASI Tujun Instruksional Umum Mahasiswa memahami kuantifikasi dan simbolisme logika. Tujuan Instruksional Khusus 1) Mahasiswa dapat menggunakan kuantor 2) Mahasiswa dapat menyebutkan hubungan
Lebih terperinciDefinisi : predikat (first order) adalah suatu Kata (simbol) yg jika di berikan pada kalimat terbuka, dapat berubah menjadi kalimat tertutup.
LOGIKA MATEMATIKA Definisi : predikat (first order) adalah suatu Kata (simbol) yg jika di berikan pada kalimat terbuka, dapat berubah menjadi kalimat tertutup. Beberapa hal yang digunakan dalam logika
Lebih terperinciMahasiswa memahami kuantifikasi dan simbolisme logika. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan hubungan antara kuantor eksistensial dan kuantor
BAB II KUANTIFIKASI Tujun Instruksional Umum Mahasiswa memahami kuantifikasi dan simbolisme logika. Tujuan Instruksional Khusus 1) Mahasiswa dapat menggunakan kuantor 2) Mahasiswa dapat menyebutkan hubungan
Lebih terperinciUnit 5 PENALARAN/LOGIKA MATEMATIKA. Wahyudi. Pendahuluan
Unit 5 PENALARAN/LOGIKA MATEMATIKA Wahyudi Pendahuluan D alam menyelesaikan permasalahan matematika, penalaran matematis sangat diperlukan. Penalaran matematika menjadi pedoman atau tuntunan sah atau tidaknya
Lebih terperinciKALKULUS PREDIKAT KALIMAT BERKUANTOR
1 KALKULUS PREDIKAT KALIMAT BERKUANTOR A. PREDIKAT DAN KALIMAT BERKUANTOR Dalam tata bahasa, predikat menunjuk pada bagian kalimat yang memberi informasi tentang subjek. Dalam ilmu logika, kalimat-kalimat
Lebih terperinciLOGIKA SIMBOLIK. Bagian II. September 2005 Pengantar Dasar Matematika 1
LOGIKA IMOLIK agian II eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 1 LOGIKA Realitas Kalimat/ Pernyataan Logis LOGIKA eptember 2005 Pengantar Dasar Matematika 2 Apakah logika itu? Logika: Ilmu untuk berpikir
Lebih terperinciTEORI HIMPUNAN LOGIKA MATEMATIKA
TEORI HIMPUNN SMTS 1101 / 3SKS LOGIK MTEMTIK Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si 87 Dra. Noeryanti, M.Si DFTR ISI Cover pokok bahasan... 87 Daftar isi... 88 Judul Pokok Bahasan... 89 4.1. Pengantar...
Lebih terperinciKALIMAT BERKUANTOR. Pertemuan 4 Senin, 11 Maret 2013
KALIMAT BERKUANTOR Pertemuan 4 Senin, 11 Maret 2013 Pokok Bahasan 1. Predikat dan kalimat berkuantor 2. Ingkaran kalimat berkuantor 3. Kalimat berkuantor ganda 4. Aplikasi logika matematika dalam ilmu
Lebih terperinciPTI 206 Logika. Semester I 2007/2008. Ratna Wardani
PTI 206 Logika Semester I 2007/2008 Ratna Wardani 1 Materi Logika Predikatif Fungsi proposisi Kuantor : Universal dan Eksistensial Kuantor bersusun 2 Logika Predikat Logika Predikat adalah perluasan dari
Lebih terperinciBAB I LOGIKA MATEMATIKA
BAB I LOGIKA MATEMATIKA A. Ringkasan Materi 1. Pernyataan dan Bukan Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut
Lebih terperinciBAB III KUANTOR kuantor, 1. Kuantor Universal 3. Kuantor Eksistensial
BAB III KUANTOR Untuk mengubah kalimat tebuka menjadi kalimat deklaratif, selain dengan jalan mengganti variabel dengan konstanta, dapat juga dilakukan dengan menggunakan kuantor, yaitu dengan menggunakan
Lebih terperinciUnit 6 PENALARAN MATEMATIKA. Clara Ika Sari Budhayanti. Pendahuluan. Selamat belajar, semoga Anda sukses.
Unit 6 PENALARAN MATEMATIKA Clara Ika Sari Budhayanti Pendahuluan D alam menyelesaikan permasalahan matematika, penalaran matematis sangat diperlukan baik di bidang aritmatika, aljabar, geometri dan pengukuran,
Lebih terperinciKUANTOR (Minggu ke-7)
KUANTOR (Minggu ke-7) 1 4 Pendahuluan 1. Kuantor Universal: Untuk semua x berlaku atau Untuk setiap x berlaku. S P : Himpunan semua bilangan asli. 1. x > 1 merupakan kalimat terbuka 2. Untuk semua x berlakulah
Lebih terperinciMatematika Industri I
LOGIKA MATEMATIKA TIP FTP - UB Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai kebenaran dari proposisi Tautologi Ekuivalen Kontradiksi Kuantor Validitas pembuktian Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai
Lebih terperinciBagaimana Cara Guru Matematika Membantu Siswanya Mempelajari Pernyataan Berkuantor
Bagaimana Cara Guru Matematika Membantu Siswanya Mempelajari Pernyataan Berkuantor Fadjar Shadiq, M.App.Sc (fadjar_p3g@yahoo.com & fadjarp3g.wordpress.com) Widyaiswara PPPPTK Matematika Kemampuan bernalar
Lebih terperinciKUANTIFIKASI Nur Insani, M.Sc
KUANTIFIKASI Nur Insani, M.Sc Pada validitas : Banyak argumen valid, namun validitasnya tak dapat diuji dengan alat uji validitas yang ada. 2 Bagaimana Validitas Argumen ini? Semua kucing adalah hewan
Lebih terperinciLOGIKA PREDIKAT. Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom
LOGIKA PREDIKAT Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom Logika Predikat Seringkali kita harus memeriksa argumen yang berisi proposisi-proposisi yang berkenaan dengan kumpulan objek. Misalkan, memeriksa
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA I. PENDAHULUAN
LOGIKA MATEMATIKA I. PENDAHULUAN Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk menyampaikan
Lebih terperinciRELASI SMTS 1101 / 3SKS
RELASI SMTS 0 / 3SKS LOGIKA MATEMATIKA Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si 6 DAFTAR ISI Cover pokok bahasan... 6 Daftar isi... 7 Judul Pokok Bahasan... 8 5.. Pengantar... 8 5.2. Kompetensi... 8 5.3. Uraian
Lebih terperinciBAB III INDUKSI MATEMATIKA
3.1 Pendahuluan BAB III INDUKSI MATEMATIKA Dalam bidang matematika tidak jarang ditemui pola-pola induktif yang melibatkan himpunan indeks berupa himpunan bilangan asli atau bulat seperti barisan atau
Lebih terperinciPERNYATAAN MAJEMUK & NILAI KEBENARAN
PERNYATAAN MAJEMUK & NILAI KEBENARAN 1. Pernyataan Majemuk Perhatikan pernyataan hari ini hujan dan aku berjalan-jalan. Pernyataan tersebut terdiri dari dua pernyataan pokok/tunggal (prime sentence), yaitu
Lebih terperinciPENALARAN DALAM MATEMATIKA
PENALARAN DALAM MATEMATIKA A. PENDAHULUAN Siswa belajar dimulai dari mengamati contoh-contoh atau fenomena Dari informasi-informasi yang diperoleh secara khusus siswa mencoba melakukan generalisasi secara
Lebih terperinci5. 1 Mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan (kalimat terbuka)
Sumber: Art and Gallery Standar Kompetensi 5. Menerapkan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor Kompetensi Dasar 5. 1 Mendeskripsikan
Lebih terperinciLogika. Arum Handini Primandari, M.Sc. Ayundyah Kesumawati, M.Si.
Logika Arum Handini Primandari, M.Sc. Ayundyah Kesumawati, M.Si. Logika Matematika Kalimat Terbuka dan Tertutup Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak mengandung nilai kebenaran Contoh: Semoga kamu
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA SOAL DAN PENYELESAIAN Logika, Himpunan, Relasi, Fungsi JONG JEK SIANG Kita menjalani hidup dari apa yang kita dapatkan Tetapi kita menikmati hidup dari apa yang kita berikan Jong Jek
Lebih terperinciuntuk mempelajari matematika lebih lanjut. Untuk menunjang kemampuankemampuan tersebut diharapkan Anda dapat menguasai beberapa kompetensi khusus
ix S Tinjauan Mata Kuliah elamat bertemu, selamat belajar, dan selamat berdiskusi dalam mata kuliah Matematika Dasar 1. Mata kuliah PEMA4102/Matematika Dasar 1 dengan bobot 3 sks ini sering pula dinamakan
Lebih terperinciPROPOSISI LOGIKA MATEMATIKA
PROPOSISI SMTS 1101 / 3SKS LOGIKA MATEMATIKA Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si 1 Dra. Noeryanti, M.Si DAFTAR ISI Cover pokok bahasan... 1 Daftar isi... 2 Judul Pokok Bahasan... 3 1.1. Pengantar... 3
Lebih terperinciLANDASAN MATEMATIKA Handout 4 (Kuantor)
LANDASAN MATEMATIKA Handout 4 (Kuantor) Tatik Retno Murniasih, S.Si., M.Pd. tretnom@unikama.ac.id / tatikretno@gmail.com Standar Kompetensi Mahasiswa dapat mengerti dan memahami kuantor sehingga dapat
Lebih terperinciBAB III INDUKSI MATEMATIKA
BAB III INDUKSI MATEMATIKA BAB III INDUKSI MATEMATIKA 3.1 Pendahuluan Dalam bidang matematika tidak jarang ditemui pola-pola induktif yang melibatkan himpunan indeks berupa himpunan bilangan asli atau
Lebih terperinciLogika & Himpunan 2013 LOGIKA MATEMATIKA. Oleh NUR INSANI, M.SC. Disadur dari BUDIHARTI, S.Si.
LOGIKA MATEMATIKA Oleh NUR INSANI, M.SC Disadur dari BUDIHARTI, S.Si. Logika adalah ilmu yang mempelajari secara sistematis kaidah-kaidah penalaran yang absah/valid. Ada dua macam penalaran, yaitu: penalaran
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA LOGIKA. Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom
LOGIKA MATEMATIKA LOGIKA Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom Pendahuluan Untuk menemukan suatu gagasan baru dari informasi dan gagasan yang telah ada, diperlukan proses berpikir. Proses ini dikenal
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) Kelas XI. To ali. Kelompok Penjualan dan Akuntansi. Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
i MATEMATIKA Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) Kelas XI Kelompok Penjualan dan Akuntansi To ali Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional ii Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA (Pendalaman Materi SMA)
LOGIKA MATEMATIKA (Pendalaman Materi SMA) Disampaikan Pada MGMP Matematika SMA Provinsi Bengkulu Tahun Ajaran 2007/2008 Oleh: Supama Widyaiswara LPMP Bengkulu DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR (Ekivalensi dan Kuantifikasi)
MATEMATIKA DASAR (Ekivalensi dan Kuantifikasi) Antonius Cahya Prihandoko Universitas Jember Indonesia Jember, 2015 Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 1 / 20
Lebih terperinciI. PERNYATAAN DAN NEGASINYA
1 I. PERNYATAAN DAN NEGASINYA A. Pernyataan. Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus keduanya. Benar atau salahnya suatu pernyataan dapat ditunjukkan
Lebih terperinciPERTEMUAN Logika Matematika
3-1 PERTEMUAN 3 Nama Mata Kuliah : Matematika Diskrit (3 SKS) Nama Dosen Pengamu : Dr. Suarman E-mail : matdis@netcourrier.com HP : 0813801198 Judul Pokok Bahasan Tujuan Pembelajaran : 3. Logika Matematika
Lebih terperinciModul ke: Logika Matematika. Proposisi & Kuantor. Fakultas FASILKOM BAGUS PRIAMBODO. Program Studi SISTEM INFORMASI.
Modul ke: 5 Logika Matematika Proposisi & Kuantor Fakultas FASILKOM BAGUS PRIAMBODO Program Studi SISTEM INFORMASI http://www.mercubuana.ac.id Materi Pembelajaran Kalkulus Proposisi Konjungsi Disjungsi
Lebih terperinciMODUL LOGIKA MATEMATIKA
PERENCANAAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA MODUL LOGIKA MATEMATIKA AUTHOR: Navel Mangelep UNIVERSITAS NEGERI MANADO FAKULTAS MATEMATIKA & ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA KATA PENGANTAR Salah satu penunjang
Lebih terperinci1. Memahami pengertian proposisi dan predikat. 3. Memahami penggunaan penghubung dan tabel kebenaran
Modul 1 Logika Matematika Pendahuluan Pada Modul ini akan dibahas materi yang berkaitan dengan logika proposisi dan logika predikat, serta berbagai macam manipulasi didalamnya. Tujuan Instruksional Umum
Lebih terperinciLOGIKA Matematika Industri I
LOGIKA TIP FTP UB Pokok Bahasan Pengertian Logika Pernyataan Matematika Nilai Kebenaran Operasi Uner Operasi Biner Tabel kebenaran Pernyataan Tautologi, Kontradiksi dan Kontingen Pernyataan-pernyataan
Lebih terperincikusnawi.s.kom, M.Eng version
Propositional Logic 3 kusnawi.s.kom, M.Eng version 1.0.0.2009 Adalah sifat-sifat yang dimiliki oleh kalimat logika. Ada 3 sifat logika yaitu : - Valid(Tautologi) - Kontradiksi - Satisfiable(Contingent).
Lebih terperinciBAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan
BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciKONSEP DASAR LOGIKA MATEMATIKA. Riri Irawati, M.Kom Logika Matematika - 3 sks
KONSEP DASAR LOGIKA MATEMATIKA Riri Irawati, M.Kom Logika Matematika - 3 sks Agenda 2 Pengantar Logika Kalimat pernyataan (deklaratif) Jenis-jenis pernyataan Nilai kebenaran Variabel dan konstanta Kalimat
Lebih terperinciLogika Predikat 1. Kita akan memulai bagian ini dengan dua argumen.
Logika Predikat 1 III. Logika Predikat Kita akan memulai bagian ini dengan dua argumen. Premis Konklusi Premis Konklusi A: Semua orang menyukai Ali. B: Budi menyukai Ali. C: Cecep menyukai Ali. D: Seseorang
Lebih terperinciBENTUK-BENTUK ALJABAR
BENTUK-BENTUK ALJABAR (Pembelajaran Matematika SMP) Oleh : H. Karso FPMIPA UPI A. Kalimat Matematika dalam Bentuk Aljabar Serta Unsur-unsurnya Dalam pelajaran matematika pengertian kalimat matematika dibedakan
Lebih terperinciMateri Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi
Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah. Secara
Lebih terperinciHimpunan dan Sistem Bilangan
Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Dr. Wahyu Widayat H PENDAHULUAN impunan adalah bagian dari Matematika yang bahannya pernah Anda pelajari. Materi tersebut akan dibahas sehingga Anda menjadi lebih memahami
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. (Pembelajaran Matematika SMA) Oleh: H. Karso
LOGIKA MATEMATIKA (Pembelajaran Matematika MA) Oleh: H. Karso A. Kalimat Pernyataan Pengertian logika matematika termasuk logika modern dan logika tradisional dengan pentingnya belajar logika secara panjang
Lebih terperinciBAB 2 PENGANTAR LOGIKA PROPOSISIONAL
BAB 2 PENGANTAR LOGIKA PROPOSISIONAL 1. Pendahuluan Dilihat dari bentuk struktur kalimatnya, suatu pernyataan akan memiliki bentuk susunan minimal terdiri dari subjek diikuti predikat kemudian dapat diikuti
Lebih terperinciLOGIKA. Arum Handini Primandari
LOGIKA Arum Handini Primandari LOGIKA MATEMATIKA KALIMAT TERBUKA DAN TERTUTUP Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak mengandung nilai kebenaran Contoh: Apakah kamu tahu pencipta lagu PPAP? Semoga ujian
Lebih terperincihttp://www.brigidaarie.com 1. Semua gajah mempunyai belalai. 2. Dumbo seekor gajah. 3. Dengan demikian, Dumbo memiliki belalai. VALID?? 1. Semua mahasiswa pasti pandai. 2. Dekisugi seorang mahasiswa. 3.
Lebih terperinciLogika Matematika Modul ke: Himpunan
Logika Matematika Modul ke: Himpunan Fakultas FASILKOM Syukri Nazar. M.Kom Program Studi Teknik Informatika Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut
Lebih terperinci1.3 Pembuktian Tautologi dan Kontradiksi. Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi
1.3 Pembuktian 1.3.1 Tautologi dan Kontradiksi Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi yang membentuknya disebut toutologi, sedangkan proposisi yang selalu bernilai salah
Lebih terperinciKALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan
Lebih terperinciLogika. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Logika Drs. Sukirman, M.Pd. L PENDAHULUAN ogika merupakan salah satu bidang ilmu yang mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah, baik yang bersifat deduktif
Lebih terperinciTujuan Instruksional Khusus 1) Mahasiswa dapat menentukan semesta pembicaraan. 3) Mahasiswa dapat menentukan konstanta,denotasi dan designasi
BAB I LOGIKA KALIMAT Tujuan Instuksional Umum Mahasiswa memahami logika kalimat, kalimat dan penghubung kalimat serta dapat membuktikan rumus-rumus toutologi. Tujuan Instruksional Khusus 1) Mahasiswa dapat
Lebih terperinciSISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL SPtKDV
SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL SPtKDV A. Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel Pertidaksamaan kuadrat dua variabel adalah kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel dengan setidaknya
Lebih terperinciNama Peserta : No Peserta : Asal Sekolah : Asal Daerah :
1. Terdapat sebuah fungsi H yang memetakan dari himpunan bilangan asli ke bilangan asli lainnya dengan ketentuan sebagai berikut. Misalkan akan dicari nilai fungsi H jika x=38. 38 terdiri dari 3 puluhan
Lebih terperinciBAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan
BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) LOGIKA MATEMATIKA Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana 37 Logika Matematika Kompetensi
Lebih terperinciBerdasarkan definisi di atas, maka pertidaksamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk:
BAHAN AJAR A. Kompetensi Inti KI 1 : Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. KI 2: Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong, kerjasama,
Lebih terperinciMODUL PERKULIAHAN EDISI 1 MATEMATIKA DISKRIT
MODUL PERKULIAHAN EDISI 1 MATEMATIKA DISKRIT Penulis : Nelly Indriani Widiastuti S.Si., M.T. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 2011 DAFTAR ISI Daftar Isi. 2 Bab 1 LOGIKA
Lebih terperinciTEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1
TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk
Lebih terperinciModul ke: Logika Matematika. Himpunan. Fakultas FASILKOM. Bagus Priambodo. Program Studi SISTEM INFORMASI.
Modul ke: 1 Logika Matematika Himpunan Fakultas FASILKOM Bagus Priambodo Program Studi SISTEM INFORMASI http://www.mercubuana.ac.id Materi Pembelajaran Berbagai macam bentuk himpunan Diagram Venn Operasi
Lebih terperinciBAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN
BAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN 2.1 Pendahuluan Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi
Lebih terperinciLogika, Himpunan, dan Fungsi
Logika, Himpunan, dan Fungsi A. Logika Matematika Logika matematika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan menggunakan bahasa serta simbol-simbol matematika dengan benar. 1) Kalimat Matematika Kalimat
Lebih terperinciGLOSSARIUM. A Akar kuadrat
A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk
Lebih terperinciA. PERSAMAAN GARIS LURUS
A. PERSAMAAN GARIS LURUS Persamaan garis lurus adalah hubungan nilai x dan nilai y yang terletak pada garis lurus serta dapat di tulis px + qy = r dengan p, q, r bilangan real dan p, q 0. Persamaan dalam
Lebih terperinciPENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca.
PENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca. Karena hampir semua rumus dan hukum yang berlaku tidak tercipta
Lebih terperinciMateri-3 PROPOSITION LOGIC. Properties of Sentences Inference Methods Quantifier Sentences
Materi-3 PROPOSITION LOGIC Properties of Sentences Inference Methods Quantifier Sentences 1 Properties of Sentences Adalah sifat-sifat yang dimiliki oleh kalimat logika Ada 3 sifat, yaitu: 1. Valid 2.
Lebih terperinciHIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) EvanRamdan
HIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari benda atau objek yang berbeda dan didefiniskan secara jelas Objek di dalam himpunan
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
SMP - 1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL A. Pengertian persamaan linear dua variabel (PLDV) Persamaan linear dua variabel ialah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap
Lebih terperinciPROPOSITION LOGIC LOGIKA INFORMATIKA. Properties of Sentences Inference Methods Quantifier Sentences. Heri Sismoro, M.Kom. STMIK AMIKOM Yogyakarta
1 PROPOSITION LOGIC Properties of Sentences Inference Methods Quantifier Sentences LOGIKA INFORMATIKA Heri Sismoro, M.Kom. STMIK AMIKOM Yogyakarta 2 Properties of Sentences Adalah sifat-sifat yang dimiliki
Lebih terperinciKETIDAKSAMAAN. A. Pengertian
A. Pengertian KETIDAKSAMAAN Ketidaksamaan dinotasikan dengan 1. < (lebih Kecil 2. ( lebih kecil atau sama dengan)) 3. > ( lebih besar) 4. ( lebih besar atau sama dengan) Tanda di atas digunakan untuk membuat
Lebih terperinciBagian 1 Sistem Bilangan
Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,
Lebih terperinciKALIMAT DEKLARATIF (Minggu ke-1 dan 2)
KALIMAT DEKLARATIF (Minggu ke-1 dan 2) 1 1 Kalimat Definisi 1.1 Kalimat dikatakan lengkap jika paling sedikit memuat subyek dan predikat. Contoh: 1. Toni makan L 2. Menulis buku TL 3. Setiap hari matahari
Lebih terperinciArtificial Intelegence. Representasi Logica Knowledge
Artificial Intelegence Representasi Logica Knowledge Outline 1. Logika dan Set Jaringan 2. Logika Proposisi 3. Logika Predikat Order Pertama 4. Quantifier Universal 5. Quantifier Existensial 6. Quantifier
Lebih terperinciKUANTOR KHUSUS (Minggu ke-8)
KUANTOR KHUSUS (Minggu ke-8) 1 4 Kuantor Jenis Lain Terdapatlah satu dan hanya satu x yang mempunyai sifat P. ( x)(p(x) ( y)(p(y) = y = x)) Terdapat x yang memenuhi sifat p dan untuk setiap y yang memenuhi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Proposisi adalah pernyataan yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya. Sedangkan, Kalkulus Proposisi (Propositional
Lebih terperinciBAB V HIMPUNAN Pendahuluan
BAB V HIMPUNAN 5.1. Pendahuluan Bab ini memuat materi tentang pengertian himpunan, operasi irisan, gabungan, komplemen, selisih dan simetri, dan aljabar himpunan yang meliputi sifat dan rumus-rumus. Selain
Lebih terperinciSOAL DAN JAWABAN TENTANG NILAI MUTLAK. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.
SOAL DAN JAWABAN TENTANG NILAI MUTLAK Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini. Jawaban: Bentuk-Bentuk persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut.
Lebih terperinciSistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus
Modul 1 Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Drs. Sukirman, M.Pd. D alam Modul Pertama ini, kita akan membahas tentang Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis
Lebih terperinciLogika Matematika. Logika Matematika. Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah. September 26, 2012
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah September 26, 2012 Cara menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu dengan membagi beberapa bagian (kolom). Nilai kebenarannya
Lebih terperinciKATA PENGANTAR. Assalamu alaikum Wr. Wb.
KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Matematika tidak dapat terlepas dalam kehidupan manusia sehari-hari, baik saat mempelajari matematika itu sendiri maupun mata kuliah lainnya. Mata kuliah Pengantar
Lebih terperinciPERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL. Sumber: Dok. Penerbit
4 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL Sumber: Dok. Penerbit Pernahkah kalian berbelanja alat-alat tulis? Kamu berencana membeli 10 buah bolpoin, sedangkan adikmu membeli 6 buah bolpoin dengan
Lebih terperinciSumber: Dok. Penerbit
4 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL Sumber: Dok. Penerbit Pernahkah kalian berbelanja alat-alat tulis? Kamu berencana membeli 10 buah bolpoin, sedangkan adikmu membeli 6 buah bolpoin dengan
Lebih terperinciPENALARAN MATEMATIKA BIOMETRIKA I
PENALARAN MATEMATIKA BIOMETRIKA I HISTORI Gagasan pemakaian lambang-lambang dalam proses deduksi dirintis oleh Gottfried Liebniz, matematikawan Jerman pada abad XVII Dilanjutkan olej George Boole dan Agustus
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. d. 6 + a > -4 e. 7 adalah faktor dari 63. c. 4 x 6 2. Tentukan variabel dan himpunan penyelesaian dari: a.
LOGIKA MATEMATIKA A. Definisi 1). Pernyataan Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Air laut rasanya asin, adalah bilangan prima, urabaya
Lebih terperinciMateri 1: Teori Himpunan
Materi 1: Teori Himpunan I Nyoman Kusuma Wardana STMIK STIKOM Bali Himpunan (set) kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Terdapat beberapa cara
Lebih terperinciNAMA LAMBANG KATA PERNYATAAN LOGIKANYA PENGHUBUNG
LOGIKA MATEMATIKA A. PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar dan salah). 1. Gadis itu cantik. 2. Bersihkan lantai itu. 3. Pernyataan/kalimat
Lebih terperinciSUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2017 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB IX LOGIKA MATEMATIKA
SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2017 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB IX LOGIKA MATEMATIKA Dr. Djadir, M.Pd. Dr. Ilham Minggi, M.Si Ja faruddin,s.pd.,m.pd. Ahmad Zaki, S.Si.,M.Si Sahlan Sidjara,
Lebih terperinciBAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
Lebih terperinciSilabus. Tugas individu, tugas kelompok, kuis.
Silabus Nama Sekolah : SMK Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / TEKNOLOGI, KESEHATAN, DAN PERTANIAN Semester : GANJIL Sandar Kompetensi: 1. Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi
Lebih terperinci4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4.1 Persamaan Garis a. Bentuk umum persamaan garis Garis lurus yang biasa disebut garis merupakan kurva yang paling sederhana dari semua kurva. Misalnya titik A(2,1)
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait
Lebih terperinciSistem Bilangan Riil
Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga
Lebih terperinciLOGIKA INFORMATIKA PROPOSITION LOGIC. Materi-2. Heri Sismoro, M.Kom. STMIK AMIKOM Yogyakarta
Materi-2 PROPOSITION LOGIC LOGIKA INFORMATIKA Heri Sismoro, M.Kom. STMIK AMIKOM Yogyakarta STMIK AMIKOM YOGYAKARTA Jl. Ringroad Utara Condong Catur Yogyakarta. Telp. 0274 884201 Fax 0274-884208 Website:
Lebih terperinciRepresentasi Pengetahuan : LOGIKA
Representasi Pengetahuan : LOGIKA Representasi Pengetahuan : LOGIKA 1/16 Outline Logika dan Set Jaringan Logika Proposisi Logika Predikat Order Pertama Quantifier Universal Quantifier Existensial Quantifier
Lebih terperinci