BAB V HIMPUNAN Pendahuluan

Transkripsi

1 BAB V HIMPUNAN 5.1. Pendahuluan Bab ini memuat materi tentang pengertian himpunan, operasi irisan, gabungan, komplemen, selisih dan simetri, dan aljabar himpunan yang meliputi sifat dan rumus-rumus. Selain itu dalam bab ini juga dibahas tentang pasangan berurutan, hasil ganda kartesius, himpunan kuasa, dan keluarga himpunan. Selain konsep, contoh, dan sifat, materi juga dilengkapi dengan latihan untuk kerja mandiri para mahasiswa sebagai penunjang kompentensi. Pada Minggu ke-8 bahasan dimulai dari definisi himpunan, elemen himpuna, kesamaan dua himpunan, dan himpunan kosong. Bahasan pada Minggu ke- 9 meliputi pengertian subhimpunan, himpunan komplemen, dan sifat-sifat yang menyertainya. Selanjutnya, hubungan antara dua himpunan diwujudkan dalam bentuk operasi himpunan mulai dari irisan himpunan, gabungan, dan simetri. Khusus untuk dua minggu berikutnya materi pebahasan difokuskan pada beberapa jenis himpunan khusus, di antaranya himpunan hasil ganda Kartesius dan himpunan indeks untuk Minggu ke-10 dan himpunan kuasa beserta sifat-sifatnya pada Minggu ke-11. Teori himpunan merupakan salah satu dasar penguasaan bidang matematika. Topik-topik dalam mata kuliah matematika selanjutnya tidak akan bisa dipisahkan dengan struktur himpunan, sehingga bagi para mahasiswa bab ini akan sangat bermanfaat sebagai fondasi penguasaan matematika baik di bidang aljabar, analisis, dan terapan. Setelah mempelajari topik bahasan pada pertemuan Minggu ke-8, 9, 10, dan 11 ini diharapkan diperoleh learning Outcomes: 1. Mahasiswa mampu menjelaskan definisi himpunan, kesamaan dua himpunan dan himpunan kosong

2 2. Mahasiswa mampu menjelaskan definisi, subhimpunan, dan himpunan komplemen. 3. Mahasiswa mampu membuktikan sifat-sifat sederhana himpunan 4. Mahasiswa mampu menjelaskan operasi himpunan 5. Mahasiswa mampu mengaplikasikan sifat-sifat operasi himpunan pada bidang matematika 6. Mahasiswa mampu menjelaskan definisi himpunan hasil ganda Kartesius 7. Mahasiswa mampu mengaplikasikan sifat-sifat himpunan hasil ganda Kartesius 8. Mahasiswa mampu menjelaskan definisi himpunan indeks Kartesius 9. Mahasiswa mampu mengaplikasikan himpunan indeks beserta sifat-sifatnya 10. Mahasiswa mampu menjelaskan definisi himpunan himpunan kuasa beserta contohnya 11. Mahasiswa mampu menerapkan himpunan indeks beserta sifat-sifatnya dalam bidang matematika Himpunan Dan Subhimpunan Pengertian himpunan dan menjadi anggota suatu himpunan merupakan hal yang mendasar dalam matematika. Orang tidak mungkin mengadakan diskusi matematika dengan tidak menyangkut dua konsep di atas. Walaupun kedua pengertian tadi dapat diselidiki secara matematik aksiomatis, namun pada modul ini dianggap, bahwa pengertian-pengertian ini secara intuitif dapat ditangkap. Secara intuitif kita mengerti apa yang dimaksud dengan himpunan semua bilangan alam, himpunan raja-raja yang masih hidup, himpunan semua mahasiswa UGM dan lainlain. Jika kita minta suatu anak kecil yang belum bisa berhitung untuk mengumpulkan bunga bunga merah di antara bunga bunga yang beraneka warna dan ia mampu mengerjakan maka dengan demikian ia memperlihatkan menangkap pengertian syarat keanggotaan.

3 Definisi Himpunan adalah unsur-unsur dalam semesta pembicaraan S yang memenuhi kondisi tertentu. Kondisi atau pernyataan tertentu tersebut disebut syarat keanggotaan himpunan. Simbol yang digunakan untuk menyatakan suatu himpunan biasanya digunakan huruf besar seperti A, B, K,,,,,, dan sebagainya. Untuk menyatakan himpunan secara lengkap dengan unsur-unsur yang memenuhi dapat dilakukan dengan cara: 1. Deskriptif: ontohnya: 1.1. H himpunan semua mahasiswa UGM 1.2. N himpunan semua bilangan asli 1.3. A himpunan huruf latin vokal 2. Mendaftar: ontohnya: 2.1. N = 1,2,3, 2.2. A a, e, i, o, u 2.3. Amir, Adi,Irma, Yanti, Burhan, Yuni 2.4. mobil, becak, sepeda,pesawat,kapal,dokar 3. Syarat keanggotaan: ontohnya: 3.1. A = { x x huruf latin vokal } 3.2. { a a mahasiswa UGM } 3.3. { R R alat transportasi } 3.4. { x x bilangan real, x 2 + 2x 1 > 10 } Jika elemen a menjadi anggota suatu himpunan H, maka fakta ini disajikan dengan notasi a H. Sedangkan ingkarannya yaitu a bukan anggota H disajikan dengan a H. Banyak elemen atau anggota suatu himpunan bisa berhingga atau tak hingga. Jika banyaknya anggota suatu himpunan itu berhingga maka himpunan tersebut dapat disajikan dengan membuat daftar nama-nama anggota-anggotanya, sedangkan jika

4 banyak anggotanya tak hingga, maka cara menyajikan himpunan itu dengan menuliskan syarat keanggotaannya. Jika dari semesta pembicaraan akan dikumpulkan objek-objek yang memiliki sifat P, maka himpunan itu disajikan dengan : x P dan dibaca : himpunan semua x sedemikian hingga x mempunyai sifat P. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dinotasikan dengan atau { }, contohnya: 1. Himpunan orang Indonesia yang pernah ke bulan. 2. Himpunan semua bilangan asli yang nilai kuadratnya sama dengan 2. Definisi Dua himpunan H dan K disebut sama atau berhimpit jika dan hanya jika setiap anggota dari H menjadi anggota dari K dan sebaliknya. Jika ditulis x dengan notasi matematik : H K x). x H x K ontoh Jika A a, b, c, d, B c, d, a, b (., maka A=B Selanjutnya, karena anggota suatu himpunan ditentukan juga oleh syarat keanggotaan, maka penentuan kesamaan dua himpunan dapat juga dilakukan dengan menyelidiki ekuivalensi antara syarat keanggotaan keduanya. Sebagai contoh: 2 H x x 2x 3 0 dan K x x 1 x 3 2 Karena x 2x 3 0 jika dan hanya jika x 1 x 3, maka H K. Definisi Di dalam semesta pembicaraan S, himpunan semua unsur yang bukan anggota himpunan A x P x ditulis dengan Dengan kata lain komplemen A. A x P A x x x A.. Untuk selanjutnya himpunan A disebut

5 ontoh Dengan masing-masing semesta pembicaraan S: 1. Jika S himpunan semua huruf latin dan A himpunan semua huruf vokal, maka A b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z 2. Jika 2n n 1, 2, S dan A adalah himpunan semua elemen yang habis dibagi 3, maka B 2n 3 tidak habis membagi n Hubungan antara himpunan kosong, semesta pembicaraan, dan konsep komplemen himpunan dinyatakan dalam sifat berikut ini. Teorema Jika S semesta pembicaraan, maka: 1. S dan S. 2. A A. Selain kesamaan himpunan, hubungan antara dua himpunan dapat berbentuk salah satu himpunan, misalkan H menjadi bagian dari yang lain, misalkan K. Hal ini ditunjukkan dengan kondisi anggota-anggota himpunan H sekaligus menjadi anggota himpunan K. Definisi Himpunan H dikatakan menjadi himpunan bagian (subhimpunan) K dengan notasi H K jika dan hanya jika setiap anggota H menjadi anggota K. Jika ditulis dengan notasi matematika: H K ( x).. x H x K S H K ontoh Berikut contoh-contoh subhimpunan:

6 1. Jika 1,2,3, B 1,3,5,,dan 1,2,3, A, maka A, B, dan A A, tetapi A bukan subhimpunan B dan B bukan subhimpunan A 2. Jika X menyatakan himpunan semua makhluk hidup, Y : himpunan semua hewan bertulang belakang, Z : himpunan semua unggas, dan U : himpunan semua merpati, maka berlaku U Z Y X. Selanjutnya, jika A B tetapi A B, maka A disebut subhimpunan sejati (himpunan bagian sejati) dari B dan ditulis dengan A B. Sebagai contoh: 1. Jika 1,2,3, B 1,3,5,,dan 1,2,3, dan A, maka A, B, A A, A B, dan B. 2. Jika X menyatakan himpunan semua makhluk hidup, Y : himpunan semua hewan bertulang belakang, Z : himpunan semua unggas, dan U : himpunan semua merpati, maka U Z Y X. Teorema Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Bukti: Ambil himpunan sembarang H dan andaikan bukan himpunan bagian dari H, hal ini berarti ada x sedemikian hingga x H, kalimat terakhir ini pasti salah karena tidak mempunya anggota. Sehingga pengandaian harus diingkar dan adalah himpunan bagian dari H. Karena H sembarang maka terbukti merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Bukti ini dapat juga dilihat dengan menggunakan implikasi material sebagai berikut : Untuk membuktikan H maka harus dibuktikan benarnya pernyataan

7 x xh dan karena anteseden selalu salah maka pernyataan tersebut selalu benar. Teorema Diketahui S semesta pembicaraan, U, V, dan W himpunan. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: 1. U U, U S. 2. U V V W U W 3. U V V U U V 4. U V V U Bukti. Hanya akan dibuktikan untuk sifat 4. Diketahui U V. Ambil sebarang x V. Jika x U, maka x V. Akibatnya terjadi kontradiksi, sehingga x U. Teorema Diketahui S semesta pembicaraan. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: 1. U U, 2. U V V W U W 3. U V V U 4. U V Bukti. Sebagai latihan. V U 5.3. Operasi Himpunan Pada pengertian subhimpunan, hubungan dua himpunan ditunjukkan oleh fakta, bahwa semua elemen dari salah satu himpunan sekaligus merupakan elemen dari himpunan ke dua. Konsep tersebut tidak berlaku umum pada sebarang dua himpunan H dan K. Bahkan di bidang matematika dan kehidupan sehari-hari sering dijumpai tidak semua elemen H merupakan elemen K, demikian juga sebaliknya. Untuk itu pembicaraan perlu juga difokuskan pada semua elemen yang menjadi anggota bersama antara H dan K dalam bentuk operasi himpunan, di antaranya irisan himpunan, gabungan himpunan, dan selisih dua himpunan.

8 Definisi Irisan dari dua himpunan H dan K dengan notasi HK adalah himpunan yang anggota-anggotanya menjadi anggota H sekaligus menjadi anggota K, Notasi matematisnya : HK = x x H dan x K. S H K H K Apabila H, K ; sedangkan HK =, maka H dan K disebut saling asing. ontoh Berikut ini diberikan beberapa contoh irisan himpunan. 1. Jika H = 2,4 dan K = 2,3,5, maka HK = 2, 2. Irisan himpunan A = 4k k = 1, 2,... dan B = {..., -4, -2, 0, 3, 6,... } adalah A B = 12, 24, 36, Jika X himpunan semua huruf vokal dan Y himpunan semua huruf penyusun kata MERUSUAR, maka X Y A, E, U. Definisi Gabungan himpunan H dan K dengan notasi HK adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas elemen yang sekurang-kurangnya menjadi anggota dari salah satu himpunan H atau K. Notasi matematisnya: HK = x xh atau x K. S H K Keterangan H K : Seluruh daerah arsiran

9 ontoh Berikut ini diberikan beberapa contoh gabungan himpunan. 1. Jika H = 2,4 dan K = 2,3,5, maka H K = 2, 3, 4, 5, 2. Gabungan himpunan A = 4k k = 1, 2,... dan B = {.., -4, -2, 0, 3, 6,...} adalah A B =..., -4, -2, 0, 3, 4, 6, 8, 9, 12, Jika X himpunan semua huruf konsonan setelah P dan Y himpunan semua huruf penyusun kata MERUSUAR, maka X Y A,, E, M, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z. Definisi Selisih dari dua himpunan H dan K dengan notasi H K, adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota-anggota H yang bukan anggota K. Notasi matematisnya: H K = x xh dan x K. S H Keterangan: K H K : Daerah berwarna jingga H K Berikut diberikan beberapa contoh untuk memperjelas definisi-definisi di atas. ontoh Menggunakan ontoh : 1. Selisih antara H dan K adalah H K = 4, 2. Selisih A = 4k k = 1, 2,... dan B = {.., -4, -2, 0, 3, 6,...} adalah B A =..., -4, -2, 0, 3, 6, 9, 15, 18, 21, 27, 30, Jika X himpunan semua huruf konsonan setelah P dan Y himpunan semua huruf penyusun kata MERUSUAR, maka { T, V, W, X, Y, Z }.

10 Definisi Simetri dari dua himpunan H dan K dengan notasi H K, adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas elemen-elemen H K atau elemenelemen K H. Notasi matematisnya: H K = x x H K atau x K H. S H K H K K H ontoh Berdasarkan ontoh : 1. Karena H K = 4 dan K H = { 5 }, maka H K = { 4, 5 } 2. A B =.., -4, -2, 0, 3, 4, 6, 8, 9, 15, 16, 18, 20, 21, 27, 28, 30,...} 3. Himpunan X Y A, E,, M, U, T, V, W, X, Y, Z Aljabar Himpunan Rumus rumus berikut berlaku untuk setiap himpunan X, Y dan Z. Teorema Berikut ini berturut-turut disebut sifat idempoten, komutatif, assosiatif dan distributif. 1. X X = X 2. X Y = Y X dan X Y = Y X 3. (X Y) Z = X (Y Z) dan (XY)Z = X(YZ) 4. X(YZ) = (XY)(XZ) dan X(Y Z) = (XY)(XZ). Bukti. Akan dibuktikan sifat distributif X(Y Z) = (XY)(XZ). Hal ini berarti harus ditunjukkan bahwa X(Y Z) (XY)(XZ) dan X(Y Z) (XY)(XZ).

11 (i). Ambil sembarang a X(Y Z), berarti a X atau ayz. Jika a X maka axy dan axz, sehingga a(xy)(xz) dan jika a YZ, maka a Y dan a Z, jadi a XY dan a XZ, sehingga a(xy)(xz). Maka terbukti X(Y Z) (XY)(XZ). (ii).ambil sembarang a (XY) (XZ), berarti a (XY) dan a (XZ). Jika a X, maka a X(Y Z). Jika a X, berarti a Y dan a Z. Jadi a YZ, sehingga a X(Y Z. Dengan demikian terbukti X(Y Z) (XY)(XZ). Bukti sifat yang lain sebagai latihan. Teorema X XY dan Y XY 2. XY X dan XY Y 3. X Z dan Y Z jika dan hanya jika XY Z 4. Z X dan Z Y jika dan hanya jika Z XY Bukti. Langsung dari definisi. Teorema X Y jika dan hanya jika XY = Y jika dan hanya jika XY = X. Teorema (XY) c = X c Y c dan (XY) c = X c Y c Rumus ini disebut rumus de Morgan. Bukti. Apabila a (XY) c maka tidak benarlah bahwa a sekaligus dalam X dan Y. Jadi pasti tidak dalam X atau tidak dalam Y( atau tidak dalam kedua-duanya). Yaitu a X atau a Y, dengan kata lain a X c atau a Y c, sehingga a X c Y c. Maka terbukti, jika a (XY) c, maka a X c Y c. Dengan cara yang sama akan didapat sebaliknya, sehingga terbukti teorema di atas. Teorema X = dan SX = X

12 2. X = X dan SX = S 3. XX c = dan XX c = S Bukti. Langsung dari definisi. Teorema Sifat ini disebut absorpsi: X(XY) = X(XY) = X Teorema X Y = XY c. 2. X Y = (X Y c ) (Y X ) 3. W (X Y ) = (W X ) (W Y ) Bukti: Dijadikan latihan bagi mahasiswa, termasuk sifat-sifat lain 5.5. Hasil Ganda Kartesius, Himpunan Kuasa, Keluarga Himpunan Suatu pasangan berurutan atau order pair (a, b) adalah pasangan yang terdiri atas dua komponen a dan b dengan urutan diperhatikan. Konsep ini dikenal dengan hasil ganda Kartesius. Konsep ini banyak dijumpai di kehidupan sehari-hari, di antaranya proses memadu padankan antara beberapa sepatu, beberapa celana, kemeja, dan asesoris pada saat seseorang berdandan, atau pemangku susunan kepengurusan di organisasi OSIS yang terdiri atas Ketua, Wakil Ketua, Sekretaris, Bendahara, dari sejumlah siswa yang terbagi dalam kelas-kelas di seluruh sekolahan. Definisi Dua pasangan berurutan (a 1, b 1 ) dan (a 2, b 2 ) dikatakan sama jika dan hanya jika a 1 = b 1 dan a 2 = b 2, sehingga secara umum (a, b) (b, a). Definisi Hasil ganda Kartesius H K dari dua himpunan H dan K adalah himpunan semua pasangan berurutan (h, k) dengan h diambil dari H dan k dari K. Secara matematis dinyatakan dengan H K = (h, k) h H & k K

13 Jika salah satu faktornya merupakan himpunan kosong maka dapat dibuktikan H K =, sebab andaikan H1 K, maka dapat ditemukan a, b H K. Dengan kata lain terdapat a H dan b K, tetapi H atau K, sehingga tidak mungkin terjadi. Jadi : K dan H = Dalam pergandaan di atas faktor-faktornya boleh sama, yaitu H = K. Karena pada umumnya (a, c) (c, a) maka pada umumnya H K tidak sama dengan K H, hal ini dapat dilihat dengan contoh berikut. ontoh Jika H = a, b dan K = 1, 2, maka H K=(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2) dan K H = (1, a), (2, a), (1, b), (2, b). Jika H = K, maka H K juga diberi notasi dengan H 2. Salah satu contoh yang dikenal baik dan banyak digunakan adalah himpunan titik-titik pada bidang datar yaitu R 2 dengan R 2 = R R = { (x, y) x, y R }. Y x (x, y) y O X ontoh Seseorang melempar secara bersamaan sebuah dadu bersisi 6 beraturan dengan jumlah mata masing-masing sisi 1, 2, 3, 4, 5, 6 M dan sekeping koin dengan sisi N G, A, yaitu G gambar dan A angka. Semua kemungkinan sisi yang muncul adalah M N 1, G, 1, A, 2, G, 2, A, 3, G, 3, A, 4, G4, A, 5, G, 5, A, 6, G, 6, A

14 Hasil ganda kartesius tidak terbatas pada dua himpunan. Hasil ganda kartesius dari himpunan-himpunan H 1, H 2,, H n dinotasikan dengan n i 1 i n H H H H h,, h H 1 2 1, h2,, h n h1 H1 n n adalah himpunan semua n-tupel (h 1, h 2,, h n ) dengan h H dengan urutan i i diperhatikan. Jika H i H untuk i 1, 2,, n, maka himpunan n H H H H h h,, h h, h,, h H i 1 diberi notasi dengan i n H. 1, 2 n 1 2 ontoh Berikut diberikan hasil ganda Kartesius sebanyak n himpunan: 1., 1,1 0,1 x, y, 0, x, y,1 0 0 x, 1 y 1 2. R n = R R R = { (x 1, x 2,, x n ) x i R, i = 1, 2,, n }. Salah satu penggunaan hasil ganda Kartesius adalah penentuan posisi pesawat. Letak suatu pesawat di udara dapat ditentukan dengan paling sedikit 5 komponen, yaitu : x derajat Lintang Utara atau Lintang Selatan, y derajat Bujur Timur, z feet (ketinggian dari permukaan laut), t jam, menit, detik (waktu), v mil/jam (kecepatan), dengan x, y, z, t, v0,. 5 n Teorema Sifat-sifat berikut berlaku: 1. Secara umum A B B A 2. A B dan D E A D B E A B dan D E A D B E

15 3. A = = A 4. A (B ) = (A B) (A ) dan (B ) A = (B A) ( A) 5. A (B ) = (A B) (A ) dan (B ) A = (B A) ( A) Bukti: Diberikan dalam perkuliahan dan menjadi latihan mandiri Selanjutnya, jika S dan T menyatakan dua buah semesta pembicaraan dengan A S dan B T, maka dapat didefinisikan Sebagai contoh diambil S = B = c, d, e, maka A B S T A B. 1, 2, 3, 4 dan T = a, b, c, d, e. Jika A = 2 1, dan S T 1, a, 1, b, 1, c, 1, d, 1, e, 2, a, 2, b, 2, c, 2, d, 2, e,, a, 3, b, 3, c, 3, d, 3, e, 4, a, 4, b, 4, c, 4, d, 4, e 3, sehingga A B 1, a, 1, b, 2, a, 2, b, 3, a, 3, b, 3, c, 3, d, 3, e, 4, a, 4, b, 4, c, 4, d, 4, e. Meskipun demikian jika semesta pembicaraan dari yang dimaksud A B S A B 0. A B adalah S 0 maka Definisi Himpunan Kuasa (power set) dari himpunan H dengan notasi P(H) adalah himpunan semua himpunan-himpunan bagian dari H. Misalkan H = a, b, c maka dengan memperhatikan bahwa dan a, b, c sendiri merupakan himpunan bagian dari H: P(H) =, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Teorema Jika A B, maka P(A) P(B). 2. P() = { }

16 Definisi Keluarga Himpunan atau koleksi himpunan atau keluarga himpunan( family of sets) adalah suatu himpunan dengan anggota-anggotanya juga himpunan. Dengan demikian himpunan kuasa merupakan contoh keluarga himpunan. ontoh Berikut adalah contoh keluarga himpunan: 1. N = { [ n, n +1] n bilangan asli }, yaitu himpunan semua interval tutup dari n sampai dengan n 2. K = { { 1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4 },... } Pada keluarga himpunan atau himpunan sering kali dibutuhkan simbol untuk memberikan nama untuk elemen-elemen himpunan atau keluarga himpunan. ontohnya N = { [ n, n +1] n bilangan asli }. Elemen [n, n + 1] di N dapat dinamai dengan A n = [n, n + 1]. Himpunan semua n sebagai pengenal A n disebut himpunan indeks keluarga N dan n dinamakan indeks A n. ontoh Berikut adalah contoh keluarga himpunan: 1. K = { { 1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4 },... }. Elemen-elemen K dapat diberi nama atau indeks: A i = {1, 2,, i }, untuk i = 1, 2, Jadi himpunan indeks K adalah N = {1, 2,, }, 2. Diketahui X = {a 1, a 2,, a 10 }. Himpunan indeks X adalah {1, 2,, 10} 3. Ideks k pada deret g b ij n k i i1 4. Pada matriks m n adalah i 1, 2,, n B, entry matriks bij menunjukkan indeks baris ke-i dan indeks kolom ke-j. 5. Keluarga x, x 1, 0. diberi indeks ij yang H 1 0 x. Himpunan indeks H adalah

17 5.6.Soal Latihan: 1.Buktikan : X Y c jika dan hanya jika XY = 2.Buktikan : XY = S jika dan hanya jika X c Y. 3.Buktikan bahwa X (X -Y) = XY. 4.Buktikan bahwa jika Z Y X maka (X - Y)(Y - Z) = X - Z. 5. Sederhanakan : (XY)(ZX)(X c Y c ) c. 6. Buktikan bahwa apabila H dan K merupakan himpunan-himpunan sedemikian hingga H H = K K, maka H = K. 7. Buktikan ( HK) M = (H M)(K M). 8. Perlihatkan dengan mengambil contoh penyangkal bahwa pada umumnya : (H K)M (HM) (KM).

18 Kunci Jawaban Hanya akan diberikan beberapa soal: 1. Soal Latihan XY = S jika dan hanya jika X c Y. Ambil sebarang sehingga x Y. x X. Karena X S, maka x Y atau x X, 2. Soal no. 8: diambil H K M 1. Diperoleh H K M 1,1,1 1, 1 H M K M Komentar Dan Pengayaan 1. Materi teori himpunan sebenarnya sudah dikenal baik oleh para mahasiswa, secara berjenjang mulai dari SD, SMP, dan SMA, baik secara teoritis konseptual, maupun penggunaannya dalam topik-topik bahasan matematika lainnya. Topik ini relatif mudah, sehingga kompetensi dikatakan cukup jika dapat mengerjakan 80% soal secara mandiri. 2. Penguasaan konsep baru bisa dikatakan baik jika mampu memberikan contoh-contoh dengan tingkat kompleksitas tinggi 3. Untuk melengkapi pengetahuan, mahasiswa dapat mengakses situs-situs terkait Teori Himpunan dan Logika, salah satunya