SOAL DAN SOLUSI PENYISIHAN KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011

Transkripsi

1 SOAL DAN SOLUSI PENYISIHAN KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 011 (90 menit) 1. Misalkan 1995 a. ( x) x Maka nilai dari... x b. c. d. e ( x) 9 9 x x 3 (1 x) 9 1 x 9 ( x) 1 x 1 x x Jawaban : A. 5 ekor kambing memakan rumput seluas 5 kali ukuran lapangan bola dalam 5 hari. Maka hari yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali lapangan bola adalah... a. b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 5 ekor ~ 5 lapangan bola dalam 5 hari 1 ekor ~ 1 lapangan bola dalam 5 hari Jadi, 3 ekor kambing dapat menghabiskan rumput seluas 3 kali lapangan bola dalam 5 hari. Jawaban : D

2 3. Pada kubus ABCD.EFGH, P adalah titik tengah FG dan Q adalah titik tengah EH. Jika Ѳ adalah sudut antara bidang ABGH dan bidang ABPQ, maka tan Ѳ adalah... a. b. c. d. e. Q P F Ѳ Misalkan AB, maka BP dan BG Aturan kosinus (PG) (PB) + (BG).PB.BG. cosѳ cos Ѳ cos Ѳ Cos Ѳ 1 Jadi, tan Ѳ Jawaban : C Ѳ Jika x, maka nilai ( x x 53 x 57 x 54) adalah... a. -10 b.10 c.0 d.-1 e.1

3 111 1 x x x ( Kuadratkan kedua ruas) ( x 1) x 4 x x 4 x x x (1) 3 5 Kalikan (1) dengan x. x 4 x 3 55x 0 () Kalikan (1) dengan x x 3 x 55x 0 (3) Kalikan (1) dengan 1.. x x 55 0 (4) Jumlahkan ()(3)(4), maka diperoleh: x x 53x 57 x ( x x 53 x 57 x 54) ( x x 53x 57 x 55 1) (0 1) ( 1) Jawaban : E Tentukan jumlah semua angka hasil penjabaran : a. 148 b. 84 c. 74 d. 69 e. 79 prinsip: ( a b ) ( a b)( a b) ( )( ) Maka, jumlah semua angkanya adalah (5x14)+(4x1) 74 Jawaban : C

4 6. Segitiga ABC siku-siku di C. Garis bagi dalam sudut BAC dan ABC memotong sisi BC dan CA berturut-turut di titik P dan Q. Titik M dan N masing-masing terletak pada sisi AB sehingga PM dan QN tegak lurus AB. Tentukan besar MCN. a b.30 0 c.45 0 d.60 0 e.75 0 Dibuat CL dengan L terletak pada AB sehingga CL tegak lurus AB. Segitiga-segitiga ΔACB, ΔANQ, ΔALC, ΔCLB dan ΔPMB semuanya sebangun. Misalkan MCL x Karena PM sejajar CL maka MCL PMC x Pada ΔAPC dan APM, ketiga sudut segitiga tersebut sama serta AP merupakan hipotenusa kedua segitiga sehingga ΔAPM dan ΔAPC kongruen (sama dan sebangun). PC PM Karena PC PM maka ΔCPM sama kaki. PCM PMC MCL x Misalkan NCL y Karena QN sejajar CL maka NCL QNC y Pada ΔBQC dan BQN, ketiga sudut segitiga tersebut sama serta BQ merupakan hipotenusa kedua segitiga sehingga ΔBQN dan ΔBQC kongruen (sama dan sebangun). QC QN Karena QC QN maka ΔCQN sama kaki. QCN QNC NCL y MCN MCL + NCL MCN ½ ( BCL + ACL) MCN ½ ACB MCN 45 o Jawaban : C

5 7. B -1 adalah invers matriks B. Jika B ( ) dan AB -1 ( ). Determinan matriks A adalah. a. 1 b. 8 c. 7 d.3 e. 64 B ( ) ( ()) -9 AB ( ) ( ) -3 AB -1 A B -1 AB -1 A. maka A AB -1. B Jawaban : C (-3) x (-9) 7 8. Tentukan nilai minimum dari dengan tiap tiap 0 artinya + atau kali. a. 36 b. 40 c. 44 d. 45 e x Maka nilai minimum yang didapat 44 Jawaban : C 9. Suatu segitiga sisi-sisinya 4, 6,. Luas segitiga itu adalah.. a. b. c. d. e. S (a+b+c) (4+6+4 ) 5 + L Jawaban : B

6 10. Jika diketahui (x)x+1 dan g((x))x +3x+1, berapakah g(3)? a. 71 b. 19 c. 11 d. 5 e. 0 g((x)) x +3x+1 g(x+1) x +3x+1 g(3) Jawaban : D 11. ( 1- ) ( 1- ) ( 1- ) ( 1- ) a. b. c. d. e.... Jawaban : C 1. Jika S 1! +! + 3! !, maka angka satuan dari S adalah a. 9 b. 8 c. 5 d. 3 e. 0 1! 1!. 1 3! ! ! Maka angka satuan dari S adalah Jawaban : D 13. a. 1 b. c. 3 d. 4 e. 5 Jawaban : A Jika 3 log4 a dan 3 log5 b, maka 8 log0 a. b. c. d. e. 8 log0 ( 3 log0) / ( 3 log8) ( 3 log4 + 3 log5) / ( 3 log + 3 log4) Jawaban : E

7 15. Uang Pecahan 1000-an sebanyak 500 lembar dibagi ke lima orang sebanyak a 1, a, a 3, a 4, a 5, dimana a 1 > a > a 3 > a 4 > a 5. (a a 1 )(a 3 a )(a 4 a 3 )(a 5 a 4 )(a 5 a 1 ) adalah prima. Sisa uangnya ditabung. Ternyata, sisa uangnya yang ditabung juga prima. Berapakah banyak uangnya yang ditabung? a. Rp ,00 c.rp ,00 e.rp ,00 b.rp ,00 d. Rp ,00 Misal : a 1 X Maka a X - 1 a 3 4X 3 a 4 8X 7 a 5 16X 15 karena a 5 a 1 prima (diketahui) Maka 3X 30 X prima 31X 30 prima X ; 3; 5; 6; 10; 15; 30 X terkecil 7 Tapi 31X x 17 X selanjutnya prima Namun sisanya 189 bukan prima X selanjutnya prima Sisanya 17 prima Jadi, yang ditabung : Rp ,00 Jawaban : A 16. Berdasarkan deret bilangan berikut, tentukan urutan selanjutnya! 3, 1, 1, 9, 31, 73, a. 11 c.141 e.161 b. 131 d.151

8 (-1) 3 (0) (-) (-1) n 3 + (n 1) Jawaban : C 17. Jika lim ax + b X 1/ 3 X 4 X 4 4 Nilai a + b sama dengan a. 3 c. 1 e. -1 b. d. 0 (1). ax + b - X 1/ bernilai 0 untuk X 4. Jadi : 4a + b 0 b 4a (). lim ax + b X 1/ 3 X 4 X 4 4 lim ax- 4a + X 1/ 3 X 4 X 4 4 lim a(x 4) (X 1/ ) 3 X 4 X 4 (X 1/ ) (X 1/ + ) 4 a ¼ + ¾ maka a 1 b Jadi, a + b 1 + (-) -1 Jawaban : E

9 18. Hitunglah nilai x jika : X a. 14 atau 4 c. 0 atau 14 e. 0 atau 34 b. 0 atau 4 d. 14 atau ( ) + 4(3x + 4) 4 (3x - 4) + 4 ( 3x + 4 ) 4 (6x) 4 x X X 4 x Jadi x 4 atau x 0 Jawaban B 19. Nilai cos.5 0 sin.5 0 cot sama dengan.. a. + 1 b. - 1 c. 0 d. 1 e. -1 Jawaban E

10 cos.5 0 sin.5 0 cot sin.5 0 cos sin sin cos.5 0 cos sin.5 0 sin sin ( ) - sin Sin sin Matriks B adalah invers matriks A, matriks D adalah invers matriks C dan A. B. C D, maka yang merupakan matriks identitas adalah a. A b. B c. C d. D e. A. C B A -1 maka AB I D C -1 maka CD I ABCD I. Karena ABC D, maka (ABC) D I D I Jawaban : D 1. Datar distribusi rekuensi di bawah ini menunjukkan hasil tes matematika pada 30 siswa. Yang berhasil adalah siswa yang memperoleh nilai kebih dari 5,5 maka banyaknya siswa yang berhasil.. Nilai Frekuensi a. 0 orang b. 1 orang c. 3 orang d. 4 orang e. 5 orang

11 Langkah 1 : X k 5,5 terletak pada kelas Dengan demikian : T b 51 0,5 50,5 ; s (X k ) 10 ; dan C (60 51) Langkah : X k T b + k - s. C (X k ) 5,5 50,5 + k ,5 50,5 + k 5 maka k 7 Kesimpulan : Yang mendapat nilai < 5,5 sebanyak 7 orang (tidak lulus). Berarti yang lulus sebanyak (30 7) 3 orang. Jawaban : C. Misalkan m dan n bilangan bulat positi yang memenuhi Berapakah m + n? a. 100 b. 00 c. 300 d. 400 e. 500 Didapat m, n 14 jadi m + n Jawaban : B

12 3.. a. 0 b. 1 c. d. x e. x Jawaban : B 4. Jika a 0, dan b 0, ,maka nilai dari ( a log b) adalah a. b. c. 1 d. e. 3 a 0, b 0, a log b ½ Jawaban : B

13 5. Persegi panjang ABCD, AB 4 dan BC 6. Persegi panjang tersebut dilipat sepanjang diagonal BD. Titik P pada AD di mana AD dan lipatan BC berpotongan (lihat gambar di bawah), maka tentukan luas ΔBPD!! A P D a. b. c. d. e. B C β tan -1 ( ) 56,31 o A P γ θ D β γ α α tan -1 ( ) 33,69 o θ β α 56,31 o - 33,69 o,6 o B θ β α C γ 180 o 90 o θ 180 o 90 o,6 o 67,38 o Menggunakan Aturan Sin : P γ θ D Maka, luas ΔBPD luas ΔBAD luas ΔBAP X 1, Maka luas ΔBPD luas ΔBAD luas ΔBAP Jawaban : B

14 Tentukan penyelesaian dari persamaan diatas: a. x, y1 b. x-, y1 c. x, y-1 d.x-1, y- e. x1, y mis : a b 5a 4b 3 4a + b 1 a, b x-3y+5 1 3x+y-1 1 x, y -1 Jawaban : C x dan y mempunyai pangkat yang sama pada suku ke - a. 9 b. 10 c. 11 d. 1 e Andaikan x dan y mempunyai pangkat yang sama pada suku ke k + 1, maka : 1 - k k

15 Pangkat x Pangkat y 63 7k Maka, k 9 Jadi, k Jawaban : B 8. Sisa jika dibagi 41 adalah. b. 31 b. 3 c. 1 d. d x mod (41) (3 4 ) 497 x 3 mod (41) ( x 41 1) 497 x 9 mod (41) (-1) 497 x 9 mod (41) -9 mod (41) (41 9) mod (41) 3 mod (41) Jadi, sisa jika dibagi 41 adalah 3. Jawaban : B 9. Sebuah bola tennis dijatuhkan dari ketinggian 7,5 m dan memantul kembali dengan ketinggian 4 / 5 kali tinggi semula.pemantulan terjadi terus-menerus sampai bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola yang terjadi adalah. a. 45 m b. 47,5 m c. 67,5 m d. 75 m e. 55 m

16 S 7, / / 5 + 7, , ,5 m 1 4 / 5 Jawaban : C 30. Suatu bilangan X terdiri dari dua angka. Jika bilangan itu ditambah dengan 45, didapat bilangan yang terdiri dari dua angka itu juga dalam urutan terbalik. Jika diantara angka puluhan dan satuan disisipkan angka 0 maka diperoleh bilangan yang nilainya 7 / 3 kali nilai bilangan X. Bilangan X itu adalah. a. 16 b. 7 c. 38 d. 75 e. 55 Misalkan bilangan itu ab, maka : ab + 45 ba a0b 7 / 3 x ab 10a + b b + a 100a + b 3 / 3 (10a + b) a b a + 3b 30a + 3b 70a 0b 7a b 7 (b-5) b 7b 35 b, maka b 7 a jadi bilangan X itu adalah 7 Jawaban : B

17 31. Pada dasar sebuah tong terdapat 3 buah kran. Dari keadaan penuh, dengan membuka keran pertama dan kedua saja, tong itu dapat dikosongkan dalam waktu 70 menit ; jika yang dibuka keran pertama dan keran ketiga saja, tong itu kosong dalam waktu 84 menit ; jika yang dibuka keran kedua dan ketiga saja, tong itu kosong dalam waktu 140 menit. Jika ketiga keran dibuka secara bersamaan, tong dapat dikosongkan dalam waktu.menit a. 45 b. 50 c. 55 d. 60 e. 65 v 1 + v x / 70 v 1 + v 3 x / 84 v + v 3 x / (v 1 + v +v 3 ) x / 70 + x / 84 + x / 140 (v 1 + v +v 3 ) 6x / x / x / 40 14x / 40 x / 30 v 1 + v +v 3 x / 60 jadi jika ketiga keran itu dibuka bersama, maka tong dapat dikosongkan dalam waktu 60 menit. Jawaban : D 3. Suatu garis dengan kedua titik ujungnya pada ellips disebut tali busur ellips. Salah satu tali busur ellips 5x + 4y 100 mempunyai titik tengah (1,-4). Persamaan tali busur tersebut adalah. a. 3x - y b. 5x - 4y c. 8x - 5y d. 5x - 4y e. 5x - 16y

18 5x + 4y x + 8y y y 0 maka m y 5 / 16 Persamaan tali busur : y y 1 m (x x 1 ) y / 16 (x - 1) 16y x 5 5x 16y Jawaban : E 33. Diketahui segitiga ABC dengan sin A : sin B : sin C 7 : 8 : 9, maka tentukanlah nilai dari cos A : cos B : cos C!! a. 7:8:9 b. 9:8:7 c. 14:11:6 d. 6:11:14 e. 18:16:14 Karena, maka sin A : sin B : sin C a : b : c a7, b8, c9 cos A 14 cos B 11 cos C 6 cos A : cos B : cos C 14 : 11 : 6 Jawaban : C

19 34. Jika tan 15 o p. Nilai dari a. b. c. d. e. Jawaban : E 35. Nilai (sin. sin. sin. sin ) sama dengan.. a. b. c. d. e., maka sin. sin. sin. sin sin. sin. sin.. sin..

20 Jawaban : B 36. Ingkaran dari Ada peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 011 yang tidak suka belajar Matematika adalah a. Ada peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 011 yang suka belajar Matematika b. Semua peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 011 suka belajar Matematika c. Semua peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 011 tidak suka belajar Matematika d. Beberapa peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 011 suka belajar Matematika e. Beberapa peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 011 tidak suka belajar Matematika Ingkaran dari ada semua Ingkaran dari tidak suka suka Jadi, Ingkaran dari Ada peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 011 yang tidak suka belajar Matematika adalah : Semua peserta lomba Kompetisi Matematika UNTAR 011 suka belajar Matematika Jawaban : B

21 37. Batasan nilai h agar titik R (h, -1) yang terletak di luar lingkaran x + y 4x + y 4 0 adalah. -1 < h < 5 g. -5 < h < 1 h. h < -5 atau h>1 i. h < -1 atau h > 5 j. h < -1 atau h < 5 Persamaan Lingkaran x + y - 4x + y 4 0 Titik R (h, -1) terletak di luar lingkaran h + (-1) 4(h) + (-1) 4 > 0 h + 1 4h 4 > 0 h 4h 5 > 0 (h 5)(h + 1) > h < -1 atau h > 5 Jadi, batasan nilai h adalah h < -1 atau h > 5 Jawaban : D

22 38. Berapakah koordinat titik pada garis penghubung A(, 0, 6) dan B(, 4, 6) di dalam dengan perbandingan 3 : 1? a. (, 6, 3) b. (6,, 3) c. (3, 6, ) d. (, 3, 6) e. (3,, 6) Misalkan titik tersebut adalah C, maka AC : CB 3 : 1 Koordinat titik C adalah C Jadi, koordinat titik C (, 3, 6) Jawaban : D 39. Jika y cos x maka dy/dx. a. - sin x b. sin x c. d. e. sin x y cos x maka y cos x y y cos x. (-sin x) y Jawaban : D

23 40. x dan y bilangan nyata, x > 1999 dan y > 000. Jika ½ (x + y ), maka nilai x + y. a b c d e ½ (x + y ) (x + y ) Misalkan x 1999 a dan y 000 b Maka.1999a +.000b a b a a b -.000b (a ) + (b ) 0, haruslah : a 1999 dan b 000 x maka x 1999 y maka y 000 jadi, x + y Jawaban : A