BAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan
|
|
- Leony Pranoto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional Khusus 1) Mahasiswa dapat menyebutkan pengertian himpunan 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan 4) Mahasiswa dapat membuktikan rumus-rumus aljabar himpunan 5) Mahasiswa dapat menentukan hasil pergandaan dua himpunan 6) Mahasiswa dapat menentukan himpunan kuasa dari suatu himpunan 3.4 Aplikasi Himpunan dan Diagram Venn Pengetahuan kita tentang himpunan dan diagram venn sangat berguna khususnya dalam menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan obyek-obyek dari himpunan-himpunan yang bersekutu. Perhatikan diagram venn di bawah ini :
2 Misalkan dari diagram venn diatas n(a) = a, n(b) = b, dan n(a B) = x. Sehingga n(a B) = a x + x + b x = a + b x = n(a) + n(b) n(a B) Perhatikan diagram venn berikut Misalkan n(a) = a, n(b) = b, n(c) = c dan n(a B) = x, n( B C ) = y, n( A C) =z serta n( A B C) = p Perhatikan bahwa daerah (A B C) adalah daerah I, II, III, IV, V, VI, dan VII. Maka banyaknya obyek di daerah (A B C) = n (A B C) = [ a- x (z p)] + [ b y (x p)] + [ c z (y p)] + x - p + p + y - p + z - p = (a x z + p) + ( b y x + p) + ( c z y + p) + x + y + z 2p
3 = a x z + p + b y x + p + c z y + p + x + y + z 2p = a + b + c x y z + p Sehingga didapat : n (A B C) = n(a) + n(b) + n(c) n(a B) n( B C) n(a C) + n(a B C) Contoh : Dari 80 orang mahasiswa, pada semester ganjil 46 orang mahasiswa mengambil mata kuliah geometri, 53 orang mahasiswa mengambil mata kuliah kalkulus, 38 orang mahasiswa mengambil mata kuliah geometri dan kalkulus. a) Berapa orang mahasiswa yang mengambil mata kuliah geometri saja? b) Berapa orang mahasiswa yang mengambil mata kuliah kalkulus saja? c) Berapa orang mahasiswa yang mengambil mata kuliah geometri atau kalkulus? d) Berapa orang mahasiswa yang tidak mengambil kedua mata kuliah tersebut? Penyelesaian : Misal : Mahasiswa yang mengambil mata kuliah geometri (G) Mahasiswa yang mengambil mata kuliah kalkulus (K) Diketahui : n(g) = 46, n(k) = 53, n( G K ). Ditanya : a) n(g K) b) n(k G) a) n(g K) b) n(g K) c Jawab : a) n(g K) = = 8
4 Jadi mahasiswa yang mengambil mata kuliah geometri saja adalah 8 orang b) n(k G) = = 15 Jadi mahasiswa yang mengambil mata kuliah kalkulus saja adalah 15 orang. c) n(g K) = n(g) + n(k) n(g K ) = = 61 Jadi mahasiswa yang mengambil mata kuliah geometri atau kalkulus adalah 61 orang d) n(g K) c = = 19 Jadi mahasiswa yang tidak mengambil kedua mata kuliah tersebut adalah 19 orang. Rangkuman 1. Himpunan adalah kumpulan obyek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. 2. Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan, yaitu : a) Metode Rooster, yaitu dengan cara menuliskan anggota-anggota himpunan dalam kurung korawal. b) Metode Roole, yaitu dengan menyatakan sifat-sifat yang dipenuhi anggotaanggota himpunan tersebut. c) Metode Notasi Notasi Pembentuk Himpunan. d) Metode Diagram Venn 3. Himpunan kosong dadalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota, dinotasikan dengan atau { } 4. Himpunan semesta pembicaraan adalah himpunan yang mempunyai anggota semua obyek yang sedang dibicarakan.
5 5. Suatu himpunan dikatakan berhingga (finit) jika himpunan itu beranggotakan elemen-elemen berbeda yang banyaknya tertentu (berhingga). Sedangkan himpunan tak berhingga (infinit) adalah himpunan yang tidak finit. 6. Suatu himpunan disebut himpunan bagian (subset) dari suatu himpunan lain jika setiap anggota himpunan itu juga merupakan anggota himpunan lain tersebut, dinotasikan. Contoh A B. 7. Dua buah himpunan dikatakan sama jika dan hanya jika kedua himpunan itu merupakan subset satu dan lainnya, dinotasikan =. Contoh A = B. 8. Dua himpunan dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada anggota himpunan yang satu yang buka menjadi anggota himpunan yang lain. 9. Dua himpunan dikatakan saling lepas jika dan hanya jika kedua himpunan itu tidak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama, dinotasikan. Contoh A B. 10. Banyaknya anggota yang berbeda di dalam suatu himpunan disebut bilangan kardinal himpunan itu. Contoh : bilangan kardinal A = n(a). 11. Dua himpunan dikatakan ekivalen jika dan hanya jika banyak kedua himpunan itu sama. Contoh A B. 12. Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota A tau B atau kedua-duanya, dinotasikan : A B. 13. Irisan dari himpunan A dan Himpunan B adalah himpunan dari anggota persekutuan himpunan A dan himpunan B, dinotasikan : A B. 14. Komplemen dari suatu himpunan A adalah himpunan anggota-anggota di dalam semesta pembicaraan yang bukan anggota A, dinotasikan : A c.
6 15. Selisih dua himpunan A dan B sama dengan irisan himpunan A dan himpunan B c atau ditulis : A B = A B c. 16. Selisih simetri dua himpunan A dan B adalah himpunan anggota-anggota A atau B tetapi bukan anggota persekutuan dari himpunan A dan himpunan B, atau ditulis : H K = df ( H K ) - ( H K ) Latihan Soal-Soal 1) Ditentukan A = { a, i, r }. Benar atau salahkah pernyataan dibawah ini? Jika ada pernyataan yang salah, jelaskan (a) a A (b) r A (c) {i} A (d) {r} A 2) Tulislah dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan (a) P = Himpunan bilangan kuadrat (b) K = { a, b, c, d } (c) T beranggotakan negara-negara Asia Tenggara 3) Tuliskan semesta pembicaraan yang mungkin dari himpunan di bawah ini (a) K = {..., -1, 0, 1,... } (b) M adalah himpunan bilangan asli (c) N = Himpunan bilangan asli 4) Buatlah masing-masing tiga contoh untuk himpunan kosong dan himpunan finit 5) Jika P = ( 3, a, 6, d }, berapa banyaknya himpunan bagian dari P? serta tuliskan semua himpunan bagian tersebut. 6) Buktikan bahwa : (a) Jika M adalah himpunan bagian dari, maka M =
7 (b) Jika A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { bilangan cacah ganjil } maka A bukan subset B. (c) Jika A B dan B C maka A B C (d) Jika K L, L M dan M K maka K = M 7) Diantara himpunan-himpunan dibawah ini, pasangan yang manakah yang merupakan himpunan yang sama dan yang manakah merupakan himpunan yang ekuivalen? (a) A = { bilangan pada permukaan jam biasa } dan B = { bilangan pada aritmatika jam duabelasan } (b) P = { x / x 2 6x = -8 } dan Q = { x / (x 2) 2 = 0 } (c) K = { x / x 2 = 4, x bilangan positif } dan L = { bilangan prima yang genap } (d) B = { bilangan bulat } dan D = { y / y = 2k + 1, untuk k bilangan bulat} (e) M = { 4,5 } dan N = { y / y 9y + 20 = 0 } 8) Diketahui P dan Q adalah bukan himpunan kosong. Jika P dan Q himpunan yang saling lepas, maka P dan Q himpunan yang tidak dapat dibandingkan. 9) Buktikan bahwa : (a) A ( A B ) = A (b) A ( A B ) = A 10) Buktikan bahwa A = {2, 3, 4, 5 } bukan subset dari B = { x / x N, dan bilangan ganjil }. 11) Diketahui : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } dan A = { 1, 2, 3, 4, 5 } C = { 5, 6, 7, 8, 9 } E = { 2, 4, 6, 8 } B = { 4, 5, 6, 7 } D = { 1, 3, 5, 7, 9 } F = { 1, 5, 9 } Tentukan :
8 a) A B dan D F b) E E dan E E c) D c dan E c d) D E dan F D e) ( A D) B f) (B F) (C E) 12) Tunjukkan bahwa A B = A C tanpa B = C 13) Arsirlah himpunan : (a) A B c dan (b) (B A ) c dengan menggunakan diagram venn. 14) Diketahui : A adalah himpunan mahasiswa yang senang bermain sepak bola, dan B adalah himpunan mahasiswa yang senang bermain basket. Dan juga diketahui n(s) = 60, n(a B) = 30, n(b A) = 25 dan n(a B) = 5. Tentukanlah : a) Berapa banyaknya mahasiswa yang senang bermain sepak bola b) Berapa banyaknya mahasiswa yang senang bermain basket c) Berapa banyaknya mahasiswa yang tidak senang kedua permainan diatas. 15) Buktikan bahwa : (a) A B = ( A B ) ( A B ) (b) B A c = B A (c) Jika A B = maka A B c
9 16) Dalam pesta olahraga kampus, diadakan survey terhadap 150 mahasiswa atas jenis olahraga yang dimainkannya. 57 orang bermain tenis, 69 orang bermain catur, 74 orang bermain volley. 30 orang bermain tenis dan catur, 35 orang bermain catur dan volley, 25 orang bermain tenis dan volley, serta 20 orang mahasiswa bermain ketiga permainan tersebut. a) Berapa orang mahasiswa yang hanya bermain volley? b) Berapa orang mahasiswa yang tidak bermain volley? c) Berapa orang bermain paling sedikit satu diantara ketiga olahraga tersebut? d) Berapa orang mahasiswa bermain catur atau volley? e) Berapa orang mahasiswa tidak memainkan ketiga jenis olahraga diatas? 3.5 Aljabar Himpunan Uraian-uraian diatas memperlihatkan bahwa himpunan-himpunan dapat dikomposisikan satu dengan yang lainnya. Selain komposisi-komposisi yang menyangkut dua himpunan, seperti gabungan ( union ), irisan ( interseksi ), selisih dan selisih simetri,( yang disebut operasi biner ), ada juga operasi yang hanya mengenai satu himpunan saja, yaitu komplementasi. Dalam uraian berikut akan dibicarakan rumusrumus pokok aljabar himpunan, dimana adanya kesamaan tapi ada juga perbedaan dengan hukum-hukum operasi-operasi pada ilmu hitung. Untuk mempermudah tipografi maka dalam uraian-uraian di bawah ini, himpunan-himpunan kita sajikan dengan huruf-huruf terakhir dari abjad seperti x, y,z dan seterusnya. Sedangkan anggota-anggota himpunan ditulis dengan huruf-huruf permulaan dari abjad seperti a, b, c, dan seterusnya. Rumus-rumus dibawah ini berlaku untuk setiap himpunan x, y, z.
10 Rumus x x ( sifat refleksif ) x y y x jhj x = y ( Sifat antisimetris ) x y & y z x z ( sifat transitif ) Bukti : sifat transitif Pembuktian diturunkan langsung dari definisi himpunan bagian. Ambil a x sehingga : x y berarti ( a ), a x a y y z berarti ( a ), a y a z sehingga dari definisi diatas didapat a, a x a z. maka terbukti x z. Rumus x x = x dan x x = x ( sifat idempoten ) x y = y x dan x y = y x ( Sifat komutatif ) (x y) z = x (y z) dan (x y) z = x (y z) ( sifat assosiatif ) x (y z) = (x y) (x z) dan x (y z) = (x y) (x z) ( sifat distributif ) Semua rumus diatas dapat dibuktikan langsung dari definisi-definisi dengan menggunakan arti dati kata-kata dan, atau seperti tertuang dalam tabel-tabel nilai logika. Perhatikan bahwa ada dua hukum distributif, yaitu dari irisan terhadap gabungan dan dari gabungan terhadap irisan. Sebagai contoh akan dibuktikan hukum distributif dari union terhadap interseksi.
11 Bukti : Untuk membuktikan bahwa x (y z) = (x y) (x z) maka akan diperlihatkan bahwa setiap anggota di ruas kiri menjadi anggota dari ruas kanan dan sebaliknya. Bukti : Apabila a x (y z) berarti a x atau a (y z) jika a x maka a x y dan dalam x z maka a (x y) (x z). Jika a x maka a (y z), ini berarti a y dan a z, sehingga a (x y) dan a (x z). Maka a (x y) (x z) Jadi terbukti bahwa a x (y z) a (x y) (x z). Sebaliknya, misalkan a (x y) (x z). Jika a x maka a x (y z), jika a x maka pastilah a y dan a z. Ini berarti a (y z), sehingga juga a x (y z). Jadi terbukti bahwa a (x y) (x z) a x (y z). Kesimpulannya : x (y z) = (x y) (x z). Rumus : x (x y) dan y (x y) (x y) x dan (x y) y x z & y z jhj x y z z x & z y jhj z x y Rumus-rumus diatas dapat dibuktikan langsung dari definisi. Gunakan diagram-diagram Venn untuk mengingat rumus-rumus diatas.
12 Bukti : Kita buktikan rumus : (x y) x dan (x y) y (x y) x ini berarti :( a) a (x y) a x dimana a (x y) berarti : a x dan a y. Sehingga ( a) a x dan a y a x ( a) a (x y) a x Jadi (x y) x Digambarkan dengan diagram venn sebagai berikut : Rumus-rumus yang lainnya dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Rumus x y jhj x y = y jhj x y = x jhj x y = Bukti : Terlebih dahulu kita buktikan : x y x y = y. x y berarti ( a) a x a y maka a x y berarti juga y x y x y = y berarti (x y) y dan y (x y) a x y berarti a x v a y untuk ( a) a x y maka a y, ini berarti x y y. Dari y x y dan x y y sehingga didapat : x y = y. Jadi terbukti : x y x y = y...(1) Sekarang kita buktikan : x y = y x y. Bukti :
13 x y = y x y y dan y x y. ( a) a x y berarti a x atau a y misalkan a x maka pastilah a y a x maka a y Dari pernyataan diatas didapat : x y Sehingga : x y = y x y...(2) Jadi dari (1) dan (2) terbukti bahwa x y jhj x y = y. Dengan cara yang sama dapat dibuktikan kelanjutan dari rumus tersebut. Rumus ( x y) c = x c y c ( x y) c = x c y c Rumus-rumus diatas disebut rumus-rumus De Morgen. Perhatikan konstruksi dari rumus-rumus tersebut, dimana dimana tanda komplementasi masuk ke dalam yang dikurung, sedangkan tanda irisan berubah menjadi gabungan dan sebaliknya. Akan dibuktikan rumus De Morgan yang kedua yaitu ( x y) c = x c y c Untuk pembuktiannya akan dibuktikan : ( x y) c x c y c dan x c y c ( x y) c Bukti : ( x y) c x c y c ( a) a (x y ) c berarti a x y Dari a x y a x dan a y. Sekarang dari a x a x c dan
14 a y a y c Sehingga dari pernyataan diatas didapat : a x c y c. ( a) a (x y ) c a x c y c ini berarti (x y ) c x c y c. Sekarang kita buktikan : x c y c (x y) c. ( a) a x c y c a x c dan a y c. a x c dan a y c identik dengan a x atau a y berarti a x y. a x y identik dengan a (x y ) c Jadi ( a) a x c y c a (x y ) c berarti x c y c (x y) c. Sehingga terbukti : x c y c (x y) c. Rumus yang pertama dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Rumus : (x c ) c = x c = S ( S = semesta pembicaraan ) S c = Bukti : (x c ) c = x akan dibuktikan (x c ) c x dan x (x c ) c. ( a) a (x c ) c a x c a x, Jadi (x c ) c x. ( a) a x a x c a (x c ) c. Jadi x (x c ) c.
15 Sehingga terbukti : (x c ) c = x. Bukti : c = S artinya terdiri dari semua elemen yang tidak dalam himpunan kosong. Jadi komplemen dari himpunan kosong adalah sama dengan S. Sehingga syarat keanggotaan dari c dipenuhi oleh semua elemen S yang dibicarakan. Bukti : S c = artinya himpunan semua dari elemen S yang tidak dibicarakan. S = himpunan semua elemen S yang dibicarakan. Jadi komplemen dari S adalah himpunan kosong. Rumus : x S x = dan S x = x x = x dan S x = S x x c = dan x x c = S Kita buktikan rumus yang terakhir yaitu x x c = Bukti : ( a) a x x c, ini berarti a sekaligus berada dalam x dan tidak dalam x. Hal ini tidak dapat dipenuhi oleh anggota manapun dari semestanya, sehingga x x c =. Rumus- rumus yang lain silahkan pembaca buktikan sendiri. Rumus : x ( x y ) = x ( x y ) = x ( hukum absorpsi )
16 Bukti : Karena x x y ( dalam rumus terdahulu ) maka x ( x y ) = x. Demikian juga, karena x y x maka x ( x y ) = x. Rumus : x - y = x y c Bukti : x - y = { a / a x dan a y } = { a / a x dan a y } = x y c. Rumus : x y = (x y c ) (y x c ) x y = y x (x y) z = x (y z) x (y z) = (x y) (x z) Bukti rumus yang pertama : x y = ( x y) - ( x y) = (x y) (x y) c = (x y) (x c y) = x (x c y c ).. y ( x c y c ) = x x c.. x y c.. y x c.. y y c =.. x y c.. y x c.. = (x y c ) (y x c ) Jadi terbukti bahwa : x y = (x y c ) (y x c )
17 Rumus-rumus yan lain disa dibuktikan dengan cara yang sama. Contoh - contoh soal : 1) Buktikan x y jhj y c x c. Bukti : Kita harus membuktikan x y y c x c dan y c x c x y. Bukti : x y y c x c x y berarti ( a) a x a y. kontraposisinya menjadi a y a x. Dari a y identik dengan a y c, demikian juga untuk a x identik dengan a x c Sehingga didapat a y c a x c, ini berarti y c x c Jadi terbukti : x y y c x c...(1) Sekarang kita buktikan : y c x c x y y c x c berarti a y c a x c. Kontraposisinya menjadi : a x a y, ini identik dengan a x a y. Sehingga didapat x y. Jadi terbukti : y c x c x y...(2) Dari (1) dan (2) disimpulkan x y jhj y c x c. 2) Buktikan bahwa : x ( y x ) = x y Bukti : x ( y x ) = x ( y x) c = x ( y c x c )
18 = (x y c ) (x x c ) = (x y c ) = x y c = x y 3) Sederhanakanlah : x (x c y).. y ( y z).. y Jawab : x (x c y).. y ( y x).. y = (x x c ) (x y).. (y y) (y x).. y = (x y).. y (y x).. y = (x y) y.. y = y (x y).. y = y Rangkuman Rumus-rumus pokok aljabar himpunan adalah 1) x x ( sifat refleksif ) 2) x y y x jhj x = y ( Sifat antisimetris ) 3) x y & y z x z ( sifat transitif ) 4) x x = x dan x x = x ( sifat idempoten ) 5) x y = y x dan x y = y x ( Sifat komutatif ) 6) (x y) z = x (y z) dan (x y) z = x (y z ( sifat assosiatif ) 7) x (y z) = (x y) (x z) dan x (y z) = (x y) (x z) ( sifat distributif ) 8) x (x y) dan y (x y)
19 (x y) x dan (x y) y x z & y z jhj x y z z x & z y jhj z x y 9) Rumus-rumus De Morgen ( x y) c = x c y c ( x y) c = x c y c 10) Rumus-rumus komplemen (x c ) c = x c = S ( S = semesta pembicaraan ) S c = 11) Rumus-rumus Identitas x S x = dan S x = x x = x dan S x = S x x c = dan x x c = S 12) x ( x y ) = x ( x y ) = x ( hukum absorpsi ) 13) x - y = x y c 14) x y = (x y c ) (y x c ) x y = y x (x y) z = x (y z) x (y z) = (x y) (x z) Latihan Soal-Soal 1) Buktikan x - (x - y) = x y
20 2) Buktikan (x - y) c = y x c 3) Buktikan (x - y) (y - x) = (x y) - (x y). 4) Buktikan x = jhj ( x y c ) (x c y) = y. 5) Buktikan ( x y) (x y) = x dan ( x y) ( x y) = x. 6) Sederhanakanlah (x y) ( x c y) ( x c y c ) menjadi y x. 7) Sederhanakanlah y (x c y z) u ( u v c ). 8) Apabila x y = x y c maka x =. Buktikan 9) Apabila x y z dan u v maka buktikan bahwa ( x y z ) ( u v ) =. 10) Sederhanakanlah (x y ) z.. x z y. 3.6 Pergandaan Himpunan Pasangan Terurut Pada suatu himpunan bersahaja ( plain set ) Urutan tidak diperhatikan. Umpamanya { a, b } = { b, a }. Perhatikan bahwa suatu anggota timbul satu kali saja sebagai anggota suatu himpunan, yaitu kartu keanggotaan diberikan satu kali saja. Maka ditulis { a, b } dan tidak { a, a, b }. Sebaliknya pada pasangan terurut., maka urutan diperhatikan dan anggotanya boleh diulang. Pasangan-pasangan terurut memang timbul didalam matematika. Ingat saja geometri analitik bidang datar dimana ada titik-titik dengan koordinat ( 2, 2 ), ( 5, 5 ) da n sebagainya. Demikian juga dapat didefinisikan n-tupel terurut atau ganda n- terurut. Umpamanya ( a 1, a 2,..., a n ) dimana urutan diperhatikan. Perhatikan bahwa untuk membedakan dengan himpunan bersahaja maka notasi dengan kurung kurawal
21 diganti dengan kurung lengkung. Kesamaaan dua n-tupel terurut didefinisikan di bawah ini. Definisi : (a 1, a 2,..., a n ) = ( b 1, b 2,..., b n ) jhj a i = b i untuk setiap I = 1, 2,..., n. Pada khususnya ( a 1, a 2 ) = ( b 1, b 2 ) jhj a 1 = b 1 dan a 2 = b 2 Suatu hal yang mengejutkan ialah bahwa pengertian pasangan terurut dapat dikembalikan kepada himpunan bersahaja. Definisi ( a, b ) = df { {a}, {a, b} } Pada ruas kiri dari definisi diatas terdapat suatu pasangan terurut, sedangkan pada ruas kanan ada sustu himpunan bersahaja. Definisi ini efektif untuk mengembalikan pengertian pasangan terurut kepada himpunan bersahaja, terlihat dari fakta bahwa kesamaan dalam ruas kanan dari dua himpunan bersahaja, identik dengan kesamaan pasangan terurut menurut definisi diatas. Misalkan (a 1, b 1 ) = ( a 2, b 2 ). Menurut definisi diatas maka a 1 = a 2 dan b 1 = b 2. Maka { a 1 } = { a 2 } dan juga { a 1, b 1 } = { a 2, b 2 }, maka juga { { a 1 } {a 1, b 1 }} = { {a 2 }, { a 2, b 2 }}. Sebaliknya, misalkan { {a 1 }, { a 1, b 1 }} = { {a 2 }, {a 2, b 2 }}. Maka haruslah {a 1 } = { a 2 }, sehingga a 1 = a 2, dan juga { a 1, b 1 } = { a 2,b 2 }. Karena telah terbukti a 1 = a 2 maka b 1 = b 2. Dengan terbuktinya a 1 = a 2 dan b 1 = b 2 maka terbukti pula ( a 1, a 2 ) = ( b 1, b 2 ) Pergandaan cartesius
22 Definisi : Dengan hasil ganda cartesius ( cartesian product ) H x K dari dua himpunan H dan K dimaksud himpunan semua pasangan-pasangan terurut (h, k ) dengan h H dan k K. H x K = df { ( h, k ) / h H & k K } ( h, k ) H x K jhj h H dan k K. Apabila salah satu dari faktor-faktornya sama dengan himpunan kosong ( ) maka H x K didefinisikan sebagai himpunan kosong ( ). Perhatikan bahwa dalam pergandaan cartesius faktor-faktornya diperbolehkan sama. Jadi diperbolehkan H = K. Perhatikan juga bahwa pada umumnya H x K tidak sama dengan K x H. Contoh : Misalkan H = { a, b } dan K = { c, d } maka H x K = { ( a, c ), ( a, d ), ( b, c ), ( b, d ) } sedangkan K x H = { ( c, a ), ( c, b ), ( d, a ), ( d, b ) }. Karena ( a, c ) ( c, a ) maka himpunan H x K tidak sama dengan K x H. Selanjutnya H x H = { ( a, a ), (a, b ), (b, a ), (b, b ). Hasil ganda cartesius tidak terbatas pada dua himpunan saja. Misalkan himpunan-himpunan H 1, H 2,... H n maka dengan H 1 x H 2 x... x H n dimaksud himpunan semua n-tupel ( h 1, h 2,... h n ) dengan h i H untuk I = 1, 2,..., n. Perhatikan juga bahwa pada H 1 x H 2 x... x H n beberapa dan mungkin semua H i, diperbolehkan sama. Untuk menurunkan rumus-rumus dan menyelesaika soal-soal tentang hasil ganda cartesius diperlukan beberapa fakta. Himpunan { x / P(x) & Q(x) } terdiri atas unsur-unsur x yang memenuhi syarat keanggotaan bahwa memiliki sifat P dan sekaligus memiliki sifat Q. Himpunan ini sama
23 dengan irisan himpunan anggota-anggota yang memiliki sifat P saja dengan himpunan anggota-anggota yang memiliki sifat Q saja, yaitu { x / P(x)} { x / Q(x) }. Didapat rumus { x / P(x) & Q(x) } = { x / P(x) Q(x) } Demikian juga { x / P(x) v Q(x) } = { x / P(x) } v { x / O(x) }. Rumus : ( H K ) x M = ( H x M ) ( K x M ) Bukti : ( H K ) x M = { (a, b) / a H K & b M } = { (a, b) / (a H v a K ) & b M } = { (a, b) / (a H & b M) v ( a K & b M } = { (a, b) / a H & b M} {(a,b) /a K& b M } = (H x M) (K x M) Catatan. Pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) x ( K M ). Misalkan H = { h }, K =, M = { m } dengan h m. Maka H x K =, sehingga ( H x K ) M = { m } = {m}. Di lain pihak H M = {h, m } dan K M = {m}. Sekarang ( H M ) x (K M) = {h, m} x {m}= {(h, m), (m, m)}. Maka terlihat (H x K) M ( H M) x ( K M). Contoh-contoh soal 1) Buktikan H - (K M) = ( H - K ) ( H - M ) Bukti
24 H - ( K M ) = { a / a H & a (K M) = { a / a H & ( a K & a M } = { a / a H & a K } & { a/ a H & a M } = ( H - K ) ( H - M ) Sebaliknya (H - K) (H - M) = { a / a H & a K } { a/ a H & a M } = { a / a H & ( a K & a M } = { a / a H & a (K M )} = H - ( K M ). 2) Buktikan ( H 1 H 2 ) x ( K 1 K 2 ) = ( H 1 x K 1 ) ( H 2 x K 2 ) Bukti : ( H 1 H 2 ) x ( K 1 K 2 ) = { (a, b) /a ( H 1 H 2 ) & b ( K 1 K 2 ) } = { (a, b) / a H 1 & a H 2 & b K 1 & b K 2 } = { (a, b) / a H 1 & b K 1 } { (a,b)/a H 2 & b K 2 } = ( H 1 x K 1 ) ( H 2 x K 2 ) Rangkuman 1) Pada pasangan terurut, maka urutan diperhatikan dan anggotanya boleh diulang, sedangkan dalam himpunan bersahaja urutan tidak diperhatikan. 2) Hasil ganda cartesius (cartesian product) dari dua himpunan H dan K dimaksudkan himpunan semua pasangan-pasangan terurut (h, k) dengan h H dan k K, atau dapat dituliskan : H x K = df { ( h, k ) / h H & k K }
25 Latihan Soal- Soal 1) Buktikan bahwa ( H H ) x (K K) = (H 1 x K 1 ) (H 1 x K 2 ) (H 2 x K 1 ) (H 2 x K 2 ) 2) Buktikan ( H - K ) x M = ( H x K) - ( K x M) 3) Buktikan bahwa H x ( K M ) = (H x K) ( H x M) bernilai benar 4) Selidiki apakah (H x K) M = ( H x M) ( K x M) bernilai benar. 5) Selidiki apakah H x (K M) = (H x K) (H x M) bernilai benar. 3.7 Kumpulan Himpunan Himpunan Kuasa Definisi : Dengan himpunan kuasa ( power set ) dari himpunan H, notasi 2 H, dimaksudkan himpunan semua himpunan bagian dari H. Perhatikan bahwa maupun H sendiri merupakan himpunan bagian dari H. Contoh H = { a, b, c } Maka 2 H = {, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} Terema Apabila H terdiri atas n anggota, dengan n suatu bilangan asli, maka banyaknya anggota dari himpunan kuasa 2 H adalah 2 n.
26 Bukti : Himpunan kuasa 2 H terdiri atas yang berikut ini : (1) Himpunan Kosong ( ) banyaknya 1 (2) Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas satu unsur banyaknya C 1 n (3) Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas dua unsur, banyaknya C 2 n Dan seterusnya. Akhirnya, himpunan -himpunan bagian yang terdiri atas n unsur banyaknya C n n. Jadi banyaknya anggota dari 2 H adalah : 1 + C 1 n + C 2 n C n n = (1 + 1) n = 2 n ( langkah terakhir menggunakan beberapa rumus elementer dari teori kombinasi ) Keluarga Himpunan Definisi : Dengan suatu keluarga himpunan ( family of set ) dimaksudkan himpunan yang anggota-anggotanya adalah himpunan-himpunan. Himpunan kuasa suatu himpunan merupakan keluarga himpunan. Untuk menyajikan anggota-anggota suatu keluarga himpunan maka diperlukan nama-nama dari para anggotanya. Biasanya digunakan himpunan indeks I, yang tidak lain adalah himpunan nama -nama. Misalkan : I = { 1, 2, 3 } maka dengan {H i } i I dimaksud { H 1, H 2, H 3 }dimana setiap H i adalah himpunan. Rangkuman 1) Keluarga himpunan adalah himpunan yang obyek-obyeknya merupakan himpunan.
27 2) Himpunan kuasa suatu himpunan A (dinotasikan 2 A ) adalah keluarga himpunan yang beranggotakan semua subset dari himpunan itu. Himpunan kuasa A = 2 n. Latihan Soal-Soal 1) Tentukan himpunan kuasa dari: a) H = { 1, 2, 3, 4 }. b) K = {{1,2}} c) P = { a, {c, d}} d) Q = {1, { 2, 3, 4 }, 5 }. 2) Misalkan A = [ { a, b }, {c}, {d, e, f } ]. a) Tentukan pernyataan berikut benar atau salah : (i) a A, (ii) {c} A, (iii) {d, e, f} A, (iv) {{ a, b }} A, (v) A b) Tentukan himpunan kuasa dari A 3) Misalkan A himpunan berhingga dan n(a) = m, buktikan bahwa himpunan kuasa dari A memiliki 2 m anggota.
BAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan
BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciHimpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan Tahun Ajaran 2013/2014 Obyek-obyek diskret ada di sekitar kita. Matematika Diskret (TKE132107)
Lebih terperinciTEORI HIMPUNAN. A. Penyajian Himpunan
TEORI HIMPUNAN A. Penyajian Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Dalam
Lebih terperinciFERRY FERDIANTO, S.T., M.Pd. PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2011
FERRY FERDIANTO, S.T., M.Pd. PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2011 Operasi Himpunan Operasi Himpunan Operasi Himpunan Operasi Himpunan Operasi Himpunan 4. Beda Setangkup
Lebih terperinciBAB I H I M P U N A N
1 BAB I H I M P U N A N Dalam kehidupan nyata, banyak sekali masalah yang terkait dengan data (objek) yang dikumpulkan berdasarkan kriteria tertentu. Kumpulan data (objek) inilah yang selanjutnya didefinisikan
Lebih terperinciHIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI
Kegiatan Belajar Mengajar 4 HIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI Zainuddin Akina Kegiatan belajar mengajar 4 ini akan membahas tentang himpunan, relasi, dan fungsi.. Kegiatan belajar mengajar 4 ini mencakup 3 pokok
Lebih terperinci1.1 Pengertian Himpunan. 1.2 Macam-macam Himpunan. 1.3 Relasi Antar Himpunan. 1.4 Diagram Himpunan. 1.5 Operasi pada Himpunan. 1.
I. HIMPUNAN 1.1 Pengertian Himpunan 1.2 Macam-macam Himpunan 1.3 Relasi Antar Himpunan 1.4 Diagram Himpunan 1.5 Operasi pada Himpunan 1.6 Aljabar Himpunan Pengertian Himpunan 1. Apa yang dimaksud dengan
Lebih terperinciHIMPUNAN MATEMATIKA. Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma
HIMPUNAN MATEMATIKA Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma Ruang Lingkup Pengertian Himpunan Notasi Himpunan Cara menyatakan Himpunan Macam Himpunan Diagram Venn Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya
Lebih terperinciDefinisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa
Lebih terperinciHimpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. 1 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciDEFINISI. Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
BAB 1 HIMPUNAN 1 DEFINISI Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMTI adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota
Lebih terperinciBAB I HIMPUNAN. Contoh: Himpunan A memiliki 5 anggota, yaitu 2,4,6,8 dan 10. Maka, himpunan A dapat dituliskan: A = {2,4,6,8,10}
BAB I HIMPUNAN 1 1. Definisi Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek yang berbeda. Masing masing objek dalam suatu himpunan disebut elemen atau anggota dari himpunan. Tidak ada spesifikasi
Lebih terperinciHimpunan. Himpunan (set)
BAB 1 HIMPUNAN Himpunan (set) Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek-objek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Anggota Himpunan Objek di dalam himpunan disebut elemen,
Lebih terperinciKode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan. Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit
Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 1 8/29/2014 Cakupan Himpunan Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/2014 1 Himpunan Tujuan Mahasiswa memahami konsep dasar
Lebih terperinciBAB I HIMPUNAN. Matematika Infomatika. Universitas Gunadarma Halaman 1
BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur, anggota, elemen) yang dirumuskan secara jelas dan tegas, sehingga dapat dibeda-bedakan antara satu dengan
Lebih terperinciInduksi Matematika. Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.
Induksi Matematika Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan: Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah
Lebih terperinciHIMPUNAN. Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si
HIMPUNAN Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si 1. Himpunan kosong & semesta 2. Himpunan berhingga & tak berhingga Jenis-jenis himpunan 3. Himpunan bagian (subset) 4. Himpunan saling lepas
Lebih terperinciTeori Himpunan. Author-IKN. MUG2B3/ Logika Matematika 9/8/15
Teori Himpunan Author-IKN 1 Materi Jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Hukum-Hukum Operasi Himpunan Representasi Komputer untuk Himpunan 2 Teori Himpunan Himpunan Sekumpulan elemen unik, terpisah,
Lebih terperinciBAB V HIMPUNAN ( ( dan dibaca : himpunan semua sedemikian hingga mempunyai sifat.
BAB V HIMPUNAN 5.1 Pendahuluan Pengertian himpunan dan menjadi anggota suatu himpunan merupakan hal yang mendasar dalam matematika. Orang tidak mungkin mengadakan diskusi matematika dengan tidak menyangkut
Lebih terperinci1.2 PENULISAN HIMPUNAN
BAB I HIMPUNAN 1.1 PENGERTIAN Definisi : Himpunan adalah kumpulan benda atau hal hal lain yang telah terdefinisi secara jelas. Benda atau hal hal lain tersebut disebut elemen atau unsure atau anggota himpunan.
Lebih terperinciTEORI HIMPUNAN LOGIKA MATEMATIKA
TEORI HIMPUNN SMTS 1101 / 3SKS LOGIK MTEMTIK Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si 87 Dra. Noeryanti, M.Si DFTR ISI Cover pokok bahasan... 87 Daftar isi... 88 Judul Pokok Bahasan... 89 4.1. Pengantar...
Lebih terperinciHimpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Bahan kuliah Matematika Diskrit 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan,
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H
MATEMATIKA EKONOMI 1 Oleh : Muhammad Imron H UNIVERSITAS GUNADARMA 015 Universitas Gunadarma Halaman BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur,
Lebih terperinciDefinisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMTI adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota
Lebih terperinciHimpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. - Himpunan empat bilangan
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS. Himpunan. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen.
MATEMATIKA BISNIS Modul ke: Himpunan Fakultas Ekonomi Bisnis Muhammad Kahfi, MSM Program Studi Manajemen http://www.mercubuana.ac.id Konsep Konsep Himpunan merupakan suatu konsep yang paling mendasar bagi
Lebih terperinciBab1. Himpunan. Gajah Merpati. Burung Nuri Jerapah
Bab1. Himpunan I. Pengantar Himpunan merupakan konsep yang sangat mendasar dalam ilmu matematika. Banyak sekali kegiatan-kegiatan dalam kehidupan sehari-hari berkaitan dengan himpunan. Untuk memahami himpunan
Lebih terperinciHimpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
1 HIMPUNAN DEFINISI Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMK adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa
Lebih terperinci[HIMPUNAN] MODUL MATEMATIKA SMP KELAS VII KURIKULUM 2013 RAJASOAL..COM. istiyanto
2014 MODUL MATEMATIKA SMP KELAS VII RAJASOAL..COM KURIKULUM 2013 istiyanto [HIMPUNAN] Modul ini berisi rangkuman materi mengenai Himpunan untuk siswa SMP kelas VII. Modul ini disusun sesuai dengan kurikulum
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu
BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers
Lebih terperinciMatematika Komputasional. Himpunan. Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB
Matematika Komputasional Himpunan Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah
Lebih terperinciTeori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Teori Himpunan Drs. Sukirman, M.Pd. M PENDAHULUAN odul ini memuat pembahasan teori himpunan dan himpunan bilangan bulat. Teori himpunan memuat notasi himpunan, relasi dan operasi dua himpunan atau
Lebih terperinciBAB V HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang mempunyai definisi yang jelas.
BAB V HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang mempunyai definisi yang jelas. Contoh: 1. A adalah himpunan bilangan genap antara 1 sampai dengan 11. Anggota
Lebih terperinciSumber: Dok. Penerbit
6 HIMPUNAN eringkah kalian berbelanja di swalayan atau di warung dekat rumahmu? Cobalah kalian memerhatikan barang-barang yang dijual. Barang-barang yang dijual biasanya dihimpun sesuai jenisnya. Penghimpunan
Lebih terperinciLANDASAN MATEMATIKA Handout 2
LANDASAN MATEMATIKA Handout 2 (Himpunan bagian, kesamaan dua himpunan, comparable, himpunan kosong, himpunan kuasa, kardinalitas, himpunan hingga dan tak hingga) Tatik Retno Murniasih, S.Si., M.Pd. tretnom@unikama.ac.id
Lebih terperinciHimpunan (set) Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Teori Himpunan 2011 Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. -
Lebih terperinciBAB 2. HIMPUNAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Senin, 17 Oktober 2016
PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER BAB 2. HIMPUNAN ILHAM SAIFUDIN Senin, 17 Oktober 2016 Universitas Muhammadiyah Jember ILHAM SAIFUDIN MI HIMPUNAN 1 DASAR-DASAR
Lebih terperinciHimpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. - Himpunan empat bilangan
Lebih terperinciBAB V HIMPUNAN Pendahuluan
BAB V HIMPUNAN 5.1. Pendahuluan Bab ini memuat materi tentang pengertian himpunan, operasi irisan, gabungan, komplemen, selisih dan simetri, dan aljabar himpunan yang meliputi sifat dan rumus-rumus. Selain
Lebih terperinciDefinisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota
Lebih terperinciKONSEP DASAR MATEMATIKA
BHN JR MTKULIH : KONSEP DSR MTEMTIK Disusun Oleh: stuti Mahardika, M.Pd PROGRM STUDI PENDIDIKN GURU SEKOLH DSR FKULTS KEGURUN DN ILMU PENDIDIKN UNIVERSITS MUHMMDIYH MGELNG 2013 BB I HIMPUNN. Pengertian
Lebih terperinci1 P E N D A H U L U A N
1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat
Lebih terperinciHimpunan. Nur Hasanah, M.Cs
Himpunan Nur Hasanah, M.Cs 1 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B ={2, 4, 6, 8, 10}. C = {kucing, a, Amir,
Lebih terperinciModul 03 HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.
Modul 03 HIMPUNAN I. Cara Menyatakan Himpunan PENGERTIAN Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Contoh: Himpunan siswi kelas III SMU 6 tahun 1999-2000 yang
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS. Pendahuluan: 1. Kontrak Perkuliahan 2. Himpunan. Sitti Rakhman, SP., MM. Modul ke: Fakultas FEB. Program Studi Manajemen
Modul ke: MATEMATIKA BISNIS Pendahuluan: 1. Kontrak Perkuliahan 2. Himpunan Fakultas FEB Sitti Rakhman, SP., MM. Program Studi Manajemen www.mercubuana.ac.id KONTRAK PERKULIAHAN SAP Rincian Besarnya Bobot
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciHimpunan dan Sistem Bilangan Real
Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga
Lebih terperinciBahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1
Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan
Lebih terperinciHimpunan. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa.
Lebih terperinciMatematika Ekonomi, MKK30234 FEBI, IAIN Palopo
Matematika Ekonomi, MKK30234 FEBI, IAIN Palopo 1 2 Definisi 1.1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggotaanggota dari
Lebih terperinciMATEMA TEMA IKA BISNIS BY : NINA SUDIBYO
MTEMTIK BISNIS BY : NIN SUDIBYO BB 1. HIMPUNN Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek yang harus didefinisikan dengan jelas. Obyek-obyek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT MATEMATIKA DISKRIT
MATEMATIKA DISKRIT BAB I HIMPUNAN Huruf-huruf besar A, B, C,... menyatakan himpunan dan huruf-huruf kecil a, b, c,... menyatakan elemen-elemen atau anggota dari himpunan. Notasi himpunan : p Є A A B atau
Lebih terperinciA. Pengertian dan Notasi Himpunan 1. Pengertian Himpunan Istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gugus dalam matematika dikenal sebagai istilah
A. Pengertian dan Notasi Himpunan 1. Pengertian Himpunan Istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gugus dalam matematika dikenal sebagai istilah himpunan. Konsep tentang himpunan pertama kali dikemukakan
Lebih terperinciHIMPUNAN ARUM HANDINI PRIMANDARI, M.SC AYUNDYAH KESUMAWATI, M.SI
HIMPUNAN ARUM HANDINI PRIMANDARI, M.SC AYUNDYAH KESUMAWATI, M.SI Himpunan Jenis-jenis himpunan Operasi Pada Himpunan Cara Menuliskan Himpunan Himpunan kosong & semesta Himpunan berhingga & tak berhingga
Lebih terperinciH I M P U N A N. 1 Matematika Ekonomi Definisi Dasar
H I M P U N A N 1.1. Definisi Dasar Definisi 1.1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu
Lebih terperinciHIMPUNAN. A. Pendahuluan
HIMPUNAN A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (185-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan,
Lebih terperinciMohammad Fal Sadikin
Mohammad Fal Sadikin Purcell, Varberg, Rigdon, Kalkulus, Erlangga, 2004. Dumairy, Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi, Penerbit BPFE Yogyakarta, 1996. Himpunan : kumpulan objek yang didefinisikan
Lebih terperinciDEFINISI. Himpunan (set): Dengan kata lain : Elemen dari himpunan : Kumpulan objek-objek yang berbeda.
HIMPUNN Himpunan (set): DEFINISI Kumpulan objek-objek yang berbeda. Dengan kata lain : Kumpulan dari objek-objek tertentu yang merupakan suatu kesatuan. Elemen dari himpunan : Obyek-obyek itu sendiri.
Lebih terperinciRINGKASAN CATATAN KULIAH PENDAHULUAN TEORI HIMPUNAN
RINGKASAN CATATAN KULIAH PENDAHULUAN TEORI HIMPUNAN Apakah himpunan itu? Tidak ada definisi himpunan, yang ada hanya sinonim-sinonim atau kesamaan kata. 1. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia: himpunan
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA HIMPUNAN. Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom
LOGIKA MATEMATIKA HIMPUNAN Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom Pendahuluan Himpunan adalah materi dasar yang sangat penting dalam matematika dan teknik informatika/ilmu komputer. Hampir setiap materi
Lebih terperinciTeori himpunan. 2. Simbol baku: dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh:
Teori himpunan Teori Himpunan adalah teori mengenai kumpulan objek-objek abstrak. Teori himpunan biasanya dipelajari sebagai salah satu bentuk: Teori himpunan naif, dan Teori himpunan aksiomatik, yang
Lebih terperinciBahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1
Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan
Lebih terperinciTeori Himpunan Ole l h h : H anu n n u g n N. P r P asetyo
Teori Himpunan Oleh : Hanung N. Prasetyo Meski sekilas berbeda, akan kita lihat bahwa logika matematika dan teori himpunan berhubungan sangat erat. Matematika Diskrit Kuliah-2 2 Definisi: himpunan (set)
Lebih terperinciModul ke: Penyajian Himpunan. operasi-operasi dasar himpunan. Sediyanto, ST. MM. 01Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika
Modul ke: 01Fakultas FASILKOM Penyajian Himpunan operasi-operasi dasar himpunan Sediyanto, ST. MM Program Studi Teknik Informatika Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
Lebih terperinciHimpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
HIMPUNAN Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan Enumerasi Simbol-simbol Baku Notasi
Lebih terperinciKata kata Motivasi. Malas belajar hanya akan membuat suatu pelajaran semakin sulit dipelajari.
M e n g e n a l H i m p u n a n 1 Kata kata Motivasi Malas belajar hanya akan membuat suatu pelajaran semakin sulit dipelajari. Tidak ada mata pelajaran yang sulit, kecuali kemalasan akan mempelajari mata
Lebih terperinciMatematika Ekonomi. Bab I Himpunan
Matematika Ekonomi Bab I Himpunan 1.1 Pengantar Pernahkah kalian masuk ke sebuah supermarket? Tentu hampir semua orang pernah ke sana. Hal yang kita lihat adalah susunan barang yang sejenis ditempatkan
Lebih terperinciHimpunan dan Sistem Bilangan
Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Dr. Wahyu Widayat H PENDAHULUAN impunan adalah bagian dari Matematika yang bahannya pernah Anda pelajari. Materi tersebut akan dibahas sehingga Anda menjadi lebih memahami
Lebih terperinciBAB 2 RELASI. 1. Produk Cartesian
BAB 2 RELASI 1. Produk Cartesian Notasi-notasi yang digunakan dari produk cartesian : (a, b) pasangan terurut dari elemen a dan b; (a 1, a 2,, a n ) n-tuple dari elemen-elemen a 1,, a n ; A x B = {(a,
Lebih terperinciBAB 1 PENGANTAR. 1.1 Himpunan
BAB 1 PENGANTAR Bab ini menyajikan tentang materi pengantar untuk mata kuliah struktur Aljabar. Bab ini bertujuan untuk membantu mahasiswa untuk menyiapkan diri dalam menempuh matakuliah Struktur Aljabar.
Lebih terperinciUraian Singkat Himpunan
Uraian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 3, 2014 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi
Lebih terperinciTEORI HIMPUNAN (Kajian tentang Karakteristik, Relasi, Operasi dan Representasi Himpunan)
Outline (Kajian tentang Karakteristik, Relasi, Operasi dan Representasi Himpunan) Drs., M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika FKIP PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline
Lebih terperinciTeori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo
1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012 PENGERTIAN DASAR Denition Himpunan merupakan koleksi objek-objek yang disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.
Lebih terperinciHimpunan dapat dikomposisikan satu sama lain. Komposisi yang menyangkut dua himpunan disebut operasi biner, seperti Gabungan (union),
Lecture 1: ALGEBRA OF SETS Himpunan dapat dikomposisikan satu sama lain. Komposisi yang menyangkut dua himpunan disebut operasi biner, seperti Gabungan (union), A B = {x x A x B} Irisan (intersection),
Lebih terperinciMATEMATIKA 1. Pengantar Teori Himpunan
MATEMATIKA 1 Silabus: Logika, Teori Himpunan, Sistem Bilangan, Grup, Aljabar Linier, Matriks, Fungsi, Barisan dan deret, Beberapa Cara pembuktian Pengertian Himpunan Pengantar Teori Himpunan Himpunan adalah
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional
SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas
Lebih terperinciHIMPUNAN. A. Pendahuluan
HIMPUNAN A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (185-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan,
Lebih terperinciMateri Ke_2 (dua) Himpunan
Materi Ke_2 (dua) Himpunan 12-10-2013 OPERASI HIMPUNAN Gabungan (union), notasi U : Gabungan dari himpunan A dan himpunan B merupakan suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota himpunan A atau
Lebih terperinciBahan kuliah Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Didin Astriani P, M.Stat. Fakultas Ilkmu Komputer Universitas Indo Global Mandiri
Bahan kuliah Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Didin Astriani P, M.Stat Fakultas Ilkmu Komputer Universitas Indo Global Mandiri 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT BAB 2 RELASI
BAB 2 RELASI Kalau kita mempunyai himpunan A ={Edi, Tini, Ali, Diah} dan himpunan B = {Jakarta, Bandung, Surabaya}, kemudian misalnya Edi bertempat tinggal di Bandung, Tini di Surabaya, Ali di Jakarta,
Lebih terperinci1.3 Pembuktian Tautologi dan Kontradiksi. Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi
1.3 Pembuktian 1.3.1 Tautologi dan Kontradiksi Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi yang membentuknya disebut toutologi, sedangkan proposisi yang selalu bernilai salah
Lebih terperinciUrian Singkat Himpunan
Urian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com February 27, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi
Lebih terperinciHIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com
HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com Definisi Set atau Himpunan adalah bentuk dasar matematika yang paling banyak digunakan di teknik informatika Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan adalah Class
Lebih terperinci: SRI ESTI TRISNO SAMI
MATEMATIKA DISKRIT By : SRI ESTI TRISNO SAMI 08125218506 / 082334051324 Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Seymour Lipschutz dan Marc Lars Lipson, Matematika Diskkrit Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill
Lebih terperinciPERTEMUAN 5. Teori Himpunan
PERTEMUAN 5 Teori Himpunan Teori Himpunan Definisi 7: Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdfinisi dengan jelas Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Enumerasi artinya menuliskan semua elemen (anggota)
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciPERKALIAN CARTESIAN DAN RELASI
RELASI Anggota sebuah himpunan dapat dihubungkan dengan anggota himpunan lain atau dengan anggota himpunan yang sama. Hubungan tersebut dinamakan relasi. Contoh Misalkan M = {Ami, Budi, Candra, Dita} dan
Lebih terperinciPengertian Himpunan. a. kumpulan makanan lezat b. kumpulan batu-batu besar c. kumpulan lukisan indah. 1. Kumpulan yang bukan merupakan himpunan
Pengertian Himpunan Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya
Lebih terperinciTUGAS HIMPUNAN DAN FUNGSI OLEH ARNASARI MERDEKAWATI HADI EKA REZEKI AMALIA DIAH RAHMAWATI HANIYAH MATKOM II A
TUGAS HIMPUNAN DAN FUNGSI OLEH ARNASARI MERDEKAWATI HADI 06320003 EKA REZEKI AMALIA 06320004 DIAH RAHMAWATI 06320027 HANIYAH 06320029 MATKOM II A JURUSAN MATEMATIKA DAN KOMPUTASI FAKULTAS KEGURUAN DAN
Lebih terperinciHIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com
HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com Definisi Set atau Himpunan adalah bentuk dasar matematika yang paling banyak digunakan di teknik informatika Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan adalah Class
Lebih terperinciMatematika Terapan. Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 2
Matematika Terapan Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 2 2/24/2016 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Jl. Kolonel Wahid Udin Lk. I Kel. Kayuara, Sekayu 30711 web:www.polsky.ac.id mail: polsky@polsky.ac.id
Lebih terperinciH I M P U N A N. A. Pendahuluan
H I M P U N A N A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (1845-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman. Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang
Lebih terperinciPertemuan 6. Operasi Himpunan
Pertemuan 6 Operasi Himpunan Operasi Terhadap Himpunan 1. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x x A dan x B } Contoh (i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} (ii) Jika
Lebih terperinciPENDAHULUAN. 1. Himpunan
PENDAHULUAN 1. Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu himpunan biasanya
Lebih terperinciGLOSSARIUM. A Akar kuadrat
A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk
Lebih terperinciHIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) EvanRamdan
HIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari benda atau objek yang berbeda dan didefiniskan secara jelas Objek di dalam himpunan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinci