BAB I SET DAN RELASI

Transkripsi

1 BAB I SET DAN RELASI 1.1. SET, ELEMEN (UNSUR) Set adalah suatu konsep yang terdapat dan selalu ada di dalam semua cabang matematika. Secara intuitif, suatu set adalah sesuatu yang didefinisikan dengan tepat atau suatu koleksi dari obyek-obyek dan dinotasikan oleh huruf A, B, X, Y, Obyek-obyek yang terdapat di dalam suatu set disebut elemen-elemen (unsur) atau anggotaangaota dan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil a, b, x, y, Pernyataan p adalah elemen dari A atau p termasuk di dalam A dinotasikan p A. Negasi dari p A ditulis p A dan ini berarti p bukan elemen A atau p tidak termasuk di dalam A Ada dua cara untuk menyatakan suatu set, yaitu: a. Bila mungkin semua anggota ditulis (cara Roster), missal A = {a, i, u, e, o} b. Menyatakan suatu set dengan notasi pembentuk set (cara Rule), misal B = {x: x bilangan bulat} Interval pada garis real yang didefinisikan berikut sering muncul dalam matematika. Berikut ini a dan b bilangan real dengan a < b : Interval buka dari a sampai b = (a, b) = {x: a < x < b} Interval tutup dari a sampai b = [a, b) = {x: a x b} Interval buka-tutup dari a sampai b = (a, b] = {x: a < x b} Interval tutup-buka dari a sampai b = [a, b) = {x: a x < b} Interval buka-tutup dan tutup buka disebut juga interval setengah buka. Dua set A dan B disebut sama, ditulis A = B, bula A dan B mempunyai unsur-unsur sama, A. Negasi dari A = B adalah A B. Suatu set disebut terhingga (finite), bila set tersebut memuat n unsur (elemen) yang berbeda, dimana n sebarang bilangan bulat positif, yang lainnya disebut tak hingga (infinite). Set yang memuat tepat satu anggota disebut set singleton SUBSET & SUPERSET Set A disebut subset dari B atau b adalah superset dari A, ditulis A B atau B A, bila dan hanya bila setiap unsur dari A terdapat di dalam B atau bila x A maka x B. Juga dapat dikatakan bahwa A termuat di dalam B atau B memuat A. Negasi dari A B ditulis A B atau B A dan dinyatakan bahwa: Ada x A sedemikian hingga x B.

2 Apabila N adalah set bilangan bulat positif, Z adalah set semua bilangan bulat, Q adalah set semua bilangan rasional dan R adalah set semua bilangan real maka N Z Q R Diketahui A = {1,3,5,7, }, B = {5,10,15,20, } dan C = {x: xprima, x > 2} Apakah : a. C A (berikan alasannya!) b. B A (berikan alasannya!) Definisi: Dua set A dan B adalah sama bila dan hanya bila A B dan B A. Dalam hal A B tetapi A B, dikatakan bahwa A adalah subset murni dari B atau B memuat A. Teorema I: Bila A, B dan C sebarang set maka: a. A A b. Bila A B dan B A maka A = B c. Bila A B dan B C maka A C 1.3. SET UNIVERSAL DAN SET KOSONG Dalam teori set, semua set dibentuk oleh subset-subset dari suatu set tetap. Set tetap seperti itu disebut set universal atau semesta pembicaraan dan dinotasikan dengan U. Ada pula set yang tidak mempunyai anggota dan set ini disebut set kosong dengan notasi atau { }, yang merupakan set terhingga dan merupakan subset dari setiap set. Jadi untuk sebarang set A maka A U. Dalam geometri bidang, set universalnya berisi semua titik pada bidang. Bila A = {x: x 2 = 4, xganjil}, maka tentukan anggota A! Bila B = { }, maka B, mengapa? 1.4. KELAS, KOLEKSI, FAMILI DAN RUANG Anggota-anggota dari suatu set adalah set, misalnya tiap-tiap garis di dalam suatu set dari garisgaris adalah set dari titik-titik. Set yang anggotanya terdiri dari set-set disebut Kelas, Koleksi atau Famili, misalkan P = {{a, b}, c} bukanlah kelas karena mengandung elemen c yang bukan set (himpunan). Pada umumnya koleksi atau family digunakan untuk member nama dari set yang anggotanya kelas-kelas. Pengertian subkelas, subkoleksi, dan subfamili mempunyai arti yang sama dengan subset. Misalkan A adalah suatu set. Set Kuasa (Power Set) dari A ditulis P(A) atau 2 A adalah kelas dari semua subset dari A. Umumnya, apabila A terhingga dengan n unsur di dalamnya maka P(A) = 2 n anggota. Kata ruang (spaces) artinya suatu set yang tidak kosong yang anggotanya beberapa bentuk struktur matematika, seperti ruang vektor, ruang metrik atau ruang topologi.

3 Anggota dari kelas {{2,3}, {2}, {5,6}} adalah set-set {2,3}, {2}, {5,6} Bila A = {a, b, c} maka tentukan P(A)! 1.5. OPERASI-OPERASI PADA SET Gabungan dari dua set A dan B ditulis A B adalah set dari semua unsur yang termasuk ke dalam A atau B yaitu A B = {x: x A atau x B}. Gabungan dari dua set A dan B ditulis A B = {x: x A atau x B}. Irisan dari dua set A dan B ditulis A B adalah set yang unsur-unsurnya termasuk di dalam a dan B yaitu A B = {x: x A dan x B}. Bila A B =, yaitu bila A dan B tak mempunyai anggota persekutuan maka A dan B disebut lepas (disjoint) atau tak beririsan. A adalah kelas dari set-set disebut kelas lepas (disjoint) dari set-set, bila tiap-tiap pasangan set-set yang berbeda di dalam A adalah lepas. Komplemen relatif dari set B terhadap set A atau selisih A dan B ditulis A B adalah set yang anggota-anggotanya termasuk A tetapi tidak termasuk B yaitu A B = {x: x A, x B}. Perhatikan bahwa A B dan B adalah lepas yaitu (A B) B =. Komplemen absolute atau disebut komplemen dari suatu set A ditulis A C adalah set yang anggota-anggotanya bukan anggota dari A yaitu A C = {x: x U, x A}. Dapat dikatakan pula bahwa A C selisih U dan A. Teorema 2: Hukum-hukum Aljabar set: 1. Hukum sama kuat: A A = A, A A = A 2. Hukum Asosiatif: (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) 3. Hukum Komutatif: A B = B A, A B = B A 4. Hukum Distributif: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) 5. Hukum Identitas: A = A, A U = A, A U = U, A = 6. Hukum Komplemen: A A C = U, A A C =, (A C ) C = A, U C =, C = U 7. Hukum De Morgan: (A B) C = A C B C, (A B) C = A C B C Teorema 3: A B bila hanya bila: a. A B = A b. A B = B c. B C = A C d. A B C = e. B A C = U

4 1.6. PRODUK DARI SET-SET Misalkan A dan B adalah set-set tertentu. Produk dari set A dan B ditulis AXB, memuat semua pasangan terurut (a,b) dengan a A dan b B yaitu A X B = {(a, b): x A, b B}. Produk suatu set dengan dirinya sendiri, misalkan A X A dinotasikan dengan A 2. A = {1,2,3} dan B = {a, b}, tentukan A X B! 1.7. RELASI Relasi biner (relasi) R dari set A ke set B menentukan tiap pasangan (a, b) di dalam A X B tepat memenuhi satu pernyataan berikut: a berelasi dengan b ditulis a R b & a tak berrelasi dengan b ditulis a R b Suatu relasi dari set A ke set A lagi disebut relasi di dalam A. Relasi A ke B secara khusus didefinisikan sebagai subset R* dari A X B sebagai berikut: R = {(a, b): arb}, sebaliknya sebarang subset R* dari A x B didefinisikan sebagai suatu relasi R dari A ke B sbb: arb bila dan hanya bila (a, b) R. Korespondensi antara relasi-relasi R dari A ke B dengan subset-subset dari A X B didefinisikan Suatu Relasi R dari A ke B adalah subset dari A X B. Domain (daerah asal) dari relasi R dari A ke B adalah set dari koordinat pertama pasangan di dalam R dan range (daerah hasil) adalah set dari koordinat kedua di dalam R yaitu: Domain R = {a: (a, b) R} & Range R = {b: (a, b) R} Invers dari R ditulis R 1 adalah relasi dari B ke A didefinisikan: R 1 = {(b, a): (a, b) R} Relasi identitas di dalam suatu set A ditulis atau A adalah semua pasangan dalam A x A dengan koordinat sama yaitu: A = {(a, a): a A} Relasi R = {(1,2), (1,3), (2,3)} di dalam A = {1,2,3}. Tentukan domain, range dan invers dari R! 1.8. RELASI EQUIVALEN Suatu relasi R di dalam set A yaitu subset dari A X A disebut relasi equivalen bila hanya bila memenuhi ketiga aksioma berikut: a. Untuk tiap a A, (a, a) R sifat refleksif b. Bila (a, b) R, maka (b, a) R sifat simetris c. Bila(a, b) R dan (b, c) R, maka (a, c) R sifat transitif

5 Secara singkat dapat dikatakan bahwa suatu relasi disebut relasi equivalen bila dan hanya bila relasi tersebut refleksif, simetris dan transitif. Apakah relasi (subset dari) didalam suatu set inklusi merupakan relasi equivalen? Didalam geometri Euclid, kesebangunan segitiga-segitiga adalah relasi eqiuvalen. Buktikan! Bila R suatu relasi equivalen di dalam A maka kelas equivalen dari a A ditulis[a] adalah set dari elemen-elemen yang berrelasi dengan a yaitu: [a] = {x: (a, x) R}. Koleksi dari kelas-kelas equivalen dari A ditulis A/R disebut faktor (quotient) A oleh R yaitu A/R={[a]: a R}. Set faktor A/R memenuhi sifat-sifat berikut: a. Teorema 4. Misal R adalah relasi equivalen di dalam A dan [a] adalah kelas equivalen dari a A maka: 1. Untuk setiap a A maka a [a] 2. [a] = [b] bila dan hanya bila (a,b) R 3. Bila [a] [b] maka [a] [b] = φ Suatu kelas A dari subset-subset tidak kosong dari A disebut partisi dari A bila dan hanya bila : 1. Tiap a A termasuk anggota dari A 2. Anggota-anggota dari A sepasang-sepasang saling lepas (disjoint) b. Teorema 5. Bila R suatu relasi equivalen dalam A maka set faktor (quotient) A/R adalah partisi dari A KOMPOSISI DARI RELASI Misal U adalah relasi dari A ke B dan V suatu relasi dari B ke C yaitu U AXB dan V BXC maka relasi dari A ke C sedemikian hingga untuk sebarang b B. (a, b) U dan (b, c) V disebut komposisi dari U dan V ditulis V U. Notasi pembentuk set, komposisi dari U dan V ditulis V U = {(x, y): x A, y C, b B, sehingga (x, b) U, (b, y) V}. Misalkan A = {1,2,3,4}, B = {x, y, z, w}, C = {5,6,7,8} U = {(1, x), (1, y), (2, x), (3, w), (4, w)} dan V = {(y, 5), (y, 6), (z, 8), (w, 7)} U adalah relasi dari A ke B dan V adalah relasi dari B ke C. Gambarkan kedua relasi tersebut dan tentukan V U!

6 Soal soal: 1. Bila A = {x: 3x = 6}, apakah A = 2? 2. Apakah = {0} = { }? 3. Manakah yang merupakan set kosong? a. X = {x: x 2 = 9,2x = 4} b. Y = {x: x + 8 = 8} 4. Misal U = {1,2,3,,8,9}, A = {1,2,3,4}, B = {2,4,6,8} dan C = {3,4,5,6} Carilah: a. A C b. (A C) C c. B C d. (A B) C 5. Misal R relasi < dari A = {1,2,3,4} ke B = {1,3,5} yaitu (a, b) R bila dan hanya bila a < b a. Tulislah R sebagai set pasangan terurut b. Gambarlah R pada diagram koordinat A X B c. Carilah domain dari R, range R, dan R -1 d. Carilah R R 1

7 BAB II FUNGSI 2.1. FUNGSI Misalkan tiap-tiap elemen dari set A dipasangkan dengan tepat satu elemen yang unik dari set B, suatu koleksi f yang memasangkan elemen-elemen tersebut disebut fungsi (mapping/pemetaan) dari A ke B ditulis f: A B atau A f B. Elemen yang ada dalam B sebagai pasangan dari a A ditulis f(a) disebut nilai f pada a atau bayangan (image) dari a di bawah f. Domain (daerah asal) f adalah A dan kodomain (daerah kawan) dari f adalah B. Tiap-tiap fungsi f: A B berkorespondensi dengan relasi di dalam A X B dinyatakan oleh {(a, f(a): a A}. Set tersebut dikatakan sebagai grafik dari f. Daerah hasil dari f (range f) ditulis f[a] adalah set dari semua bayangan (peta) dari a oleh f yaitu f[a] = {f(a): a A}. Dua fungsi f: A B dan g: A B adalah sama ditulis f = g bila dan hanya bila f(a) = g(a) untuk tiap a A yaitu bila dan hanya bila kedua grafik sama FUNGSI SATU-SATU, IDENTITAS & INVERS Fungsi f: A B disebut satu-satu atau 1 1 bila elemen-elemen dalam A mempunyai peta yang berbeda dalam B yaitu bila: f(a) = f(a ) a = a Fungsi f: A B disebut onto (kepada) bila tiap b B adalah bayangan dari sebarang a A yaitu bila: b B a A sehingga f(a) = b. Jadi bila f onto f[a] = B. Umumnya, relasi invers f 1 dari suatu fungsi f AXB tak perlu merupakan fungsi. Apabila f suatu fungsi yang onto dan satu-satu maka f 1 adalah fungsi dari B kepada A dan f 1 disebut fungsi invers. Relasi identitas (diagonal) A AXA adalah suatu fungsi yang disebut fungsi identitas pada A. Fungsi identitas dinotasikan oleh I A atau I. Dalam hal ini, I A (a) = a untuk tiap a A. Selanjutnya bila f : A B maka I B f = f = f I A, bila f satu-satu dan onto dengan invers f 1 maka f 1 f = I A dan f f 1 = I B Proporsi 1: misal f A B dan g B C sehingga g f = I A dan f g = I B maka f 1 B A ada dan g = f 1

8 Ilustrasi fungsi invers (fungsi kebalikan), misalkan sebuah fungsi f : A B dikatakan dapat dibalik (invers) bila f A 1 : f -1 (b)=a B A, dalam bentuk diagram panah: f -1 f B b =f(a) 2.3. KOMPOSISI FUNGSI Misalkan f : A B dan g : B C adalah fungsi, maka dapat ditunjukkan bahwa komposisi dari f dan g, f g, adalah fungsi dari A ke C. Jika a A dan b = f(a) B sedangkan c = g(b) C, maka ( f g )(a) = g(f(a)); sehingga ( f g )(a) = g(f(a)) = g(b) = c, dalam bentuk diagaram panah: A f g C a f B b = f(a) g C = g(b) = g(f(a)) Misalkan f, g : dengan f(x) = x + 1 dan g(x) = x 2, tentukan f g dan g f! Sifat-sifat fungsi sebagai berikut: a. Fungsi Surjektif Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = B. Contoh dalam diagram panah: a b c A f B A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c}, fungsi f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(1,a), (2,c), (3,b), (4,c)}. Tampak bahwa daerah hasil fungsi f adalah Rf : {a,b,c} dan Rf = B maka fungsi f adalah fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada.

9 Fungsi f : A B disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian murni dari himpunan B atau Rf B. Contoh dalam diagram panah: 1 a 2 b 3 c 4 A f B A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c}, fungsi f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(1,a), (2,b), (3,a), (4,b)}. Tampak bahwa daerah hasil fs f : Rf : {a,b} dan Rf B, maka fungsi f adalah fungsi into atau fungsi ke dalam. b. Fungsi Injektif Fungsi f : a B disebut fungsi injektif (fungsi satu-satu) jika dan hanya jika untuk tiap a1, a2 A dan a1 a2 berlaku f (a1) f (a2). Contoh : 1 a 2 b 3 c A f B A = {1,2,3}, B = {a,b,c}, fungsi f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(1,a), (2,b), (3,c)}. Tampak bahwa tiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di B. Fungsi f adalah fungsi injektif atau satu-satu. c. Fungsi Bijektif Fungsi f : A B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif. Contoh : 1 a 2 b 3 c A f B A = {1,2,3}, B = {a,b,c}, fungsi f : A B, dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,c), (3,b)}. Tampak bahwa fungsi f adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif. Fungsi f adalah fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu

10 2.4. SET BERINDEKS Suatu kelas dari set-set berindeks ditulis {A i : i I}, {A i } i I, atau {A i } yang memasangkan suatu set A i dengan tiap-tiap i I, yaitu suatu fungsi dari I ke dalam kelas dari set-set. Set I disebut set dari indeks-indeks, set-set A disebut set-set berindeks dan tiap i I disebut indeks. Set indeks I adalah set bilangan bulat positif, kelas berindeks {A 1, A 2, } disebut barisan. Untuk setiap n N (set bilangan positif) misalkan D n = {x: x N, x adalah kelipatan dari n}, maka tentukan D1, D2 dan D3! 2.5. ALJABAR DARI FUNGSI BERNILAI REAL Misal F (X,R) notasi untuk koleksi dari semua fungsi bernilai real yang didefinisikan pada sebarang set X. Beberapa operasi di dalam F (X,R) berkorespondensi dengan operasi-operasi di dalam R. Bila f: X R dan g: X R dan k R maka didefinisikan: a. (f + g): X R oleh (f + g)(x) = f(x) + g(x) b. (k. f): X R oleh (k. f)(x) = k(f(x)) c. ( f ): X R oleh ( f )(x) = f(x) d. (fg): X R oleh (fg)(x) = f(x)g(x) e. (f + k): X R oleh (f + k)(x) = f(x) + k Misal f = {(a, 1), (b, 3)} dan g = {(a, 2), (b, 1)} dengan domain X = {a, b} maka tentukan: a. (3f 2g)(a)! b. (3f 2g)(b)! c. (3f 2g)! d. g (x)! e. (g + 3)(x)! Koleksi F (X, R)dengan operasi-operasi seperti tersebut di atas mempunyai sifat seperti dinyatakan dalam teorema berikut: Teorema: Koleksi F (X, R)dari semua fungsi bernilai real didefinisikan pada set tidak kosong X dengan operasi-operasi yang didefinisikan di atas memenuhi aksioma ruang vector real linear berikut: 1. Operasi tambahan (adisi) dari fungsi-fungsi f dan g memenuhi sifat-sifat: a. (f + g) + h = f + (g + h) b. f + g = g + f c. zo F(X, R) yaitu O: X R sehingga f + O = f d. Untuk tiap f F(X, R), ada f F(X, R)

11 2. Operasi perkalian skalar k.f dari fungsi f dengan bilangan real k memenuhi sifat: a. k. (k. f) = (k. k )f b. 1. f = f 3. Operasi penjumlahan dan perkalian skalar memenuhi sifat: a. k. (f + g) = k. f + k. g b. (k + k ). f = k. f + k. g Soal soal: 1. Misal X = {1,2,3,4,5}, f: X X dan g: X X, sehingga f = {(1,3), (2,5), (3,3), (4,1), (5,2)} dan g = {(1,4), (2,1), (3,1), (4,2), (5,3)}. Tentukan : a. Range f dan g! b. Komposisi fungsi g f dan f g! 2. Misal X = {a, b, c} dan f, g F(X, R) f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)} dan g = {(a, 2), (b, 0), (c, 1)}. Tentukan: a. f + 2g b. fg 2f c. f + 4 d. f e. f 2 3. Misal f: R R dan g: R R didefinisikan oleh f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x 2 2. Tentukan produk fungsi g f dan f g! 4. Apabila U dan V merupakan fungsi yang didefinisikan oleh U = {(x, y): x 2 + y 2 = 1} dan V = {(y, z): 2y + 3z = 4}. Tentukan V U!

12 BAB III RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL SPACES) 3.1. RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL SPACES) Misal X adalah suatu set tidak kosong. Suatu kelas τ yang anggotanya subset-subset dari X disebut topologi pada X, bila dan hanya bila τ memenuhi ketiga aksioma berikut: 1. X dan termasuk dalam τ 2. Gabungan dari set-set anggota dari τ adalah anggota τ 3. Irisan dari dua set anggota τ adalah anggota τ Anggota anggota dari τ disebut set set buka dari τ, dan X bersama τ yaitu (X, τ) disebut ruang topologi. 1. Misal U adalah kelas dari semua set buka dari bilangan real maka U adalah topologi biasa (usual topologi) pada R. Demikian juga kelas U yang terdiri dari set-set buka pada R 2 adalah topologi biasa pada R Misalkan X = {a, b, c, d, e}. τ 1, τ 2, τ 3 dan τ 4 masing-masing subset dari 2 x. Manakah yang merupakan topologi pada X, bila: τ 1 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} τ 2 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d}} τ 3 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {a, b, c, d, e}} τ 4 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {a, b, d, e}} 3. Diketahui X = {1,2,3}. Himpunan bagian X ditentukan sebagai berikut: T 1 = {{1}, {2}, {3}, } T 2 = {{1}, {2}, {1,2}, {1,2,3}} T 3 = {{1}, {2}, {1,2}, {1,2,3}, } T 4 = {{1,2}, {2,3}, {1,2,3}, } T 5 = {{1,2}, {2,3},, {1,2,3}, {2}} T 6 = {{1}, {2}, {2,3},, {1,2,3}} T 7 = {{1}, {2}, {2,3},, {1,2,3}, {1,2}} Manakah yang merupakan topologi? Jelaskan! 4. Let X = {a, b, c, d, e}. Determine wheter or not each of the following classes of subsets of X is a topology on X. (i) T 1 = {X,, {a}, {a, b}, {a, c}} (ii) T 2 = {X,, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d}} (iii) T 3 = {X,, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}}

13 TOPOLOGI DISKRIT, TOPOLOGI INDISKRIT & TOPOLOGI KOFINIT Apabila D adalah kelas dari semua subset dari X atau D = 2 x atau dapat dikatakan D adalah himpunan kuasa (power set) dari X maka D adalah topologi pada X karena memenuhi ketiga aksioma pada topologi sehingga disebut topologi diskrit dan (X, D) disebut ruang topologi diskrit atau secara singkat disebut ruang diskrit., sedangkan himpunan kuasa (power set) dari X yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah semua himpunan bagian dari X. Suatu topologi pada X harus memuat set dan. Kelas Y = {X, } yang hanya memuat X dan adalah topologi pada X, sehingga Y = {X, } disebut topologi indiskrit dan (X, Y) disebut ruang topologi indiskrit atau ruang indiskrit. Apabila (X, τ) ruang topologi dan τ 1 adalah kelas yang anggotanya semua komplemen dari setset buka dari τ maka τ 1 adalah topologi kofinit. 1. X = {a, b} ; Y = {1,2,3} τ 1 adalah suatu kelas himpunan bagian dari X dan τ 1 = {X,, {a}, {b}} τ 2 adalah suatu kelas subset dari Y dan τ 2 = {Y,, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3 }} a. Apakah τ 1 dan τ 2 merupakan topologi diskrit? Jelaskan alasannya! b. Tentukan ruang diskrit dari τ 1 dan τ 2! 2. X = {1} & τ 1 = {X, }, Y = {1,2} & τ 2 = {Y,, {1}, {2}}, Z = {1,2,3} & τ 3 = {Z, }. Apakah τ 1, τ 2, τ 3 merupakan topologi indiskrit? IRISAN, GABUNGAN & KOMPLEMEN T 1 dan T 2 adalah topologi pada X maka T 1 T 2 juga merupakan topologi pada X tetapi T 1 T 2 belum tentu (tak perlu) merupakan topologi. Gabungan dari set-set kosong adalah set kosong dan irisan kosong dari subset-subset dari X adalah X sendiri. Elemen suatu topologi T pada X disebut himpunan terbuka. Suatu himpunan bagian A dari X yang komplemennya ada di dalam T (A c T) merupakan himpunan yang tertutup atau dapat dikatakan komplemen dari himpunan-himpunan yang terbuka adalah himpunan-himpunan yang tertutup. Jadi suatu himpunan A disebut tertutup jika hanya jika A c adalah terbuka. Apabila T adalah suatu topologi pada X maka kelas himpunan bagian yang tertutup dari X mempunyai sifat : a. X dan adalah himpunan-himpunan yang tertutup b. Irisan dari sejumlah sebarang himpunan yang tertutup adalah tertutup c. Gabungan dari setiap dua himpunan yang tertutup adalah tertutup

14 1. Dua topologi T 1 dan T 2 pada X = {a, b, c, d, e} dengan T 1 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} dan T 2 = {X,, {a}{c, d}{a, c, d}{a, c, d, e}} Apakah T 1 T 2 merupakan topologi pada X? 2. X = {1,2,3,4,5} dengan T 1 = {X,, {1}, {5}, {1,5}}, T 2 = {X,, {2}, {5}, {2,5}} Apakah T 1 T 2 merupakan topologi? 3. Diberikan T 1 = {X,, {a}, {b}, {a, b}}, T 2 = {X,, {a}, {a, b}} dan T 3 = {X,, {a}, {b, c}} pada X = {a, b, c}. a. Tentukan T 1 T 2 T 3 dan T 1 T 2 T 3! b. Apakah T 1 T 2 T 3 merupakan topologi? c. Apakah T 1 T 2 T 3 merupakan topologi? 3.2. TITIK KUMPUL (ACCUMULATION POINTS) Misal X adalah ruang topologi. Suatu titik p X adalah titik kumpul dari A X bila dan hanya bila setiap set buka G yang memuat p, memuat suatu titik yang berbeda dengan p atau bila G buka, p G maka (G {p}) A. Set dari titik-titik kumpul dari A ditulis A dan disebut set derive dari A. Apabila X ruang diskrit yaitu (X, Y) dengan Y = {X, } maka X adalah set buka yang memuat sebarang p X. Jadi p adalah titik kumpul dari setiap subset dari X, kecuali set kosong dan set {p}. Jadi set dari titik-titik kumpul A X yaitu A adalah: A =, bila A = {p} c = X {p}, bila A = {p} X, bila A memuat dua titik atau lebih 1. τ = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} adalah topologi pada X = {a, b, c, d, e} dan A = {a, b, c} X. Tentukan titik kumpul dari A! 2. Diketahui P = {1, 2, 3,4, 5} dengan T = {P,, {5}, {3,4}, {3,4,5}, {1,2,3,4}}. A = {1,4}, B = {3,4,5}, C = {1,3,5}, D = {2,3,4,5} Tentukan: a. A b. B c. C d. D

15 3.3. HIMPUNAN TERBUKA & HIMPUNAN TERTUTUP (OPEN SETS & CLOSED SETS) Definisi: Untuk sebarang ruang topologi (X, τ). Anggota-anggota dari τ terbuka. Teorema: Untuk sebarang ruang topologi (X, τ) maka: a. X dan adalah set-set buka b. Irisan dari set-set buka adalah buka c. Gabungan dari dua set-set buka adalah buka dikatakan himpunan Selanjutnya jika ada yang terbuka pastilah ada yang tertutup yaitu komplemen dari himpunan terbuka. Misal X adalah ruang topologi. Subset A dari X disebut set tertutup bila dan hanya bila komplemen A c adalah set buka. Definisi: Untuk sebarang ruang topologi (X, τ), suatu himpunan bagian A dari X dikatakan himpunan tertutup jika komplemennya merupakan himpunan terbuka pada (X, τ). Apabila X adalah ruang diskrit yaitu setiap subset dari X adalah buka maka setiap subset dari X adalah juga tutup, karena komplemennya selalu buka. Dengan kata lain, setiap subset dari X adalah buka dan tutup. Ingat bahwa A cc = A, untuk setiap subset A dari X maka diperoleh proposisi berikut: Dalam ruang topologi X, subset A dari X adalah buka bila dan hanya bila komplemennya tutup. Aksioma dari ruang topologi dan hukum De Morgan memberikan teorema berikut: Bila X ruang topologi maka kelas dari subset-subset tutup dari X memiliki sifat-sifat yaitu: a. X dan adalah set-set tutup b. Irisan dari set-set tutup adalah tutup c. Gabungan dari dua set tutup adalah tutup Set-set tutup dapat pula dinyatakan dengan menggunakan pengertian titik kumpul sebagai berikut, dengan teorema: Subset A dari ruang topologi X adalah tutup bila dan hanya bila A memuat semua titik kumpul dari A.

16 Dengan kata lain bahwa set A adalah tutup bila dan hanya bila set derive A dari A adalah subset dari A yaitu A A 1. X = {p, q, r, s, t} dengan T = {X,, {p, q}, {q, r}, {p, q, r}, {q}} Tentukan: a. Himpunan bagian dari X yang terbuka! b. Himpunan bagian dari X yang tertutup! c. Himpunan yang bersifat terbuka tetapi juga tertutup! d. Himpunan yang hanya bersifat terbuka! e. Himpunan yang hanya bersifat tertutup! f. Himpunan yang hanya bersifat tidak terbuka dan juga tidak tertutup! 2. Kelas τ = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} didefinisika pada X = {a, b, c, d, e}. Tentukan subset-subset tutup dari X! 3. Diberikan ruang topologi (X, T 1 ) dengan X = {a, b, c, d, e, f} dan T 1 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e, f}}. Apa saja himpunan tertutup dari (X, T 1 )? 3.4. PENUTUP DARI SET (CLOSURE OF A SET) Misal A subset dari ruang topologi X. Penutup dari A (closure of A) ditulis A atau A adalah irisan dari semua superset tutup dari A. Dengan kata lain, bila {F i i I} adalah kelas semua subset tutup dari X yang memuat A maka A = i F i Perhatikan bahwa A adalah tutup karena A adalah irisan dari set-set tutup. Selanjutnya juga, A adalah superset tutup terkecil dari A, dengan demikian bila F adalah set tutup yang memuat A maka A A F. Berdasarkan hal tersebut, set A adalah tutup bila dan hanya bila A = A dan diperoleh pernyataan berikut dengan dalil (proposisi): Bila A penutup dari set maka: a. A adalah penutup b. Bila F superset tutup dari A maka A A F c. A adalah tutup bila dan hanya bila A = A Misal X adalah ruang topologi kofinit yaitu komplemen dari set-set terhingga dan adalah setset buka maka set-set tutup dari topologi tersebut adalah set-set terhingga dari X dengan X. Jadi bila A X terhingga, penutup dari A adalah A sendiri karena A tutup. Sebaliknya bila A X tak hingga maka X adalah superset tutup dari A, jadi A adalah X.

17 Selanjutnya untuk suatu A subset dari ruang kofinit X maka: A = A bila A terhingga X bila A tak hingga Penutup dari suatu set dapat dinyatakan dengan pengertian dari titik-titik kumpul dari set tersebut sebagai berikut dengan teorema: Bila A subset dari ruang topologi X maka penutup dari A adalah gabungan dari A dengan A yaitu A = A A Suatu titik p X disebut titik penutup dari A X bila dan hanya bila p termuat dalam penutup A yaitu A. Dari teorema diatas diperoleh bahwap X adalah titik penutup dari A X bila dan hanya bila p A atau p titik kumpul dari A. Subset A dari ruang topologi X disebut padat (dense) dalam B X bila B termasuk dalam penutup A yaitu A. Khususnya, A adalah padat dalam X atau subset padat dari X bila dan hanya bila A = X Perhatikan set semua bilangan rasional Q. Didalam topologi biasa untuk R, setiap bilangan real a R adalah titik kumpul dari Q. Jadi penutup dari Q adalah set semua bilangan real R yaitu Q = R. Dengan kata lain, dalam topologi biasa, set semua bilangan rasional Q padat dalam R. Operator penutup yang menghubungkan tiap-tiap subset A dari X dengan penutup A X yang memenuhi 4 sifat seperti ditunjukkan pada proporsisi berikut, yang disebut Aksioma Penutup Kuratowski dengan dalil (proposisi): a. =, b. A A c. A B = A B d. (A ) = A 1. Kelas τ = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} didefinisika pada X = {a, b, c, d, e}. a. Tentukan : {b }, {a, } c, {b, } d b. Apakah {a, } c dan {b, } d merupakan subset padat dari X? Jelaskan! 2. X = {1,2,3,4,5} dan T = {X,, {1,2}, {1,2,3}, {2,3,4}, {2}, {2,3}, {1,2,3,4}} Tentukan closure dari: a. {4} b. {3,5} c. {2,3,4} d. {2,4,5}

18 3.5. INTERIOR, EKSTERIOR & BOUNDARY Misal A subset dari ruang topologi X. Titik p X disebut titik interior dari A bila p termasuk set buka G subset dari A, yaitu G A, G set buka. Set dari titik-titik interior dari A ditulis int (A), A atau A, disebut interior dari A. Interior dari A dapat dinyatakan sebagai berikut, dengan dalil (proporsisi): Interior dari set A adalah gabungan dari semua subset dari A, selanjutnya juga bahwa: a. A adalah buka b. A subset buka terbesar dari A; yaitu bila G subset buka dari A maka G A A c. A adalah buka bila hanya bila A = A Eksterior dari A ditulis eks (A) adalah interior dari komplemen A yaitu int (A c ). Boundary (batas) dari A ditulis b(a) adalah set dari titik-titik yang tidak termasuk interior dan tidak termasuk eksterior dari A. Berikut ini hubungan interior, eksterior, dan penutup dengan teorema: Misal A subset dari ruang topologi X maka penutup dari A adalah gabungan dari interior dan batas dari A yaitu A = A b(a). 1. τ = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} merupakan topologi pada X = {a, b, c, d, e} dengan A = {b, c, d} X dan B = {a, c, d} X Tentukan: a. A, eks (A, b (A) b. B, eks (B), b (B) 2. X = {1,2,3,4,5} topologi pada τ = {X,, {3}, {2,3,4}, {3,4,5}, {3,4}, {2,3,4,5}} dengan A = {1,2,3}, B = {1,3,4,5} dan C = {1,5} Tentukan: a. Titik interior, eksterior dan boundary dari A b. Titik interior, eksterior dan boundary dari B c. Titik interior, eksterior dan boundary dari C Apabila Q adalah set semua bilangan rasional. Karena setiap subset buka dari R memuat bilangan rasional dan irasional, titik-titik itu bukan interior dan eksterior dari Q juga int (Q) = dan int (Q c ) =. Jadi batas dari Q adalah bilangan real yaitu b(q) = R

19 Suatu subset A dari ruang topologi X disebut padat tidak dimana-mana (nowhere dense) di dalam X jika interior dari penutup A adalah kosong, yaitu (A ) =. Misal A = {1, 1, 1, 1 } subset dari R maka A mempunyai tepat satu titik kumpul yaitu 0, sehingga A = {0,1, 1, 1, 1 } dan A padat tidak dimana-mana dalam R. Misal A memuat semua bilangan rasional antara 0 dan 1 yaitu A = {x: x Q, 0 < x < 1} maka int (A) = tetapi A tidak padat tidak dimanamana dalam R karena penutup A adalah [0, 1] dan int(a ) = int[0,1] = (0,1) LINGKUNGAN & SISTEM LINGKUNGAN Misal p adalah titik dalam ruang topologi X. Suatu subset N dari X disebut lingkungan dari p jika dan hanya jika N adalah suatu superset dari set buka G yang memuat p yaitu: p G N dengan G set buka. Dengan kata lain relasi N adalah lingkungan dari p adalah invers dari p adalah titik interior N. Kelas dari semua lingkungan dari p X ditulis N p disebut sistem lingkungan (neighborhood system) dari p. Untuk suatu sistem lingkungan N p dari suatu titik p X ada 4 sifat yang dinyatakan dalam proporsi berikut yang disebut aksioma lingkungan sebagai berikut: Proporsisi: a. N p dan p termasuk ke dalam tiap anggota N p b. Irisan dari dua anggota N p termasuk N p c. Setiap superset dari anggota N p termasuk N p d. Tiap anggota N N p adalah superset dari anggota G N p dengan G adalah lingkungan dari tiap-tiap titik dari G yaitu G N g untuk tiap G. 1. X = {p, q, r, s, t} dan T = {X,, {p}, {p, q}, {p, r, s}, {p, q, r, s}, {p, q, t}}. Tentukan: a. N q b. N r c. N s d. N t 2. X = {a, b, c, d, e} dan = {X,, [a, b, c, d], {a, b, e}, {a, c, d}, {a, b}, {a}}. Tentukan: a. N c b. N e

20 3.7 TOPOLOGI KORSER DAN TOPOLOGI FAINER Misal τ 1 dan τ 2 adalah topologi pada set tidak kosong X dan tiap-tiap set buka anggota τ 1 subset dari X adalah anggota τ 2 subset dari X. Dengan demikian, bahwa τ 1 adalah kelas bagian dari τ 2 yaitu τ 1 τ 2, sehingga dikatakan bahwa τ 1 adalah lebih kasar (Coarser) atau lebih kecil (smaller) atau lebih lemah (weaker) terhadap τ 2 atau τ 2 lebih halus (finer) atau lebih besar (larger) terhadap τ 1. Perhatikan bahwa T = {τ 1 } koleksi dari topologi-topologi adalah terurut parsial dan dapat ditulis τ 1 τ 2 untuk τ 1 τ 2 dan dikatakan bahwa kedua topologi pada X tidak dapat dibandingkan bila topologi yang satu bukan korser terhadap yang lainnya. 1. Perhatikan topologi diskrit D, topologi indiskrit Y dan suatu topologi τ pada set X, maka τ adalah korser terhadap D, dan τ adalah finer terhadap Y. Jadi Y τ D. 2. Topologi X = {1,2,3,4,5} T 1 = {X,, {1}, {1,2}}, T 2 = {X,, {1}, {1,2}, {1,2,3}} T 3 = {X,, {1}, {1,2}, {1,2,3}, {1,2,3,5}}. Bandingkan topologi-topologi T 1, T 2 dan T 3! 3.8 RUANG BAGIAN, TOPOLOGI RELATIF Misal A adalah subset tidak kosong dari ruang topologi (X, τ). Kelas τ A yaitu kelas dari semua irisan dari A dengan subset-subset buka τ pada X adalah topologi pada A dan topologi tersebut disebut topologi relative pada A atau relatifisasi τ terhadap A dan ruang topologi (A, τ A ) disebut ruang bagian dari (X, τ). Dengan kata lain, subset H dari A adalah set buka dari τ A, yaitu relative buka ke A, bila dan hanya bila ada subset buka G dari X dan G τ sedemikian hingga H = G A 1. Topologi τ = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} pada X = {a, b, c, d, e} dengan A = {a, d, e} X. Tentukan relatifisasi dari τ terhadap A (T A )! 2. Dari soal diatas, apabila B = {b, c, d} X maka tentukan topologi relatife dari B (T B )! 3. P = {1,2,3,4,5,6} dengan T = {P,, {5,6}, {4,5,6}, {2,3,4,5,6}, {2,5,6}, {2,3,5,6}, {2,4,5,6}} dan Q = {1,3,5,6}, R = {1,2,4,5,6}. Tentukan T Q dan T R!

21 3.9 EKUIVALENSI DARI DEFINISI TOPOLOGI Definisi dari ruang topologi memberikan aksioma untuk set-set buka dalam ruang topologi dan digunakan set buka sebagai pengertian (ide) sederhana untuk topologi. Teorema berikut menunjukkan alternatif lain untuk definisi topologi pada suatu set dengan menggunakan pengertian sederhana dari lingkungan dari suatu titik dan penutup suatu set : Bila X adalah set tidak kosong dan untuk tiap p X, A p kelas dari subset-subset dari X memenuhi aksioma berikut: a. A p tidak kosong dan p termasuk ke dalam anggota dari A p b. Irisan dari dua anggota A p termasuk dalam A p c. Setiap superset dari anggota A p termasuk A p d. Setiap anggota N A p adalah superset dari anggota G A p sedemikian hingga G A g untuk tiap g G maka ada satu dan hanya satu topologi τ pada X sedemikian hingga A p adalah sistem lingkungan τ dari titik X. Bila X adalah set tidak kosong dan k adalah operasi yang menghubungkan tiap subset A dari X dengan subset A k dari X yang memenuhi aksioma penutup kuatowski berikut: a. k = b. A A k c. (A B) k = A k B k d. (A k ) k = A k maka ada satu dan hanya satu topologi τ pada X sedemikian hingga A k adalah penutup subset A dari X. Soal soal: 1. Jika X = {a, b, c}, buktikan bahwa X, 0,{ a},{ a, b},{ a, c, d},{ a, b, c, d},{ a, b, e} topologi pada S? merupakan 2. τ = {X,, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, b, e}} adalah topologi pada X = {a, b, c} maka tentukan: a. Subset-subset tutup dari X! b. Closure dari {a}, {b} dan {c, e}! c. Manakah set dalam (b) yang merupakan padat dalam X! d. Set dari titik kumpul A = {a, d, e} e. Set dari titik kumpul B = {b}

22 3. Jika X = {a, b, c}, dengan X, 0,{ a},{ a, b},{ a, c, d},{ a, b, c, d},{ a, b, e} dimana A X maka tentukan: a. Titik limit dari A! b. Titik interior dari A! c. Titik eksterior dari A! d. Titik batas dari A! e. Persekitaran/lingkungan dari c (N c )! dan A = {a, b, c} 4. Jika X = {a, b, c}, dengan X, 0,{ a},{ a, b},{ a, c, d},{ a, b, c, d},{ a, b, e} {a, c, e} dimana A X, B X maka tentukan: a. Topologi relatif dari τ terhadap A (τ A )! b. Topologi relatif dari τ terhadap B (τ B )! dan A = {a, b, c}, B = 5. Misal τ adalah ruang topologi pada X yang terdiri dari empat set yaitu τ = {X,, A, B} dimana A dan B tidak kosong dan merupakan subset-subset murni yang berlainan dari X. Syarat apakah yang harus dipenuhi oleh A dan B? 6. Misalkan A subset dari ruang topologi (X, τ). Bilamanakah titik p X bukan titik kumpul dari A?

23 BAB IV BASIS & BASIS BAGIAN 4.1. BASIS UNTUK TOPOLOGI Definisi: Misal (X, τ) suatu ruang topologi. Suatu kelas B yang terdiri dari subset-subset buka dari X yaitu B τ adalah basis untuk topologi τ bila dan hanya bila setiap set buka G r adalah gabungan dari anggota-anggota. Definisi tersebut equivalen dengan pernyataan berikut B τ adalah basis untuk topologi τ bila dan hanya bila untuk setiap titik p yang termasuk pada set buka G ada B B dengan B G. Dengan definisi lain: Apabila diberikan ruang topologi (X, τ), suatu koleksi β dari himpunan-himpunan terbuka pada X maka dikatakan basis pada topologi τ jika setiap himpunan terbuka adalah gabungan dari elemen-elemen pada β. Teorema berikut memberikan syarat yang perlu dan cukup untuk kelas dari set-set yang merupakan basis untuk suatu topologi, yaitu: Misal B adalah kelas dari subset-subset dari set tidak kosong X maka B adalah basis untuk suatu topologi pada X bila dan hanya bila memenuhi dua sifat: a. X = {B: B B} b. Untuk suatu B, B B, B B adalah gabungan dari anggota-anggota B atau bila p B B maka zb p B sedemikian hingga p B p B B. Jika B 2 merupakan suatu basis untuk topologi τ pada X dan B 2 merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada X dimana B 1 B 2 maka B 2 adalah juga basis untuk topologi. 1. Diberikan X = {a, b, c, d, e, f} dan T 1 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e, f}} dengan β = {, {a}, {c, d}, {b, c, d, e, f}}. Apakah β merupakan basis dari T 1? Jelaskan! 2. X = {a, b, c, d, e}, T 1 ={X,, {a, b, c, d}, {a, c, d}, {a, d}, {d, e}, {d}, {e}, {a, c, d, e}, {a, d, e}} T 2 = {X,, {a, b, c, d}, {a, c, d, e}, {a, c, d}, {a, d, e}, {a, d}, {d, e}, {d}, {e}} B 1 = {{a, b, c, d}, {a, c, d}, {a, d}, {d, e}, {d}, {e}} B 2 = {X, {a, b, c, d}, {a, c, d}, {a, d, e}, {d}, {a, d}, {d, e}, {e}} Apakah B 1 dan B 2 merupakan basis untuk topologi? Jelaskan! 3. S = {a, b, c} dengan r = {, {a}, {a, c}, {c}, {b, c}, S} dan β = {{a}, {c}, {b, c}, } Apakah β merupakan basis dari r? Mengapa? 4. S = {a, b, c, d} dengan T = {, {b}, {c}, {b, c}, {a, b, c}, {b, c, d}} β = {, {b}, {c}, {b, c}, {a, b, c}, {b, c, d}} Tunjukkan bahwa β merupakan basis dari T!

24 4.2. BASIS BAGIAN Misal (X, τ) suatu ruang topologi. Kelas α yang anggotanya subset-subset buka dari X yaitu α τ adalah basis bagian untuk topologi τ pada X bila dan hanya bila irisan terhingga dari anggotaanggota α membentuk basis untuk τ. 1. Perhatikan bahwa setiap interval buka (a,b) dalam garis real R adalah irisan dari dua interval buka tak hingga (a, ) dan (, b): (a, b) = (a, ) (, b). Interval-interval bukanya membentuk basis untuk topologi pada R, jadi semua kelas dari semua interval buka tak hingga adalah basis bagian untuk R. 2. Irisan dari suatu pita buka interval dan horizontal tak hingga pada bidang R 2 adalah persegi panjang buka seperti buka, dimana persegi panjang persegi panjang buka membentuk basis untuk topologi pada R 2. Kelas β dari semua pita buka tak hingga adalah basis bagian untuk R 2. y 0 x 3. X = {a, b, c, d} T = {, X, {a}, {c}, {d}, {a, c}, {c, d}, {a, d}, {a, c, d}} G = {{a, c}, {c, d}, {a, d}, X} Apakah G merupakan sub bagian pada T? 4.3 TOPOLOGI YANG DIBANGUN OLEH KELAS DARI SET Misal A adalah kelas dari subset-subset dari set tidak kosong. Kemungkinan A bukan merupakan basis untuk topologi pada X. Jadi A selalu merupakan pembangunan dari topologi pada X seperti dikemukakan pada teorema berikut: Suatu kelas A yang terdiri dari subset-subset dari set tidak kosong X adalah basis bagian untuk suatu topologi τ yang unik pada X. Jadi irisan tak hingga dari anggota-anggota A membentuk basis untuk topologi τ pada. Misal R subset-subset dari set tidak kosong X. Meskipun R bukan basis tapi R dapat membentuk topologi dengan cara: a. Ditentukan semua irisan hingga dalam R yang merupakan basis dari suatu topologi. b. Dilakukan gabungan dari basis tersebut yang merupakan topologi yang dicari.

25 Topologi yang dibangun oleh kelas dari set-set dapat dinyatakan pula seperti proposisi berikut: Bila A adalah kelas subset-subset dari set tidak kosong X maka topologi τ pada X yang dibangun oleh A adalah irisan dari semua topologi pada X yang memuat A. 1. A = {{a, b}, {b, c}, {d}} adalah kelas dari subset-subset dari X = {a, b, c, d}. Tentukan topologi pada X yang dibangun (dibentuk) oleh A! 2. Let = {a, b, c, d, e}. Find the topology τ on X generated by A = {{a}, {a, b, c}, {c, d}}! 3. Misal X = {a, b, c, d, e} dan = {{a, b, c}, {c, d}, {d, e}}. Tentukan topologi pada X yang dibangun oleh P! 4.4 BASIS LOKAL Misal p adalah sebarang titik di dalam ruang topologi X. Kelas B p dari subset-subset buka yang memuat p disebut basis lokal pada p bila dan hanya bila untuk tiap set buka G yang memuat p ada G p B p sedemikian hingga p G p G Berikut ini hubungan antara basis untuk topologi dan basis lokal pada suatu titik dengan proposisi: 1. Bila B basis untuk topologi τ pada X dan p X maka anggota dari basis B yang memuat p membentuk basis lokal di p. 2. Titik p di dalam ruang topologi X adalah titik kumpul dari A X bila dan hanya bila tiap-tiap anggota suatu basis lokal B p pada p memuat suatu titik A yang berbeda dengan p. 3. Barisan (a 1, a 2, ) dari titik-titik dalam ruang topologi X konvergen ke p X bila dan hanya bila tiap anggota dari sebarang basis lokal B p pada p memuat semua suku-suku dari barisan itu. Ketiga proposisi diatas memberikan corollary berikut: Bila B suatu basis untuk topologi τ pada X maka : a. p X adalah titik kumpul dari A X bila dan hanya bila tiap set basis buka B B yang memuat p, memuat suatu titik dari A yang berbeda dengan p. b. Barisan (a 1, a 2, ) dari titik-titik dalam X konvergen ke p X bila dan hanya bila tiap set basis buka B B yang memuat p, memuat semua suku-suku dari barisan itu. Definisi basis lokal lainnya: Diberikan (X,T) merupakan ruang topologi dan a X maka koleksi B a dikatakan basis lokal pada suatu titik a jika milik sebuah himpunan terbuka G terdapat anggota β dari B sehingga a B G.

26 Remark/Keterangan: 1. It may be noted that every bases for a topology is also a local base at each point of ground set but the converse may not be true (Setiap basis untuk topologi juga merupakan basis lokal dalam setiap titik tetapi tidak sebaliknya mungkin tidak benar). 2. Union of all bases froms bases for topology τ defined on the any non-empty set X (Persatuan dari semua basis lokal membentuk basis untuk topologi τ, setiap tidak kosong X set). 1. Perhatikan topologi biasa pada bidang R 2 dan p R 2 maka kelas B p yang anggotanya semua bola buka yang pusatnya p adalah basis lokal pada p. Hal tersebut dapat ditunjukkan bahwa sebarang set buka G yang memuat p juga memuat bola buka D p yang pusatnya p. p. D p G Demikian pula, kelas dari semua interval buka (a δ, a + δ) dalam garis real R dengan pusat a R adalah basis lokal pada titik a. 2. X = {a, b, c} merupakan himpuan yang tidak kosong dan T = {, X, {a}, {b}, {a, b}, {b, c}}. (X, T) merupakan rang topologi, tentukan: a. Basis lokal pada titik a (Ba) b. Basis lokal pada titk b (Bb) c. Basis lokal pada titik c (Bc) d. Basis pada topologi T 4.5. BASIS LIMIT Basis limit dengan teorema sebagai berikut: 1. B1 merupakan koleksi interval terbuka tertutup pada garis bilangan riil yaitu B 1 = {(a, b] a, b R, a < b} dan (a, b] = {x R a < x b}. R adalah himpunan bilangan riil. Karena setiap bilangan riil r R terletak pada suatu interval terbuka tertutup dari B1 maka R merupakan gabungan (union) dari anggota-anggota B1. Selanjutnya irisan dari dua interval terbuka tertutup adalah kosong atau merupakan suatu interval terbuka tertutup lagi yang berarti juga anggota dari B1. Jika A merupakan koleksi interval terbuka tertutup (a,b] maka A merupakan suatu topologi pada R sehingga B1 merupakan basis untuk topologi A dan disebut topologi limit atas (upper limit topology).

27 2. Bila B 2 = {[a, b) a, b R, a < b} yaitu kelas interval tertutup terbuka pada garis bilangan riil R dimana [a, b) = {x R a x < b} maka B2 merupakan suatu basis untuk topologi pada R dan disebut topologi limit bawah (lower limit topology) pada R. 3. Bila B 3 = {a, b a, b R, a < b} yaitu koleksi interval terbuka pada garis riil R dimana (a, b] = {x R/a < x < b} maka B3 merupakan basis untuk topologi usual U pada garis bilangan riil R. Soal soal: 1. X = {1,2,3} dengan T = {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, X} dan B = {{1}, {2}, {3}} Tunjukkan B merupakan basis topologi untuk T! 2. X = {1,2,3} dengan τ = {, X} dan B = {X}, tunjukkan B merupakan basis topologi untuk τ! 3. X = {a, b, c, d, e} dengan A = {{a, b, c}, {c, d}, {d, e}, {e}} Tentukan topologi yang dibangun A! 4. S = {a, b, c} dengan τ = {, {a}, {c}, {a, c}, {b, c}, S}, tentuka Ba! 5. Tunjukkan bahwa irisan dari interval terbuka tak hingga a < x < b dengan a < b merupakan sub basis! 6. B adalah koleksi interval terbuka pada garis bilangan riil R yaitu B = {(a, b) a, b R, a < b} dimana (a, b) = {x R a < x < b} dan R adalah himpunan bilangan riil. Apakah B merupakan basis untuk topologi usual pada garis bilangan riil R? Jelaskan!

28 BAB V KONTINUITAS DAN TOPOLOGI EQUIVALEN 5.1. FUNGSI-FUNGSI KONTINU Misalkan (X, τ) dan (Y, τ ) adalah ruang topologi-ruang topologi. Suatu fungsi f dari X ke dalam Y disebut kontinu relative ke τ dan τ atau kontinu τ τ atau kontinu bila dan hanya bila bayangan invers f 1 [H] dari tiap τ dengan H subset buka dari Y adalah anggota τ merupakan subset buka dari X atau bila dan hanya bila H τ maka f 1 [H] τ. Ditulis f: (X, τ) (X, τ ) untuk suatu fungsi di dalam topologi. Dengan kata lain (X, τ) dan (Y, τ ) merupakan ruang topologi-ruang topologi. Fungsi f: X Y disebut kontinu T 1 T 2 jika untuk setiap himpunan terbuka H anggota T berlaku f 1 [H] anggota dari T 1. Proposisi: Fungsi f: X Y adalah kontinu bila hanya bila invers dari tiap anggota basis B untuk Y adalah subset buka dari X. Teorema: 1. Misal τ adalah basis bagian untuk ruang topologi Y maka fungsi f: X Y adalah kontinu bila hanya bila invers tiap-tiap anggota τ adalah sub set buka dari X. 2. Fungsi f: X Y adalah kontinu bila hanya bila bayangan invers dari tiap subset tutup dari Y adalah tutup dari X. Beberapa dalil yang berkaitan dengan fungsi kontinu: 1. Suatu fungsi f: R R adalah kontinu jika hanya jika bayangan invers dari setiap set yang terbuka adalah set yang terbuka. 2. Jika suatu fungsi f: R R adalah konstan yaitu f(x) = k untuk setiap x R maka f adalah kontinu. 3. Jika suatu fungsi f: R R adalah fungsi identitas yaitu f(x) = x maka f adalah kontinu. 4. Jika suatu fungsi f: R R dan g: R R adalah fungsi-fungsi kontinu maka f g R R adalah juga kontinu. Dalil tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut: 1. Suatu fungsi f: R R adalah kontinu jika hanya jika bayangan invers dari setiap set yang terbuka adalah set yang terbuka, dengan pembuktian: misalkan f: R R adalah fungsi kontinyu dan V adalah suatu himpunan bagian terbuka dari R. Akan ditunjukkan bahwa f 1 [V] adalah juga merupakan himpunan yang terbuka. Ambil p f 1 [V] berarti f(p) V. Menurut definisi kontinuitas ada suatu himpunan terbuka Up yang mengandung p sehingga f[u p ] V dan U p f 1 [f[u p ] f 1 [V] maka jelas bahwa untuk setiap p f 1 [V] ada suatu himpunan terbuka Up sedemikian hingga U p f 1 [V]. Jadi f 1 [V] = U{U p p f 1 [V]} dan f 1 [V] adalah terbuka.

29 V f(up) (p) Up P f -1 [V] Sebaliknya, misalkan invers dari setiap himpunan yang terbuka adalah terbuka, akan ditunjukkan bahwa f adalah kontinu di setiap titik p R. Ambil V adalah himpunan terbuka yang mengandung f(p) yaitu f(p) V karena f[f 1 [v]] V maka f 1 [V] adalah himpunan terbuka yang mengandung p. Jadi f adalah kontinu di p. 2. Jika suatu fungsi f: R R adalah konstan yaitu f(x) = k untuk setiap x R maka f adalah kontinu, dengan pembuktian: menurut dalil 1, fungsi f adalah kontinu jika hanya jika dari sebarang himpunan terbuka G yaitu f 1 [G] adalah juga himpunan yang terbuka karena f(x) = k untuk setiap x R maka: f 1, jika k G [G] =, untuk setiap himpunan terbuka G. R, jika k G Karena dan R adalah himpunan yang terbuka maka f 1 [G] adalah terbuka. 3. Jika suatu fungsi f: R R adalah fungsi identitas yaitu f(x) = x maka f adalah kontinu, dengan pembuktian: ambil G adalah himpunan terbuka. Karena f(x )= x adalah fungsi identitas maka f 1 [G] = G adalah himpunan yang terbuka. Jadi f adalah fungsi yang kontinu. 4. Jika suatu fungsi f: R R dan g: R R adalah fungsi-fungsi kontinu maka f. g R R adalah juga kontinu, dengan pembuktian: harus ditunjukkan bahwa (f g) 1 [G] dengan G adalah sebarang himpunan terbuka. Karena g adalah kontinu maka g 1 [G] adalah himpunan terbuka tetapi karena f adalah kontinu maka invers dari g 1 [G] yaitu f 1 [g 1 [G]] adalah juga himpunan terbuka. Dari sifat (g f) 1 = f 1 g 1 maka (g f) 1 [G] = (f 1 g 1 )[G] = f 1 [g 1 [G]] adalah suatu himpunan yang terbuka. Jadi (g f): R R adalah kontinu. 1. Perhatikan ruang diskrit (X,D) dan ruang topologi (Y,τ) maka tiap fungsi f: X Y adalah D τ kontinu karena bila H sebarang subset buka dari Y, invers f 1 [H] adalah subset buka dari X dan tiap subset buka dari ruang diskrit adalah buka. 2. Misal f: X Y dengan X dan Y masing-masing ruang topologi dan B adalah basis untuk topologi pada Y. Bila untuk tiap-tiap anggota B B, f 1 [B] adalah subset buka dari X maka f adalah fungsi kontinu karena misalnya H adalah subset buka dari Y maka H = i B i adalah

30 gabungan dari anggota-anggota dari B tetapi f 1 [H] = f 1 [ i B i ] = i f 1 [B i ] dan tiaptiap f 1 [B i ] adalah buka menurut hipotesis, jadi f 1 [H] adalah gabungan dari set-set buka, yang merupakan set buka. Jadi f adalah kontinu. 3. X = {a, b, c, d} dan Y = {x, y, z, w}, τ = {X,, {a}, {a, b}, {a, b, c}} dan τ 1 = {Y,, {x}, {y}, {x, y}, {y, z, w}}. Fungsi-fungsi f: X Y dan g: X Y didefinisikan: a. f.x a. g.x b..y b..y c..z c..z d..w d..w Apakah fungsi f dan g kontinu di dalam topologi? Jelaskan! 4. Misalkan topologi-topologi pada X = {p, q, r, s} dan Y = {1,2,3,4} pada T 1 = {X,, {p}, {r}, {p, s}, {p, q, s}} dan T 2 = {Y,, {1}, {2}, {1,3}, {1,3,4}} Fungsi-fungsi f: X Y dan g: X Y didefinisikan: f: {(p, 2), (q, 4), (r, 1), (s, 4)} dan g: {(p, 1), (q, 3), (r, 2), (s, 3)} Apakah fungsi f dan g kontinu dalam topologi? Jelaskan! 5.2. FUNGSI KONTINU DAN KETERTUTUPAN SEBARANG Misal X adalah ruang topologi. Titik p X disebut tutup sebarang (arbitrarily close) terhadap set A X bila p A dan p adalah titik kumpul dari A Ingat bahwa A = A A ; jadi penutup dari A memuat titik di dalam X yang merupakan tutup sebarang terhadap A. Ingat juga bahwa A = A b(a), jadi p adalah tutup sebarang terhadap A karena p adalah titik interior atau titik batas dari A. Fungsi-fungsi kontinu dapat pula dinyatakan sebagai fungsi-fungsi dengan tutup sebarang utuh dengan teorema seperti berikut: Fungsi f: X Y adalah kontinu bila dan hanya bila untuk p X dan A X; p tutup sebarang ke A maka f(p) tutup sebarang ke f[a] atau p A maka f(p) f[a] atau f[a ] f[a].

31 5.3. KONTINU PADA SUATU TITIK Suatu fungsi f: X Y adalah kontinu di titik p X bila hanya bila bayangan invers f 1 [H] dari tiap set buka H Y yang memuat f(p) adalah superset dari set buka G X yang memuat p, atau nila dan hanya bila bayangan invers dari tiap-tiap lingkungan dari f(p) adalah lingkungan dari p yaitu N N f(p) f 1 [N] N p. Teorema: Misal X dan Y masing-masing ruang topologi maka fungsi f: X Y adalah kontinu bila dan hanya bila f: X Y kontinu pada tiap titik dari X. 1. Apabila topologi pada X = {a, b, c, d} diberikan oleh τ = {X,, {a}, {b}, {a, b}, {b, c, d}} dan fungsi f: X X didefinisikan oleh diagram: a b c d a b c d Tunjukkan bahwa: a. f tidak kontinu di c! b. f kontinu di d! 2. Apabila topologi pada X = {p, q, r, s} diberikan oleh τ = {X,, {r}, {s}, {r, s}, {p, q, r}} dan fungsi f: X X didefinisikan f: {(p, q), (q, r), ( r, p), (s, r)}. a. Apakah f kontinu di p? b. Apakah f kontinu di q? 3. Kondisi apakah yang harus dipenuhi agar fungsi f: X Y tidak kontinu di titik p X? 5.4. KEKONTINUAN BARISAN DI SUATU TITIK Fungsi f: X Y adalah barisan kontinu di titik p X bila dan hanya bila untuk tiap barisan (an) dalam X konvergen ke p, barisan (f(an)) dalam Y konvergen ke f(p), yaitu: bila a n p maka f(a n ) f(p) Barisan kontinu dan kontinu di suatu titik berrelasi yaitu bila fungsi f: X Y kontinu di titik p X maka f: X Y adalah barisan kontinu di titik p. Catatan: Konvers dari proposisi diatas adalah tidak benar. Misalnya, perhatikan topologi τ pada garis real R yang terdiri dan komplemen dari set-set kontabel. Ingat kembali suatu barisan (an) konvergen ke p bila dan hanya bila barisan itu berbentuk (a1, a2,, ano, p, p, p, ), maka