METODE KARMARKAR UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINEAR
|
|
- Glenna Budiono
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 METODE KARMARKAR UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINEAR SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: Yohana Buragoran NIM: PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2013
2 KARMARKAR METODE TO SOLVE THE PROBLEM LINEAR PROGRAM THESIS Presented As a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree In Mathematics by: Yohana Buragoran Student Number: MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2013 i
3 ii
4 iii
5 HALAMAN PERSEMBAHAN Matius 21:22 Dan apa saja yang kamu minta dalam doa dengan penuh kepercayaan, kamu akan menerimanya. Dengan penuh cinta karya ini ku persembahkan untuk: Bapak-Ibuku, Yakobus Bedatuan-Ariadne Trisnani Ketiga adikku, Imelda, Elis dan Valensia Kekasihku Benediktus Eki Prabowo Terimakasih.. Telah mendorongku untuk mempertahankan mimpi-mimpiku Menunjukkan padaku untuk tidak terpengaruh oleh rintangan Menghapuskan air mataku kala aku sedih Mengubah kebingunganku menjadi senyuman Mengubah keputus asaanku menjadi harapan Terimakasih karena kalian memberikan semangat dan keceriaan untukku iv
6 PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah. Yogyakarta,17 Oktober 2013 v
7 ABSTRAK Masalah dalam program linear adalah mengoptimumkan suatu fungsi linear yang terbatas oleh kendala-kendala berupa persamaan atau pertidaksamaan linear. Salah satu metode untuk menyelesaikan masalah dalam program linear, adalah metode Karmarkar yang merupakan salah satu kelas dari metode titikinterior. Untuk menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan metode Karmarkar, suatu masalah program linear dalam bentuk standar harus diubah dahulu ke dalam bentuk kanonik Karmarkar dengan menggunakan transformasi proyektif. Ide dasar metode Karmarkar, dimulai dengan memilih titik-interior awal di dalam ruang penyelesaian. Gradien fungsi tujuan di titik-interior awal adalah arah yang membuat fungsi tujuan meningkat dengan cepat. Jika satu titik sembarang ditempatkan di sepanjang gradien itu kemudian memproyeksikannya secara tegak lurus terhadap ruang penyelesaian, maka hasil transformasi titik-interior yang dipilih diposisikan lebih dekat dengan titik optimum. Hasil transformasi titikinterior yang dipilih dijalankan ke suatu titik-interior lain dengan arah layak dan besar langkah yang sesuai. Proses iterasi ini diulang hingga nilai fungsi sasaran sama dengan nol. vi
8 ABSTRACT The problem in linear programming is finding points that optimizing a linear function with linear constrained, in form of equalities or inequalities. One method to solve linear programming problems is the Karmakar method, which is one of a class of interior-point method. Using Karmakar method, a linear programming problem in standard form must be converted first into a canonical form using Karmarkar projective transformation. The basic idea of Karmarkar method, starts with choosing an interior-point early in the feasible space. Gradient of the objective function at the initial interior point is the direction that makes the objective function is increasing rapidly. If one is placed at an arbitrary point along the gradient, and then project it perpendicularly to a feasible space, then the result of the transformation of selected interior points positioned closer to the optimum point. The results of transformation chosen run to another interior with an appropriate direction and length of step. This iterative process is repeated until the objective function value equal to zero. vii
9 LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPERLUAN AKADEMIS Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Yohana Buragoran Nomor Mahasiswa : Demi mengembangkan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul: METODE KARMARKAR UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINEAR Beserta perangkat yang diperlukan. Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Yogyakarta, 17 Oktober 2013 viii
10 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala kasih dan perlindungan-nya sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. Skripsi ini disusun dalam rangka melengkapi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada: 1. Tuhan Yesus Kristus yang telah menyertai, membimbing dan menuntun penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini sehingga tugas akhir ini dapat selesai dengan baik. 2. Ibu Lusia Krismiyati, S.Si, M.Si sebagai dosen pembimbing akademik dan dosen pembimbing skripsi yang penuh perhatian dan kesabaran telah membimbing serta memberi saran dan kritik kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini. 3. Ibu Any Herawati, S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan saran dan kritik dalam skripsi ini. 4. Bapak Y.G.Hartono, S.Si, M.Sc, Ph.D selaku dosen penguji yang telah memberikan saran dan kritik dalam skripsi ini. 5. Bapak dan Ibu dosen di Program Studi Matematika yang telah membimbing dan mendidik penulis selama menuntut ilmu di Universitas Sanata Dharma ix
11 sehingga penulis mendapatkan ilmu yang berguna untuk menyelesaikan tugas akhir ini. 6. Bapak dan Ibu karyawan Universitas Sanata Dharma, khususnya sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi, dan perpustakaan Universitas Sanata Dharma atas segala bantuan dan fasilitas yang telah diberikan. 7. Keluargaku, Bapak Yakobus Bedatuan, Ibu Ariadne Trisnani, adik-adikku Imelda Memen Tokan, Elisabeth Hala Tokan, Valensia Ina Tokan, dan Kekasihku Benediktus Eki Prabowo yang selalu memberi dukungan, semangat dan mendoakan penulis. 8. Sahabat-sahabatku Mbak Ratih, Herta, Metri, Rina, Sefi, Lia, Berta, Ita, Nita, Ana, dan teman-teman kos yang telah memberikan dukungan, semangat, dan mendoakan penulis. 9. Temen-temen seperjuangan Yohanes Dimas, Faida, Rossi, Etik, Erlika, Dwi, Dimas, Sekar yang telah membantu dan mendukung penulis. 10. Semua pihak yang telah membantu penulis baik secara langsung maupun tidak langsung hingga selesainya penulisan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangannya. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih bila ada kritik dan saran yang dapat membangun penulis. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan menjadi referensi bagi pembaca. Yogyakarta,...Oktober 2013 Penulis x
12 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii HALAMAN PERSEMBAHAN... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... v ABSTRAK... vi ABSTRACT... vii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN... viii KATA PENGANTAR... ix DAFTAR ISI... xi DAFTAR GAMBAR... xiv BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang... 1 B. Rumusan Masalah... 2 C. Tujuan Penulisan... 3 xi
13 D. Batasan Masalah... 3 E. Manfaat Penulisan... 3 F. Metode Penulisan... 4 G. Sistematika Penulisan... 4 BAB II OPTIMISASI UNTUK PERSOALAN LINEAR... 6 A. Matriks dan Sistem Persamaan Linear... 6 B. Ruang Vektor C. Masalah Program Linear BAB III METODE KARMARKAR A. Bentuk Kanonik Karmarkar B. Asumsi-Asumsi dalam Masalah Karmarkar C. Transformasi Proyeksi D. Mengubah Masalah Program Linear Bentuk Umum ke Bentuk Kanonik Karmarkar E. Algoritma Karmarkar F. Aplikasi Metode Karmarkar dalam menyelesaikan masalah Program Linear BAB IV KESIMPULAN A. Kesimpulan B. Saran xii
14 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xiii
15 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar Gambar 3.1 Ilustrasi algoritma Karmarkar xiv
16 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah dalam program linear adalah mengoptimumkan suatu fungsi linear yang terbatas oleh kendala-kendala berupa persamaan dan pertidaksamaan linear. Untuk menyelesaikan masalah program linear terdapat beberapa metode yang umum digunakan, yaitu metode grafik dan metode simpleks. Metode grafik, hanya dapat digunakan untuk masalah dengan dua variabel saja, sehingga apabila masalah program linear memuat lebih dari dua variabel akan sulit penyelesaiannya. Meskipun dalam prakteknya masalah program linear jarang yang hanya memuat dua variabel, tetapi metode grafik mempermudah untuk memahami pengertianpengertian yang timbul dalam masalah program linear. Sedangkan metode simpleks adalah metode aljabar yang digunakan untuk menyelesaikan masalah program linear yang melibatkan lebih dari dua variabel dan pada prakteknya, lebih sesuai dilakukan dengan program komputer dengan ratusan atau ribuan variabel dan kendala. Ada metode lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah program linear yaitu metode titik-interior. Perbedaan antara metode titikinterior dengan metode simpleks adalah pada metode simpleks penyelesaian dilakukan dengan meninjau setiap titik sudut pada batas dari daerah layak hingga dicapai titik optimum. Sedangkan pada metode titik-
17 2 interior penyelesaian dilakukan dengan meninjau titik-titik yang berada dalam daerah layak hingga dicapai titik optimum. Algoritma titik-interior dapat dibagi dalam empat kelas utama, yaitu affine scaling methods, metode proyektif atau lebih dikenal dengan metode Karmarkar, path-following methods, dan potential-reduction methods. Dalam tugas akhir ini akan dibahas metode Karmarkar. Disebut metode proyektif karena tranformasi yang digunakan adalah tranformasi proyektif. Ide dasar metode Karmarkar, yaitu dimulai dengan memilih titikinterior awal di dalam ruang penyelesaian. Gradien fungsi tujuan di titikinterior awal adalah arah yang membuat fungsi tujuan meningkat dengan cepat. Jika satu titik sembarang ditempatkan di sepanjang gradien itu dan lalu memproyeksikannya secara tegak lurus terhadap ruang penyelesaian, maka hasil transformasi titik-interior yang dipilih diposisikan lebih dekat dengan titik optimum. Hasil transformasi titik-interior yang dipilih dijalankan ke suatu titik-interior lain dengan arah layak dan besar langkah yang sesuai. Proses iterasi ini diulang hingga penyelesaian optimum dicapai. B. Rumusan Masalah Berdasarkan uraian di atas, maka permasalahan yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah: 1. Apa yang dimaksud dengan metode Karmarkar?
18 3 2. Bagaimana menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan metode Karmarkar? 3. Bagaimana aplikasi metode Karmarkar untuk menyelesaikan masalah program linear? C. Tujuan Penulisan Bedasarkan rumusan masalah, tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah: 1. Memahami apa yang dimaksud dengan metode Karmarkar. 2. Dapat menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan metode Karmarkar. 3. Dapat menyelesaikan aplikasi metode Karmarkar untuk menyelesaikan masalah program linear. D. Batasan Masalah Agar penulisan mencapai tujuan yang dimaksud, maka perlu ada batasan mengenai permasalahan yang diangkat. Adapun batasan masalahnya, yaitu penulis akan membahas masalah program linear dalam bentuk standar meminimumkan. E. Manfaat Penulisan Adapun manfaat yang diharapkan penulis dalam tugas akhir ini adalah dapat menambah referensi tentang penyelesaian masalah program linear dengan menggunakan metode Karmarkar.
19 4 F. Metode Penulisan Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan metode Karmarkar untuk menyelesaikan masalah program linear. G. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut : BAB I Pendahuluan A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Tujuan Penulisan D. Batasan Masalah E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II Optimisasi untuk Persoalan Linear A. Matriks dan Sistem Persamaan Linear B. Ruang Vektor C. Masalah Program Linear BAB III Metode Karmarkar A. Bentuk Kanonik Karmarkar B. Asumsi-Asumsi dalam Masalah Karmarkar
20 5 C. Transformasi Proyeksi D. Mengubah Masalah Program Linear Bentuk Umum ke Bentuk Kanonik Karmarkar E. Algoritma Karmarkar F. Aplikasi Metode Karmarkar dalam menyelesaikan masalah Program Linear BAB IV Penutup A. Kesimpulan B. Saran
21 BAB II RUANG VEKTOR DAN MASALAH PROGRAM LINEAR A. Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi 2.1 Matriks Diagonal Suatu matriks A berorde disebut matriks diagonal jika untuk, yaitu (2.1) Teorema 2.1: Sifat Transpos Jika ukuran matriks adalah matriks dengan sedemikian sehingga operasi berikut dapat dilakukan, maka 1. 2.
22 7 Bukti: Misalkan, dengan dan misalkan, dengan. Akan dibuktikan i) ii)
23 8 Teorema 2.2 Jika matriks A adalah sebuah matriks dan, maka persamaan matriks (2.2) (2.3) Persamaan (2.2) dan (2.3) mempunyai penyelesaian tunggal untuk X
24 9 Bukti: Misalkan, akan dibuktikan matriks X mempunyai penyelesaian tunggal yang memenuhi, dan karena itu merupakan penyelesaian dari kedua persamaan (2.2) dan (2.3). Untuk melihat bahwa penyelesaian ini tunggal misalkan bahwa Y juga memenuhi persamaan (2.2), yaitu. Kemudian Karena itu penyelesaian dari persamaan (2.2) adalah tunggal, dan argumen yang sama diterapkan pada persamaan (2.3). Definisi 2.2 Invers Matriks Suatu matriks A berorde dikatakan taksingular (nonsingular) atau dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks B sehingga. Matriks B disebut sebagai invers perkalian (multiplicative inverse) dari A. Notasi yang umum untuk invers adalah. Definisi 2.3 Persamaan Linear Suatu persamaan linear dalam n variabel adalah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk (2.4)
25 10 dengan dan adalah konstanta real, adalah variabel dan tidak semua sama dengan nol. Definisi 2.4 Sistem Persamaan Linear Suatu sistem persamaan linear adalah himpunan persamaan linear dalam variabel, yang dapat dinyatakan dalam bentuk (2.5) dengan dan adalah konstanta real dan tidak semua sama dengan nol, untuk. Dalam sistem persamaan linear, dapat terjadi,, atau. Definisi 2.5 Matriks Lengkap Matriks Lengkap dari sistem persamaan linear (2.5) adalah
26 11 Definisi 2.6 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Apabila, dimana adalah konstanta-konstanta real yang memenuhi semua sistem persamaan linear dalam (2.5), maka konstanta disebut penyelesaian dari sistem persamaan linear. Definisi 2.7 Sistem persamaan linear disebut konsisten jika sistem persamaan tersebut setidak-tidaknya mempunyai paling tepat sedikit satu penyelesaian atau takberhingga banyak penyelesaian. Sistem persamaan linear disebut tidak konsisten jika sistem persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian. Definisi 2.8 Sistem Persamaan Linear Homogen Suatu sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear homogen jika konstanta-konstanta di ruas kanan semuanya nol. Sistem persamaan linear homogen dapat dinyatakan dalam bentuk (2.6)
27 12 Sistem persamaan linear homogen selalu mempunyai penyelesaian konsisten. Jadi, jika dalam sistem persamaan linear homogen, memiliki penyelesain tunggal maka penyelesaian ini disebut penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain maka penyelesaian itu disebut penyelesaian taktrivial. Definisi 2.9 Operasi baris elementer Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah salah satu operasi: 1. Menukar letak dari dua baris matriks tersebut, yakni menukar baris ke-i dan ke-j, dengan notasi. 2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol, yakni mengalikan baris ke-i dengan bilangan c, dimana, dengan notasi. 3. Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan baris lain, yakni mengganti baris ke-i ditambah dengan c kali baris ke-j, dengan notasi. Definisi 2.10 Bentuk eselon baris Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baris jika 1. Entri bukan nol pertama dalam setiap baris adalah Jika baris k tidak seluruhnya mengandung nol, maka banyaknya entri nol di bagian depan pada baris lebih besar dari banyaknya entri nol dibagian depan pada baris k.
28 13 3. Jika terdapat baris-baris yang entrinya semuannya nol, maka baris-baris ini berada di bawah baris-baris yang memiliki entri-entri bukan nol. Definisi 2.11 Matriks Elementer Suatu matriks yang diperoleh dari matriks satuan I dengan melakukan satu operasi baris elementer disebut matriks elementer. Terdapat tiga jenis matriks elementer yang berkorespondensi dengan ketiga jenis operasi baris elementer. 1. Matriks elementer jenis 1 adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan dua baris dari I. 2. Matriks elementer jenis 2 adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan satu baris dari I dengan konstanta bukan nol. 3. Matriks elementer jenis 3 adalah matriks yang diperoleh dari I dengan menjumlahkan kelipatan dari satu baris pada baris yang lain. Definisi 2.12 Ekivalen Baris Matriks B dikatakan ekivalen baris dengan A jika terdapat matriks elementer sehingga B. Ruang Vektor Definisi 2.13 Ruang Vektor Misalkan V adalah suatu himpunan tak kosong yang terdiri dari objek-objek di mana didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.
29 14 Himpunan V dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar dikatakan membentuk suatu ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi: Terdapat elemen sehingga 4. sehingga 5. untuk setiap skalar 6. untuk setiap skalar 7. untuk setiap skalar Jika dan suatu skalar, 10. Jika maka Contoh 2.1 Misalkan dan adalah vektor-vektor di. Penjumlahan pada didefinisikan sebagai berikut: (2.7)
30 15 dan operasi perkalian dengan skalar di R didefinisikan sebagai berikut: (2.8) Tunjukkan bahwa merupakan ruang vektor. Bukti: Misalkan,, dan, 1. Akan ditunjukkan 2. Akan ditunjukkan 3. Akan ditunjukkan terdapat elemen sehingga
31 16 4. Akan ditunjukkan sehingga Invers dari adalah sehingga 5. Akan ditunjukkan 6. Akan ditunjukkan 7. Akan ditunjukkan
32 17 8. Akan ditunjukkan 9. Akan ditunjukkan Seperti pada persamaan (2.8) 10. Akan ditunjukkan Seperti pada persamaan (2.7) Definisi 2.14 Ruang bagian (subspace) Jika S adalah subhimpunan tak kosong dari suatu ruang vektor V, dan S memenuhi syarat-syarat berikut: a. jika untuk sembarang skalar. b. jika dan. Maka S disebut ruang bagian dari V.
33 18 Contoh 2.2 Tunjukan apakah merupakan ruang bagian dari atau tidak. Bukti: 1. Akan dibuktikan jika untuk sembarang skalar. dan karena maka karena maka jadi. 2. Akan dibuktikan jika dan. dan karena dan maka dan. Sehingga karena dan maka
34 19 ruang bagian dari Definisi 2.15 Kombinasi linear Misalkan adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V. Jumlahan vektor-vektor yang berbentuk (2.9) dimana adalah skalar-skalar disebut sebagai kombinasi linear dari Definisi 2.16 Merentang (span) Misalkan adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V dan jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari maka dapat dikatakan bahwa vektor-vektor merentang V.
35 20 Definisi 2.17 Bebas linear (linearly independent) Vektor-vektor dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika (2.10) mengakibatkan semua skalar-skalar sama dengan 0. Definisi 2.18 Bergantung linear (linearly dependent) Vektor-vektor jika terdapat skalar-skalar dalam ruang vektor V disebut bergantung linear yang tidak semuanya nol sehingga (2.11) Definisi 2.19 Basis Vektor-vektor membentuk basis untuk ruang vektor V jika dan hanya jika: a. bebas linear. b. merentang V.
36 21 Definisi 2.20 Dimensi dari ruang vektor V adalah banyaknya vektor-vektor yang membentuk basis untuk ruang vektor V. Selain itu, mendefinisikan ruang vektor nol sebagai berdimensi nol. Definisi 2.21 Misalkan matriks. Vektor-vektor dalam, yaitu,,, yang dibentuk dari baris-baris matriks A dinamakan vektor-vektor baris dari A dan vektor-vektor dalam, yaitu,,, yang dibentuk dari kolom-kolom matriks A dinamakan vektor-vektor kolom dari A. Definisi 2.22 Jika A adalah matriks, maka ruang bagian dari yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A. Ruang bagian dari
37 22 yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A. Ruang kolom dari A dapat di notasikan Contoh 2.3: Misalkan Ruang baris dari A adalah himpunan ketiga tupel yang berbentuk Ruang kolom dari A adalah himpunan semua vektor yang berbentuk Jadi ruang baris dari A adalah ruang bagian berdimensi dua dari dan ruang kolom dari A adalah. Teorema 2.3 Dua matriks yang ekivalen baris memiliki ruang baris yang sama.
38 23 Bukti: Jika B ekivalen baris dengan A, maka B dapat dibentuk dari A dengan sebarisan operasi baris yang berhingga banyaknya. Jadi vektor-vektor baris dari B harus merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor baris dari A. Sebagai akibatnya, ruang baris dari B harus merupakan ruang bagian dari ruang baris A. Karena A ekivalen baris dengan B, maka dengan alasan yang sama, ruang baris dari A adalah ruang bagian dari ruang baris B. Definisi 2.23 Ruang Nol (Null Spaces) Misal adalah matriks. Misalkan menyatakan himpunan semua penyelesaian dari sistem persamaan homogen. Jadi (2.12) disebut sebagai ruang nol Definisi 2.24 Rank dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris dari A. Nulitas dari matriks A adalah dimensi ruang nol dari A.
39 24 Untuk menentukan rank dari suatu matriks dapat dilakukan dengan mereduksikan matriks yang bersangkutan menjadi bentuk eselon baris. Teorema 2.4 Jika suatu matriks berada dalam bentuk eselon baris, maka vektor-vektor baris dengan 1 utama (yaitu vektor-vektor baris taknol) membentuk suatu basis untuk ruang baris dari. Bukti: Misalkan matriks berada dalam bentuk eselon baris, yakni Akan dibuktikan vektor-vektor baris dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari. Ruang baris dari A dapat dibentuk sebagai berikut Jadi ruang baris dari adalah himpunan matriks-matriks
40 25. Akan ditunjukkan bahwa baris 1 sampai baris m dari matriks membentuk basis untuk ruang baris dari. Misalkan vektor-vektor baris dapat dinyakan sebagai. Akan ditunjukkan membentuk basis. 1. Akan ditunjukkan bebas linear Vektor disebut bebas linear jika mengakibatkan semua skalar persamaan, yakni sama dengan nol. Perhatikan
41 26 Matriks lengkap dari sistem persamaan tersebut dapat ditulis Dengan operasi baris elementer terhadap baris 2, yakni maka akan diperoleh Operasi baris elementer dilakukan sampai pada baris ke-m, yakni dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
42 27 maka,. Karena, maka bebas linear. 2. Akan dibuktikan merentang ruang baris dari A. dikatakan merentang jika masing-masing vektor pada ruang baris di ruang bagian dari dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari. Ambil sembarang vektor pada ruang baris di ruang bagian dari. Akan ditunjukkan untuk setiap dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear. Perhatikan persamaan, yakni
43 28 atau dapat ditulis dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh Karena maka merentang ruang baris dari A.
44 29 Karena bebas linear dan merentang maka vektor-vektor tersebut membentuk basis untuk ruang baris dari A. Contoh 2.4 Misalkan Dengan mereduksikan A menjadi bentuk eselon baris, maka diperoleh matriks Akan dibuktikan bahwa baris 1 dan baris 2 dari matriks U dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari U. Ruang baris dari U yakni dapat dibentuk Jadi ruang baris dari U adalah.
45 30 Akan ditunjukkan bahwa baris 1 dan baris 2 dari matriks U membentuk basis untuk ruang baris dari U. Misalkan, akan ditunjukkan membentuk basis. 1. Akan dibuktikan bebas linear Vektor disebut bebas linear jika mengakibatkan semua skalar sama dengan nol. atau dapat ditulis dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh
46 31 maka,,. Karena maka bebas linear. 2. Akan dibuktikan merentang ruang baris dari U dikatakan merentang jika masing-masing vektor di dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear. Perhatikan persamaan dibawa ini atau dapat ditulis dengan operasi baris elementer maka akan diperoleh maka,, dan. Karena dan maka merentang ruang baris dari U. Karena bebas linear dan merentang maka vektor-vektor tersebut membentuk basis untuk ruang baris dari U. Jelas bahwa baris 1 dan baris 2 dari matriks U membentuk basis untuk ruang baris dari U adalah, maka rank dari U adalah 2. Karena U dan A
47 32 ekivalen baris, maka matriks U dan A memiliki ruang baris yang sama sehingga rank dari A adalah 2. Definisi 2.25 Variabel utama adalah variabel-variabel yang bersesuaian dengan 1 utama pada matriks yang diperluas. Sedangkan variabel yang bukan 1 utama disebut sebagai variabel bebas. Teorema 2.5 Jika A adalah matriks, maka dimensi ruang baris dari A sama dengan dimensi ruang kolom dari A. Bukti Jika A adalah matriks dengan rank r, maka bentuk eselon baris U dari A akan memiliki 1 utama sebanyak r. Kolom-kolom dari U yang berkorespondensi dengan 1 utama akan bebas linear. Akan tetapi, tidak membentuk basis untuk ruang kolom dari A, karena pada umumnya A dan U akan memiliki ruang-ruang kolom yang berbeda. Misalkan melambangkan matriks yang diperoleh dari dengan menghapus semua kolom-kolom yang berkorespondesi dengan peubah-peubah bebas. Hapuskan kolom-kolom yang
48 33 sama dari A dan nyatakan matriks yang baru dengan. Matriks-matriks dan adalah ekivalen baris. Jadi, jika x adalah penyelesaian dari, maka x juga harus merupakan penyelesaian dari. Karena kolomkolom dari bebas linear, x harus sama dengan. Berdasarkan uraian sebelumnya karena x sama dengan 0 maka kolom-kolom dari bebas linear. Karena memiliki r kolom, maka dimensi ruang kolom dari A satidaknya adalah r. Berdasarkan Definisi matriks transpos, baris-baris dari matriks A merupakan kolom-kolom dari matrik sehingga dapat ditulis Seperti yang telah dibuktikan bahwa untuk sembarang matriks dimensi ruang kolomnya lebih besar atau sama dengan dimensi ruang barisnya, sehingga Berdasarkan Definisi matrik transpos, baris-baris dari matrik merupakan kolom-kolom dari matrik sehingga dapat ditulis Jadi untuk sembarang matriks A, dimensi ruang barisnya harus sama dengan dimensi ruang kolomnya.
49 34 Teorema 2.6 Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka Bukti Karena A memiliki n kolom, maka sistem linear homogen memiliki n faktor yang tidak diketahui (variabel). Variabel ini terbagi dalam dua kategori, variabel utama dan variabel bebas. Jadi Tetapi banyaknya variabel utama adalah sama dengan banyaknya 1 utama di dalam bentuk eselon baris tereduksi dari A, dan banyaknya variabel satu utama merupakan rank dari A. Jadi Banyaknya variabel bebas adalah sama dengan nulitas dari A. Hal ini terjadi karena nulitas dari A adalah dimensi ruang solusi dari, yang sama dengan banyaknya parameter pada solusi umum yang sama dengan banyaknya variabel bebas. Jadi
50 35 Definisi 2.26 Ruang hasil kali dalam Hasil kali dalam pada ruang vektor V adalah sebuah operasi pada V yang menunjuk setiap pasang vektor-vektor x dan y di dalam V dengan sebuah bilangan real yang memenuhi syarat berikut: a., dan jika dan hanya jika. b.,. c., dan. Sebuah ruang vektor V dengan hasil kali dalamnya disebut ruang hasil kali dalam. Contoh 2.5 Ruang vektor. Tunjukkan bahwa hasil kali skalar yang didefinisikan: (2.13) adalah hasil kali dalam untuk. Persamaan (2.13) dapat juga ditulis (2.14) dengan menyatakan transpose matriks x.
51 36 Penyelesaian: Ambil sembarang vektor,, dan, dalam ruang vektor dan sembarang skalar a. Akan dibuktikan, dan jika dan hanya jika. Akan dibuktikan Diketahui (2.15) maka dari persamaan (2.15) dapat diperoleh Jadi Akan dibuktikan Diketahui dan maka diperoleh
52 37 Jadi b. Akan dibuktikan,. Jadi terbukti c. Akan dibuktikan, dan.
53 38 = Jadi terbukti Dari a, b, dan c terbukti bahwa hasil kali dalam di ruang vektor adalah hasil kali dalam skalar Definisi 2.27 Panjang vektor atau norma Jika x adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam, panjang atau norma dari x didefinisikan (2.16) Teorema 2.7 Jika adalah vektor pada, maka: a. b. jika dan hanya jika
54 39 Bukti: a. Misalkan adalah vektor pada, akan dibuktikan atau dapat ditulis. ini jelas karena hasil dari akar tidak akan bernilai negatif dan nilai dari kuadrat tidak akan bernilai negatif. b. Akan dibuktikan jika dan hanya jika Diketahui dan akan dibuktikan. (2.17) karena hasil dari untuk setiap tidak akan bernilai negatif maka untuk setiap. Sehingga persamaan (2.17) bernilai benar jika dan hanya jika, jadi untuk setiap atau.. Diketahui, dan akan dibuktikan. Karena diketahui, maka. Akibatnya
55 40 Teorema 2.8. Bukti: Misalkan x vektor sedemikian sehingga. Maka, dan yaitu. Oleh karena itu. Sebaliknya, jika x memenuhi relasi, maka jelas. Dengan demikian. Karena maka akibat dari Teorema 2.6, dimana n adalah banyaknya kolom A. Oleh karena itu teorema tersebut terbukti. Teorema 2.9 Jika A adalah suatu matriks sebarang, maka. Bukti: Misalkan A sembarang matrik. Menurut Definisi rank maka
56 41 Berdasarkan Definisi matrik transpos, baris-baris dari matrik A merupakan kolom-kolom dari matrik sehingga dapat ditulis Berdasarkan Teorema 2.5, maka Definisi 2.28 Ortogonal Dua vektor x dan y dalam dikatakan ortogonal, jika (2.18) dan dilambangkan dengan Definisi 2.29 Subruang yang ortogonal Dua ruang bagian X dan Y dalam dikatakan ortogonal, jika (2.19) Jika X dan Y saling ortogonal, dapat dilambangkan dengan
57 42 Definisi 2.30 Komplemen Ortogonal Misalkan Y adalah ruang bagian dari. Himpunan semua vektor-vektor di dalam yang ortogonal pada setiap vektor di Y akan dinotasikan dengan. Jadi Himpunan disebut komplemen ortogonal dari Y. Teorema Jika X dan Y adalah ruang bagian ortogonal dari, maka. 2. Jika Y adalah ruang bagian dari, maka juga merupakan ruang bagian dari. Bukti: 1. Misalkan dan, akan ditunjukkan. Karena berdasarkan definisi ortogonal maka, akibat dari teorema 2.7 b. 2. Misalkan dan adalah bilangan skalar, maka untuk setiap,
58 43 Oleh karena itu,. Misalkan adalah elemen-elemen dari, maka Untuk setiap. Maka diperoleh adalah ruang bagian dari. Definisi 2.31 Rank Penuh Jika A adalah matriks dengan rank, maka dapat dikatakan bahwa matriks tersebut memiliki rank penuh. Teorema 2.11 Misalkan matriks berukuran. Misalkan matriks mempunyai rank penuh m. Misalkan menyatakan ruang nol dan menyatakan ruang kolom dari maka dan merupakan subruang yang saling orthogonal. Bukti: Misalkan dan Akan dibuktikan Berarti cukup dibuktikan, artinya,
59 44 Perhatikan bahwa dan Maka (2.20) Karena maka persamaan (2.20) dapat di ubah menjadi atau Dengan demikian Jadi Gambar 2.1.
60 45 Dari Teorema 2.11 telah diperlihatkan bahwa adalah subruang yang saling orthogonal. Misalkan dan dan dan. Maka dapat juga ditulis (2.21) Karena, maka persamaan (2.21) dapat di ubah menjadi (2.22) Kalikan kedua ruas dengan, maka didapatkan Diketahui bahwa, maka didapatkan atau Dengan demikian (2.23) Subsitusikan persamaan (2.23) ke persamaan (2.22), maka didapatkan
61 46 (2.24) dengan (2.25) Definisi 2.32 Matriks proyeksi ortogonal Matriks P berukuran, dengan disebut matriks proyeksi ortogonal atau matriks proyeksi ruang nol dari. Teorema 2.12 Jika A adalah sebuah matriks, maka dan Bukti: Sebelumnya telah diketahui bahwa dan ini mengimplikasikan bahwa. Di lain pihak, misalkan adalah sembarang vektor dari, maka ortogonal pada setiap vektor-vektor kolom dari dan akibatnya. Jadi x merupakan elemen dari. Karena dan maka. Secara khusus, dapat dimisalkan matriks. Jadi
62 47 Teorema 2.13 Jika S adalah ruang bagian dari, maka. Bukti: Jika, maka ortogonal pada setiap di dalam. Oleh karena itu,, sehingga. Di lain pihak, misalkan bahwa z adalah sembarang elemen dari. Misalkan z sebagai penjumlaha, dimana dan. Karena, maka ortogonal pada dan. Sehingga dan mengakibatkan,. Oleh karena itu, dan. Teorema 2.14 Sistem persamaan linear homogen memiliki penyelesaian taktrivial jika. Bukti: Sistem homogen selalu konsisten. Bentuk eselon baris dari matriks yang bersangkutan memiliki paling banyak m baris bukan nol. Jadi terdapat paling banyak m peubah utama. Karena semuanya secara keseluruhan terdapat n
63 48 peubah dan, maka harus terdapat beberapa peubah bebas. Peubahpeubah bebas ini dapat diberi sembarang nilai. Untuk setiap pemberian nilai ke peubah-peubah bebas ini terdapat satu penyelesaian bagi sistem yang bersangkutan. Teorema 2.15 Misalkan A matriks. Hal-hal berikut adalah ekivalen: a. A taksingular b. hanya mempunyai penyelesaian trivial Bukti: Misalkan A taksingular. Akan dibuktikan hanya mempunyai penyelesaian trivial. Misalkan A taksingular dan merupakan penyelesaian dari, maka Karena merupakan penyelesaian dari, maka
64 49 Jadi hanya mempunyai penyelesaian trivial. Misalkan hanya mempunyai penyelesaian trivial. Akan dibuktikan A taksingular. Misalkan hanya mempunyai penyelesaian trivial. Dengan menggunakan operasi-operasi baris elementer, sistem tersebut dapat ditransformasikan menjadi bentuk, dimana U berbentuk eselon baris. Jika salah satu elemen diagonal dari U adalah 0, maka baris terakhir dari U seluruhnya terdiri dari 0. Tetapi kemudian akan ekivalen dengan suatu sistem dengan lebih banyak peubah daripada banyaknya persamaan dan dengan demikian berdasarkan Teorema 2.14 sistem akan memiliki penyelesaian taktrivial. Jadi U haruslah merupakan matriks segitiga dengan elemen-elemen diagonal semuanya sama dengan 1. Sebagai akibatnya maka I adalah bentuk eselon baris tereduksi dari A sehingga A ekivalen baris dengan I. Karena A ekivalen baris dengan I, maka terdapat matriks-matriks elementer sehingga tetapi karena dapat dibalik, maka hasil kali juga dapat dibalik. Jadi A taksingular dan
65 50 Teorema 2.16 Matriks adalah matriks bujur sangkar yang berorde nonsingular jika dan hanya jika. Bukti: Akan dibuktikan Misalkan adalah nonsingular. Untuk membuktikan ini, misalkan z sebagai penyelesaian untuk yakni (2.26) Berdasarkan Teorema 2.15, hanya mempunyai penyelesaian trivial maka. Sebagai akibatnya hanya mempunyai penyelesaian trivial dan vektor-vektor kolom dari adalah bebas linear, maka mempunyai rank. Akan dibuktikan adalah nonsingular Untuk membuktikan ini, misalkan z sebagai penyelesaian untuk persamaan (2.26). Kemudian Jelas bahwa,. Karena, maka akibatnya. Jika mempunyai, maka vektor-vektor kolom dari adalah bebas linear dan sebagai akibatnya hanya mempunyai penyelesaian trivial. Jadi dan persamaan (2.26) hanya mempunyai
66 51 penyelesaian trivial. Oleh karena itu berdasarkan Teorema 2.15 adalah nonsingular. Definisi 2.33 Persekitaran Persekitaran dari titik adalah himpunan dari titik-titik, dengan (2.27) Definisi 2.34 Titik Interior Suatu titik dikatakan titik interior dari himpunan S jika ada persekitaran dari sedemikian sehingga semua titik dalam persekitaran dari juga berada dalam S, yakni (2.28) Definisi 2.35 Transformasi Misalkan V dan W dua ruang vektor. Transformasi atau pemetaan atau fungsi T dari V ke dalam W adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x di V dengan satu dan hanya satu elemen di W. Untuk selanjutnya, transformasi ini ditulis
67 52 Ruang vekror V disebut daerah asal T. Nilai transformasi T untuk elemen dari x. ditulis yang merupakan elemen di W. Elemen disebut peta Maka transformasi T dari V ke W jika dan hanya jika Definisi 2.36 Misalkan transformasi pada S, maka adalah invers dari jika dan, untuk setiap yaitu komposisi dari dan adalah transformasi identitas pada S. Notasi yang umum untuk invers adalah. Teorema 2.17 Misalkan, maka. Bukti: Misalkan adalah transformasi dari. Akan dibuktikan. i. Misalkan ini berarti bahwa, maka dan. Karena adalah transformasi, sehingga dan.
68 53 ii. Misalkan, karena berarti ada sehingga. Maka berarti maka. Misalkan. Akan dibuktikan adalah transformasi dari atau dan jika dan maka. Misalkan karena, berarti ada sedemikian sehingga atau maka maka. Misalkan dan, maka dan, tetapi berarti dan adalah sebuah transformasi. C. Masalah Program Linear Program linear (linear programming), adalah salah satu teknik analisis dari kelompok teknik riset operasi yang diterapkan dalam berbagai bidang yang memakai model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Dengan demikian setiap persoalan yang dihadapi dalam suatu sistem permasalahan, haruslah dapat dirumuskan dalam simbol-simbol matematika tertentu. Misalnya di bidang ekonomi, masalah memaksimumkan laba dan meminimumkan ongkos produksi. Manusia cenderung untuk hidup berprinsipkan ekonomi dengan usaha sedikit dapat memperoleh hasil sebanyak mungkin. Suatu perusahaan mempunyai kendala terbatasnya sumber input produksi dan berupaya mengoptimalkan output produksi untuk
69 54 memenuhi permintaan pasar dan mengoptimalkan penggunaan sumber produksi yang dimiliki. Permasalahan tersebut ada di dalam dunia nyata, sedangkan simbol matematika adalah dunia abstraksi yang dibuat sedemikian rupa sehingga mendekati kenyataan. Tujuan program linear adalah membantu dalam mengambil keputusan yang terbaik dari sekian banyak alternatif yang tersedia. Kelahiran teknik program linear ini berasal dari seorang ahli matematika bangsa Amerika Serikat yang bernama Dr. George Dantzig, yaitu dengan dikembangkannya metode simpleks pada tahun Pada tahun itu, Dantzig merupakan salah seorang teknokrat yang tergabung dalam kelompok Riset Operasi dari Angkatan Udara Amerika Serikat. Sebelum lahirnya karya Dantzig yang sistematis, telah terdapat pula berbagai ahli matematika lainnya yang melahirkan teknik-teknik penyelesaian masalah dengan memakai pendekatan aljabar linear (aljabar matriks) pada tahun 1930-an. Penerapan program linear untuk pertama kalinya di bidang perencanaan militer, khususnya dalam Perang Dunia II oleh angkatan bersenjata Amerika Serikat dan Inggris. Sejak itulah bersamaan dengan berkembangnya waktu, pembagunan dan teknologi, teknik-teknik program linear dengan cepat menjalar dan diterapkan dalam berbagai bidang dan disiplin ilmu dalam rangka memecahkan berbagai permasalahan yang dihadapi.
70 55 Dalam merumuskan masalah program linear, diperlukan adanya fungsi sasaran dan kendala-kendala. Definisi 2.37 Fungsi Sasaran Fungsi sasaran dalam masalah program linear dapat dinyatakan sebagai (2.29) dengan n merupakan bilangan bulat yang menyatakan banyaknya variabel, merupakan variabel ke-j, dan merupakan koefisien ongkos dari variabel ke-j, dengan. Kendala-kendala dibagi dua, yakni kendala utama dan kendala tak negatif. Definisi 2.38 Kendala utama Kendala utama masalah program linear berbentuk (2.30) dengan m merupakan banyaknya persamaan, variabel ke-j pada persamaan ke-i dan merupakan koefisien menyatakan konstanta di ruas kanan untuk persamaan ke-i.
71 56 Definisi 2.39 Kendala Tak Negatif Kendala tak negatif berbentuk (2.31) Bentuk standart masalah program linear dapat dituliskan sebagai berikut: Minimumkan (2.32) dengan kendala (2.33) dengan dan adalah konstanta real,, dan tidak semua sama dengan nol, untuk. Fungsi sasaran (2.32) dan sistem pertidaksamaan linear (2.33) di atas dapat dituliskan dengan notasi matriks sebagai berikut: Minimumkan (2.34) dengan kendala
72 57 (2.35) Atau dapat ditulis Minimumkan (2.36) dengan kendala (2.37) Dalam masalah program linear timbul hubungan dual antara dua soal program linear tertentu dan masing-masing penyelesaian optimumnya akan berkaitan. Bentuk umum masalah primal-dual adalah sebagai berikut: Masalah primal (P): Meminimumkan (2.38) Dengan kendala, (2.39). (2.40) Masalah Dual (D): Maksimumkan (2.41) Dengan kendala (2.42) (2.43)
73 58 dengan x adalah penyelesaian dari soal primal dan y adalah penyelesaian dari soal dual. Perhatikan bahwa vektor suku tetap dalam (2.39) menjadi vektor ongkos dalam (2.41) dan sebaliknya vektor ongkos dalam (2.38) menjadi vektor suku tetap dalam (2.42). Sedangkan koefisien matriks kendala (2.39) adalah transpose matriks koefisien dalam (2.42). Definisi 2.40 Titik Layak dan Daerah Layak Suatu titik yang memenuhi semua kendala pada persamaan (2.30) dan (2.31) disebut titik layak (feasible point) atau penyelesaian layak (feasible solution). Himpunan dari titik layak-titik layak disebut daerah layak (feasible region) atau himpunan layak (feasible set) dan dinotasikan oleh S. Pada umumnya sistem pertidaksamaan linear (2.30) mempunyai penyelesaian takhingga banyak. Di antara penyelesaian-penyelesaian tersebut dicari juga yang memenuhi (2.31), dan pada umumnya masih mempunyai penyelesaian takhingga banyak. Kemudian di antara penyelesaian layak yang takhingga banyak ini dicari yang meminimumkan fungsi sasaran, maka akan diperoleh penyelesaian optimum.
74 59 Definisi 2.41 Penyelesaian optimum Penyelesaian layak yang juga mengoptimumkan f disebut penyelesaian optimum.
75 BAB III METODE KARMARKAR Masalah dalam program linear adalah mengoptimumkan suatu fungsi linear yang terbatas oleh kendala-kendala berupa persamaan atau pertidaksamaan linear. Untuk menyelesaikan masalah dalam program linear, selain menggunakan metode grafik atau metode simpleks yang sudah umum digunakan dapat juga diselesaikan dengan menggunakan metode titik-interior. Titik-interior merupakan titik-titik yang berada di dalam daerah layak. Ada dua langkah yang diperlukan dari metode titik-interior, yaitu mencari arah layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran pada titik tertentu dari setiap iterasi, dan menentukan besar langkah yang menghasilkan titik baru yang berada pada daerah layak sesuai arah layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran. Algoritma titik-interior dapat dibagi dalam empat kelas utama, yaitu affine scaling methods, metode proyektif atau lebih dikenal dengan metode Karmarkar, path-following methods, dan potential-reduction methods. Dalam bagian ini akan dibahas metode Karmarkar. Disebut metode proyektif karena tranformasi yang digunakan adalah tranformasi proyektif. Pada tahun 1984, seorang matematikawan dari laboratorium AT & T Bell Laboratories bernama Narendra Karmarkar berhasil mengemukakan suatu algoritma baru untuk menyelesaikan masalah program linear yang besar dalam waktu yang cukup singkat yang tidak bisa dilakukan oleh metode simpleks. Metode Karmarkar untuk menyelesaikan masalah program linear pada dasarnya berbeda dari metode simpleks yaitu bahwa
76 61 metode simpleks dimulai dengan masalah program linear dalam bentuk standar, sedangkan metode Karmarkar dimulai dengan masalah program linear dalam bentuk kanonik khusus, yang disebut bentuk kanonik Karmarkar. Untuk lebih memahami konsep dalam metode Karmarkar perhatikan permasalahan program linear berikut. Contoh 3.1 Maksimumkan dengan kendala Agar masalah program linear di atas menjadi bentuk standar, maka ditambahkan variabel pengetat pada masalah program linear di atas, sehingga menjadi Maksimumkan dengan kendala dengan adalah variabel pengetat. Gambar 3.1 menggambarkan masalah program linear di atas. Ruang penyelesaian ditunjukan dengan garis AB. Arah kenaikan f berada di arah positif.
77 62 Gambar 3.1. Ilustrasi algoritma Karmarkar Iterasi dimulai dari titik-interior C dalam ruang penyelesaian (garis AB). Gradien fungsi tujuan ( ) di C adalah arah yang membuat fungsi tujuan meningkat dengan cepat. Jika satu titik sembarang ditempatkan di sepanjang gradien itu dan lalu memproyeksikannya secara tegak lurus terhadap ruang penyelesaian (garis AB), maka diperoleh titik baru D. Dari sudut pandang nilai f, titik D yang baru ini lebih baik dari titik awal C. Perbaikan seperti ini diperoleh dengan bergerak dalam arah CD, yang merupakan gradien garis hasil proyeksi, atau disebut sebagai gradien terproyeksi. Jika prosedur yang sama ini diulang di D, maka akan ditemukan satu titik baru di E yang lebih dekat dengan titik optimum. Dapat diperkirakan jika bergerak dengan sangat hati-hati dalam arah gradien terproyeksikan, maka akan dicapai titik optimum B. Langkah-langkah yang dihasilkan di sepanjang gradien terproyeksi tidak akan meleset dari titik optimum di B, dan dalam kasus n dimensi pada umumnya, arah yang diciptakan oleh gradien terproyeksi tidak akan menyebabkan
78 63 terjebaknya algoritma tersebut di titik yang bukan optimum. Pada dasarnya inilah yang dicapai oleh algoritma Karmarkar. A. Bentuk Kanonik Karmarkar Untuk menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan metode Karmarkar digunakan bentuk umum masalah program linear berikut: Meminimumkan (3.1) Dengan kendala (3.2) (3.3), i = 1, 2,, n (3.4) di mana A adalah matriks m n, dan 0 adalah vektor kolom nol yang berukuran m. Untuk memperkenalkan bentuk kanonik Karmarkar dimulai dengan memisalkan adalah vektor dalam dengan masing-masing komponen adalah 1. Misalkan merupakan ruang nol (null spaces) dari A, maka.
79 64 Definisi 3.1 Simpleks dalam adalah, dan adalah vektor dalam dengan masing-masing komponen adalah 1. Pusat dari simpleks adalah maka. Berdasarkan Definisi 2.24 dan Definisi 3.1 bentuk kanonik Karmarkar dapat ditulis kembali menjadi Meminimumkan (3.5) dengan kendala (3.6) Himpunan kendala (himpunan layak) dapat didefinikan sebagai (3.7) B. Asumsi-Asumsi dalam Masalah Karmarkar Algoritma Karmarkar dapat digunakan untuk menyelesaikan masalahmasalah program linear dalam bentuk kanonik Karmarkar, dengan asumsi berikut:
80 65 a. Pusat dari simpleks adalah suatu titik layak sehingga. Asumsi ini tidak bersifat membatasi, artinya sembarang masalah program linear yang memiliki suatu penyelesaian optimum dapat diubah kedalam bentuk Karmarkar sehingga memenuhi asumsi ini. b. Nilai minimum dari fungsi sasaran terhadap himpunan layak adalah nol. Asumsi ini untuk menentukan nilai yang memenuhi nilai minimum dari fungsi sasaran, untuk menyelesaikan masalah-masalah program linear dalam bentuk kanonik Karmarkar. c. Matriks yang berukuran, mempunyai rank. Asumsi ini merupakan asumsi teknis yang diperlukan dalam implementasi algoritma C. Transformasi Proyeksi Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan bahwa sembarang masalah program linear perlu diubah ke dalam suatu masalah yang ekuivalen dalam bentuk kanonik Karmarkar. Ekuivalen diartikan bahwa penyelesaian dari masalah dalam bentuk yang baru dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian dari masalah dalam bentuk standar atau sebaliknya. Telah diketahui bahwa sembarang masalah program linear dapat ditransformasikan ke masalah yang ekuivalen dalam bentuk standar. Oleh karena itu, cukup ditunjukkan bahwa sembarang masalah program linear dalam bentuk standar dapat ditransformasikan ke suatu masalah ekuivalen dalam bentuk kanonik Karmarkar. Dalam kenyataanya, transformasi yang
81 66 diberikan berikut akan selalu menjamin bahwa asumsi a dari asumsi-asumsi dalam masalah Karmarkar dipenuhi. Definisi 3.2 Misalkan dimana,dengan. Misalkan merupakan transformasi proyeksi yang memetakan positive orthant dari, yakni ke simpleks, yang didefinisikan sebagai dengan (3.8) Teorema 3.1 Untuk, maka T merupakan transformasi proyeksi yang memiliki sifat-sifat berikut: 1. T merupakan pemetaan satu-satu yaitu, untuk. 2. T memetakan pada, yaitu untuk setiap, ada sedemikian sehingga. 3. Transformasi invers dari T ada pada dan diberikan sebagai dengan.
82 67 4. T memetakan a ke pusat simpleks, yakni. 5. Misalkan x memenuhi, dan. Misalkan. Maka. Bukti: 1. T merupakan pemetaan satu-satu,yakni Jika mengigat persamaan (3.8) dapat didefinisikan (3.9) Misalkan dengan yakni dengan Untuk maka dapat disimpulkan (3.10) Untuk maka (3.11) Dari persamaan (3.10) dan persamaan (3.11) dapat disimpulkan bahwa atau
83 68 sehingga dapat ditulis atau Jadi terbukti bahwa T adalah pemetaan satu-satu 2. Akan dibuktikan Ambil sembarang, maka dan dan akan ditunjukkan Misalkan kolom ke i dari adalah dikalikan kolom ke i dari, maka diperoleh Akan dibuktikan dimana,yakni
84 69 (3.12)
85 70 Karena mengambil sembarang,berarti dengan dengan demikian Jadi, dari persamaan (3.12) diperoleh Karena dipilih sembarang, maka. Jadi terbukti 3. Berdasarkan sifat 1 dan sifat 2, karena memenuhi sifat satusatu dan pada maka memiliki fungsi invers yang dapat ditulis dan diberikan sebagai dengan. Akan dibuktikan bahwa cukup ditunjukkan bahwa
86 71 Karena diketahui maka Bila diambil maka diperoleh Jadi terbukti memiliki fungsi invers dengan
87 72 4. Jika mengigat persamaan (3.8) dan diketahui, dan diberikan, maka diperoleh Karena maka diperoleh, yakni T memetakan a ke pusat dari simpleks.
88 73 5. Ambil sembarang, maka, dan sehingga Karena maka diperoleh
89 74 (3.13) Karena x memenuhi maka persamaan (3.13) dapat di ubah menjadi Karena maka diperoleh Teorema 3.2 Misalkan T merupakan transformasi proyektif seperti pada Teorema 3.1 dan diberikan matriks. Maka ada suatu matriks sedemikian sehingga jika dan hanya jika.
90 75 Bukti: T merupakan transformasi proyektif, dan Akan dibuktikan Ambil sembarang, maka, dan akan dibuktikan Misalkan kolom ke dari adalah dikalikan kolom ke dari, dan kolom ke dari adalah, maka diperoleh Akan dibuktikan dan karena, maka diperoleh
91 76 (3.14) Karena maka persamaan (3.14) dapat di ubah menjadi
92 77 Ambil sembarang, maka, dan akan dibuktikan Misalkan kolom ke dari adalah dikalikan kolom ke dari, dan kolom ke dari adalah, maka diperoleh karena, dan maka diperoleh
93 78
94 79 Teorema 3.3 Misalkan T merupakan transformasi proyektif seperti pada definisi 3.2 dan diberikan vektor. Maka ada suatu vektor sedemikian sehingga jika dan hanya jika. Bukti: T merupakan transformasi proyektif, dan Akan dibuktikan Ambil sembarang, maka, dan akan dibuktikan
95 80 Misalkan kolom ke dari adalah dikalikan kolom ke dari untuk, dan kolom ke dari adalah, maka diperoleh karena, maka (3.15) Karena, yakni maka persamaan (3.15) dapat di ubah menjadi
96 81 Ambil sembarang, maka, dan akan dibuktikan Misalkan kolom ke dari adalah dikalikan kolom ke dari, dan kolom ke dari adalah, maka diperoleh Karena, dan maka
97 82 D. Mengubah Masalah Program Linear Bentuk Standar ke Bentuk Kanonik Karmarkar Pertimbangkan masalah program linear berikut dalam bentuk standar: Minimumkan Dengan kendala, (3.16) Perhatikan bahwa sembarang masalah program linear dapat diubah ke bentuk seperti di atas. Masalah dual dari bentuk standar (3.16) di atas adalah Maksimumkan Dengan kendala, (3.17) Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menjelaskan bagaimana mengubah masalah program linear umum ke dalam bentuk kanonik Karmarkar.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka (elemen-elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang, di mana
Lebih terperinciLampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk
Lebih terperinciuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Lebih terperinciJurnal MIPA 36 (1): (2013) Jurnal MIPA.
Jurnal MIPA 36 (1): 98-106 (2013) Jurnal MIPA http://journal.unnes.ac.id/nju/index.php/jm ANALISIS METODE KARMARKAR UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINIER DR Indriani, H Suyitno, Mashuri Jurusan Matematika,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dipaparkan mengenai konsep dasar tentang matriks meliputi definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks, determinan, kofaktor, invers suatu matriks, serta
Lebih terperinciRuang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)
Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Sebagai acuan penulisan penelitian ini diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam sub bab ini akan diberikan beberapa landasan teori berupa pengertian,
Lebih terperinciALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS. Dosen Pengampu: DARMADI, S.Si, M.Pd. Oleh: Kelompok III
ALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS Dosen Pengampu: DARMADI, SSi, MPd Oleh: Kelompok III 1 Andik Dwi S (06411008) 2 Indah Kurniawati (06411090) 3 Mahfuat M (06411104)
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinciJurnal Matematika Murni dan Terapan Epsilon Juni 2014 Vol. 8 No. 1 METODE KARMARKAR SEBAGAI ALTERNATIF PENYELESAIAN MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Epsilon Juni 204 Vol. 8 No. METODE KARMARKAR SEBAGAI ALTERNATIF PENYELESAIAN MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR Bayu Prihandono, Meilyna Habibullah, Evi Noviani Program Studi
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciCHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam
CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 5 Ruang Vektor Ruang Vektor Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem Kontrol
Lebih terperinciSebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world).
5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemodelan Matematika Definisi pemodelan matematika : Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian
Lebih terperinciBab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor
Bab RUANG VEKTOR. Ruang Vektor DEFINISI.. Suatu ruang vektor (V, +,, F) atas field (F, +), ditulis singkat V(F), adalah suatu himpunan tak kosong V dengan elemenelemennya disebut vektor, yang dilengkapi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa definisi dan teorema dengan atau tanpa bukti yang akan digunakan untuk menentukan regularisasi sistem singular linier. Untuk itu akan diberikan terlebih
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Matriks 2.1.1 Pengertian Matriks Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan bilangan. Bilanganbilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks (Anton,
Lebih terperinciDIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks
DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1 DAFTAR ISI
Lebih terperinciPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
METODE TITIK-INTERIOR PADA PEMROGRAMAN KUADRATIK KONVEKS Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: Fenny Basuki NIM: 831143 PROGRAM
Lebih terperinciMENENTUKAN INVERS MOORE PENROSE DARI MATRIKS KOMPLEKS
MENENTUKAN INVERS MOORE PENROSE DARI MATRIKS KOMPLEKS skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika oleh Astin Wita Yunihapsari 4150407021 JURUSAN
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
17 Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. Berikut diberikan landasan teori mengenai teori himpunan fuzzy, program
BAB II KAJIAN TEORI Berikut diberikan landasan teori mengenai teori himpunan fuzzy, program linear, metode simpleks, dan program linear fuzzy untuk membahas penyelesaian masalah menggunakan metode fuzzy
Lebih terperinciBAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN
BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN 1. Definisi-1. Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan
Lebih terperinciMinggu II Lanjutan Matriks
Minggu II Lanjutan Matriks Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Tujuan Instruksional Umum Tujuan Instruksional Khusus Jumlah Pertemuan : Matriks : A. Transformasi Elementer. Transformasi Elementer pada baris
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA Analisis Biplot Biasa
TINJAUAN PUSTAKA Analisis Biplot Biasa Analisis biplot merupakan suatu upaya untuk memberikan peragaan grafik dari matriks data dalam suatu plot dengan menumpangtindihkan vektor-vektor dalam ruang berdimensi
Lebih terperinciMetode Simpleks (Simplex Method) Materi Bahasan
Metode Simpleks (Simplex Method) Kuliah 03 TI2231 Penelitian Operasional I 1 Materi Bahasan 1 Rumusan Pemrograman linier dalam bentuk baku 2 Pemecahan sistem persamaan linier 3 Prinsip-prinsip metode simpleks
Lebih terperinciChapter 5 GENERAL VECTOR SPACE Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity
Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace Vektor-Vektor Baris & Kolom Vektor baris A (dalam R n ) Vektor kolom A
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matriks merupakan istilah yang digunakan untuk menunjukkan jajaran persegi panjang dari bilangan-bilangan dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Salah satu
Lebih terperinciBAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER 4.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. pemrograman nonlinear, fungsi konveks dan konkaf, pengali lagrange, dan
BAB II KAJIAN PUSTAKA Kajian pustaka pada bab ini akan membahas tentang pengertian dan penjelasan yang berkaitan dengan fungsi, turunan parsial, pemrograman linear, pemrograman nonlinear, fungsi konveks
Lebih terperinciAljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 5
Aljabar Linear & Matriks Pert. 5 Evangs Mailoa Pengantar Determinan Menurut teorema 1.4.3, matriks 2 x 2 dapat dibalik jika ad bc 0. Pernyataan ad bc disebut sebagai determinan (determinant) dari matriks
Lebih terperinciAljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank
Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank khozin mu tamar 9 Oktober 2014 PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK 1. Sistem koordinat (a) Ketunggalan scalar
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemenelemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom berbentuk
Lebih terperinciPengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciSUMMARY ALJABAR LINEAR
SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Konsep program linier (linear programming) ditemukan dan diperkenalkan seorang ahli matematika bangsa Amerika, Dr.George Dantzig yaitu dengan dikembangkannya metode
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinciPROYEKSI ORTOGONAL PADA RUANG HILBERT. Skripsi
PROYEKSI ORTOGONAL PADA RUANG HILBERT Skripsi Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memenuhi Gelar Sarjana
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinciSebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini.
. INVERS MTRIKS Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. a. RNK MTRIKS Matriks tak nol dikatakan mempunyai rank r jika paling
Lebih terperinciAPLIKASI MASALAH 0/1 KNAPSACK MENGGUNAKAN ALGORITMA GREEDY
PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI APLIKASI MASALAH 0/1 KNAPSACK MENGGUNAKAN ALGORITMA GREEDY Skripsi Diajukan untuk Menempuh Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinciRUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)
1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol
Lebih terperinciPertemuan 2 Matriks, part 2
Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen
Lebih terperinciSOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 1 (2014), hal 91 98. SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Febrianti,
Lebih terperinciPertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Lebih terperinciSyarat Fritz John pada Masalah Optimasi Berkendala Ketaksamaan. Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2. Abstrak
Syarat Fritz John pada Masalah Optimasi Berkendala Ketaksamaan Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2 1,2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 wcaturiyati@yahoo.com 2 himmawatipl@yahoo.com Abstrak
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. suatu fungsi dalam variabel-variabel. adalah suatu fungsi linear jika dan hanya jika untuk himpunan konstanta,.
II LANDASAN TEORI Pada pembuatan model penjadwalan pertandingan sepak bola babak kualifikasi Piala Dunia FIFA 2014 Zona Amerika Selatan, diperlukan pemahaman beberapa teori yang digunakan di dalam penyelesaiannya,
Lebih terperinciGARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor
Lebih terperinciMODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR
MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR 4.. Pendahuluan. Sistem Persamaan Linear merupakan salah satu topik penting dalam Aljabar Linear. Sistem Persamaan Linear sering dijumpai dalam semua bidang penyelidikan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diberikan beberapa materi yang akan diperlukan di dalam pembahasan, seperti: matriks secara umum; matriks yang dipartisi; matriks tereduksi dan taktereduksi; matriks
Lebih terperinci7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal
7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada
Lebih terperinciRuang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1
Ruang Vektor Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor 1. Jika vektor vektor u, v V, maka vektor u + v V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. masalah fuzzy linear programming untuk optimasi hasil produksi pada bab
BAB II KAJIAN TEORI Berikut diberikan landasan teori mengenai program linear, konsep himpunan fuzzy, program linear fuzzy dan metode Mehar untuk membahas penyelesaian masalah fuzzy linear programming untuk
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciTRANSFORMASI MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
TRANSFORMAS MATRKS Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMPA UNEJ agustina.fmipa@unej.ac.id Definisi : BEBAS LNER Suatu himpunan vektor-vektor v, v, v k dikatakan bebas linier jika persamaan
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. Contoh. Ditinjau dari sistem yang didefinisikan oleh:
5 II LANDASAN TEORI 2.1 Keterkontrolan Untuk mengetahui persoalan sistem kontrol mungkin tidak ada, jika sistem yang ditinjau tidak terkontrol. Walaupun sebagian besar sistem terkontrol ada, akan tetapi
Lebih terperinciMatriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL
Lebih terperinciBAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN
BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas dan pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskanan invarian, ring invarian dan
Lebih terperinciBAB IV TRANSFORMASI LINEAR. sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F
BAB IV TRANSFORMASI LINEAR 4.. Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka
Lebih terperinciAljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. . Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi Persamaan dalam variabel dan y dapat ditulis dalam
Lebih terperinciAlgoritma Simpleks Dan Analisis Kepekaan
Modul 1 Algoritma Simpleks Dan Analisis Kepekaan Prof. Bambang Soedijono P PENDAHULUAN ada Modul 1 ini dibahas metode penyelesaian suatu masalah program linear. Pada umumnya masalah program linear mengkaitkan
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT / 2 SKS
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT0143231 / 2 SKS Deskripsi: - Mata kuliah ini mempelajari konsep aljabar linear sebagai dasar untuk membuat algoritma dalam permasalahan
Lebih terperinciMENENTUKAN NILPOTENT ORDE 4 PADA MATRIKS SINGULAR MENGGUNAKAN TEOREMA CAYLEY HAMILTON TUGAS AKHIR
MENENTUKAN NILPOTENT ORDE 4 PADA MATRIKS SINGULAR MENGGUNAKAN TEOREMA CAYLEY HAMILTON TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh: IRMA
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Suatu matriks A C m n dikatakan memiliki faktorisasi LU jika matriks tersebut dapat dinyatakan sebagai A = LU dengan L C m m matriks invertibel segitiga bawah
Lebih terperinci& & # = atau )!"* ( & ( ( (&
MATRIKS ======PENGERTIAN====== Matriks merupakan Susunan bilangan-bilangan yang membentuk segi empat siku-siku. Susunan bilangan-bilangan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Matriks dinotasikan dengan
Lebih terperinciMATRIKS KUASIDEFINIT SUGENG MULYADI
MATRIKS KUASIDEFINIT SUGENG MULYADI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2009 ABSTRAK SUGENG MULYADI. Matriks Kuasidefinit. Dibimbing oleh FARIDA
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan,
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan, pemrograman linear, metode simpleks, teorema dualitas, pemrograman nonlinear, persyaratan karush kuhn
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer
Aljabar Linier Elementer Kuliah 15 dan 16 11/11/2014 1 Materi Kuliah Kebebasan Linier Basis dan Dimensi 11/11/2014 Yanita, Matematika Unand 2 5.3 Kebebasan Linier Definisi Jika S = v 1, v 2,, v r adalah
Lebih terperinciDIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I.
DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP 24 KATA PENGANTAR Pertama-tama penulis mengucapkan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks
Lebih terperinciALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam Shalawat serta salam
Lebih terperinciAPLIKASI MATRIKS KOMPANION PADA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN TUGAS AKHIR
APLIKASI MATRIKS KOMPANION PADA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika
Lebih terperinciMODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS
MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS MODULES AND BASES OF FREE MODULES Dian Mardiani Pendidikan Matematika, STKIP Garut Garut, Indonesia Alfid51@yahoo.com Abstrak Penelitian ini membahas beberapa
Lebih terperinciALJABAR LINEAR ELEMENTER
BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bab II ini menjelaskan tentang teori-teori pendukung yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya yaitu sistem persamaan linear sistem persamaan linear kompleks dekomposisi Doolittle
Lebih terperinciKAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT
KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT Nama Mahasiswa : Aprilliantiwi NRP : 1207100064 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : 1 Soleha, SSi, MSi 2 Dian Winda Setyawati,
Lebih terperinciBAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR
BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR A. DEFINISI DASAR 1. Definisi-1 Suatu pemetaan f dari ruang vektor V ke ruang vektor W adalah aturan perkawanan sedemikian sehingga setiap vektor v V dikawankan
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan
II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah
Lebih terperinciMATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.
Lebih terperinciBAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain
BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
Lebih terperinciPENYELESAIAN INVERS MATRIKS MENGGUNAKAN METODE GENERALIZED INVERSE TUGAS AKHIR
PENYELESAIAN INVERS MATRIKS MENGGUNAKAN METODE GENERALIZED INVERSE TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika oleh DESI MURNITA 9 FAKULTAS
Lebih terperinciPerluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Lebih terperinciMatriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Matriks Dra. Sri Haryatmi Kartiko, M.Sc. I PENDAHULUAN lmu pengetahuan dewasa ini menjadi semakin kuantitatif. Data numerik dengan skala besar, hasil pengukuran berupa angka sering dijumpai oleh
Lebih terperinciBAB III PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA. Analisis komponen utama adalah metode statistika multivariat yang
BAB III PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA Analisis komponen utama adalah metode statistika multivariat yang bertujuan untuk mereduksi dimensi data dengan membentuk kombinasi linear
Lebih terperinciKata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
Lebih terperinci