BAB I GARIS, SUDUT, LINGKARAN, DAN SEGITIGA

Transkripsi

1 I GRIS, SUUT, LINGKRN, N SEGITIG 1.1. Sejrh singkt Geometri Kt Geometri bersl dri hs Yunni (Greek) geos yng berrti bumi dn metron yng berrti ukurn. Nenek moyng orng Mesir, hin, byloni, Romwi, dn Yunni menggunkn Geometri untuk keperlun survey, nvigsi, stronomi dn sebginy. ngs Yunni telh menyusun ser sistemtis fkt-fkt geometri yng telh ditemukn lsn-lsn logis dn sling keterkitnny. Hsil kry tersebut ditulis oleh Thles (600 SM), Pythgors (540 SM), Plto (390 SM), dn ristoteles (350 SM) dlm bentuk sistemissi fkt-fkt geometri yng dikumpulkn dlm kry Eulid Geometry Elements tu Unsur-unsur Geometri ditulis sekitr 325 SM. Tulisn ini telh digunkn lebih dri 2000 thun Istilh-istilh Geometri yng tidk didefinisikn Titik, Gris, dn idng Titik, gris, dn bidng dlh istilh-istilh yng tidk didefinisikn. Istilh tersebut digunkn sebgi wl pendefinisin dn dsr dri definisi seluruh istilh-istilh dlm Geometri. Nmun demikin, mkn-mknny dpt diberikn mellui deskripsi dri msingmsing istilh tersebut. eskripsi berikut ini tidk dinggp sebgi sutu definisi.. Titik Sebuh titik hny memiliki letk (posisi). I tidk puny pnjng, lebr, tu tebl. Sebuh titik diwkili oleh sebuh nokth keil. Nmun demikin ingtlh bhw nokth mewkili sebuh titik nmun bukn sebuh titik, seperti sebuh titik pd pet dpt mewkili letk sutu kot/wilyh tpi bukn wilyh. Sebuh nokth memiliki ukurn, tidk seperti titik. Sebuh titik ditndi dengn sebuh hurup Kpitl berdmpingn dengn nokth seperti berikut. b. Gris Sebuh gris memiliki pnjng, nmun tidk memiliki lebr mupun ketebln. Sebuh gris dpt diwkili oleh lintsn kpur tulis/pensil pd ppn tulis/kerts tu rentngn kret. Sebuh gris ditndi oleh hurup Kpitl dri du titik pdny tu dengn sebuh hurup keil, seperti berikut. Sebuh gris dpt lurus, lengkung, tu kombinsi lengkung dn lurus. Untuk memhmi bgimn perbednny, pikirkn sebuh gris dibngun oleh pergerkn sebuh titik seperti berikut Sebuh Gris lurus seperti dibngun oleh pergerkn titik yng rhny sm; Sebuh Gris lengkung seperti berubh rh ser tertur; Sebuh gris pth seperti dibngun oleh pergerkn titik yng sellu merupkn kombinsi dri gris lurus. 1

2 Sebuh gris lurus tk terbts keberdnny. Gris lurus dlh jrk terpendek ntr du buh titik sembrng. u buh gris lurus berpotongn di sebuh titik.. idng tu permukn idng memiliki pnjng dn lebr, nmun tidk memiliki ketebln. idng dpt diwkili oleh permukn ppn tulis, permukn sisi sebuh kotk, permukn bol. Semu itu mewkili bidng, nmun bukn bidng itu sendiri. Sebuh bidng dtr tu bidng dlh permukn sedemikin hingg sebuh gris lurus menghubungkn sembrng du buh titik yng terletk pd bidng tersebut. Sebuh idng dtr dlh permukn rt dn bis diwkili oleh permukn k dtr tu permukn sebuh mej. Geometri idng dlh Geometri yng berhubungn dengn gmbr bidng dtr yng dpt digmbr pd sebuh permukn dtr. pbil tidk dinytkn lin, gmbr dpt berrti gmbr bidng dtr Segmen/rus gris lurus Sebuh segmen gris lurus dlh bgin dri sebuh gris lurus ntr du buh titikny. itndi dengn hurup kpitl titik-titik r ujungny tu dengn sebuh hurup keil seperti gmbr di smping. Jdi, tu r menunjukn segmen gris lurus ntr dn. Menytkn segmen gris lurus dpt disingkt menjdi segmen gris tu segmen, bhkn jik mknny jels ukup gris sj. engn demikin, jik tidk dinytkn lin, gris tu berrti segmen gris lurus. Membgi sebuh gris lurus menjdi beberp bgin Jik sebuh gris lurus dibgi menjdi beberp bgin 1) Gris keseluruhn (utuh) sm dengn jumlh bgin-bginny; 2) Gris keseluruhn lebih pnjng dri bgin-bginny. Jdi, jik dibgi menjdi tig bgin, b, dn, mk = + b +. Jug lebih pnjng dripd yng dpt ditulis >. Jik sebuh gris dibgi menjdi du bgin yng sm 1) Titik pembgi dlh titik tengh gris; 2) Sebuh gris yng mellui titik tengh disebut pembgi du (biset) gris tersebut. Jdi, jik M = M, mk M disebut titik tengh, dn pembgi du (biset). M Ltihn Perhtikn gmbr di smping, kemudin. eri nm msing-msing segmen; b. Sebutkn rus gris yng berpotongn di ; 7. Sebutkn titik potong E dn ; d. Hitung pnjng,, dn F; e. Sebutkn 2 titik tengh; 3 f. Sebutkn du gris pembgi du (bisetor) 5 E 5 F 10 2

3 1.4. Lingkrn Sebuh lingkrn dlh sebuh kurv (gris lengkung) tertutup yng titik -titikny berjrk sm dri sutu titik tertentu yng disebut pust. Simbol lingkrn dlh Θ. engn demikin ΘO menunjukn lingkrn dengn pust di O. 1) Keliling lingkrn dlh jrk memutr sepnjng lingkrn, besrny 360 o. 2) Jri-jri lingkrn dlh segmen gris dri pust ke sutu titik pd keliling lingkrn. ri definisi, mk setip jri-jri lingkrn sm pnjng stu sm lin. 3) Tlibusur dlh rus gris yng menghubungkn du titik pd keliling lingkrn. 4) Gris tengh (dimeter) dlh tlibusur yng mellui pust lingkrn, merupkn tlibusur terpnjng pd sutu lingkrn. 5) usur dlh bgin dri gris keliling lingkrn. Simbol busur dlh. Jdi, menunjukn busur. Sutu busur 1 o 1 dlh keliling lingkrn ) Setengn lingkrn dlh busur setengh keliling lingkrn. Setengh lingkrn berisi 180 o. Sutu gris tengh membgi lingkrn menjdi du buh setengh lingkrn. Jdi, gris tengh memotong lingkrn menjdi du buh setengh lingkrn. 7) Sudut pust dlh sudut yng dibentuk oleh dubuh jri-jri. Jdi, sudut ntr jri-jri O dengn O merupkn sudut pust. 8) Sudut pust 1 o bersesuin dengn busur 1 o. engn demikin, jik sudut pust ntr OE dn OF = 1 o, mk busur EF (busur EF) dlh 1 o. 9) Lingkrn yng sm dlh lingkrn yng mempunyi ukurn jri-jri sm. usur Tlibusur sudut pust O Gris tengh O Tembereng Juring Ltihn lm lingkrn berikut. rilh pnjng O dn ; b. rilh bilngn derjt busur (). rilh bilngn derjt busur () 70 o O o 3

4 1.5. Sudut Sebuh sudut dlh gmbr bentuk oleh du buh gris lurus yng bertemu disutu titik. Gris-gris tersebut dlh sisi sudut, sementr titikny dlh vertex (titik sudut). Lmbng tu simbol sudut dlh. ri gmbr berikut dn dlh sisi sudut, sedngkn titik sudut (vertex). Menmi sudut Sebuh sudut boleh diberi nm dengn berbgi r seperti berikut 1) Hurup titik sudutny pbil hny d stu titik sudut, seperti. 2) Hurup keil tu sebuh ngk yng ditemptkn ntr sisisisi sudut dekt titik sudutny seperti tu 1. 3) Tig hurup dengn hurup titik sudut di ntr du titik linny yng terletk pd msing-msing sudut. erdsrkn gmbr E dpt dinmi EG tu GE ; G dpt dinmi EGH tu HGE. 1 H E G Ukurn Sudut (besr sudut) 1) erjt Jik busur lingkrn dibgi menjdi 360 bgin, mk besr suut yng menghdpi 1 bgin busur disebut 1 derjt dn ditulis 1 o. Jdi, stu lingkrn penuh diktkn besr sudutny 360 o. Setengh lingkrn best sudutny 180 o, dn seper-empt lingkrn besr sudutny 90 o. 2) Rdin Ukurn rdin dlh ukurn sudut yng diperoleh dengn r membndingkn pnjng busur lingkrn dengn jrijri lingkrn. engn demikin stu rdin dlh besr sudut yng mempunyi pnjng busur sm dengn jri-jri lingkrnny. lm gmbr, jik = r, O = 1 rdin. 2 r esr sudut stu lingkrn penuh = rdin = 2 rdin. r esr sudut setengh lingkrn = rdin = 180 o. 3) Grd Jik busur stu lingkrn penuh dibgi menjdi 400 bgin, mk besr sudut yng menghdpi 1 bgin busur besrny 1 grd. Jdi 1 lingkrn penuh besr sudutny 400 grd, setengh lingkrn besr sudutny 200 grd = 180 o = rdin. Untuk sehri-hri mengukur sudut bisny menggunkn busur derjt (protrtor), sehingg ukurn yng digunkn dlh derjt. u buh sudut diktkn sm pbil mempunyi ukurn sudut yng sm, dn tidk tergntung pd pnjng sisi, mupun pnjng busur yng dihdpiny. 1= o O r 1 rdin P O r Q 100 grd O 1 2 4

5 Jenis-jenis sudut 1) Sudut lnip (ute ngle) dlh sudut yng besrny kurng dri 90 o. (0 o < < 90 o ). 2) Sudut siku-siku (Righ ngle) dlh sudut yng besrny 90 o. ( =90 o ) 3) Sudut tumpul (Obtuse ngle) dlh sudut yng besrny lebih dri 90 o tetpi kurng dri 180 o. ( 90 o < b < 180 o ) 4) Sudut lurus (Stright ngle) dlh sudut yng besrny 180 o. ( = 180 o ). 5) Sudut refleks (Reflex ngle) dlh sudut yng besrny lebih dri 180 o tetpi kurng dri 360 o. (180 o < d < 360 o ). b o o 90 o o d o Fkt-fkt tmbhn tentng sudut 1) u buh sudut sm pbil keduny mempunyi besr sudut yng sm; 2) Sebuh gris yng mellui titik sudut dn membgi du busur dihdpn sutu sudut tersebut, mebgi du sudut sm besr. 3) Gris tegk lurus (perpendiulr) dlh gris yng membut sudut siku-siku Segitig Segibnyk (polygon) dlh gmbr bidng tertutup yng dibtsi oleh segmen (rus) gris lurus sebgi sisi. Gmbr () dlh segibnyk. Sebuh segibnyk yng mempunyi 5 sisi disebut segilim (pentgon) ; gmbr () disebut segibnyk E, menggunkn hurup-hurupny ser berurutn. Sebuh segitig dlh sebuh segibnyk yng mempunyi 3 sisi. Sutu titik sudut sebuh segitig dlh sutu titik dimn du sisi bertemu. Lmbng tu simbol segitig dlh. Sebuh segitig dpt dinmi dengn menggunkn tig hurup berurutn tu menggunkn sebuh ngk Romwi di dlmny. Jdi, segitig dlm gmbr (b) disebut tu I; sisi-sisiny dlh,, dn ; titik-titik sudutny,, dn ; dn sudutsudutny dlh,, dn. Gmbr () Gmbr (b) I E Pengelompokn segitig Segitig-segitig dikelompok menurut kesmn sisiny tu menurut jenis sudut yng dimilikiny. Pengelompokn berdsrkn kesmn sisiny 1) Segitig sembrng (Slene tringle) dlh sutu segitig yng semu pnjng sisiny tidk sm. Jdi, dlm segitig sembrng, b. Hurup keil digunkn untuk tip sisi yng bersesuin dengn hurup kpitl di hdpn sudutny. b 5

6 2) Segitig smkki (Isoseles tringle) dlh sutu segitig yng mempunyi miniml du sisi yng sm pnjng. Jdi, dlm segitig smkki, =. u sisi yng sm disebut kki tu tngn dri segitig smkki; sisi yng lin disebut ls b. Sudut-sudup pd sisi ls merupkn sudut ls; sudut yng berhdpn dengn ls merupkn sudut vertex. 3) Segitig smsisi (Equilterl tringle) dlh sutu segitig yng ketig sisiny sm pnjng. Jdi, segitig smsisi, =b=. Perlu ditt pul bhw segitig smsisi jug merupkn segitig smkki. Pengelompokn berdsrkn jenis sudutny 1) Segitig siku-siku (Right tringle) dlh segitig yng mempunyi sudut siku-siku. Jdi, dlm segitig siku-siku, merupkn sudut siku-siku ( = 90 o ). Sisi dihdpn sudut siku-siku disebut sisi miring (hypotenuse). Sisi -sisi sikusikuny, dn b disebut kki tu tngn segitig siku-siku. b b 2) Segitig tumpul (Obtuse tringle) dlh segitig yng mempunyi sudut tumpul. Jdi, dlm segitig EF, dlh sudut tumpul (90 o < < 180 o ). 3) Segitig lnip (ute tringle) dlh segitig yng mempunyi tig sudut lnip. Jdi, dlm segitig tumpul HJK, H, J, dn K semuny sudut lnip. E H J K F Gris-gris khusus (istimew) dlm sebuh segitig 1) Gris bgi (ngle bisetor) sutu segitig dlh gris dri titik sudut (vertex) sutu segitig ke gris di hdpn sudut itu dn membgi sudut tersebut menjdi du bgin sm besr. Jdi, gris bgi, membgi du sehingg 1= 2. 2) Gris bert (Medin of tringle) dlh gris dri titik sudut (vertex) suru segitig ke tengh-tengh gris di hdpn sudut tersebut. Jdi, M gris bert ke gris, membgi du sm pnjng sehingg M=M. 3) Gris tinggi (ltitude to side of tringle) dlh gris dri titik sudut sutu segitig tegk lurus terhdp gris di hdpn sudut tersebut. Jdi, gris tinggi terhdp, tegk lurus terhdp, dn membentuk 2 sudut siku-siku 1 dn 2. 4) Gris tinggi sutu segitig tumpul (ltitudes of obtuse tringle) dpt berd di lur segitig dengn r menrik gris dri titik sudut ke gris perpnjngn sisi segitig. Jdi, dlm segitig (dirsir), gris tinggi dn E terletk di lur segitig. lm setip ksus, stu sisi sudut tumpul hrus diperpnjng. 1 2 M E 6

7 1.7. Sudut-sudut berpsngn dn sift-siftny. 1) Sudut berdmpingn (djent ngles) dlh du sudut yng mempunyi titik sudut yng sm dn slh stu sisiny berimpit. Jik sustu sudut o dibgi menjdi du sudut yng berdmpingn o dn b o, mk o + b o = o. 2) Sudut bertolk belkng (vertil ngles) dlh du sudut yng tidk berdmpingn yng dibentuk oleh du gris yng berpotongn. Sudut-sudut yng bertolk belkng besrny sm. Jdi, jik dn du gris yng berpotongn, mk 1= 3 dn 2 = 4. o o b o ) Sudut komplemen (omplementry ngles) dlh du sudut yng jumlhny 90 o. Jik du sudut komplemen besrny o dn b o, mk o + b o = 90 o. u sudut berdmpingn merupkn sudut komplemen pbil sisi-sisi lurny sling tegk lurus. Jdi, dn sling tegk lurus. o o b o b o 4) Sudut suplemen (Supplementry ngles) dlh du sudut yng jumlhny 180 o. Jik o dn b o du sudut komplemen, mk o + b o = 180 o. u sudut berdmpingn merupkn sudut suplemen jik dri sisi-sisi lurny dpt dibentuk sutu gris lurus. dn terletk pd gris lurus yng sm. Jik du sudut suplemen sm besr, mk sudutny pstilh sudut-sudut sikusiku. o b o o b o 7

8 II METO PEMUKTIN 2.1. Pembuktin dengn berpikir deduktif erpikir deduktif dpt digunkn untuk menetpkn diterim tu membenrkn pernytn sebgi kesimpuln yng dimbil dri pernytn-pernytn yng diturunkn yng benr sehingg dpt diterim sebgi sesutu yng benr. d tig thpn lngkh sebgi berikut 1) Membut pernytn umum berkenn dengn sustu keseluruhn/kesemestn seperti himpunn mnusi Semu mhsisw dlh lulusn SLT. 2) Membut sebuh pernytn khusus tentng stu tu lebih nggot himpunn semest yng berkenn dengn pernytn umum Mhsisw -2 Unwir dlh mhsisw. 3) Membut deduksi yng logis pbil pernytn umum dipki pd pernytn khusus Mhsisw -2 Unwir dlh lulusn SLT. erpikir deduktif diktkn berpikir silogistik selm ketig tipe pernytn merupkn sutu silogisme. lm sutu silogisme pernytn umum merupkn premis myor, pernytn khusus merupkn premis minor, dn deduksiny merupkn kesimpuln. engn demikin silogisme di ts 1) Premis myorny Semu mhsisw dlh lulusn SLT. 2) Premis minirny Mhsisw -2 Unwir dlh mhsisw. 3) Kesimpulnny Mhsisw -2 Unwir dlh lulusn SLT. entuk silogisme di ts dpt diilistrsikn dengn sebuh digrm lingkrn bersm sebgimn berikut Lulusn SLT Mhsisw Mhsisw -2 Unwir 2.2. Pengmtn (Observtion), pengukurn, dn Perobn bukn merupkn pembuktin. 1) Pengmtn tidk dpt digunkn sebgi pembuktin. p yng tmpk oleh mt bis slh. Pndngn, seperti dlm ksus but wrn bis keliru tentng wrn. emikin hlny dri gmbr berikut nmpk tidk sm dengn, pdhl kenytnny sm. 8

9 2) Pengukurn tidk dpt digunkn sebgi pembuktin. Pengukurn hny digunkn terhdp sejumlh ksus termts. Kisimpulnny tidk psti, tetpi mendekti, tergntung pd keteptn lt dn kepedulin pengmt. lm mengukur, hrus dibut hrg kemungkinn keslhn yng sm dengn setengh kli ukurn terkeil yng digunkn. engn demikin jik mengukur sebuh sudut terhdp derjt terdekt, sutu hrg setengh derjt merupkn keslhn pengukurnny. 3) Peerobn (experiment) tidk dpt digunkn sebgi pembuktin. lm perobn, kesimpulnny hny merupkn yng pling mungkin. Tingkt kemungkinnny (probbilits) tergntung pd situsi khusus tu hsil pengujin dlm proses perobn. imungkinkn sebuh ddu dilempr ke ts 10 kli, dimti slh stu sisiny, mk pelungny untuk munul sisi tertentu lebih besr dripd jik dilempr 20 kli; tidk stupun pelungny yng tentu. Ltihn 1) utlh digrm lingkrnny, dn simpulknlh dri. Jik dlh dn dlh, mk ; b. Jik dlh dn dlh E dn E dlh R, mk.;. Jik X dlh Y dn, mk X dlh M; d. Jik dlh dn E dlh, mk.; e. Jik persegi (S) merupkn persegi pnjng (R) dn persegi pnjng dlh segi empt berturn (P), mk.. 2) Lengkpilh silogism berikut PREMIS MYOR PREMIS MINOR KESIMPULN Seekor kuing dlh Si elng dlh seekor bintng lokl kuing Semu mnusi psti mti. n psti mti Sudut bertolk belkng dn d dlh sudut dlh sm besr bertolk belkng Sebuh persegi dlh Sebuh persegi mempunyi persegi pnjng digonl yng sm Sebuh segitig tumpul hny mempunyi stu sudut tumpul.. pnjng hny mempunyi stu sudut tumpul. 3) ri gmbr berikut rilh. jik = 45 o dn d = 85 o ; b. E jik e = 60 o ;. jik = 15 o ; d. jik b = 42 o. 4) ri gmbr di smping, rilh. O jik dimeter = 36; b. E jik E titik tengn setengh lingkrn E. rilh derjt dri, E, dn E b e d 70 o 50 o E 9

10 2.3. sumsi ksiom dn Postult Seluruh struktur pembuktin dlm Geometri hrus berdsrkn tu diwli dengn beberp pernytn umum yng tidk perlu dibuktikn yng disebut sumsi. Pernytnpernytn yng diterim sebgi yng benr untuk mendeduksi tu menurunkn pernytn-pernytn linny. sumsi dpt berup ksiom tu Postult 1) Sebuh ksiom dlh sumsi yng dpt digunkn pd mtemtik ser umum. Jdi, sebuh kuntits/besrn dpt menggnti sesutu yng sm dlm sebuh pernytn tu persmn yng digunkn dlm ljbr dn begitu jug dlm Geometri. 2) Sebuh postult dlh sumsi yng dpt digunkn pd sutu bng mtemtik seperti Geometri. Jdi, du gris lurus dpt berpotongn pd stu dn hny stu titik berlku khusus pd Geometri. erikut ini dftr ksiom dn postult yng hrus ser lngsung dipeljri. ksiom ks. 1 Sesutu sm terhdp yng sm tu sesutu yng sm, sm stu sm lin. (Misl, 1 gross sm dengn 12 lusin, kren sm-sm 144 buh) ks. 2 Sesuh kuntits/besrn dpt menggntikn sesutu yng sm dlm sutu pernytn tu persmn (ksiom substitusi). (Misl, jik x=5 dn y = x + 3, mk dengn menggnti 5 untuk x, y = = 8) ks. 3 Keseluruhn sm dengn jumlh bgin-bginny. (Misl, Rp = 2 ung ribun + 5 ung rtusn + 1 ung lmpuluhn) ks. 4 Sutu kuntits/besrn sm dengn diriny sendiri. (ksiom identits). (Misl, x = x, =, K = K ) ks. 5 Jik sesutu yng sm ditmbhkn kepd sesutu yng sm, mk hsilny sm. (ksiom penjumlhn) Misl, 2 kuintl = 200 kg x = 10 3 kuintl = 100 kg + y = kuintl = 300 kg x + y = 15 ks. 6 Jik sesutu yng sm dikurngkn kepd sesutu yng sm, mk hsilny sm (ksiom pengurngn) Misl, 5 lusin = 60 buh x + 10 = 17 2 lusin = 24 buh _ 10 = 10 _ 3 lusin = 36 buh x = 7 ks. 7 Jik sesutu yng sm diklikn/digndkn kepd sesutu yng sm, mk hsilny sm (ksiom perklin) Misl, Hrg sebuh pensil Rp 1.000,-; hrg 3 buh pensil Rp 3.000,- ks. 8 Jik sesutu yng sm dibgi sesutu yng sm, mk hsilny sm (ksiom pembgin) Misl, 5 kg telor hrgny Rp ,-; 1 kg telor hrgny Rp 9.000,- ks. 9 Jik perpngktn sesutu yng sm, hsilny sm. (ksiom perpngktn) Misl, = 3, mk 2 = 3 2 tu 2 = 9. ks. 10 Jik penrikn kr sesutu yng sm, hsilny sm. (ksiom perpngktn) Misl, p 3 = 8, mk p = 3 8 = 2. 10

11 ontoh penggunn ksiom terhdp pernytn. ) Jik hri ini usi bdul dn udi sm, mk dlm sepuluh thun yng kn dtng (?) b) Kren 32 o F dn 0 o merupkn titik beku ir, mk (?) ) Jik st ini inty dn eti mempunyi bert yng sm dn msing-msing kemudin berkurng 2 kg, mk (?) d) Jik du tempt penmpungn ir yng memiliki volume yng sm dilipt-tigkn volumeny, mk (?) e) Jik du heli pit berukurn sm dipotong menjdi lim bgin yng sm, mk (?) f) Jik Els dn Ferdi memiliki tinggi bdn sm dengn tinggi bdn Git, mk (?) Postult Post. 1 Hny sebuh gris lurus dpt ditrik dri du buh titik tertentu. Misl, stu-stuny gris lurus dpt ditrik ntr titik dn. Post. 2 u buh gris lurus dpt berpotongn hny di sebuh titik. Misl, hny titik P titik potong ntr dn. Post. 3 Sebuh gris lurus merupkn gris terpendek ntr du buh titik. Misl, gris lurus dlh pling pendek dripd gris lengkung tu gris pth. Post. 4 Hny sebuh lingkrn dpt dibut dengn sebuh titik tertentu sebgi pust dn sebuh rus (segmen) gris sebgi jri-jri. Misl, hny lingkrn dpt dibut dengn sebgi pust dn sebgi jri-jri. Post. 5 ngun geometri dpt dipindhkn tnp merubh ukurn dn bentuk. Misl, I dpt dipindhkn posisiny ke posisi yng bru tnp mengubh ukurn dn bentuk. Post. 6 Sebuh rus gris lurus hny memilki stu titik tengh. I P M Misl, Hny M titik tengh. Post. 7 Sebuh sudu hny mempunyi stu gris bgi. Misl, hny gris bgi sudut. I Post. 8 Mellui sebuh titik pd sebuh gris lurus hny dpt dibut sebuh gris lurus yng tegk lurus pd gris tersebut. Misl, jik P pd mk hny P. Post. 9 Mellui sebuh titik di lur sebuh gris lurus hny dpt dibut sebuh gris lurus yng tegk lurus pd gris tersebut. Misl, jik P di lur mk hny P. P P 11

12 2.4. Theorem (dlil) dsr sudut Theorem dlh sutu pernytn yng hrus dibuktikn. Theorem-theorem berikut untuk membuktiknny diperlukn definisi, ksiom, tu postult. Prinsip termsuk pernytn geometri yng sm pentingny dengn Theorem, ksiom, postult, dn definisi. Prinsip 1 Semu sudut tegk lurus dlh sm. = K K Prinsip 2 Semu sudut lurus dlh sm. = Prinsip 3 Komplemen sudut yng sm tu sm besr dlh sm. Ini merupkn kombinsi prinsip () komplemen sudut yng sm dlh sm ( = b x b msing-msing komplemen dri x); (b) Komplemen sudut yng sm besr dlh d sm ( = d msing-msing komplemeny x y dlh x dn y ). Prinsip 4 Suplemen sudut yng sm dlh sm. Ini merupkn kombinsi prinsip () suplemen x sudut yng sm dlh sm ( = b b msing-msing suplemen dri x); (b) Suplemen sudut yng sm besr dlh sm ( = d msing-msing suplemeny dlh x dn y ). x y d Prinsip 5 Sudut bertolk belkng dlh sm. = b mengikuti prinsip 4, kren dn b merupkn suplemen dri sudut yng sm, b yitu. 12

13 III GRIS SEJJR, JRK, KONGRUENSI, N HUUNGN NTR SUUT 3.1. Gris sejjr u buh gris sejjr dlh du buh gris lurus pd sutu bidng yng sm yng tidk berpotongn wlupun diperpnjng smpi juh tk hingg. Simbol sejjr dlh. Misl, dib sejjr. Gris potong (trnsversl) dri du buh gris tu lebih dlh gris yng memotong gris-gris tersebut. Misl, EF merupkn gris potong dn. Sudut dlm dlh sudut ntr du gris dengn gris potongny; sedngkn Susut lur dlh sudut yng berd di lur du gris tersebut. Misl, dlm gmbr di smping 1, 2, 3, dn 4 merupkn sudut-sudut dlm; sedngkn 5, 6, 7, dn 8 merupkn sudut-sudut lur. E F Sudut-sudut berpsngn yng dibentuk oleh du gris sejjr dipotong oleh gris sutu gris potong (Trnsfersl). ri gmbr gris sejjr dn yng dipotong oleh gris EF di ts didpt psngn sudut-sudut yng disebut 1) Sudut sehdp, yitu sudut yng rh bukny sm. ri gmbr di ts, sudut-sudut yng sehdp, dlh msing-msing psngn 1 dengn 8, 2 dengn 7, 3 dengn 6, dn 4 dengn 5. 2) Sudut dlm berseberngn, yitu sudut-sudut ntr du gris sejjr yng posisiny berseberngn dri gris potong. ri gmbr di ts, sudut-sudut dlm berseberngnny dlh msing-msing psngn 1, dengn 3, dn 2, dengn 4. 3) Sudut lur berseberngn, yitu sudut-sudut di sebelh lur du gris sejjr yng posisiny berseberngn dri gris potong. ri gmbr di ts, sudut-sudut lur berseberngnny dlh msing-msing psngn 5 dengn 7 sert 6, dengn 8. Prinsip-prinsip gris sejjr Prinsip 1 (Postult gris sejjr) Mellui sebuh titik di lur sutu gris lurus, hny dpt di tris sebuh gris yng sejjr dengn gris tersebut. (Mellui titi P hny d stu gris l 2 sejjr l 1 ) Pembuktin bhw du gris sejjr Prinsip 2 u gris sejjr, jik sudut-sudut sehdpny sm besr. (l 1 l 2, jik = b ) P l 1 l 1 l 2 b l 2 Prinsip 3 u gris sejjr, jik sudut-sudut dlm berseberngnny sm besr. (l 1 l 2, jik = d ) l 1 d l 2 13

14 Prinsip 4 u gris sejjr, jik sudut-sudut dlmny sling bersuplemen tu jumlhny 180 o. (l 1 l 2, jik dn d sling bersuplemen tu + d = ). Prinsip 5 u gris sejjr, jik kedu gris tersebut tegk lurus terhdp sutu gris yng sm. (l 1 l 2, jik l 1 l 3 dn l 2 l 3 ) Prinsip 6 u gris sejjr, jik sudut-sudut dlm berseberngnny sm besr. (l 1 l 2, jik l 1 l 3 dn l 2 l 3 ) Sift-sift gris sejjr Prinsip 7 Jik du gris sejjr, mk sudut-sudut sehdpny sm besr. (jik l 1 l 2, mk = b ) l 1 d l 2 l 3 l 1 l 2 l 1 l 3 l 2 l 1 b l 2 Prinsip 8 Jik du gris sejjr, mk sudut-sudut dlm berseberngnny sm besr. (Jik l 1 l 2, mk = d ) l 1 d l 2 Prinsip 9 Jik du gris sejjr, mk sudut-sudut dlmny sling bersuplemen tu jumlhny 180 o. (Jik l 1 l 2, mk dn d sling bersuplemen tu + d = ). Prinsip 10 Jik du gris sejjr, mk kedu gris tersebut tegk lurus terhdp sutu gris yng sm. (Jik l 1 l 2, mk l 1 l 3 dn l 2 l 3 ) Prinsip 11 Jik du gris sejjr, mk sudut-sudut dlm berseberngnny sm besr. (Jik l 1 l 2, mk l 1 l 3 dn l 2 l 3 ) Prinsip 12 Jik sisi-sisi du buh sudut msing-msing sling sejjr, mk bik sudutny mupun sudut suplemenny sm besr. (Jik l 1 l 3, dn l 2 l 4, mk = = b dn + d l 3 l 1 l 2 l 1 l 3 l 2 l 3 l 2 b l Segitig Kongruen Prinsip-prinsip dsr segitig kongruen. PRINSIP HIPOTESIS KESIMPULN 1) Jik du segitig kongruen, mk bgin- bgin yng linny sm. (Jik, mk = ', = ', = ', =, b = b, dn = ). b b b b 14

15 Metod Pembuktin bhw segitig-segitig kongruen PRINSIP HIPOTESIS KESIMPULN 2) (s, sd, s = s, sd, s) Jik pd du buh segitig terdpt du sisi dn sudut yng dipit kedu sisi tersebut sm, mk kedu segitig tersebut kongruen. Jik b = b, = dn, = ', mk 3) (sd, s, sd) = (sd, s, sd) Jik pd du buh segitig terdpt du sudut dn sebuh sisi bersmny sm, mk segitig tersebut kongruen. Jik = ', = ', dn =, mk. 4) (s, s, s) = (s, s, s) Jik pd du buh segitig ketig sisiny sm, mk segitig tersebut dlh kongruen. Jik =, b = b, dn =, mk. b b b b b b 3.3. Segitig smkki dn segitig smsisi PRINSIP HIPOTESIS KESIMPULN 1) Jik du buh sisi dri sebuh segitig sm, mk kedu kedu sudut dihdpnny (sudut lsny) sm. Jik pd, =, mk =. 2) Jik du buh sudut dri sebuh segitig sm, mk kedu sisi dihdpnny (kkiny) sm. Jik pd, =, mk =. 3) Segitig smsisi dlh segitig sm sudut (ketig sudutny sm). Jik pd, = =, mk = =. 4) Segitig sm sudut (ketig sudutny sm) dlh segitig smsisi (ketig sisiny sm). Jik pd, = =, mk = =. 15

16 Ltihn uktikn msing-msing berikut 1.. ikethui tengh-tengh uktikn = b. ikethui gris bgi. Gris bert pd uktikn = 2. E 2 1 F. ikethui 1= 2, F = E, F gris bgi, E gris bgi, dn sudut-sudut siku-siku. uktikn =. b. ikethui = E tengh-tengn F tengh-tengh =, F = E uktikn = 3. ikethui = E 1= 2 uktikn G E 1 2 E E ikethui 1= 2 = E uktikn E 5. Jumlh sudut-sudut dlm sebuh segitig besrny Jumlh sudut-sudut dlm segiempt besrny

17 IV TRPESIUM, JJRN GENJNG, MEIN N TITIK TENGH 4.1. Trpesium Sutu Trpesium dlh sutu segiempt yng mempunyi du gris sejjr. iri dsr dri sebuh Trpesium dlh du sisi/gris sejjrny. Sisi sejjr terpnjngny disebut ls Trpesium. Gris/sisi yng tidk sejjrny disebut kki. Medin (gris tengh) Trpesium dlh gris yng menghubungkn du titik tengh pd msing-msing kkiny. Misl, dri gmbr Trpesium, lsny dlh dn. Jik M dn N du titik tengh pd kki, mk MN dlh Medin dri Trpesium tersebut. Sutu Trpesium smkki dlh Trpesium yng pnjng kkiny sm. Misl, Trpesium smkki PQRS, PQ = RS. Sudut lsny dlh P = S. M R P N Q S 4.2. Jjrn genjng Sutu jjrn genjng dlh segiempt yng du sisi yng sling berhdpnny sejjr. Pd jjrn genjng berikut dn. iri-iri tu sift-sift jjrn genjng Prinsip 1 Sisi berhdpn sebuh jjrn genjng dlh sejjr. (efinisi) Q II R Prinsip 2 Sebuh digonl jjrn genjng membgi jjrn genjng menjdi du buh segitig yng sm dn sebngun (kongruen). Pd jjrn genjng PQRS, PQS SRQ P I S Prinsip 3 Pnjng sisi-sisi yng berhdpn pd sebuhjjrn genjng sm pnjng. Misl, pd jjrn genjng, = dn =. Prinsip 4 Sudut-sudut yng sling berhdpn pd sebuh jjrn genjng dlh sm. Misl, pd jjrn genjng, = dn =. E Prinsip 5 Sudut-sudut dlm yng sepihk pd jjrn genjng sling bersuplemen tu jumlhny 180 o. Misl, pd jjrn genjng, merupkn suplemen dri dn tu. + = 180 o dn + = 180 o. Prinsip 6 igonl-digonl sutu jjrn genjng sling membgi du sm pnjng. E = E dn E = E. 17

18 Membuktikn bhw sebuh segiempt merupkn jjrn genjng. Prinsip 7 Sebuh segiempt merupkn jjrn genjng jik pnjng sisi-sisi yng berhdpnny sling sejjr. Prinsip 8 Sebuh segiempt merupkn jjrn genjng jik pnjng sisi-sisi yng berhdpnny sm pnjng. E Prinsip 9 Sebuh segiempt merupkn jjrn genjng jik du sudutny sm dn du sisiny sling sejjr. Prinsip 10 Sebuh segiempt merupkn jjrn genjng jik sudut-sudut yng berhdpnny sm besr. Prinsip 11 Sebuh segiempt merupkn jjrn genjng jik digonl-digonlny sling membgi du sm pnjng Jjrn genjng istimew (khusus) efinisi dn hubungn ntr jjrn genjng istimew Persegi pnjng (retngle), belh ketupt (rhombus), dn persegi (bujur sngkr) termsuk ke dlm himpunn jjrn genjng. Msing-msing berikut didefinisikn dri jjrn genjng 1) Sebuh persegi pnjng dlh sebuh jjrn genjng sm sudut ke empt sudutny sm besr); 2) Sebuh belh ketupt dlh sebuh jjrn genjng yng sisi-sisiny sm pnjng; 3) Sebuh persegi dlh jjrn genjng yng sudut-sudutny sm besr dn sisi-sisiny sm pnjng. Jdi, persegi merupkn persegi pnjng dn jug belh ketupt. Jjrn genjng Persegi Persegi Pnjng belh ketupt 18

19 iri-iri/sift-sift jjrn genjng istimew Prinsip 1 Sebuh persegi pnjng, belh ketupt, tu persegi mempunyi semu iri-iri jjrn genjng. Q R Prinsip 2 Semu sudut persegi dlh sudut tegk lurus. Prinsip 3 igonl-digonl persegi dlh sm pnjng. P S Prinsip 4 Semu sisi pd sebuh belh ketupt sm pnjng. Prinsip 5 Prinsip 6 igonl-digonl belh ketupt berputongn sling tegk lurus dn sling membgi du sm pnjng. igonl-digonl belh ketupt membgi du sudut-sudutny sm besr. Prinsip 7 igonl-digonl belh ketupt membentuk empt buh segitig yng sm dn sebngun (kongruen). Prinsip 8 Sebuh persegi memiliki iri-iri yng sm dengn sebuh persegi pnjng dn belh ketupt. Membuktikn bhw sebuh jjrn genjng merupkn sebuh persegi pnjng, belh ketupt tu sebuh persegi.. Membuktikn bhw sebuh jjrn genjng merupkn persegi pnjng. efinisi dsr tu minimum sebuh persegi pnjng dlh Sebuh persegi pnjng dlh sebuh jjrn genjng yng mempunyi sebuh sudut siku-siku. Kren sudut-sudut dlm sepihk sebuh jjrn genjng sling bersuplemen, mk jik slh stuny siku-siku yng linny siku-siku jug. efinisi dsr persegi pnjng ini memberikn metod yng bergun untuk membuktikn bhw sebuh jjrn genjng merupkn sebuh persegi pnjng sebgimn berikut Prinsip 9 Jik sebuh jjrn genjng mempunyi sebuh sudut siku-siku, mk jjrn genjng tersebut merupkn sebuh persegi pnjng. Q R Prinsip 10 Jik sebuh jjrn genjng mempunyi digonl yng sm pnjng, mk jjrn genjng tersebut merupkn sebuh persegi pnjng. P S b. Membuktikn bhw sebuh jjrn genjng merupkn belh ketupt efinisi dsr tu minimum sebuh belh ketupt dlh Sebuh belh ketupt dlh sebuh jjrn genjng yng mempunyi sisi-sisi berdmpingn sm pnjng. 19

20 Prinsip 11 Jik sebuh jjrn genjng mempunyi du sisi berdmpingnny sm pnjng, mk jjrn genjng tersebut merupkn belh ketupt.. Membuktikn bhw sebuh jjrn genjng merupkn sebuh persegi. Prinsip 12 Jik sebuh jjrn genjng mempunyi sebuh sudut siku-siku dn du sisi berdmpingnny sm pnjng, mk jjrn genjng tersebut merupkn persegi. Ltihn 1) Jik sebuh belh ketupt, rilh x dn y berikut ) b) y+20 ) y 20 y 5y+6 x 60 o 4x-5 2x+15 2) Jik merupkn sebuh belh ketupt, rilh x dn y msing-msing berikut ) = 35, = 8x 5, = 5y, = 60 o b) = 43, = 4x + 3, = y + 8, =120 o 1 2 ) = 7x, = 3x + 10, = y d) = x + y, = 2x y, = 12 e) =130 o, 1= 3x 10, = 2y f) 1= 8x 29, 2 = 5x+4, = y 3) uktikn msing-msing beriku ) ikethui Persegipnjng, E = F uktikn E = F b) ikethui Persegipnjng E, F, G, dn H titik-titik tengn sisi-sisi segiempt. uktikn EFGH sebuh belh ketupt. F E G E F H 20

21 V SIMILRITS (KESENGUNN) 5.1. Rsio tu perbndingn Rsio digunkn untuk membndingkn besrn dengn pembgin. Rsio du kuntits dlh bilngn pertm dibgi dengn bilngn kedu. Sutu rsio merupkn bilngn bstrk, yitu sebuh bilngn tnp sutu unit ukurn. Misl, rsio 10 m terhdp 5 m dlh 10 m 5 m yng sm dengn 2. Sutu rsio dpt disjikn dlm r-r berikut () menggunkn tnd titik du, seperti 3 4; (b) menggunkn kt dengn seperti 3 dengn 4; () menggunkn tnd pehn seperti 4 3 ; (d) menggunkn tnd desiml seperti 0,75; (e) menggunkn tnd persen seperti 75%. Untuk menri rsio, kuntits tu besrnny hrus memiliki unit tu stun yng sm. Sutu rsio hrus disederhnkn dengn mengubh dn menghilngkn bentuk pehn dlm rsio. Misl, 1 m dengn 15 m, pertm ubh 1 m menjdi 100 m kemudin but rsio 100 dengn 15; hsilny 20 dengn 3 tu Jug, rsio 2½ ½ diubh menjdi 5 1 tu 5. Rsio 3 besrn tu lebih dpt disjikn sebgi rsio berlnjut. Misl, rsio dri 3 gr dengn 4 gr deng 5 gr merupkn rsio berlnjut Perlusn rsio ini merupkn sutu kombinsi dri tig rsio terpish, yitu 3 4; 3 5; dn Proporsi (Kesebndingn) Sutu proporsi dlh kesmn du rsio. Misl, 2 5 = 4 10 tu 5 2 = 10 4 merupkn proporsi. Suku keempt dri sutu proporsi dlh proporsi urutn keempt dri tig proporsi linny. Misl, 2 3 = 4 x; x merupkn suku keempt dri 2, 3, dn 4. Suku tengh sutu proporsi dlh suku kedu dengn suku ketig; sdengngkn ujungujung proporsi dlh suku pling lur, yitu suku pertm dn suku keempt. (Misl, b = d, unsur tenghny dlh b dn ; sedngkn ujung-ujungny dlh dn d). Jik unsur tengh sutu proporsi besrny sm, mk berrti proporsiny unsur pertm dengn unsur keempt. (Misl, 9 3 = 3 1, sm sj dengn 9 1). Prinsip-prinsip proporsi Prinsip 1 lm sembrng proporsi, hsil kli suku tengh sm dengn hsil kli ujung-ujungny. (Misl, b = d, mk b = d. Prinsip 2 Jik hsil kli du bilngn sm dengn hsil kli du bilngn linny, mk yng stu bersl dri psngn suku tengh dn yng linny dri psngn ujung-ujungny. (Misl, 3x 5y, mk dpt bersl dri x y = 5 3 tu y x = 3 5 tu 3 y = 5 x; tu 5 x = 3 y). 21

22 Metod tu r mengubh sutu proporsi menjdi sutu proporsi bru Prinsip 3 Metod inversi (memblik). Sutu proporsi dpt diubh menjdi proporsi bru dengn memblik msingmsing rsio. (Misl, jik x 1 = 5 4, mk 1 x = 4 5 ). Prinsip 4 Metod lternsi (menggnti silng). Sutu proporsi dpt diubh menjdi proporsi bru dengn r menggnti bersilngn unsur tenghny tu unsur ujung-ujungny. (Misl, jik 3 x = 2 y, mk y x = 2 3 tu 3 2 = x y ). Prinsip 5 Metod disi (penmbhn) Sutu proporsi dpt diubh menjdi proporsi bru dengn r menmbhkn suku msing-msing rsio pd suku pertm dn suku ketig. (Misl, jik b = d, mk menjdi ( + b) b = ( + d) d tu = b d menjdi b b = d x 2 ; jik d 2 9 x 10 =, mk menjdi = ) Prinsip 6 Metod substrksi (pengurngn) Sutu proporsi dpt diubh menjdi proporsi bru dengn r mengurngi suku pertm dn suku ketig dengn msing-msing rsiony. (Misl, jik b = d, mk menjdi ( - b) b = ( - d) d tu = b d menjdi b b = d x 3 ; jik d 3 = 1 9, mk menjdi 3 x = 1 8 ). Prinsip 7 Jik sembrng tig suku dri sutu proporsi sm deng tig suku proporsi linny, mk suku sisny jug sm. (Misl, jik y x = 2 3 dn 5 x = 2 3, mk y = 5). Prinsip 8 lm sutu deretn rsio yng sm, rsio jumlh pembilngny terhdp jumlh penyebutny yng bersesuin sm dengn rsio slh stu pembilng dn penyebutny. e e x y y 3 3 (Misl, jik = =, mk = =. Jik = =, b d f b d f d mk x y y x 3 = tu = ) Ltihn 1) utlh rsio dri ) x deng 8x; b) 11d dengn 22; ) 15x dengn 10x dengn 5x; d) 7½ dengn 2½. 2) rilh suku keempt dri msing-msing brisn suku proporsi berikut ) 1, 3, 5; b) 8, 6, 4; ) 3, 4, 2; d) ⅔, 2, 5; e) b, 2, 3b 3) rilh x dri 1) x x y = ; 2) 2 8 = x y 4 2 3x y = ; 3) 3 15 y 3 = 10 =

23 5.3. Proporsi gris Jik du gris dibgi ser proporsionl, mk 1) Rus gris (segmen) yng bersesuin jug proporsionl; 2) Kedu gris dn psngn segmenny yng bersesuin jug proporsionl. (Misl, Jik dn dibgi ser proporsionl oleh E, sutu proporsi seperti = dpt ditentukn dengn b d menggunkn empt segmen tu sutu proporsi seperti = dpt ditentukn dengn menggunkn du gris dengn du segmenny. b E d Menentukn delpn susunn semberng proporsi Sutu proporsi seperti = dpt disusun dlm delpn r. Untuk menentukn b d kedelpn mm, singktny msing-msing suku proporsi mewkili sebuh segmen gmbr di ts. Msing-msing proporsi yng mungkin ditentukn dengn menggunkn rh yng sm, seperti berikut rh bwh rh ts rh smping knn rh smping kiri b d b d b d b d = tu = b d d b b d d b = tu = b b = tu = d d d d = tu = b b Prinsip 1 Prinsip 2 Jik sebuh gris sejjr dengn slh stu sisi sutu segitig, mk gris tersebut membgi sisi linny ser proporsionl. (Misl, dlm, jik E, mk b = d ) Jik sebuh gris membgi du sisi sutu segitig ser proporsionl, mk gris tersebut sejjr dengn sisi ketig segitig tersebut. (Misl, dlm, jik b = d, mk E ) Prinsip 3 Tig gris sejjr tu lebih memotong du gris sembrng ser proposionl. (Misl, jik EF, mk b = d ). b b E d F d 23

24 Prinsip 4 Gris bgi sutu sudut sebuh segitig membgi du gris dihdpnny menjdi segmen-segmen yng proporsionl dengn gris-gris linny (gris pembentuk sudut). (Misl, dlm, jik gris bgi mk b = d )., b d 5.4. Segitig-segitig sebngun Segibnyk sebngun dlh segibnyk yng sudut-sudut yng bersesuinny sm dn sisi-sisi yng bersesuinny proporsionl (se bnding). Segibnyk yng sebngun mempunyi bentuk yng sm wlupun ukurnny berbed. Lmbng kesebngunn dlh ~. ~ dib Segitig sebngun dengn segiti ksen, ksen, ksen. Seperti hlny dlm ksus segitig sm dn sebngun sisi-sisi dri segitig yng sebngun berhdpn dengn sudutsudut yng sm. (ttn bhw sisi -sisi dn sudutsudut yng bersesuin bisny ditndi dengn hurup yng sm dn tnd petik/ksen). (Misl, dlm gmbr di smping ~, kren = ' = 37 o, = ' = 53 o, = ' = 90 o, = ' b = b' 10 ). 6 8 tu = = ' =3 =5 =6 b =4 =10 b=8 Prinsip-prinsip segitig-segitig yng sebngun Prinsip 1 Sudut-sudut yng bersesuin dri segitig-segitig yng sebngun dlh sm. (efinisi). Prinsip 2 Sisi-sisi segitig yng sebngun dlh sebnding (proporsionl) Prinsip 3 u segitig diktkn sebngun pbil du sudut segitig yng stu sm dengn du sudut segitig yng linny. Prinsip 4 u segitig diktkn sebngun jik slh stu sudut segitig yng stu sm dengn slh stu sudut segitig yng linny dn sisi-sisi yng membentuk sudut tersebut sebnding (proporsionl). Prinsip 5 u segitig diktkn sebngun jik sisi-sisi yng bersesuinny sebnding. Prinsip 6 u segitig siku-siku diktkn sebngun jik sebuh sudut lnip segitig yng stu sm dengn sudut lnip segitig linny. Prinsip 7 Sebuh gris yng sejjr slh stu sisi sutu segitig yng memotong du sisi segitig linny kn membentuk segitig yng sebngun dengn segitig semul. Prinsip 8 Segitig-segitig yng sebngun dlh sebngun stu sm linny. Prinsip 9 Gris tinggi dri sudut siku-siku sutu segitig siku-siku terhdp sisi miringny membgi segitig tersebut menjdi du segitig yng sebngun dengn segitig semul. Prinsip 10 Segitig-segitig diktkn sebngun jik sisi-sisiny sling sejjr. Prinsip 11 Segitig-segitig diktkn sebngun jik sisi-sisiny sling tegk lurus. 24

25 5.5. Gris-gris yng memotong di lur dn di dlm sebuh lingkrn Tbel Prinsip-Prinsip Pengukurn Sudut POSISI SUUT JENIS SUUT GMR RUMUS Pd Pust Lingkrn Sudut Pust O o O o O = o Pd Lingkrn i lm Lingkrn Sudut Keliling Sudut yng dibentuk oleh gris singgung (Tngen) dn Tlibusur (hord) Sudut dlm (Lingkrn) O. o O. o b o 1 O. o o ½ = ½ o 1 o ½( + ) 1 = ½( o + b o ) b o O. o E o ½( E) = ½( o - b o ) i Lur Lingkrn Sudut lur (Lingkrn) b o O. o o ½( ) = ½( o - b o ) b o O. o o ½( ) = ½( o - b o ) = (180 o - b o ) Pembuktin rumus-rumus dpt dilkukn dengn r menghubungkn ntr besrn sudut dengn busur yng bersesuin dengn dsr sudut pust (efinisi ukurn sudut dlm derjt). 25

26 5.6. Gris-gris yng berpotongn di dlm dn di lur sebuh lingkrn Prinsip 1 Jik du tlibusur berpotongn di dlm lingkrn, mk hsil kli segmen tlibusur yng stu sm dengn hsil kli segmen pd tlibsur linny. (ri gmbr E x E = E x E) E O. Prinsip 2 Jik sutu gris singgung berpotongn dengn tlibusur (perpnjngnny) di lur lingkrn, mk segmen gris singgungny sebnding dengn segmen tlibusur dengn segmen perpnjngn tlibusurny. (ri gmbr P 2 = tu P = x ) P Prinsip 3 Jik du du tlibusur (perpnjngnny) berpotongn di lur lingkrn, mk hsil kli segmen-segmenny sm stu dengn linny. (ri gmbr x = x E) 5.7. Perbndingn-perbndingn pd sebuh segitig siku-siku P O. O. E Prinsip 1 Perbndingn stu segmen sisi miring sebuh segitig siku-siku (dipishkn oleh gris tinggi dri sudut siku-siku terhdp sisi miringny) dengn gris tinggi, sm dengn perbndingn ntr gris tinggi dengn segmen sisi miring linny. 2 (ri gmbr = tu = x ). Prinsip 2 Jik dlm sebuh segitig siku-siku dibut gris tinggi dri sudut siku-siku, mk perbndingn ntr msing-msing sisi miring dengn proyeksi msing-msing segitig siku-siku sebnding stu sm lin. (ri gmbr 2 = tu = x dn = tu 2 = x ) Prinsip 3 lil Pythgors lm sebuh segitig siku-siku kudrt sisi miringny sm dengn jumlh kudrt sisi-sisi linny. (ri gmbr 2 = 2 + b 2 ). b Memeriks pkh sebuh segitig merupkn segitig lnip, siku-siku, tu tumpul jik dikethui pnjng sisi-sisiny (, b, dn ) 1) Jik 2 < 2 + b 2, mk segitigny merupkn segitig lnip; 2) Jik 2 = 2 + b 2, mk segitigny merupkn segitig siku-siku; 3) Jik 2 > 2 + b 2, mk segitigny merupkn segitig tumpul; 26

27 5.8. Segitig-segitig siku-siku istimew Segitig-segitig siku-siku istimew dlh segitig siku-siku yng susunn sudutsudutny 30 o, 60 0, dn 90 o sert segitig siku-siku yng susunn sudut-sudutny 45 o, 45 0, dn 90 o. b s t s b= s Prinsip 1 Pnjng gris dihdpn sudut 30 o dlh setengh dri pnjng sisi miringny. = ½. Prinsip 2 Pnjng gris dihdpn sudut 60 o dlh setengh pnjng sisi miring kli kr tig (b = ½ 3 ). Prinsip 3 Pnjng gris dihdpn sudut 60 o dlh pnjng sisi di hdpn sudut 30 o kli kr tig b = 3. Prinsip 4 Pnjng gris tinggi segitig smsisi dlh pnjng sisi kli kr tig (t = s 3 ). Prinsip 5 Pnjng sisi siku-siku segitig siku-siku smkki dlh setengh sisi miring kli kr du ( = ½ 2 ). Prinsip 6 Pnjng sisi miring segitig siku-siku sm kki dlh pnjng sisi sikusiku kli kr du ( = 2 ). Prinsip 7 igonl sebuh persegi pnjngny dlh sisi kli kr du ( = 2 ). Ltihn uktikn prinsip-prinsip pd 6.4. smpi dengn

28 5.9. Segibnyk berturn O F E G Istilh-istilh (Liht gmbr di ts) 1) Segibnyk berturn dlh segibnyk yng sisi-sisi dn sudut-sudutny sm. (E) 2) Pust sutu segibnyk berturn dlh pust lingkrn lur dn lingkrn dlm segibnyk tersebut. (O) 3) Lingkrn lur segibnyk berturn dlh lingkrn yng mellui titik-titik sudut segibnyk tersebut (lingkrn yng mellui titik E); sedngkn lingkrn dlmny dlh lingkrn yng menyinggung sisi-sisi segibnyk tersebut (dintrny mellui titik G dn F). 4) Jri-jri sutu segibnyk berturn dlh gris yng menghubungkn titik pust lingkrn dengn titik sudut segibnyk tersebut; dengn kt lin jri-jri segibnyk jug merupkn jri-jri lingkrn lur segibnyk tersebut (O, O, O, O, dn OE). 5) Sudut pust sutu segibnyk berturn dlh sebuh sudut dlm yng dibentuk oleh du jri-jri yng mellui du titik sudut yng sling berdektn ( O, OE, O, dst). 6) potem sutu segibnyk berturn dlh gris dri pust tegk lurus sisi segibnyk tersebut. potem jug merupkn jri-jri lingkrn dlm segibnyk tersebut (OG, OF). Prinsip-prinsip dlm Segibnyk (Segi-n) berturn Prinsip 1 Jig segi-n berturn mempunyi pnjng sisi s, mk Kelilingny K = n.s Prinsip 2 Pd sembrng segi-n berturn dpt dibut lingkrn lurny. Prinsip 3 Pd sembrng segi-n berturn dpt dibut lingkrn dlmny. Prinsip 4 Pust lingkrn lur sutu segi-n jug merupkn pust lingkrn lurny. Prinsip 5 Sutu segibnyk sm sisi dlm sebuh lingkrn dlh segibnyk berturn. Prinsip 6 Jri-jri sutu segi-n berturn dlh sm. Prinsip 7 Sebuh jri-jri segibnyk berturn membgi du sudut segibnyk sm besr. Prinsip 8 potem-potem segi-n berturn dlh sm. Prinsip 9 Sutu potem segi-n berturn membgi du sm pnjng sisi segi-n tersebut. 28

29 Prinsip 10 Untuk sebuh segi-n berturn () msing-msing sudut pust p sm dengn lurny l. (b) msing-msing sudut dlmny d = S ( n 2)180 n o 360 n o sm dengn sudut l d p O E Hubungn ntr gris dlm segi 3, 4, dn 6 berturn 30 o ½.s s R 60 o Segi-enm berturn s = R = ½.R 3 s R ½.s 45 o Persegi (ujur sngkr) s = R 2 = ½R 2 s R t R ½.s 30 0 Segitig berturn s = R 3, t = + R R= ⅔.t, = ⅓.t = ½R, Rsio/Perbndingn Trigonometris Trigonometri bersl dri kt Trigonometry yng slny terdiri dri tig suku kt, yitu Tri, gon, dn metry. Tri tu three berrti tig, gono tu gon berrti sudut, dn metron tu metry berrti ukurn. Trigonometri dirtikn sebgi pengukurn sudutsudut dlm segitig tu kjin tentng pengukun segitig. erikut rsio tu perbndingn-perbndingn yng berkitn dengn sisi dn sebuh sudut lnip pd sebuh segitig siku-siku 1) Rsio Sinus tu Sine (disingkt Sin) sebuh sudut lnip dlh rsio ntr sisi yng dihdpi sudut dengn sisi miring. erdsrkn gmbr di smping Sinus tu Sine Sisi _ dihdpn _ sudut disingkt Sin = =. Sisi _ miring 2) Rsio osinus tu osine (disingkt os) sebuh sudut lnip dlh rsio ntr sisi sudut dengn sisi miring. erdsrkn gmbr di smping osinus tu osine Sisi _ sudut b disingkt os = =. Sisi _ miring b 29

30 3) Rsio Tngent(disingkt Tn) sebuh sudut lnip dlh rsio ntr sisi yng dihdpi sudut dengn sisi sudut. erdsrkn gmbr di smping Sisi _ dihdpn _ sudut Tngent disingkt Tn = =. Sisi _ sudut b Jik dn sudut-sudut lnip sebuh sudut siku-siku, mk berlku hubungn sebgi 1 1 berikut () Sin = os ; (b) os = Sin ; Tn = ; () Tn = sert (d) Tn. Tn. Sin. Sin. Tn = dn Tn =. os. os. Untuk menentukn hrg-hrg perbndingnny bik Sin, os, mupun Tn sudutsudut lnip sembrng sudh d dftr hrg perbndingn dlm sebuh tbel yng dikenl dengn ftr Logritm dn Trigonometri. Hrg perbndingn tersebut tidk tergntung kepd besr keilny segitig tu pnjng sisi, tetpi tergntung kepd besr keilny sudut lnip (liht dn byngkn gmbr di ts). Sudut elevsi dn sudut depresi Titik pengmtn Sudut Elevsi Gris Horizontl Sudut epresi Ltihn 1) Tentuknlh Hrg tu Rsio Sin, os, dn Tn sudut-sudut lnip istimew (30 o, 45 o, dn 60 o ). 2) engn menggunkn Tbel, rilh hrg dri () Sin 25 o ; (b) os 48 o ; () Tn 50 o ; (d) Sin 65 o ; (e) os 42 o ; dn (f) Tn 40 o ; 3) engn bntun Tbel, rilh besr sudut lnip berikut jik () Sin x = 0,3420; (b) os y = 0,6580; () os = 0,4848; (d) Tn = 0,3443; 4) Jik berikut siku-siku di, rilh Hrg Sin, os, dn Tn ) yng-byng sebuh menr pd pgi hri pnjngny 3 m, sudut yng dibentuk oleh pndngn mt ke punk menr dengn rh horizontl mt sebesr 60 o. Jik tinggi pengmt 160 m, berpkh tinggi menr tersebut? 30

31 VI SIMETRI pbil sutu bend tu bngun geometri mempunyi keseimbngn bentuk tu posisi dri du rh yng berbed, mk diktkn bend tu bngun geometri tersebut memiliki bentuk simetris. i bwh ini merupkn ontoh bend-bend tu bngun-bngun geometri yng memiliki bentuk simetris. Gmbr 6. Gmbr 6.b Gmbr 6. Gmbt 6.d Gmbr 6.e Gmbr 6.f Gmbr 6.g Gmbt 6.h Gmbr 6.i Gmbr 6.j Gmbr 6.k Gmbt 6.l Gmbr 6.m Gmbr 6.n Gmbr 6.o Gmbt 6.p Msing-msing bend tu bngun geometri berikut tidk memiliki sift simetris Simetri Lipt Sutu bngun geometri diktkn memiliki simetri lipt menjdi du bgin pbil bngun tersebut dilipt sedemikin hingg bgin yng stu persis dpt menutupi bgin yng lin. Gris liptnny disebut sumbu liptn. Seluruh bngun geometri yng memiliki sift simetris memiliki simetri lipt, tetpi bis terjdi bnyk sumbu liptnny berbed. Sebgi ontoh Gmbr 6. smpi dengn gmbr 6.l semuny memiliki simetri lipt. Tugs Sebutkn bnyk sumbu lipt pd tip-tip gmbr dri Gmbr 6. smpi dengn Gmbr 6.l. 31

32 6.2. Simetri ermin lm pembhsn berikut yng dimksud dengn ermin dlh ermin dtr yng mempunyi sift dpt menmpilkn byngn yng ukurn bend dn jrkny ke ermin sm, nmun rhny sling berhdpn. Ser mtemtis diktkn bhw jrk sutu titik terhdp ermin sm dengn jrk byngnny terhdp ermin. Untuk kjin geometris ermin digmbrkn dengn sebuh gris lurus yng disebut sumbu ermin. Sebgi ontoh dpt diliht pd gmbr berikut P P pbil merupkn sumbu ermin, mk byngn titik P dlh P dn byngn dlh. Sutu bngun geometri diktkn memiliki simetri ermin pbil dpt ditrik sebuh gris lurus (sumbu ermin) yng membgi bngun geometri tersebut menjdi du bgin sedemikin hingg bngun yng stu merupkn byngn bgin yng lin. Perhtikn dn imjinsikn sumbu ermin yng dpt dibut pd bngun geometri gmbr 6. smpi dengn 6.p di ts. pt ditunjukn bhw setip bngun geometri yng simetris psti mempunyi sumbu ermin. engn kt lin bngun-bngun geometri yng simetris memiliki simetri ermin. j k l 1 l 3 m 6.3. Simetri putr Jik pd sebuh bngun geometri dpt ditentukn sebuh titik sedemikin hingg jik bngun itu diputr dengn pust titik tersebut sejuh 0 dengn 0 0 < < 180 0, mk bngun 360 tersebut diktkn memiliki simetri putr tingkt. pt diktkn jug bhw sutu bngun geometri memiliki simetri putr pbil bngun tersebut diputr dpt menempti bingkiny dengn tept. Perhtikn bngun geometri berikut l 2 Persegi pnjng memiliki simetri putr tingkt 2, dengn pust di titik perpotongn digonlny dn besr sudut putrn 180 o. 32

33 Segitig sm sisi memiliki simetri putr tingkr 3, dengn pust di titik potong gris bert dn sudut putr 120 o. Persegi tu ujur sngkr meiliki simetri putr tingkt 4, dengn sudut putr titik potong digonl dn sudut putr 90 o. Tugs 1) Tunjukn bhw bngun-bngun geometri yng memiliki simetri lipt psti memiliki simetri ermin dengn sumbu ermin sm dengn sumbu lipt. 2) rilh bngun-bngun geometri yng dpt ditemukn pd kehidupn sehri-hri yng memiliki sumbu lipt, mupun sumbu ermin. 3) Perikslh pkh bngun-bngun yng memiliki simetri lipt dengn sumbu lipt lebih dri 2, jug merupkn bngun yng memiliki simetri putr? Selidiki hubungn ntr jumlh sumbu lipt dengn besr sudut putr! 33