KATA PENGANTAR. Palembang, 5 September 2011 Penulis, Sudiadi
|
|
- Ivan Pranata
- 9 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1
2 KATA PENGANTAR Pertm-tm penulis mengucpkn puji dn syukur kehdirt Tuhn Yng Mh Kus ts segl limphn rhmt Ny, hingg Diktt Mtemtik Dsr ini dpt diselesikn. Mudh-mudhn diktt ini dpt membntu mhsisw STMIK Globl Informtik MDP dn AMIK MDP dlm mengikuti mt kulih Mtemtik Dsr. Penulis mengucpkn terimksih dn menympikn penghrgn yng setinggi-tingginy pd Ketu STMIK Globl Informtik MDP dn Direktur AMIK MDP yng sellu memberikn dorongn bik pd penulis mupun mupun pd rekn-rekn dosen linny untuk menyusun mteri kulih bik dlm bentuk diktt tu buku. Dorongn tersebut telh menmbh semngt penulis dlm menyelesikn tulisn ini. Ucpn terimksih jug penulis smpikn pd reknrekn dosen yng telh membntu penulis dlm menyelesikn diktt ini. Mudhnmudhn dengn dny dorongn dn kungn yng diberikn pd penulis kn dpt dihsilkn diktt lin dlm wktu singkt. Meskipun telh berhsil diterbitkn, penulis menydri bhw diktt ini msih sngt sederhn dn tentu msih bnyk kekurngn dn kelemhnny. Oleh kren itu penulis menghrpkn srn dn kritik yng membngun dri pembc seklin, sehingg dpt dihsilkn diktt yng lebih bik pd ms yng kn dtng. Srn, kritik dn koreksi dpt dismpikn pd lmt, Akhirny penulis mengucpkn selmt beljr kepd seluruh mhsisw STMIK Globl Informtik MDP dn AMIK MDP. Mudhn-mudhn sukses sellu menyerti sudr-sudr. Plembng, 5 September 2011 Penulis, Sudidi i
3 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR i DAFTAR ISI ii BAB I. Sistem Bilngn Sistem Bilngn Ril Bilngn Ril Gris Bilngn Ril Hukum-hukum Bilngn Ril Sol-sol Bilngn Kompleks Sift-sift Bilngn Kompleks Konjugt Perklin Bilngn Kompleks dengn Konjugtny Pembgin Du Buh Bilngn Kompleks Sol-sol Pertidksmn Sift-sift Pertidksmn Selng Pertidksmn Linier Stu Peubh Nili Mutlk Pertidksmn Linier Du Peubh Sistem Pertidksmn Linier Pertidksmn Kudrt Sol-sol Koordint Krtesius Pertmbhn dn Jrk Jrk Antr Du Buh Titik Titik Tengh Kemiringn Gris Du Gris Sejjr Du Gris Tegk Lurus Sol-sol II Himpunn Definisi Penyjin Himpunn Krdinlits Himpunn Kosong Himpunn Bgin (Subset) Kesmn Himpunn Ekivlensi Himpunn Himpunn Sling Leps Himpunn Kus Opersi Himpunn Irisn Gbungn Komplemen Selisih Bed Setngkup ii
4 Perklin Krtesin Prinsip Inklusi-Ekslusi Sift-sift opersi himpunn dn prinsip lits Himpunn gnd (multiset) dn opersiny Opersi Gbungn Opersi Irisn Opersi Selisih Opersi Jumlh Pembuktin pernytn himpunn Pembuktin dengn menggunkn digrm Venn Pembuktin dengn menggunkn tbel kenggotn Pembuktin dengn menggunkn sift opersi himpunn.. 30 Sol-sol III. Fungsi Definisi Jenis-jenis Fungsi Menurut Jumlh Peubh Bebs Fungsi Peubh Bebs Tunggl Fungsi Peubh Bebs Bnyk Menurut Cr Penyjin Fungsi Eksplisit Fungsi Implisit Fungsi Prmeter Fungsi Aljbr Fungsi Rsionl Sol-sol Sol-sol Sol-sol Sol-sol Sol-sol Fungsi Irrsionl Sol-sol Fungsi Komposisi Sol-sol Fungsi Stu ke Stu Fungsi Invers Sol-sol Fungsi Trnsenden Fungsi Eksponen Sol-sol Fungsi Logritm Sol-sol FungsiTrigonometri Sol-sol Sol-sol Sol-sol Sol-sol Sol-sol FungsiTrigonometri Invers Sol-sol iii
5 FungsiHiperbolik Sol-sol FungsiHiperbolik Invers Sol-sol Fungsi Genp dn Gnjil Fungsi Periodik Sol-sol IV Limit dn kekontinun Pendhulun Definisi Limit Limit Fungsi Sol-sol Limit Fungsi Trigonometri Limit Fungsi Trigonometri Invers Sol-sol Limit Tk Hingg Asimtot Asimtot Tegk Asimtot Dtr Asimtot Miring Sol-sol Kekontinun Sol-sol Kekontinun yng dpt dihpus dn yng tk dpt dihpus Sol-sol V Differensisi Gris Singgung Turunn Notsi Turunn Differensibilits dn kontinuits Teorem Turunn bilngn konstn Turunn fungsi k n Aturn penjumlhn Aturn perklin Aturn pembgin Turunn fungsi komposisi Sol-sol Turunn fungsi-fungsi trigonometri Sol-sol Turunn fungsi-fungsi trigonometri invers Turunn fungsi eksponen Turunn fungsi logritm Sol-sol Turunn fungsi hiperbolik Sol-sol Turunn fungsi hiperbolik invers Sol-sol Turunn tingkt tinggi Sol-sol iv
6 5.13 Differensil Sol-sol Turunn fungsi implisit Sol-sol VI Penerpn Differensisi Persmn gris singgung Persmn gris norml Sol-sol Kelengkungn (Curvture) Jri-jri kelengkungn Pust kelengkungn ( Center of Curvture ) Sol-sol Nili ekstrim Nili Ekstrim Lokl Nili Ekstrim Mutlk Sol-sol Kecekungn dn kecembungn Sol-sol Keceptn dn Perceptn sest Keceptn Perceptn Sol VII. Integrl Tk Tentu Anti Turunn dn Integrl Tk Tentu Rumus-rumus Integrl Tk Tentu Integrsi Dengn Substitusi Sol-sol Integrsi Bgin Demi Bgin (Integrtion By Prts) Sol-sol Integrsi Fungsi Pech Sol-sol Integrsi Fungsi Trigonometri Integrsi sin u, cos u, tn u, cot u, sec u dn cosec u Integrsi Fungsi sin m u dn cos m u Integrsi Fungsi Trigonometri sin m u cos n u Sol-sol Integrsi Fungsi Trigonometri tn m u sec n u Sol-sol Integrsi fungsi trigonometri invers Integrsi dengn Substitusi Trigonometri Integrsi Fungsi Irrsionl Integrsi Fungsi 1/( ) Sol-sol Integrsi Fungsi (A + B)/( 2 + b + c) Integrsi Fungsi Irrsionl Sejenis Jik dlh stu-stuny bentuk irrsionl pd integrn v
7 Sol-sol VIII Integrl Tentu dn Penerpnny Integrl Tentu Sift-sift Integrl Tentu Sol-sol Lus Bidng Sol-sol Volume dn Lus Kulit Bend Putr Sol-sol IX Mtriks dn Determinn Mtriks Mtriks bentuk khusus Vektor Kolom Vektor Bris Mtriks Persegi Mtriks Segitig Mtriks Digonl Mtriks Sklr Mtriks Identits Mtriks Nol Mtriks Trnspose Mtriks Simetri dn Skew-Simetri Opersi Aritmtik pd Mtriks Penjumlhn Perklin Sklr dengn Mtriks Perklin Mtriks dengn Mtriks Kombinsi linier mtriks Sift-sift Opersi Mtriks Mtriks yng Diperlus (Augmented mtri) Mtriks dlm bentuk Eselon Bris Mtriks dlm bentuk Eselon Bris Tereksi Opersi Bris Elementer Determinn Sift-sift determinn Kofktor Determinn dri mtriks n n Adjoin Mtriks Blikn Mtriks (Inverse of Mtri) Metode Adjoint Metode eliminsi Guss-Jordn Sol-sol X Sistem Persmn Linier sol Definisi sol Penyelesin Sistem Persmn Linier Penyelesin dengn Blikn Mtriks Penyelesin dengn Eliminsi Guss Penyelesin dengn Eliminsi Guss-Jordn Penyelesin dengn Aturn Crmer Sol-sol vi
8 BAB I SISTEM BILANGAN 1.1 Sistem bilngn ril Bilngn ril Sistem bilngn ril dlh himpunn bilngn ril dn opersi ljbr yitu opersi penjumlhn, pengurngn, perklin dn pembgin. Bisny bilngn ril dinytkn dengn lmbng R. Opersi pengurngn dpt digntikn dengn opersi penjumlhn. Sedngkn opersi pembgin dpt digntikn dengn opersi perklin. Jik terdpt bilngn ril dn b, mk opersi pengurngn b dpt ditulis dlm bentuk +( b). Sedngkn opersi pembgin b dpt ditulis dlm bentuk.b -1. Bilngn ril (R) Bilngn rsionl (Q) Bilngn irrsionl (I) Bilngn bult ( J) Bilngn pechn Bilngn desiml berulng Bilngn desiml terbts Bilngn negtif Bilngn cch (W) Bilngn nol Bilngn sli (N) Gmbr 1.1 Jenis-jenis bilngn Gmbr 1.1 dlh jenis-jenis bilngn ril. Untuk mendptkn pengertin yng lebih jels mengeni jenis - jenis bilngn ini, berikut diberikn rincin - rincinny Himpunn bilngn sli (N) N = { 1, 2, 3, } Himpunn bilngn cch (W) W = {0, 1, 2, 3, } Himpunn bilngn bult (J) J = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } 1
9 Himpunn bilngn rsionl (Q) Himpunn bilngn rsionl dlh himpunn bilngn yng mempunyi bentuk p/q tu bilngn yng dpt ditulis dlm bentuk p/q, dimn p dn q dlh nggot bilngn bult dn q 0 p Q = pdn q J, q 0 q Contoh 1.1 Buktikn bhw bilngn-bilngn 3, (4,7) dn (2,5858 ) dlh bilngn-bilngn rsionl! Bukti : ) Bilngn 3 dpt ditulis dlm bentuk p/q yitu : 3/1 tu 6/2 dn seterusny. b) Bilngn 4,7 dpt ditulis dlm bentuk : 47/10 c) Bilngn 2,5858 dpt ditulis dlm bentuk p/q dengn cr : = 2, = 258, = = 256 = 99 Jdi bilngn-bilngn 3, (4,7) dn (2,5858 ) dlh bilngn-bilngn rsionl Gris bilngn ril Gris bilngn ril dlh tempt kekn titik-titik, dimn setip titik menunjukkn stu bilngn ril tertentu yng tersusun secr terurut. Untuk menggmbrkn gris bilngn ril,perhtikn Gmbr 1.2. Pertm ,5 2,5 Gmbr 1.2 Gris bilngn ril gmbrkn gris horizontl dn tentukn titik nol. Selnjutny kit tentukn titiktitik tempt kekn bilngn ril positif bult disebelh knn titik nol dengn ketentun jrk ntr titik 0 dn 1, titik 1 dn 2 tu 0 dn -1, -1 dn -2 dn seterusny dlh sm. Tempt kekn bilngn ril linny disesuikn dengn posisi bilngn-bilngn bult Hukum-hukum bilngn ril Opersi penjumlhn dn perklin bilngn ril memtuhi hukum-hukum seperti yng disebutkn berikut ini : Jik dn b dlh bilngn-bilngn ril mk berlku : ( i ) + b dlh bilngn ril ( ii ). b dlh bilngn ril ( iii ) + b = b + hukum komuttif penjumlhn ( iv). b = b. hukum komuttif perklin Jik, b dn c dlh bilngn-bilngn ril mk berlku : ( v ) ( + b ) + c = + ( b + c ) hukum sositif penjumlhn ( vi ) ( b ) c = ( bc) hukum sositif perklin ( vii ) ( b + c ) = b + c hukum distributif ( viii ) + 0 = 0 + = hukum penjumlhn nol 2
10 ( i ). 1 = 1. = hukum perklin stu ( ). 0 = 0. = 0 hukum perklin nol ( i ) + ( - ) = - + hukum invers penjumlhn ( ii ). ( 1/ ) = 1, 1 hukum inves perklin Sol-sol Dikethui : -10, 3/2, 7, 0, -12, 2, (2,14), 4/9, 6, (2,5353 ), 10, (2, ) Dri bilngn tersebut dits, tentukn bilngn-bilngn ) bult, b) cch, c) rsionl, d) irsionl, e) ril positif, f) ril negtif dn g) sli sert gmbrkn msing-msing gris bilngnny! 1.2 Bilngn kompleks Bilngn kompleks dlh bilngn yng terdiri dri unsur bilngn ril dn imjiner. Bentuk umum bilngn kompleks dlh z = + ib. Komponen disebut bgin ril dn ditulis Re(z) dn b dlh bgin imjiner dn ditulis Im(z). Bilngn dn b dlh bilngn-bilngn ril sedngkn i dlh bilngn imjiner yng besrny dlh - 1. Kren i = - 1, mk : i 2 = = -1 i 3 = i 2. i = - i - 1 i 4 = i 2. i 2 = 1 ; dn seterusny. Dri keterngn dits didpt - 2 = ( 2 )( - 1 ) = 2 i ; dn seterusny Sift-sift bilngn kompleks Misl z 1 = 1 + iy 1 dn z 2 = 2 + iy 2, mk berlku : ) z 1 = z 2 1 = 2 dn y 1 = y 2 sift kesmn b) z 1 + z 2 = ( 1 + 2) + i(y 1 + y 2) sift penjumlhn c) z 1 - z 2 = ( 1-2) + i(y 1 - y 2) sift pengurngn d) z 1. z 2 = ( y 1y 2) + i( 1y 2 + 2y 1) sift perklin Konjugt Bil terdpt sutu bilngn kompleks z = + iy, mk konjugt bilngn kompleks tersebut dlh z = iy. Jik bilngn kompleks berbentuk z = iy, mk konjugtny dlh z = + iy. Bil kit bndingkn ke bilngn kompleks dits dengn konjugtny mk perbednny terletk pd komponen imjinerny. Jik komponen imjiner pd sutu bilng kompleks dlh +iy mk komponen imjiner pd konjugtny dlh iy. Jik komponen imjiner pd bilgn kompleks dlh iy, mk komponen imjiner pd konjugtny dlh +iy. Sedngkn komponen ril bik pd bilngn kompleks mupun pd konjugtny dlh sm. Selin ditulis dlm bentuk z, konjugt bilngn kompleks jug sering ditulis dlm bentuk z * Perklin bilngn kompleks dengn konjugtny Perklin ntr bilngn kompleks dengn konjugtny dpt dijelskn sebgi berikut. Jik terdpt sutu bilngn kompleks z = + iy mk konjugtny dlh z = iy. Jdi perklin bilngn kompleks dengn konjugtny dlh : z z = ( + iy)( iy) = 2 - iy + iy - i 2 y 2 = 2 + y 2 3
11 Dri hsil perklin dits kit dpt menyimpulkn bhw perklin bilngn kompleks dengn konjugtny menghsilkn bilngn ril Pembgin buh bilngn kompleks Untuk melkukn opersi pembgin buh bilngn kompleks pertm-tm kit klikn pembilng dn penyebutny (dlm hl ini z 1 dn z 2 ) dengn konjugt z 2. Sehingg didpt : = = ( i ) ( i ) ( i ) ( i ) = i i = ( i ) ( i ) ( i ) ( i ) = i Contoh 1.2 Dikethui : z 1 = i dn z 2 = 3 2i Tentukn : ) z 1+z 2 b) z 1-z 2 c) z 1.z 2 d) z 1/z 2 e) f) Penyelesin : Dri sol didpt bhw : = 5 = 7 = 3 = 2 ) = ( ) i( ) = ( 5 3) i(7 ( 2)) = 2 5i b) = ( ) i( ) = ( 5 3) i(7 ( 2)) = 8 9i c) = ( ) i( ) = 2 5i = ( 5)(3) (7)( 2) i(( 5)( 2) (3)(7)) = 1 31i d) = i = ( 5)(3) (7)( 2) (7)(3) ( 5)( 2) i = 29 3 ( 2) 3 ( 2) 13 i e) = ( 5 7i)(3 2i) = 15 10i 21i 14i = 29 11i ) = ( 5 7i)(3 2i) = 15 10i 21i 14i = 29 11i Sol-sol 1. Selesikn sol-sol berikut : ) (3 + 5i) + (4 7i) d) ( 2 4i) ( 5 8i) g) (2 i)(5 + 3i) b) (1 2i) ( 3 4i) e) ( i) (2 5 3 i) h) ( 3i)( i) (2/3) (3/4)i c) ( 3i) ( 5i) ) (5 4i)(7 3i) i) (4/5) (2/7)i 2. Jik z 1 = 7 2i dn z 2 = 4 + 5i Tentukn : ) b) 1.3 Pertidksmn Pertidksmn dlh slh stu bentuk pernytn mtemtik yng mengnng stu peubh tu lebih yng dihubungkn oleh tnd-tnd <, >, tu. Ditinju dri jumlh 4
12 dn pngkt peubh mk pertksmn dpt dibgi menjdi pertidksmn linier dengn stu peubh, pertidksmn linier dengn peubh bnyk dn pertidksmn kudrt. Jik terdpt sutu himpunn bilngn ril yng unsur-unsurny dpt menggntikn peubh dri pertidksmn mk himpunn bilngn tersebut disebut himpunn penggnti. Jik sebgin dri unsur himpunn penggnti menyebbkn pertidksmn menjdi sutu pernytn yng benr mk himpunn tersebut disebut himpunn jwb. Jik himpunn jwb dimislkn A dn himpunn penggnti dimislkn B mk A B. Jik A = B mk pertidksmn dinmkn ketidksmn. Contoh 1.3 Dri pertidksmn 1/ 2 >1 impunn penggnti tu dlh { 0 } Himpunn jwb tu A dlh { 1 1, 0 Jdi } Contoh 1.4 Dri pertidksmn 1/ 2 >0 Himpunn penggnti tu B dlh { R, 0 } Himpunn jwb tu A dlh { R, 0 }. Kren A = B, mk 1/ 2 >0 disebut ketidksmn Sift-sift pertidksmn (i) Jik > b dn b > c, mk > c (ii) Jik > b, mk + c > b + c (iii) Jik > b, mk - c > b c (iv) Jik > b dn c dlh bilngn positif, mk c > bc (v) Jik > b dn c dlh bilngn negtif, mk c < bc Dengn menggnti tnd > pd sift-sift dits dengn tnd <, mk kn didpt sift-sift yng nlog sebgi berikut : (vi) Jik < b dn b < c, mk < c (vii) Jik < b, mk + c < b + c (viii) Jik < b, mk - c < b c (i) Jik < b dn c dlh bilngn positif, mk c < bc () Jik < b dn c dlh bilngn negtif, mk c > bc Sift-sift pertidksmn linny : i) c > 0 jik > 0 dn c > 0 tu jik < 0 dn c < 0 (ii) c < 0 jik < 0 dn c > 0 tu jik > 0 dn c < 0 (iii) /c > 0 jik > 0 dn c > 0 tu jik < 0 dn c < 0 (iv) /c < 0 jik < 0 dn c > 0 tu jik > 0 dn c < 0 (v) Jik > b, mk < -b (vi) Jik 1/ < 1/b, mk > b (vii) Jik < b < c, mk b > dn b < c (bentuk komposit) (viii) Jik > b > c, mk b < tu b > c ( bentuk komposit) Selng ( intervl ) Selng dlh himpunn bgin dri bilngn ril yng mempunyi sift relsi tertentu. Jik bts-btsny merupkn bilngn ril mk dinmkn selng hingg. Jik bukn bilngn ril mk dinmkn selng tk hingg (). Lmbng menytkn membesr tnp bts dn lmbng - menytkn mengecil tnp bts. Contoh dri bermcm-mcm selng dpt diliht pd tbel berikut ini. 5
13 Notsi Definisi Grfik Keterngn b ( ) Selng terbuk (,b) { < < b} [,b] { b} [,b) { < b} b [ ] Selng tertutup b Selng setengh [ ) terbuk b Selng setengh ( ] terbuk (,b] { < b} (, ) { >} ( Selng terbuk [, ) { } [ Selng tertutup (-, b) { < b} (-, b] { b} b ) Selng terbuk b Selng tertutup ] (-, ) R Selng terbuk Pertidksmn linier stu peubh Pertidksmn linier stu peubh dlh pernytn mtemtik yng memut stu peubh yng mempunyi pngkt stu dn dihubungkn dengn tnd-tnd <, >, tu. Bentuk umum dri pertidksmn linier stu peubh dlh : + b (?) 0, dimn dn b dlh konstn, sedngkn (?) dlh slh stu dri tnd-tnd <, >, tu. Contoh 1.5 Selesikn pertidksmn < -5 Penyelesin : < -5 semu rus dikurng < < -14 1/7 ( 7 ) < 1/7 ( -14 ) semu rus diklikn 1/7 < -2 <-2 Jdi himpunn penyelesinny dlh : { } ) selng terbuk -2 Gmbr 1.3 Contoh 1.6 Tentukn himpunn penyelesin dri pertidksmn < Penyelesin 6
14 1 + 4 < (1 + 2)< (1 + 2) semu rus dikurng (1+2) 2 < 8 1/2 (2) < 1/2 ( 8 ) semu rus diklikn 1/2 < 4 Himpunn penyelesinny dlh : { < 4 } ) selng terbuk 4 Gmbr 1.4 Untuk kesederhnn, penyelesin pertidksmn linier stu peubh dpt diselesikn dengn cr mengelompokkn peubh pd slh stu rus dn mengelompokkn konstn pd rus linny. Ingt, setip memindhkn suku pd rus yng berbed tndny kn berubh! Contoh 1.7 Tentukn himpunn penyelesin dri pertidksmn Penyelesin : Pidhkn 5 kerus kiri dn -2 kerus knn Kelompokkn peubh pd rus kiri dn kelompokkn konstn pd rus knn (-1/2)(-2)(10)(-1/2) Jik menglikn setip rus dengn bilngn negtif mk tnd pertidksmn hrus diblik (sift pertksmn v) -5 impunn pen elesinn dlh { 5 } ] selng tertutup -5 Gmbr 1.5 Contoh 1.8 entukn himpunn pen elesin dri pertidksmn Penyelesin : klikn semu rus dengn 5 5 (4)(5) (5) 4 2 (5)(2 1) 5 20 < 4 2 <10 5 Dpt dipech menjdi bgin, yitu 4 2 > 20 dn 4 2 < 10-5 (perhtikn sift pertidksmn vii, hlmn 5). Setelh dipech menjdi pertidksmn, selesikn stu perstu. 4 2 > < < 4 20 < 8 12 > 9 > 3/4 Jdi himpunn pen elesinn dlh { 8 3/4 } ) ( -8 3/4 selng terbuk Gmbr 1.6 7
15 Sol-sol Selesikn pertksmn : (7 3) Nili mutlk Nili mutlk dri dinytkn dengn dn didefinisikn sebgi : = ik 0 ik 0 Teorem-teorem Jik dn b dlh bilngn ril, mk : (i) (ii) tu (iii) (i ) tu ( ) = = tu = ( i) b = b Bukti b = (b) = b = b = b (terbukti) ( ii) b = b, b 0 Bukti b = b = b = b = b (terbukti) ( iii) b b (ketidksmn segitig) Bukti : ( b) = 2b b 2 b b = { b } ( b) { b } = b = b (terbukti) (i) b b Bukti b = ( b) b (terbukti) () b b Bukti = ( b) b b b Jik setip suku dikurngi dengn b, mk b b (terbukti) Contoh 1.9 Selesikn pertidksmn 5 4, gmbrkn gris bilngn dn selngny Penyelesin : (liht teorem iii) Dengn memperhtikn sift pertidksmn vii hlmn 5, mk kit dptkn buh pertidksmn, yitu 5 4 dn 5 4. Selnjutny kit selesikn stu perstu pertidksmn tersebut Jdi himpunn penyelesin pertidksmn dlh { 1 9} [ ] 1 9 selng tertutup Gmbr 1.7 Contoh 1.10 Selesikn pertidksmn 7 Penyelesin 3, gmbrkn gris bilngn dn selngny! 8
16 (liht te rem iii) Dengn memperhtikn sift pertidksmn vii hlmn 5, mk kit dptkn buh pertidksmn, yitu Selnjutny kit selesikn stu perstu pertidksmn tersebut Jdi himpunn penyelesin pertidksmn dlh { 4 10} ) ( 4 10 Selng terbuk Gmbr 1.8 Sol-sol Selesikn pertidksmn : Pertidksmn linier peubh Bentuk umum pertidksmn linier peubh dlh : + by + c (?) 0 ; konstnt-konstnt, b dn c dlh bilngn-bilngn ril dn 0. Tnd (?) dlh slh stu dri tnd <, >, tu. Untuk membntu mhsisw dlm menggmbrkn grfik pertidksmn linier peubh, berikut diberikn proserny. 1. Gnti tnd pertidksmn dengn tnd sm dengn dn selnjutny gmbrkn grfik persmn linier yng dimksud. Setelh digmbr kit kn meliht bhw grfik persmn linier dlh gris yng membgi bidng menjdi bgin. 2. Jik pd pertidksmn menggunkn tnd tu berrti gris tersebut termsuk pd grfik yng kn digmbrkn. Selnjutny gris tersebut digmbrkn secr penuh. Jik pertksmn menggunkn tnd < tu > berrti gris tersebut tidk termsuk pd grfik yng kn digmbrkn. Selnjutny gris tersebut digmbrkn putus-putus. 3. Pilih slh stu titik koordint pd msing-msing bidng dn kemudin substitusikn pd pertksmn. Jik substitusi tersebut menghsilkn pernytn yng benr berrti bidng tempt kekn titik tersebut dlh bidng yng dimksud. Seblikny jik substitusi menghsilkn pernytn yng slh mk bidng tempt kekn titik tersebut bukn bidng yng dimksud. Untuk kesergmn bidng yng memenuhi pertksmn dirsir. Akn menjdi lebih sederhn jik kit memilih titik koordint (0,0) slkn titik koordint tersebut tidk dillui oleh gris. Contoh 1.11 Gmbrkn grfik pertidksmn 3 2y 8 Penyelesin : Lngkh 1. Gnti tnd pertidksmn menjdi tnd sm dengn 3-2y = 8 9
17 Lngkh 2. Gmbrkn grfikny. y 0 Gmbr Memilih titik koordint. Pilih stu titik koordint yitu (0,0) dn substitusikn ke pertidksmn. Ternyt substitusi ini menghsilkn pernytn yng slh. Berrti bidng tempt kekn titik koordint tersebut bukn bidng yng dicri. Sehingg bidng disebelhny merupkn bidng yng dicri. Selnjutny bidng tersebut dirsir. y 0 Gmbr 1.10 Contoh 1.12 Gmbrkn grfik pertidksmn 5 + 3y < 6 Penyelesin : Lngkh 1. Gnti tnd pertidksmn menjdi tnd sm dengn 5 + 3y = 6 Lngkh 2. Gmbrkn grfikny. y 0 10 Gmbr 1.11
18 Lngkh 3 Memilih titik koordint. Pilih stu titik koordint yitu (0,0) dn substitusikn ke pertidksmn. Ternyt substitusi ini menghsilkn pernytn yng benr. Berrti bidng tempt kekn titik koordint tersebut merupkn bidng yng dicri. Sehingg bidng disebelhny bukn bidng yng dicri. Selnjutny rsir yng dicri tersebut. y 0 Gmbr 1.12 Sol-sol Gmbrkn grfik dri pertidksmn-pertidksmn berikut! 1. + y < 3 2. y + 2 > y y Sistem pertidksmn linier Dlm penerpnny sering terdpt lebih dri stu pertksmn yng hrus diselesikn secr serentk. Pertidksmn-pertidksmn tersebut dinmkn sistem pertidksmn linier Dlm pembhsn sistem pertidksmn linier kit hny kn membhs sistem pertidksmn linier yng mempunyi tidk lebih dri peubh. Lngkh-lngkh penyelesin sistem pertidksmn linier. 1. Gnti semu tnd pertksmn menjdi tnd sm dengn. 2. Gmbrkn grfikny. 3. Periks slh stu titik koordint pd bidng. Jik menghsilkn pernytn yng benr, berrti bidng tersebut dlh bidng yng dicri. Contoh 1.13 Gmbrkn grfik sistem pertidksmn 2y + 3 < 5 dn y 3 Penyelesin : Lngkh 1. 2y + 3 = 5 y = 3 Lngkh 2. y 0 Gmbr
19 Lngkh 3. Periks koordint (0,0). Setelh dilkukn substitusi hrg =0 dn y=0 kedlm sistem pertksmn ternyt menghsilkn pernytn yng benr. Berrti bidng tempt kekn titik tersebut dlh bidng yng dicri. Selnjutny bidng tersebut dirsir. y 0 Gmbr 1.14 Contoh 1.14 (penerpn sistem pertidksmn linier) Sebuh pbrik kendrn bermotor kn memproksi jenis kendrn yitu jenis diesel dn bensin. Biy pembutn jenis kendrn diesel dlh Rp. 100 jut/ kendrn, sedngkn untuk jenis kendrn bensin dlh Rp. 80 jut /kendrn. Jik pbrik tersebut mempunyi kemmpun proksi 120 kendrn setip buln dn dn untuk pembutn ke jenis kendrn tersebut tidk lebih dri Rp 10 milyr / buln, tentukn bentuk pertidksmn dri persoln dits dn gmbrkn grfikny. Penyelesin: Diesel (jut rupih) Bensin (jut rupih) Nili bts (jut rupih) Biy Jumlh y 120 (100 jut)() + (80 jut)(y) jut tu y y ; y 0 y Gmbr
20 Sol-sol Gmbrkn grfik dri pertksmn linier berikut : dn 0 5. Sebuh instri komputer kn memproksi sekurng-kurngny 1000 buh komputer yng terdiri dri jenis yitu jenis PC dn Lptop. Diperkirkn biy untuk memproksi sebuh PC dlh Rp ,00 sedngkn untuk memproksi Lptop dlh Rp ,00. Jik dn yng tersedi untuk memproksi ke jenis komputer tersebut dlh Rp 10 milyr rupih tentukn sistem pertidksmn linier dri persoln dits dn gmbrkn grfikny! Pertidksmn kudrt Bentuk umum dri pertidksmn kudrt dlh : 2 + b + c (?) 0, dimn, b dn c dlh bilngn-bilngn ril dn 0 Sedngkn (?) dlh slh stu dri tnd <, >,, tu. Penyelesin dri pertidksmn dlh menentukn hrghrg peubh yng memenuhi pertidksmn. Contoh 1.15 Selesikn pertidksmn > 0 Penyelesin : Lkukn pemktorn terhdp pertidksmn : > 0 ( 4)( 3) > 0 Titik-titik kritis dlh 3 dn 4 Grfik pertidksmn : 4 : : ( 4)( 3) : ) ( 3 4 Gmbr 1.16 Dri gmbr dits didpt bhw derh yng memenuhi pertidksmn dlh < 3 tu > 4. Contoh 1.16 entukn himpunn pen elesin dri pertidksmn Penyelesin : ( 2) ( 2)( 2) 10 ( 2) ( 2) 2 2( 4) ( 9) 2 0 2( 3)( 3) 0 2 Titik-titik kritis dlh -3, 2 dn 3 13
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
Lebih terperinciVEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma
K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn
Lebih terperinciMatematika SKALU Tahun 1978
Mtemtik SKALU Thun 978 MA-78-0 Persmn c + b + = 0, mempunyi kr-kr dn, mk berlku A. + = b B. + = c C. = c = c = c MA-78-0 Akr dri persmn 5 - = 7 + dlh A. B. C. 4 5 MA-78-0 Hrg dri log b. b log c. c log
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
Lebih terperinciBab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
Lebih terperinciKerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
Lebih terperinciBAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN 7. LIMIT FUNGSI 7.. Limit fungsi di sutu titik Menggmbrkn perilku fungsi jik peubhn mendekti sutu titik Illustrsi: Dikethui f( ) f(), 3,30,0 3,030,00 3,003 3 f() = f() 3,000?
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt
Lebih terperinciVEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com
VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
Lebih terperinci1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
Lebih terperinciBAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut
Lebih terperinciBAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R)
BAB PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Stndr Kompetensi Mhsisw memhmi konsep dsr sistem bilngn rel (R) sebgi semest untuk menentukn selesin persmn dn pertidksmn, dpt mengembngkn bentuk persmn dn pertidksmn yng
Lebih terperinciMatematika SMA (Program Studi IPA)
Smrt Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2013/2014 Disusun Sesui Indiktor Kisi-Kisi UN 2013 Mtemtik SMA (Progrm Studi IPA) Disusun oleh : Pk Anng - Blogspot Pge 1 of 13 5. 2. Menyelesikn sol pliksi
Lebih terperinci3. LIMIT DAN KEKONTINUAN. INF228 Kalkulus Dasar
. LIMIT DAN KEKONTINUAN INF8 Klkulus Dsr . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn
Lebih terperincib. Notasi vektor : - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ - Panjang vektor a dinotasikan a atau PQ
BAB 4 VEKTOR Stndr Kompetensi: 3. Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi Kompetensi Dsr: 3.4 Menggunkn sift-sift dn opersi ljbr vktor dlm pemechn mslh 3.5 Menggunkn sift-sift dn opersi perklin
Lebih terperinciCONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
Lebih terperinciKALKULUS I Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Program Sarjana Matematika Universitas Brawijaya
KALKULUS I Dr. Wurnsri Muhrini Kusumwinhu Progrm Srjn Mtemtik Universits Brwij Deinisi: Mislkn A dn B dlh himpunn tk kosong. Fungsi dri A ke B dlh sutu ATURAN ng MEMADANKAN SETIAP ELEMEN di A dengn tept
Lebih terperinci2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT A. Persmn Kudrt. Bentuk umum persmn kudrt : x + bx + c = 0, 0. Nili determinn persmn kudrt : D = b c. Akr-kr persmn kudrt dpt dicri dengn memfktorkn tupun
Lebih terperinciMenerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
VEKTOR PADA BIDANG SK : Menerpkn konsep vektor dlm pemechn mslh KD : Menerpkn konsep vektor pd bidng dtr Menerpkn konsep vektor pd bngun rung TUJUAN PELATIHAN: Pesert memiliki kemmpun untuk mengembngkn
Lebih terperinciBilangan. Bilangan Nol. Bilangan Bulat (Z )
Bilngn Bilngn Asli (N) (,2,, ) Bilngn Nol (0) Bilngn Negtif (,, 2, ) Bilngn Bult (Z ) Bilngn Pechn ( 2 ; 5 ; 5%; 6,82; ) 7 A. Bilngn Asli (N) Bilngn Asli dlh himpunn bilngn bult positif (nol tidk termsuk).
Lebih terperinci3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp
Lebih terperinciLIMIT DAN KONTINUITAS
LIMIT DAN KONTINUITAS Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
Lebih terperincididefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
Lebih terperinciBAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR
BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR Pet Konsep Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr mempeljri Bilngn berpngkt meliputi Bentuk kr meliputi Sift Opersi Mersionlkn Opersi Sift Kt Kunci. Pngkt 2. Akr 3. Sift
Lebih terperinciVektor di R 2 dan R 3
Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl
Lebih terperinci3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
. LIMIT DAN KEKONTINUAN . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
Lebih terperinciIntegral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII
Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl
Lebih terperincir x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
Lebih terperinciTRIGONOMETRI I. KOMPETENSI YANG DICAPAI
TRIGONOMETRI I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt : 1. Membuktikn identits trigonometri.. Menghitung hubungn ntr sudut dn sisi segitig dengn Rumus Sinus. 3. Menghitung hubungn ntr sudut dn sisi segitig
Lebih terperinciAljabar Linear. Pertemuan 12_14 Aljabar Vektor (Perkalian vektor)
Aljbr Liner Pertemun 12_14 Aljbr Vektor (Perklin vektor) Pembhsn Perklin vektor dengn sklr Rung vektor Perklin Vektor dengn Vektor: Dot Product - Model dot product - Sift dot product Pendhulun Penmbhn
Lebih terperinciBAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu
Lebih terperinciMatriks. Pengertian. Lambang Matrik
triks Pengertin Definisi: trik dlh susunn bilngn tu fungsi yng diletkkn ts bris dn kolom sert dipit oleh du kurung siku. Bilngn tu fungsi tersebut disebut entri tu elemen mtrik. mbng mtrik dilmbngkn dengn
Lebih terperinciM A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.
M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng
Lebih terperinciBAB III MATRIKS
BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
Lebih terperinciFISIKA BESARAN VEKTOR
K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR. Bab Bilangan Irasional dan Logaritma. Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Modul ke: 02Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika
MATEMATIKA DASAR Modul ke: 0Fkults FASILKOM Progrm Studi Teknik Informtik Bb Bilngn Irsionl dn Logritm Drs. Sumrdi Hs., M.Sc. Bgin Isi Bilngn Irsionl - Berbgi bentuk kr dn opersiny Logritm - Sift-sift
Lebih terperinciINTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45
INTEGRAL Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB Bogor, 2012 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 1 / 45 Topik Bhsn 1 Pendhulun 2 Anti-turunn 3 Lus di Bwh Kurv 4 Integrl Tentu 5 Teorem Dsr Klkulus 6
Lebih terperinciE. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL )
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D )
Lebih terperinciIII. LIMIT DAN KEKONTINUAN
KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY III. LIMIT DAN KEKONTINUAN 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI
LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33 Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn
Lebih terperinciSIMAK UI 2011 Matematika Dasar
SIMAK UI 0 Mtemtik Dsr Kode Sol Doc. Nme: SIMAKUI0MATDAS999 Version: 0-0 hlmn 0. Sebuh segitig sm kki mempunyi ls 0 cm dn tinggi 5 cm. Jik dlm segitig tersebut dibut persegi pnjng dengn ls terletk pd ls
Lebih terperinciBAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
Lebih terperinciMATEMATIKA IPA PAKET A KUNCI JAWABAN
MATEMATIKA IPA PAKET A KUNCI JAWABAN. Jwbn : A Mislkn : p : Msyrkt membung smph pd temptny. q: Kesehtn msyrkt terjg. Diperoleh: Premis : ~q ~p p q Premis : p Kesimpuln : q Jdi, kesimpuln dri premis-premis
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn
Lebih terperinciIRISAN KERUCUT. 1. Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari r. Persamaan = TK titik T = =
IRISAN KERUCUT Bb 9 A. LINGKARAN. Persmn lingkrn dengn pust (0,0) dn jri-jri r 0 r T(x,y) X Persmn = TK titik T = { T / OT r } = = {( x, y) / r } {( x, y) / r }. Persmn lingkrn dengn pust (,b) dengn jri-jri
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic
Sudrtno Sudirhm Studi Mndiri Fungsi dn Grfik Drpublic BAB 8 Fungsi Logritm turl, Eksponensil, Hiperbolik 8.. Fungsi Logrithm turl. Definisi. Logritm nturl dlh logritm dengn menggunkn bsis bilngn e. Bilngn
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI. DEFINISI Notasi. dibaca. limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L. atau. f(x) mendekati L bila x mendekati a.
DEFINISI Notsi dibc tu berrti bhw IMIT FUNGSI it bil mendekti sm dengn mendekti bil mendekti nili dpt dibut sedekt mungkin dengn bil cukup dekt dengn, tetpi tidk sm dengn. Perhtikn bhw dlm deinisi tersebut
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1
Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: ytiuny@yhoo.com Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr
Lebih terperinciCHAPTER 1 EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS
CHAPTER EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS Indiktor (penunjuk): Mengubh bentuk pngkt negtif ke pngkt positif dn seblikny. (4 jp) A. EXPONENTS. Definition (ketentun): Positive Integers Exponents n = x x...
Lebih terperinciDETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
Lebih terperinciANALISIS NUMERIK. Inter polasi. SPL simultan. Akar Persama. linear
ANALISIS NUMERIK Inter polsi SPL simultn Akr Persm n Non liner INTERPOLASI Tujun Interpolsi bergun untuk menksir hrg-hrg tengh ntr titik dt yng sudh tept. Interpolsi mempunyi orde tu derjt. Mcm Interpolsi
Lebih terperinci1 B. Mengkonversi dari pecahan ke persen. 1 Operasi bilangan berpangkat. 2. Menyederhanakan bilangan berpangkat bentuk:
KISI KISI SOAL UJI COBA UJIAN NASIONAL MATA PELAJARAN MATEMATIKA TAHUN 009 / 00 MGMP MATEMATIKA SMK TEKNIK KABUPATEN KLATEN Bhn/ X / Opersi bilngn rel. Sisw dpt: A. Mengkonversi dri desiml ke persen B.
Lebih terperinciJarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
Pge of Kegitn eljr. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr, dihrpkn sisw dpt :. Menentukn jrk titik dn gris dlm rung b. Menentukn jrk titik dn bidng dlm rung c. Menentukn jrk ntr du gris dlm rung.
Lebih terperinciPertemuan : 1 Materi : Vektor Pada Bidang ( R 2 ), Bab I. Pendahuluan
Pertemun : 1 Mteri : Vektor Pd Bidng ( R 2 ), Bb I. Pendhulun Stndr Kompetensi : Setelh mengikuti perkulihn ini mhsisw dihrpkn dpt : 1. Memhmi kembli pengertin vektor, opersi pd vektor, dn sift-sift opersi
Lebih terperinciMatriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :
TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
Lebih terperinciPROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.
PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn
Lebih terperinciDETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2
Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok
Lebih terperinciPELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 SUKU BANYAK. Oleh: Fadjar Shadiq, M.App.Sc.
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 8 JULI s.d. 0 AGUSTUS 00 SUKU BANYAK Oleh: Fdjr Shdiq, M.App.Sc. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
Lebih terperinciA. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS
ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom
Lebih terperinciMateri IX A. Pendahuluan
Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn
Lebih terperinciBAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1)
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Bend Putr (Khusus Klkulus ) Kompetensi yng diukur dlh kemmpun mhsisw menghitung volume bend putr dengn metode cincin, metode ckrm, tu metode kulit tbung.. UAS Klkulus,
Lebih terperinci2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 :3 1
. Hitunglh 7 5. : b. 5 : c. 8 : 6 d. 8 9 7 7 7 5 77 77 77. : c. 8 : 6 : 6 6 9 9 9 6 54 8 40 7 b. 5: 5 d. 4: 4: 4 6 8 7 95 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik 4 :. Pmn mempunyi sebidng tnh yng lusny
Lebih terperinciMinggu ke 3 : Lanjutan Matriks
inggu ke : Lnjutn triks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : triks :. Trnsformsi Elementer. Trnsformsi Elementer pd bris dn kolom. triks Ekivlen. Rnk triks B. Determinn.
Lebih terperincimatematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
Lebih terperinciFUNGSI TRANSENDEN. Definisi 1 Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefenisikan dengan
2 FUNGSI TRANSENDEN Fungsi trnsenen tu fungsi non-ljbr lh fungsi yng tik pt inytkn lm sejumlh berhingg opersi ljbr. Fungsi trnsenen yng bis ijumpi lm hl ini teriri ri fungsi eksponensil, fungsi logritmik,
Lebih terperinciPERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS
PERTEMUN - JENIS DN OPERSI MTRIKS Pengertin Mtriks : merupkn sutu lt tu srn yng sngt mpuh untuk menyelesikn model-model liner. Definisi : Mtriks dlh susunn empt persegi pnjng tu bujur sngkr dri bilngn-bilngn
Lebih terperinci4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu
Sift-Sift Perklin Sklr Mislkn dn b sklr, D dn H mtriks sebrng dengn ordo sm, mk berlku sift-sift sebgi berikut. D + H (D + H) 2. D + bd ( + b)d 3. (bd) (b)d 4. Perklin Mtriks Du buh mtriks tu lebih selin
Lebih terperinciIntegral Kompleks (Bagian Kesatu)
Integrl Kompleks (Bgin Kestu) Supm Jurusn Mtemtik, FMIPA UGM Yogykrt 55281, INDONESIA Emil:mspomo@yhoo.com, supm@ugm.c.id (Pertemun Minggu XI) Outline 1 Fungsi Bernili Kompleks 2 Lintsn tu Kontur 3 Integrl
Lebih terperinciTINGKAT SMA KOMET 2018 SE-JAWA TIMUR
. Dlm cr jln seht yng didkn oleh HIMATIKA menyedikn kupon hdih. Kode-kode kupon tersebut disusun dri ngkngk,,, 6, 8. Nomor dri kupon-kupon tersebut disusun berdsrkn kodeny muli dri yng terkecil smpi dengn
Lebih terperinciDefinisi Vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah
VEKTOR Definisi Vektor Vektor dlh esrn yng mempunyi esr dn rh Besr vektor rtiny pnjng vektor Arh vektor rtiny sudut yng dientuk dengn sumu X positif Vektor disjikn dlm entuk rus gris errh Gmr Vektor B
Lebih terperinci6. Himpunan Fungsi Ortogonal
6. Himpunn Fungsi Ortogonl Mislkn f periodik dengn periode, dn mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Jik S f N (θ) = N n= N c ne inθ, n =,, 2,..., dlh jumlh prsil dri deret Fourier f, mk kit telh menunjukkn
Lebih terperinci3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi
BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i
Lebih terperinciSTRATEGI PENGAJARAN MATEMATIKA UNTUK MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jurnl Vol II. No., Mret 08, hlm. 9-95 vilble online t www.jurnl.un.c.id/indeks/jmp STRTEGI PENGJRN MTEMTIK UNTUK MENENTUKN KR-KR PERSMN KUDRT Indh Purnm Putri, Symsudhuh, Ihd Hsbiyti 3 Progrm Studi Mgister
Lebih terperinciPOSET ( Partially Ordered Set ) Himpunan Terurut Parsial
POSET ( Prtilly Ordered Set ) Himpunn Terurut Prsil Definisi Sutu relsi biner dinmkn sebgi sutu relsi pengurutn tk lengkp tu relsi pengurutn prsil ( prtil ordering reltion ) jik i bersift reflexive, ntisymmetric,
Lebih terperinciGEOMETRI PADA BIDANG: VEKTOR
GEOMETRI PADA BIDANG: VEKTOR A. Kurv Bidng: Representsi Prmetrik Sutu kurv bidng ditentukn oleh sepsng persmn prmetrik: x f () t, y f () t t dlm intervl I dengn f dn g kontinu pd intervl I. Secr umum,
Lebih terperinciSOAL PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA 2015
SOAL PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA 0 Pket Pilihlh jwbn yng pling tept!. Diberikn premis-premis berikut! Premis : Jik vektor dn b sling tegk lurus, mk besr sudut ntr vektor dn b dlh 90 o. Premis
Lebih terperinciALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.
Lebih terperinciSistem Persamaan Linier
b I Sistem Persmn Linier I Sistem Persmn Linier TUJUN PEMELJRN: Mhsisw memhmi konsep-konsep tentng sistem persmn linier, eksistensi dn keunikn sistem persmn linier, keunikn sistem persmn linier homogen,
Lebih terperinciINTEGRAL FOURIER KED. Diasumsikan syarat-syarat berikut pada f(x): 1. f x memenuhi syarat Dirichlet pada setiap interval terhingga L, L.
INTEGRAL FOURIER Disumsikn syrt-syrt berikut pd f(x):. f x memenuhi syrt Dirichlet pd setip intervl terhingg L, L.. f x dx konvergen, yitu f(x) dpt diintegrsikn secr mutlk dlm (, ). Selnjutny, Teorem integrl
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
SISTEM BILANGAN REAL Purnmi E. Soewrdi Direktort Peminn Tendik Dikdsmen Ditjen GTK Kementerin Pendidikn dn Keudyn Himpunn Bilngn Asli (N) Bilngn sli dlh ilngn yng pertm kli dikenl dn digunkn oleh mnusi
Lebih terperincimatematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri
Kurikulum 0 Kels X mtemtik WAJIB RASIO TRIGONOMETRI Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi rsio-rsio trigonometri yng meliputi sinus, kosinus, tngen,
Lebih terperinciTIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 2009
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 009 Bidng Mtemtik Wktu :,5 Jm DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT
Lebih terperinciUJIAN NASIONAL. Matematika (D10) PROGRAM STUDI IPA PAKET 1 (UTAMA) SELASA, 11 MEI 2004 Pukul
0-0 D0-P-0- DOKUMEN NEGARA SANGAT RAHASIA UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 00/00 SMA/MA Mtemtik (D0) PROGRAM STUDI IPA PAKET (UTAMA) SELASA, MEI 00 Pukul 07.0 09.0 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL Hk Cipt
Lebih terperinciPENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 6y y 8y. Dikethui R dn. Temukn nili y. y y 8y 6 Solusi: 6y y 8y y y 8y 6 6y y 8y 8y y 6 y 8 0 y y y 0 y y y 0 ( y ) ( y ) 0 y y 8y 6 ( y )(y ) 0 y 0tu y 0
Lebih terperinciPEMERINTAH KABUPATEN TANAH DATAR DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI 1 SUNGAI TARAB
PEMERINTAH KABUPATEN TANAH DATAR DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI SUNGAI TARAB Jln Ldng Koto Sungi Trb Telp.07790 PAKET A b c. Bentuk sederhn dri : - bc bc b c dlh... bc 9 bc c b. Bentuk sederhn dlh. b c c
Lebih terperincidet DEFINISI Jika A 0 disebut matriks non singular
DETERINAN DEFINISI Untuk setip mtriks persegi (bujur sngkr), d stu bilngn tertentu yng disebut determinn Determinn dlh jumlh semu hsil kli elementer bertnd dri sutu mtriks bujur sngkr. Disimbolkn dengn:
Lebih terperincimatematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi dn unsur-unsur hiperol.. Dpt menentukn persmn
Lebih terperinci15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini
Lebih terperinciRANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:
INTEGRAL RANGKUMAN MATERI A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jik kit mengmil uku dri temptny mk kit dpt mengemliknny lgi ke tempt semul. Opersi yng kedu menghpus opersi yng pertm. Kit ktkn hw du opersi
Lebih terperinciPEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 2013 TINGKAT KABUPATEN
www.sip-osn.blogspot.com @Mret 0 PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 0 TINGKAT KABUPATEN. B. x ( x ) ( x + )( x ) ( x ( ) )( x ) ( x + )( x )( x + )( x ) (d fktor) Tidk d penjelsn tentng fktor hrus bilngn
Lebih terperinciSTATIKA (Reaksi Perletakan)
STTIK (Reksi erletkn) Meknik Rekys I Norm uspit, ST.MT. Tumpun Tumpun merupkn tempt perletkn konstruksi tu dukungn bgi konstruksi dlm meneruskn gy gyyng bekerj ke pondsi Dlm ilmu Meknik Rekys dikenl 3
Lebih terperinciSUKU BANYAK ( POLINOM)
SUKU BANYAK ( POLINOM) Bb 16 Skl 8.Menyelesikn mslh yng berkitn dengn teorem sis tu teorem fktor A. PENGERTIAN SUKU BANYAK. Bentuk x x x... x x, dengn 0 dn n { bil. cch} 1 0 disebut dengn Suku bnyk (Polinomil)
Lebih terperinciMODEL POTENSIAL 1 DIMENSI
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI 1. Sumur Potensil Tk Berhingg Kit tinju prtikel bermss m dengn energi positif, berd dlm sumur potensil stu dimensi dengn dinding potensil tk berhingg dn potensil didlmny nol,
Lebih terperinciRUANG VEKTOR (lanjut..)
RUANG VEKTOR (Vector Spce) dn Rung Bgin (Subspce) 8/0/009 budi murtiys ums surkrt RUANG VEKTOR (VECTOR SPACE) Dikethui himpunn V dengn u, v, w V dn opersi i(+)b berlku dintr nggot-nggot t V. Dikethui Field
Lebih terperinci