PENGGUNAAN TURUNAN IKA ARFIANI, S.T.

PENGGUNAAN TURUNAN IKA ARFIANI, S.T.

MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM Misalkan f fungsi dua variable maka f dikatakan mencapai maksimum relatif di titik (a,b) jika terdapat kitaran dari (a,b) demikian sehingga f(,y) f(a,b) untuk setiap (,y) dalam kitaran itu, dan f(a,b) disebut nilai maksimum relatif. Sebaliknya, f dikatakan mencapai minimum relatif di titik (a,b) jika terdapat kitaran dari (a,b) demikian sehingga f(,y) f(a,b) untuk setiap (,y) dalam kitaran itu, dan f(a,b) disebut nilai minimum relatif. Nilai minimum relatif dan nilai maksimum relatif biasa disebut nilai ekstrem relatif.

Syarat perlu agar f mencapai nilai ekstrem relatif di titik (a,b) adalah: Titik (a,b) yang memenuhi persamaan diatas biasa disebut titik kritis.

KEMONOTONAN & KECEKUNGAN Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, ataupun tak satupun). Kita katakan bahwa:

Kemonotonan Fungsi Fungsi f() dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk f, I f 1 1 1, f( ) f( 1 ) 1 I Fungsi f() monoton naik pada selang I

monoton turun pada interval I jika untuk f, I f 1 1 1, f( 1 ) f( ) 1 I Fungsi f monoton turun pada selang I

Contoh Jawab : Tentukan selang kemonotonan dari f ( ) ( )( ) 1( 4) f '( ) 4 ( ) ( ) ( 4) ( ) 6 4 ( ) 4 4 +++++++ ------------ --------- 0 4 ++++++ f() monoton naik pada (,0) dan (4, ) f() monoton turun pada (0,) dan (,4).

CONTOH Biaya total 3 C() 5 50 10.Tentuka n biaya M arjinalny a. 5 Apakah biaya Marjinalny a naik atau turun seiring dengan penambahan produksi produksi unit barang barangnya? diberikan dengan

Jawabannya barang. produksi penambahan dengan seiring naik akan BiayaM arjinal sehingga 0 dari besar lebih selalu M'() akan 0 maka 10 Karena 5 1 10 5 6. M'() 50. 10 5 6 M() ternyata 0 : untuk 0, 0; M'() M'() yaitu apakah barang penambahan dengan seiring turun atau naik marjinal biaya bahwa menentukan untuk 50. Kemudian 10 5 6 M() di Ja 50 10 5 6 50 5..3 5 () c' M() BiayaM arjinal

CONTOH Tentukan f() 3 interval 3 agar f '() fungsi 3 f() 3 3( - 1) 3 3 naik 0 atau atau 1 turun. Gambar f '(-1) garis 3(-1) bilangan 3( 1) dan 6 selidiki 0 (Positif) nilai f '() di titik -1, 1,dan 1 f '( ) f '() 1 3( ) 3() 1 3 3( ) 4 3() 1 6-4 6 6 3 4 0 (Negatif) 0 (Positif) Jadi f() Turun pada + + + - - - + + + 0 1 3 - interval 3 naik pada 0 1 interval 0 dan 1 dan

f() 3 3 6 0 Jawaban f' () Syarat fungsi naik f' () 3 3 0 6 3( - ) 0 0 atau selidika nilai f' () di -1, 1dan f' (-1) f' (1) f' (3) 3

SKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNAN Syaratnya 1.. 3. 4. 5. : Bentuk Dasar Titik potong Interval Interval definisi fungsi Titik Stasioner. (Linear atau dengan fungsi naik sumbu atau kuadrat) - turun sumbu koordinat

CONTOH a. b. c. Carilah titik stasioner untuk fungsi y Tentukan Jenis dari titik titik stasioner Buatlah sketsa grafiknya. 3 6 15 yang diperoleh dari a JAWAB: a. y y' 3 3 ( 5)(- 1) 0 3( 5)(- 1) 0 5 atau Jik a -5 maka Jik a 1 maka Jad 3 6 1 i titik - 15 1 15. 15. 0 1 Syarat y (-5) y 98 y (1) y -10 titik stasionern 3 3 6.(-5) 6.(1) titik stasioner yaadalah - 15.(-5) - - 15.(1) - (-5,98) y' 0 dan(1,-10)

b. LANJUTAN Untuk menentukan jenis titik stasioner, maka kita pakai titik uji disebelah kiri dan kanan titik stasioner. M isalnya kita pilih -6, 0, dan sebagai sampel masukan kedalam fungsi turunan. -6 maka y' 1 0 0 maka y' -15 dan maka y' 1 0 masukkan hasilnya dalam tabel turunan.

TABEL TURUNAN X -6-5 0 1 Y + 0-0 + Kemiringan / - \ - / Dengan demikian (-5,98) adalah titik balik maksimum dan (1,-10) adalah titik balik minimum.

c. LANJUTAN Untuk mengsketsa dibutuhkan 1. Titik potong 3 (- Jad 6 atau, )( atau beberapa atau - 15 - -4 i titik potong 0-0,17, (,0),(-0,17,0), dan dengan grafik 8 1) titik lagi 0 8 1 15 0 dengan fungsi sumbu (Pakai atau y sumbu (-7,873,0) maka rumus - 3 7,873, 6 y ABC) adalah - 15-0

C LANJUTAN Titik potong dengan sumbu y maka =0 Y=- Jadi titik potong dengan sumbu y adalah (0,-) Dari tabel turunan dapat disimpulkan bahwa: Grafik naik pada selang (-~,-5)dan(1,~) dan turun Pada interval selang (-5,1)

LANJUTAN SKETSA GRAFIK (-5,98) Y y 3 6-15 - (-7,873,0) (-0,17,0) (,0) X (0,-) (1,-10)

CONTOH-CONTOH SOAL Selidikilah fungsi fungsi di bawah ini termasuk fungsi naik, fungsi stasioner atau fungsi turun pada titik titik yang ditentukan 1. Y = 3 + - di titik = 4. Y = 3 - - 1 di titik = 1 3. Y = ½. 4-4 - 7 di titik = 1 4. Y = sin + cos di titik = ½

Jawab. 1. y = 3 + - di titik = 4 y = 6 + 1 y = 5 > 0 karena y > 0 maka fungsi di titik = 4 merupakan fungsi naik 3. y = ½. 4-4 - 7 di titik = y = 3-8 y = 0 karena y = 0 maka fungsi di titik = merupakan fungsi stasioner. Y = 3 - - 1 di titik = 1 y = 3-4 y = -1 < 0 karena y < 0 maka fungsi di titik = 1 merupakan fungsi turun 4. Y = sin + cos di titik = ½ y = cos sin y = -3 < 0 karena y < 0 maka fungsi di titik = 1 merupakan fungsi turun

Latihan soal : Selidikilah fungsi fungsi di bawah ini termasuk fungsi naik, fungsi stasioner atau fungsi turun pada titik titik yang ditentukan 1. y = 5 + - 7 di titik = 1. Y = 3-5 - 1 di titik = 1 3. Y =. 4-4 3-7 di titik = 1 4. Y = cos + sin di titik = ½

CONTOH 1 : Diketahui y = 1 3 1 6 8 carilah : 3 a. Titik titik kritis b. Selang dimana y bertambah dan berkurang c. Harga harga y maksimun da minimum Jawab : y = + - 6 = ( )( + 3 ) a. Dengan mengambil y = 0 diperoleh harga-harga = -3,. Titik titik kritis adalah (-3, 43/), (, /3) b. Gambar garis bilangan untuk menentukan selang fungsi naik atau fungsi turun =-3 = =-4 =0 =3 Untuk <-3 fungsi naik y = 6 >0 y = -6 < 0 y = 6 >0 Untuk -3<< fungsi turun Untuk > fungsi naik

1 1 6 8 3 y = 3 c. Untuk y = 0 maka f(p) disebut nilai stasioner dari f pada = p y = 0 untuk = -3 dan = Substitusikan nilai = -3 dan = pada fungsi : 1 1 3 y = 6 8 3 Untuk = -3 maka nilai stasioner y = 43/ f () berubah dari + menuju - menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai maksimum relatif Untuk = maka nilai stasioner y = /3 f () berubah dari - menuju + menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai minimum relatif

Contoh. Ditentukan fungsi y = sin + cos carilah : a. Titik titik kritis b. Selang dimana y bertambah dan berkurang c. Harga harga y maimun da minimum Jawab : a. y = cos sin nilai stasioner diperoleh jika y = 0 b. Cos sin = 0 5 atau Tgn = 0 diperoleh nilai 4 4 6 4 Untuk < fungsi naik 4 5 4 Untuk 4 < < fungsi turun 5 4 3 5 Untuk > 4 fungsi naik

c. y = sin + cos Untuk y = 0 maka f(p) disebut nilai stasioner dari f pada =p y = 0 untuk = dan = 4 4 5 Substitusikan nilai = dan = pada fungsi : y = sin + cos Untuk = maka nilai stasioner y = 4 f () berubah dari + menuju - menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai maksimum relatif 5 4 5 Untuk = maka nilai stasioner y = 4 f () berubah dari - menuju + menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai minimum relatif 4

Contoh 3 : Jumlah dua bilangan adalah 30, tentukan kedua bilangan tersebut agar hasil kalinya maksimum Jawab. Misal bilangan tersebut a dan b maka a + b = 30; a = 30 b, misal Hasil kali kedua bilangan = P P = a b = (30 b)b 10 15 0 = 30b b Nilai stasioner jika P = 0 P = 30 b 30 b = 0 b = 30 b = 15 P = 30 b P = 10 P = 30 b P = -10 Untuk b = 15 maka nilai stasioner y = 15 15 = 5 hasil kali antara a dan b berubah dari + menuju - menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai maksimum

Contoh 4 : Dengan menggunakan pagar kawat sepanjang 00m akan dibangun suatu kandang ayam yang bentuknya persegi panjang, tentukan ukuran kandang agar luas kandang maksimum Jawab. Keliling kandang = P + L P + L = 00 P + L = 100 P = 100 - L Luas kandang = p L Luas = P.L Luas = ( 100 L). L Luas = 100L L Nilai stasioner dicari dengan Luas = 0 Luas = 100 L 100 L = 0 L = 100 L = 50 50 Luas = 100.40 = 0 > 0 40 60 P = 100-L = 100-50 = 50 Luas = 100.60 = -0 < 0 Untuk L = 50 maka nilai stasioner y = 50 50 = 500 Luas berubah dari + menuju - menunjukkan nilai stasioner tersebut merupakan nilai maksimum

Contoh 5 :

. Dari suatu karton persegi panjang yang sisinya 4 cm, akan dibuat suatu kotak tanpa tutup dengan jalan memotong pada keempat sudut persegi panjang tersebut dengan sisi cm tentukan agar sisi kotak maksimum. 3. Segitiga siku siku AOB terbentuk dari sumbu X, sumbu Y, dan sisi AB dengan persamaan y = 10. Dari titik C(,y) yang terletak pada AB, dibuat garis tegak lurus sumbu sumbu koordinat sehingga terjadi persegi panjang dengan diagonal OC. 4.Jumlah dua bilangan adalah 40. tentukan masing masing bilangan tersebut agar hasil kali antara bilangan yang satu dengan kuadrat yang lainnya maksimum. 5. Suatu kotak tanpa tutup dengan alas persegi berisi cm dan tinggi t cm. isi kotak tersebut.000 cm3. tentukan ukuran kotak agar bahan untuk membuat kotak minimum.( cari luas permukaan kotak minimum). 6.Suatu tangki air berbentuk silinder lingkaran tegak dengan diameter alasnya 1 m. apabila tinggi air dalam tangki cm, tentukan laju perubahan volume v terhadap penambahan tinggi, ketika air diisikan ke dalam tangki tersebut

SELESAI