BAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA

Transkripsi

1 142 LAMPIRAN III BAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA Pernahkan kamu melempar sebuah bola tenis atau bola voli ke atas? Apa lintasan yang terbuat dari lemparan bola tersebut ketika bola itu jatuh ke tanah. Tentunya lintasan bola tersebut membentuk sebuah kurva atau parabola. Dan ketika bola tersebut dilemparkan ada bola yang menyinggung net atau tiang net. Atau ketika kamu melempar bola tersebut bola itu menyinggung kabel listrik atau menyinggung benda lain. Net, dan kabel tersebutlah yang dinamakan garis singgung. Net atau kabel listrik tersebut menyinggung lintasan bola yang berbentuk kurva tersebut dan dinamakan garis singgung kurva. Atau ketika bermain badminton bola tersebut di lempar ke lawan main dan menyinggung raket lawan. Raket itu lah yang di namakan garis singgung. Perhatikan gambar di bawah ini y y = f(x) y 2 B (x 2, y 2 ) Mana yang merupakan garis singgung kurva?dan mana yang merupakan titik singgung? y 1 A(x 1, y 1 ) x 1 x 2 x S Pada gambar seorang anak melemparbola di pantulkan keatas dan membentuk kurva f(x), kemudian lintasan bola tersebut menyinggung sebuah tonggak listrik yang putus yang dinamakan dengan garis S. garis S itu lah yang dinamakan garis singgung. Berdasarkan gambar di atas persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A(x 1, x 2 ) adalah y y 1 = m(x x 1 ) Keterangan: y = ordinat (posisi anak itu) x = absis (tanah) y 1 = titik singgung kurva y = f(x) dengan garis singgung AB pada koordinat y (titik singgung kabel listrik pada ordinat y = y 1 ) x 1 = titik sinngung kurva y = f(x) dengan garis AB pada absis x (titik singgung kabel listrik pada ordinat x = x 1 ) m = gradien atau kemiringan dari garis singgung AB

2 143 Contoh 1 : Diketahui kurva y = x 2 3x + 4 menyinggung sebuah garis di titik A (3,4). Carilah Persamaan garis singgung di titik A! Jawab: Diketahui: y = x 2 3x + 4 Titik singgung : 3,4 Ditanya : persamaan garis singgung kurva? Langkah-langkah: Kurva y = x 2 3x + 4 Untuk mencari persamaan garis singing terlebih dulu mencari gradient garis singgung di titik A: y = 2x 3 Gradien di titik A (3,4) m = y (x=3) = = 6 3 = 3 Penyelesaian: Persamaan garis singgung di titik A (3,4) y y 1 = m (x x 1 ) y 4 = 3 (x 3 ) y 4 = 3x 9 y = 3x 5 Kesimpulan: Jadi persamaan garis singgung kurva adalah y = 3x 5 Contoh 2 : Garis singgung kurva y = 2 2 x di titik (a, b) sejajar dengan garis x + y = 0. Berapakah nilai a + b! Jawab: Diketahui: y = 2 2 x // x + y = 0 Ditanya : nilai a + b? Langkah-langkah: Gradient garis singgung kurva y = 2 2 x adalah m 1 = dy Garis x + y = 0 mempunyai gradient m 2 = 1 dx = 1 2 x Karena garis singgung garis y = 2 2 x // x + y = 0 maka m 1 = m 2

3 144 Penyelesaian: sehingga diperoleh: 1 = 1 x = a 2 a 2 a = 1 dikuadratkan 2 a = 1 a = 1 f 1 = b = = 2 Kesimpulan: Jadi nilai a + b = = 3

4 145 BAHAN AJAR FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN Sebuah peluru bergerak naik dari titik A ke titik B, kemudian bergerak turun dari titik B ke titik C. maka gambar dari ilustrasi tersebut adalah : 1. Dikatakan fungsi f naik untuk x < 0. Jika x < 0 maka f (x) > 0, gradien garis singgung kurva pada setiap titik di x < 0 positif. 2. Dikatakan fungsi f turun untuk x > 0 Jika x > 0 maka f (x) < 0, gradien garis singgung kurva pada setiap titik di x > 0 negatif. 3. Dikatakan fungsi f mempunyai nilai stasioner (nilai ekstrem) f (0) = 1 Jika x = 0 maka f (x) = 0, dan garis singgung pada titik (0,1) sejajar sumbu x. Dalam hal ini fungsi f tidak naik dan tidak turun. Menentukan interval-interval (selang) dimana fungsi f naik atau turun langkah-langkahnya adalah : 1. Tentukan f (x) 2. Fungsi f naik, jika f (x) > 0 3. Fungsi f naik, jika f (x) > 0

5 146 Contoh : Tentukan pada interval mana fungsi f x = x 3 + 9x x + 4 merupakan : a. Fungsi naik b. Fungsi turun Jawab: Diketahui: f x = x 3 + 9x x + 4 Ditanya : Interval fungsi naik dan turun Penyelesaian: f x = 3x x + 15 Syarat fungsi naik f (x) > 0 3x x + 15 > 0 x 2 + 6x + 5 > 0 x + 1 (x + 5) > 0 Harga Batas x = 1, x = 5 Syarat fungsi turun f (x) < 0 3x x + 15 < 0 x 2 + 6x + 5 < 0 x + 1 (x + 5) < 0 Harga batas x = 1, x = Kesimpulan: Jadi fungsi naik pada interval x < 5 atau x > 1 dan fungsi turun pada interval 5 < x < 1

6 147 BAHAN AJAR NILAI STASIONER DAN JENISNYA Pada pelajaran sebelumnya kita telah mempelajari persamaan garis singgung pada kurva. Jika kita melemparkan sebuah bola kasti atau bola lain akan terbentuk sebuah kurva atau parabola. Saat dilempar ada saatnya bola itu naik dan ada saatnya bola itu turun dan ada pula saat nya bola tersebut tidak naik dan tidak turun yaitu saat kecepatan dari bola itu adalah nol. Saat bola tidak naik dan tidak turun itulah yang di namakan titik stasioner. Dan dalam titik tersebut terdapat nilai dari titik itu. Perhatikan gambar di bawah ini! Misalkan sebuah lintasan bola yang berbentuk kurva dengan persamaan y = f(x) = x 2 2. Lintasan y = f(x) = x 2 2 mempunyai nilai minimum pada x = 0 sebab f(x) = f(0) = = 2. Turunan fungsi f(x) = x 2 2adalah f (x) = 2x. f (x) < 0 untuk x < 0 f (x) > 0 untuk x > 0 f (0) = 0 pada x = 0. f(x) turun untuk x < 0 dan f (x) naik untuk x > 0. f(x) di x = 0 tidak turun atau naik, titik ini disebut titik stasioner. Jika f a = 0, f (a) adalah nilai stationer f pada x = a Jenis-jenis nilai stasioner adalah 1. Titik balik maksimum 2. Titik balik minimum 3. Titik belok horizontal

7 148 Untuk menentukan jenis-jenis nilai stasioner harus diselidiki di sekitar x = a. Terdapat 4 kemungkinan di sekitar x = a, yaitu 1. Titik (a, f(a)) adalah titik balik maksimum f(x) titik balik maksimum f = 0 f + - f 2. Titik (a, f(a)) adalah titik balik minimum f(x) f - + f f = 0 titik balik minimum 3. Titik (a, f(a)) adalah titik belok naik dan turun f(x) titik belok naik f(x) titik belok turun + f < 0 0 f > 0 + f = 0 f > 0 f = 0 f < 0

8 149 Defenisi : Jika fungsi f mencapai titik ekstrim pada (a, f(a)) dan terdiferensialkan pada titik itu maka titik (a, f(a)) merupakan titik stasioner atau f '(x) = 0 Jenis titik stationer dapat ditentukan dengan uji turunan pertama dan uji turunan kedua. Langkah-langkah untuk menentukan jenis stationer adalah 1. Dari persamaan f (x) = 0 telah diperoleh absis titik stationer x=2. Gambarlah absis stasioner ini pada garis bilangan Tentukan absis titik-titik uji di sebelah kiri dan kanan absis stationer. Misalnya : untuk titik uji di kiri x = 2 adalah x = 0 dan di kanannya adalah x = 3 Absis titik uji Periksa tanda dari f (0) dan f (3) dengan menyubstitusikannya ke dalam f (x) = 2x + 4 f (0) = 2 (0) + 4 (positif) f (3) = 2 (3) + 4 = 2 (negatif) Bubuhkan tanda-tanda positif/negatif tersebut pada selang yang memuat absis titik uji yang bersesuaian. f (x) Gradien Karena terjadi perubahan tanda f dari (+) ke (-) dari kiri ke kanan, titik (2,4) merupakan titik balik maksimum dan nilai balik maksimumnya adalah f (2) = 4

9 150 Contoh : Diketahui persamaan y = f(x) = 3x x 3, Tentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y, nilai stasioner dan titik stasioner. Jawab: Diketahui: y = f(x) = 3x x 3 Ditanya : Titik potong sumbu x dan y, Nilai stasioner dan titiknya? Penyelesaian: Grafik memotong sumbu x, bila y = 0. y = 0 = 3x x 3 0 = x (3 x 2 ) 0 = x ( 3 x ) ( 3 + x) Titik potong sumbu x adalah (0,0), ( 3, 0), ( 3, 0) Garfik memotong sumbu y, jika x = 0 y = 3x x 3 y = y = 0 titik potong sumbu y adalah (0,0) Nilai dan titik Stasioner Syarat stasioner adalah : f (x) = 0 f (x) = 3 3x 2 3 (1 x 2 ) 3 (1 x) (1 + x) x = 1, x = 1 untuk x = 1 f 1 = = 2 x = 1 f( 1) = 3( 1) ( 1) 3 = 2 nilai stasionernya : y = 2 dan y = 2 titik stasioner : Titik balik Maksimum di(1,2) dan Titik balik minimum di ( 1, 2) Kesimpulan: Tipot sumbu x: Titik potong sumbu x adalah (0,0), ( 3, 0), ( 3, 0) Tipot sumbu y : (0,0) Nilai stasioner :y = 2 dan y = 2 Titik stasioner : (1,2) dan ( 1, 2)

10 151 BAHAN AJAR NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM DALAM INTERVAL TERTUTUP Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi dalam interval tertutup dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: a. Menentukan nilai fungsi pada batas interval. b. Menentukan nilai stasioner c. Menentukan nilai minimum dan maksimum berdasarkan hasil dari (a) dan (b). Contoh Soal: Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi f x = 6x 2 x 3 pada interval 1 < x < 3. Penyelesaian: Fungsi f x = 6x 2 x 3 pada interval 1 < x < 3. Nilai fungsi pada batas interval: f 1 = = = 7 f 3 = 6(3) 2 (3) 3 = = 27 Nilai stasioner fungsi: f x = 12x 3x 2 = 0 3x 4 x = 0 x = 0 atau x = 4 x = 0 di dalam interval(dicari nilai fungsinya) x = 4 di luar interval (tidak dicari nilai fungsinya) Untuk x = 0 maka: f 0 = 6x 2 x 3 = = 0 Untuk x = 1 maka: f 1 = 6x 2 x 3 = = 7 Untuk x = 1 maka: f 1 = 6x 2 x 3 = = 5

11 152 Untuk x = 2 maka: f 2 = 6x 2 x 3 = = 16 Untuk x = 3 maka: f 3 = 6x 2 x 3 = = 27 Sehingga diperoleh f 1 = 7, f 0 = 0, f 1 = 5, f 2 = 16, f 3 = 27 Jadi nilai maksimum dari fungsi f x = 6x 2 x 3 adalah 27 dan nilai minimum adalah 0.

12 153 BAHAN AJAR PENGGUNAAN NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM Dalam matematika terapan sering kali berhadapan dengan soal yang harus diterjemahkan dalam bahasa matematika yang disebut membuat model matematika kemudian dianalisis. dy Nilai ekstrem diperoleh dari f = 0 atau = 0 dx Contoh : 1. Sebidang tanah terletak sepanjang suatu tembok. Tanah itu akan dipagari untuk peternakan ayam. Jika pagar kawat yang tersedia panjangnya 500 m dan peternakan itu dibuat berbentuk persegi panjang, tentukan ukurannya agar terdapat daerah peternakan yang seluas-luasnya! Jawab : Diketahui : panjang pagar kawat : 500 m Ditanya: ukuran daerah peternakan seluas-luasnya? Langkah-langkah: Misalkan lebar kandang = x meter panjangnya = (500 2x) meter Jika x 0 dan (500 2x) 0 maka 0 x 250 Luas kandang = L (x) = x(500 2x) Penyelesaian: = 500x 2x 2 L (x) = x = 4 (125 x) Nilai ekstrem diperoleh jika L (x) = 0 4 (125 x) = 0 x = 125

13 x x L x Kesimpulan: Jadi, untuk x = 125 terdapat nilai ekstrem maksimum L(125) = 125 ( ) = Jadi, untuk membuat kandang dengan lebar = 125 m dan panjang = 250 m, akan terdapat luas kandang yang sebesar-besarnya, yaitu m Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan volume 8000π cm 3. Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar aluminium yang digunakan seminimal mungkin. Jawab: Diketahui: Volume silinder tanpa tutup yang dibuat 8000π cm 3 Ditanyakan : Tinggi dan jari-jari alas silinder agar luas aluminium minimal? Langkah-langkah: Misalkan volume silinder = V (r), tinggi silinder = t, jari-jari alas silinder = r dan luas permukaan silinder adalah L (r) L r = luas alas + luas selubung V r = luas alas tinggi 8000π = πr 2 t t = 8000 r 2..1) = πr 2 + 2πrt 2) Substitusikan pers 1 ke pers 2, sehingga diperoleh L r = πr 2 + 2πrt = πr 2 + 2πr( 8000 r 2 ) Agar silinder mempunyai luas yang minimum, maka L r = 0 πr πr 1 = 0

14 155 2πr π r 2 = 0 2πr = π r 2 r 3 = 8000 r = 20..3) Penyelesaian: Substitusikan 3) ke persamaan 1) Kesimpulan: t = 8000 r 2 = = 20 Jadi, tinggi silinder adalah 20 cm, dan jari-jari silinder adalah 20 cm

15 156 BAHAN AJAR PENGGUNAAN TURUNAN DALAM KECEPATAN DAN PERCEPATAN A. Kecepatan Kecepatan yaitu kecepatan sebagai perubahan jarak yang ditempuh benda terhadap waktu. Apabila jarak yang ditempuh suatu benda dalam t detik dinyatakan dengan h(t), maka kecepatan sesaat benda tersebut pada detik ke t adalah: v t = d(t) dt = t B. Percepatan Apabila kecepatan benda juga merupakn fungsi dari waktu (v(t)) maka perubahan kecepatan terhadap waktu ini dinamakan percepatan rata-rata(a). a = perubaan kecepatan waktu yang diperlukan = v t Perhatikan grafik kecepatan terhadap waktu. v v(t) t 0 t 1 t 2 Percepatan rata-rata dari t 1 = 1 sampai t 2 = t t adalah : v ( a) t v( t2 ) v( t1) t

16 157 v( t t) v( t) t Jika t cukup kecil ( t 0), maka percepatan rata-rata akan menjadi percepatan sesaat pada t = t 1. Sehingga : a = lim t 0 v t + t v(t) t a = dv dt = v (t) Contoh: 1. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukannya setelah x detik memenuhi persamaan f x = 6x 3 + x 2, dengan f(x) dinyatakan dalam meter. Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu 2 x 3 dan kecepatan sesaat benda saat x = 2! Jawab: Diketahui : persamaan benda f x = 6x 3 + x 2 x = 1 Ditanya : Kecapatan rata-rata pada 2 x 3 dan kecepatan sesaat bensa saat x = 2 Penyelesaian: Untuk mencari kecepatan rata-rata gunakan rumus f x + x f(x) x Untuk mencari kecepatan sesaat gunakan rumus Kecepatan rata-rata pada 2 x 3 f x + x f(x) lim x 0 x f x + x f(x) x = f f(2) 1 = 6(3)3 + (3) 2 ( ) = 1 = 119 m/s

17 158 Kecepatan sesaat pada saat x = 2 f x + x f(x) lim x 0 x = lim x 0 f 2 + x f(2) x = lim x x x 2 (6(2) ) x = lim x x x + x 2 52 x = lim x x x + x 2 52 x = lim x x x + x 2 x = lim x x x = lim x x 2 + x = 76 Kesimpulan Jadi kecepatan rata-rata benda pada selang waktu 2 x 3 adalah 119 m/s dan kecepatan sesaat benda adalah 76 m/s 2. Sebuah peluru ditembakkan vertical ke atas dengan kecepatan V 0 m/ detik. Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi t = t 5 4 t2. Tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru tersebut adalah? Jawab: Diketahui: fungsi t = t 5 4 t2. Ditanya :Tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru tersebut? Langkah Untuk mencari tinggi maksimum kita cari titik stasionernya. Titik stasioner terjadi jika x = 0 t = t 5 4 t2 t = t = 0 20 = 5 2 t 40 = 5t t = 40 5 = 8

18 159 Penyelesaian: jika t = 8 adalah t = t 5 4 t2 8 = (8) 5 4 (8)2 8 = = 85 m Kesimpulan: Jadi tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru adalah 85 m