TURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5

Transkripsi

1 TURUNAN FUNGSI. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009 Jika kurva y a b turun pada interval, maka nilai ab... 5 A. B. C. D. E. Solusi: [D] () y a b y b b a b b 6 6a 0 b 0 b 6a 0 b 5 b a 0... () ' 6 0 Bentuk selalu bernilai positif untuk semua real, seingga dapat diabaikan. Dari () dan () diperole a dan b ab. SIMAK UI Matematika Dasar 9, Diberikan grafik fungsi f 5, maka. () f '0 tidak ada () Fungsi turun di selang 0, () Fungsi naik di selang Solusi: [E] 5 f 5 f ' , () Terjadi minimum relatif di titik, 9 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

2 0 f ' tidakdidefinisikan 0 () 0 f ' 5 0 () 0 Fungsi naik di selang, 0 f ' 5 0 () 0 Fungsi turun di selang 0, 0 f ' 5 0 () 0 5 f Terjadi minimum relatif di titik, 9 Jadi, semua pernyataan adalan benar.. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009 Jika v, maka dv d untuk adala A. 8 B. C. 0 D. E. 8 Solusi: [A] v dv 8 7 d 7 8 dv 8 8 d. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009 Diketaui fungsi yang menyatakan posisi suatu benda bergerak pada waktu t (dalam detik) adala s t t 5 t, t 0, maka () Kecepatan benda tersebut pada waktu t adala vt t t () Benda tersebut berenti bergerak setela detik. () Ara benda bergerak beruba setela detik. () Benda tersebut kembali pada posisi awal setela 5 detik. Solusi: [A] () s t t 5 t vt s ' t t 5 t t 5. 5 t t t t t t t Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

3 () vt t t t 0atau t Benda tersebut berenti bergerak setela detik. () Peratikan garis bilangan dari kecepatan: + 0 Ara benda bergerak beruba setela detik. () st 0 t 5 t 0 t 0atau t 5 Benda tersebut kembali pada posisi awal pada detik ke 5. Di sini bukan setela setela 5 detik. Jadi, pernyataan yang benar adala (), (), dan (). 5. SIMAK UI Matematika Dasar 96, 009 Misalkan luas sebua segitiga sama sisi adala fungsi dari kelilingnya. Jika keliling segitiga adala, maka laju perubaan luas teradap kelilingnya sama dengan. A. 6 B. 6 C. 6 D. 6 E. Solusi: [D] Luas segitiga sama sisi yang panjang sisinya a adala Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI L a Jika keliling segitiga, maka panjang sisisinya, seingga L 6 Jadi, laju perubaan luas teradap kelilingnya sama dengan 6. SIMAK UI Matematika Dasar 96, 009 Diberikan grafik fungsi f, 0, maka. () Fungsi naik pada impunan R 0atau () Fungsi turun pada impunan R 0 () Terjadi minimum lokal di titik, () Terjadi maksimum lokal di titik 0,0 Solusi: [A] f 8 f ' 8 ' 0 () f 8 0 dl d 6

4 0 0atau Fungsi naik pada impunan R 0atau 8 ' 0 () f Fungsi turun pada impunan R 0 8 ' 0 () f f f " Karena " 0 8 () f ' 0, di sini 0 Jadi, pernyataan yang benar adala (), (), dan (). 7. SIMAK UI Matematika IPA 9, 009 Jika suatu fungsi f, maka fungsi f terjadi minimum lokal di titik y,., seingga tidak terjadi maksimum lokal di titik 0,0 7 maka. 7 () y merupakan persamaan garis singgung di () Kurva berbentuk lingkaran berpusat di (0,0) () Garis y 6 memotong tegak lurus garis singgung di 5 () y merupakan garis yang menyinggung kurva di (, ) Solusi: [B] y 7 y ' 7 7 () y 7, Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

5 m y' 7 Persamaan garis singgungnya adala y 6 7 y () Fungsi y 7 bukan lingkaran 7 () Gradien garis y adala m dan gradien garis seingga mm Jadi, garis y 6 memotong tegak lurus garis singgung di () Titik (, ) tidak terletak pada fungsi merupakan garis yang menyinggung kurva di (, ) Jadi, pernyataan yang benar adala () dan (). 8. SIMAK UI Matematika IPA 9, 009 Persamaan garis singgung dari kurva y 7, seingga garis y 6 adala m, 5 y bukab f di titik adala A. y0 8 C. y E. y 8 B. y5 D. Solusi: [A] f, f f ' 6 m f ' 6 0 Persamaan garis singgungnya adala y 0 y SIMAK UI Matematika IPA 95, 009 Jika fungsi y f b b 5mempunyai nilai tertinggi saat () b () Fungsi turun pada interval () b Solusi: [C], maka. 5, () Fungsi naik pada interval, 5 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

6 f b b 5 ' f b b 5 f b b f ' b b 0 b b 0 b f ' 8 Fungsi turun 8 0 f ' 0, seingga Fungsi turun pada interval, Fungsi naik 8 0 f ' 0, seingga Fungsi naik pada interval, Pernyataan yang benar adala () dan (). 0. SIMAK UI Matematika IPA 96, 009 Jarak terdekat titik 6,0 ke kurva y adala A. B. C. 5 D. 6 E. 6 Solusi: [C] 6 0 d y 6 d d 6 d 8 6 d ' 8 0 d d 0 5. SIMAK UI Matematika Dasar 0, 00 Y O y, y d 6,0 X r 6 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

7 Sebua tempat air terbuat dari plat baja yang berbentuk separu tabung (sesuai gambar). Bagian atas terbuka dan kapasitasnya 5 liter. Agar baan pembuatannya seemat mungkin, nilai meter. A. B. 5 C. 0 D. 50 E. 00 Solusi: [A] Volume setenga tabung V r 5 50 r Luas permukaan setenga tabung L r r L L' (ditolak) atau 0 Jadi, nilai adala meter.. SIMAK UI Matematika Dasar 06, 00 Sebua akuarium memiliki dasar dan sisi-sisi yang berbentuk persegi panjang dan tidak memiliki tutup. Volume dari akuarium adala m. Lebar dari dasar akuarium adala m. Untuk pembuatan dasar akuarium diperlukan biaya sebesar Rp0.000,00 per m, sedangkan untuk sisisisinya diperlukan biaya sebesar Rp5.000,00 per m. Biaya minimal yang diperlukan untuk membuat sebua akuarium adala. A. Rp0.000,00 C. Rp50.000,00 E. Rp80.000,00 B. Rp0.000,00 D. Rp60.000,00 Solusi: [E] Volume akuarium: V plt p t p t Biaya pembuatan akuarium: B pl pt lt B t t t t B t t B' t p t 7 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

8 t t t B Jadi, biaya minimal yang diperlukan untuk membuat sebua akuarium adala Rp80.000,00. SIMAK UI Matematika Dasar 07, 00 Nilai minimum dari kuadrat jarak titik P 0, ke Q yang terletak pada parabola adala. A. B. 5 6 Solusi: [B] 0 d y d d 8 d 7 d ' C. 9 6 D. E d y SIMAK UI Matematika Dasar 08, 00 Sebua kotak obat tanpa tutup alasnya berbentuk persegi dan mempunyai volume 000 cm. Luas permukaan kotak obat minimum adala. A. 800 cm C. 00 cm E. 000 cm B. 0cm D. 00cm Solusi: [] Volume kotak: V y 000 y 000 y Luas permukaan kotak: L 6000 L' L y P Y 0, O y d Q, y y X 8 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

9 L Jadi, luas permukaan kotak obat minimum adala 00 cm. 5. SIMAK UI Matematika Dasar 08, 00 y sin sin sin sin...sin sin... Tentukan dy d pada 0 A. B. C. 0 D. E. Solusi: [D] dy y sin cos d dy 0 cos 0 d dy y sin sin cos sin cos d dy 0 cos sin 0 cos0 cos0 d dy Jadi, y sin sin sin sin...sin sin... dengan 0 d 6. SIMAK UI Matematika Dasar 09, 00 Sebua balon berbentuk bola sedang dipompa seingga volumenya bertamba 00 cm per detik. Laju perubaan jari-jari balon ketika diameternya mencapai 50 cm adala A. 5 Solusi: [A] B. Volume bola: V R dv R dr dv dt 00 Menurut Teorema Rantai: dv dv dr dt dr dt 00 R dr dt dr dt 00 R D R 5 dr dt C. D. 5 E SIMAK UI Matematika IPA 50, 00 Diberikan fungsi y. Yang benar dari pernyataan berikut ini adala. dy () d untuk 0 dy () d tidak ada untuk 0 dy () untuk 0 d () dy ada untuk semua R d 9 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

10 Solusi: [D],untuk 0 y,untuk 0 dy d untuk 0 dy untuk 0 d dy ada untuk semua d R Pernyataan yang benar adala (). 8. SIMAK UI Matematika IPA 50, 00 Sebua polinom p mempunyai suatu maksimum lokal di,,, suatu maksimum lokal di 5,7 dan tidak ada titik kritis lain. Maka, suatu minimum lokal di p memotong sumbu di. A. titik B. titik C. titik D. titik E. 5 titik Solusi: [B] Setela data yang diberikan divisualkan, terliat bawa polinom sumbu di titik. p memotong 9. SIMAK UI Matematika IPA 509, 00 9 Jumla nilai terbesar dan terkecil dari untuk setiap nilai riil adala. A. B. C. D. E. Solusi: [C] f f ' 9 9 Nilai stasioner fungsi f dicapai jika f ' 0, seingga Y 7 ma, O Y O y min, ma 5, X X y p 0 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

11 f min 9 5 f 5 9 fma f 6 fmin fma 5 0. SIMAK UI Matematika IPA 509, 00 Diketaui f adala fungsi dimana f '. Jika g f, maka g' A. C. E. B. Solusi: [B] f ' g f g ' f ' D.. SIMAK UI Matematika Dasar, 0 Jika g f f f dengan f 0 0dan f ' 0, maka g '0 =. A. 0 B. C. D. 8 E. 6 Solusi: [D] g f f f f f f f ' f f 0 f ' f 0 f ' 0 g ' f ' f f f ' f f ' f ' 0 8. SIMAK UI Matematika Dasar. 0 Diketaui fungsi f dan g dengan f ' dan f ' f 0 f ' 0 g '. Jika pada saat, turunan dari f g fg adala dan turunan dari f g adala 0, maka turunan dari adala. saat A. 5 B. C. D. E. Solusi: [A] fg ' f ' g g ' f fg ' f ' g g ' f g f... () f g f f ' g g ' f g f f g g f g 0 g f 0... () ' ' 0 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

12 Dari persamaan () persamaan () diperole 7 f f g g g ' g f f ' g g f ' g g f ' g f ' g g ' f 5. SIMAK UI Matematika Dasar, 0 Garis y 8 0 ab... menyinggung grafik f 6 di titik ab,. Untuk a b, nilai A. B. C. D. E. 5 Solusi: [B] Gradien garis y 8 0 adala m f f ' m f ' a a 6 9 a 6 a 6 ataua 6 aatau a 5 7 b f 5atau b f 6 6 Seingga ab,,5 Jadi, a b 5. SIMAK UI Matematika Dasar, 0 Jika diketaui dan y adala bilangan riil positif di mana y 0, maka nilai minimum dari adala. y 8 A. 5 Solusi: [B] B. 5 y0 y0 C. 5 D. 8 5 E. 5 0 P y Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

13 P ' Nilai stasioner fungsi P dicapai jika y P ', seingga Jadi, nilai minimum dari y SIMAK UI Matematika Dasar, 0 a b Jika grafik fungsi f mempunyai garis singgung orizontal pada titik,, maka nilai abadala. A. B. C. 0 D. E. Solusi: [D] a b a b f 5 f ' a a b Garis singgung orizontal pada titik, a a b a a b 0 b 0 Karenanya fungsi f menjadi f berarti m f 0 a Grafik fungsi f melalui titik,, seingga a a a ab 0 6. SIMAK UI Matematika IPA 5, 0. ' 0, seingga Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

14 Sebua kerucut tegak tanpa alas diletakkan terbalik. Sebua bola berdiameter 6 cm dimasukkan ke dalam kerucut seingga semua bagian bola masuk ke dalam kerucut. Kerucut dengan volume terkecil yang mungkin mempunyai ukuran tinggi. A. 8 cm B. 8 cm C. 6 cm D. cm E. cm Solusi: [E] Misalnya tinggi kerucut dan jari-jarinya r. AB AC CB r Peratikan ACB ODB AC OD AB OB r r 8 8 r 6 r 6 6 r 6r 6r 6r 6 r 6r 6 r 6r 6 r r 6 Volume kerucut V r 6 V V ' Nilai stasioner fungsi V dicapai jika V ' 0, seingga SIMAK UI Matematika IPA 5, 0 5 Dari semua garis singgung pada kurva y, maka persamaan garis singgung dengan 6 kemiringan terkecil adala. A. y5 0 C. y5 0 E. y 7 B. 8y D. y Solusi: [C] 5 Misalnya titik ab, terletak pada kurva y y ' C R = 8 O B r D A Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

15 m y ' a 0a a 6 a aa a 0a 60 0a a a 6 a 6 a m' 6 a 6 60a a 6 6a a 6 0a 60 m" Nilai stasioner m dicapai jika m' 0, seingga 0a 60 0 a a Karena m minimum a 6 60a a 6 6a 0a " 0, maka m mencapai 8 Gradien m y 0a 0 5 ' a 6 6 min a b Titik singgungnya, 8 Persamaan garis singgungnya: 5 5 y 8 y y SIMAK UI Matematika IPA 5, 0 Jika diberikan fungsi maka persamaan garis singgung kurva f f titik dengan absis 6 adala. A. 98 y 9 C. y 7 E. 8y9 9 B. 79 y D. 9y 5 Solusi : [A] f Menentukan invers dari y sebagai berikut. y y di 5 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

16 Selanjunya, f f ' 5 9 m f ' f , 6 Persamaan garis singgungnya adala 65 9 y 6 8 8y y9 Solusi : [A] f 65 f Seingga titik singgungnya adala 6,. f ' 6 f ' 9 m f ' Persamaan garis singgungnya adala 65 9 y 6 8 8y y9 9. SIMAK UI Matematika IPA 5, 0 Suatu kapal tanker pengangkut minyak mengalami kebocoran seingga terjadi tumpaan di laut lepas. Tumpaan minyak menyebar dari kapal membentuk lingakaran. Pada suatu waktu tertentu, radius tumpaan dari kapal adala km, dan volume tumpaan bertamba dengan laju liter per detik. Tebal tumpaan minyak selalu tetap, yaitu 5 cm. Pada waktu tersebut, laju pertambaan radius tumpaan adala. A. 0 m/det C. 0 m/det E. 0 m/det 6 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

17 B. 0 m/det D. 5 m/det Solusi: [B] Volume tabung: V r dengan r km 000m dan 5cm 0,5m dv 0.000liter/ det dt dv 0dt V 0t r 0t 000 0,5 0t t Selanjutnya, r 0t 0t r 0,5 r dr dt 0t 0,5 0 0,5 0t 0,5 0m / det 0 0, ,5 0. SIMAK UI Matematika Dasar, 0 Jika garis singing parabola y 6 k 0 0, , m/det di titik M, y, maka nilai dari 5 k adala. A. 0 B. C. D. E. Solusi: [B] y m y ' y y Selanjutnya, k 6 8 k 0 Syarat garis menyinggung parabola adala D = 0. k 8 0 k 6 5 k juga merupakan garis singgung parabola 7 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

18 . SIMAK UI Matematika Dasar, 0 Dari seelai karton akan dibuat sebua kotak tanpa tutup dengan alas persegi. Jika jumla luas bidang alas dan semua bidang sisi kotak adala 9 cm, maka volume kotak terbesar yang mungkin adala. A. 56 cm B. 0 cm C. 6 cm D. 8 cm E. 8 cm Solusi: [A] Luas permukaan kotak: L y 9 8 y 8 Volume kotak: V y 8 V ' V " Karena V " 8 0, maka fungsi V mencapai maksimum pada 8 8 Vma Jadi, volume kotak terbesar yang mungkin adala 56 cm.. SIMAK UI Matematika Dasar, 0 Jika f, f ', g, dan. g ' 5, maka untuk, nilai dari d f g d adala. d f g d A.,6 B., C.,8 D. 5,6 E. 7 Solusi: [B] d f g d f f ' g g ' d f f ' g g g ' d f ' g g ' f f ' g g '. SIMAK UI Matematika Dasar, 0 Jika , f ' f 0 0 dan f ' 0, maka turunan dari f f f f f f di 0 adala. A. 8 B. 6 C. D. 6 E. 8 Solusi: [B] Turunan dari f f f f f f di 0 adala y 8 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

19 ' f ' f ' f ' f f ' 9 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI ' f f f f ' f f f f f 0 f ' f f f f 0 f ' f f f 0 ' 0 f ' f 0 f '0 f f f f ' f f f f 0 f ' f f f 0 f ' f f 0 f ' f 0 f '0 f '0 f ' f f f 0 f ' f f 0 f ' f 0 f '0 f '0 f '0 f ' f f 0 f ' f 0 f '0 f '0 f '0 f '0 f ' f 0 f '0 f '0 f '0 f '0 f '0 f '0 f '0 f '0 f '0 f '0 f '0 6 6 f ' 0 6. SIMAK UI Matematika IPA 5, 0 Diberikan f sin. Jika f ' menyatakan turunan pertama dari f lim f ' f ' =. A. sin B. cos C. cos D. sin E. cos Solusi : [C] sin f f ' sin cos sin lim f ' f ' (Limit bentuk tak tentu 0 ) lim sin sin lim cos sin sin sin limcos lim limcos lim cos cos 0 Solusi : [C] sin f f ' sin cos sin f " cos lim f ' f ' (Limit bentuk tak tentu 0 ) Misalnya t atau seingga t, maka

20 lim f ' f ' lim f ' t f ' t ' f ' t f lim (definisi turunan kedua) t0 t f "( ) cos Catatan: f t f Definisi turunan (pertama): f ' lim t0 t 5. SIMAK UI Matematika Dasar, 0 Grafik y mempunyai garis singgung mendatar pada titik P dan Q, maka jumla ordinat dari titik P dan Q adala. A. Solusi: [C] B. 5 6 C. Misalnya titik P, y dan, y y ' m y ' 0 0 Q y. 8 y 6 5 y y y SIMAK UI Matematika Dasar, 0 Diketaui f ' a b f adala... () Jika b, () Jika 0, D. 5 E. 8 dengan 0 a b. Pernyataan yang BENAR mengenai fungsi f a adala nilai maksimum f. () Jika 0, f merupakan fungsi turun. f b adala nilai minimum f. () Jika b, f merupakan fungsi naik. Solusi: [D] Titik maksimum atau minimum pada saat Dari fungsi turunan f ' a b f ' 0. dapat dibuat visualisasinya seperti gambar di samping ini, seingga f tercapai pada dapat diketaui bawa ' 0 0, a,dan b, dengan 0 a b. Y O a y f ' b X 0 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

21 Fungsi f dikatakan naik jika positif) dan fungsi f dikatakan turun jika f ' 0( f ' f ' 0( f ' bernilai bernilai negatif) Fungsi f negatif (bagian kurva terletak di bawa sumbu X) berada pada interval 0 a ' dan a b. Hal ini menunjukkan bawa fungsi f turun pada 0 adan a b. Fungsi ' f positif (bagian kurva terletak di atas sumbu X) berada pada interval 0 atau b. Hal ini menunjukkan bawa fungsi f naik pada 0 atau b. Pernyataan () benar. 7. SIMAK UI Matematika Dasar, 0 Y y f ' O X Diketaui grafik fungsi f adala... () Saat, () Saat 0 f turun., f f ' seperti yang terliat di atas. Sifat-sifat yang dimiliki ole fungsi naik. () Garis singgung kurva f di sejajar dengan sumbu. () merupakan titik ekstrem. Solusi: [E] Titik maksimum atau minimum pada saat Visualisasi fungsi turunan ' 0 f tercapai pada dan. Fungsi f dikatakan naik jika f ' 0. y f ' dapat diliat pada gambar yang diberikan. Untuk f ' 0( f ' bernilai positif) dan fungsi f dikatakan turun jika f ' 0( f ' bernilai negatif) f ' negatif (bagian kurva terletak di bawa sumbu X) berada pada interval. Fungsi Hal ini menunjukkan bawa fungsi f turun pada. Fungsi ' f positif (bagian kurva terletak di atas sumbu X) berada pada interval atau. Hal ini menunjukkan bawa fungsi f naik pada atau. Semua pernyataan benar. 8. SIMAK UI Matematika IPA, 0 Jika P teradap, sisa pembagian a P' menyatakan turunan dari suku banyak adala... A. P ' a a P a C. P ' a Pa a P a E. P ' a a Pa B. P ' a a P a D. P ' a a P ole Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

22 Solusi: [A] Ilustrasi: Tentukan sisa pembagian polinom P 7 5 yang dibagi ole Solusi: P 7 5 P P ' 8 7 P' 8 7 Karena pembagi adala P ole berbentuk linear, yaitu Pembagian panjang:. berbentuk kuadrat, maka sisa pembagian polinom S a b. Sisa pembagian tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. ' S P P S 5 7 Kesimpulan: Jika P' menyatakan turunan dari suku banyak a adala P ' a a P a. 9. SIMAK UI Matematika Dasar Kode, 0 Jika 8 (asilbagi) 7 5 f, f ' 6, g, g ', dan sisapembagian P teradap, sisa pembagian f g f g, maka '... P ole A. 5 B. 6 C. 5 D. 9 E. Solusi: [C] ' f g f g f ' g g ' f f g f ' g ' f g f g f ' g g ' f f g f ' g ' f g ' f g ' Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

23 0. SIMAK UI Matematika Dasar Kode, 0 Jika g f r s, dengan diturunkan, maka A. f r s Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI g"... r dan " " ' ' ' " " B. f r s r s f r s r s C. f " r s r ' s ' f ' r s r " s" D. r ' s' f " r s f 'r s E. r ' s ' f " r s f ' r s Solusi: [C] s masing-masing adala fungsi yang dapat g f r s g ' f ' r s r ' s' g" f " r s r ' s' r ' s' f ' r s r" s" g " f " r s r ' s ' f ' r s r " s". SIMAK UI Matematika IPA Kode, 0 Misalkan F '... cos, maka f, f ', g 0, dan g '. Jika F f g A. B. C. 0 D. E. Solusi: [D] F f cos g F ' f ' cos g sin g g ' f F ' f ' cos g sin g g ' f F ' cos0 sin 0. SIMAK UI Matematika IPA Kode, 0 Misalkan cos f 0 dan f ' 0. Jika g f, maka g ' 0... A. sin B. 0 C. sin D. E. Solusi: [A] g cos f g ' sin f f ' g ' 0 sin f 0 f ' 0 sin sin. SIMAK UI Matematika Dasar Kode, 05 Misalkan turunan kedua dari f a b c titik, () Nilai dari di titik, adala 0 dan garis singgung di tegak lurus dengan garis y, maka pernyataan berikut yang BENAR adala... a b c 6 () Jumlaan semua nilai a, b, dan c adala () f naik pada interval Solusi: [A] f a b c 6 6, 6 6 () f turun pada 6 6 atau 6 6

24 f ' a b c f " 6a b f " 6a b 0 b a... (), f a b c a b c a b c... () Gradien garis yadala m. Syarat garis saling tegak lurus adala mm, seingga m. m f ' a b c a b c... () Persamaan () Persamaan () mengasilkan: a b... () Dari persamaan () dan () diperole: aa a b c c 0 () Nilai dari a b c f 0 Fungsi f menjadi f ' 0 () Fungsi f naik jika f ' 0, seingga f 6 6 naik pada interval, 6 6 () a b c Jumlaan semua nilai a, b, dan c adala 6 6 () f turun pada 6 6 Pernyataan yang benar adala (), (), dan ().. SIMAK UI Matematika IPA Kode, 05 Diketaui f sin sin cos A. B.. Jika f "0 sin Acos sin sin, maka A... C. 0 D. E. Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

25 Solusi: [] f sin sin cos f ' cos sin cos sin cos cos cos sin( ) f ' sin cos cos sin cos cos cos sin( ) dan seterusnya,- 5. SIMAK UI Matematika Dasar 566, 06 Misalkan f y f f y untuk semua bilangan dan y. Jika f '0 berikut yang BENAR adala... () f 0 () f ' a f a () f ' a f a f ' 0, a R () f ' f ' Solusi: [A] () f y f f y Jika y 0, maka f f f f f f f f 0 f f 0 Jadi, pernyataan f 0 adala benar. () Kita memperole definisi turunan: f ' f ' f ' a a a f a f a lim 0 0 f a f a lim 0 f a f 0 f a f lim 0 f f f ' a f a lim 0 f f f ' a f a lim f f f ' a f a lim 0 f ' a f a f ' 0 Jadi, lim 0 f ' a f a f ' 0, a R adala pernyataan yang benar. () Kita memperole definisi turunan: f ' f ' f ' a a a f a f a lim 0 0 f a f a lim 0 f a f 0 f a f lim 0 f ada, maka pernyataan 5 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

26 f f f ' a f a lim 0 0 f f ' a f a lim (Benar) 0 () Kita memperole definisi turunan: Cara : f y f f y f f f f f ' f ' f f ' f ' f f Cara : f ' f ' f ' f f lim 0 f f lim 0 f f f f lim 0 f f f ' f lim 0 ' f ' f f Cara f ' f ' f ' f f lim 0 f f lim 0 f f f f lim 0 f f f ' f lim 0 0 f f f ' f lim 0 0 f f f f f ' f lim 0 f ' f lim 0 0 f 0 f f ' f f ' 0 Pernyataan yang benar adala (), (), dan (). 6. SIMAK UI Matematika Dasar 57, 06 Pernyataan mengenai turunan fungsi yang BENAR adala... () Jika " 0 f c atau tidak terdefinisi di c dan c ada di daera asal f, maka f memiliki titik belok di c. 6 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

27 () Jika f adala fungsi linear dengan kemiringan positif dan, maka f akan mempunyai maksimum pada interval tersebut di f b. () Jika f ' 0 0 maka f merupakan fungsi konstan. ab adala interval tertutup, () Jika f ' c 0atau tidak terdefinisi di c dan c ada di daera asal f, maka f memiliki titik kritis di c. Solusi: [C] Untuk menjawab soal ini, sebaiknya kita memulai dengan taapan berikut. Taap : Peratikan pernyataan (), pernyataan ini jelas sala. Sebagai penyangkalan misalnya 8, seingga f ' dan f ' 0 0 0, tetapi f f bukan merupakan fungsi konstan. Taap : Kalau pernyataan () sala akibatnya pernyataan () sala. Taap : Sekarang peratikan pernyataan (): Jika f adala fungsi linear dengan kemiringan positif dan ab, adala interval tertutup, maka tersebut di f b. (Benar) Y f akan mempunyai maksimum pada interval ma b, f b min a, f a y f m n O a b X Taap : Pernyataan () : Jika memiliki titik kritis di c. (Benar) Jadi, pernyataan yang benar adala () dan (). 7. SIMAK UI Matematika Dasar 57, 06 Jika f () f f f ' c 0atau tidak terdefinisi di c dan c ada di daera asal f, maka f, 0, maka...,0 ' 8. () f simetris teradap sumbu Y. () Persamaan garis singgung di titik P, dan Q,6 () f f Solusi: [A] () f f ' f ' ' f f adala sejajar. 7 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

28 f Jadi, f f ' 8 (Benar) () f simetris teradap sumbu Y. Y y y O X () m f m f m ' ' m Karena gradien garis singgung yang melalui titik P, dan Q,6 kedua garis ini sejajar. () Menentukan invers: f y y f y y Jadi, f f Pernyataan yang benar adala (), (), dan (). 8. SIMAK UI Matematika Dasar Kode, 06 Misalkan grafik dari garis singgung di titik A... () sejajar dengan garis 7 y 5 y f melalui titik, adala sama, maka A dan mempunyai turunan y' 0, maka () memotong sumbu Y di titik 0,0 () memtong sumbu X di titik absis 0 7 () tegak lurus dengan garis 7y5 0 Solusi: [E] () Gradien garis 7 y 5adala m 7 m y' 0 7 Karena gradien m m 7, maka pernyataan bawa: garis singgung di titik A sejajar dengan garis 7 y 5 adala pernyataan yang bernilai benar. () Persamaan garis singgung (PGS): y 7 y 7 0 Grafik memotong sumbu X jika y = 0, seingga 8 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

29 Garis singgung di titik A memotong sumbu X di titik dengan absis 0 7 adala pernyataan yang bernilai benar. () Grafik memotong sumbu Y jika = 0, seingga y Koordinat titik potongnya adala 0,0. Garis singgung di titik A memotong sumbu Y di titik 0,0 adala pernyataan yang benar. () Gradien garis 7y5 0 adala m. 7 Karena mm, maka pernyataan garis singgung di titik A tegak lurus dengan garis 7y5 0 adala pernyataan yang bernilai benar. Jadi, semua pernyataan bernilai benar. 9. SIMAK UI Matematika Dasar Kode, 06 Misalkan turunan dari suatu fungsi memiliki grafik seperti tampak pada gambar, maka fungsi f... y f ' () mencapai maksimum lokal di () naik pada atau 7 () mencapai minimum lokal di 7 () turun pada 7 Y y f ' O 7 X Solusi: [E] Titik maksimum atau minimum pada saat f. ' 0 Dari fungsi turunan y f ' tersebut dapat diketaui bawa pada dan 7. Fungsi f dikatakan naik jika seperti gambar f ' 0 tercapai f ' 0( f ' bernilai positif) dan fungsi f dikatakan turun jika f ' bernilai negatif) f ' 0( Fungsi ' f negatif (bagian kurva terletak di bawa sumbu X) berada pada interval 7. Hal ini menunjukkan bawa fungsi f turun pada 7. Fungsi maks f ' positif (bagian kurva terletak di atas sumbu X) berada pada interval atau 7. Hal ini menunjukkan bawa fungsi f naik pada atau 7. () mencapai maksimum lokal di (benar) () naik pada atau 7 (benar) () mencapai minimum lokal di 7 (benar) () turun pada 7 (benar) Semua pernyataan benar. y f min f ' 9 Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

30 50. SIMAK UI Matematika IPA, 06 Jika f, maka pernyataan berikut yang BENAR adala... () f naik anya untuk atau. () f turun untuk. () f terdefinisi anya untuk. () f tidak garis singgung kurva f di. Solusi: [A] f f ' () Fungsi f naik jika f ' 0, seingga 0 0 atau f naik anya untuk atau. () Fungsi f naik jika f ' 0, seingga 0 0 f turun untuk. () f terdefinisi anya untuk. () Tidak mempunyai garis singgung di Pernyataan yang benar adala (), (), dan (). 5. SIMAK UI Matematika IPA 66, 06 Jika f 9 6 terdefinisi pada,, maka... () f selalu turun () f cekung bawa pada, () f tidak perna naik () f cekung atas pada, Solusi: [E] f 9 6 f ' 6 9 f " 6 6 () Fungsi f turun jika f ' 0, seingga Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

31 Karena D 8 0, maka untuk setiap nilai pada domain, selalu memenui memenui pertidaksamaan kuadrat itu. Dengan demikian, pernyataan: f selalu turun adala pernyataan yang bernilai benar. f, seingga () Fungsi f tidak perna naik jika ' Karena D 8 0, maka untuk setiap nilai pada domain, selalu memenui memenui pertidaksamaan kuadrat itu. Dengan demikian, pernyataan: f tidak perna naik adala pernyataan yang bernilai benar. f, seingga () Fungsi f cekung bawa jika " atau ditulis, Dengan demikian, pernyataan: f cekung bawa pada, adala pernyataan bernilai benar. () Fungsi f cekung atas jika " atau ditulis, f, seingga Dengan demikian, pernyataan: f cekung atas pada, adala pernyataan bernilai benar. Jadi, semua pernyataan bernilai benar. 5. SIMAK UI Matematika IPA 7, 06 Diketaui f. Pernyataan berikut yang BENAR adala... () f selalui naik pada daera domainnya. () f tidak perna turun pada daera domainnya, kecuali di dan. () f terdefinisi anya untuk atau. () Persamaan garis singgung kurva f di titik Solusi: [E] f Domain f adala 0atau. f ' () Fungsi f naik jika f ' 0, seingga 0 5, 5 adala y f selalui naik pada daera domainnya. () f tidak perna turun pada daera domainnya, kecuali di dan. () f terdefinisi anya untuk atau. Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

32 () Titik 5, 5 terletak pada kurva f m f ' Persamaan garis singgung (PGS): y y Semua pernyataan benar. 5. SIMAK UI Matematika IPA Kode, 06 Diberikan fungsi f. Pernyataan berikut yang BENAR adala... () f meminliki nilai maksimum di 6 () f meminliki nilai minimum di 7 f () f ' 6 () ' Solusi: [B] f f ' f " Nilai stasioner fungsi f dicapai jika () Karena f 6. () f f ' 0, seingga 8 " 0, maka f meminliki nilai maksimum di ' = tidakdidefinisikan () Karena f. () f 6 6 " 6 0, maka f meminliki nilai minimum di ' = 7 9 Pernyataan yang benar adala () dan (). 5. SIMAK UI Matematika, 07 Jika dan adala... adala akarakar c c 0, maka nilai maksimum, Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI

33 A. B. C. D. E. Solusi: [C] c c c c ' c c c c 0 " 6c Nilai stasioner fungsi dicapai jika ' 0, seingga c c 0 c c Karena " 6 0, maka fungsi mencapai maksimum. ma SIMAK UI Matematika, 07 Jika f sin 5, maka... () f ' 0 f " 0 6 () () f "' 0 f " 0 8 () f f f f "0 f '0 Solusi: [C] f sin 5 f f ' 0 cos f " 9sin 6 8 f " 0 9sin f '" 7 cos 6 f '" 0 7 cos 0 6 ' cos 8 5 () f ' 0 f " (Benar) () () "' 0 " 0 ' 0 5 f "' 0 (Benar) f " 0 8 (Benar) () f f f f "0 8 f ' 0 8 Pernyataan yang benar adala (), (), dan (). "' 0 " 0 ' Semoga bermanfaat... Pibeta 000, Soal dan Solusi Turunan Fungsi, SIMAK UI