LOLLY SMLL RIMNN SUMS FUNGSI TRINTGRL HNSTOK-UNFOR P RUNG ULI Solh Program Stud Matemata Faultas Sas da Matemata UNIP Jl Prof Soedarto, SH Semarag 575, sol_erf@yahoocom BSTRK I ths aer we study Hestoc-uford tegral o the ucldea sace We dscuss some roertes of the tegrable We shall defe locally small Rema sums (LSRS) ad show that t s ecessary ad suffcet codto for fucto to be Hestoc-uford tegral o the ucldea sace Kata Kuc : Hestoc-uford tegral, Locally small Rema sums Pedahulua Itegral Hestoc meruaa geeralsas dar tegral Rema, yag ddefsa berdasara arts Perro -fe Itegral memuat tegral Rema da tegral Lebesque (euvale tegral McShae) [], [7] Itegral Hestoc telah megalam erembaga ba dar seg teor mauu alasya [], [4], [6] ar aa tetag tegral Hestoc baya sfatsfat yag telah duga ba dalam ruag real uclde [5] [], [7] mauu ruag Berbeda dega tegral uford uford medefsa tegralya ada fugs teruur lemah ada ruag real [9] bera X ruag Baach da X ruag dualya Fugs teruur lemah f :[ a, b] X dataa tertegral uford ada [ ab, ] a utu seta X fugs berla real f :[ a, b] tertegral Lebesgue ada [ ab, ] da utu seta [ a, b] hmua teruur terdaat vetor X sehgga f, f, H f H f b a Itegral uford emuda derluas e dalam tegral te Rema, yatu utu seta X fugs berla real f :[ a, b] tertegral Hestoc Itegral damaa tegral Hestoc- uford [3] Itegral es uga telah dgeeralsas e dalam ruag uclde [8] Pembahasaya melut sfat-sfat sederhaa da beberaa teorema eovergea [8] Hasl eelta 7
Solh, Locally Small Rema Sums 7 mead erhata euls utu mega sfat erluasa Harac da erluasa auchy ada eelta sebelumya Berdasara hasl aa tegral Hestoc-uford megea sfat-sfat sederhaa da fugs rmtfya [8], euls aa mega sfat-sfat lebh laut dar tegral Hestoc-uford ada ruag uclde Sfat-sfat dgeeralsas dar tegral Hestoc ada ruag real, yatu sfat Locally small Rema sums fugs tertegral Hestoc eroleh bahwa syarat erlu da cuu suatu fugs tertegral Hestoc adalah memeuh sfat locally small Rema sumsya [7] Metode Peelta Lagah awal dalam eelta adalah mega teor tegral, tegral Hestoc berla real da sfat locally small Rema sumsya, emuda mega tegral Hestoc-uford ada ruag real da tegral Hestoc- uford ada ruag uclde Lagah selautya adalah meggeeralsas sfat locally small Rema sums dar tegral Hestoc e dalam tegral Hestoc- uford ada ruag uclde Kemuda dar hasl aalsa tersebut dsmula dalam betu teorema Hasl da Pembahasa Itegral Hestoc-uford ada Ruag uclde Pada tulsa, dbahas defs tegral Hestoc-uford ada ruag uclde, sfat-sfat sederhaa, da fugs rmtfya megacu ada [8] efs 3 [8] bera X ruag Baach da ada X ruag dualya, volume- da sel Fugs f : X dataa tertegral Hestoc -uford ada a utu seta X fugs f tertegral Hestoc ada da utu seta sel terdaat vetor f,, sehgga H f f,, Vetor f,, X X d atas dsebut la tegral Hestoc-uford fugs f ada da dtuls H f f,, Ja f tertegral Hestoc- uford ada, dtuls f H, Teorema 3 [8] Ja f H(, ) maa f H(, ) utu seta sel baga
7 δlt, Vol, No, Jul 3, hlm 5-99 But : Jelas berdasara defs Teroema 33 (Krtera auchy) Fugs f H, a da haya a utu seta blaga terdaat fugs ostf ada sehgga a sel da, da P Py, masg-masg arts Perro ada berlau -fe f ( ) ( ) P f ( y) ( P) utu seta But: X (Syarat Perlu) etahu f H, Jad utu seta fugs X f tertegral Hestoc ada sel da utu seta sel terdaat vetor f, f,, X sehgga H f bera blaga sebarag da X maa terdaat fugs ostf ada sel sehgga utu seta sel da, da P Py, masg-masg arts Perro -fe ada berlau,, ( ) f ( ) ( ) f da,, ( ) P f ( y) ( P) f ega dema deroleh f ( ) ( ) P f ( y) ( P) f ( ) ( ) ( ) f,, f P f y P,, ( ) ( ) ( ) (Syarat cuu) bera blaga sebarag da X maa terdaat fugs ostf ada sel sehgga utu seta sel da, da Py, P masgmasg arts Perro -fe ada berlau f ( ) ( ) P f ( y) ( P) ambl terdaat ostf ada dega sfat d atas ambl fugs terdaat fugs ostf ada dega da memeuh sfat d atas ostf ambl terdaat fugs ada dega
Solh, Locally Small Rema Sums 73 da memeuh sfat d atas Utu ddefsa S f da ( ) ( ), X dega umlaha dambl atas arts Perro ada fe, ambl sebarag m, dega m, maa utu seta arts Perro m fe ada Perro fe ada Perro meruaa arts batya utu seta arts m fe m, ada da sebarag arts Perro, ada berlau S m m S f f fe ( ) ( ) ( ) ( ) S m S Hal berart S barsa auchy d Karea lega berart utu seta X da d atas terdaat blaga,, ( ) S f sehgga lm S S ega dema utu sebarag blaga d atas terdaat blaga asl da a S S ambl berlau ( ) m ( ), ( ) : eroleh fugs ostf ada Selautya utu seta P P, arts Perro fe ada berlau P f ( ) ( P) S P f ( ) ( P) S S S bera sebarag blaga maa terdaat blaga asl sehgga deroleh Selautya a m, maa Hal berart utu seta X fugs f tertegral Hestoc ada da terdaat vetor sehgga f,, X
74 δlt, Vol, No, Jul 3, hlm 5-99 S H f ( ) f,, ega ata la, f H, efs 33 [8] bera f H(, ) da I ( ) oles semua sel baga d dalam Fugs F : I ( ) X dega rumus F( ) H f f,, da F( ), utu seta I ( ) dsebut fugs rmtf-h fugs f Berdasara efs 33 maa fugs F meruaa fugs adtf dega utu seta maa deroleh F( ) F f,,,,,, f f f,, ( ) ( ) ( ) F F F F ( ) f,, Selautya berdasara efs 3 maa tegral Hestoc-uford ada daat dyataa seert dalam teorema berut bat 35 [8] Ja f H(, ) dega F sebaga rmtf-hya da,,, sel-sel d dalam yag tda salg tumag-tdh da maa f,, F( ) F( ) But : Karea f H(, ) dega F sebaga rmtf-hya, Teorema 36 [8] Fugs f H(, ) a da haya a terdaat fugs adtf F : I ( ) X sehgga utu seta blaga da X terdaat fugs ostf ada sehgga a sel da, arts Perro -fe ada berlau atau f F ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) F( )
Solh, Locally Small Rema Sums 75 Teorema 37 (Lemma Hestoc) Fugs f H(, ) dega fugs rmtf F, yatu utu seta blaga da X terdaat fugs ostf ada sehgga a sel da, arts Perro -fe ada berlau f F ( ) ( ) ( ) maa utu seta umlaha baga dar berlau ( ) ( ) ( ) f F Locally Small Rema Sums Berut aa dtuua syarat erlu da cuu suatu fugs tertegral Hestoc-uford ada sel, yatu memeuh sfat locally small Rema sums terhada ada efs 38 [7] bera X ruag Baach da,sel X ruag dualya, volume, da f : X fugs teruur- Fugs f dataa memuya sfat Locally Small Rema Sums (LSRS) terhada ada sel, dtuls f LSRS, blaga, terdaat fugs ostf, a utu seta X, da sel ada sehgga utu seta y berlau f ( ) ( ) utu seta arts Perro -fe, ada sel B y, ( y) da y Teorema 39 [7] Ja fugs teruur- f H, maa f LSRS, But: etahu fugs teruur- f H, berart utu seta blaga da X terdaat fugs ostf ada sehgga a sel da arts Perro -fe, ada berlau ( ) ( ) ( ) f F dega F rmtf-h ada Utu seta y, dlh sel B y, ( y) sehgga berlau F ( ) Meurut Lemma Hestoc, utu seta y da arts Perro -fe ada B y, ( y) berlau f f F F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
76 δlt, Vol, No, Jul 3, hlm 5-99 Teorema 3 [7] Ja fugs teruur- f LSRS, maa utu seta X terdaat fugs ostf ada sehgga f ( ) ( ) : dega arts Perro fe ada But: utu seta adalah terbatas ada Fugs f LSRS, berart X da sel maa terdaat fugs ostf ada sehgga utu seta y berlau f ( ) ( ) utu seta arts Perro -fe, ada sel B y, ( y) da y betu F B, ( ) : eroleh bahwa F berhgga utu meruaa lut terbua baga Karea oma maa terdaat lut baga berhgga G utu, ataa B, ( ) :,,, F, Utu seta terdaat dega B, ( ) dega rumus betu fugs ostf ada ( ) m d, B, ( ) tt teror B, ( ), batya utu seta terdaat suatu, dega sfat, ( ), ( ) B y y B y da f ( ) ( ) utu seta arts Perro -fe ada sel B y, ( y) maa da Utu seta arts f ( ) ( ) f ( ) ( ) Teorema 3 [7] Ja fugs teruur- f LSRS, maa f H, utu seta sel But: Fugs teruur- f LSRS, maa utu seta blaga, X, da sel
Solh, Locally Small Rema Sums 77 terdaat fugs ostf ada sehgga berlau f ( ) ( ) utu seta arts Perro -fe, ada sel B y, ( y) da y () Ja terdaat y dega B y, ( y) deroleh : Ja y maa utu seta X da dua arts Perro -fe, da, berlau ada f ( ) ( ) f ( ) ( ) Meurut rtera auchy, f H, Ja y maa ada sel G B y, ( y), sehgga y G da G batya utu seta X da dua arts Perro -fe, da, berlau ada G f ( ) ( ) f ( ) ( ) Meurut rtera auchy, f HG, Karea G da f HG, maa f H, () Ja B y, ( y) maa ada fugs ostf ada yag berabat adaya arts erro -fe, y :,,, ada sel Jad f H,,,,, Jad f H, bat 3 [7] Ja fugs teruur- f LSRS, maa f H, utu seta hmua sederhaa Teorema 33 [7] Ja fugs teruur- f But: LSRS, maa f H, etahu fugs teruur- f LSRS, maa utu seta blaga, X, da sel terdaat fugs ostf ada sehgga utu seta y berlau f ( ) ( ) utu seta arts Perro -fe, ada sel B y, ( y) da y Meurut bat d atas, f H, utu seta hmua sederhaa
78 δlt, Vol, No, Jul 3, hlm 5-99 Barsa hmua,, bersfat ega dema utu blaga d atas terdaat blaga ostf dega sfat () Ja, utu seta Karea f H, f H, maa da f H, lh fugs ostf dega ( ) m ( ) :,,, maa utu seta arts Perro -fe Utu seta terdaat fugs ostf dega sfat bahwa utu seta, ada berlau arts Perro -fe ada berlau f ( ) ( ) H f, utu seta dega rumus X defsa fugs ostf m ( ), ( ), d,, ( ) m ( ), ( ), Utu fugs ostf ada da blaga ostf bersfat utu seta,,, dega utu suatu da suatu dega, -fe da berlau ( ) ( ), H f f utu seta X ega dema deroleh f H f ( ) ( ) H f f ( ) ( ) Meurut sfat auchy, f H, () Ja, utu da suatu dega, fe da - maa B, ( )
Solh, Locally Small Rema Sums 79 Meurut Teorema 3 maa f H, batya f H, lh fugs ostf dega sfat ( ) ( ) sehgga utu seta arts Perro berlau -fe, H f f ada ( ) ( ) Smula Berdasara embahasa d mua deroleh esmula bahwa syarat erlu da cuu suatu fugs teruur- tertegral Hestoc-uford ada sel adalah fugs tersebut memuya sfat locally small Rema sums terhada ada Utu eelta selautya daat da megea sfat globally, fuctoally, da essetally small Rema sums fugs tertegral Hestoc-uford ada ruag uclde utu seta X beserta alasya ega dema deroleh f H f ( ) ( ) H f f ( ) ( ) Meurut sfat auchy, f H, bat 34 [7] Fugs teruur- f LSRS, a da haya a f H, aftar Pustaa Boccuto,, Svortsov, V, 4, Hestoc-Kurzwel Tye Itegrato of Resz-Sace-Valued Fuctos ad lcatos to Walsh Seres, Real alyss chage, 9(): 49-439 Gordo, R, 994, The Itegral of lebesgue, eoy, Perro, ad Hestoc, US: Mathematcal Socety Guou, Ye, Taqg,,, O Hestoc-uford ad Hestoc- Petts Itegrals, IJMMS, 5(7): 467-478 Hela, S,, Mootoe overgece Theorems for Hestoc-Kurzwel Itegrable Fuctos ad lcatos, Joural of Mathematcal alyss ad lcatos, 377(): 86-95 Idrat, h R,, Itegral Hestoc- Kurzwel d dalam Ruag uclde Berdmes-, sertas,
8 δlt, Vol, No, Jul 3, hlm 5-99 Ygyaarta: Uverstas Gadah Mada Idrat, hr, Surodo, Bud,, las Itegral Hestoc- Kurzwel ada Meda Vetor, Yogyaarta: Lembaga Peelta UGM Lee PY, 989, Lazhou Lectures o Hestoc Itegrato, Sgaore: World Scetfc Safullah, 3, Itegral Hestoc- uford ada Ruag uclde, Tess, Yogyaarta: Uverstas Gadah Mada Schwab, S, Guou, Ye, 4, Tocs Baach Sace Itegrato, Mauscr Prearato