SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS

Transkripsi

1 Bulet Ilmah Mat. Stat. da Terapaya (Bmaster) Volume 03, No. 2(204), hal SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS Suhard, Helm, Yudar INTISARI Fugs terbatas merupaka fugs yag memlk batas atas da batas bawah. Terdapat kaja lajut tetag fugs terbatas yatu fugs bervaras terbatas. Peelta megkaj defs fugs bervaras terbatas da hubuga fugs bervaras terbatas dega fugs terbatas, fugs mooto serta sfat-sfat fugs bervaras terbatas. Suatu fugs f dkataka bervaras terbatas jka jumlaha selsh la fugs dar koleks parts pada suatu terval [a,b] lebh kecl atau sama dega sebarag blaga real postf M. Fugs bervaras terbatas berhubuga dega fugs terbatas da fugs mooto. Sela tu sfatsfat fugs bervaras terbatas yatu hmpua fugs bervaras terbatas pada [a,b] bersfat lear terhadap perkala dega suatu kostata, pejumlaha, peguraga, pembaga da perkala. Jka fugs f bervaras terbatas pada [a,b] maka f bervaras terbatas juga pada subset [a,b]. Jka fugs f bervaras terbatas pada [a,c] da [c,b] maka fugs f bervaras terbatas pada [a,b]. Kata kuc : Iterval, fugs terbatas, fugs bervaras terbatas PENDAHULUAN Salah satu teor dasar yag mejad pembahasa dalam aalss matematka yatu fugs. Suatu fugs dar hmpua ke hmpua, dega A da B merupaka dua hmpua tak kosog adalah pemetaa yag memeuh syarat setap aggota hmpua mempuya tepat satu kawa ke hmpua. Fugs dar hmpua ke hmpua B tersebut dotaska dega []. Kaja tetag fugs terus berkembag serg dega bayakya peelta-peelta yag dlakuka oleh para matematkawa. Salah satu fugs yag dkembagka oleh para matematkawa adalah tetag fugs terbatas. Msal dberka suatu fugs [ ], fugs dkataka terbatas jka fugs tersebut memlk batas atas da batas bawah dega kata la suatu fugs dkataka terbatas jka terdapat sedemka sehgga f x M utuk setap [ ] []. Matematkawa yag megembagka kaja tetag fugs terbatas yatu Camlle Jorda (88). Camlle Jorda megealka kaja tetag sfat-sfat lajut dar fugs terbatas d yatu fugs bervaras terbatas (Bouded Varato Fucto) da fugs terbatas merupaka dasar dar kaja tetag fugs bervaras terbatas. Fugs bervaras terbatas merupaka jumlaha dar selsh-selsh la fugs pada setap parts d suatu terval. Oleh karea tu dalam peelta dkaj defs fugs bervaras terbatas da hubuga fugs bervaras terbatas dega fugs terbatas, fugs mooto serta sfat-sfat fugs bervaras terbatas. FUNGSI BERVARIASI TERBATAS Dketahu bahwa terval tertutup merupaka hmpua baga dar real yag bersfat jka dega dega, maka [ ]. Pada blaga real dapat dbetuk bayak terval sedemka sehgga terval-terval tersebut ada yag tumpag tdh. Msal dberka terval da dega, terval-terval tersebut dkataka tdak tumpag tdh jka terdapat sebayak bayakya satu ttk []. Iterval [ ] dapat dparts mejad sub terval. Parts dar suatu terval ddefska dega Defs [] Parts dar terval [ ] adalah koleks { } tdak salg tumpag tdh yag gabugaya adalah terval [ ]. Parts [ ] ke- dar koleks dapat juga dotaska dega [ ], dega a x x2 x3 x x b. 35

2 36 SUHARDI, HELMI, YUNDARI Fugs bervaras terbatas merupaka jumlaha fugs-fugs dar setap koleks parts pada suatu terval tertutup yag terbatas atau dega kata la jumlaha dar fugs-fugs tersebut lebh kecl atau sama dega sebarag blaga real postf M. Hal sebagamaa yag ddefska pada defs 2 berkut. Defs 2 [2] Dberka suatu fugs [ ] f dkataka bervaras terbatas jka terdapat sehgga utuk setap koleks {[ ] } d dalam [ ] dega, utuk setap yag tdak tumpag tdh berlaku f b f a M. Koleks semua fugs yag bervaras terbatas pada [ ] dotaska dega [ ]. Cotoh Dberka [ ] yag ddefska dega ( ) utuk setap [ ], tujuka fugs bervaras terbatas pada [ ]. Aka dtujuka fugs bervaras terbatas pada [ ]. Msal dambl koleks {[ ] } pada terval [ ] dega parts, utuk setap berlaku utuk ( )... f b f a f b f a f b f a f b f a 2 2, maka f a f b f a 2 f b2 f a3... f b f a f b f a f b f b f a f b f a f b f a f 0 0 f Karea utuk koleks {[ ] } d dalam [ ] dega parts, da dega megambl dperoleh dsmpulka bahwa fugs bervaras terbatas pada [ ]. SIFAT-SIFAT DARI FUNGSI BERVARIASI TERBATAS f b f a M, sehgga dapat Dberka suatu fugs bervaras terbatas pada suatu terval [ ] maka fugs tersebut merupaka fugs terbatas. Sebagamaa yag djelaska pada Teorema 3 berkut. Teorema 3 [3] Dberka suatu fugs [ ] bervaras terbatas pada [ ], maka terbatas pada [ ]. Bukt Dketahu merupaka fugs bervaras terbatas pada [ ], berdasarka Defs 2, da aka dtujukka fugs f terbatas yatu terdapat yag memeuh sfat ( ), utuk setap [ ]. Akbatya utuk setap x a, b, da berdasarka ketaksamaa segtga maka

3 Sfat-Sfat Lajut Fugs Terbatas 37 sehgga f b f a f b f a f x f x M f x f a f b f x M f x f a f x f a f b f x M f x f a M dega megguaka ketaksamaa segtga berlaku Msal dplh f x f a M f x f a f x f a M f x f a M M f a M, sehgga ( ), dega demka dapat dsmpulka bahwa utuk setap fugs yag bervaras terbatas pada [ ] past terbatas pada [ ]. Kovers dar Teorema 3 tdak berlaku yatu jka suatu fugs terbatas pada [ ] maka belum tetu fugs tersebut bervaras terbatas pada [ ]. Msal dberka fugs mooto pada terval [ ], Sedemka sehgga fugs tersebut bervaras terbatas pada [ ]. Sebagamaa yag djelaska pada Teorema 4 berkut. Teorema 4 [4] Dberka fugs mooto pada terval [ ], maka bervaras terbatas pada [ ]. Bukt Dketahu fugs mooto terbag mejad dua yatu fugs mooto ak da fugs mooto turu. Suatu fugs mooto ak pada [ ], jka utuk setap [ ] dega, berlaku ( ) ( ) da berdasarka Defs 2, maka... f b f a f b f a f b f a f b f a f a f b f a f b f a f b f a f b Karea koleks {[ ] } d dalam [ ] dega, utuk setap da dega megambl M f b f a f b f a M sedemka sehgga dperoleh sehgga dapat dsmpulka bahwa jka suatu fugs mooto ak pada [ ] maka fugs bervaras terbatas pada [ ]. Jka fugs mooto turu pada [ ], jka utuk setap [ ] dega, berlaku ( ) ( ) da berdasarka defs 2, maka f b f a f a f b f b f a f b f a f b f a f b f a f b f a f b f a f b f a

4 38 SUHARDI, HELMI, YUNDARI Karea utuk koleks {[ ] } d dalam [ ] dega, utuk setap da dega megambl M f a f b f b f a M sedemka sehgga dperoleh sehgga dapat dsmpulka bahwa jka suatu fugs mooto turu pada [ ] maka fugs bervaras terbatas pada [ ]. Karea fugs mooto ak da mooto turu pada terval [ ] bervaras terbatas, sehgga dapat dsmpulka bahwa fugs mooto pada [ ] bervaras terbatas pada [ ]. Suatu fugs yag bervaras terbatas pada [ ] maka jka dkalka dega suatu kostata, djumlahka dua fugs BV, peguraga dua fugs BV, pembaga da perkala dua fugs BV. Maka fugs tersebut tetap bervaras terbatas pada [ ]. Hal sebagamaa yag djelaska pada teorema 5 berkut. Teorema 5 [3] Dberka dua fugs f da g bervaras terbatas pada terval [ suatu kostata. Maka. adalah bervaras terbatas pada [ ]. f g da f g adalah bervaras terbatas pada [ ]. fg adalah bervaras terbatas pada [ ] ] da dberka v. Jka g terbatas pada [ ], maka f g adalah bervaras terbatas pada [ ]. Bukt Dketahu fugs bervaras terbatas pada [ ] berdasarka Defs 2 berlaku f b f a M () Fugs bervaras terbatas pada [ ] berdasara Defs 2 berlaku 2 g b g a M (2) Pada peelt aka dbuktka Teorema 5 baga da, karea utuk pembukta da v dapat megguakak cara yag sama dega baga da.. Aka dbuktka f g da f g bervaras terbatas pada [ ], aka dbuktka f g bervaras terbatas [ ], aka dcar sedemka sehgga f g b f g a M, maka f g b f g a f b g b f a g a f b f a g b g a f b f a g b g a Berdasarka () da (2) maka f g b f g a M M 2.

5 Sfat-Sfat Lajut Fugs Terbatas 39 Karea utuk koleks {[ ] } d dalam [ ] dega, utuk setap da dega megambl M M M2 sehgga dperoleh f g b f g a M M 2 M maka dapat dsmpulka bahwa f g bervaras terbatas pada [ ]. Kemuda utuk membuktka f g bervaras terbatas pada [ ] megguaka cara yag sama dega cara membuktka f g bervaras terbatas pada [ ].. Aka dbuktka fg bervaras terbatas pada [ ], aka dcar sedemka sehgga fg b fg a M, maka f b g b f a g a fg b fg a f b g b f a g a f b g b f b g b f b g b f a g a f b g b f b g b f b g b f a g a f b g b f a g a Karea utuk koleks {[ ] } d dalam [ ] dega, utuk setap da dega megambl M f b m, m f a 2 a a, b fg b fg a terbatas pada [ ]. M g b m g a max, b a, b max da m sedemka sehgga b a, b a a, b 3 4 M M m m M maka dapat dsmpulka bahwa fg bervaras Msal dberka dua terval [ ] da [ ] [ ]. Jka fugs bervaras terbatas pada terval [ ] maka fugs tersebut bervaras terbatas pada terval [ ]. Hal sepert yag djelaska pada Teorema 6 berkut. Teorema 6 [2] Dberka suatu fugs [ ] yag bervaras terbatas pada [ ], maka fugs bervaras terbatas pada [ ] utuk sebarag [ ] [ ]. Bukt Dketahu fugs merupaka fugs bervaras terbatas, berdasarka Defs 2 da dketahu [ ] [ ]. Aka dtujuka fugs bervaras terbatas pada [ ]. Msal dambl koleks {[ ] } d dalam [ ] dega, utuk setap, maka... f d f c f d f c f d f c f d f c 2 2

6 40 SUHARDI, HELMI, YUNDARI f c f d f c f d f c f d f c f c f d f c f d f c f d f c f d f d karea utuk koleks {[ ] } d dalam [ ] dega da dega megambl M f d f c dperoleh dsmpulka bahwa fugs bervaras terbatas pada [ ]. f d f c M sehgga dapat Dketahu suatu fugs bervaras terbatas pada terval [ ], [ ] da [ ] dega [ ], sedemka sehgga fugs bervaras terbatas pada [ ] da [ ] maka fugs juga bervaras terbatas pada [ ]. Sebagamaa yag djelaska pada Teorema 7 berkut. Teorema 7 [5] Jka fugs bervaras terbatas pada [ ] da fugs bervaras terbatas pada [ ] maka bervaras terbatas pada [ ]. Bukt Dketahu fugs bervaras terbatas pada [ ] da [ ], berdasarka defs 2 berlaku f c f a M da f b f c M maka f b f a f c f a f b f c... f c f a f c f a f c f a 2 2 f b f c f b2 f c2... f b f c f c f a f b f c karea utuk koleks {[ ] } d dalam [ ] dega, utuk setap da dega megambl M f c f a kemuda utuk koleks {[ ] } d dalam [ ] dega parts, utuk setap da dega megambl M f b f c dperoleh 2 f b f a f c f a f b f c M M 2 dega megambl M M M2 bervaras terbatas [ ]. maka f b f a M sehgga dapat dsmpulka fugs Meurut Defs 2 suatu fugs yag bervaras terbatas pada [ ] maka f b f a f a dega f b f b f a M sedemka sehgga dar suatu fugs bervaras, terbatas tersebut dperoleh dua fugs mooto yag berbeda yatu f b da f a. Sebagamaa

7 Sfat-Sfat Lajut Fugs Terbatas 4 yag djelaska pada Teorema 8 berkut. Teorema 8 [2] Dberka fugs [ ] adalah bervaras terbatas jka da haya jka terdapat fugs mooto ak da sedemka sehgga. Sebelum membuktka teorema perlu dbahas tetag lemma yag berkata dega fugs mooto ak yag bervaras terbatas. Lemma 9 Fugs bervaras terbatas pada [ ] da [ ] sedemka sehgga f x f x f a Bukt Ambl sebarag x, x a, b, adalah fugs mooto ak. 2 dega x x2 f x fugs bervaras terbatas pada [ ], berdasarka Defs 2 da Teorema 7 maka. Aka d tujuka bahwa f x 2 2 f x f a f x f a f x f x f x f a f x f a f x f x 2 2 f x f x f x f x karea Berdasarka Teorema 6 f x2 f x M atau dega kata la bervaras terbatas pada x, x 2 da berdasarka Teorema 4 maka f x f x fugs mooto ak. Bukt Teorema 8. Sehgga dapat dsmpulka 2 f x merupaka Meurut defs fugs mooto ak pada [ ], jka utuk setap [ ] dega, maka berlaku ( ) ( ). Ddefska f f x f a utuk ( ] da ( ). Meurut lemma, merupaka fugs mooto ak. Kemuda ddefska juga ( ) ( ) ( ) Msalka. Berdasarka Defs 2 dapat dtulska kemuda f y f x f y f x f x f y f y f x karea f y f x ak. 2 2 f y f x f y f x f y f x f y f y f x f x 2 2 maka dapat dsmpulka bahwa fugs tersebut merupaka fugs mooto

8 42 SUHARDI, HELMI, YUNDARI PENUTUP Suatu fugs [ ] dkataka bervaras terbatas jka jumlaha dar selsh la fugs dar setap koleks parts pada [ ] terbatas atau terdapat sehgga utuk setap koleks {[ ] } d dalam [ ] dega, utuk setap yag tdak tumpag tdh berlaku f b f a M. Sfat-sfat fugs bervaras terbatas sebaga berkut: a. Jka suatu fugs yag bervaras terbatas pada suatu terval [ ], maka fugs tersebut merupaka fugs terbatas pada [ ]. b. Jka suatu fugs mooto pada terval [ ], maka fugs tersebut bervaras terbatas pada [ ] c. Suatu fugs yag bervaras terbatas pada [ ] tertutup terhadap perkala dega suatu kostata, pejumlaha, peguraga, pembaga da perkala. d. Jka fugs bervaras terbatas pada [ ], maka fugs tersebut bervaras terbatas pada subset [ ]. e. Jka fugs bervaras terbatas pada [ ] da [ ] maka fugs bervaras terbatas pada [ ]. f. Jka suatu fugs bervaras terbatas pada [ ] maka meurut defs f b f a f a f b, sedemka sehgga dar suatu fugs bervaras terbatas tersebut dperoleh f a. dua fugs mooto yatu f b da DAFTAR PUSTAKA []. Bartle, Robert G. da Sherbert, Doald R Itroducto to Real Aalyss. Thrd Edto. Joh Wley ad Sos, Ic. Uted States of Amerca [2]. Gordo, Russell A The tegrals of Lebesgue, Dejoy, Perro, ad Hestock. Amerca Mathematcal Socety. Uted States of Amerca [3]. Joes, Frak Lebesgue Itegrato o Eucldea Space. Joes ad Bartlett Publshers, Ic. Uted States of Amerca [4]. Dshalalow J.H Real aalyss a troducto to the theory of real fuctos ad tegrato. CRC Press LLC. Florda [5]. Protter, Murray H Basc elemets of real aalyss. Sprger-Verlag New York, Ic. Uted States of Amerca SUHARDI HELMI YUNDARI : Jurusa Matematka FMIPA UNTAN, Potaak, mathhard@gmal.com : Jurusa Matematka FMIPA UNTAN, Potaak, helm32205@yahoo.co.d : Jurusa Matematka FMIPA UNTAN, Potaak, yuedha@yahoo.com.