Functionally Small Riemann Sums Fungsi Terintegral Henstock-Dunford pada [a,b]

Transkripsi

1 Jural Sas da Matemata Vol (3): () Fuctoally Small Rema Sums Fugs Tertegral Hestoc-uford ada [a,b] Solh, Sumato, St Khabbah 3,,3 Program Stud Matemata, FSM UNIP Jl Prof Soedarto, SH Semarag, 575 E-mal: BSTRCT I ths aer we study Hestoc-uford tegral o [a,b] We dscuss some roertes of the tegrable We shall defe fuctoally small Rema sums (FSRS) ad show that t s ecessary ad suffcet codto for fucto to be Hestoc-uford tegral o [a,b] Keywords: Hestoc-uford tegral, Fuctoally small Rema sums PENHULUN Itegral Hestoc meruaa geeralsas dar tegral Rema, yag ddefsa berdasara arts Perro -fe Itegral memuat tegral Rema da tegral Lebesque (euvale tegral McShae) [], [7] Itegral Hestoc telah megalam erembaga ba dar seg teor mauu alasya [], [4], [6] ar aja tetag tegral Hestoc baya sfat-sfat yag telah duga ba dalam ruag real R [], [7] mauu ruag Euclde R [5] Berbeda dega tegral uford uford medefsa tegralya ada fugs teruur lemah ada ruag real R [9] bera X ruag Baach da X ruag dualya Fugs teruur lemah f :[ a, b] X dataa tertegral uford ada [ ab, ] ja utu seta X fugs berla real f :[ a, b] R tertegral Lebesgue ada [ ab, ] da utu seta [ a, b] hmua teruur terdaat vetor X sehgga f, f, H f H f Itegral uford emuda derluas e dalam tegral te Rema, yatu utu seta X fugs berla real f :[ a, b] R tertegral Hestoc Itegral damaa tegral Hestoc-uford [3] Itegral jes juga b a R telah dgeeralsas e dalam ruag Euclde [8] Berdasara hasl aja tegral Hestoc- uford megea sfat-sfat sederhaa da fugs rmtfya [3], euls aa megaj sfat-sfat lebh lajut dar tegral Hestoc- uford ada ruag R Sfat-sfat dgeeralsas dar tegral Hestoc ada ruag real R, yatu sfat Fuctoally small Rema sums fugs tertegral Hestoc eroleh bahwa syarat erlu da cuu suatu fugs tertegral Hestoc adalah memeuh sfat fuctoally small Rema sumsya [7] Itegral Hestoc-uford ada [a,b] Pada tulsa, dbahas defs tegral Hestoc-uford ada [ ab, ], sfat-sfat sederhaa, da fugs rmtfya megacu ada [3] efs [3] bera X ruag Baach da X ruag dualya, serta terval tertutu [ a, b] R Fugs f :[ a, b] X dataa tertegral Hestoc-uford ada [ ab, ] ja utu seta X fugs f :[ a, b] R tertegral Hestoc ada [ ab, ] da utu seta terval tertutu [ a, b] terdaat vetor X f, sehgga H f ( ) f, 58

2 Jural Sas da Matemata Vol (3): () Selajutya vetor f, X d atas dsebut la tegral Hestoc-uford ada da dtuls H f f, Ja f tertegral Hestoc-uford ada [ ab, ], dtuls f H[ a, b] Teorema [3] Ja f H[ a, b] maa vetor X ada efs adalah tuggal f, But: bera sebarag terval tertutu [ a, b] daa terdaat vetor f, X da X maa f, H f ( ), da f H f ( ), f Oleh area tu ( ) ( ) H f H f f f,, Jad f, f,, X Teorema 3 [3] Ja f H[ a, b] maa f H( ) utu seta terval tertutu baga [ a, b] But : Jelas meurut defs Teroema 4 [7] (Krtera Cauchy) Fugs f H[ a, b] ja da haya ja utu seta blaga terdaat fugs ostf ada [ ab, ] sehgga ja [ a, b] terval tertutu da, da Py, P masgmasg arts Perro -fe ada berlau f ( ) ( ) P f ( y) ( P) utu seta X But: (Syarat Perlu) etahu f H[ a, b] Jad utu seta X fugs f tertegral Hestoc ada [ ab, ] da utu seta terval tertutu [ a, b] terdaat vetor f, X sehgga ( ) H f f, bera blaga sebarag da X maa terdaat fugs ostf ada [ ab, ] sehgga utu terval tertutu [ a, b] da, da Py, P masg-masg arts Perro -fe ada berlau, ( ) f ( ) ( ) f da, ( ) P f ( y) ( P) f ega dema deroleh f ( ) ( ) P f ( y) ( P) f ( ) ( ) ( ) f,, ( ) P f ( y) ( P) f (Syarat cuu) bera blaga sebarag da X maa terdaat fugs ostf ada [ ab, ] sehgga utu terval tertutu [ a, b] da, da P Py, masg-masg arts Perro - fe ada berlau f ( ) ( ) P f ( y) ( P) ambl terdaat fugs ostf ada [ ab, ] dega sfat d atas ambl terdaat fugs ostf ada [ ab, ] dega da memeuh sfat d atas ambl terdaat fugs ostf ada [ ab, ] dega da memeuh sfat d atas Utu N da X ddefsa S f ( ) ( ), 59

3 Jural Sas da Matemata Vol (3): () dega jumlaha dambl atas arts Perro fe, ada ambl sebarag m, N dega m, maa utu seta arts Perro m fe ada meruaa arts Perro fe ada batya utu seta arts Perro m fe, ada da sebarag arts m fe, Perro S m S ada berlau m f f bera sebarag blaga maa terdaat blaga asl sehgga ( ) ( ) ( ) ( ) Selajutya ja m, maa deroleh Sm S Hal berart S barsa Cauchy d R Karea R lega berart utu seta X da [ a, b] d atas terdaat blaga ( ) S R sehgga lm S, S f ega dema utu sebarag blaga d atas terdaat blaga asl da ja berlau S S ambl ( ) m ( ), ( ): [ a, b ] eroleh fugs ostf ada [ ab, ] Selajutya utu seta P, Perro -fe ada berlau P f ( ) ( P) S P arts P f ( ) ( P) S S S Hal berart utu seta X fugs f tertegral Hestoc ada [ ab, ] da terdaat vetor X sehgga f, S H f ( ) f, ega ata la, f H[ a, b] efs 5 [3] bera f H[ a, b] da I ( E) oles semua terval tertutu d dalam [ ab, ] Fugs F : I ( E) X dega rumus F( ) f, H f da F( ), utu seta I ( E) dsebut fugs rmtf-h fugs f Berdasara efs 5 maa fugs F meruaa fugs adtf bat 6 Ja f H[ a, b] dega F sebaga rmtf-hya da E, E,, E tervalterval terttutu d dalam [ ab, ] yag tda salg tumag-tdh da [ a, b] E maa f, E F([ a, b]) F( E ) But : Karea f H( E, ) dega F sebaga rmtf-hya, E E dega utu seta j maa deroleh F( E) F E f, E,,,,, f E f E f, E, F( E) F( E) F( E ) FE ( ) f, E, E E j 6

4 Jural Sas da Matemata Vol (3): () Selajutya berdasara efs maa tegral Hestoc-uford ada [ ab, ] daat dyataa seert dalam teorema berut Teorema 7 [7] Fugs f H[ a, b] ja da haya ja terdaat fugs adtf F ada [ ab, ] sehgga utu seta blaga da X terdaat fugs ostf ada [ ab, ] da ja [ a, b] terval tertutu da, arts Perro -fe ada berlau f ( ) ( ) F( ) atau ( ) ( ) ( ) f F Teorema 8 [7] (Lemma Hestoc) Fugs f H[ a, b] dega fugs rmtf F, yatu utu seta blaga da X terdaat fugs ostf ada [ ab, ] sehgga ja E terval tertutu da, arts Perro -fe ada berlau f ( ) ( ) F( ) maa utu seta jumlaha baga berlau ( ) ( ) ( ) f F dar Fuctoally Small Rema Sums Berut aa dtujua bahwa syarat erlu da cuu suatu fugs tertegral Hestoc- uford ada [a,b], yatu memeuh sfat fuctoally small Rema sums ada [a,b] Pembahasa Fuctoally Small Rema Sums (FSRS) ada tegral Hestoc-uford data dega fugs o egatf yag tertegral Lebesgue ada [ ab, ] Teorema 9 Ja fugs f tertegral Hestoc- uford ada [ ab, ] maa ada barsa hmua tertutu E, E E,[ a, b] E da f tertegral Lebesgue ada E utu seta But : Karea f H[ a, b] maa ada fugs rmtf F ada [ ab, ] aat dtujua bahwa F otu ada [ ab, ], lebh lajut F CG ega dema terdaat barsa tertutu E dega [ a, b] E da F C E utu seta batya F C E Jad f BV E utu seta utu seta ega dema, F '( ) f ( ) hamr dmaamaa ada E utu seta Jad f tertegral Lebesgue ada E utu seta efs bera f :[ a, b] X fugs teruur ada [ ab, ] Fugs f dataa memuya sfat fuctoally small Rema sums ada [ ab, ], dtuls f FSRS[ a, b], ja utu seta blaga, X, da terval tertutu [ a, b] terdaat fugs o egatf g yag tertegral Lebesgue ada [ ab, ] da fugs ostf ada [ ab, ] sehgga ja, berlau arts Perro -fe ada f ( ) ( ) f ( ) g ( ) Teorema Ja fugs f FSRS[ a, b] maa f H[ a, b] But: etahu f FSRS[ a, b] berart utu seta blaga, X, da terval tertutu [ a, b] terdaat fugs o egatf g yag tertegral Lebesgue ada [ ab, ] da fugs ostf ada [, ] ab sehgga ja, arts Perro -fe ada berlau f ( ) ( ) f ( ) g ( ) defsa f ( ), [ a, b], h( ) f ( ) g( ), yag la 6

5 Jural Sas da Matemata Vol (3): () eroleh bahwa fugs h teruur da terdomas oleh g ada [ ab, ] Karea g tertegral Lebesgue ada [ ab, ], maa fugs h tertegral Hestoc-uford mutla sehgga terdaat fugs ostf ada [ ab, ] dega sfat utu seta da dua arts Perro - fe ada berlau h( ) ( ) h( ) ( ) 4 ambl ( ) m ( ), ( ) batya, utu sebarag P da Q arts Perro -fe ada berlau P f Q f P Q ( ) ( ) ( ) ( ) P Q f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) f f ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 P h( ) ( ) Q h( ) ( ) Meurut rtera Cauchy, f H[ a, b] Teorema Ja f H[ a, b] maa f FSRS[ a, b] But: etahu f H[ a, b] maa utu seta X, f teruur ada [ ab, ] Meurut Teorema 9 terdaat barsa hmua tertutu E dega E E, [ a, b] E da f tertegral Lebesgue ada E utu seta defsa f ( ), E f ( ), yag la Utu seta deroleh f H[ a, b] Hal berart utu seta blaga, X, da terval tertutu [ a, b] ada blaga asl sehgga ja berlau H f H f E 3 Utu seta N terdaat fugs ostf ada [ ab, ] sehgga utu seta arts Perro -fe ada berlau f ( ) ( ) H f 3 utu seta X, da terval tertutu [ a, b] Karea fugs f H[ a, b] maa terdaat fugs ostf ada [ ab, ] sehgga ja arts Perro -fe ada berlau utu seta [ a, b] etahu fugs eroleh 3 f ( ) ( ) H f [ ab, ] X, da terval tertutu g dega g f ( ) ( ) g o egatf da teruur ada [ ab, ], sehgga g tertegral Lebesgue ada [ ab, ] Kemuda dambl ( ) m ( ), ( ) eroleh fugs ostf ada [ ab, ] ega dema, utu sebarag arts Perro -fe ada berlau f ( ) g ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) g( ) f ( ) ( ) H f f H f ( ) ( ) 6

6 Jural Sas da Matemata Vol (3): () H f f ( ) ( ) E H g g( ) ( ) Jad f FSRS[ a, b] bat 3 Fugs f FSRS[ a, b] ja da haya ja f H[ a, b] But: Meurut Teorema da Teorema [8] Safullah 3, Itegral Hestoc-uford ada Ruag Euclde, Tess, Uverstas Gadjah Mada, Yogyaarta [9] Schwab, S, Guoju, Ye 4, Tocs Baach Sace Itegrato, Mauscr Prearato UCPN TERIM KSIH Peuls megucaa terma ash eada Faultas Sas da Matemata Uverstas oegoro yag telah membera daa utu eelta PENUTUP Berdasara embahasa d atas deroleh esmula bahwa syarat erlu da cuu suatu fugs teruur tertegral Hestoc-uford ada [a,b] adalah fugs tersebut bersfat fuctoally small Rema sums ada [a,b] FTR PUSTK [] Boccuto,, Svortsov, V 4, Hestoc-Kurzwel Tye Itegrato of Resz-Sace-Valued Fuctos ad lcatos to Walsh Seres, Real alyss Echage, 9(): [] Gordo, R 994, The Itegral of lebesgue, ejoy, Perro, ad Hestoc, Mathematcal Socety, US [3] Guoju, Ye, Taqg,, O Hestoc-uford ad Hestoc-Petts Itegrals, IJMMS, 5(7): [4] Hela, S, Mootoe Covergece Theorems for Hestoc-Kurzwel Itegrable Fuctos ad lcatos, Joural of Mathematcal alyss ad lcatos, 377(): [5] Idrat, Ch R, Itegral Hestoc- Kurzwel d dalam Ruag Euclde Berdmes-, sertas, Uverstas Gadjah Mada, Yogyaarta [6] Idrat, ChR, Surodjo, Bud, las Itegral Hestoc-Kurzwel ada Meda Vetor, Lembaga Peelta UGM, Yogyaarta [7] Lee PY 989, Lazhou Lectures o Hestoc Itegrato, World Scetfc, Sgaore 63