BAB II KAJIAN TEORI. tertentu (Martono, 1999). Sistem bilangan real dinotasikan dengan R. Untuk

Transkripsi

1 5 BAB II KAJIAN TEOI A. Sstem Blaga eal Sstem blaga real adalah hmpua blaga real ag dserta dega operas pejumlaha da perala sehgga memeuh asoma tertetu (Martoo, 999). Sstem blaga real dotasa dega. Utu lebh lajut aa dmula dega megagat sat dasar dar blaga real. Des II.A. Sstem blaga real adalah suatu sstem aljabar ag terhadap operas jumlaha (+) da operas perala (. ) mempua sat sat sebaga berut. merupaa grup omutat terhadap operas jumlaha (+). 0 merupaa grup omutat terhadap operas perala (. ). Utu setap,, z berlau.( z).. z Des II.A. Harga mutla (Darmawjaa, 006) dtuls da ddesa sebaga berut: =, 0, < 0. Utu setap blaga real berlau a. 0 b. 5 Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

2 6 c. d.. Utu setap blaga real da berlau a. b.. Ja 0 a, maa a. a a a a b. a a atau a a 4. Ketasamaa segtga. Utu setap blaga real da berlau a. b. c. d. 5. Utu setap blaga real da berlau a. b. 0, (Martoo, 999) Cotoh: Ja, buta 5 4 Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

3 7 Peelesaa: Karea peebut betu pecahaa det post dega 4, maa 4. I megabata 4 4 Utu, dtetua batas dar. 4 Dega megguaa sat la mutla da pertasamaa, dperoleh Dega megguaa hasl d atas, Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

4 8 B. Hmpua Hmpua merupaa osep dasar dar semua cabag matemata. Setap cabag matemata berata erat da termasu d dalam (mejad baga) teor hmpua. Pada baga aa dbahas megea hmpua terbatas, hmpua blaga real, serta hmpua terbua da tertutup. Hmpua adalah umpula obe ag mempua sarat tertetu da jelas. Obe obe dalam umpula tu dapat berupa beda ort atau beda abstra, sepert: blaga, abjad, orag, suga, egara. Obe obe dsebut aggota atau eleme dar hmpua tu. (Theresa, 989) Cotoh: a. Kumpula orag aa Kumpula bua suatu hmpua. Tetap umpula orag ag eaaaa melebh satu trlu rupah adalah suatu hmpua. b. Kumpula egara egara Asa Teggara Kumpula merupaa suatu hmpua.. Hmpua Terbatas D bawah aa dbahas lebh lajut megea des uruta, hmpua terurut da hmpua terbatas. Des II.B.. Dbera hmpua S. Suatu uruta pada hmpua S adalah suatu relas, ag dataa dega <, dega dua sat berut: Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

5 9. Ja S da S maa satu da haa satu datara tga perataa berut ag bear atau atau. Ja,, z S, da ja da z, maa z Des II.B.. (Soematr, 000) Ja pada suatu hmpua S telah ddesa suatu uruta, maa S damaa hmpua terurut. Des II.B.. (Soematr, 000) a. Hmpua A da A dataa terbatas e atas (upper boud) ja ada blaga ata sehgga berlau a, utu setap a A; dsebut batas atas (upper boud) hmpua A. b. Hmpua A da A dataa terbatas e bawah (lower boud) ja ada blaga ata l sehgga berlau l a, utu setap a A; l dsebut batas bawah (lower boud) hmpua A. c. Hmpua A da A dataa terbatas (bouded) ja A Cotoh: terbatas e atas da terbatas e bawah. A dega A,4,5,7,8 Apaah A terbatas? (Darmawjaa, 006) Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

6 0 Peelesaa: Gambar II. Aggota Hmpua A p 8 A, 8 A terbatas e atas. 8 merupaa batas atas A. q A, A terbatas e bawah. merupaa batas bawah A. A terbatas. Des II.B..4 Ja S suatu hmpua terurut, da A S. Hmpua A terbatas e atas da terdapat suatu eleme berut a. p adalah suatu batas atas A p S ag memeuh sat sat b. ja u < p maa u bua batas atas A maa eleme p dsebut batas atas terecl atau supremum hmpua A da dbera otas p SupA (Soematr, 000) Des II.B..5 Ja S suatu hmpua terurut, da A S. Hmpua A terbatas e bawah da terdapat suatu eleme berut: q S ag memeuh sat sat Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

7 a. q adalah suatu bawah atas A b. ja v > q maa v bua bawah atas A maa eleme q dsebut batas atas terecl atau mum hmpua A da dbera otas q = A. Cotoh: F,,5,8,9 F terbatas e atas, area 9 sehgga F, 9. Batas atas F tda tuggal. p, p 9 merupaa batas atas F. Karea 9 merupaa batas atas palg ecl, maa 9 = Sup F. F juga terbatas e bawah, area sehgga F,. Batas batas F juga tda tuggal. q, q merupaa batas bawah F. Karea merupaa batas bawah palg besar, maa = I F.. Hmpua Blaga eal Hmpua blaga real ag memeuh suatu pertasamaa tertetu deal sebaga selag (terval) hgga da selag ta hgga. Selag hgga adalah hmpua baga dar ag terbatas d atas da d bawah, sedaga selag ta hgga tda terbatas d atas atau tda terbatas d bawah. D bawah dbera des selag sebaga hmpua tt da gambara pada gars blaga. a. a, b) : a b ( dsebut selag terbua b. a, b] : a b [ dsebut selag tertutup Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

8 c. a, b] : a b ( dsebut selag tertutup d aa atau selag terbua d r. d. a, b) : a b [ dsebut selag tertutup d r atau selag terbua d aa. Utu selag ta hgga dperlua lambag da, ag memeuh relas uruta utu setap blaga real. Berdasara lambag dguaa utu sesuatu ag lebh ecl dar setap blaga real (membesar tapa batas) da lambag dguaa utu sesuatu ag lebh ecl dar setap blaga real (megecl tapa batas). a. ( a, ) { : a} dsebut selag terbua b. [ a, ) { : a} dsebut selag tertutup d r atau terbua d aa c. (, b) { : b} dsebut selag terbua d. (, b] { : b} dsebut selag tertutup d aa atau d terbua d r e. (, ) (Martoo, 999). Hmpua Terbua da Tertutup D bawah aa dbera des ruag metr, persetara, tt lmt, tt teror, hmpua terbua da hmpua tertutup. Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

9 Des II.B.. uag metr X, d adalah hmpua ta osog X ag eleme elemea dsebut tt ag dperlegap dega ugs berla real d ag ddesa pada X X sedema sehgga utu setap, da z d dalam X, dpeuh: a., 0 d ; b., 0 d, ja da haa ja ; c. d d,, ; d. d, d, z dz,. Fugs d ag memeuh eempat sat d atas damaa jara atau metr pada X. Des II.B.. Dbera X, d ruag metr. Ja p X da r 0, maa hmpua p X d, p N r (eghborhood) tt p dega jar jar r. : r dsebut persetara Des II.B.. Dbera X, d ruag metr, hmpua A X da tt p X. a. p dsebut tt lmt (lmt pot, cluster pot) hmpua A ja utu setap blaga 0 r berlau p A p N r. Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

10 4 b. p dsebut tt dalam (teror pot) hmpua A ja ada blaga 0 Des II.B..4 r sehgga p A Dbera ruag metr X, d. N r. (Soematr, 000) a. Hmpua A X merupaa hmpua terbua ja setap aggota A merupaa tt dalam A. b. Hmpua A X merupaa hmpua tertutup ja A memuat semua tt lmta. (Soematr, 000) C. Fugs Sebuah ugs adalah suatu atura padaa ag meghubuga tap obe dalam satu hmpua, ag dsebut daerah asal, dega sebuah la () dar hmpua edua. Pada baga dbcaraa megea ugs omposs, ugs aljabar, ugs trasede da ugs terbatas. (Varberg, d, 99) Des II.C Dbera A, B ugs : A B adalah suatu atura ag megata setap usur A dega tepat satu usur B. Usur ag berata dega usur dber lambag () ag terdes pada hmpua A. Dalam hal damaa peubah bebas, da ag laa bergatug dar damaa peubah ta bebas. Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

11 5 Terdapat suatu ugs ( ), A, maa daerah asal ugs adalah hmpua A, dtuls A D, da daerah la ugs adalah hmpua ( ) : A D }. Usur ( ) B damaa la ugs d. { Ja detahu haa (), maa daerah asal da daerah la ugs adalah { : ( ) } da ( ) : A D } D { D D () () Gambar II. Dagram Paah Fugs. Fugs Komposs Des II.C.. Fugs omposs dar g da ( dlajuta g), dtuls g adalah suatu ugs ag daerah asala hmpua baga dar D da aturaa dtetua oleh ( g )( ) g( ( )). Daerah asal da daerah la ugs g adalah D D : ( ) D } da g { g g { g : g( t), t } Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

12 6 g D D g g g g ( ( )) () Dg g g D g Gambar II. Dagram Paah ugs g (Martoo,999). Fugs Aljabar Fugs aljabar merupaa ugs ag dperoleh dar berhgga operas aljabar atas ugs osta da ugs esatua. Operas aljabar ag dlaua terhadap edua ugs tersebut adalah pejumlaha, peguraga, perala, pembaga, pemagata da peara aar e-, =,,... (Martoo, 999) Fugs lear, ugs uadrat, ugs pecaha lear atau uadrat, da ugs trgoometr semuaa merupaa ugs aljabar.. Fugs Trasede Fugs trasede merupaa ugs ag tda dapat dataa sebaga sejumlah berhgga operas aljabar atas ugs osta = da ugs esatua =. (Martoo,999) Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

13 7 Fugs trasede terdr dar ugs ugs berut: a. Fugs espoesal, ddesa oleh a, utu a 0 da a,. Ja a = e, maa espoe atural. e ugs tersebut ag dsebut sebaga ugs a b. Fugs logartma, dataa oleh log a, a & > 0. Ja a = e, maa e log l ugs tersebut ag dsebut sebaga ugs logartma atural. c. Fugs trgoometr ) ( ) s ) ( ) cos ) ( ) ta 4) ( ) cot 5) ( ) csc 6) ( ) sec d. Fugs vers trgoometr ) ) ) 4) s cos ta sec s, cos,0 ta, sec,0 & Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

14 8 e. Fugs Hperbol ) e sh e ) e cosh e ) 4) tah sh cosh cosh coth sh 5) sech 6) csch cosh sh (Varberg, d, 00) 4. Fugs Terbatas Des II.C.4. Fugs dataa terbatas ja terdapat M > 0 sehgga ( ) M utu setap D (Martoo, 999) Des II.C.4. Fugs dataa tda terbatas ja utu sebarag M > 0 terdapat sehgga ( ) M. D Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

15 9 Cotoh: a. Fugs ( ) s terbatas area ( ) s utu setap D. b. Fugs ( ) tda terbatas pada selag ( 0, ) area utu sebarag M 0, terdapat 0 0 M sehgga ( 0 ) M M. M D. Lmt da D bawah aa djelasa lebh lajut megea lmt ugs d,.. Lmt Fugs d Des II.D.. Dbera ugs terdes pada selag terbua I ag memuat c, ecual mug d c sedr. Lmt ugs d c adalah L (dtuls lm ( ) L atau ( ) L bla c ) ja 0 c 0 0 c ( ) L. (Martoo, 999) Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

16 0 Des II.D.. Dbera ugs terdes pada selag (c,b), lmt aa ugs d c adalah L ( lm ( ) L atau ( ) L bla c c ) ja c ( ) L. Ja ugs terdes pada selag (a,c), lmt aa ugs d c adalah L ( lm ( ) L atau ( ) L bla c c ) ja c ( ) L. (Martoo, 999) Cotoh: Dbera ugs =,, 5 Tetua ja ada a. lm ( ) b. lm ( ) c. lm ( ) Peelesaa a. lm ( ) = lm 5 b. lm ( ) = lm c. lm ( ) = lm ( ), maa lm ( ) ada Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

17 Sat sat Lmt Fugs a. Ketuggala lmt Ja lm ( ) L da lm ( ) M, maa L = M c c b. Operas aljabar pada lmt Ja lm ( ) L da lm g( ) M, maa c c a) lm ( ( ) g( )) L M = lm ( ) + lm g( ) c c c b) lm ( ( ) g( )) L M = lm ( ) - lm g( ) c c c c) lm ( ( ) g( )) LM = ( lm ( )) ( lm g( )) c c c ( ) L lm ( ) c d) lm, M lm g( ) 0 c g( ) M lm g( ) c c c. Lmt ugs sederhaa a) lm, c ostata, b) lm c, c c) lm( p q) pc q : p, q c ostata, d) lm c, c e) lm c c ) lm c c (Martoo, 999) Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

18 . Lmt Fugs d Fugs adalah ugs dua varabel dega doma D maa dapat dataa bahwa lmt dar (, ) L da dtuls lm, L, a, b ja utu setap 0 terdapat 0 sedema sehgga, L blamaa, D da, a, b, a, b a b. Lmt Fugs d 0 dega (Varberg, d, 00) Des ag dugapa utu lmt ugs d da d tersebut sedema sehgga dapat dperluas utu ugs tga peubah atau lebh. Secara umum, ja z,,,..., adalah ugs -varabel dega doma D maa dapat dataa bahwa lmt dar,,..., L, da dtuls lm (,,..., ' ' ',,...,,,..., ) L, ja utu 0, 0 sedema sehgga,,,..., L blamaa,,..., D ' ' ' ',,...,,, 0,..,, da (Varberg, d, 00) Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

19 E. Keotua Bla suatu ugs terdes pada selag terbua ag memuat suatu tt, eotua ugsa d tt tu dapat ddesa dega lmt ugs. D bawah aa dpapara eotua d,. Keotua d Des II.E.. da. Fugs terdes pada satu terval terbua ag memuat c. Dataa bahwa otu d c ja lm ( ) ( c). Jad ugs c dataa otu dsuatu tt c ja da haa ja: a. lm ( ) ada c b. (c) ada (a, c berada dalam daerah asal ), da c. lm ( ) ( c) c Des II.E.. (Varberg, d, 00) Fugs adalah otu aa pada a ja lm ( ) ( a) a da otu r pada b ja lm ( ) ( b). Fugs otu pada a sebuah terval terbua ja otu pada setap tt pada terval tersebut. Serta otu pada sebuah terval tertutup [a,b] ja otu pada (a,b), otu aa pada a, da otu r pada b. (Varberg, d, 00) Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

20 4. Keotua d Des II.E.. Fugs (, ) dataa otu dtt ( a, b) D, D ja lm (, ) ( a, b),,. Fugs dataa otu pada doma a b D ja otu d setap tt (a,b) dalam D. (Varberg, d, 00) Des II.E.. Fugs (, ) dataa otu pada suatu hmpua S, ja (, ) otu d setap tt pada hmpua S. B S A Gambar II.4 Hmpua S (Varberg, d, 00). Keotua d Fugs z,,,..., D ' ' ', otu d tt,,...,, ' ' ' ja lm (,,..., ),,...,,,..., ' ' ',,..., D. Fugs dataa ' ' otu pada doma D ja otu d setap tt,..., D. ', dalam (Varberg, d, 00) Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

21 5 F. Turua turua d Pada baga al aa dbahas lebh lajut megea turua d,.. Turua d Des II.F.. Ja ugs terdes pada suatu selag terbua I ag memuat tt c, maa dataa mempua turua dtt c apabla lmt lm c ( ) ( c) ada, da dalam hal la lmt tersebut dsebut c turua dar d tt c. Jad, utu ugs ag mempua turua d c dtulsa ( ) ( c) '( c) lm. Dega meggat c c dega c + h, d peroleh ( c h) ( c) '( c) lm. h 0 h (Martoo, 999) Des II.F.. Ja ugs terdes pada selag (a,c]. Turua r dar ugs d tt c, dtuls (c) ddesa sebaga ' ( c) lm c ( ) ( c) c atau ' ( c) lm h0 ( c h) h ( c) (Martoo, 999) Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

22 6 Des II.F.. Ja ugs terdes pada selag [c,b). Turua aa dar ugs d tt c, dtuls '( c) da ddesa sebaga ' ( c) lm c ( ) ( c) atau c ' ( c) lm h0 ( c h) h ( c) (Martoo, 999) Des II.F..4 Ja ugs terdes pada selag terbua I ag memuat c, maa ' ' ugs terderesala d c ( c) ( c) (Martoo, 999) Cotoh: Ja = 4,,, tetua la ' (ja ada)! Peelesaa: lm 4 (. ) ( ) () lm lm 4 4( ) ( ) ( ) ( ) lm lm ( ) ( ) lm ( ) () ( ) (. ) lm 6 lm ( ) Karea lm ( ) () lm ( ) () maa lm ( ) () dega ata la ' tda ada. Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

23 7 Teorema II.F..5 Ja ' ada maa otu d c. But: Ja ' c ada berart ( ) ( c) '( c) lm ada, maa c c lm c ( ) ( c) '( c).lm c c lm c ( ) ( c) Karea lm c ( ) ( c) otu d c. a. Atura pecara turua Ja (), turua dapat dataa dega tga otas (otas Lebz) atu '( ) atau () D d atau. d ) ( ), dega ostata '( ) 0 ) ( ) '( ) ) ( ) '( ) 4) suatu ostata da ugs ag terdeeresala, maa '. ' da g adalah ugs ag terderesala 5) g' ' g' 6) g' ' g' Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

24 8 7). g' g' g ' 8) g '( ) g( ) ( ) g'( ) ' ( ) g ( ) (Varberg, d, 000) b. Turua ugs trgoometr D bawah dbera turua pertama utu ugs trgoometr. ) ( ) s '( ) cos ) ( ) cos '( ) s ) ( ) ta '( ) sec 4) ( ) cot '( ) csc 5) ( ) sec '( ) sec ta 6) ( ) csc '( ) csc cot (Martoo,999) c. Turua ugs vers Des II.F..c Ja ugs otu da satu satu pada selag I D dega atura ( ), I da versa adalah ( ),. Ja ugs terderesala pada I dega '( ) 0 pada I, maa ugs juga terderesala pada da atura turuaa dtetua oleh ( ( ))' atau '( ) d d d d (Martoo, 999) Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

25 9 d. Turua ugs omposs Des II.F..d Ja u da u g. Ja g terderesasa d da terderesasa d u g, maa ugs omposs g ag ddesa oleh ( g)( ) ( g( )), adalah terderesasa d da ( g)'( ) '( g( )) g'( ) atau d d du. d du d (Varberg, d, 000) e. Turua ugs logartma ) Turua ugs logartma alam dapat dtulsa sebaga berut: ( ) l '( ) ) Turua ugs logartma dapat dtulsa sebaga berut: a ( ) log '( ). l a. Turua ugs espoesal ) Turua ugs espoe alam dapat dtulsa sebaga berut: ( ) e '( ) e ) Turua ugs espoe dapat dtulsa sebaga berut: ( ) a '( ) a l a, a (Varberg, d, 000) Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

26 0 g. Turua tgat tgg Operas deresas megambl sebuah ugs da meghasla sebuah ugs baru '. Ja ' dderesas meghasla ugs '' ( dua ase) da dsebut turua edua dar. Da boleh dderesas ag meghasla ''' ag dsebut turua etga dar. Turua eempat dataa dega (4), turua elma dataa (5) da seterusa. (Varberg, d, 000) Cotoh: ( ) '( ) ''( ) 8 '''( ) 7 8, maa (4) 0 Karea turua ugs ol adalah ol, maa turua eempat da semua turua tgat ag lebh tgg (hgher-order dervatve) dar aa ol.. Turua d Sebuah ugs berla real dega dua peubah real (real valued ucto o two varables) atu ugs (Gambar II.5) ag meghubuga setap pasaga berurut, pada suatu hmpua D dalam suatu Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

27 bdag dega sebuah blaga real (u) dar,. Hmpua D dsebut daerah asal (doma) suatu ugs. Ja tda dataa secara spes, D dapat dataa sebaga daerah asal alam (atural doma), atu hmpua seluruh tt, pada suatu bdag dmaa ugs tersebut masu aal da meghasla la blaga real. Daerah hasl (rage) dar sebuah ugs adalah hmpua dar la laa. Ja z,, maa da dsebut sebaga peubah bebas (depedet varable) da z sebaga peubah ta bebas (depedet varable). Seluruh hal datas berlau utu ugs ugs berla real dega tga peubah real (atau baha peubah real). (,) (,) Daerah asal Daerah hasl Gambar II.5 Fugs (Varberg, d, 00) Des II.F.. Ja adalah ugs dega dua peubah da. Ja djaga agar tetap osta, msal 0 maa (, 0 ) adalah ugs dega Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

28 peubah tuggal. Turuaa d 0 dsebut turua parsal terhadap d, ) da dataa sebaga, 0 ). Jad, ( 0 0 ( 0 (, ) lm ( 0, 0 ) (, ) 0 0 Begtu juga turua parsal terhadap d, ) dataa dega, 0 ) da drumusa dega: ( 0 ( 0 0 ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) ( 0, 0 ) lm 0 Utu meetua (, ) da (, ) dega megguaa atura atura stadar turua, da mesubsttusa 0 da 0. (Varberg, d, 00) Secara umum, ja adalah suatu ugs peubah atu,...,,. Ja,..., dbuat osta, msala ' ',,..., mejad ugs satu peubah ' ',...,,...,, maa. Turuaa d ' ' ' ' dsebut turua parsal terhadap d,,..., da dataa ' ' ' sebaga,, atau,...,,..., lm,,...,. Jad, ' ' ' ' ' ',,...,,,..., ' ' ' 0 Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

29 ' ' ' Dema pula, turua parsal terhadap d,,..., da ' ' ' dataa sebaga, atau,...,,,..., da dtulsa sebaga,,..., lm ' ' ' ' ' ',,...,,,..., ' ' ' 0 Turua parsal terhadap,...,, 4 ddesa dega cara ag ' ' ' sama. Jad, utu turua parsal terhadap d,,..., da ' ' ' dataa sebaga atau,,...,,,...,. Da dtulsa sebaga ' ',,..., ' lm 0 ' ' ' ' ' ',,...,,,..., Cotoh: Ja z s( ) tetua z z da Peelesaa: z s s s. cos cos..s cos.s Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

30 4 cos. cos z Turua parsal dar suatu ugs da, secara umum adalah sebuah ugs la dar dua peubah ag sama tersebut, maa turua tersebut dapat dderesala secara parsal terhadap atau, meghasla empat buah turua parsal edua (secod partal dervatve) dar. ) ( ) ( (Varberg, d, 00) Cotoh: Tetua empat turua parsal edua dar s ), ( e Peelesaa: cos ), ( e Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

31 5 cos ), ( e 6 s ), ( 4 cos s ), ( e e 6 cos s ), ( e 6 cos s ), ( Turua turua parsal etga atau lebh dapat ddesa secara aalogs, da otas peulsaa juga serupa. Ja adalah ugs dega dua peubah da, maa turua parsal etga dperoleh dega mederesasa secara parsal, pertama terhadap da emuda dua al terhadap, ag dapat dataa dega (Varberg, d, 00) G. Itegral Kosep tegral ta tetu dpereala sebaga ebala operas pederesala, atu sebaga betu ag palg umum dar at turua. Itegral tetu dpereala sebaga lmt jumlah ema sebaga geeralsas dar proses perhtuga luas daerah tertutup pada bdag datar. Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

32 6 Keterata atara dua tegral deal sebaga Teorema Dasar Kalulus ag salah satua adalah turua dar betu tegral tertetu dega peubah d lmt atasa. D bawah aa djelasa lebh lajut megea tegral ta tetu da tegral tetu.. Itegral Ta Tetu Des II.G.. F suatu at turua dar pada selag I ja F ' ' utu semua dalam I. (Varberg, d, 99) Teorema II.G.. Ja da g dua ugs sedema sehgga g' ' utu I ( I selag ), maa suatu ostata c sehgga But: g c, utu I. Ambl ugs h ag ddesa pada selag I dega des h( ) ( ) g( ), I maa h' ( ) '( ) g'( ), I area '( ) g'( ) utu I berabat h '( ) '( ) g'( ) g'( ) g'( ) 0 Jad, h' ( ) 0, I Karea h '( ) 0 maa ostata c sehgga h' ( ) c, I Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

33 7 ( ) g( ) c ( ) g( ) c, I. Teorema II.G.. But: Ja merupaa at turua husus dar pada selag I maa setap at turua dar pada I dbera oleh F c dega c sembarag ostata. Ambl G sembarag at turua dar pada I maa G' ( ), I... () Karea F merupaa at turua husus dar pada I maa F' ( ), I... () dar () da () dperoleh: G' F'( ), I Meurut teorema 7.a. terdapat ostata c sedema sehgga G F c. Karea G sembarag, berart setap at turua dbera oleh c. F Jad, d F c dega F' F d d. atau Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

34 8 Teorema II.G..4 Ja adalah sebarag blaga rasoal ecual -, maa d c r But: Msal: da F dbuta d F c maa aa dtujua dperoleh d F c d( F( ) c) d d( F( ) c) d ( ) d c d ( ) ( ) berart ( ) d F( ) c atau d c utu = 0 dperoleh 0 0 d d c c 0 jad, d c. Utu tegral pada ugs trgoometr adalah sebaga berut: a. s d cos c b. cos d s c c. sec d ta c Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

35 9 d. csc d cot c e. sec ta d sec c. csc cot d csc c Teorema II.G..5 Ja ugs da g mempua at turua (tegral ta tetu) da msala suatu ostata, maa: a. ( ) d ( ) d b. ( ) g( ) d ( ) d g( ) d But: da g mempua at turua. F( ) c at turua dar, jad ( ) d F( ) c, d F( ) c ( ) G( ) c at turua dar g, jad g( ) d G( ) c, d G( ) c g( ) a. ( ) d d ( ) d F c df d c d F' ( ) 0 ( ), d F d Dega ata la F c ( ) d ( ) d Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

36 40 b. ( ) g( ) d ( ) d g( ) d F c dg c df G d c d d Dega ata la, F '( ) G' ( ) g ) gd F c G c ( ) d ( g( ) d. Teorema II.G..6 Dbera g ugs ag dapat dderesala da daerah hasl (la) dar g adalah selag I. Ja ugs ag ddesa pada I da F at turua dar pada I, maa But: g g' d Fg c Karea F at turua dar pada selag I maa F' g g dbuta d d Fg c g. g' d d Fg c F' g. g' g. g' Dega ata la g g d Fg ' c. Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

37 4 Teorema II.G..7 Ja g suatu ugs ag dapat terderesas da suatu blaga But: rasoal ag bua -, maa r g( ) g g' d r r c. Ja u = g () adalah ugs ag dapat dderesas da r suatu blaga rasoal r maa, r u r D u. Du r atau D g r r r g. g'.. Itegral Tetu Ja ddesa pada terval tertutup [a,b]. Fugs bsa berla post atau egat pada terval tersebut da baha tda perlu otu. Msala suatu parts P membag terval [a,b] mejad terval baga (tda perlu sama pajag) dega megguaa tt tt a 0... b da msala. Pada setap baga terval, dega megambl sebuah tt sebarag tt (mug saja tt ujug) ag dsebut sebaga tt sampel utu terval baga e-. (Varberg, d, 00) P dsebut orma (orm) P, meataa pajag terval-baga ag terpajag dar parts P. Msal suatu ugs ag ddesa pada Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

38 4 terval tertutup [a,b]. Ja lm ada, dataa P 0 tertegrasa pada [a,b]. Suatu jumlah ema dtasra sebaga sebuah jumlah aljabar dar luas-luas. 6 A A A A4 A5 A6 6 = () 4 4 a b 6 Gambar II.6 Jumlah ema b Kemuda a ( ) d dsebut tegral tetu (atau tegral ema) dar b a e b, emuda dbera oleh ) d lm Teorema II.G.. a (. P 0 Ja otu (areaa tertegrasa) pada [a,b] da dbera F adalah sebarag at turua dar pada [a,b], maa, a ( ) d F( b) F( a) Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

39 4 But: Karea ugs F da G otu pada terval tertutup [a,b], ddapata F(a) = G(a) + c da F(b) = G(b) + c. Jad F() = G() + c pada terval tertutup [a,b]. b Karea G( a) ( t) dt 0, maa F( a) G( a) c 0 c c. a Karea tu, b) F( a) G( b) c c G( b) F ( ( t) dt. a. Itegral lpat dua atas perseg pajag Ja adalah sebuah perseg pajag dega ss ss sejajar dega sumbu oordat {(, ) : a b, c d}. Betu parts P dar dalam pegerta membetu gars gars sejajar dega sumbu da sumbu (Gambar II.7). z b a a c, d b Gambar II.7 Daerah, : a b, c d Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

40 44 Pembuata parts membag mejad perseg pajag ag lebh ecl sebaa, emuda meotasaa dega, =,,,...,. Msala da adalah pajag ss ss da msala A adalah luasa. Pada ambl sebuah tt cotoh, da betu jumlah ema (, ) A ag berhubuga (ja (, ) 0) dega jumlah volume ota z (, ) (Gambar II.8). z Volume = (, ) A c d a b Gambar II.8 Permuaa z = (,) Dega membuat parts tersebut sema ecl sedema rupa sehgga seluruh juga megecl, aa meutu e osep ag deheda. Dega etetua tambaha bahwa atura parts P, dlambaga dega P adalah dagoal terpajag dar sub perseg pajag dalam parts tersebut. (Varberg, d, 00) Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

41 45 Des II.G..a Ja adalah ugs dega dua peubah ag ddesa pada sebuah perseg pajag tertutup. Ja lm, P 0 A ada, maa dataa bahwa dapat tertegrala d. Dsampg tu, (, ) da dsebut tegral lpat-dua (double tegral) dar atas, ag dapat dataa dega (, ) da lm P 0, A (Varberg, d, 00) Sat sat tegral lpat dua Ja (,) da g (,) otu da maa ) Itegral lpat dua bersat lear, atu. (, ) da (, ) da. (, ) g(, ) da (, ) da g(, ) da ) Itegral lpat dua bersat adt (pejumlaha) pada perseg pajag ag salg tumpag-tdh haa pada sebuah ruas gars. (, ) da (, ) da (, ) da ) Sat perbadga berlau. Ja (, ) g(, ) utu seluruh (,) d, maa Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

42 46 (, ) da g(, ) da (Varberg,d, 00) b. Itegral lpat dua atas daerah bua perseg pajag Des II.G..b Suatu hmpua S ag tertutup da terbatas pada bdag. S dellg dega perseg pajag dega ss ss sejajar sumbu sumbu oordata (Gambar II.9 & Gambar II.0). Adaa, 0, ddesa (atau ddesa ulag) pada baga dluar S (Gambar II.). dapat tertegrala d S ja dapat dtegrala pada da dtulsa dega S (, ) da (, ) da. S S Gambar II.9 Kurva S tertutup z = (,) Gambar II.0 Kurva S Dellg Perseg Pajag S (,) = 0 Gambar II. Kurva S : z = (,) (Varberg, d, 00) Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

43 47 c. Perhtuga Itegral lpat dua atas perseg pajag Hmpua dega batas batas melegug bsa mejad sagat rumt. Utu tujua ag aa dcapa, aa cuup memada ja megguaa hmpua sederhaa- da hmpua sederhaa- (da gabuga terhgga dar hmpua hmpua tersebut). Sebuah hmpua S dataa sederhaa ja hmpua tersebut sederhaa pada arah, arta bahwa sebuah gars pada arah memotog S dalam selag tuggal (atau tt atau tda sama seal). Jad, sebuah hmpua S dsebut sederhaa- (-smple) (Gambar II.) ja terdapat ugs da ugs pada [a,b] sedema rupa sehgga : S, a b, Suatu hmpua S dataa sederhaa- (-smple) (Gambar II.) ja terdapat ugs da ugs pada [c,d] sedema rupa sehgga : S,, c d d 0 a Gambar II. Kurva Sederhaa- S b S c 0 Gambar II. Kurva Sederhaa- Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

44 48 Ja aa meghtug tegral lpat-dua dar ugs (,) atas sebuah hmpua sederhaa- S. Lgup S d dalam sebuah perseg pajag (Gambar II.4) da mebuat (,) = 0 dluar S. S b d (, ) da (, ) da, dd a c b a, dd d S c 0 a b Gambar II.4 Kurva S sebaga Perseg Pajag Pada pegtegrala sebelah dalam, dpertahaa tetap. Jad pegtegrala dlaua dsepajag gars vertal tebal pada Gambar II.4 Pegtegrala meghasla luas A() dar suatu peampag meltag (cross secto). Ahra, A() dtegrala dar a e b. Ja hmpua S adalah sederhaa- (Gambar II.), maa dega cara ag sama aa meghasla rumus S (, ) da d c, dd Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

45 49 S 0 Gambar II.5 Kurva Bua Sederhaa- atau Sederhaa- Ja hmpua S bua sederhaa- maupu sederhaa- (Gambar II.5), maa basaa hmpua tersebut dapat dlhat sebaga sebuah gabuga dar baga baga ag mempua salah satu dar sat sat laa. Dcotoha lgara pada Gambar II.6 tda sederhaa- S da S. Itegral tegral dar baga baga lgara dapat htug da emuda djumlaha utu memperoleh tegral atas S. S S Gambar II.6 Gabuga Dua Hmpua Sederhaa- Sda S (Varberg, d, 00) d. Itegral lpat dua dalam oordat utub Kurva urva tertetu pada suatu bdag, sepert lgara, ardodd, da mawar lebh mudah djelasa dega megguaa Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

46 50 oordat Cartesus (oordat su su). Sehgga dapat dharapa bahwa tegral lpat dua atas daerah ag tertutup oleh urva-urva sepert tu aa mudah dhtug dega megguaa oordat utub. Msala mempua betu sepert ag dgambara pada Gambar II.7, ag dsebut dega perseg pajag utub (polar rectagle). Msal z, meetua sebuah permuaa atas da adaa otu da ta egat. Maa volume V beda padat d bawah permuaa da d atas (Gambar II.8) dapat dataa dega V (, ) da... () z r b z (, ) F r, r a 0 Sumbu Kutub Gambar II.7 Perseg Pajag Kutub Gambar II.8 z (, ) Fr, D dalam oordat utub, perseg pajag utub mempua betu r, : a r b,. Utu meghtug volumea atu megguaa oordat utub. Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

47 5 dbag bag mejad parts parts ag lebh ecl berbetu perseg pajag utub,...,, dega megguaa s utub (polar grd), da msala r da meataa dmes potoga (Gambar II.9). Luas A ) dataa ( dega Jad V A r r ( ) dmaa F( r, ) r r. r adalah jar jar rata rata. Saat megguaa lmt sebaga atura pembaga parts ag medeat ol, maa aa memperoleh volume ag sebeara. Lmt adalah sebuah tegral lpat dua. V F r, ) drd ( r cos, r s ) rdrd... () ( Dar () da () dperoleh (, ) da ( r cos, r s ) rdrd Persamaa datas dturua dega asums bahwa ta egat, tetap berlau utu ugs ugs ag sagat umum, hususa ugs ugs otu dega tada sebarag. r 0 Gambar II.9 Parts dalam Perseg Pajag Kutub (Varberg, d, 00) Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

48 5 H. Itegral Kurzwel-Hestoc Pedesa tegral Kurzwel Hestoc dawal dega pedesa parts - e. Des II.H. Dbera : a,b. Sebuah parts, u,v pada b e ja u a, dsebut merupaa das bahwa adalah parts - e. u v (Yee, 000) Teorema II.H. (Caus s Lemma) : a,b da a c d b maa terdapat parts e pada Ja But: c, d Adaa tda ada parts - e pada d c, dega c d a, b,. Dambl tt tegah c, atu c,d d, maa c c, d da c d, d juga tda mempua parts - e. Ambl setegah dar terval c, dag tda mempua parts parts - e sebut c,d. Selajuta, ambl setegah dar terval c,d Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

49 5 ag tda mempua parts - e. Proses dlajuta sampa dperoleh terval bersarag d c, dega c d c 0 d. Pastlah terdapat tt C ag berada pada terval c, utu setap. Karea c 0 d, maa terdapat suatu blaga N sedema hgga utu N berlau d c c, Pertdasamaa tersebut meujua bahwa C u C v merupaa parts - e d maa c,. Padahal detahu bahwa c, d tda mempua parts - e sehgga otrads. d Teorema II.H. Ja : a, b da : a, b merupaa ugs berla post, : a, b dega m But: =,. utu setap, a,b, maa parts - e juga merupaa parts - e dega Ambl parts - e pada a, b, maa berlau: u v Karea m, maa da Sehgga berlau u v Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

50 54 Berabat u v Sehgga merupaa parts - e atau merupaa parts - e. Des II.H.4 Fugs a, b : dataa tertegral Kurzwel Hestoc pada a, b ja terdapat blaga I sehgga utu setap blaga 0 terdapat ugs : a, b, u,v pada b sehgga utu setap parts - e a, berlau I, dega v u (Yee, 000) Teorema II.H.5 (Teorema Keovergea Mooto) Dbera. Barsa adalah mooto utu hampr semua J.. Fugs adalah tertegral Kurzwel-Hestoc da barsa J adalah terbatas, dega ata la utu beberapa K semua N.. lm terbatas Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

51 55 But: Maa tertegral Kurzwel-Hestoc pada J da J lm... () J Dasumsa bahwa adalah barsa a, 0 da. Barsa B A merupaa barsa mooto da terbatas. Lmt aa dar () ada, da dotasa dega L. Dbera, dapat dperoleh N dmaa J N L emuda dperoleh N utu, () dar Lemma Hestoc ada uura pada dmaa K K. () dmaa parts baga K ddesa, ;,..., r merupaa -e. Da utu J dbera merupaa parts dar J. Aa dbuta K L. e (4) jumlaha ema dar e L, selajuta Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

52 56 K (5) K (6) dar sebeluma K K K (7) da J N K N K L (8) oleh N, terbesar dperoleh J N K N K L (9) selajuta destmasa perbedaa datara (5) da (6), dega ata la K K (0) tda begtu berbeda, dbera,...,, merupaa beda, dmaa. Dar (0) suu dega esamaa dar () j K j j j K. abata. K K () dar (7), (8) da (9) Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

53 57 K K Dega ata la K K K K L L I. Hmpua Teruur Terdapat dua uura d dalam suatu hmpua atu uura luar da uura dalam. Des dar edua uura tersebut sebaga berut.. Uura luar Des II.I. Dbera hmpua * E. Uura luar E dber otas E * ag ddesa sebaga berut: E { O : E O hmpua terbua}. Uura dalam Des II.I. da O Dbera hmpua E. Uura dalam E dber otas E * ag ddesa sebaga berut: E sup{ K: E K hmpua tertutup} * * Dar des d atas jelas bahwa E E * da ja A B maa E E. * * da K utu hmpua E Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

54 58. Hmpua Teruur D bawah aa dbera des dar hmpua ag teruur. Des II.I. Suatu hmpua E dataa teruur ja uura luar sama * dega uura dalam atau E E * (ode, 968) J. Fugs Teruur Sebelum dbahas lebh lajut megea ugs teruur, terlebh dahulu aa dbahas megea des ugs hampr dmaa maa. Des II.J. Suatu ugs dataa mempua sat P pada E hampr dmaa maa ja ugs tersebut bersat P hampr dmaa maa ecual utu hmpua A E da A 0. Cotoh: Suatu ugs : E da g : E adalah hampr dmaa maa pada E ja da haa ja g A 0 da g utu A E utu E A dega dega A 0. Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

55 59 Des II.J. Suatu ugs : E adalah teruur ja E adalah hmpua teruur da utu setap r, hmpua E r adalah teruur. (Gordo, 994) Teorema II.J. Dbera E hmpua teruur da ja dmaa maa pada E, maa teruur. But: : E otu hampr Dbera B hmpua dsotu pada E. Ja B 0 adalah teruur. Msala r da dperoleh E r E B r B, semua subset B r. Maa aa dbuta bahwa hmpua C B B r adalah teruur. Ja otu pada setap tt pada C, utu C terdapat 0 sedema sehgga t r dmaa t z E z :. Msala z U z z C :, maa U hmpua teruur da berabat C U E B adalah teruur. Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0

56 60 K. Teorema Toell J ddesa sebaga terval pada dega J A B, A adalah terval pada l da B adalah terval pada Teorema II.K. ( Teorema Toell ). teruur pada J m, l m.. ada ugs g sedema sehgga g pada J da A, A B g d d, A g, tertegral Kurzwel-Hestoc pada J. B A d d Utu g, berabat: Abat II.K. Ja teruur, A, A B d d, A, B A d d Abat II.K. Ja teruur da o-egat, maa J, A B B A, dd d d Peelesaa Itegral Dmes, Nurwat, FKIP UMP, 0