SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL DARI MODUL PERKALIAN BEBAS. Saniagus Munendra 1) Hery Susanto 2)

Transkripsi

1 SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL DARI MODUL PERKALIAN BEBAS Saagu Muedra 1) Hery Suato 2) Abtra: Sfat-fat yag berlau pada radal uatu deal teryata tda emuaya berlau pada oep radal uatu ubmodul Raaee (2011) meuua bahwa a M adalah R modul perala beba, maa fat-fat yag berlau pada radal uatu deal uga berlau radal uatu ubmodul Tuua peelta adalah meyaa but teorema peduug, lemma, da tuuh fat dar radal uatu ubmodul dar R modul perala beba M, meyedaa otra cotoh utu beberapa over teorema, erta membera beberapa cotoh da otra cotoh bag def-def da membera cotoh apla dar uatu teorema Kata uc: ubmodul prma, ubmodul radal, modul perala, modul beba Abtract: Properte whch hold the oto of radcal of deal apparetly ot all of them applcable to the oto of radcal of ubmodule Raaee (2011) have how that f M be a free multplcato R module, the properte whch vald for radcal of deal are alo vald for radcal of ubmodule The purpoe of th paper are to prove ome bac theorem, lemma, ad eve properte of radcal of ubmodule of a free multplcato R module M, provde ome couter example for ome covere of theorem, ad gve ome example ad couter example for ome defto ad provde ome example for the applcato of ome theorem Keyword: prme ubmodul, radcal ubmodul, multplcato module, free module Dbera R adalah gelaggag omutatf dega uur atua da M adalah uatu R modul uter Koep ubmodul prma pada M aalog dega oep deal prma pada R Dar oep ubmodul prma da deal prma terebut dperoleh oep radal dar uatu ubmodul da radal dar uatu deal ecara berturut-turut Mala R gelaggag omutatf da P adalah deal dar gelaggag R P debut deal prma a P R da x, yp xy P utu uatu x, y R Hmpua emua deal prma dar gelaggag R debut Spectrum dar R da dotaa dega Spec( R ) Hmpua emua deal prma dar gelaggag R yag memuat deal I, yatu Ideal Var( I) P Spec( R) P I Mala R adalah gelaggag omutatf da I adalah deal dar R I r R r I utu uatu 0 1) Saagu Muedra adalah mahawa Jurua Matemata Uverta Neger Malag 2) Hery Suato adalah doe Jurua Matemata Uverta Neger Malag

2 debut radal dar deal I Radal dar deal I uga dapat ddefa ebaga ra dar emua deal prma yag memuat deal I, yatu I PVar ( I ) Ideal I debut deal radal a da haya a I dar gelaggag R merupaa deal radal P I Setap deal prma I Utu uatu ubmodul N dar uatu R modul M, hmpua ( N : M ) r R rm N debut colo dar N Suatu ubmodul N dar uatu R modul M debut ubmodul prma a N M da utu ebarag r R da m M, rm N, berlau r ( N : M) atau m N Hmpua emua ubmodul prma dar R modul M debut Spectrum dar M da dotaa dega Spec( M ) Hmpua emua ubmodul prma dar R modul M yag memuat ubmodul A, yatu Var( A) N Spec( M ) N A Radal dar dar uatu ubmodul N dar M dotaa dega rad( N ) atau N ddefa ebaga ra emua ubmodul prma dar M yag memuat N, yatu N A AVar ( N ) Suatu R modul M debut uatu R modul perala a utu etap ubmodul N dar M, ada uatu deal I d R edema ehgga N IM Ideal I yag memeuh N IM pada def d ata debut deal preeta dar N Sebaga cotoh, merupaa uatu modul perala Suatu hmpua baga S dar M adalah uatu ba dar M a S membagu M ebaga uatu R modul da S beba lear Suatu R modul M debut R modul beba a M meml uatu ba Berdaara def R modul perala da R modul beba d ata, ddefa uatu R modul perala beba, yatu modul perala yag uga ealgu merupaa uatu modul beba Cotohya modul perala beba HASIL DAN PEMBAHASAN Sebelum daa pembuta teorema utama da abat yag dperoleh dar teorema terebut, aa dbuta terlebh dahulu beberapa teorema da lemma berut

3 Teorema 1 Mala N adalah uatu ubmodul dar uatu R modul M, maa colo dar N merupaa deal dar R But: Aa dtuua bahwa hmpua ( N : M ) r R rm N, merupaa deal dar R Aa dtuua ( N: M) Plh 0 R, ta perhata bahwa 0 M {0} N, ehgga berdaara def colo, dperoleh 0 ( N: M) Aa dtuua utu ebarag a, b ( N : M), berlau a b ( N : M) a, b ( N : M), maa am N da bm N Karea N ubmodul, maa ( b) M ( bm ) N Perhata hmpua berut: am ( b) M am ( b) m m, m M, merupaa hmpua baga dar N Kemuda utu ebarag p( a b) M, maa p ( a b) m1 am1 bm1 am1 ( b) m1 utu uatu m1 M, ehgga dperoleh ( a b) M am ( b) M N Karea ( a b) M N, dperoleh a b ( N : M) Aa dtuua utu ebarag a( N : M), r R, berlau ra ( N : M) a ( N : M), maa am N Karea N merupaa ubmodul dar M, maa dperoleh r( am ) N Dar def modul dperoleh bahwa r( am ) ( ra) M Dperoleh ( ra) M r( am ) N Berdaara def colo, dperoleh ra ( N : M) Karea memeuh emua yarat deal, maa dperoleh bahwa colo dar ubmodul ( N : M ) r R rm N merupaa deal dar gelaggag N, yatu hmpua R Teorema 2 Ja M adalah uatu R modul da N merupaa ubmodul dar M, maa colo dar N merupaa ahlator dar R modul ( M / N ), yatu ( N : M) A ( N / M) R But: Aa dtuua alg ubet, yatu A( M / N) ( N : M) Ambl ebarag r A( M / N), aa dtuua r ( N : M) r A( M / N), dar def ddeproleh rm N r( m N) 0 N, m M ehgga dperoleh

4 rm rm 0 N Karea rm N, m M, dperoleh bahwa rm N Berdaara def colo dperoleh r ( N : M) Jad A( M / N) ( N : M) ( N : M) A( M / N) Ambl ebarag ( N : M), aa dtuua A( M / N) ( N : M), maa M N Karea M N, maa m N, m M Ambl ebarag m' M, maa m' 0 N ( m' N) m' N 0 N Karea ( m' N) 0 N, dperoleh A( M / N) Jad ( N : M) A( M / N) Karea terbut alg ubet, maa dperoleh ( N : M) A( M / N) Jad colo dar ubmodul N merupaa ahlator dar R modul ( M / N ) Teorema 3 Ja ubmodul eat N dar R modul M adalah ubmodul prma, maa colo dar ubmodul N, yatu ( N: M ) merupaa uatu deal prma d R But: Aa dtuua bahwa ( N: M ) merupaa deal prma d R Pada Teorema 1 telah dtuua bahwa ( N: M ) merupaa uatu deal, ehgga elautya aa dtuua eprmaaya aa Aa dtuua ( N: M ) merupaa hmpua baga eat dar R Adaa ( N : M) R, maa dperoleh 1 ( N: M) Dar def colo ubmodul N dperoleh 1M M N yag megabata N M Kod otrad dega fata bahwa N adalah ubmodul prma dar M Sehgga pegadaa alah da ( N : M) R Aa dtuua bahwa utu ebarag a, b R dega ab ( N : M ), maa a ( N : M) atau b ( N : M) Adaa a ( N : M), aa dtuua b ( N : M) ab ( N : M ), maa ( ab) M N yag artya a( bm) ( ab) m N, m M Karea N ubmodul prma, maa dperoleh a ( N : M) atau bm N, m M Karea telah dmala a ( N : M), maa dperoleh bm N Karea bm N, m M, dperoleh bm N Berdaara def colo dperoleh b ( N : M) Jad berdaara def deal prma, maa ( N: M ) merupaa deal prma d R

5 Teorema 4 Mala M adalah R modul perala Ja N adalah ubmodul d R modul perala M, maa berlau N ( N : M) M But: Detahu bahwa M merupaa uatu R modul perala, ehgga meurut def modul perala dperoleh bahwa ada deal I d R edema ehgga N IM Selautya aa dtuua alg ubet N ( N : M) M Ambl ebarag x N, aa dtuua x ( N : M) M Karea N IM, maa x dapat dyataa ebaga : x am, a I, m M utu uatu 1 Utu meuua bahwa x ( N : M) M, aa dtuua bahwa a ( N : M) da m M utu etap Utu au M ela terpeuh, ehgga elautya aa dtuua m bahwa a ( N : M) Karea a Karea N I, ela bahwa hmpua a M a m m M IM IM, dperoleh am N Berdaara def colo dar ubmodul N dperoleh a ( N : M) Karea a ( N : M) da m M 1, dperoleh x am( N : M ) M Jad N ( N : M ) ( N : M) M N Ambl ebarag y ( N : M) M, aa dtuua bahwa y N Karea y ( N : M) M, dperoleh y dapat dyataa ebaga y b m, b ( N : M ), m M utu uatu 1 Karea b ( N : M), dperoleh bm Karea Karea m N yatu b m N, m M M, dperoleh bm N utu etap y b m da N adalah ubmodul, maa dperoleh y N 1 Jad ( N : M) M N Karea telah terbut alg ubet, maa dperoleh N ( N : M) M Dar Teorema 4 dapat dmpula bahwa a ta meml uatu ubmodul N dar uatu R modul perala M, maa ta dapat memlh colo dar N ebaga deal preeta dar ubmodul N

6 Lemma 5 Mala M adalah uatu R modul beba da deal P d Spec( R ) maa ubmodul PM d Spec( M ) But: Aa dtuua bahwa : PM M Adaa PM M, maa utu ebarag m M, dperoleh m PM Karea M adalah R modul beba, maa M meml ba, mala B vl l I Plh v0 B, maa v0 PM Karea 1v 0 v0 PM, maa dega fat ebebaleara dar B dperoleh bahwa 1 P I megabata P R Kod otrad dega fata bahwa P adalah deal prma d R Sehgga pegadaa alah Jad PM M Utu ebarag r R, m M, rm PM, berlau r ( PM : M) atau m PM Mala m PM, aa dtuua r ( PM : M) rm PM, maa rm dapat dyataa ebaga: Sehgga dperoleh rm p m, p P, m M utu uatu 1 rm pm 0 1 Karea M merupaa R -modul beba, maa M meml ba, mala B { v I} Karea m, m M, maa m da m dapat dtula ebaga omba lear dar aggota-aggota B, ehgga dperoleh: rm r dv rd v I I da pm p e v pe v pe v, e R 1 1 I 1 I I 1 ehgga dperoleh rd v pe v 0 I I 1 Dega megguaa fat ebebaleara dar ba dar M dperoleh Karea p rd P, dperoleh Sehgga dperoleh bahwa p e utu etap 1 pe P 1 rd P utu etap

7 Karea P adalah deal prma, maa dperoleh r P atau d P Utu r P, dperoleh rm PM, ehgga dperoleh r ( PM : M) Utu d P, dperoleh m dv PM I Kod otrad dega hpote ebelumya bahwa m PM Sehgga dperoleh r P da dperoleh r ( PM : M) Jad PM adalah ubmodul prma d M Kover Lemma 5 d ata tda berlau, area pada modul 3 terdapat ubmodul 6 ( 3) {[0]} yag merupaa ubmodul prma dar 3, tetap deal 6 bua deal prma pada gelaggag Lemma 6 Mala M adalah uatu R modul beba Dbera deal K da J dar R dega ( KM : M) K Ja KM JM, maa K J da ( K J) M KM JM But: Aa dtuua K J Ambl ebarag a K, aa dtuua a J Karea a K, maa am KM JM Karea M adalah R modul beba, maa M meml ba, mala B { v I} Plh v1 B M, dperoleh av1 am Karea am JM, dperoleh av 1 dapat dyataa ebaga: av b m, b J, m M utu uatu 1 1 Karea m M, maa m dapat dtul ebaga omba lear dar aggota-aggota d B, yatu: m c v, c R, v B I ehgga dperoleh bm b c v bc v 1 1 I I 1 ehgga dperoleh av1 bc v 0 I 1 dega megguaa fat ebebaleara dar B, dperoleh: Karea b J, dperoleh a bc 1 1

8 a b c J Jad K J Aa dtuua ( K J) M KM JM dega alg ubet ( K J) M KM JM Ambl ebarag p( K J) M, aa dtuua pkm JM p( K J) M, maa dapat dtul 1 p a m, a K J, m M utu uatu 1 1 da a J a K J a K dperoleh dperoleh p a m KM da p a m JM p a m KM JM Jad ( K J) M KM JM ( K J) M KM JM Ambl ebarag qkm JM, aa dtuua q( K J) M qkm JM, dperoleh q KM da q JM Karea qkm dperoleh q a m, a K, m M utu uatu 1 Karea q JM dperoleh r 1 q b z, b J, z M utu uatu r Kemuda, dperhata hmpua berut: A m 1,2,, B z 1,2, r C A B q 1,2, Sehgga q dapat dtul embal ebaga berut: q a m a q 1 1, dega yarat a q A a 0 r q b z b q 1 1, dega yarat a q B b 0 dega ak, bj, da q M Kemuda, area M merupaa R modul beba, maa M mempuya ba, mala G vl l I Sehgga q dapat dtul ebaga omba lear dar aggota- aggota G, ehgga dperoleh

9 q aq a glvl a gl vl 1 1 li li 1 da q b q b hl vl b hl vl 1 1 li li 1 ehgga dperoleh a gl vl b hl vl 0 li 1 li 1 Dega megguaa fat ebebaleara ba G, dperoleh a g b h, l I l l 1 1 Karea KJ, adalah deal, maa a gl K da 1 b hl J 1 Sehgga dperoleh a gl K J 1 dperoleh q a gl vl ( K J ) M li 1 Jad KM JM ( K J) M Karea terbut alg ubet, maa ( K J) M KM JM Dega megguaa teorema-teorema da lemma ebelumya, aa dbuta teorema berut Teorema 7 Mala M adalah R modul perala beba da A merupaa uatu ubmodul dar M dega Var( A ) hgga, maa A I M dmaa A IM But: Kta perhata bahwa utu ebarag N ubmodul prma dar M dega N PM telah dbuta pada Teorema 1 d ata bahwa deal ( N : M) ( PM : M) P adalah deal prma d R da merupaa deal preeta dar N Berdaara def radal dar uatu ubmodul, ta peroleh bahwa A NVar ( A) Karea detahu bahwa A IM da N PM, dperoleh N A N PM NVar ( A) PMVar ( IM )

10 Bedaara Teorema 33 da 36 ebelumya, dperoleh A PM PM PMVar ( IM ) PVar ( I ) Berdaara Lemma 36, area Var( A ) hgga dperoleh A PM PM PVar ( I ) PVar ( I ) Berdaara def radal dar deal I, dperoleh Jad dperoleh A I M A PM PM I M PVar ( I ) PVar ( I ) Perhata beberapa au huu berut : Ja I I, maa dperoleh A IM IM A Jad A A Oleh area tu A merupaa ubmodul radal dar M Ja Var() I, maa dperoleh I R Hal berabat A I M RM M Karea A M, maa ubmodul A tda termuat d dalam ebarag ubmodul prma dar M Karea tda ada ubmodul prma yag memuat A, maa dperoleh Var( A) Syarat Var(A) hgga pada Teorema 7 d ata tda dapat dhlaga area eamaa A I M dmaa A IM tda dapat terpeuh da apabla Var(A) ta hgga aa meyebaba A A Sebaga cotoh pada modul ata Plh ubmodul {0}, detahu bahwa ada ta hgga bayaya ubmodul prma yag memuat {0} pada modul, area ada ta hgga bayaya blaga prma Dperoleh {0} adalah ra emua ubmodul prma dar modul, yatu {0} P{0} PVar ({0}) Berut dbera cotoh peerapa Teorema 7 Dbera merupaa modul perala beba 4 merupaa ubmodul dar Karea merupaa modul perala beba, maa ada deal I dar gelaggag edema ehgga 4 I Plh I 4 Jela bahwa 4 4 Var 4 2 ehgga Var 4 hgga Perhata bahwa 4 2 area 2 adalah atu-atuya deal prma yag memuat 4 Kemuda 4 merupaa deal dar gelaggag da Jad dperoleh bahwa

11 Abat 8 Mala M adalah R modul perala beba dmaa utu ebarag A ubmodul dar M, Var( A ) hgga, maa utu A da B ubmodul dar M berlau: a A A b A B A B c Ja A B M, maa AB M d A M a da haya a A M e A B A B f A B A B But: Utu pembuta Abat 8, dmala bahwa A IM da B JM utu I da J adalah deal dar R Berdaara Teorema 7 dperoleh A I M da B J M Selautya dperoleh: a A I M I M I M A b Sebelumya perhata terlebh dahulu bahwa A B IM JM ( I J) M Oleh area tu dperoleh A B I J M Kemuda A B IM J M ( I J ) M Karea ( I J ) M I J M A B, dperoleh A B A B c A B M IM J M M, Karea IM J M ( I J ) M RM M, dperoleh I J R I J R Karea A B IM JM ( I J) M da I J R, dperoleh A B ( I J) M RM M Jad a A B M A B M d A M I M RM M I R I R A IM M e A B I J M I J M I M J M A B f ( ) ( ) ( I J) M I J M I M J M A B A B IM JM I J M I J M I J M

12 KESIMPULAN DAN SARAN Kempula Beberapa hal petg dar tula adalah ebaga berut: 1 Colo dar ubmodul N, yatu ( N: M) merupaa deal dar R da merupaa ahlator dar R modul M / N 2 Ja N adalah ubmodul prma dar uatu R modul M, maa ( N: M ) merupaa deal prma d R 3 Pada R modul beba M, a P adalah deal prma d R, maa ubmodul PM adalah ubmodul prma d M 4 Pada R modul perala beba M, a A adalah ubmodul dar M dega Var( A ) hgga, maa berlau A I M, dmaa A IM 5 Pada R modul perala beba M, fat-fat yag berlau pada radal uatu deal uga berlau pada radal dar uatu ubmodul Sara Artel haya membaha fat-fat dar uatu ubmodul dar uatu modul perala beba ecara umum, ehgga utu peelta elautya dapat dlaua peelta tetag fat-fat utu ubmodul yag lebh huu, malya mega fat-fat eta ubmodul terebut merupaa uatu ubmodul mamal, ubmodul prma, da ubmodul prmer da uga hubuga dar etgaya DAFTAR RUJUKAN Ad, W A & Wetraub, S H 1992 Algebra A Approach va Module Theory New Yor: Sprger Galla, J A 1990 Cotemporary Abtract Algebra (Secod Edto) Toroto: DC Heath ad Compay Glbert, J & Glbert, L 2000 Elemet of Moder Algebra (Ffth Edto) Pacfc Grove: Broo/Cole Gola, J S & Head, T 1991 Module ad The Structure of Rg New Yor: Marcel Deer, Ic Matumura, H 1986 Commutatve Rg Theory Cambrdge: Cambrdge Uverty Pre Raaee, S 2011 Some Remar o Free Multplcato Module Iteratoal Joural of Algebra, 5(14):