On A Generalized Köthe-Toeplitz Duals

Transkripsi

1 JMP : Volume 4 Nomor, Ju 202, hal O A Geeralzed Köthe-Toepltz Duals Sumardoo, Supama 2, da Soepara Darmawaa 3 PPPPTK Matematka, smrd2007@gmal.com 2 Mathematcs Departmet, Gadah Mada Uverst, supama@ugm.ac.d 3 Mathematcs Departmet, Gadah Mada Uverst ABSTRACT. I ths paper, we geeralzed the oto of Kothe-Toepltz duals of sequece space o troducg the cocept sequece of sequeces. Some propertes of the geeralzed dual are obtaed. Kewords: Köthe-Toepltz duals, Geeralzed dual spaces, Sequece of sequeces ABSTRAK. Pada paper dbahas megea dual Kothe-Toepltz ag dperumum dar ruag barsa ke ruag barsa dega suku barsa. Sela tu, aka dbahas uga megea sfat-sfat dar dual tersebut. Kata Kuc: dual Kothe-Toepltz, ruag dual ag dperumum, barsa dar barsa. PENDAHULUAN Kosep ruag dual merupaka kosep petg dalam stud aalss. Salah satu bahasa megea dualtas suatu ruag telah dsampaka Köthe da Toepltz (934), Garlg (967), da uga Ruckle (967) dega memperkealka tpe-tpe dual ruag barsa atu dual-, dual-, dual-, da dual-. Sfat-sfat dual-, dual-, da dual- d atas uga telah dbahas oleh Kamtha & Gupta. Beragkat dar pegerta d atas, kam memperluas kosep dual-, dual-, dual-, da dual- dar ruag barsa ke ruag barsa dega suku barsa. 2. PERLUASAN DUAL KÖTHE-TOEPLITZ Dmsalka koleks semua barsa = {} dega C,.

2 32 Sumardoo, Supama, da Soepara Darmawaa Hasl kal da peumlaha dua barsa {}da {} ddefska secara potwse sebaga berkut. {}.{} = {, 2, 3,...}. {, 2, 3,...} = {., 2.2, 3.3,...} {}+ {} = {, 2, 3,...} + {, 2, 3,...} = { +, 2 + 2, 3 + 3,...} Dega peumlaha potwse da perkala skalar, maka mead ruag vektor atas C. Hmpua semua permutas dar N dotaska dega. Defs 2. ([6], [], [5]) Dpadag ruag vektor tak ol maka ddefska dual-, dual-, dual-, da dual- dar berturut-turut sebaga berkut. = { :, = { :, = { :, = { :,, }, } sup, } ( ),, da } Selauta, utuk setap = {}, beberapa otas ddefska sebaga berkut. = {} = da = {} = {, 2, 3,... }. Sehgga C sedag. Barsa dega etr d dotaska dega huruf kaptal X = { () } dega () meataka suku ke- pada X. X = { (), (2), (3),... } dega () = {, 2, 3,...}

3 O A Geeralzed Köthe-Toepltz Duals 33 (2) = {2, 22, 23,...} (3) = {3, 32, 33,...}... Dmsalka koleks semua barsa X = { () } dega (). Hasl kal da peumlaha pada dlakuka secara potwse sebaga berkut. Utuk setap X, Y maka X.Y = { () }. { () } = { (). (), (2). (2), (3). (3),... } X +Y = { () } + { () } = { () + (), (2) + (2), (3) + (3),... } Dega peumlaha bersfat potwse da perkala skalar, maka mead sebuah ruag vektor atas C. Defs 2.2 Dpadag sebuah ruag vektor atau ruag lear ag tak ol. Dega X = { () } da Y = { () }, (), () maka ddefska berturutturut, ( ) ( ) = { X : X,, Y } = { X : X, = { X : X, = { X : X, ( ) ( ), Y } sup ( ) ( ), Y } ( ) ( ), Y da } Selauta, berturut-turut ruag,,, da dsebut dual-, dual-, dual-, da dual- dar. Dega meggat bahwa utuk setap = {}, betuk ddefska sebaga maka dperoleh sebaga berkut. ( ) ( ) () () (2) (2) (3) (3) =...

4 34 Sumardoo, Supama, da Soepara Darmawaa = { +, 2, 3,...}.{, 2, 3,...} { + 2, 22, 23,...}.{ 2, 22, 23,...} { , 32, 33,...}.{ 3, 32, 33,...} { + { +., 2. 2, 3. 3,...} { , , ,...} 2. 2, , ,...} = { } + { } { } +... = = Selauta dega cara ag sama dperoleh berturut-turut. ( ) ( ) = sup ( ) ( ) = sup ( ) ( ) ( ) = Dega demka, dual-, dual-, dual-, da dual- dar dapat dataka kembal sebaga berkut. Defs 2.3 Dpadag sebuah ruag vektor atau ruag lear ag tak ol. Dega X = { () } da Y = { () }, (), () serta () = {} da () = {} maka ddefska berturut-turut, = { X : X, = { X : X, = { X : X, sup, Y }, Y }, Y }

5 O A Geeralzed Köthe-Toepltz Duals 35 = { X : X, ( ), Y da } Padag koleks * = {X : X = { () }, = {, 0, 0, 0,...}, } da * ruag vektor tak ol, maka sup = = sup Dperoleh bahwa., = ( ) =, =, =, = dega = {{} : C }, da = {{} : C } = ( ) Jad,,, da merupaka suatu perluasa atau geeralsas dar,,, da. Semetara, utuk koleks ** = {X : X = { (), 0, 0, 0,... } } da ** ruag vektor tak ol, maka = = = = : C } dega = {{} : C }, da = {{} 3. BEBERAPA SIFAT PERLUASAN DUAL KÖTHE-TOEPLITZ Pada baga akhr, kam sampaka beberapa sfat Perluasa dual Köthe- Toepltz ag mash serupa dega sfat-sfat pada dual Köthe-Toepltz. Proposs 3. Bukt: Dambl sebarag X maka utuk sebarag Y dperoleh = = =...

6 36 Sumardoo, Supama, da Soepara Darmawaa Sehgga, X. Proposs 3.2 Bukt: Dambl sebarag X maka utuk setap Y. Dega kata la, barsa koverge (ke suatu blaga kompleks). Karea koverge, maka barsa Cauch. Selauta, karea barsa Cauch, maka barsa terbatas. Dega kata la, utuk setap berlaku Dega demka dperoleh, sup Sehgga, X.. merupaka barsa. Proposs 3.3 Bukt: Dambl sebarag X maka ( ) utuk setap Y da setap permutas. Karea maka dapat dplh = N sehgga dperoleh () = da Sehgga, X. Proposs 3.4 Jka maka, dega =,,, atau Bukt: Msal. Dambl sebarag X. Utuk sebarag Y maka Y. Lalu karea Y sedag X maka berlaku d maa da berturut-turut adalah etr suku ke- dar barsa ke- dar X da Y.

7 O A Geeralzed Köthe-Toepltz Duals 37 Jad, utuk sebarag Y berlaku bahwa X. Jad,. Utuk dual-, dual-, da dual-, bukt serupa d atas.. I arta Proposs 3.5 Jka = 2 maka = 2 dega =,,, atau Bukt: Dmsalka bahwa = 2 dperoleh, 2. Karea maka, uga karea 2 maka 2. Dega demka, dperoleh 2... () D la phak, ka dambl sebarag X 2 maka X da X 2. Dega demka, utuk setap Y... () da utuk setap Y 2... () Sekarag, dambl sebarag H = 2 maka H atau H 2. Jka H maka berdasarka () dperoleh Jka H 2 maka berdasarka () dperoleh h Karea berlaku utuk sebarag H maka X. Dega demka, 2... () Dar () da () maka = 2. Utuk dual-, dual-, da dual-, bukt serupa d atas. Proposs 3.6 Jka = maka = h.. dega =,,, atau Bukt: Utuk = maka bear bahwa = maka =. Msalka perataa bear utuk = k atu = k maka = k Selauta aka dbuktka bahwa perataa bear utuk = k +. k = = k k+

8 38 Sumardoo, Supama, da Soepara Darmawaa maka = = = k k k k k Jad, bear bahwa ka = maka = Proposs 3.7 dega =,,, atau Bukt: Dpadag dual- berkut. = { X : X,, Y } Lalu, ka dambl sebarag Y maka Perataa terakhr meataka bahwa Y ( ) Jad, Utuk dual-, dual-, da dual-, bukt serupa d atas., X Secara umum tdak berlaku =. Utuk ruag barsa ag memeuh kesamaa = maka dsebut ruag sempura (perfect space). Proposs 3.8 = dega =,,, atau Bukt: Utuk setap berlaku Oleh karea tu, utuk ruag barsa berlaku ( ) atau... () Sebalka, oleh karea maka ( ) atau... () Dar () da () maka =. Beberapa akbat lagsug dar proposs d atas atara la sebaga berkut. Proposs 3.9 Dega =,,, atau maka () Utuk setap maka merupaka ruag sempura. (2) Ruag barsa merupaka ruag sempura ka terdapat ruag barsa sedemka hgga = (3) Jka = da ruag sempura maka =.

9 O A Geeralzed Köthe-Toepltz Duals 39 DAFTAR PUSTAKA Chllgworth, H.R. (958). Geeralzed dual sequece spaces. Nederl. Akad. Wetesch. Idag. Math. 20 Choudhar, B, da Mshra, S.K. (993). O Kothe-Toepltz Duals of Certa Sequece Spaces ad Ther Matr Trasformatos. Ida Jural Pure aplled Math, 24(5): Cowa, J. B. (990). A Course Fuctoal Aalss. Sprger-Verlag. Garlg, D.J.H. (967). The - ad -dualt. Proc. Cambrdge Phlos. Soc. 63 Kamtha, P.K. da Gupta, M. (98). Sequece spaces ad seres. New York. Marcel Dekker, Ic. Köthe, G. & Toepltz. (934). Leare Räume mt uedlch vele Koordate ud Rge uedlcher Matrze, Jour. Ree agew. Math. 7 Rode, H. L. (988). Real Aalss. MacMlla Publshg Compa. New York. Rud, W. (973). Fuctoal aalss. New York: McGraw-Hll Book Compa Wlask, A. (984). Summablt through Fuctoal Aalss. Amsterdam: North Hollad.