BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dijelaskan tentang teori yang dipakai dalam

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN TEORI Pada bab II, aa djelasa tetag teor yag dpaa dalam semvarogram asotrop. Sela tu juga aa dbahas megea teor peduug dalam melaua peasra aduga cadaga baust d daerah Mempawah Kalmata, dataraya yatu asums stasoer orde dua, metode peasra ordary rgg, da uj valdas slag.. DATA SPASIAL Data yag dolah dega megguaa metode ordary rgg adalah data spasal. Data spasal merupaa data yag dperoleh dar hasl peguura yag memuat formas megea loas dar peguura. Data spasal merupaa data depede, area berasal dar loas spasal yag berbeda yag megdasa etergatuga atara la peguura dega loas. Data spasal basaya dyataa sebaga Z(s), s D, dmaa D adalah hmpua d R d. Nla peguura d suatu loas s, dyataa dega z(s), yag merupaa realsas dar peubah aca Z(s). Peubah aca Z(s) dsebut juga peubah teregoal, yatu peubah yag terdstrbus d dalam ruag da basaya meujua adaya orelas spasal. Peasra Kaduga..., Putu Jaya Adyaa Wdhta, FMIPA UI, 8

2 6. ASUMSI STASIONER ORDE DUA DAN STASIONER INTRINSIK Hmpua peubah aca {Z(s), z D} dasumsa memeuh asums stasoer bla dstrbusya vara terhadap traslas, artya utu setap pegata sebesar h, dstrbus Z(s ), Z(s ),..., Z(s ), aa sama dega Z(s +h), Z(s +h),..., Z(s +h). Apabla dua mome pertama saja yag osta yatu mea da varasya, ods tersebut dsebut sebaga stasoer orde dua. Stasoer orde dua meyataa. Espetas atau mea peubah aca ada da osta utu semua tt. E[Z(s)] μ, s (..). Kovaras atara dua peubah aca yag berjara h, [Z(s),Z(s+h)], tda bergatug pada leta tt, haya bergatug pada jara atara dua tt. C(Z(s+h),Z(s)) E{Z(s+h).Z(s)} E{Z(s+h)}.E{Z(s)} E{Z(s+h).Z(s)} μ C(h) (..) C(h) dsebut ovarogram. Kovarogram utu dua data yag berjara, atau h laya sama dega varas dar populas, atau bsa dyataa sebaga berut, Var[Z(s)]C() utu setap s D. Sfat-sfat ovarogram dapat dlhat pada lampra 9. Peasra Kaduga..., Putu Jaya Adyaa Wdhta, FMIPA UI, 8

3 7 Ja data spasal tda memeuh asums stasoer orde dua, maa ods utu estasoera data dapat dperlemah dega adaya asums stasoer trs. Hmpua varabel aca {Z(s), z D} memeuh asums stasoer trs ja memeuh ods d bawah :. Espetas dar selsh dua peubah aca yag berjara h laya sama dega ol, atau bsa dyataa sebaga berut: E[Z(s+h) Z(s)], s (..3). Selsh peubah aca yag berjara h, [Z(s+h) Z(s)], meml varas yag haya bergatug pada jara, tda bergatug pada loas atau dapat dyataa sebaga berut: Var[Z(s+h) Z(s)] E{[Z(s+h) Z(s)] } {E [Z(s+h) Z(s)]} Karea E [Z(s+h) Z(s)], maa Var[Z(s+h) Z(s)] E{[Z(s+h) Z(s)] } (/) Var[Z(s+h) Z(s)] (/) E{[Z(s+h) Z(s)] } γ (h) (..4) Fugs γ (h) dsebut semvarogram. Utu peubah teregoal Z(s) yag memeuh asums stasoer orde dua, terdapat hubuga atara ovarogram dega semvarogram. Hubugaya dapat dlhat pada persamaa d bawah: γ ( h) C() C( h) Pembutaya dapat dlhat pada lampra. Peasra Kaduga..., Putu Jaya Adyaa Wdhta, FMIPA UI, 8

4 8 Setap peubah teregoal yag memeuh asums stasoer orde dua past memeuh asums stasoer trs. Aa tetap tda berlau utu sebalya. Pembutaya dapat dlhat pada lampra. Peguja dar asums stasoer orde dua dapat dlhat pada lampra..3 METODE ORDINARY KRIGING Metode peasra ordary rgg merupaa metode yag membera peasr yag ler ta bas terba (BLUE best lear ubased estmator). Peasr ordary rgg d tt yag tda tersampel, s, merupaa ombas ler dar peubah aca Z(s ), yatu Zˆ( s ) λz ( s ), dmaa λ adalah bobot dar Z(s ) utu,,...,. λ dsebut bobot rgg. Dalam membetu persamaa ordary rgg aa dcar la dar λ, bobot dar Z(s ) utu,,...,. Nla λ emuda aa dguaa utu meghtug Z ˆ( s ). Pada pembahasa selajutya aa dbahas megea peasr yag ta bas da peasr terba. Peasra Kaduga..., Putu Jaya Adyaa Wdhta, FMIPA UI, 8

5 9.3. Peasr ta bas Suatu peasr dar peubah aca dataa ta bas bla la espetasya sama dega la parameterya atau ja la espetas dar selsh atara peasr dega la parameterya sama dega ol. Msala R(s ) adalah resdual yag ddefsa sebaga selsh atara peubah aca Z(s ) da Z ˆ( s ), yag dyataa sebaga berut Rs ( ˆ ) Zs ( ) Zs ( ) (.3.) Karea Z ˆ( s ) merupaa ombas ler dar peubah aca Z(s ), Z(s ),..., Z(s ), maa R(s ) juga merupaa peubah aca. Nla resdual d suatu loas s, dyataa dega r(s ), yag merupaa realsas dar peubah aca R(s ). Agar peasr Z ˆ( s ) tda bas maa la espetas dar R(s ) harus sama dega ol. Persamaaya dapat djabara sebaga berut: E{ R( s )} E{ Zˆ( s E{ E{ ) Z( s )} λ Z( s ) Z( s )} λ Z( s )} E{ Z( s λ E{ Z( s )} E{ Z( s Karea peubah aca Z(s) dasumsa stasoer, atau dapat dyataa EZs { ( )} μ, maa )} )} ERs { ( )} λ μ μ Peasra Kaduga..., Putu Jaya Adyaa Wdhta, FMIPA UI, 8

6 Agar peasr Z ˆ( s ) memeuh sfat tda bas maa la espetas dar R(s ) sama dega ol. ERs { ( )} μ λ μ μ λ μ λ (.3.).3. Peasr terba Suatu peasr dataa terba ja mempuya varas resdual yag mmum. Agar Z ˆ( s ) dataa peasr terba maa harus meml varas resdual yag mmum. Bobot rgg λ, λ,..., λ ddapata dega cara memmuma mea square predcted error terhadap edala λ dega megguaa metode pegal Lagrage. Mea square predcted error dapat dyataa sebaga berut: MSPE E Zˆ s Z s {( ( ) ( )) } (.3.3) Varas dar resdual pada loas s o dapat dyataa sebaga berut: Var{ R( s ˆ )} Var{ Zs ( ) Z( s)} E Zˆ s Z s {( ( ) ( )) } cov{ Zˆ( s). Zˆ( s ˆ ˆ )} cov{ Z( s). Z( s)} cov{ Z( s). Z( s)} + cov{ Z( s). Z( s)} cov{ Zˆ( s ). Zˆ( s )} cov{ Zˆ( s ). Z( s )} + cov{ Z( s ). Z( s )} (.3.4) Pembutaya dapat dlhat pada lampra 3. Karea Zˆ( s ) λz ( s ), maa dperoleh Peasra Kaduga..., Putu Jaya Adyaa Wdhta, FMIPA UI, 8

7 Var{ R( S ˆ ˆ ˆ )} cov{ Z( s). Z( s)} cov{ Z( s). Z( s)} + cov{ Z( s). Z( s)} σ σ + λλ C λc (.3.5) R j j j Pembutaya dapat dlhat pada lampra 4. Utu mecar la λ, λ,..., λ yag meyebaba peasr meml varas resdual yag mmum aa dguaa metode pegal Lagrage, yatu metode yag dguaa utu memmuma fugs dega edala λ. Msala terdapat suatu parameter m atau dsebut juga dega parameter Lagrage. Dega meambaha m, da megutsertaa syarat ta bas, sstem persamaaya dapat dbuat sebaga berut: σ σ + λλ C λc + m( λ ) R j j j (.3.6) λ (.3.7) Kemuda, varas resdual dmmuma dega meghtug turua parsal pertama terhadap λ, λ,..., λ da m da membuat setap turua tersebut sama dega ol. Utu λ hasl turua parsal pertamaya adalah sebaga berut. j λ C j j ( σ R ) ( λ ) j λ C j j j + m C + m C λ C j j C + m Peasra Kaduga..., Putu Jaya Adyaa Wdhta, FMIPA UI, 8

8 Pembutaya dapat dlhat pada lampra 5. Peurua juga dlaua terhadap λ, λ3,..., λ, da m maa aa dperoleh sstem persamaa sebaga berut: j λ jc j C + m λ jc j j λ jc j C + m λ jc j j λ jcj C + m λ jc λ j j j j + m C + m C + m C Hasl turua parsal terhadap λ, λ,..., λ da m yag memmuma varas resdual da memeuh edala λ dapat dyataa dalam sstem persamaa dega + persamaa d bawah : j λ C + m C,,.,; da (.3.8) j j λ (.3.9) Betu matrs dar sstem persamaa d atas dapat dyataa sebaga berut: C() C( s s)... C( s s ) λ C( s s) Cs ( s) C().. λ Cs ( s) Cs ( s).. C() λ Cs ( s )... m (.3.) Peasra Kaduga..., Putu Jaya Adyaa Wdhta, FMIPA UI, 8

9 3 Sstem persamaa (.3.) dsebut juga sstem persamaa ordary rgg. Berdasara hubuga atara ovarogram da semvarogram, γ ( h) C() C( h) sstem persamaa ordary rgg juga dapat dyataa dalam betu semvarogram, yatu γ() γ( s s)... γ( s s ) λ γ( s s) γ( s s) γ().. λ γ( s s) γ( s s).. γ() λ γ( s s )... m (.3.) Dar sstem persamaa (.3.) atau (.3.), emuda dapat dhtug la λ, λ,..., λ. Setelah dperoleh λ, λ,..., λ maa dapat dtasr la Z(s ) melalu persamaa Zˆ( s ) λz ( s ). Varas resdual yag mmum dperoleh dega mesubsttus persamaa (.3.8) da (.3.9) e persamaa (.3.5). Lagah-lagahya adalah sebaga berut:. Kala setap persamaa pada sstem persamaa ordary rgg dega λ λ λ jcj + m λc,,.,. Jumlaha setap persamaa d atas sehgga mejad Peasra Kaduga..., Putu Jaya Adyaa Wdhta, FMIPA UI, 8

10 4 λ λ C + λ m λ C j j j λ λ jcj λ C j λ m Karea λ, maa persamaaya mejad: λ λ jcj λ C j m (.3.) substtusa persamaa (.3.) e persamaa (.3.5), sehgga mejad: σ R σ R σ R σ + λ λj Cj λ C j σ + λ C m λ C σ λ C m σ λ C + m Kemuda ddapat varas resdual yag mmum dalam betu ovarogram, yatu: σ R σ λ C m Sedaga varas resdual yag mmum dalam betu semvarogram adalah: Peasra Kaduga..., Putu Jaya Adyaa Wdhta, FMIPA UI, 8

11 5 σ R λ γ m Varas resdual yag mmum dsebut juga varas ordary rgg yag dapat dotasa dega σ OK..4 VALIDASI SILANG Keta model semvarogram aa dguaa dalam sstem persamaa ordary rgg, sebelumya aa duj dahulu apaah model semvarogram sesua dega eadaa data spasal. Peguja yag aa dguaa adalah valdas slag. Dalam peguja valdas slag, model semvarogram duj dega megguaa la dar sampel. Setelah model dplh, la sampel yag sudah ada emuda dtasr dega megguaa metode ordary rgg terhadap sampel tersebut. Setelah tu, badga la sampel yag sebearya dega hasl yag dperoleh melalu metode peasra. Selsh atara edua la tersebut dsebut resdual. Resdual dasumsa berdstrbus ormal. Dalam valdas slag, dguaa la-la resdual terbau utu meetua apaah model semvarogram yag dplh sudah vald. Resdual terbau adalah resdual yag sudah dstadarsas. Statst uj yag dguaa adalah statst uj Q. Ja model sudah vald, model semvarogram tersebut dapat dguaa utu measr la dar peubah teregoal d loas yag tda tersampel. Peasra Kaduga..., Putu Jaya Adyaa Wdhta, FMIPA UI, 8

12 6.4. Statst Uj Q Statst uj Q dguaa utu meetua apaah model semvarogram vald atau sesua dega eadaa data spasal. Q meyataa rata-rata resdual terbau, yatu: Q ( zˆ z ˆ σ ) Ja ε ( zˆ z ˆ σ ), maa Q dapat dyataa sebaga berut: Q ε Dmaa ε merupaa resdual terbau da ε ~ N (,). Pembuta dapat dlhat pada lampra 6. Dstrbus dar Q adalah ormal dega mea ol da varas atau dapat dyataa sebaga berut: Q ~ N, Pembuta dapat dlhat pada lampra 7. Dega megguaa statst uj Q, model dtola ja Q > Peasra Kaduga..., Putu Jaya Adyaa Wdhta, FMIPA UI, 8

13 7 Selajutya aa djelasa megea prosedur yag dlaua dalam valdas slag..4. Prosedur Valdas slag Dalam peguja valdas slag, lagah-lagah yag dlaua adalah sebaga berut:. Msal z(s ) adalah la dar peubah aca Z(s) d loas s dmaa,,3,.,. Htug la tasra zs ˆ( ) dega megguaa metode ordary rgg haya dega megguaa la z(s ). Sehgga (s ) dapat dyataa sebaga berut: ( ) λ ( ) zˆ s z s Dega meyelesaa sstem persamaa ordary rgg ˆ γ ( s s) λ ˆ( γ s s) m dperoleh zs ˆ( ) z(s ) da ˆ σ λ ˆ( γ s s) m ˆ( γ s s). Badga zs ˆ( ) dega la z(s ) dar data sampel. Kemuda htug resdual dar tasra, Peasra Kaduga..., Putu Jaya Adyaa Wdhta, FMIPA UI, 8

14 8 r(s ) zs ˆ( )- z(s ) 3. Selajutya dguaa la z(s ) da la z(s ) utu measr la zs ˆ( ). Kemuda htug resdualya Setelah seluruh resdual telah dhtug, emuda laua stadarsas resdual. Resdual yag telah dstadarsas tersebut dsebut resdual terbau. Resdual terbau dyataa dega ε. ε r( s ) ˆ σ 5. Lajuta prosedur yag sama sampa dperoleh zs ˆ( ) dega megguaa z(s ), z(s ),.., z(s - ) da emuda htug resdual da resdual terbauya. Secara umum, resdual da resdual terbau dapat dyataa sebaga berut: r(s ) zˆ ( s ) - z(s ) utu,.., ε r( s ) ˆ σ utu,.., 6. Htug rata-rata dar eseluruha resdual terbau (Q ), yatu: Q ε Peasra Kaduga..., Putu Jaya Adyaa Wdhta, FMIPA UI, 8

15 9 7. Setelah tu dlaua peguja hpotess H : Model semvarogram coco (vald) H : Model semvarogram tda coco (tda vald) Statst uj : Q ε Atura eputusa dega tgat sgfas.5. H dtola ja Q > Atau dega perataa la, model semvarogram yag dplh tda coco (vald) ja Q >.4.3 Pemlha Model Semvarogram Yag Terba Keta selesa melaua uj valdas slag, ada emuga dperoleh lebh dar satu model semvarogram yag vald. Cara utu megetahu model maaah yag palg ba dguaa yatu dega membadga la Q dar masg-masg model. Nla Q dyataa sebaga berut: Q ( zˆ z ˆ σ ) Peasra Kaduga..., Putu Jaya Adyaa Wdhta, FMIPA UI, 8

16 Model yag palg ba adalah model yag meml rata-rata resdual yag medeat ol. Jad, model yag terba adalah model yag meml la Q palg medeat ol. Peasra Kaduga..., Putu Jaya Adyaa Wdhta, FMIPA UI, 8