UKURAN LEBESGUE DALAM GARIS BILANGAN REAL SKRIPSI

Transkripsi

1 UKURAN LEBESGUE DALAM GARIS BILANGAN REAL SKRIPSI Oleh: MUTHMAINNAH NIM : JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG Otober 008

2 UKURAN LEBESGUE DALAM GARIS BILANGAN REAL SKRIPSI Oleh: MUTHMAINNAH NIM: JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG Otober 008

3 UKURAN LEBESGUE DALAM GARIS BILANGAN REAL SKRIPSI Dajua Kepada : Uverstas Islam Neger Malag Utu Memeuh Salah Satu Persyarata Dalam Memperoleh Gelar Sarjaa Sas (S.S) Oleh: MUTHMAINNAH NIM : JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG Otober 008

4 UKURAN LEBESGUE DALAM GARIS REAL SKRIPSI Oleh: MUTHMAINNAH NIM : Telah Dsetuju utu Duj Malag,... Otober 008 Dose Pembmbg I, Dose Pembmbg II, Drs. Usma Pagalay, M.S Ach. Nashchudd, MA. NIP NIP Megetahu, Ketua Jurusa Matemata Sr Har, M. S NIP

5 UKURAN LEBESGUE DALAM GARIS BILANGAN REAL SKRIPSI Oleh: MUTHMAINNAH NIM: Telah Dpertahaa d Depa Dewa Peguj Srps da Dyataa Dterma sebaga Salah Satu Persyarata utu Memperoleh Gelar Sarjaa Sas (S.S) Taggal: 0 Otober 008 Susua Dewa Peguj: Tada Taga. Peguj Utama : Wahyu H. Irawa, M.Pd ( ) NIP Ketua : Sr Har, M.S ( ) NIP Seretars : Drs. Usma Pagalay, M.S ( ) NIP Aggota : Ach. Nashchudd, MA. ( ) NIP Megetahu da Megesaha, Ketua Jurusa Matemata Sr Har, M.S NIP

6 UKURAN LEBESGUE DALAM GARIS BILANGAN REAL SKRIPSI Oleh: MUTHMAINNAH NIM: Telah Dpertahaa d Depa Dewa Peguj Srps da Dyataa Dterma sebaga Salah Satu Persyarata utu Memperoleh Gelar Sarjaa Sas (S.S) Taggal: 0 Otober 008 Susua Dewa Peguj: Tada Taga. Peguj Utama : Wahyu H. Irawa, M.Pd ( ) NIP Ketua : Sr Har, M.S ( ) NIP Seretars : Drs. Usma Pagalay, M.S ( ) NIP Aggota : Ach. Nashchudd, MA. ( ) NIP Megetahu da Megesaha, Dea Faultas Sas da Teolog Prof. Drs. Sutma B. Sumtro, SU., DSc. NIP

7 PERSEMBAHAN Alhamdulllah wa syuurllah. Dar relug hat yag terdalam. Kuucap berbu syuur atas mat, tauf, hdayah, da mauah-mu Ya Allah... Yag semoga selalu membera Rdho-Nya. Sholawat ma a salam uhatura eharbaa-mu peyeju hat, peyempura ahlaq, eash Allah Sayydul Wujud Rasululah Saw yag telah memberu ebaggaa dega mejad salah satu dar umatya. Kupersembaha arya tuls utu Ibuda tercta Ibu Ruchayah atas doa, pegorbaa materl, maupu morl, serta sprtul da rdhoya yag tulus da terus memberu euata, sprt, motvas, duuga, bmbga, araha, doroga, semagat, pemra, masua yag selalu megrg lagah peuls utu terus berjuag. Aby M. Masur, S. Ag yag selalu mejad sumber spras da telada utu terus berarya serta optms. Ad Maudhotul Husa yag selalu membera batua dega hlas da tapa megeluh dalam meyelesaa srps. Kae Burha, ee Fathoah, ae Abdul Maaf, ee Taslmah yag seatasa medo aa, da membera ashat-ashat utu tda perah ada ata malas da putus asa. Syuro atsr Alaa... Halaty Hj. Zayah, amy H. Ghufro, halaty Hj. Shofyah, Ahy Fathur Roz, ahy M. Chold, uhty Nsful Lal, uhty Muhmmatul Fatat, Fataur Baty Tsulutsya, uhty Khusul Khotmah, shoby Rfq Abdllah, da shoby Al.

8 MOTTO BERPIKIR DAN BERDZIKIR Hdup adalah eyaa da perjuaga, da perjuaga seseorag mum sejat tda aa berhet ecual eta edua telapa aya telah megja ptu surga. Saat sesuatu mejad sebuah tea-te. Harus dlalu peuh percaya dr. Saat sesuatu mejad sebuah tea-te. Da harus tetap dlalu utu megugap mster. Terbaglah meatag. Prestas membetag jadlah bag. Jadlah bag! Jadlah bag! Jadlah bag!

9 SURAT PERNYATAAN Dega, saya yag bertada taga d bawah : NAMA : MUTHMAINNAH. NIM : JURUSAN : MATEMATIKA. FAKULTAS : SAINS da TEKNOLOGI. JUDUL SKRIPSI : UKURAN LEBESGUE DALAM GARIS BILANGAN REAL. Dega saya meyataa, bahwa dalam srps tda terdapat arya yag perah dajua utu memperoleh gelar esarjaaa pada suatu Pergurua Tgg, da sepajag pegetahua saya, juga tda terdapat arya atau pedapat yag perah dtuls atau dterbta oleh orag la., ecual yag secara tertuls dacu dalam asah da dsebuta dalam daftar pustaa, serta srps merupaa hasl arya cpta saya, bua jplaa da trua dar srps orag la. Malag, 3 Otober 008 MUTHMAINNAH NIM

10 KATA PENGANTAR Alhamdulllah, segala puja da puj syuur ehadrat Allah SWT yag telah melmpaha rahmat, taufq, hdayah, da mau ah, sehgga peuls dapat meyelesaa srps yag berjudul Uura Lebesgue dalam Gars Real dber augerah oleh Allah berupa elacara, sehgga dapat dselesaa tepat sesua dega jadwal recaa erja yag telah terstrutur. Shalawat serta salam tetap terhatura da tercurah lmpaha eharbaa Nab besar Muhammad S.A.W. selau pembawa berta gembra bag orag yag berma da pember pergata bag orag yag meetagya, serta sebaga utusa yag membawa rsalah da meyempuraa ahlaq mausa. Srps merupaa arya lmah yag dsusu oleh mahasswa Program Sarjaa (SI) sebelum dyataa lulus sebaga seorag sarjaa pada bdag lmu tertetu. Srps berjudul Uura Lebesgue dalam Gars Real dtuls bua bermasud utu membuta teorema-teorema da lemma-lemma yag terdapat dalam uura Lebesgue dalam gars real, area peuls tda meml emampua tu. Srps mecoba mejelasa, medetala, da memapara, serta member cara la utu membuta ebeara teoremateorema da lemma-lemma yag sudah terdapat pada buu-buu referes uura Lebesgue yag sebaga besar mash berbahasa Iggrs da yag pembuta teoremaya mash belum detal membula esulta, pertama utu memaham bahsa Iggrs tu sedr, da edua memaham mater yag memag sagat abstra.

11 Srps uura Lebesgue dalam gars real dsaja dalam empat baga besar, melput: (a) Pedahulua, yag memuat latar belaag damblya juduluura Lebesgue dalam gars real yag juga dtegrasa dega QS Al Qomar ayat 49, rumusa masalah, tujua peulsa, mafaat pelsa, batasa masalah, metode peelta, da sstemata peulsa, (b) Kaja teor, memuat hmpua berhgga da hmpua ta berhgga, operas hmpua yag dperumum, peutup atau closure, parts, lguga atau eghborhood, sfat elegapa pada R, terval, tt teror da hmpua bua dalam R, tt lmt, hmpua tertutup, hmpua deumarabel da otabel, compact sets: Teorema Hee-Borel, barsa mooto, da la mutla, serta tafsr da pejelasa QS Al-Qomar ayat 49, (c) Pembahasa, memuat teorema-teorema, lemma-lemma, but-but, da cotoh-cotohya, serta tegras pembuta ebeara teorema-teorema da lemma-lemma uura Lebesgue dalam gars real dega QS Al-Qomar ayat 49, da (d) Peutup, memuat esmpula hasl peelta da sara utu peelta selajutya. Peyusua srps tda terlepas dar rga do a da besarya motvas, duuga, bmbga, araha, doroga, semagat, sprt, pemra, serta batua dar berbaga pha. Oleh area tu, pada esempata al, suatu ebaggaa bag peuls utu membera peghargaa da ucapa terma ash yag aa dsampaa epada : 5. Bapa Prof. Dr. H. Imam Suprayogo, selau Retor UIN Malag. 6. Bapa Prof. Drs. Sutma B. Sumtro, SU., DSc., selau Dea Faultas Sas da Teolog UIN Malag beserta stafya.

12 7. Ibu Sr Har, M.S, selau Ketua Jurusa Matemata Faultas Sas da Teolog UIN Malag. 8. Bapa Drs. Usma Pagalay, M.S, selau Dose Pembmbg Srps, yag telah membera pegaraha dalam megaalss data da membuta teorema, lemma, serta corollary, membera bmbga dalam meyelesaa soal soal tetag uura Lebesgue, serta telah memapara dega jelas jawaba dar semua pertayaa yag peuls ajua dalam meyelesaa srps. 9. Bapa Ach. Nashchudd, MA., selau Dose Pembmbg II, yag telah membera pegaraha dalam megaalss, meafsra ayat-ayat Al Qur a, da membera pejelasa tetag tegras atara QS Al Qomara ayat 49 da uura Lebesgue dalam gars real, serta telah memapara dega jelas jawaba dar semua pertayaa yag peuls ajua dalam meyelesaa srps. 0. Ab Moh. Masur, S.Ag, bu Ruchayah, da ad Maudhotul Husa, serta segeap eluarga yag telah merdho da baya berorba ba materl maupu morl, serta sprtul yag berupa do a yag selalu megrg setap lagah peuls.. Saudara da sahabat seperjuaga yag seagata jurusa matemata Faultas Sas da Teolog yag telah membera sumbagsh berupa masua, pemra, da de dem elacara selama peyelesaa srps berlagsug. Da pha pha la yag selalu membatu.

13 Semoga segala yag belau laua mejad amal sholeh medapat rdho Allah SWT. Keterbatasa lmu yag dml peuls, mejad celah tmbulya euraga, jauh dar sempura, da esalaha. Oleh area tu, peuls meerma da megharapa masua, sara, rt, da tegura dar semua evaluator da pembaca dem esempuraa srps. Semoga srps dapat membera mafaat da dapat mejad lteratur peambah wawasa dalam aspe pegajara bdag matemata da hususya pada masalah uura. Am. Malag, Otober 008 Peuls.

14 DAFTAR ISI Halama HALAMAN JUDUL... HALAMAN PERSETUJUAN... HALAMAN PENGESAHAN... HALAMAN PERSEMBAHAN... v HALAMAN MOTTO... v SURAT PERNYATAAN... v KATA PENGANTAR... v DAFTAR ISI... x ABSTRAK... xv BAB I : PENDAHULUAN. Latar Belaag.... Rumusa Masalah Tujua Mafaat Batasa Masalah Metode Peelta Sstemata Peulsa... 0 BAB II : KAJIAN TEORI. Hmpua Berhgga da Hmpua Ta Berhgga.... Operas Hmpua yag Dperumum....3 Peutup atau Closure... 4

15 .4 Parts Lguga atau Neghborhood Sfat Kelegapa padar Iterval....8 Tt Iteror da Hmpua Bua dalam R Tt Lmt Hmpua Tertutup Hmpua Deumarable da Kotable Compact sets: Teorema Hee Borel Barsa Mooto Nla Mutla Tafsr da Pejelasa QS Al Qomar ayat BAB III : PEMBAHASAN 3. Uura Kumpula Terbua Terbatas Uura Kumpula Tertutup Terbatas Pegaata Atara QS Al- Qomar Ayat 49 da Uura Lebesgue BAB IV : PENUTUP 4. Kesmpula Sara Bag Jurusa Matemata Faultas Sas da

16 Teolog UIN Malag Bag Peelt selajutya DAFTAR PUSTAKA CURICULLUM VITAE... 00

17 ABSTRAK Muthmaah Uura Lebesgue Dalam Gars Blaga Real. Pembmbg: Drs. Usma Pagalay, M.S. da Ach. Nashchudd, MA. Kata Kuc: Uura Lebesgue, Gars, Blaga real. Uura Lebesgue pertama al dtemua oleh Hery Leo Lebesgue, pada tahu Uura Lebesgue dar A yag dotasa µ ( A) merupaa uura hmpua A R (uura dar suatu blaga real oegatf). Oleh area tu, uura Lebesgue dobata sebaga pembua ptu teor tetag uura dalam gars blaga real. Berdasara latar belaag tersebut, peelta dlaua dega tujua utu: meyebuta, medsrpsa, megaalss, da membuta teorema-teorema yag berlau pada uura Lebesgue dalam gars real. Peelta lebh bersfat aalss da dlaua dega cara stud lteratur dega mempelajar buu-buu tes peujag da osultas dega dose pembmbg. Dalam hal peuls aa memapara da mejelasa defs, megaalss da membuta ebeara teorema-teorema uura Lebesgue yag terdr dar: () Uura umpula terbua terbatas, () Uura umpula tertutup terbatas, (3) Uura luar da uura dalam, (4) Uura umpula teruur terbatas yag populer dega Uj Caratheodory. Teorema-teorema yag daalss da dbuta ebearaya, atara la: () Ja M meyataa oles umpula terbua terbatas da µ meyataa fugs uura, maa µ : M R bersfat: 0 µ G < G M (a) ( ) ( ); (b) G M (, ), G G µ ( G ) µ ( G ); (c) (,,... ),,( ) G M G G j φ j µ U G µ ( G ); (d) (,,... ) G M µ U G µ ( G ). () Ja H meyataa oles umpula tertutup terbatas, maa µ : H R bersfat: 0 µ F < F H (a) ( ) ( ); (b) F H (, ), F F µ ( F ) µ ( F ); F φ µ U µ (c) (,,... H ), F Fj, ( j) F ( F ).

18 BAB I PENDAHULUAN.. Latar Belaag. Matemata merupaa suatu lmu yag mempuya obye aja abstra, yag uversal yag medasar perembaga teolog moder, da mempuya pera petg dalam berbaga dspl serta megembaga daya pr mausa. sehgga memuat varabel varabel yag bermafaat bag dspl lmu la. Dalam hal memacu peggua matemata lebh berwawasa luas area tda dbatas oleh suatu osep tertetu. Pola pr matemata bersfat dedutf yatu dar obye yag umum meuju suatu pegambla suatu esmpula, sehgga dapat mejembata meuju lagah selajutya. Aplas matemata dapat damat dalam proses peyelesaa suatu permasalaha yag dmodela dalam osep matemata. Dega memperhata semesta pembcaraya, osep tersebut aa lebh mudah dselesaa da dapat dambl suatu perraa yag medeat suatu esmpula. Ja suatu permasalaha tu omples, maa dapat dbetu sstem matemata. Sehgga aplas aplas matemata sepert perembaga pesat d bdag teolog formas da omuas dewasa dladas oleh perembaga matemata yag metberata pada perbedaa aspe aspe teor. Dar sudut padag adaya macam macam aspe teor tersebut, lmu matemata memperlebar caupa pemahamaya pada beberapa cabag, sepert matemata aalss, statst, da pemrograma (Parzys, 98:49).

19 Aalss matemata moder atau alulus lajuta tda meeaa pada perhtuga da rumus atau atura, tetap pembahasaya ddasara pada pegembaga osep dasar da teor dega megguaa pealara utu memperoleh prsp prsp yag berupa defs, asoma, lemma, corollary, da teorema teorema beserta pembutaya. Sedaga lasfas mater da pedeataya memag bersfat sagat abstra da tutf utu memaham da megembaga metode metode da te te yag dperguaa dalam but but. Sehgga suatu pemahama yag ba sagat dperlua utu esusesa dalam mempelajar aalss matemata. Sela tu, aalss medomas wlayah dar matemata. Karea de deya merupaa dasar da eutamaa yag tda haya ddefsa saja, tetap artya dterma secara uversal (Golbert, 976:). Hmpua dalam matemata ddsrpsa sebaga suatu suu, suatu hmpua adalah oles yag ddefsa dega jelas dar obye obye yag dsebut eleme eleme atau aggota aggota, sedaga suu haya ddefsa artya utu beberapa measme yag eberadaaya dguaa utu meetua suatu aggota dar hmpua. Adapu hmpua merupaa suatu osep yag palg petg dalam aalss matemata da aplas aplasya medudu suatu peraa pusat dalam mater pajag selag suatu terval (Paul, 978:49). Suatu barsa adalah suatu yag doma (daerah asal) ya adalah hmpua blaga asl, sedaga fugs fugs yag ddefsa pada N (blaga blaga asl) adalah suatu subset dar R (blaga blaga real) yag dapat

20 meujua la dar suatu barsa. Sela tu, osep barsa dguaa sebaga alat da de lmt dar suatu barsa yag mempersapa smbol lebh umum yatu lmt fugs. Sehgga barsa adalah de dasar utu semua lmt da fugs, sedaga utu fugs fugs terbatas pada lmt merupaa dasar dar alulus (Paul, 978:6). Hmpua blaga real mempuya sfat sfat aalog utu barsa dar blaga real. Barsa da hmpua dar blaga real dapat dsebut sebaga oles oles dar blaga real. Suatu hmpua sebaga baga dar strutur suatu barsa da dguaa dalam suatu spectrum matemata yag luas. Sedaga rage dar suatu barsa adalah suatu hmpua yag sfat sfatya dapat meolog dalam meetua araterst ararerst dar barsa. Ja rage dar barsa dotasa { a } yag ddefsa { R} a da terbatas, maa barsaya adalah { a } tu sedr. Tetap sebalya, syarat perlu dar suatu barsa yag overge adalah terbatas. Karea mempuya satu tt cluster (tt lmt). Sehgga hmpua aalog dar suatu tt cluster (tt lmt) dar suatu barsa dega peghususa peghususa tertetu pada defsya (Mafred, 00:3). Keotua adalah osep yag palg petg dalam matemata aalss, da aplas aplasya medudu suatu peraa pusat dalam mater pajag selag suatu terval. Suatu fugs yag otu merupaa pegerta tertetu dar suatu uura. Defs defs da teorema teorema dalam hmpua da barsa sagat dbutuha dalam megostrus uura. Oleh sebab tu, dperguaa

21 perluasa sstem blaga real yag merupaa subye atual da baga petg utu memula de yag lebh dasar serta aprosmas dar suatu uura. Sehgga suatu hmpua da barsa memcu perembaga beberapa teor uura, atara la uura pada rg, uura Hausdorff, uura Haar, da uura Spectral. Sedaga setap hmpua yag mempuya pedeata yag ba dar hmpua hmpua ompa (Compact sets) mempereala uura luar (Outer measure) da uura dalam (Ier measure) (Paul, 978:73). Teor uura merupaa suatu lmu utama yag termasu d dalam elompo aalss da merupaa pembahasa poo dalam alulus, serta merupaa salah satu top yag terdepa. Sepert lmu lmu yag la dalam matemata, maa teor uura moder bualah subye mat da mash tetap berembag luas sepert lmu lmu laya ba dar seg teor maupu pemaaaya. Sela tu, osep uura lebh meeaa pada varabel real dega teor utama alulus moder. Teor uura ddasara pada suatu teor dar hmpua teruur. Ide da gagasa teor uura berasal dar suatu hmpua yag dalam urutaya ddasara pada de prmtf da las dar uura (volume) suatu terval. Pedeata alteratf dar suatu uura aa mempertmbaga suatu eluarga dar hmpua da megasumsa bahwa merea semua mempuya uura. Hal tu megasumsa bahwa setap aggota dar hmpua dapat dlasfasa dalam aggota yamg memeuh dasar da syarat dar suatu uura (Paul, 978:).

22 Berasal dar asums tersebut, maa pada tahu Hery Leo Lebesgue, seorag matematawa Pracs mecermat feemea geeralsas pajag atau uura selag. Selajutya Lebesgue meyusu suatu uura yag sagat dperlua dalam baya wlayah matemata yag deal dega ama uura Lebesgue. Uura Lebesgue dar A yag dotasa µ ( A) merupaa uura hmpua A R (uura dar suatu blaga real oegatf). Sedaga dega megguaa uura Luar, Lebesgue meyusu teor uura luar Lebesgue. Uura luar Lebesgue merupaa uura luar yag teratur, sehgga bahwa suatu uura meyebaba tmbulya uura luar da bahwa uura luar juga meyebaba suatu uura. Keduaya merupaa suatu etetua yag alam. Lalu dega megguaa uura dalam, Lebesgue meyusu teor uura dalam Lebesgue (Fra, 993:60). Selajutya Lebesgue memperluas daerah defs uuraya pada uura umpula terbua da tertutup terbatas yag medasara masg masg defsya pada teorema Caratheodory. Kemuda dega strutur omplt dar hmpua hmpua, maa Lebesgue memperluas daerah defs fugs uura pada gars real atau meletaaya dalam ruag dmes R. Dalam hal suatu tugas yag otrval utu meetua terdapatya hmua hmpua teruur atau tda. Fugs fugs pada R dasumsa pada sfat varas dar gars real R. Jad uura Lebesgue dobata sebaga pembua ptu teor tetag uura dalam gars real. Dega megguaa uura Lebesgue, maa Lebesgue mecptaa da meyusu suatu teor tegral baru yag deal dega ama tegral Lebesgue, sebab peerapa uura Lebesgue pada tegral Lebesgue,

23 megabata bahwa tegral Lebesgue membera perluasa dah dar tegral Rema da tegral Steltjes, area tegral Lebesgue membuat lebh baya fugs dapat dtegrala, tetap tda berlau sebalya. Jad uura Lebesgue dalam tegral Lebesgue termasu pembahasa baru dalam aalss matemata moder (Fra, 993:). Sas megugapa bahwa alam semesta tda terjad secara ebetula. 'Tuha tda sedag berma dadu, ugap Albert Este. Semua berdasara perhtuga, uura, da perecaaa yag matag, baha eta detuma besar pertama dmaa Allah, dega ata Ku-Nya, Jadlah, mecptaa alam semesta dalam htuga t 0 hgga 43 0 det. Stepphe Hawg megataa Seadaya pada saat detuma besar terjad urag atau lebh cepat seperjuta det saja, maa alam semesta tda aa sepert (Abah, 007:9). Frma Allah dalam surat Al Qomar ayat 49 ا ن ا ك ل ش ي ء خ ل قن اه ب قد ر Artya: Sesugguhya Kam mecptaa segala sesuatu meurut uura. Berdasara QS Al Qomar ayat 49, uraa da pemapara tersebut, dalam srps aa megtlaa UKURAN LEBESGUE DALAM GARIS BILANGAN REAL. Dbahas juga sfat sfat dasar, teorema-teorema, da lemma-lemma, serta pembuta ebearaya.

24 .. Rumusa Masalah. Berdasara latar belaag tersebut, maa rumusa masalah dalam srps adalah : Apa teorema teorema da bagamaa pembutaya pada uura Lebesgue dalam gars blaga real?.3. Tujua Peulsa. Berdasara rumusa masalah tersebut, maa tujua dalam peulsa srps adalah : Meyebuta da medsrpsa, serta membuta teorema teorema yag berlau pada uura Lebesgue dalam gars blaga real..4. Mafaat Peulsa. Peulsa srps bermafaat bag :.4.. Peuls, yatu sebaga peambah pegetahua tetag teor-teor yag terat dega teor uura..4.. Pembaca, yatu sebaga wahaa dalam meambah hazaah elmua da sebaga tt awal pembahasa yag bsa dlajuta atau lebh dembaga Lembaga, yatu sebaga tambaha pegetahua da pustaa yag terat dega teor uura.

25 .5. Batasa Masalah. Supaya pembahasa lebh terfous, maa dalam srps peuls membuat batasa masalah dalam pembahasa, yatu bahwa mater uura Lebesgue yag daalss mecaup, atara la:. Uura umpula terbua terbatas, Ja M meyataa oles umpula terbua terbatas da µ meyataa fugs uura, maa µ : M R dbatas oleh: 0 µ ( G) < ( G M ) 3. Uura umpula tertutup terbatas, Ja H meyataa oles umpula tertutup terbatas, maa : H R µ dbatas oleh: 0 ( F ) < ( F H ); µ 4. Uura luar umpula terbatas, µ E E ; Uura luar * : R * R µ, dbatas oleh: 0 ( ) ( ) 5. Uura dalam umpula terbatas, Uura dalam : R * R * µ, yag dbatas µ E E. R oleh: 0 *( ) ( ) 6. Kumpula teruur terbatas, Ja A meyataa oles umpula teruur terbatas da µ meyataa fugs uura, maa µ : A R, dbatas oleh: ( E) < ( E A) 0 µ,. Dega meerapa teor da osep secara medetal tetag hmpua, barsa, da fugs otu. Karea hmpua, barsa, da fugs otu sagat

26 berata, meyagut, da meduug sehgga teorema dar uura Lebesgue terbut ebearaya..6. Metode Peelta. Srps merupaa peelta yag berjes aalss da dlaua dega cara stud lteratur dega mempelajar buu buu tes peujag, arya arya lmah yag dsaja dalam betu jural, lapora peelta, da osultas dega dose pembmbg yag dalam hal selau prats da sealgus pemater atau ara sumber, ba dalam proses perecaaa, pegerjaa, revs sampa meuju peyelesaa masalah. Dalam hal peuls aa membuta teorema-teorema pada uura Lebesgue dalam gars blaga real. Sela tu, peuls aa memapara da mejelasa defs, sfat sfat dasar dsrptf, da teorema-teorema dar hmpua, barsa, da fugs otu yag medasar da mempuya ata erat dega teorema uura Lebesgue. Adapu metode peelta peuls, yatu suatu metode pegumpula data yag dlaua dega cara mempelajar buu-buu tes sebaga sumber data yag megadug mater mater yag baya berhubuga dega aalss matemata tetag teor uura dalam gars blaga real, hususya uura Lebesgue, serta dalam srps peuls membuta teorema-teorema sebaga data dega meetua osep yag dperoleh dar lteratur. Adapu te aalss dega metode ualtatf, yatu metode yag meyebuta defs defs, lalu pegumpula teorema-teorema utu dbuta ebearaya, setelah tu megambl cotoh-cotoh yag berata

27 dega teorema-teorema uura Lebesgue, meyelesaa cotoh-cotoh dega meerapa teorema-teorema yag telah dbuta ebearaya, emuda lagah terahr mear esmpula..7. Sstemata Peulsa. Srps terdr dar empat BAB, atara la : BAB I PENDAHULUAN, memuat latar belaag yag juga dtegrasa dega QS Al Qomar ayat 49, rumusa masalah, tujua peulsa, mafaat peulsa, batasa masalah, metode peelta, da sstemata peulsa. BAB II KAJIAN TEORI, memuat defs-defs, teorema-teorema beserta pembutaya da cotoh-cotoh pada osep hmpua da barsa, serta tafsr da pejelasa QS Al-Qomar ayat 49. BAB III PEMBAHASAN, memuat teorema-teorema, but-but, da cotoh-cotoh uura Lebesgue dalam gars real, serta tegras atara QS Al- Qomar ayat 49 dega uura Lebesgue dalam gars blaga real. BAB IV PENUTUP, memuat esmpula hasl peelta da sara utu peelta selajutya.

28 BAB II KAJIAN TEORI.. Hmpua Berhgga da Hmpua Ta Berhgga.... Defs : dega blaga asl, ddefsa hmpua Ja A {,,3,..., } berhgga sebaga berut : Hmpua H dsebut hmpua berhgga atau fte ja da haya ja H φ atau ada hmpua A sedema hgga H A ( H euvale dega A ) utu suatu blaga asl. Berdasara defs tersebut d atas bsa dataa suatu hmpua fte ja bayaya aggota hmpua tersebut merupaa blaga cacah tertetu. Pada hmpua berhgga (ft) pegerta euvale mempuya oseues bahwa A B ( A euvale dega B ) ja da haya ja ( A) ( B) (jumlah aggota hmpua A sama dega jumlah aggta hmpua B ). Tetap hal tda berlau ja A da B hmpua Ta berhgga (ft) (Wahyud, 985:8). Cotoh : Hmpua berhgga. B { p, q, r, s, t} adalah cotoh hmpua ft area ( A) 5 atau B A.. C { a a prma da a 30}.

29 Hmpua Ta Berhgga. G {,3,5,7,... }.. P { x x blaga prma}. 3. R Hmpua blaga real. 4. I { x x } [,]...Operas Hmpua yag Dperumum.... Defs : Hmpua yag dtulsa dega lambag A damaa hmpua berdes, da dsebut sebaga des, dega { N N hmpua blaga asl} I, dsebut sebaga hmpua des. Kelas dar hmpua berdes dtuls { A, I} atau { A } I atau haya dtuls { } Cotoh : A (Wahyud, 985:8). D D { x x N, x elpa ta dar N}; {,,3,4,... }; D {,4,6,8,... }; D { 3,6,9,,... } da seterusya. Ja operas gabuga da rsa dlaua berulag dega memperluas sfat assosatf epada sejumlah hmpua yag bayaya berhgga yag termuat } I dalam elas hmpua { A dega I {,,3,..., }, maa dperoleh :

30 U I A U 3 A A A A A.... I A I A I A A A A I... Defs : U I A terdr dar usur usur yag berbeda pada palg sedt satu usur dalam A dmaa I, atau lebh sgat dtuls : U { x I, x } A I A I I A terdr dar usur usur yag merupaa usur dar setap A, dmaa I, atau sgat dtuls : { x x A, I} I A I (Wahyud, 985:9). Cotoh :. Msala {,0}, A {,4,6,0 }, A { 3,6,9}, A { 4,8}, A { 5,6,0 } A da ja I {,3,5}, maa U I I I A A A A4 A5 A A4 A5 {,3,4,5,6,8,0 }. { 6}.. Msala B 0, N, hmpua blaga asl, maa I N { 0} B da B [ 0,]. I N

31 .3.Peutup atau Closure..3.. Defs : Peutup atau closure dar A dtuls A adalah rsa dar semua hmpua baga tutup dar X yag memuat A. Dega ata la, ja { I} F dar X yag memuat A, maa : adalah elas dar semua hmpua baga tutup A I F berdasara uraa tersebut tetu A merupaa rsa dar semua hmpua tutup da A merupaa superset tutup terecl yag memuat A, yatu A A F.3.. Asoma Kuratows :. φ φ.. A A A. 3. A B A B. 4. A A (Wahyud, 985:3). Cotoh :. Msala A 0,,,,,... hmpua baga dar hmpua blaga 3 4 real R, maa A mempuya tepat satu tt lmt yatu 0. Jad A 0,,,,,

32 . Setap blaga real a R adalah tt umpul dar hmpua blaga rasoal Q. Jad peutup atau closure dar Q adalah hmpua blaga real R yatu Q R..4. Parts..5.. Defs : Parts suatu hmpua adalah elas hmpua baga ta osog dar suatu hmpua yag memeuh sfat sebaga berut :. Gabuga seluruh hmpua baga dalam elas tersebut merupaa hmpua tu sedr.. Sebarag dua hmpua baga tda sama dar elas tersebut salg asg. Atau dega ata la ja hmpuaya adalah A, maa parts dar A adalah elas hmpua baga { B } I dar hmpua A yag memeuh :. I I B A da. Utu sebarag, j berlau salah satu B B j atau B B j φ (Wahyud, 985:9). Cotoh :. Msala A {,, 3,..., 9, 0 }. B {, 3 }, B { 7, 8, 0 }, B 3 {, 5, 6 }, da B 4 { 4, 9 }. Kelas B { B, B, B 3, B 4 } memeuh sfat sebaga berut :

33 B B B 3 B 4 {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 } A da utu sebarag, j dma, j I {,, 3, 4 } berlau B B j da B B j φ, maa B { B, B, B 3, B 4 } dsebut parts dar A. 3. Ja N hmpua asl, B hmpua blaga geap, da G hmpua blaga gasal, maa { B, G } merupaa parts dar N..5. Lguga atau Neghborhood..5.. Defs : Msala a R da ε > 0. Hmpua dsebut lguga V ε dar a. ( a) { x R x a ε}. ε < Lguga dar a adalah sebarag hmpua yag memuat lguga a utu suatu ε > 0. ε dar Utu semua a R da > 0, ε maa ( ) { }. V x R a ε < x < a ε ε a + Jad ja y Vε ( a), berart a ε < y < a + ε..5.. Teorema : Msal a R. Ja But : x R termuat dalam sebarag lguga dar a, maa x a. Karea x termuat dalam sebarag lguga dar a, maa x V ( a), utu setap ε > 0. Adaa x a, maa x a 0, sehgga x a > 0. ε

34 Plh ε x a, maa x V ( a). Berart x a < x a < ε x a. Dperoleh x a < x a. Hal jelas tda mug. Jad terbut bahwa x a Defs : ε Msala p adalah tt dalam X. Hmpua N X. dsebut eghborhood dar tt p ja da haya ja N adalah superset dar suatu hmpua bua G yag memuat p atau G p, dtuls dega otas N egh.p. eghborhood dsebut juga sebaga tetagga atau lguga atau setara. Secara smbol dapat ddefsa sebaga berut : N egh.x N superset dar G x dega x G x N, dmaa G x hmpua bua yag memuat x. Kata la dar peryataa N eghborhood tt p adalah p tt teror dar N. Kelas dar semua eghborhood dar p X dtuls N p da dsebut Sstem Tetagga dar p (Abdusysyar, 006:33). Cotoh :. Msala a R dmaa R hmpua blaga rl. Maa setap terval tertutup [ δ a + δ ] a, dega pusat a adalah eghborhood dar a, area terval tersebut memuat terval bua ( δ a + δ ) a, yag memuat a.. Dema juga ja p R, maa setap daerah tutup { R d δ, δ > 0} q dega pusat p juga eghborhood dar p ( p, q)

35 area daerah tutup tersebut memuat daerah bua atau caram bua dega pusat p. Utu sstem lguga N p dar suatu tt p X ada 4 sfat yag dsebut sebaga Asoma Neghborhood sepert dyataa dalam proporss sebaga berut :. N φ da p termasu e dalam tap aggota N. p. Irsa dar dua aggota N p termasu dalam N p. 3. Setap superset dar aggota N p termasu dalam N p. 4. Setap aggota N N p adalah superset dar aggota G N p dega G adalah eghborhood dar setap tt dar G, yatu G, utu setap g G (Wahyud, 985:35). p N p.6. Sfat Kelegapa pada R..6.. Defs : Msala E R. E dsebut terbatas d atas ( bouded above ) ja terdapat x v v R sehgga utu semua x E, da v dsebut batas atas ( upper boud ) utu E. E dsebut terbatas dbawah ( bouded below ) ja terdapat u x u R sehgga utu semua x E, da u dsebut batas bawah ( lower boud ) utu E.

36 E dsebut terbatas ( bouded ) ja terbatas datas da terbatas dbawah (Abdusysyar, 006:34). Cotoh :. Msala A {,,3,4,5,6 }. Hmpua A terbatas d atas area a 8, utu semua a A. Hmpua A juga terbatas d bawah area 0 a, utu semua a A. Semua blaga real u 6 merupaa batas atas utu A, da semua blaga real u merupaa batas bawah utu A. Jad, hmpua A adalah terbatas.. Hmpua blaga asl {,,3,4,... } N terbatas d bawah da merupaa batas bawah, tetap tda terbatas d atas. Ja dbera v R, maa terdapat N sehgga > v. 3. Hmpua E,,,,... N terbatas d atas oleh sebarag 3 4 blaga real v da terbatas d bawah oleh sebarag blaga real u 0. batas atas terecl adalah da batas bawah terbesar adalah Hmpua osog, yatu φ, terbatas d atas da terbatas d bawah oleh semua blaga x R. Dega dema,φ tda mempuya batas atas terecl da batas bawah terbesar..6.. Defs : Msala E R, E φ, da terbatas d atas. v R dsebut batas atas terecl ( supremum ) dar E ja. x v, utu semua x E.. v s, utu semua s batas atas dar E.

37 Defs d atas meyataa bahwa agar v R mejad supremum dar E, maa () v haruslah batas atas dar E, da () v selalu urag dar batas atas yag la dar E Defs : Msala E R, E φ, da terbatas d atas. u R dsebut batas bawah terbesar ( fmum ) dar E ja :. u x, utu semua x E.. s u, utu semua s batas atas dar E. Defs d atas meyataa bahwa agar u R mejad fmum dar E maa () u haruslah batas bawah dar E, da () u selalu lebh dar batas bawah yag la d E. Suatu hmpua palg baya mempuya satu supremum atau fmum. Ja supremum da fmum dar suatu hmpua E ada, maa masg masg dotasa sup E da f E.6.4. Asoma Sfat Supremum pada R. Setap hmpua ta osog dr da terbatas d atas mempuya supremum Teorema : fmum. But : Setap hmpua ta osog d R da terbatas d bawah mempuya Msala E R, E φ, da terbatas d bawah.

38 Defsa S { x x E}. Ja u batas bawah dar E, maa u x, utu semua x E. Dperoleh x u, utu semua x E. Jad ( u) adalah batas atas dar S. Karea S tda osog da terbatas d atas, maa S mempuya supremum. Ja v adalah supremum dar,.6.6. Teorema: (Sfat Archmedes). But : S maa ( v) adalah fmum dar E. Ja x R, maa terdapat blaga asl N sehgga x <. Msala x R, da adaa tda ada N sehgga x <. Berart, utu semua N berlau x. Jad, N terbatas d atas oleh x. Karea N φ da terbatas d atas maa N mempuya supremum, sebut v R. Karea v < v, maa ada m N sehgga v < m. Dperoleh v < m + Karea m + N, berart v bua batas atas dar N. Kotrads dega v supremum dar N. Terbut terdapat blaga asl N sehgga x < Teorema: (Sfat Kepadata pada R ) Msala x, y R dega x < y. Maa ada blaga rasoal r sehgga

39 x < r < y. But : Tapa megurag sfat eumuma, msala x > 0, area y x > 0, maa terdapat N sehgga <. y x Dperoleh y x > atau y. x + Karea x > 0, maa terdapat m N sehgga m < x < m, sehgga m < x +. Jad dperoleh m < y. Jad x < m < y, da dega megambl m r dperoleh x < r < y (Abdusysyar, 006:38)..7. Iterval. Defs : Hmpua blaga realr dapat dgambara dalam gars lurus yag dsebut sebaga gars blaga real. Msala a, b R, dega a < b, suatu hmpua blaga real sebaga berut: A { x R a < x < }. A A b { x R a x }. b { x R a < x }. 3 b A { x R a x < }. 4 b Hmpua blaga real tersebut meyataa suatu terval atau selag, secara beruruta dyataa sebaga berut : ( a b) A, dsebut sebaga terval terbua, tda termasu edua tt ujug.

40 [ a b] A, dsebut sebaga terval tertutup, termasu edua tt ujug. ( a b] A, dsebut sebaga terval bua tutup, tda termasu tt ujug a, 3 [ a b) tetap termasu ujug b. A 4, dsebut sebaga terval tutup bua, termasu tt ujug a, tetap tda termasu ujug b. Suatu terval yag memuat sebarag tt x basaya dlambaga dega I x. Sedaga hmpua blaga real berut : B B B B B { x R x > a} (, ). a { x R x a} [, ). a { x R x < a} (, ). 3 a { x R x a} (, ]. 4 a { x } (, ). 5 x R Dsebut sebaga terval ta berhgga atau terval ta terbatas (ubouded) Sfat sfat terval : Msala M adalah elas dar semua terval pada gars real, termasu d dalamya φ da terval tuggal a [ a,a]. Maa terval meml sfat sfat sebaga berut :. Irsa dua terval adalah terval, yatu : Ja I M da I M, maa I I M.. Gabuga dua terval yag tda salg asg adalah terval, yatu : Ja I M da I M, da I I φ, maa I I M. 3. Selsh dua terval yag tda dapat dbadga adalah terval, yatu :

41 Ja I M da I M, da I I, I I, maa I I M (Mafred, 00:3). Cotoh : Msala [,4) I da I ( 3,8), maa I I ( 3,4) da I I [,8) I [,3] da I I [ 4,8) I.7.. Defs : Iterval I, N dsebut terval bersarag (ested terval) ja I... I I I I Cotoh : Ja [ 0,], N, I maa I I utu masg masg N. + Dema, maa I 0, N, adalah terval bersarag. Iterval M, N, juga merupaa terval bersarag. Hal dapat dbuta, yatu : M,, setap N. ( ) I, I I 3,, 3 3 Sehgga I I. +

42 Jad terbut bahwa M, N, juga merupaa terval bersarag (Abdusysyar, 006:39)..8. Tt Iteror da Hmpua Bua dalam R..8.. Defs: Msala E R, p E dsebut tt teror dar E ja terdapat lguga dar p sehgga V E. Hmpua semua tt teror dar E dotasa dega t( E ), da dsebut teror dar E. Perlu dgat embal bahwa lguga V dar tt p adalah hmpua yag memuat V τ ( p), utu suatu ε > 0. Dega dema, dapat dataa p E adalah tt teror dar E ja terdapat > 0 Cotoh : Msala ( a b] ε sehgga V ( p) E. E, dega a < b. Setap tt p sehgga a < p < b adalah tt teror dar E. Tt b bua tt teror area utu setap ε > 0, maa ( b) ( b ε b ε ) V, memuat tt yag bua aggota E. τ Defs: Msala E R. E dsebut hmpua bua d R ja semua tt d E adalah tt teror dar E. Cotoh : τ

43 . Iterval terbua ( a, b) d R adalah hmpua bua d R. Hmpua blaga real R adalah hmpua bua da hmpua osog φ adalah hmpua bua d R. Sebab ta dapat megambl A( p A) I p p I p A, berart pula p I A. p yag berart terpeuh. Hmpua semua blaga real R sedr merupaa hmpua bua. Sebab setap tt dr tetu tt teror, yatu ada terval terbua yag memuatya da a hmpua baga R, yatu p I R. 3. Iterval tertutup B [ a, b] p bua hmpua bua. Sebab utu sebarag terval terbua yag memuat a da, b yatu (, b) R, a memuat tt d luar B. Atau dega ata la tt a maupu b tda dapat termuat dalam terval terbua ( a, b) baga darr. Dalam hal tt ujug a da b bua tt teror. 4. Hmpua osog φ adalah hmpua bua. Sebab tda ada tt d φ yag bua tt teror. Atau ( x B). x tt teror B terbua. ( bear berdasara defs). Utu ( x φ). x tt teror φ terbua. (secara loga mplas tersebut bear walaupu alasaya salah). 5. Semua terval ta berhgga dalamr adalah hmpua terbua. { x x > a} ( a, ) { x x < a} (, a)

44 { x x R} (, ) R Sedaga terval tertutup yag tda berhgga bua hmpua bua, yatu [ a, ), (,a] area R a bua tt teror dar [ a, ), (, a]. Berut dbuta teorema yag merupaa Teorema Fudametal tetag hmpua bua Teorema :. Gabuga dar hmpua bua dalam R adalah hmpua bua, yatu ja G bua, maau G bua.. Irsa dar hmpua bua yag bayaya berhgga adalah hmpua bua, yatu ja G bua, maai G bua, dmaa blaga asl tertetu (berhgga). But :. { } G eluarga hmpua bua dalam R. Ambl sebarag x G Karea G terbua, maa x merupaa tt teror dar G atau ada terval terbua I sedema hgga x I U G, sehgga U G bua.. Msala detahu sebarag elas hmpua { } I 3 G, G3 x G. Ja, G G bua, maa ( I ). x S G,,,3. x x I Ja G φ, jelas φ adalah bua. I x G tetu Adaa S ( a, b ),, x G,,,3. x Ambl ( ) λ sup. a, a, a3, λ a dega d (, x) mmum, a

45 .( b, b, b ) b µ f 3, µ dega d (, x ) masmum. Tetu x ( ) I G Utu { } λ, µ dega 3. maa I G bua. G dmaa G, x x I dperoleh { 0} G tda bua (Wahyud, 987:38). b dega,,3,... aa.9. Tt Lmt..9.. Defs : Msala S R. x R dsebut tt cluster atau tt lmt dar S ja masg masg lgugaε dar x memuat y S dega x y. x S yag bua tt cluster dsebut tt tersolas da S. Pada defs tt lmt atau tt cluster, tda dharusa bahwa x adalah usur d S. Sesua defs, x R adalah tt lmt dar S ja τ ( x) S { x} φ V \ Utu setap ε > 0. Berdasara defs, dapat juga dyataa bahwa x S adalah tt tersolas ja terdapat ε > 0 sehgga Cotoh : ( x) S { x} V τ. Ja S adalah terval bua ( 0,), maa semua tt pada terval tutup [ 0,] adalah tt lmt dar S. Perhata bahwa 0 da bua tt d S.

46 . Semua sgleto, yatu hmpua yag haya memuat satu usur, tda mempuya lmt. 3. Sebarag hmpua berhgga tda mempuya tt lmt. Hmpua blaga asl N tda mempuya tt lmt mespu N adalah hmpua ta berhgga. 4. Hmpua S N mempuya satu tt lmt, yatu Defs la : Msala A R, dmaa R hmpua blaga real. Suatu tt p R dsebut tt lmt (lmt pot) atau tt umpul (accumulato pot) dar A ja da haya ja setap hmpua bua G yag memuat p yag basa dtuls G p, memuat aggota A yag bua p. Secara smbol ddefsa sebaga berut : Tt p R merupaa tt lmt A ja da haya ja ( G p bua). { p} φ G p A atau ( G p ( A p ) φ. bua). G { p} Hmpua tt tt lmt dar A dsebut hmpua derved A dtuls A '. Dar pegerta tt lmt tersebut ja dbadga dega defs tt lmt pada ruag matrs sebearya tda berbeda s, haya berbeda term atau stlah eghborhood yag teryata juga hmpua bua. Cotoh :. Dalam (,d ) R dega d ( ) a b a, b

47 Ja A,,3,...,,,..., maa 0 adalah tt lmt dar A 3 area sebarag hmpua bua G dega 0 G memuat terval terbua ( a a ) G, dega a < 0 < a memuat tt tt dar A. Sehgga tt lmt 0 dar A tda termasu dalam A, dema juga bahwa A tda memuat tt tt lmt yag laya. Jad hmpua, dervedya merupaa sgleto, yatu A { 0}.. Msala Q { x x blaga rasoal}. Setap blaga p R tetu merupaa tt lmt dar Q, sebab setap hmpua bua memuat blaga rasoal yag merupaa tt dar q. 3. Hmpua blaga bulat {..., 3,,,0,,,3,... } Z tda mempuya tt lmt, sehgga, Z φ Teorema Bolzao Weerstrass. Ada atau tdaya tt tt lmt utu macam macam hmpua merupaa pertayaa yag petg. Karea dalam eyataaya tda setap hmpua mempuya tt lmt. Teorema berut yag damaa Teorema Bolzao - Weerstrass aa membera gambara tetag permasalaha tersebut Teorema: Ja hmpua A ta berhgga da terbatas atau bouded dar blaga real, maa seurag uragya A mempuya satu tt lmt. But :

48 Bouded, berart tetu ada terval tertutup [ a, b] yag memuat A, atau A Ambl [ a,b]. c a + b. Dbetu [ a c],[ c, b] A, msala [ a, c] amaa [ a ]., ambl yag memuat ta hgga aggota, b Kemuda ambl a + b c da seterusya sepert proses d atas. Aa dperoleh [ b] [ a, b ] [ a, b ] [ a, b ]..., ta hgga eleme A. Pajag terval [ ] b a masg masg memuat, 3 3 a, adalah b a b a. I medeat 0 ja jad semua terval [ a, b ] memuat tt x 0 sedema hgga lm a lmb x0. Tt x 0 lah tt lmt dar A sebab utu setap terval [ b ] [ a, b ], a sehgga x ( a, b )., 0 Jad bear seurag uagya ada satu tt lmt dar A (Wahyud, 987:38)..0. Hmpua Tertutup..0.. Defs: A R dsebut hmpua tertutup atau hmpua tutup (closed set) ja da haya ja ompleme A yatu.0.. Teorema : C A hmpua bua. A tertutup ja da haya ja tt lmt dar A termuat d A. But :

49 . A tertutup maa tt lmt dar a termuat d A. A tertutup berart C A terbua, oleh area tu ( C b A ) b tt teror C A. C Berart ( I ), b I A, sehgga dperoleh I b A φ, yag juga b b berart tda semua I b memuat eleme A. Jad b bua tt lmt atau tt lmt A tda d C A, tetap harus d A.. Tt lmt A. termuat d A maa A tertutup. C A Ambl C b A b bua tt lmt, a jad ( I b ) b I b, da A φ I b jad b I b A C, yag berart C A terbua, maa A tertutup. Cotoh :. Iterval tertutup [ a, b] adalah hmpua tertutup, sebab : Lhat omplemeya (, ) ( b, ) merupaa hmpua bua. Jad [ a, b] merupaa hmpua tertutup. a merupaa terval terbua, berart. Hmpua a,,,,... adalah tda tertutup area 0 adalah tt 3 4 lmt dar A da 0 A. 3. φ da R adalah hmpua tertutup area merupaa hmpua bua. C φ da C R masg-masg

50 4. Iterval bua tutup a ( a, b] teror dar A, da A tda tutup area (Wahyud, 987:4). adalah tt bua area b A bua tt a A bua tt lmt dar A.. Hmpua Deumarabel da Kotabel.... Defs :. Sebarag hmpua X dsebut deumarabel ja da haya ja X euvale dega hmpua blaga asl N, yatu X N.. Suatu hmpua dsebut otabel ja da haya ja hmpua tersebut berhgga atau deumarabel (eumarabel). 3. Suatu hmpua dataa o deumarabel ja da haya ja Cotoh : hmpua tersebut ta berhgga da tda euvale dega hmpua blaga asl N, berart hmpua tersebut tda otabel.. Hmpua dar barsa ta hgga a,... dar usur usur yag berbeda, a merupaa hmpua yag deumarabel, area barsa tersebut terdapat fugs bjes dar doma hmpua blaga asl N dega rumus ( ). f a 3 {,... },. Hmpua hmpua,,,,...,,...,,,3, 4,5,..., ( ) hmpua {(, ), ( 4,8), ( 9,7),..., (, 3 ),...} 4 da juga hmpua deumarabel. 3. Hasl al hmpua N N dega N hmpua blaga asl, maa barsaya dapat dyataa sebaga hmpua ta hgga

51 N N {(, ), (, ), (,), (,3 ), (,),...}, sehgga hmpua N N juga meujua hmpua deumarabel. 4. Msala {,,3,...}, S Maa fugs ( ) satu dar S pada N. Jad f adalah fugs satu S N da dega dema S otabel. Selajutya aa dtujua bahwa hmpua blaga bulat Z adalah otabel. Utu meujua bahwa N Z, dapat juga dlaua dega meujua bahwa Z N. Defsa fugs f dar Z e N dega F ( x) ( ) ( ( geap) gajl) Maa fugs f adalah bjes dar Z e N. Dega dema, maa Z N. Jad Z adalah otabel.... Teorema : Ja But : f : A B adalah fugs satu satu da B otabel, maa A otabel. Jelas bahwa A berhgga (ft). Adaa A ta berhgga (ft). Searag A f ( A), dmaa f ( A), adalah rage dar f. Sehgga ft. Karea ( A), f ( A) B, subset subset ft). f maa B fte (suatu hmpua ft tda mempuya

52 Berdasara hpotess, maa B otable da B harus ft otabel. Msala Q : N B fugs bjetf (fugs satu satu da oto) da dtujua bahwa Q( ) b utu setap N. Maa B { b b,,...}, b3 Searag adaa blaga asl pertama sedema hgga b f ( ). A Adaa blaga asl pertama yag lebh besar dar, sedema hgga b f ( A). Adaa 3 blaga asl pertama yag lebh besar dar sedema hgga b 3 f ( A) da seterusya. Maa f ( A) { b b, b,...}. Defsa g f ( A) N : dega g( b ) j, j, 3 Jelas bahwa g fugs satu satu da oto (bjetf) utu j,,3,... Tetap ja f fugs satu satu dar A fugs oto f ( A). Oleh area tu, gοf adalah fugs satu satu dar A da fugs oto N. Berdasara A N. Abatya A adalah otabel...4. Corollary: Setap hmpua baga dar hmpua otabel adalah hmpua yag otabel...5. Teorema: Ja A da B fte otabel, maa But: A B fte otable.

53 Karea A da B hmpua ft otabel dapat dtuls { a a,,...} B { b b,,...}, b3, a3 A da Utu suatu fugs orespodes satu satu atara A B, da N dyataa, yatu: ( a b )( a, b )( a, )..., b3 ( a b )( a, b )( a, )..., b3 ( a b )( a, b )( a, )... 3, 3 3 b3... eleme eleme pada A B ddefsa dega fugs Q : A B N Maa fugs satu satu dar Jad A B fte otabel...6. Teorema: A B yag oto e N. Utu setap a, b R, dmaa b, a < terval terbua ( b) a, da uotabel. But : Jelas bahwa ( a, b) ft, maa terdapat suatu orespodes satu satu : N ( a b) da eleme eleme dalam ( b) Q, ( a, b) { x x,,...} dmaa Q( x), x3 Hal otrads dega x ( a, b) tda d rage Q. x utu setap N. Sehgga dotradsa bahwa Q oto pada ( a, b). a, dyataa dega yag tda dyataa dalam x x,,..., x, x3

54 Pertama ddefsa y x, msala y x j, dmaa j adalah blaga asl pertama yag lebh besar dar, sedema hgga x j <. Ja tda terdapat, sebelumya. j maa setap blaga ( ) y x a, y hlag dar peryataa Kemuda msala y x, dmaa adalah blaga asl yag lebh besar dar 3 pada j, sedema hgga x ( y, y ). Ja tda terdapat, peryataa sebelumya. maa setap blaga real ( ) x y, y hlag dar Kemuda msala y 4 x, dmaa adalah blaga asl pertama yag lebh besar dar pada, sedema hgga x ( y, y l 3 ). Ja terdapat, l maa setap blaga real ( ) x y, y 3 hlag dar daftar semula. Kemuda msala y x, dmaa m adalah blaga asl pertama yag lebh besar dar, 5 m x y, y. m 4 3 l sedema hgga ( ) Ja terdapat m, maa setap blaga real ( ) semula. x y, y 4 3 hlag dar peryataa Proses selajutya plh y + utu meerusa pedeata la x dalam x, x, x3,... datara y da y ja ada suatu la. Sehgga utu blaga geap memeuh y < y < y..., sedaga blaga gajl memeuh y > y > y > 4 6 < Maa hmpua { y y,,...} terbatas d atas atau x { y, y,,...}, 4 y6 sup 4 y6 ada.

55 Searag ja utu beberapa N, maa x y, hal otrads x y < + dega eyataa bahwa x batas atas dar hmpua { y y,,...}, 4 y6 Oleh area tu, > utu setap N. x y Ja x y utu setap N, maa x > y + Sehgga otrads dar fata bahwa x terbatas d atas dar hmpua { y,,...} y dar la x dalam daftar x x,,..., 4 y6, x3 Abatya x tda telhat dalam daftar x x,,..., x3 Tetap jelas bahwa x ( y y ) ( a, b) da x dalam ( b) Q. Sehgga ( a, b) uotabel., a, tda dalam rage dar Sedaga utu terval I yag terdr dar beberapa terval terbua ( a, b) da area tu setap I uotabel. Jad tu setap a, b R, dmaa b, a < terval terbua ( b) a, da uotabel (Abdusysyar, 006:4)... Compact sets: Teorema Hee Borel.... Defs: A hmpua, A R adalah ompa ja da haya ja memeuh peryataa berut:

56 Ja U A da setap G terbua, maa terdapat G I,..., I sedema hgga U N G A.... Teorema Hee Borel: A hmpua d R adalah ompa ja da haya ja hmpua tersebut tertutup da terbatas. But : Asumsa A ompa. Aa dbuta bahwa A tertutup da terbatas. Utu meujua bahwa A tertutup, harus dbuta bahwa C Ambl x A, maa hmpua hmpua terbua ddefsa C A terbua. G { y d( x, y) > },,... Karea gabuga dar hmpua hmpua G adalah { x} R. Berdasara hal tersebut, maa A termasu atau teradug d dalam gabuga. Karea A ompa, maa A harus termasu d dalam gabuga suatu blaga berhgga (ft) dar hmpua hmpua G. Karea hmpua hmpua membetu suatu barsa, maa terdapat sedema hgga a G. Tetap hal berabat G C C G A yag dapat ddefsa C { y d( x, y) > } A,,... Oleh area tu x adalah tt teror dar C A.

57 Da terbut bahwa C A adalah hmpua bua. Jad terbutlah bahwa A adalah hmpua tertutup. Kemuda aa dbuta bahwa A adalah ja A ompa, maa A terbatas. But: Asumsa A tertutup da terbatasda asumsa bahwa A tda ompa. Ja a tda ompa, maa terdapat suatu oles dar hmpua hmpua terbua G sedema hgga U A G, tetap oles gabuga G yag I megadug A bua oles ft. Berart UG I yag megadug A adalah oles ft. Sehgga U A φ da U A N, utu suatu N. Karea UG I oles ft da A adalah hmpua tertutup. Berdasara teorema tertutup: A tertutup ja da haya ja tt lmt dar a termuat d A. Ambl yag dtuls R tt lmt dar A, maa setap hmpua bua G yag memuat G memuat aggota A yag bua. a b Ambl terval tertutup [, ] Sehgga[ b] G a, memuat A atau A [ a, b] Da area A terbatas d atas da terbatas d bawah, maa A dataa terbatas (bouded) (Fra, 993:3).

58 .3. Barsa Mooto..3.. Defs: Msala X ( x ) adalah barsa blaga real. X ( x ) dsebut mooto a (mooto tda turu) ja x x +, Utu semua N. X ( x ) dsebut mooto turu (mooto tda a) ja x x +, Utu semua N. X ( x ) dsebut mooto ja mooto a atau mooto turu. Cotoh : Barsa X ( x ) (,4,6,..,,... ) adalah mooto a. Barsa Y ( y ) (,, 3,...,,... ) adalah mooto turu. (,...) Barsa Z ( ),,,..., ( ) mooto turu. adalah tda mooto a da tda z.3.. Teorema: Ja X ( x ) barsa blaga real yag mooto a da terbatas d atas, maa X ( x ) overge. But : Detahu X ( x ) mooto a, da msala { x N} E.

59 Maa E φ da tertbatas d atas. Msala x sup E. Ambl ε > 0 sebarag. Karea x ε bua batas atas, maa K N sehgga Karea ( x ) mooto a, maa x ε < x < K x. x ε < x < x, utu semua K. Jad ja K, dperoleh Terbut bahwa ( x ) overge e x. ε < x x < ε. Suatu hal petg yag perlu dcatat dar Teorema.4.. adalah bahwa barsa mooto a da terbatas d atas, overge e supremum hmpua suu suuya Teorema: Ja X ( x ) barsa blaga real yag mooto turu da terbatas d bawah, maa X ( x ) overge. But: Detahu X ( x ) mooto turu, da msala { x N} E. Maa E φ da terbatas d atas. Msala x f E. Ambl ε > 0 sebarag. Karea x ε bua batas atas, maa K N sehgga x < xk < x ε.

60 Karea ( x ) mooto turu, maa x < x < x ε, utu semua K. Jad ja K, dperoleh Terbut bahwa ( x ) overge e x. ε < x x < ε. Suatu hal petg yag perlu dcatat dar Teorema.4.3. adalah bahwa barsa mooto turu da terbatas d bawah, overge e fmum hmpua suu suuya. Cotoh: Msala X ( x ) barsa blaga real dega x da ( + 3),, x 4 + x. Aa dtujua bahwa 3 lm x. Dega dus matemata, aa dtujua bahwa X ( x ) adalah mooto a. Utu, dperoleh x, da 5 x. 4 Jad utu, terbut bahwa x x. Asumsa bahwa utu, berlau x x +, da aa dbuta bahwa x x. + + Karea

61 x x + Maa dperoleh x x + x x + 4 ( x 3) ( 3) + x + + x x. + + Sesua prsp dus matemata, terbut bahwa x x + Utu semua N. Jad X ( x ) adalah mooto a. Kedua aa dtujua bahwa X ( x ) adalah terbatas d atas. Sebelumya telah detahu bahwa x x. < Aa dtujua bahwa x <, utu semua N. Utu, telah terbut bear. Asumsa bear utu, bahwa x <. Aa dtujua bahwa x + < Karea x <, maa dperoleh x < 4 x + 3 < ( x + 3) < < x < +.

62 Sesua prsp dus matemata, maa x <, utu semua N. Karea ( x ) mooto a da terbatas d atas, maa ( ) Msala ( x ) overge e x. Karea ( ) ( x + ) juga overge e x. Jad, lm 4 ( x ) lm ( x + ) + 3 ( x ) lm( lm x 3) lm x x x overge. x adalah subbarsa dar ( x ), maa 3 Dperoleh, x. Jad, 3 lm x (Abdussyar, 006:68)..4. Nla Mutla..4.. Defs: Ja a R, la mutla dar a, dtuls a, ddefsa dega a a, ja a 0 a, ja a < 0 Cotoh : 5 5, area 0 5 da 4 ( 4) 4, area 4 < 0 a a Ja a 0, maa a 0, da dega dema, maa a > Teorema:

63 a. a a, utu setap a R. b. a b b a, utu setap a, b R. c. ab a b, utu setap a, b R. d. a a utu setap a R. e. Ja r R, r > 0, maa a < r ja da haya ja r < a < r. f. a < a < a, utu setap a R. But : a. Msal a R sebarag. Ja a 0, maa a 0, sehgga dperoleh a 0 a. Ja a > 0, maa > 0, a sehgga dperoleh a a ( a) a. Ja a < 0, maa a < 0, sehgga dperoleh a a a. Karea a R sebarag, maa dsmpula.4.3. Teorema: Ketasamaa Segtga. a + b a + b, utu setap a, b R. But : Msala a, b R sebarag. a a, utu setap a R. ( a + b) a + ab + b a + a b + b ( a + ) 0 b Sesua dega Teorema.4.. baga (c), dperoleh ( a + b) ( a + b ) a b. a + b +

64 Sebaga oseues dar etasamaa segtga, dperoleh dua etasamaa yag sagat bergua berut Teorema: Utu setap a, b, c R, maa a. a b a c + c b. b. a b a + b. c. a b a b. But : a. Ja a, b, c R, maa sesua etasamaa segtga, dperoleh a b ( a c) + ( c b) a c + c b. Secara umum, utu,, jara Euclde ( a b) a b, c R d, atara a da b ddefsa dega: d( a, b) a b Cotoh : d (,5) ( ) da (,7) d. Jara d dapat juga dpadag sebaga fugs dar sfat. d ( x, y) 0, da ( x, y) 0. d ( x y) d( y, x),. 3. d ( x, y) d( x, z) + d( z, y). d ja da haya ja x y. R R e R, yag meml Utu semua x, y, z R. Sfat yag terahr juga dsebut etasamaa segtga (Abdusysyar, 006:3).

65 .5. Tafsr da Pejelasa QS Al Qomar ayat 49. Meurut tafsr Al Marag Juz 6, 993:75, Mahfudz. B Qadar: meurut usura yag telah termatub dalam Lauhul ب قد ر Allah SWT meeraga bahwa segala sesuatu yag ada dalam ehdupa d dua tdalah terjad secara ebetula, aa tetap dega eputusa da etetua Allah (qada da qadar-nya). Apabla Allah megheda sesuatu perara, maa haya megataa epadaya, Jadlah!, maa perara tupu terjad. Sesugguhya segala yag terjad d dalam ehdupa, hádala dega etetua Allah da pembetuaya, meurut etetua Hmah-Nya Yag Maha Bjasaa da atura-nya yag meyeluruh da sesua dega suahsuah yag da letaa pada mahlu-nya. Semaa dega ayat hádala frma Allah Ta ala: و خ لق ك ل ش ي ء ف قد ر ه ت قد ير ا Artya: Da Da telah mecptaa segala sesuatu da Da meetapa uurauuraya dega serap-rapya (Al Furqo, 5:). Da frma-nya pula, yag mempuya art: Sucalah ama Tuhamu yag palg tgg, Yag mecptaa, da meyempuraa (pecpta-nya), da yag meetua adar (masg-masg) da member petuju (Al A la, 87:-3). Sedaga meurut hadts shahh, Moho ampu epada Allah da jagalah bersap lemah. Ja amu dtmpa suatu perara, maa ataalah,

66 Allah telah meetua, da apapu yag Da eheda, Da lasaaa, Da jagalah amu megucapa, Seraya au melaua beg tetu begtu, Karea ata-ata seraya aa membuaa peraa seta. Sedaga meurut hadts la yag drwayata dar Ibu Abbas, bahwa Rasulullah SAW. Perah bersabda, Da etahula, bahwa seraya umat tu sepaat utu member sesuatu mafaat epadamu yag tda dtuls oleh Allah utumu, scaya merea taa dapat membahyaa amu. Pea-pea telah erg da lembara-lembara telah dlpat,.5.. Meurut Tafsr Al-Msbah Volume 3 (M. Qurash Shhab, 00:48). Kata Qadar pada Qs Al-Qomar ayat 49 dperselsha maaya oleh para ulama. Dar seg bahasa ata tersebut dapat berart adar tertetu yag tda bertambah atau tda berurag, atau tda uasa. Tetap area ayat tersebut berbcara tetag segala sesuatu yag berada dalam uasa Allah, maa adalah lebh tepat memahamya dalam art etetua da sstem yag dtetapa terhadap segala sesuatu. Tda haya terbatas pada salah satu aspe saja. Mausa msalya, telah ada adar yag dtetapa Allah bagya. Selau jes mahlu a dapat maa, mum, da berembag ba melalu sstem yag dtetapa-nya. Mausa meml potes ba da buru. Ia dtutut utu mempertaggug jawaba plhaya. mausa daugrah Allah petuju dega edataga rasu utu membmbg merea. Aal pu daugraha-nya epada merea, dema seterusya yag esemuaya da yag selaya termasu dalam sstem yag sagat tepat, telt, da aurat yag telah dtetapa