REPRESENTASI BILANGAN FIBONACCI DALAM BENTUK KOMBINATORIAL

Transkripsi

1 REPRESENTASI BILANGAN FIBONACCI DALAM BENTUK KOMBINATORIAL Rzky Maulaa Nugraha Tekk Iformatka Isttut Tekolog Badug Blok Sumurwed I RT/RW 4/, Haurgeuls, Idramayu, 4564 e-mal: laa_cfre@yahoo.com ABSTRAK Barsa fboacc adalah salah satu barsa yag memlk fugs rekursf. Sejak ertama kal dkealka oleh fboacc, barsa dketahu memlk bayak keuka. Msalya, jumlah bayakya keloak buga termasuk blaga Fboacc. Barsa fboacc juga berkata erat dega sbah emas (golde rato). Dmaa erbadga dar blaga fboacc yag berdekata aka semak medekat sbah emas, utuk blaga fboacc yag besar. Barsa fboacc dalam betuk rekursf sudah bayak dreresetaska dalam betuk fugs. D ataraya dalam betuk fugs eksoe. Sejauh yag saya ketahu, saya belum meemuka reresetas fboacc dalam betuk kombatoral. Dalam makalah, aka dbahas hubuga barsa fboacc dega bayakya kemugka eyusua buah beda ke dalam kotak sedemka sehgga tdak ada kotak yag bers lebh dar r buah beda, dega atura uruta eyusua derhtugka. Dalam makalah, euls g memerlhatka hubuga r dega derajat barsa fboacc. Derajat barsa fboacc, ddefska euls sebaga bayak blaga fboacc sebelum yag djumlahka utuk medaatka blaga fboacc ke-. Msalya jka derajatya, maka blaga fboacc ke- sama dega ejumlaha blaga fboacc sebelumya. Jka r sama dega 4, maka blaga fboacc ke- sama dega ejumlaha 4 blaga fboacc sebelumya. Barsa fboacc dega derajat, dsebut dega barsa -acc. Dalam makalah, euls berhasl membuktka hubuga tersebut utuk barsa fboacc berderajat, dega megguaka Idettas Pascal. Namu karea keterbatasa euls, euls belum bsa membuktka bukt umum utuk derajat lebh dar. Namu, euls berhara embukta tersebut bsa djadka referes utuk derajat yag lebh besar dar. Kata kuc: Barsa Fboacc, Idettas Pascal, segtga Pascal, Kombatorka.. PENDAHULUAN Barsa fboacc derkealka oleh Leoardo da Psa dar Itala, yag memlk alas Fboacc, keedeka dar flus Boacc, yag berart utra dar Boacc. Barsa termasuk barsa rekursf. Namu, vers yag buka rekursfya sudah dtemuka. Betuk rekursf da buka rekursf aka dberka d bab selajutya. Namu, sejauh, euls belum meemuka reresetas blaga fboacc dalam betuk kombatoral. Adakata reresetas memag belum dtemuka, makalah bertujua meawarka alteratf reresetas blaga fboacc dalam betuk kombatoral tersebut. Makalah bertujua meemuka hubuga atara bayakya kemugka susua dar beda dega blaga fboacc ke-. Susua yag dmaksud adalah susua dar buah beda ke dalam kotak-kotak, sedemka sehgga tdak ada kotak yag meamug lebh dar r buah beda. Jumlah susua yag mugk tu dhotesska sama dega blaga fboacc berderajat r ke-. Pembukta dlakuka megguaka edekata duks matematka. Pembahasa dalam makalah haya bers embukta ermasalaha datas. Pembukta utuk teorema da alat yag dguaka utuk meyelesaka ermasalaha datas tdak dkut-sertaka. Peuls haya memberka referes utuk bacaa lebh lajut.. METODE Metode yag dguaka utuk mecar solus ermasalaha, adalah dega cara membuat reresetas kombatorka dar ermasalaha, da merumuskaya. Selajutya, rumus tersebut duj megguaka duks matematk. Jka rumus tersebut teruj megkut sfat dettas barsa fboacc, maka rumus tersebut daat dguaka utuk mereresetaska blaga fboacc. Selajutya, ermasalaha aka derluas mejad barsa fboacc dega derajat lebh dar. Pedekata emecaha masalah megguaka metode yag mr MAKALAH IF9 STRUKTUR DISKRIT TAHUN 9

2 dega yag dguaka utuk blaga fboacc berderajat. Namu, euls belum meemuka solus umum ermasalaha. Jad, ermasalaha haya dsedaka sebaga kojektur, utuk dbuktka lebh lajut bag yag bermat.. ANALISIS. Aalss Masalah utuk r =.. Reresetas Kombatoral dar Permasalaha Reresetas kombatoral yag dmaksud adalah ermasalaha jumlah susua objek dega atura yag sudah djelaska tad. Terdaat buah objek, kemuda kta tetaka r sama dega. Dega kata la, ermasalahaya adalah mecar bayak susua yag mugk dar eletakka buah objek ke dalam kotakkotak, dega kedala, kotak haya mamu memuat maksmal buah objek. Sebaga cotoh, kta tjau jka =. Artya tdak ada beda yag daat dletakka ke dalam kotak-kotak tersebut, sehgga bayak susua yag mugk adalah. Yatu buah kotak kosog. Selajutya kta tjau jka =. Artya haya ada beda yag daat dletakka ke dalam kotak-kotak tersebut, sehgga bayak susua yag mugk adalah. Yatu buah kotak bers objek. Kemuda utuk =. Artya ada beda yag daat dletakka dega cara, yatu:. Dua buah kotak, dega masg-masg kotak bers buah beda. Satu buah kotak yag bers buah beda Berkutya utuk =, ada susua yag mugk, yatu:. Satu susua dar tga buah kotak, dega masgmasg kotak bers buah beda. Dua susua yag mugk dar kotak, dega kotak ertama bers buah beda, da kotak kedua bers buah beda Selajutya utuk =4, ada 5 susua yag mugk, yatu:. Satu susua dar emat buah kotak dega masg-masg kotak bers buah beda. Tga susua yag mugk dar kotak, dega kotak ertama bers buah beda, kotak kedua bers buah beda, da kotak ketga bers buah beda. Satu susua dar buah kotak, dega masgmasg kotak bers buah beda Selajutya utuk aalss yag lebh besar, kta tetaka betuk eulsa tertetu agar susuaya daat lebh mudah daham. Kta tetaka kotak yag bers k buah beda, sebaga suatu blaga yatu k. Jad, berart ada buah kotak yag bers buah beda. Kemuda, utuk meulska kotak-kotak yag ada, la k dar masg-masg kotak tersebut dtuls meyambug. Msalya, berart ada buah kotak. Kotak ertama bers beda, kotak kedua da ketga bers beda. Selajutya, susua yag dhtug tersebut adalah bayakya ermutas kotak-kotak tersebut. Cotoh, utuk berart ada objek dega objek ertama sebayak buah da objek kedua sebayak buah. Maka, bayak susua yag mugk, daat dtulska sebaga ermutas dega adaya objek yag sama, yatu sebayak,!!! = Jad ada susua yag mugk. Utuk memermudah eulsa, eulsa () artya adalah bayak susua yag mugk dar kotakkotak. Jka kta tulska megguaka format eulsa tad, kta daat megaalss lebh lajut ola hubuga atara bayakya susua dega. Tabel Bayakya kemugka susua buah beda utuk r= Nla Format eulsa Bayak susua yag mugk () () ()() ()() 4 ()()() 5 5 ()()() 8 6 ()()()() Dar tabel datas, bsa kta erhatka bahwa bayak susua yag mugk (utuk sama sama dega 6) megkut atura rekurs fboacc. Sebaga cotoh, =85, 8=5, 5=, =, da =. Utuk selajutya, kta g megaalss, aakah hubuga haya kebetula utuk sama sama dega 6, ataukah berlaku utuk seluruh >? Utuk membuktkaya, kta harus megguaka rs duks, amu kta juga harus medefska suatu fugs yag meyataka bayakya susua dar bedabeda tersebut. Kta berka defs, M(,r), adalah suatu fugs yag meghaslka bayakya susua objek dar buah beda ke dalam kotak-kotak, dega jumlah maksmal beda yag dtamug kotak, sebayak r. Jka tabel datas dbetuk ulag,

3 Tabel Betuk kombatoral dar fugs M(,) Nla Format eulsa Bayak susua yag mugk Dar tabel datas, bsa kta smulka bahwa, M, = ( )/ /.. Idettas Pascal, utuk gajl, utuk gea () Segtga Pascal memuat koefse dar ejumlaha dua buah blaga a da b yag dagkatka. Namu, seert yag sudah dketahu, koefse tersebut juga daat dcar dar rumus bomal Newto. Sebaga lustras, tjau segtga Pascal berkut. Gambar. Segtga Pascal Segtga Pascal dbagu dega atura tertetu. Suatu agka d segtga Pascal, adalah ejumlaha dar dua agka terdekat yag ada d atasya, kecual jka da tdak memlk agka terdekat yag bsa djumlahka, maka laya. Sebaga cotoh, agka adalah hasl ejumlaha dar agka da. Sedagka agka haya memlk agka terdekat, yatu, sehgga da berla. Sekarag jka kta coba meulska segtga Pascal, dalam betuk koefse bomal, maka ddaat, k... k k k k Gambar. Segtga Pascal dalam betuk kombatoral Dar gambar datas, secara tus dega cara ejumlaha yag sama dega segtga Pascal sebelumya, kta aka medaatka hubuga, k = k k () Persamaa () datas, dsebut Idettas Pascal... Idettas Fboacc Barsa fboacc memlk dettas yag membedakaya dega barsa la. Idettas yag alg dkeal adalah defs rekursfya. Yatu, fb = fb fb() () Barsa fboacc juga memlk defs yag la (orekursf). Defs ddaat dega memerhatka bahwa selsh dar barsa fboacc adalah barsa tu juga, yag berart barsa fboacc adalah modfkas dar barsa eksoe. Defs berua, fb = (4) Dega defs, ddaat fb()=, da fb()=. Dua agka ertama deret fboacc mejad bass dar defs rekurs barsa fboacc. Defs rekursf tad daat derluas, msalya barsa tr-boacc, adalah barsa yag memlk dettas berua, fb = fb fb fb () Utuk derajat yag lebh tgg, msalya tetra-boacc, atau seterusya hgga r-boacc, kta defska dettas barsaya berua, fb r r = fb r r fb r r fb r ()..4 Pembukta Megguaka Iduks Hal yag g dbuktka adalah ersamaa berkut: fb = M, (5)

4 Hotess ersamaa dlhat dar ola yag mucul ada tabel. Idettas fboacc yag aka kta guaka utuk embukta adalah ersamaa (). Karea defs berfugs utuk sela bass, maka embukta yag aka kta lakuka adalah utuk lebh dar. Pembukta = da = dlakuka utuk membuktka bass duks Pembukta bass duks: Persamaa (5) harus dbuktka utuk bass = da =, karea defs rekursf ersamaa () membutuhka buah bass. Dar tabel, daat dlhat bahwa: fb = M, = da, fb = M, = Jad, bass duks utuk ersamaa (5) terbukt bear. Pembukta baga duks: Persamaa yag dguaka utuk duks adalah ersamaa () yag dhubugka dega ersamaa (). fb = fb fb Dega megadaka eryataa (5) bear, maka ersamaa datas mejad: M, = M, M(,) (6) Berkutya, karea ada ersamaa (). Fugs M ddefska berbeda utuk gea da gajl, maka embukta duks juga dbedaka utuk gea da utuk gajl. Utuk gajl, ersamaa (6) mejad: ()/ () = ( )/ ( )/ Ruas kaa daat dubah betukya mejad: ( )/ = ( )/ ( )/ ( )/ ( )/ ( ) ( )/ ( )/ ( ) ( )/ ( )/ Kemuda dega megguaka dettas Pascal yatu, ersamaa (). Persamaa datas daat dreduks mejad: ( )/ ()/ ( )/ = ( ) ( )/ ( )/ ( )/ ( )/ Karea ruas kr sama dega ruas kaa, maka ersamaa terbukt. Utuk gea, ersamaa (6) mejad: / () = / Ruas kaa daat dubah mejad: / / = ( )/ ( )/ ( )/ ( ) ( )/ ( )/ ( ) ( )/ ( ) Dega megguaka dettas Pascal dar ersamaa (), ddaat: ( )/ / / = ( ) ( ) Karea ruas kaa sama dega ruas kr, maka ersamaa terbukt. Karea utuk gea da utuk gajl, maka duksya terbukt. Kesmula Iduks Karea bass duks bear, da jka ersamaa (5) bear, ersamaa (6) juga bear dega cara membuktka ersamaa (), utuk >, maka kesmulaya, ersamaa (5) bear utuk blaga bulat ostf lebh dar sama dega.

5 Jad, kta telah membuktka bahwa, fb = M, (7). Aalss Masalah utuk r >.. Reresetas Kombatoral dar Permasalaha Utuk r >, reresetas kombatoralya lebh sult dcar. Sebaga lustras, berkut adalah tabel bayak susua dar buah beda dar hgga 6, dega r =. Tabel Bayakya kemugka susua buah beda utuk r = Nla Format eulsa Bayak susua yag mugk () () ()() ()()() 4 4 ()()()() 7 5 ()()()()() 6 ()()()() ()()() 4 Seert yag daat dlhat d tabel, bayak susua yag mugk, membetuk barsa tr-boacc. Idettas rekursfya bsa dlhat dar ejumlaha berkut, 4=74, =74, 7=4, 4=. Utuk selajutya, karea r >, maka kotak tdak bsa dreresetaska sebaga jes kotak yag berbeda lag. Utuk kasus r = sekarag, maka aka ada jes kotak, yatu kotak yag memuat beda, kotak yag memuat beda, da kotak yag memuat beda. Jka r=, kta daat mereresetaska erhtugaya megguaka kombas, amu karea sekarag r =, maka kta aka megguaka ermutas dega objek (kotak) yag berbeda. Peulsa yag dguaka adalah:, q, r =!! q! r! Dmaa, qr=, da meujukka bayak kotak yag meamug beda, q adalah bayak kotak yag meamug beda, r adalah bayak kotak yag meamug beda. Berkut adalah tabel erhtuga hgga = 6. Tabel Betuk kombatoral dar fugs M(,) Nla Format eulsa Bayak susua yag mugk,,,,,,,,,,,,,, 4 4,,4,,,,,, 5 5,,5 4,,,,,,,, 6 6,,6 5,,4 4,,,, 4,,,,,, Dar tabel datas daat drumuska jumlah susua sebaga berkut, M, = q= q, q, q Kemuda, dar ola, kta daat membuat rumus umum dar M(,r). M, r r = = Dega : 4 r r r = r r r = = r r r r = r r r.. Idettas Pascal,,, r Dega cara megacu keada lagkah sebelumya utuk membuktka ersamaa, fb()=m(-,). Kta daat meeraka dettas Pascal, utuk r >. Secara umum, dettas Pascal berua (bukt tdak dberka d makalah ),

6 =,,, r,,, r,,, r.. Idettas Fboacc Utuk membuktka ersamaa,,,, r fb r = M, r (8) Utuk r >, embukta megguaka dettas fboacc dalam ersamaa () mejad sagat mereotka. Karea kta harus membuktka ersamaa tersebut sebayak r kasus. Yatu utuk kasus mod r, mod r,..., r mod r. Cara sugguh tdak efektf. Alteratf laya adalah megguaka dettas fboacc yag la. Lma dettas barsa fboacc utuk r=, daat dlhat d []. Utuk r>, kta daat megembagkaya dar 5 dettas tersebut. fboacc. Dar aah alg atas, fb()=, fb()=, fb()=, fb(4)=, fb(5)=5, da seterusya. Hal la yag mejad kesmula etg dar embukta ersamaa (7) adalah, ersamaa tersebut membuktka Graf Youg-Fboacc, yatu graf yag meghubugka barsa fboacc dega kombatorka. REFERENSI [] Rose, Keeth H., Dscrete Mathematcs ad Its Alcato, McGraw-Hll,. [] e.wkeda.org/fboacc_umber, :8, Desember 9 [] Mur, Rald. Struktur Dskrt, Prod Tekk Iformatka Sekolah Tekk Elektro da Iformatka Isttut Tekolog Badug, Pembukta Megguaka Iduks Pada makalah, embukta yag dbahas hayalah embukta utuk r=. Utuk r >, ersamaa (8) tdak bsa saya buktka. Namu, utuk membuktka r tertetu, metode bsa dguaka walauu kurag efektf. Msalya utuk r=, rosedur yag sama daat dguaka amu embukta duks harus dlakuka sebayak r kal utuk kasus yag berbeda. 4. KESIMPULAN Kesmula yag ddaat adalah, ersamaa (7) telah terbukt. Sela tu, terlhat hubuga atara bayakya susua buah beda yag dmasukka ke dalam kotakkotak, dega maksmal satu kotak bers r buah beda. Barsa dar bayak susua tersebut dhotesska adalah barsa fboacc dega derajat r. Jka dtulska, fb r = M, r Sela tu, terdaat ula hubuga atara barsa fboacc dega segtga Pascal. Jka segtga Pascal dtulska sebaga, Maka, berturut-turut dar gars aah alg atas, jumlah dar agka yag terlewat oleh gars, adalah blaga